湖北省省直仙桃中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

湖北省仙桃中学2025-2026学年度上学期期中考试
数学
满分150分 时间120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
4. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. 0 C. D.
6. 已知是定义在上单调函数，若，且，，则（ ）
A. B.
C. D. 与大小不确定
7. 设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线上存在点，使得
C. 直线与曲线只有一个交点
D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值
11. 若，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的封闭图形面积为________．
13. 函数的最大值是_______.
14. 函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.请用这一结论回答：函数的图象的对称中心坐标是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值.
16. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在内的最大值为2，求的值.
17. 已知函数是上奇函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
18. 已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴.
19. 已知函数，.
（1）若，函数，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，求证：.
答案版
湖北省仙桃中学2025-2026学年度上学期期中考试
数学
满分150分 时间120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因，，所以.
故选：A．
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因，又，
所以，当且仅当时取等号，即，
又，
所以不能推出，所以是的不充分条件；
又，所以是必要条件，
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3. 函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C.
故选：B.
4. 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数，
故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，，
故，故椭圆的标准方程为.
故选：B
5. 若函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【详解】由求导得：，
依题意，有，解得，
则．
故选：C.
6. 已知是定义在上单调函数，若，且，，则（ ）
A. B.
C. D. 与大小不确定
【答案】C
【详解】根据题意，不妨，则，
当函数单调递增时，可得，
所以，所以；
当函数单调递减时，，
所以，所以；
综上可得，.
故选：C.
7. 设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：.
故选：A
8. 已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，，定义域为.
所以.
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以当时，取得最大值为.
当，所以函数的值域为.
要使函数的值域为,
则，解得，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数的图象上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【详解】对于A，函数的图象为抛物线，关于y轴对称，
不妨取，则四边形为等腰梯形，
则四点共圆，A符合题意；
对于B，，定义域为，在上单调递增，
该函数图象上升比较平缓，图象上没有剧烈变化的分界点，
故不可能存在某个圆与的图象有4个交点，
即的图象上不可能存在四点共圆，B不符合题意；
对于C，作出的图象，
必存在圆与的图象有4个交点的情况，C符合题意；
对于D，作出的图象，由反比例函数与圆的中心对称性，
作图如下（圆心为原点），
必存在圆与的图象有4个交点的情况，D符合题意.
故选：ACD
10. 已知曲线，点，，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线上存在点，使得
C. 直线与曲线只有一个交点
D. 曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值
【答案】BCD
【详解】由题当，时，曲线；
当，时，曲线；
当，时，曲线不存在；
当，时，曲线，故作出曲线如图所示：
选项A：法一：由图可知，曲线不关于直线对称，故A错误；
法二：将中的替换为替换为，得，
与不相同，故曲线不关于直线对称，故A错误；
选项B：易知，为双曲线的上、下焦点，
所以当点在第三象限时，根据双曲线的定义可知，故B正确；
选项C：易知直线为双曲线与双曲线的一条共同渐近线，
直线的斜率小于直线的斜率，
故直线与曲线在第一、四象限内没有交点，在第三象限内只有一个交点，故C正确；
选项D：设曲线上第一象限内的点为，
则，即，
所以点到直线的距离，
点到直线的距离，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 若，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【详解】因为，所以有.
对于A：因为，
所以，可得，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于B：因为，
所以，即，所以，
当且仅当，即时取等号，故B正确；
对于C：因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
对于D：令，所以，且，于是4
，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 双曲线的渐近线与抛物线的准线围成的封闭图形面积为________．
【答案】
【详解】双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，
如图所示，由得，
由对称性可得，所以，
又，，所以.
故答案为：
13. 函数的最大值是_______.
【答案】
【详解】由，得到，所以函数的定义域为，
令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下，
所以当时，取到最大值，最大值为，
故答案为：.
14. 函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数.请用这一结论回答：函数的图象的对称中心坐标是______.
【答案】
【详解】根据题意可知，要求函数的对称中心坐标，
需使为奇函数，
因为，所以，即，解得.
所以.
因是奇函数，则，
化简得，即，
也即，
则得，即，
因，则，即，可得，解得，
故，
所以函数的图象的对称中心坐标为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设所在直线与轨迹的另一个交点为，当的面积最大且点在第一象限时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
设，由，得，
整理得到，又点不能在轴上，
所以点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
由题意可得，当到x轴距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，
此时，所以，
所在直线方程为，即，
又圆心到直线的距离，半径，
可得.
16. 已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在内的最大值为2，求的值.
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）
【小问1详解】
函数的定义域为，
则，
当时，
令，解得：；令，解得：，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
【小问2详解】
①当时，在内恒成立，在内单调递增，
则，解得与矛盾；
②当时，有，时；时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
∴，即，
令，则，
则在上单调递减，
又，故；
综上，.
17. 已知函数是上奇函数，函数.
（1）求实数的值；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
依题意，，即，整理得，
因为，所以，解得，
则，经检验，符合题意，所以.
【小问2详解】
由题知，
若对，总，使得，可得，
由复合函数单调性可得：
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，有最小值.
设，函数在单增，所以，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
函数在上单调递减，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
18. 已知抛物线：的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，点P是半椭圆上一动点.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P作抛物线的两条切线，切点分别为C、D，记的中点为E.求证：轴.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
由题可知，抛物线：的准线为，
因为抛物线的准线与半椭圆：相交于A，B两点，且，
不妨设，则，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：
法一：设点、、，且满足.
由题意可知两条切线的斜率均存在，
设切线的方程为：，
，消y得：，
由可得：.①
两条切线的斜率为方程①的两个根，所以：.
抛物线即为：，两边对x求导数得：，
所以切线的斜率为，切线的斜率为.
所以：，即，所以轴.
法二：设点、、，且满足.
则直线的方程为：，与联立可得：.
所以，即，即，所以轴.
19. 已知函数，.
（1）若，函数，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，求证：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【小问1详解】
，，
因,不等式可化为，
设，，，
则，
设，则，
设，则，
所以在单调递增，则，
即，所以在上单调递增，
所以，且当，，
①当时，即时，，即，
则在单调递增，所以恒成立，符合题意;
②当时，即时，，
若取，则，
所以存在，使，
则当时，，即，即函数在上单调递减，
此时，与原题矛盾，不符合题意.
综上，的取值范围是.
【小问2详解】
要证,
即证.
由（1）可知，当，即时，，当且仅当时取等.
即时，，则.
令，则，
则，，…，，
各式相加，得
.
所以当，时，成立.