第二十四章解直角三角形随堂练习（含答案）华东师大版数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 第二十四章解直角三角形随堂练习（含答案）华东师大版数学九年级上册 |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 683.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-04 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章解直角三角形
一、单选题
1．如图，在中，，，．以点B为圆心，适当的长为半径作弧交、于点E、F；分别以点E、F为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点Q；作射线，交于点D．P为上一动点，连结，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
2．计算（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则锐角A的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，周长为24的平行四边形对角线交于点为的中点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
7．如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，M是边的中点，，交直线于点N，连接，则下列结论中：①；②； ③；④．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
9．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（ ）
A． B． C． D．
10． 如图，中，，，，是的两条高，连接，分别取，的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ．
14．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为 m(结果保留根号)．
15．如图，四边形中，，，，，，则 ．
16．如图，在矩形中，对角线、相交于点，线段上一点，连接，，将沿着翻折，点恰好与点重合，若，则的长为 ．
17．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，，点D是边上一点，连接，且．求的长．
19．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米，小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一条直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度．
20．我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
整理可得：，
同理可得：．
利用上述结论解答下列问题：
（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
21．如图，O是等边内一点，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
（1）求点O与的距离；
（2）求的度数．
（3）求的面积．
22．已知反比例函数（为常数）．
（1）若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小；
（2）设点（）是其图象上的一点，过点作轴于点，若，（为坐标原点），求的值，并直接写出不等式的解集．
23．体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值．
（1）如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程．
（2）如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程．
24．如图，等边三角形的边长为2，过顶点作的垂线，点在直线上，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点、、按顺时针方向排列，连接．
【发现】
（1）点在直线上运动的过程中，以下选项：①长；②长；③点到所在直线的距离；④点到所在直线的距离．
其中，常量有：______，变量有：______（填序号即可）；
（2）在点从点出发沿方向运动的过程中，随着长度不断变大，点到所在直线的距离也随着变______（填“大”或“小”）；
在点从点出发沿方向运动的过程中，随着长度不断变大，点到所在直线的距离是如何变化的？______（直接写出结果）．
【表达】
（3）在点从点出发沿方向运动的过程中，设，求点到所在直线的距离关于的函数表达式；
（4）在点从点出发沿方向运动的过程中，设，直接写出点到所在直线的距离关于的函数表达式：______．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．A
5．B
6．D
7．B
8．A
9．D
10．C
11．B
12．C
13．
14．5＋5
15．3
16．
17．
18．
19．古树的高度是米
20．（1），；（2）
21．（1）12
（2）
（3）15
22．（1）
（2），①当时，解集为或；②当时，则解集为：
23．（1）
（2）24
（3）3
24．（1）①③；②④；（2）大；先变小，再变大；（3）；（4）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第二十四章解直角三角形
一、单选题
1．如图，在中，，，．以点B为圆心，适当的长为半径作弧交、于点E、F；分别以点E、F为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点Q；作射线，交于点D．P为上一动点，连结，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
2．计算（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则锐角A的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，周长为24的平行四边形对角线交于点为的中点，若，则的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
6．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
7．如图，在矩形中，，点为的中点，连接，点为中点，连接、，若为直角，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，M是边的中点，，交直线于点N，连接，则下列结论中：①；②； ③；④．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
9．如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段．已知斜坡的坡比接近，坡长为米，则坡的铅垂高度约为（ ）
A． B． C． D．
10． 如图，中，，，，是的两条高，连接，分别取，的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，4个全等的直角三角形围出一个正方形，过点P，Q分别作的平行线，过点M，N分别作的平行线得四边形．则下列关于线段和的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，点D在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ．
14．如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为 m(结果保留根号)．
15．如图，四边形中，，，，，，则 ．
16．如图，在矩形中，对角线、相交于点，线段上一点，连接，，将沿着翻折，点恰好与点重合，若，则的长为 ．
17．如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，，点D是边上一点，连接，且．求的长．
19．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米，小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一条直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度．
20．我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知）
如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
整理可得：，
同理可得：．
利用上述结论解答下列问题：
（1）在中，，求a和的大小；
（2）在中，，其中，求边长c的长度．
21．如图，O是等边内一点，，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．
（1）求点O与的距离；
（2）求的度数．
（3）求的面积．
22．已知反比例函数（为常数）．
（1）若点和点是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较和的大小；
（2）设点（）是其图象上的一点，过点作轴于点，若，（为坐标原点），求的值，并直接写出不等式的解集．
23．体思想是中学数学解题的重要方法之一，贯穿于数学学习的全过程，对于问题1，樊老师给出了如下的提示：连接，利用与面积之和是菱形面积的，可求出的值．
（1）如图1，在菱形中，对角线，的长分别为6和8，点为对角线上一动点（不与点、重合），过点分别作和的垂线，垂足为点和，求的值，请你写出求解过程．
（2）如图2，若为矩形，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
（3）如图3，当点P是等边外一点时，过点分别作直线，，的垂线，垂足分别为点，，，若，请求出的面积，并写出推理过程．
24．如图，等边三角形的边长为2，过顶点作的垂线，点在直线上，分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点、、按顺时针方向排列，连接．
【发现】
（1）点在直线上运动的过程中，以下选项：①长；②长；③点到所在直线的距离；④点到所在直线的距离．
其中，常量有：______，变量有：______（填序号即可）；
（2）在点从点出发沿方向运动的过程中，随着长度不断变大，点到所在直线的距离也随着变______（填“大”或“小”）；
在点从点出发沿方向运动的过程中，随着长度不断变大，点到所在直线的距离是如何变化的？______（直接写出结果）．
【表达】
（3）在点从点出发沿方向运动的过程中，设，求点到所在直线的距离关于的函数表达式；
（4）在点从点出发沿方向运动的过程中，设，直接写出点到所在直线的距离关于的函数表达式：______．
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．A
5．B
6．D
7．B
8．A
9．D
10．C
11．B
12．C
13．
14．5＋5
15．3
16．
17．
18．
19．古树的高度是米
20．（1），；（2）
21．（1）12
（2）
（3）15
22．（1）
（2），①当时，解集为或；②当时，则解集为：
23．（1）
（2）24
（3）3
24．（1）①③；②④；（2）大；先变小，再变大；（3）；（4）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)