第二单元 方程(组)与不等式(组) 教案 2026年中考数学一轮复习（贵州）

第二单元 方程(组)与不等式(组)
第6课时 数的开方与二次根式
学习目标：
1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器）；
2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
重点难点：
1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。有关试题在试题中出现的频率很高，习题类型多为选择题或填空题。
2.考查最简二次根式、同类二次根式概念。有关习题经常出现在选择题中。
3.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多。
教学设计：
一、基础回顾
1、内容分析
（1）二次根式的有关概念
(a)二次根式
式子叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O．
(b)最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
(c)同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
(2)二次根式的性质
(3)二次根式的运算
(a)二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．
(b)三次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．
(c)二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
二、典例精析
1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a2 －6a+9+，试判断△ABC的形状．
2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义
（1）； （2）； （3）
3.找出下列二次根式中的最简二次根式：
4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
5. 化简与计算
①； ②； ③； ④
⑤； ⑥
、
第7课时 一元一次不等式（组）
学习目标：
会在数轴上表示不等式组的解集，掌握一元一次不等式组的应用
学习重点：
一元一次不等式组的应用
教学设计：
一、知识梳理
1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。
2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号的 ．（2）不等式的两边都乘（或除以） ，不等号的 ．（3）不等式的两边都乘（或除以） ，不等号的方向 ．
3.一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．
4.一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。（口诀：同大取大，同小取小；大于小的小于大的，取两者之间；大于大的小于小的，无解。）
二、典例精析
1. 解不等式，并在数轴上表示出它的解集。
分析：按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。答案：
2. 解不等式组，并在数轴上表示出它的解集。
分析：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分，故应将不等式组里各不等式分别求出解集，标到数轴上找出公共部分，数轴上要注意空心点与实心点的区别，与方程组的解法相比较可见思路不同。答案：－1≤＜5
3. 已知不等式≤0，的正整数解只有1、2、3，求。
分析：先解≤0可得：，考虑整数解的定义，并结合数轴确定允许的范围，可得3≤＜4，解得9≤＜12。不要被“求”二字误导，以为只是某个值。
4. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品总利润为元，其中一种产品生产件数为件，试写出 与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？
解：（1）设生产A种产品件，那么B种产品件，
则：
解得30≤≤32
∴＝30、31、32，依的值分类，可设计三种方案；
（2）设安排生产A种产品件，那么：
整理，得（＝30、31、32）
根据一次函数的性质，当＝30时，对应方案的利润最大，最大利润为45 000元。
第8课时 一元一次方程
学习目标：
理解方程和一元一次方程的概念；
理解等式的基本性质，能利用等式的基本性质进行方程的变形，掌握解一元一次方程的一般步骤，能熟练地解一元一次方程；
体验“未知”与“已知”的对立统一关系。
重点难点：
考查一元一次方程的解法，有关习题常出现在填空题和选择题中。
教学设计：
一、基础回顾
1、内容分析
（1）方程的有关概念
含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(只含有—个未知数的方程的解，也叫做根)．
（2）一元一次方程的解法和应用
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程．
解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1．
二、典例精析
1. 解方程：
2. 若关于的方程：与方程的解相同，求的值。
3. 在代数式中，当时，它的值是零；当时，它的值是4；求的值。
4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）
A. 5种；B. 6种；C. 8种；D. 10种
解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（为非负数），则有：，
5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。
（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长；
（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由．(不考虑其他因素)
第9课时 方程组
学习目标：
了解方程组和它的解、解方程组等概念，灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，*并会解简单的三元一次方程组（选学）。
重点难点：
解二元一次方程组的能力，有关试题多为解答题，也出现在选择题、填空题中，近年的中考试题中出现了有关的阅读理解题。
教学设计：
一、基础回顾
（1）方程组的有关概念
含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程．两个二元—次方程合在一起就组成了一个—。元一次方程组．二元一次方程组可化为 (a，b，m、n不全为零)的形式.
使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解．
（2）一次方程组的解法和应用
解二元(三元)一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法．
二、典例精析
1. 若3axby+7和－7a-1-4yb2x是同类项，则 x、y 的值为（ ）
A．x＝3，y ＝－1 B．x＝3，y＝ 3 C．x =1，y=2 D．x＝4，y＝2
2. 方程没有解，由此一次函数y=2－x与y=－x的图象必定（ ）
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断
3.二元一次方程组的解是_______；那么一次函数y=2x—1和y=2x+3的图象的交点坐标是 ；
4.已知是实数，且，解关于的方程：
5.若与是同类二次根式，求a、b的值.
6.方程（组）
； ；
；
第10课时 一元二次方程
学习目标：
1．能够利用一元二次方程解决有关实际问题并能根据问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
2．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
3．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．
重点难点：
1.会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程。
2.根据方程的特点灵活选择解法。并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
教学设计：
一、基础回顾
1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是 （其中 、 ），它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根；一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
二、典例精析
1. 分别用公式法和配方法解方程：
分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）； （2）
（3）； （4）
分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
3. 已知，求的值。
分析：已知等式可以看作是以为未知数的一元二次方程，并注意的值应为非负数。
4. 解关于的方程：
分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当＝1时，是一元一次方程；当≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。
5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．
已知：m是关于x的方程mx2 －2x＋m＝0的一个根，求m的值．
解：把x=m代人原方程，化简得m3=m，两边同时除以m，得m2 =1，所以m=l，
把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．
第11课时 一元二次方程的根的判别式及根系关系
学习目标：
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式及根系关系分析解决一些简单的综合性问题。
重点难点：.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。会应用一元二次方程的根的判别式及根系关系分析解决一些简单的综合性问题。
教学设计：
一、基础回顾
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么，
(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，
x1x2=q
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
二、典例精析
1. 解下列分式方程：
分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；分别设，，解后勿忘检验。
解方程组：
分析：此题不宜去分母，可设＝A，＝B得：，用根与系数的关系可解出A、B，再求，解出后仍需要检验。
3. 若关于x的分式方程有增根，求m的值。
4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．
解：设市去年居民用水的价格为x元／m3，则今年用水价格为(1+25％) x元／m3．根据题意，得
经检验，x=1．8是原方程的解．
所以 ．
答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m3．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m3.
第12课时 应用题
学习目标：
能够列方程（组）解应用题
内容分析：列出方程(组)解应用题的一般步骤是：
(i)弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个(或几个)未知数;
(ii)找出能够表示应用题全部含义的一个(或几个)相等关系;
(iii)根据找出的相等关系列出需要的代数式，从而列出方程(或方程组);
(iv)解这个方程(或方程组)，求出未知数的值;
(v)写出答案(包括单位名称)．
重点难点：考查列方程（组）解应用题的能力，其中重点是列一元二次方程或列分式方程解应用题，习题以工程问题、行程问题为主，近几年出现了一些经济问题，应引起注意
教学设计：
一、知识梳理
1.列方程解应用题常用的相等关系
工作量问题：工作量=工作效率×工作时间 相等关系：各部分工作量之和=1
常从工作量、工作时间上考虑相等关系
比例问题：相等关系：各部分量之和=总量。设其中一分为，由已知各部分量在总量中所占的比例，可得各部分量的代数式
年龄问题：大小两个年龄差不会变；抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。
浓度问题：
稀释问题：溶剂（水）、溶质（盐、纯酒精）、溶液（盐水、酒精溶液）
溶质=溶液×百分比浓度
由加溶剂前后溶质不变。两个相等关系：
加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量
加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加入溶剂后的溶液质量
混合配制问题 等量关系：
混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混合后所含溶质
混合前甲、乙种溶液所含溶剂的和=混合后所含溶剂
利息问题 本息和、本金、利息、利率、期数关系：利息=本金×利率×期数 相等关系：
本息和=本金+利息
行程问题
追击问题
路程、速度、时间的关系：
路程=速度×时间
1：同地不同时出发：前者走的路程=追击者走的路程
2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程
相遇问题 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲乙两地间的路程
航行问题 顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度
逆水（风）速度=静水（风）速度－水流（风）速度
1：与追击、相遇问题的思路方法类似
2：抓住两地距离不变，静水（风）速度不变的特点考虑相等关系。
数字问题 多位数的表示方法：是一个多位数可以表示为（其中0＜a、b、c＜10的整数）
1：抓住数字间或新数、原数间的关系寻找相等关系。
2：常常设间接未知数。
商品利润率问题 商品利润=商品售价－商品进价
首先确定售价、进价，再看利润率，其次应理解打折、降价等含义。
2.列方程解应用题的步骤:
（1）审题：仔细阅读题，弄清题意；
（2）设未知数：直接设或间接设未知数；
（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程；
（4）解方程；
（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意；
（6）答：注意带单位．
二、典例精析
1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，如果甲乙二人分别从A、B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，求甲乙二人的骑车速度．
2.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
　　
4.某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体
第13课时 分式方程及应用
学习目标：
1.掌握解分式方程的基本思想、方法、步骤，并能熟练运用各种技巧解方程,会检验分式方程的根。
能解决一些与分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．
重点难点：
1.分式方程的基本思想和方法。
2.分式方程有关的实际问题。
教学设计：
一、知识梳理
1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；
3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。
4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。
6. 分式方程的解法有 和 。
二、典例精析
1. 1.某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m3.
2. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将吨蔬菜精加工，用时间列方程解得，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。
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