【冀教版】2016版七年级上第1章有理数全章教学案（含答案）

第一章　有理数
1.理解有理数、相反数和绝对值的意义.
2.理解乘方的意义,掌握有理数的简单运算.
3.理解有理数的运算律,并能运用运算律进行简化计算.
4.能用有理数的运算解决简单的问题.
1.在现实情境中,经历引入负数的过程,理解有理数的意义,培养数感.
2.经历从现实情境中抽象出数轴的过程,能用数轴上的点表示有理数,借助于数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数和绝对值的方法,知道|a|的含义(这里的a表示有理数),能比较有理数的大小.
3.经历有理数的加、减、乘、除运算法则的获得过程,理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.
注重使学生领会数学知识与现实生活的联系,培养学生认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流的良好学习习惯.
本章从相反意义的量的表示引入负数,将数的范围扩充至有理数,借助数轴直观地表示有理数,进行有理数大小的比较,在有理数范围内讨论加、减、乘、除的运算法则和运算律,进行加、减、乘、除、乘方混合运算.在学习有理数分类、归纳有理数运算法则的过程中,初步理解分类讨论的思想;结合实例进行探究或验证等活动,理解有理数的减法可以转化为加法,有理数的除法可以转化为乘法,渗透转化思想.
本章教材选取大量日常生活中的实例为背景材料,通过观察、试验、归纳、类比等方式理解有理数的有关概念,使学生认识到数的扩充来源于实际的生活需要.在知识的呈现上,本单元的主线是:背景知识——知识形成——揭示联系.创设问题情境,帮助学生理解运算律,有利于提高学生的运算能力.
【重点】
1.有理数的相关概念.
2.有理数的混合运算.
3.运用有理数的运算解决简单的实际问题.
【难点】
1.绝对值的概念.
2.有理数的运算律.
1.负数是一个比较抽象的概念,在教学中应该让学生充分了解引入负数的必要性和实际背景,通过生活中具有相反意义的量的讲解,让学生接受负数的概念.
2.本章的重点内容是有理数的运算,所以一定要让学生有足够的练习机会.只有通过一定量的运算实践,才能真正体会并熟练掌握有理数运算的一些技巧.让学生通过计算、观察、猜测、归纳等数学活动,自己总结出有理数的运算律.
3.绝对值概念的学习也要有一个循序渐进的过程.与绝对值相关的知识,如数轴上两点之间的距离的表示、绝对值不等式等,都是在后续学习中要专门安排的,因此这里不要涉及.本章安排绝对值的概念的目的是为有理数运算作准备,会求一个数的绝对值就达到了本章的要求.教科书中用字母表示一个数的绝对值的结论,只是给出一个数的绝对值的符号表示,教学时不要对这个符号表示进行变式训练,更不要在绝对值中出现字母并加以讨论.
4.计算器是一个既简便又实用的计算工具,让学生通过实际操作,掌握计算器的基本用法.
5.在本章的学习中,要注意数形结合思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用.
1.1　正数和负数
2课时
1.2　数　轴
1课时
1.3　绝对值与相反数
1课时
1.4　有理数的大小
1课时
1.5　有理数的加法
2课时
1.6　有理数的减法
1课时
1.7　有理数的加减混合运算
1课时
1.8　有理数的乘法
2课时
1.9　有理数的除法
1课时
1.10　有理数的乘方
1课时
1.11　有理数的混合运算
1课时
1.12　计算器的使用
1课时
回顾与反思
1课时
1.1　正数和负数
能用正负数表示生活中具有相反意义的量,知道具有相反意义的两个量之间的关系.
经历从现实生活中的实例引入负数的过程,体会数学与现实生活的密切联系.
感受特殊与一般以及分类讨论的数学思想.
【重点】
1.用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.
2.理解有理数的定义和有理数的分类.
【难点】
1.认识现实生活中具有相反意义的量是普遍的.
2.分类讨论思想的应用.
第课时
用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.
通过生活实例帮助学生感受具有相反意义的两个量之间的关系.
体会生活实际需要与数的范围的扩大之间的关系.
【重点】
1.感受、理解生活中具有相反意义的量.
2.用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.
【难点】　用“正”和“负”表示生活中具有相反意义的量.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　回忆引进小数、分数时的学习情境.
导入一:
如图所示,北京某一天的最高气温是零上8
℃,用+8
℃表示,最低气温是零下2
℃,应该怎样表示呢
[设计意图]　天气预报是我们日常生活中经常接触的信息,借助于天气预报中表示气温的方法表示相反意义的量,容易使学生体会到数的范围扩大(引入负数)是现实生活的需要,并感受到现实生活与数学的密切联系,体会数学的应用价值,激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
为了表示物体的个数,产生了自然数0,1,2,3,…;在分配物品或测量时,有时结果不是自然数,要用分数(小数)来表示.这些数都是我们以前学习过的.这些数能够满足我们生活中的实际需要吗
[设计意图]　提出具有质疑性的问题让学生直接进行思考,唤起学生的探索欲望和学习热情.
　　[过渡语]　小数和分数能够满足生活中我们计数的需要吗
活动1　观察与思考——感受相反意义的量
观察下图中的两幅图片及其说明,思考以下问题:
(1)向东和向西、购进和售出所表达的意义具有怎样的关系
(2)如果仅说3
km,1
km,100箱,90箱,能完整地表达它们的意义吗
[设计意图]　通过观察思考,体会每个问题中的两个量都是同一类量,且意义是相反的.使学生认识到现实生活中具有相反意义的量是普遍存在的,引起学生对如何表示相反意义的量的思考.
1.问题引导
(1)同样是汽车行驶,向东和向西行驶的意义一样吗 (不一样,意义相反)
(2)同样是饮料,购进和售出所表达的意义一样吗 (不一样,意义相反)
(3)汽车向东行驶和向南行驶,意义和前面一样吗 (不一样,后者意义不相反)
(4)如果仅说汽车行驶3
km,1
km,你能知道汽车的行驶方向吗 (不能)
(5)如果仅说超市的100箱饮料,90箱饮料,你能知道超市的进货和销售情况吗 (不能)
2.类比思考
请你再举出一些具有相反意义的量的实例.
3.问题总结
向东和向西、购进和售出等都具有相反的意义.所以上面出现的每一对量中的两个量都是具有相反意义的量.
活动2　大家谈谈——表示相反意义的量
　　[过渡语]　怎样用符号来表示具有相反意义的量呢
如图所示,天气预报是怎样表示气温的
在天气预报中,零上2
℃,零上8
℃,分别用+2
℃,+8
℃来表示,零下2
℃,零下10
℃和零下12
℃分别用
-
2
℃,
-
10
℃和
-
12
℃来表示.
[设计意图]　观察天气预报图中表示气温的方法,感受“+”“
-
”的意义,为引出负数的定义做准备.
一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”(读作“正”)来表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“
-
”(读作“负”)来表示.
[知识拓展]　(1)用“+”和“
-
”表示的两个量,必须具有相反的意义,在数量上不一定是相等的.
(2)具有相反意义的两个量中,可以任意规定一个量为“+”或“
-
”.
活动3　例题讲解
　(教材做一做第1题)请你仿照天气预报中对气温的表示方法,完成下表:
意义
向北走1.8
km
向南走3
km
运进粮食1200
kg
运出粮食800
kg
水位上升30
cm
水位下降50
cm
表示
+1.8
km
+1200
kg
+30
cm
　　〔解析〕　表中有三组不同意义的量,其中一种量表示为“+”,此时需要确定另一种量是否是具有相反意义的量.只有具有相反意义的量,才能用“+”或“
-
”表示它们之间的关系.
解:如下表所示:
意义
向北走1.8
km
向南走3
km
运进粮食1200
kg
运出粮食800
kg
水位上升30
cm
水位下降50
cm
表示
+1.8
km
-
3
km
+1200
kg
-
800
kg
+30
cm
-
50
cm
　　追问:如果上表中的表示方法这样变化,该如何填写
意义
向北走1.8
km
向南走3
km
运进粮食1200
kg
运出粮食800
kg
水位上升30
cm
水位下降50
cm
表示
+3
km
+800
kg
+50
cm
　　[设计意图]　通过对例题的讲解和对例题的变通,帮助学生深刻领会具有相反意义的量的表示方法,进一步感受数学与生活的密切联系.
　(教材做一做第2题)用带“+”或“
-
”的数表示下列具有相反意义的量:
(1)如果将开进汽车站汽车28辆记作+28辆,那么从该汽车站开出汽车24辆,可记作　　　　辆.
(2)如果把公司第一季度亏损2万元记作
-
2万元,那么第二季度盈利2.5万元,可记作　　　　万元.
(3)如果规定高于海平面为正,那么:珠穆朗玛峰高于海平面8844.43
m,可记作　　　　m;吐鲁番盆地最低点低于海平面154.31
m,可记作　　　　m.
(4)如果规定收入为正,那么:小亮家今年收入34200元,可记作　　　　元;支出27450元,可记作　　　　元.
〔解析〕　两个具有相反意义的量,如果对其中一种量用“+”或“
-
”表示进行了规定,那么在表示另一种量的时候,必须用与其相反的符号去表示.
解:(1)
-
24　(2)+2.5　(3)+8844.43　
-
154.31　(4)+34200　
-
27450
一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的,并在表示这个量的前面放上“+”(读作“正”)来表示;把与它意义相反的量规定为负的,并在表示这个量的前面放上“
-
”(读作“负”)来表示.
1.下列不具有相反意义的量的是
(　　)
A.前进5
m和后退5
m
B.节约3
t和浪费10
t
C.身高增加2
cm和体重减少2千克
D.超过5
g和不足2
g
解析:常见的具有相反意义的量有:零上与零下、前进与后退、海平面以上与海平面以下、收入与支出、向东与向西、升高与降低、买进与卖出、盈利与亏损等.身高增加2厘米和体重减少2千克不是互为相反意义的量.故选C.
2.(2015·崇左中考)一个物体做左右方向的运动,如果规定向右运动4
m记作+4
m,那么向左运动4
m记作
(　　)
A.
-
4
m　　B.4
m　　C.8
m　　D.
-
8
m
解析:本题考查表示相反意义的量,解题的关键是理解具有相反意义的量.把一个物体向右运动4
m记作+4
m,那么这个物体向左运动4
m应记作
-
4
m.故选A.
3.在电视上看到的天气预报中,某天的气温为“
-
5
℃”,“
-
5
℃”表示的意思是　　　　.
解析:零上和零下表示相反意义,零上记为正,零下记为负,所以“
-
5
℃”表示的意思是零下5
℃.故填零下5
℃.
4.用“+”或“
-
”表示下列具有相反意义的量.
(1)电梯上升了100米和电梯下降了20米.
(2)股市涨了80点和股市跌了30点.
解:(1)+100米和
-
20米.
(2)+80点和
-
30点.
第1课时
活动1　观察与思考——感受相反意义的量
活动2　大家谈谈——表示相反意义的量
活动3　例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第4页练习第1,2题.
【选做题】
教材第4页习题第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组数中,不是具有相反意义的量的是
(　　)
A.向东走5米和向西走2米
B.收入10元和支出20元
C.上升7米和下降3米
D.长大1岁和减少2千克
2.如果从银行支取5元记作
-
5元,那么存入8元记作
(　　)
A.+8元　
B.
-
8元　　C.
-
13元　
D.3元
3.(2015·南通中考)如果水位升高6
m时水位变化记作+6
m,那么水位下降6
m时水位变化记作
(　　)
A.
-
3
m
B.3
m
C.6
m
D.
-
6
m
4.球赛时,如果赢了2局记作+2,那么
-
2表示　　　　.
【能力提升】
5.(2015·宜昌中考)陆地上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶,高出海平面约8844
m,记为+8844
m;陆地上最低处是地处亚洲西部的死海,低于海平面约415
m,记为
(　　)
A.+415
m
B.
-
415
m
C.±415
m
D.
-
8844
m
6.如果规定电梯上升为“+”,那么
-
10米表示
(　　)
A.电梯下降了10米
B.电梯上升了10米
C.电梯上升了0米
D.电梯下降了0米
7.(1)如果节约电20千瓦时记作+20千瓦时,那么浪费10千瓦时记作什么
(2)如果
-
20.50元表示亏本20.5元,那么+100.57元表示什么
(3)如果+20%表示增加20%,那么
-
6%表示什么
【拓展探究】
8.王老师在数学课上提出“温度上升6
℃,再上升
-
2
℃”的意义是　.
9.某日小明在一条南北方向的公路上跑步,他从A地出发,如果把向北跑了1008
m记作
-
1008
m,那么他折回来又继续跑了1010
m是什么意思 这时他停下来休息,此时他在A地的什么方向 小明共跑了多少米
【答案与解析】
1.D(解析:具有相反意义的量必须是同类量.)
2.A(解析:支取和存入是具有相反意义的量.)
3.D(解析:升高和下降具有相反意义,既然升高记为正,那么下降就记为负.水位升高用正数表示,则水位下降用负数表示,下降6
m应记作
-
6
m.)
4.输了2局(解析:如果赢用“+”表示,那么与其具有相反意义的量,即输球用“
-
”表示.)
5.B(解析:常见的具有相反意义的量有:零上与零下、前进与后退、海平面以上与海平面以下、收入与支出、向东与向西、升高与降低、买进与卖出、盈利与亏损等.因为高出海平面8844
m记为+8844
m,所以低于海平面415
m应记作
-
415
m.故选B.)
6.A(解析:“
-
”表示与其具有相反意义的量,电梯上升为正,那么电梯下降为负,所以
-
10米表示电梯下降了10米.故选A.)
7.解:(1)浪费10千瓦时记作
-
10千瓦时.　(2)+100.57元表示盈利100.57元.　(3)
-
6%表示减少6%.
8.温度先上升6
℃,再下降2
℃(解析:上升
-
2
℃表示下降2
℃.)
9.解:如果把向北跑了1008
m记作
-
1008
m,那么他折回来又继续跑了1010
m表示小明又向南跑了1010
m.此时他在A地的南边,小明共跑了1008+1010=2018(米).答:他在A地的南边,小明共跑了2018米.
本课时在帮助学生感受数学与生活密切联系的理念指导下,贯彻引导学生发现问题、思考问题的原则,较好地帮助学生理解了具有相反意义的量及其表示方法,为中学数学课程的学习开了一个好头,为下一课时的学习打下了基础.
在例题讲解的过程中,发挥学生的主动性不够,老师的示范和讲解略多.
课前帮助学生回忆为什么要引进小数和分数的概念,进而为数的范围扩大做好心理准备.在例题的处理过程中,老师可以放手交给学生独立去完成,最后老师总结指导.
练习(教材第4页)
1.解:(1)(2)(3)中的量是具有相反意义的.
2.(1)
-
300　(2)+3　
-
2　(3)+2000　
-
1500
习题(教材第4页)
1.解:答案不唯一.(1)气温是零下8
℃.　(2)向北走100
m.　(3)转盘逆时针转3圈.　(4)乙地低于海平面500
m.
2.解:(1)上升15
m记作+15
m.　(2)
-
300元表示从银行取出300元.　(3)低于标准质量2
g记作
-
2
g.
3.解:答案不唯一.如向前走20米和向后走10米,零上10
℃和零下9
℃.
　(1)汽车向东行驶3.5千米和向西行驶2.5千米.如果规定向东为正,向西为负,那么向东行驶3.5千米记作　　　　千米;向西行驶2.5千米记作　　　　千米.
(2)收入500元或支出237元.如果规定收入为正,支出为负,那么收入500元记作　　　　元;支出237元记作　　　　元.
(3)水位升高1.2米或下降0.7米.如果规定水位升高为正,下降为负,那么水位升高1.2米记作　　　　米;下降0.7米记作　　　　米.
〔答案〕　(1)+3.5　
-
2.5　(2)+500　
-
237　(3)+1.2　
-
0.7
第课时
理解有理数的定义和分类.
借助于相反意义的量,引入有理数的概念.
理解数学与生活的联系,强化数学的应用意识.
【重点】　有理数的定义.
【难点】　有理数的分类.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　回忆具有相反意义的量的表示方法.
导入一:
师:同学们小学都学过哪些数
生:整数、小数、分数、奇数、偶数……
师:原始社会,从打猎记数开始,首先出现了自然数,人们用数“0”表示没有,随着人类的不断进步,在丈量土地进行分配时,又用小数使测量结果更加准确,小数也属于分数,那么小学学过的这些数能否满足社会生产生活及数学自身发展的需要呢
[设计意图]　通过介绍数的产生与发展,帮助学生理解数的发展源于生产和生活的实际需要.
导入二:
(1)如果飞机上升200
m记作+200
m,那么飞机下降300
m可记作　　　　m.
(2)如果规定铅球的质量高于标准质量为正,低于标准质量为负,那么:甲铅球高于标准质量3
g,可记作　　　　g;乙铅球低于标准质量2
g,可记作　　　　g.
(3)如果规定木材公司购进木材为正,售出木材为负,那么:该公司购进木材2000
m3,可记作　　　　m3;售出木材1500
m3,可记作　　　　m3.
问题:我们用带“+”和“
-
”的数统一地表示出具有相反意义的量,从而得到了
-
3,
-
800,
-
50,
-
24,
-
2,
-
154.31,
-
27450等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面添上“
-
”得到的,这样的数是什么数 和我们之前学过的数的意义相同吗
[设计意图]　通过设问提出与有理数相关的问题,进而为学习有理数打下基础.
　　[过渡语]　数字前面加上“+”和“
-
”,这样的数是什么数呢
活动1　有理数的定义
1.负数
前面,我们用带“+”和“
-
”的数统一地表示出具有相反意义的量,从而得到了
-
3,
-
800,
-
50,
-
24,
-
2,
-
154.31,
-
27450等这样形式的数,它们都是在已学过的数(0除外)的前面添上“
-
”得到的,这样的数叫做负数.
问题思考:
(1)负数能表示实际意义吗 请举例说明;
(2)下面这些负数应该怎样进行分类 (负整数和负分数)
-
1,
-
2,
-
3,
-
,
-
,
-
8.
[设计意图]　深刻领会负数的意义,初步领会分类思想,为探讨有理数的分类做好准备.
2.正数
+1.8,+1200,+30,+28,+2.5,+8844.43,+34200等这样的数,都是在已学过的数(0除外)的前面添上“+”得到的,这样的数叫做正数.
问题思考:
(1)正数能表示实际意义吗 请举例说明;
(2)下面这些正数应该怎样进行分类 (正整数和正分数)
+1,2,3,,1,3.
(3)正数中的“+”可以省略吗 (可以)
(4)0是正数还是负数 (0既不是正数,也不是负数)
3.有理数
正整数、0和负整数统称为整数,正分数和负分数统称为分数,整数和分数统称为有理数.
[知识拓展]　对正数和负数的理解要注意以下几点:
(1)并不一定要将某一种量规定为正,若将一种量规定为正,则与其意义相反的量即为负.
(2)负数前面的“一”表示这个数的性质,是性质符号,读作“负”,不能省略,但正数前面的“+”可以省略.
活动2　有理数的分类
根据有理数的意义,我们知道有理数可作如下分类:
有理数
你能进一步将整数和分数分类吗 有理数还有其他分类方法吗 把你的想法与同学交流.
1.按照以上的定义,你能画出一张有理数的分类图吗 你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗 (是按照整数和分数来划分的)
师生共同总结出:
有理数
2.如果按照正负来分,那么有理数还可以怎样进行分类呢
师生共同总结出:
有理数
有时我们习惯上将“正有理数和0”又称作非负有理数;将“负有理数和0”称作非正有理数;将“正整数和0”又称作非负整数,将“负整数和0”又称作非正整数,因此要注意0的特殊性,0是整数、自然数、有理数,但0既不是正数,也不是负数.
[知识拓展]　对有理数及其分类要注意以下几点:
(1)整数包括三类,其中0是单独的一类,不要忽视.
(2)分数包括两类,正分数和负分数,不包括0.
(3)现在我们学过的数中,除了π或跟π有关的数,如,,
-
π等,其他的数都是有理数.
(4)由有理数的两种分类方法可以发现有理数可被细分为正整数、正分数、0、负整数、负分数五类.
(5)通常把正整数和0统称为非负整数,也叫自然数;负整数和0统称为非正整数;正有理数和0统称为非负有理数;负有理数和0统称为非正有理数.所以一定不要误认为一个数非正即负.
[设计意图]　学生的思维方式不同,研究问题的角度也不尽相同.在教学中通过对问题多角度的考虑,有利于培养学生的探索精神,使学生体验到重要的数学思想——分类思想.
活动3　例题讲解
　(教材第6页练习第3题)把下列各数分别填在相应的圈内:
-
7,4.8,+15,
-
3.5,,.
〔解析〕　正数的判断不能简单地依据是否带有“+”,负数的判定必须依据是否带有“
-
”.
解:正数:4.8,+15,,;
负数:
-
7,
-
3.5.
整数和分数统称为有理数.按照有理数的定义和正负这两种分类方法对有理数进行分类,同学们要掌握这两种分类方法,并能正确地对有理数进行分类.
强调:对于每一个有理数,不但要看它的数字特点,还要看它的符号特点,例如
-
200,从数字看200是整数,从符号看
-
200是负数,所以它既属于整数,又属于负数,也属于有理数.
1.(2015·贺州中考)下列各数是负数的是
(　　)
A.0　　　　B.+　　　C.2.5　　　D.
-
1
解析:因为1是正数,所以在1前面加“
-
”的数是负数,即
-
1是负数.故选D.
2.下列说法中错误的是
(　　)
A.有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类
B.一个有理数不是整数就是分数
C.正有理数分为正整数和正分数
D.负整数、负分数统称为负有理数
解析:A把有理数的两种分类方法混合在一起来说,显然概念重复,故A是错误的;B,C,D都是正确地对有理数中的概念进行了分类.故选A.
3.写出
-
1和0之间的任意一个负数(
-
1除外):　　　　.
解析:这是一个开放性题目,答案不唯一,在
-
1和0之间的负数有无数个,只要写出一个符合要求的即可.故可填
-
0.3,
-
等.
4.把下列各数分别填入相应的括号内:
+8,3.275,
-
,,
-
1.25,
-
0..
正数:{　　　　　　　　　…};
负数:{　　　　　　　　　…}.
解:正数:{+8,3.275,,…};
负数:.
第2课时
活动1　有理数的定义
活动2　有理数的分类
活动3　例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第6页做一做.
【选做题】
教材第6页练习第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·广州中考)四个数:
-
3.14,0,1,2中为负数的是
(　　)
A.
-
3.14　　B.0　　
　C.1　　
　D.2
2.下列结论中正确的是
(　　)
A.小学里学过的数都是正数
B.小学里学过的数前面加上“
-
”后都是负数
C.0是自然数,也是偶数
D.一个数不是正数就是负数
3.下列各数中既是负数又是分数的是
(　　)
A.
-
9
B.
C.
-
D.0
4.下列说法中正确的个数是
(　　)
①a是正数;②
-
5是负数;③正数前面加上“
-
”即为负数;④+3是正数.
A.1
B.2
C.3
D.4
【能力提升】
5.在0,1,
-
2,
-
3.5这四个数中,是负整数的是
(　　)
A.0
B.1
C.
-
2
D.
-
3.5
6.下列说法正确的是
(　　)
A.0
℃表示没有温度
B.0既可看作正数又可看作负数
C.0既不是正数也不是负数
D.以上均不正确
7.下列叙述正确的是
(　　)
A.一个数不是正数就是负数
B.小数可以用分数表示
C.正数和分数统称有理数
D.有理数中有最大的负整数和最小的正整数
8.已知0.2,
-
0.,
-
,π,
-
3.14,0.101001…,其中有理数有　　　　个.
【拓展探究】
9.观察下列各数:
-
1,,
-
,,
-
,…,这列数的第2015项是　　　　.
10.写出5个数(不能重复),同时满足下列三个条件:①其中三个数是非正数;②其中三个数是非负数;③五个数都是有理数,这五个数是:　　　　　　　　(只写出一组即可).
11.(1)把下列各数填在相应的大括号内:
-
3,0,
-
2,7,,,
-
,
-
3.14,+8848.
正整数集合:{　　　　　　…};
负分数集合:{　　　　　　…};
非负数集合:{　　　　　　…};
自然数集合:{　　　　　　…}.
(2)活动课上,贝贝对京京说字母a永远是一个正数,京京表示怀疑,你认为呢
12.有一位同学对老师说,因为像2,+2.37,…这样的正数是有理数,像
-
1,
-
3.1,
-
6,…这样的负数也是有理数,同样0也是有理数,所以得出结论:有理数包括正数、0和负数.请问这位同学得出的结论是否正确 若不正确,请说明理由.
【答案与解析】
1.A(解析:
-
3.14是负数,0既不是正数也不是负数,1和2都是正数.)
2.C(解析:A错,因为0既不是正数也不是负数;B和A犯同样的错误;C正确;D也漏掉了0,不正确.故选C.)
3.C(解析:先判断哪些数是负数,再判断哪个数是分数.)
4.C(解析:a可能是正数,也可能是负数和0,所以①错误,②③④均正确.)
5.C(解析:负数有
-
2,
-
3.5,而
-
3.5是负分数,
-
2是负整数.)
6.C(解析:0
℃表示一个确定的温度;0既不是正数也不是负数.)
7.D(解析:0既不是正数也不是负数;无限不循环小数不可以用分数表示;整数和分数统称为有理数;最大的负整数是
-
1,最小的正整数是1,
-
1和1是有理数.)
8.4(解析:π不是有理数,同时无限不循环小数,即0.101001…也不是有理数.)
9.
-
(解析:
-
1可以看作
-
,这样一来,这列数的分子都是1,分母是从1开始的连续自然数,分母上自然数与该数的项数相同,其中奇数项的符号都是“
-
”号,偶数项的符号都是“+”号,所以第2015项是
-
.)
10.
-
1,
-
2,0,3,5(解析:有三个非正数,三个非负数,且放到一起只有五个数,可确定五个数中一定有一个数既是非正数,也是非负数,故这个数是0.另外两个非正数可以任意写两个负数,如:
-
1,
-
2,而另外两个非负数可以任意写两个正数,如:3,5.故这五个数可以为
-
1,
-
2,0,3,5.)
11.解:(1)正整数集合:{7,+8848,…};负分数集合:;非负数集合:{0,7,,,+8848,…};自然数集合:{0,7,+8848,…}.　(2)京京的怀疑是正确的,字母a不一定是一个正数,当a>0时,a表示一个正数;当a=0时,a既不是正数也不是负数;当a<0时,a表示一个负数.
12.解:不正确.理由如下:如π是正数,但π不是有理数,所以不能说有理数包括正数,0和负数,应改为有理数包括正有理数、0和负有理数.
本课时在教学的过程中注意问题的引导和渗透,把概念的总结和数学的分类思想紧密结合起来.学生通过老师的引导提示,在思考的过程中理解了有理数的定义,体验了不同方法对有理数进行分类带来的乐趣.
在学习有理数定义的过程中,忽略了对先前知
识的复习,可能给部分学生学习有理数的定义带来困难.
在进行有理数分类的时候,分两个层次和阶段进行,首先完成教材上的做一做的基本练习,然后在此基础上让学生尝试有理数的分类,并互相倾听分类的依据.
练习(教材第6页)
1.解:正数:+12,19,+0.4,3.14,+;负数:
-
3,
-
,
-
0.01.
2.解:有,0既不是正数,也不是负数.
3.解:正数:4.8,+15,,;负数:
-
7,
-
3.5.
习题(教材第6页)
A组
1.解:(1)规定零上为正,零下为负,则零下220
℃可表示为
-
220
℃,零下250
℃可表示为
-
250
℃.
(2)规定高于海平面为正,低于海平面为负,则高于海平面3812
m可表示为+3812
m,低于海平面422
m可表示为
-
422
m.
2.解:答案不唯一.正数:,负数:.
B组
1.解:是整数,但不是正数的数:0,
-
7;是分数,但不是负数的数:,0.24.
2.解:正整数:{+15,…},负整数:{
-
12,…},正数:,负数:
-
,
-
,
-
0.3,
-
12,….
　观察下面一列数:
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,
-
,….
(1)写出第7个数和第8个数;
(2)第400个数是多少
(3)如果这一列数无限排列下去,那么与哪个数越来越接近
〔解析〕　认真观察这列数,可发现均为负数,分子分别为1,2,3,…,分母相应地为2,3,4,…,利用这些规律,问题便可得解.
解:(1)第7个数是
-
,第8个数是
-
.
(2)第400个数是
-
.
(3)与
-
1越来越接近.
[解题策略]　注意分子、分母的排列及它们与项数之间的关系,由简单的、特殊的入手,发现规律,进一步验证后,再推广到一般.
1.2　数　轴
知道数轴的三个要素:原点、正方向和单位长度,会画数轴.
经历从现实情境抽象出数轴的过程,体会数学与现实生活的联系.
能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结
合的数学思想.
【重点】
1.认识数轴的三要素.
2.会画数轴.
【难点】　画数轴,体会数形结合思想.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习有理数的定义和有理数的分类.
导入一:
我们已经知道可以用直线上依次排列的点来表示自然数,并由此直观地反映出自然数的大小关系,那么有理数可以用直线上的点来表示吗
[设计意图]　开门见山地提出问题,联系以往知识,通过类比让学生联想怎样去表示有理数.
导入二:
在一条东西方向的马路上有一个汽车站,汽车站东3
m和7.5
m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3
m和4.8
m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
[处理方式]　理解题意,思考,并根据题意画图.教师指导,根据学生的画图情况用实物投影展示,对于作图较好的学生给予表扬.
[设计意图]　结合实例使学生以轻松愉快的心情进入本节课的学习,在生活中发现数学,感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识,同时对新知识的学习有了期待,创设问题情境,激发学生的学习热情,培养学生的学习兴趣.
　　[过渡语]　(针对导入二)怎样能把上述事物的位置、方向和距离准确地用数字表示出来呢
某市公交公司在一条东西方向的马路旁设置的站点如图所示,相邻两站点之间的距离均为2
km.
活动1　用方向和距离说明事物的位置
如果你在实验学校站点处,怎样说明其他站点的位置呢
问题思考:
(1)实验学校以东和以西有什么站点
(2)假如不看图,怎样说明才能让人明确其他站点的位置和远近
问题参考:
人民公园、新华书店分别在实验学校以西4
km和2
km处,科技馆、花园小区分别在实验学校以东2
km和4
km处.
[设计意图]　帮助学生理解确定了参照点、方向和距离才能准确说明一个事物的位置,为引入数轴三要素做认知准备.
活动2　用有理数表示事物的位置
以实验学校为参照点,并用0表示该点,规定实验学校以东的位置用正数表示,实验学校以西的位置用负数表示,以1
km为单位长度.请你在图中用有理数标出所有站点的位置.
问题提示:
(1)为什么要确定参照点 (参照点两旁的数字具有相同的性质)
(2)为什么要规定哪个方向用正数表示,哪个方向用负数表示 (只有这样规定才能用有理数进行表示)
问题参考:
人民公园、新华书店、科技馆、花园小区用有理数分别表示为
-
4,
-
2,2,4.
[设计意图]　帮助学生初步领会用有理数表示事物的位置,为进一步引出数轴的概念做准备.
活动3　自行确定零点和方向,并用有理数表示事物的位置
在实验学校东3
km处是华龙超市,实验学校西1
km处是东方商场,请你在图中标出它们的位置及其对应的有理数.
问题思考:
(1)是否需要确定零点 (需要)
(2)只确定零点就能够用有理数表示事物的位置吗 (不能)
(3)只确定方向就能用有理数表示事物的位置吗 (不能)
问题提示:
学生如果规定的正负方向不同,那么表示具体位置的有理数也不同.
[设计意图]　这个过程实际上是让学生通过生活情境体验建立数轴的过程.遵循了从具体到抽象的认知规律.
活动4　数轴的建立
　　[过渡语]　能否更简洁、直观地表示同一条直线上任意一点的位置呢
画一条水平的直线,在这条直线上任取一点作为原点,用这个点表示0,规定这条直线上的一个方向(一般取从左到右的方向)为正方向,用箭头表示,相反的方向为负方向,选取某一长度作为单位长度,就得到了如图所示的图形.
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
强调:
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可;
(2)直线一般画水平的;
(3)原点可取直线上任意一点,但一旦取定就不再改变;
(4)正方向用箭头表示,一般取从左到右.
活动5　例题讲解
　(教材例题)(1)如图所示,数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数
(2)画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:
1,
-
2,
-
3.5,2.5,0.
〔解析〕　(1)要想确定四个点的位置,需要明确数轴的原点、单位长度和正方向,这样才能从性质和数量两方面确定该点所表示的有理数.(2)画数轴表示有理数,同样需要确定原点、正方向和单位长度这三个数轴的基本要素.
解:(1)点A表示
-
4,点B表示
-
1,点C表示0,点D表示3.
(2)如图所示.
事实上,每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,也可以说,每个有理数都对应数轴上的一个点.表示正有理数的点都在原点右侧,表示负有理数的点都在原点左侧,表示0的点就是原点.
活动6　观察与思考
如图所示,在数轴上分别标出了表示4和
-
4,2.5和
-
2.5的两对点.观察并回答:
(1)每对点在原点的同侧还是异侧
(2)每对点与原点的距离具有什么关系
容易看出:表示4和
-
4的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,都是4个单位长度.表示2.5和
-
2.5的点也具有上述特点.
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
2.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度.
1.如图所示,其中数轴表示正确的是
(　　)
解析:数轴的三要素缺一不可,A项没有原点和单位长度,B项缺少单位长度,D项正方向不对,只有C项,数轴的三要素都具备.故选C.
2.数轴上原点及原点右边的点表示的数是
(　　)
A.正数　　B.负数　　C.非正数　D.非负数
解析:原点表示的数为0,原点右边的点表示的数为正数.正数和0统称为非负数.故选D.
3.在数轴上,表示
-
2和3的两点间的距离是　　　　.
解析:在数轴上,表示
-
2的点与原点的距离是2,表示3的点与原点的距离是3,所以表示
-
2和3的两点间的距离是5.故填5.
4.如图所示,某同学在做数学作业时,不小心把墨水洒在所画的数轴上,请你写出被墨水覆盖的所有整数.
解:
-
6,
-
5,
-
4,
-
3,
-
2,
-
1,2,3,4.
1.2　数　轴
活动1　用方向和距离说明事物的位置
活动2　用有理数表示事物的位置
活动3　自行确定零点和方向,并用有理数表示事物的位置
活动4　数轴的建立
活动5　例题讲解
活动6　观察与思考
一、教材作业
【必做题】
教材第10页练习第1,2题.
【选做题】
教材第10页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.以下关于
-
这个数在数轴上位置的描述,其中正确的是
(　　)
A.在
-
3的左边
B.在3的右边
C.在原点和
-
1之间
D.在
-
1的左边
2.数轴上A,B两点分别表示有理数4和
-
4,下列说法:①A,B两点在原点的两侧;②A点在B点右侧;③A点在B点左侧;④B点在原点左侧.其中正确的有
(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图所示,在数轴上点A,B,C,D表示的数正确的是
(　　)
A.点A表示
-
2.5
B.点B表示0
C.点C表示1.5
D.点D表示1.5
4.数轴上表示
-
3的点在原点的　　　　侧,与原点的距离是　　　　　　　　;+7.3在原点的　　　　侧,与原点的距离是　　　　　　　　.
5.画一条数轴,并在数轴上标出下列各数:
-
3,+1.5,
-
,0,3,5.
【能力提升】
6.如图所示,数轴上点A表示的数为
(　　)
A.30
B.50
C.60
D.80
7.在数轴上距离原点4个单位长度的点所表示的数是
(　　)
A.4
B.
-
4
C.4或
-
4
D.2或
-
2
8.指出如图所示的数轴上A,B,C,D,E各点分别表示的有理数.
【拓展探究】
9.点M表示的有理数是
-
1,点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N,则点N表示的有理数是　　　　.
10.如图所示,一只蚂蚁从原点O出发,它先向右爬了2个单位长度到达点A,再向右爬了3个单位长度到达点B,然后又向左爬了9个单位长度到达点C.
(1)写出A,B,C三点所表示的数;
(2)蚂蚁实际上是从原点出发,向什么方向爬行了几个单位长度
11.某市的西直大街是一条东西走向的马路,在这条大街上依次坐落着新华书店、青少年宫、医院.新华书店在青少年宫西边20米处,医院在青少年宫东边60米处,小明从青少年宫沿街向东走了30米,接着又向东走了
-
50米,此时小明的位置在哪
甲说:小明在医院东边80米.乙说:小明在医院西边80米.甲、乙两人无法找到统一的答案,谁也说服不了谁,作为同学的你,能够用一个简明有效的方法帮助他们解决纷争吗
【答案与解析】
1.D(解析:画出数轴,在数轴上表示出
-
3,
-
1,3及
-
即可,如图所示,可知
-
在
-
3右边,在3的左边,在
-
1的左边.故选D.)
2.C(解析:由题意知A点表示4,B点表示
-
4,所以A,B两点在原点两侧,A点在B点右侧,B点在原点左侧,即①②④是正确的.)
3.B(解析:观察数轴可知A,B,C,D各点表示的数分别为
-
1.5,0,0.5,2,所以正确的选项为B.)
4.左　3个单位长度　右　7.3个单位长度(解析:在数轴上,在原点左侧的为负数,所以数轴上表示
-
3的点在原点的左侧,与原点的距离是3个单位长度;在数轴上,在原点右侧的为正数,所以+7.3在原点的右侧,与原点的距离是7.3个单位长度.)
5.解:如图所示.
6.C(解析:表示有理数0的点与表示有理数100的点相距5个单位,则一个单位长度表示20,所以点A表示的数是60.)
7.C(解析:本题可借用数轴利用数形结合思想来解答,通过画数轴得到答案.)
8.解:由图可知,A点表示
-
4,B点表示
-
1.5,C点表示0.5,D点表示3,E点表示4.5.
9.
-
6或4(解析:有两种情况:向左移动或向右移动.点M向左移动5个单位长度后到表示
-
6的点,向右移动5个单位长度后到表示4的点.故填
-
6或4.)
10.解:(1)A点表示2,B点表示5,C点表示
-
4.　(2)蚂蚁实际上是从原点出发,向左爬行了4个单位长度.
11.解:可利用数轴解决,根据相互的位置关系来确定小明的位置.既然小明从青少年宫出发,所以可以将青少年宫确定为原点,向东确定为正方向,画出数轴如图所示:
小明先从青少年宫出发向东走了30米,此时小明到达A点,接着小明又向东走了
-
50米,表示小明又向西走了50米,此时小明在新华书店处,即在医院西边80米处.
本课时为了使学生深入理解数轴的概念,遵循了由远及近、由具体到抽象的认知规律,步步深入地引导学生认识用数轴表示有理数的可能性和必要性.为培养学生逆向思维的习惯,在练习中设置了用数轴表示有理数的环节.
用数轴表示有理数和确定数轴上的点表示的有
理数是一个问题的两个方面,在教学的过程中忽视了对这个问题的强调.
“观察与思考”的处理不能以老师的讲解为主,要以学生的积极思考、动手操作、合作交流的方式来进行.
练习(教材第10页)
1.解:点A表示
-
6,点B表示
-
3.5,点C表示1.5,点D表示5.
2.解:如图所示.
习题(教材第10页)
A组
1.解:点A表示
-
4.5,点B表示
-
2,点C表示
-
,点D表示3,点E表示5.
2.解:如图所示.
3.解:如图所示.表示每对数的点分别位于数轴上原点的两侧,且到原点的距离都相等.
B组
1.解:这个点表示的数是
-
8.
2.解:这个点表示的数是6.2或
-
6.2.
3.解:这两个数分别为
-
和,如图所示.
数轴表示有理数的直观性
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示,这包括两个方面:(1)能读出数轴上已知点所表示的数;(2)能将有理数用数轴上的点表示出来.但并不是数轴上的所有点都表示有理数.
　画数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:100,
-
100,+400,250.
〔解析〕　本题是把给定的数用数轴上的点表示出来,这体现的是由“数”到“形”的思维过程.由于
-
100,100,250,+400这些数据都比较大,所以画数轴时要根据所给定的数据,适当选择原点的位置和单位长度.此题中原点可取在较左的位置上,单位长度可取100,在数轴上把这些数表示出来.
解:如图所示:
1.3　绝对值与相反数
1.借助数轴理解绝对值和相反数的意义.
2.掌握求有理数的绝对值的方法,知道|a|的含义(这里的a表示有理数).
经历探索正数、负数及0的绝对值和相反数的过程.
通过绝对值与以往知识的联系,帮助学生用联系的观点看问题.
【重点】
1.绝对值和相反数的意义.
2.求有理数绝对值的方法.
【难点】　绝对值的意义.
【教师准备】　预设学生学习过程中可能存在的
困难.
【学生准备】　复习数轴的定义和数轴的三要素.
导入一:
两辆汽车从同一处O出发,第一辆车沿公路向东行驶了10千米,第二辆车向西行驶了10千米.10和
-
10分别表示两辆车行驶的方向(规定向东为正)和所在位置.
提出问题:
(1)它们的行驶路线相同吗 (路线不同)
(2)它们的行驶路程相等吗 (路程相等)
[设计意图]　通过学生对实际生活情境的理解,为引入绝对值的概念作准备.
导入二:
(1)如果支出50元记作
-
50元,那么收入50元记作什么
(2)如果河道中的水位比正常水位高3厘米记作+3厘米,那么比正常水位低3厘米应记作什么
[处理方式]　引导学生通过类比的方法完成两个问题的解答,然后教师总结这些问题的共同点,即实际生活中存在着许多具有相反意义的量,因此产生了正数与负数,并且像+3与
-
3这样的一对数较为特殊,从而引出新课.
[设计意图]　用正负数表示具有相反意义的量,并发现特殊的一对数,从而为本节课的学习做好铺垫.
　　[过渡语]　对于数轴上的点,如果仅仅考虑它们与原点之间的距离,就是我们将要学习的绝对值.
活动1　做一做——领悟绝对值的含义
1.绝对值的定义
学生活动:画一条数轴,在数轴上标出表示4,
-
2,0的点,并写出这些点到原点的距离.
归纳定义:在数轴上,表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
例如:表示4的点到原点的距离是4,我们就说4的绝对值是4,记作|4|=4;表示
-
2的点到原点的距离是2,我们就说
-
2的绝对值是2,记作|
-
2|=2;表示0的点到原点的距离是0,我们就说0的绝对值是0,记作|0|=0.
[设计意图]　通过学生的尝试,让学生进一步经历画数轴、描点的过程,体会数轴上表示有理数的点和原点之间的距离与这个有理数之间的关系.
2.例题讲解
　(教材例1)(1)用数轴上的点表示下列各组数:
①3,
-
3;　　②5,
-
5;　　③,
-
.
(2)观察表示上述各组数的点在数轴上的位置,写出这些数的绝对值.
〔解析〕　本题的有理数分为三组,初步观察各组之间没有相同的有理数,因此可以借助一个数轴进行表示.本题在求绝对值的时候,要强化对绝对值定义的理解,核心要点就是表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值,要区分开两个点之间的距离与绝对值的区别.
解:(1)如图所示.
(2)观察各点在数轴上的位置,得到:①|3|=3,|
-
3|=3;②|5|=5,|
-
5|=5;③,.
[设计意图]　一是巩固对绝对值概念的理解;二是为引入相反数的概念作准备.
活动2　观察与思考——总结相反数的概念
　　[过渡语]　分布在数轴上原点两侧且到原点距离相等的点对应的一对数,就是我们将要学习的相反数.
思路一
观察例1中的三组数在数轴上的位置和绝对值的大小,说说这三组数的共同特点是什么,并与同学进行交流.
像3和
-
3,5和
-
5,和
-
等这样符号不同、绝对值相等的两个数,我们称其中一个数是另一个数的相反数,这两个数互为相反数,0的相反数规定为0.
思路二
请同学们观察3与
-
3,与
-
,5与
-
5有什么相同点和不同点,完成以下问题,并与同伴交流.
如果两个数只有　　　　不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数　　　　.特别地,0的相反数是　　　　.
[设计意图]　引导学生通过自主探究、合作交流,从而对相反数的概念从感性认识上升到理性认识.
活动3　大家谈谈——相反数的表示
1.相反数的表示
(1)在知识竞赛抢答中,加20分用20表示,那么20的相反数表示的实际意义是什么 (减20分)
(2)举出三对互为相反数所代表实际意义的例子.(略)
(3)正数的相反数怎么表示 (在这个数的前面添加一个“
-
”)
(4)负数的相反数怎么表示 (在这个数的前面添加一个“
-
”)
(5)有理数a的相反数怎么表示 (表示为
-
a)
2.例题讲解
　(教材例2)化简下列各数:
-
(
-
11),
-
(+2),
-
(
-
3.75),
-
.
〔解析〕　括号内的数都是有理数,其中正有理数带着“+”号,化简的过程中可以去掉.每个有理数前面带着“
-
”号,实际就是求这个有理数的相反数.
解:因为
-
11的相反数是11,所以
-
(
-
11)=11.
因为+2的相反数是
-
2,所以
-
(+2)=
-
2.
同理,
-
(
-
3.75)=3.75,
-
=
-
.
思考:带“
-
”的数一定是负数吗 (不一定)
活动4　求一个数的绝对值
1.求一个数的绝对值
思路一
问题:
(1)一个正数的绝对值与这个数有什么关系 (相等)
(2)一个负数的绝对值与这个数有什么关系 (是其本身的相反数)
(3)0的绝对值是什么 (仍然是0)
总结:
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
数学表达:
如果用字母a表示一个有理数,那么:
当a是正数时,|a|=a;
当a=0时,|a|=0;
当a是负数时,|a|=
-
a.
由此我们可以看出,一个数的绝对值是一个非负数(不小于0的数).互为相反数的两个数的绝对值相等.
思路二
引导学生自己举例,并加以讨论:
(1)任何一个有理数都有绝对值吗 一个数的绝对值有几个 (任何有理数都有绝对值,并且是唯一的一个)
(2)有没有一个数的绝对值等于
-
2 任何一个数的绝对值一定是怎样的数 (没有绝对值是负数的数,任意一个数的绝对值总是正数或0,不可能是负数.即对任意的有理数a,总有|a|≥0)
(3)绝对值等于2的数有几个 它们是什么 (绝对值等于2的数为2和
-
2,它们互为相反数,即|2|=|
-
2|)
2.例题讲解
　(教材例3)求下列各数的绝对值:
-
,+,
-
2.5,2.5.
解:,,
|
-
2.5|=2.5,|2.5|=2.5.
[知识拓展]　由于0的绝对值是0,它既可以看作是0本身,也可以看作是0的相反数,所以绝对值是这个数本身的数包括正数和0(非负数),绝对值是这个数的相反数的数是负数和0(非正数).根据上面的规律我们还可以看出,任何一个有理数的绝对值总是正数或0(非负数),即对任意的有理数a,总有|a|≥0.
理解绝对值的几何意义和代数意义.从几何意义可知,一个数的绝对值是数轴上表示该数的点与原点的距离,因为距离不可能是负数,所以有理数的绝对值不可能是负数,从绝对值的代数定义也可进一步理解这一点.
引入绝对值的概念后,有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成,如
-
5就是由“
-
”号和它的绝对值“5”两部分组成的.
1.(2015·广东中考)|
-
2|等于
(　　)
A.2　　　B.
-
2　　　C.　　D.
-
解析:根据绝对值的意义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,可知
-
2的绝对值是2.故选A.
2.(2015·宁德中考)2015的相反数是
(　　)
A.
-
B.
-
C.2015
D.
-
2015
解析:2015和
-
2015的绝对值相等,符号不同,因此它们互为相反数.故选D.
3.(2015·咸宁中考)如图所示,检测4个足球,其中超过标准质量的克数记为正数,不足标准质量的克数记为负数,从轻重的角度看,最接近标准质量的是
(　　)
解析:本题考查了正、负数的意义和绝对值的意义,解题的关键是明确正与负的相对性和绝对值的意义.根据题意可知最接近标准质量的即是绝对值最小的数.故选C.
1.3　绝对值与相反数
活动1　做一做——领悟绝对值的含义
活动2　观察与思考——总结相反数的概念
活动3　大家谈谈——相反数的表示
活动4　求一个数的绝对值
一、教材作业
【必做题】
教材第13页练习第1,2题.
【选做题】
教材第14页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·广元中考)一个数的相反数是3,这个数是
(　　)
A.　　　B.
-
　　　C.3　　　D.
-
3
2.(2015·毕节中考)下列说法正确的是
(　　)
A.一个数的绝对值一定比0大
B.一个数的相反数一定比它本身小
C.绝对值等于它本身的数一定是正数
D.最小的正整数是1
3.(2015·镇江中考)已知一个数的绝对值是4,则这个数是　　　　.
4.五个同学在一起讨论相反数的问题:
A同学说:
-
2是相反数;
B同学说:2和
-
2都是相反数;
C同学说:
-
2是2的相反数;
D同学说:2是
-
2的相反数;
E同学说:2与
-
2互为相反数.
你认为哪些同学的说法正确 哪些同学的说法不正确 并说明理由.
【能力提升】
5.若|a|=
-
a,则实数a在数轴上的对应点一定在
(　　)
A.原点左侧
B.原点或原点左侧
C.原点右侧
D.原点或原点右侧
6.某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫,从中抽取6件进行检验,比标准直径长的毫米数记作正数,比标准直径短的毫米数记作负数,检查记录如下:
1
2
3
4
5
6
+0.5
-
0.3
+0.1
0
-
0.1
0.2
(1)哪些零件的质量相对来讲好一些 怎样用学过的绝对值知识来说明这些零件的质量好
(2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米为合格产品,则6件产品中有几件不合格产品
【拓展探究】
7.如果|a|=2,|b|=3,且a【答案与解析】
1.D(解析:根据只有符号不同的两个数互为相反数可知3和
-
3互为相反数,所以
-
3的相反数是3,即这个数是
-
3.)
2.D(解析:可直接根据绝对值、相反数的意义和有理数的分类进行判断.因为0的绝对值等于0,所以选项A和C都错,因为0的相反数是0,所以选项B也错.故选D.)
3.±4(解析:根据一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0,又因为|4|=4,|
-
4|=4,所以这个数是±4.)
4.解:C,D,E三位同学的说法正确,A,B两位同学的说法不正确.理由如下:相反数表示两个数的相互关系,是成对出现的,不能单独存在.
5.B(解析:根据|a|=
-
a可知a一定是非正数,所以实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧.故选B.)
6.解:(1)第3件、第4件、第5件的质量相对来讲好一些.比较记录数字的绝对值,绝对值越小的越接近标准尺寸,所以绝对值较小的相对来讲质量好一些.　(2)有2件产品不合格,分别是第1件和第2件.
7.解:如果|a|=2,|b|=3,那么a=±2,b=±3.又a-
2,b=3.
绝对值和相反数是有理数学习的两个核心概念.在概念得出的过程中,采取探索引领的策略,让相关定义呼之欲出,同时配以例题的讲解,深化巩固了学生对概念的理解.
在例题的处理过程中,对学生的自主探究、合作交流的关注度有待提高,要更大胆地把问题交给学生自主去完成.
本课时的知识内容较多,应该注重练习,强化学生对知识的巩固.在本课时的三个例题处理之后,增设一定量的简单练习,或者通过教材的习题进行巩固训练.
练习(教材第13页)
1.解:,|7.5|=7.5,|
-
2.8|=2.8,,|+2|=2.
2.(1)
-
5.7　(2)4　(3)
-
　(4)
-
0.01
3.解:(1)不正确.因为0的绝对值是0,0既不是正数,也不是负数.　(2)不正确.因为这两个数还可能互为相反数.　(3)正确.因为负数的绝对值等于它的相反数.　(4)正确.因为1和
-
1的绝对值都等于1.
习题(教材第14页)
A组
1.解:点A表示的数是
-
4.5,|
-
4.5|=4.5;点B表示的数是
-
2,|
-
2|=2;点C表示的数是0,|0|=0;点D表示的数是2,|2|=2.
2.解:|
-
4|=4,|
-
3.2|=3.2,,,|
-
3.14|=3.14.
3.解:
-
5的相反数是5,13的相反数是
-
13,0的相反数是0,3的相反数是
-
3,
-
(+1.35)的相反数是1.35.
4.解:绝对值等于4的数是4和
-
4,因为该点在原点的左侧,所以该点表示的数是负数,所以这个数是
-
4.
B组
1.解:(1)正确.　(2)不正确.　(3)正确.
2.解:
-
(+5)=
-
5,
-
(
-
17)=17,+(+1.2)=1.2,+=
-
.
3.解:(1)这个正数是7.2.　(2)这个负数是
-
24.　(3)绝对值等于的数是或
-
.
绝对值和相反数的概念的教学是一个重点,同时也是教学的难点.在教学时要以数轴为工具,对照绝对值的意义来加深对相反数概念的理解,同时可向学生布置一些简单的练习,以巩固和强化学生对绝对值和相反数概念的理解.在教学过程中要进一步强化数形结合思想,培养学生这方面的意识.
1.4　有理数的大小
掌握有理数大小比较的法则,会运用法则进行有理数大小的比较.
让学生经历有理数大小比较法则的获得过程,帮助学生积累数学活动经验.
初步培养学生的数形结合思想,分享合作交流带来的学习乐趣.
【重点】　有理数大小比较的法则,会运用法则进行有理数大小的比较.
【难点】　概括、总结有理数大小的比较法则.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习绝对值的概念.
导入一:
我们已经会比较两个正数的大小及正数与0的大小,那么在有理数范围内,怎样比较两个数的大小呢
[设计意图]　开门见山地提出问题,直接引入本课时的学习,有利于学生注意力的集中.
导入二:
某一天我国5个城市的最低气温如图所示:
(1)从图中你获得了哪些信息
(2)你能按照气温由低到高排列这五个城市的最低气温吗
[设计意图]　以学生熟悉的气温作为问题背景,提出问题,通过生活实际进行猜想,进而帮助学生领会有理数大小的比较法则.
　　[过渡语]　自然数、小数和分数都可以比较大小,有理数也可以比较大小吗
活动1　用数轴比较有理数的大小
1.某地某一天中4个不同时刻的气温分别是
-
3
℃,
-
5
℃,4
℃,0
℃.
(1)请你按照由低到高的顺序把不同时刻的气温排列出来.
(2)4个不同时刻的气温在温度计上对应的位置有什么规律
分析:根据生活经验,学生对上述表示气温的数字的含义是理解的,能按照温度的高低正确做出排序,但此时学生还不能上升到法则的高度去比较有理数的大小,所以仍然需要去引导学生进行深入的思考.
问题:
(1)上述四个温度中,哪个温度最高 哪个温度最低 (4
℃温度最高,
-
5
℃温度最低)
(2)温度计中,温度刻度的排列规律是怎样的 (越往上温度越高,越往下温度越低)
2.把有理数
-
3,
-
5,4,0表示在数轴(如图所示)上.这些数的大小与它们在数轴上所表示的点的位置有什么关系
结论:这些数由小到大排列时,在数轴上所表示的点的位置依次从左到右排列.
思考:
(1)在数轴上表示的两个数,是右边的大还是左边的大 (右边的大)
(2)在数轴上表示的数,是原点左边的数大还是原点右边的数大 (原点右边的数大)
(3)正数、0和负数,这三类数的大小关系是怎样的 (正数大于0,0大于负数)
总结:
一般地,我们有:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
　(教材例1)在数轴上表示3.5,
-
1,0,并将它们按从小到大的顺序用“<”连接起来.
〔解析〕　比较有理数的大小,实际上是根据它们在数轴上的左右位置关系进行判断的.按由小到大的顺序排列,也就是按它们在数轴上从左到右的位置关系排列.
解:把3.5,
-
1,0在数轴上表示出来,如图所示.
将它们按从小到大的顺序排列为:
-
1<0<3.5.
活动2　两个负数的大小比较
　　[过渡语]　不借助于数轴,怎样比较有理数的大小
1.做一做
(1)在数轴上表示
-
2,
-
3,并用“<”把这两个数连接起来.(
-
3<
-
2)
(2)求
-
2,
-
3的绝对值,并用“>”把这两个数的绝对值连接起来.(|
-
2|=2,|
-
3|=3,|
-
3|>|
-
2|.)
[设计意图]　巩固所学知识,体会两个负数的大小与它们绝对值大小之间的关系.
思考:
两个负数的大小与它们绝对值的大小有什么关系
总结:
两个负数的大小与它们的绝对值有以下关系:两个负数,绝对值大的反而小.
2.大家谈谈
请以“规定高于海平面为正,低于海平面为负”为背景,谈谈你对下列结论的理解:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
(2)两个负数,绝对值大的反而小.
理解:(1)正数大于0,相当于海平面以上的高度高于海平面;0大于负数,相当于海平面高于海平面以下;正数大于负数,相当于海平面以上的高度高于海平面以下.
(2)低于海平面的距离越远,所代表的深度就越大.
[设计意图]　将比较有理数大小的法则通过生活中的实际问题让学生体验,达到巩固知识、深化理解的目的,体会数学的价值.
3.例题讲解
　(教材例2)比较下列各组中两个数的大小:
(1)0和
-
6;(2)3和
-
4.4;(3)
-
和
-
.
〔解析〕　比较有理数大小的法则是借助于数轴得出的,但在实际比较的过程中,往往不需要直接借助于数轴,根据有理数大小的比较法则,直接得出比较的结论即可.
解:(1)0>
-
6(0大于负数).
(2)3>
-
4.4(正数大于负数).
(3)因为,,,所以
-
>
-
.
[知识拓展]　理解两个负数大小的比较要注意:绝对值大,说明离原点远,而负数在原点左边,数轴上的点表示的数是“左小右大”,所以绝对值大的负数反而小.
1.比较有理数的大小
数轴比较法:在数轴上右边的数比左边的数大.
法则比较法:(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数.(2)两个负数,绝对值大的反而小.
2.比较两个负数的步骤
(1)先分别求出两个负数的绝对值;
(2)比较两个绝对值的大小;
(3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断.
1.(2015·三明中考)下列各数中,绝对值最大的数是
(　　)
A.5　　
　B.
-
3　　
　C.0　
　　D.
-
2
解析:先求出各数的绝对值,再比较它们的大小.因为|5|=5,|
-
3|=3,|0|=0,|
-
2|=2,而5>3>2>0,所以绝对值最大的数是5.故选A.
2.(2015·沈阳中考)比0大的数是
(　　)
A.
-
2
B.
-
C.
-
0.5
D.1
解析:本题考查了有理数比较大小的法则,解题的关键是掌握比较有理数大小的方法,根据正数大于0,负数小于0,正数大于负数进行判断即可.由正数大于0,负数小于0可知比0大的数是1.故选D.
3.(2015·呼和浩特中考)以下四个选项表示某天四个城市的平均气温,其中平均气温最低的是(　　)
A.
-
3
℃
B.15
℃
C.
-
10
℃
D.
-
1
℃
解析:根据“正数大于0,负数小于0,两个负数,绝对值大的反而小”进行比较,先找出其中的负数,再通过比较其绝对值来比较负数的大小.
-
10<
-
3<
-
1<15,所以最低平均气温是
-
10
℃.故选C.
4.比较大小:
-
　　　　
-
.(填“>”“<”或“=”)
解析:分别化简两数,可知
-
=
-
,
-
=
-
,这是两个负数,因为,,且,所以
-
>
-
,即
-
>
-
.故填>.
1.4　有理数的大小
活动1　用数轴比较有理数的大小
活动2　两个负数的大小比较
一、教材作业
【必做题】
教材第16页练习第1,2题.
【选做题】
教材第17页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·随州中考)在
-
1,
-
2,0,1四个数中最小的数是
(　　)
A.
-
1　　　B.
-
2　　　C.0　　　D.1
2.(2015·安徽中考)在
-
4,2,
-
1,3这四个数中,比
-
2小的数是
(　　)
A.
-
4
B.2
C.
-
1
D.3
3.下列各式中正确的是
(　　)
A.
-
|
-
5|>0
B.|0.125|>
C.
-
>
-
D.|
-
2|>0
4.(2015·崇左中考)比较大小:0　　　　
-
2(填“>”“<”或“=”).
5.动物王国里举办了一场乌龟与兔子的竞走比赛,所走路线及方向如图所示,在同一时间内,兔子向西走了20
m,乌龟向东走了1
m,狐狸宣布乌龟获胜,其理由是:向西为负,向东为正,根据正数大于一切负数,所以有+1>
-
20,表明同一时间里乌龟的路程大于兔子的路程.你认为狐狸的说法有道理吗 说说你的意见。
【能力提升】
6.下列说法不正确的是
(　　)
A.数轴上的两个有理数,绝对值大的离原点远
B.数轴上的两个有理数,大的在左边
C.数轴上的两个负有理数,大的离原点近
D.数轴上的两个正有理数,大的离原点远
7.(2015·丽水中考)数
-
3,2,0,3中,大小在
-
1和2之间的数是
(　　)
A.
-
3
B.2
C.0
D.3
8.如果a<0,b<0,且|a|>|b|,那么a,b的大小关系是　　　　.
9.比较大小:(1)
-
与
-
;
(2)
-
与
-
.
【拓展探究】
10.(2015·菏泽中考)如图所示,有四个有理数在数轴上的对应点M,P,N,Q,若点M,N表示的有理数互为相反数,则图中表示绝对值最小的数的点是
(　　)
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
11.先将下列各数化简,并在数轴上标出表示下列各数以及它们的相反数的点,并用“<”把它们及其相反数连接起来.
-
|
-
1.8|,|
-
2.5|,0,
-
(+|
-
2|).
12.某工厂生产一批螺帽,根据产品的质量要求,螺帽的内径可以有0.02毫米的误差,抽查5只螺帽,超过规定内径的毫米数记作正数,不足规定内径的毫米数记作负数,检查结果如下表:
0.030
-
0.018
+0.026
-
0.025
+0.015
用学过的绝对值的知识来解答以下两个问题:
(1)指出哪些产品是合乎要求的(即在误差范围内的);
(2)指出合乎要求的产品中哪个质量好些(即质量最接近规定的质量).
【答案与解析】
1.B(解析:有理数中,正数都大于0,负数都小于0,两个负数绝对值大的反而小.所以
-
2<
-
1<0<1,所以最小的数是
-
2.)
2.A(解析:由于在数轴上表示
-
4的点在表示
-
2的点的左边,所以
-
4<
-
2.)
3.D(解析:A.
-
|
-
5|=
-
5,因为
-
5<0,所以错误;B.|0.125|=,所以错误;C.因为,所以
-
<
-
,所以错误;D.|
-
2|=2,2>0,所以正确.)
4.>(解析:因为负数都小于0,所以0>
-
2.)
5.解:狐狸说的没有道理.因为路程应该是非负数,此时应该比较+1和
-
20的绝对值的大小,|+1|<|
-
20|,所以兔子的路程大于乌龟的路程,所以兔子获胜.
6.B
7.C(解析:将数
-
3,2,0,3和
-
1按从小到大的顺序排列为
-
3,
-
1,0,2,3,其中大小在
-
1和2之间的数只有0.)
8.a|b|的条件,根据“两个负数,绝对值大的反而小”可知a9.解:(1)分别化简,得
-
,
-
=
-
.因为正数大于一切负数,所以>
-
,所以
-
>
-
.　(2)分别化简两数,得
-
=
-
,
-
=
-
.因为,,且,所以
-
<
-
,即
-
<
-
.
10.C(解析:先根据相反数的概念确定原点的位置,再根据点的位置确定绝对值最小的数即可.因为点M,N表示的有理数互为相反数,所以原点的位置如图所示.点M,N,P,Q中,与原点距离最小的点是点P,所以表示绝对值最小的数的点是点P.故选C.)
11.解:
-
|
-
1.8|=
-
1.8,|
-
2.5|=2.5,
-
(+|
-
2|)=
-
2,所以
-
|
-
1.8|的相反数是1.8,|
-
2.5|的相反数是
-
2.5,
-
(+|
-
2|)的相反数是2,0的相反数是0,在数轴上表示各数及其相反数如图所示:
用“<”连接为:
-
2.5<
-
(+|
-
2|)<
-
|
-
1.8|<0<1.8<2<|
-
2.5|.
12.解:(1)因为|
-
0.018|=0.018<0.02,|+0.015|=0.015<0.02,所以误差为
-
0.018毫米及+0.015毫米的这两只螺帽合乎要求.　(2)因为|+0.015|<|
-
0.018|,所以内径毫米数的误差为+0.015的这只螺帽质量好一些.
有理数的比较大小是数的比较的延伸,借助数轴比较大小和以往数的比较大小具有相似之处,都是建立在生活实际意义基础上的.本课时的教学过程紧紧围绕数轴这个数学模型,借助数轴帮助学生深刻领会了有理数大小的比较法则.
在负数比较大小的过程中,忽略了让学生总结
比较有理数大小的两种基本方法.
在负数比较大小的过程中,增加学生游戏的过程,比如一个学生说出一个负数,让另一个学生说出比这个数小或者比这个数大的数,活跃课堂气氛,深化学生对有理数大小比较法则的灵活运用.
练习(教材第16页)
1.解:如图所示.>0.5>0>
-
>
-
5>
-
8.
2.(1)>　(2)>　(3)<　(4)=　(5)<　(6)>
3.解:(1)0>
-
1.　(2)3>
-
4.　(3)
-
<
-
.
　(4)
-
>
-
.
习题(教材第17页)
A组
1.解:如图所示.
-
4<
-
1<
-
<
-
0.45<0<3.2.
2.解:(1)3>
-
2.　(2)0>
-
9.　(3)
-
4>
-
7.　(4)
-
<
-
.
3.提示:左图按照从小到大的顺序依次用线段连接之后的图形像一条鱼,右图像一只小鸟.
4.(1)没有.　(2)有,是
-
1.　(3)有,是1.　(4)没有.
B组
1.解:(1)
-
>+.　(2)
-
-
>
-
.
2.解:
-
29
℃<
-
19
℃<
-
8
℃<0
℃<13
℃.
3.解:(1)
-
2,
-
1,0,1,2.　(2)
-
2,
-
1.
　把下列各数在数轴上表示出来,并按从小到大的顺序用“<”把它们连接起来:
-
4,0,
-
|
-
7|,
-
(
-
1),
-
(
-
3).
〔解析〕　把各数在数轴上表示出来,根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可把它们按从小到
大的顺序用“<”连接起来.
解:
-
|
-
7|=
-
7,
-
(
-
1)=1,
-
(
-
3)=3.
在数轴上表示各数如图所示:
把它们按从小到大的顺序用“<”连接起来为:
-
|
-
7|<
-
4<0<
-
(
-
1)<
-
(
-
3).
1.5　有理数的加法
理解有理数加法运算法则,掌握有理数加法的计算方法.
1.经历有理数加法法则的获得过程,掌握有理数的加法运算.
2.经历有理数加法运算律的归纳、概括过程,能运用运算律简化运算.
能运用有理数的加法运算解决简单的实际问题,体会数学与现实世界的密切联系,增强应用意识.
【重点】
1.有理数的加法法则.
2.利用有理数的加法法则进行简单运算.
【难点】　有理数的加法法则.
第课时
1.理解有理数的加法法则.
2.利用有理数加法法则进行简单的计算.
3.利用有理数加法法则解决简单的问题.
通过具体的情境感受有理数加法的运算法则.
培养学生的抽象概括能力和热爱数学的情感,体验数字、符号是有效描述现实世界的重要手段.
【重点】
1.理解有理数加法的运算法则.
2.运用有理数加法法则进行运算.
【难点】　理解有理数的加法法则.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习有理数大小的比较法则.
导入一:
一个物体做左右方向的运动,我们规定向右为正,向左为负.如图所示,向右运动5
m记作5
m,向左运动5
m记作
-
5
m.如果物体先向右运动5
m,再向右运动3
m,那么两次运动的结果是什么 可以用怎样的算式表示
[设计意图]　给出类似教材观察与思考的情境,帮助学生从实际意义探求有理数的加法法则.
导入二:
动物王国举办运动会,蚂蚁当火炬手,它第一次从数轴上的原点向正方向跑一个单位,接着又向负方向跑一个单位.蚂蚁经过两次运动后在哪里
让学生列出算式,并结合数轴得出结果.教师适时点拨、引导、肯定.
1+(
-
1)=0.
提问:8+(
-
8),(
-
3.5)+(+3.5)这两个算式的结果是多少呢 如何用上面的例子来解释
[设计意图]　创造一种轻松的学习氛围,体现了数学源于生活,体会学习有理数加法的必要性,激发学生探究新知的兴趣.
导入三:
某班举行知识竞赛,评分标准是:答对一道题加1分,记作“+1”分;答错一道题减1分,记作“
-
1”分;不回答得0分.每个队的基本分均为0分.
想想看,如果某个队:
(1)答对1道题,又答错1道题,那么他们的得分是多少
(2)答对3道题,又答错2道题,那么他们的得分是多少
(3)答对2道题,又答错3道题,那么他们的得分是多少
[设计意图]　从学生熟悉的生活情境出发,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,使学生快速进入学习状态.
　　[过渡语]　引入负数后,数的范围扩大了.如何在有理数范围内进行加法运算呢
活动1　有理数的加法法则
思路一
在操场上,小亮操纵遥控车模沿东西方向做定向行驶练习,每回接连行驶两次.规定初始位置为0,向东行驶为正,向西行驶为负.车模每回的行驶情况、数轴表示及运动结果如下表所示.
行驶情况
数轴表示
运动结果
先向东行驶3
m,再向东行驶2
m
向东行驶了5
m
先向西行驶3
m,再向西行驶2
m
向　　行驶了　　m
先向东行驶3
m,再向西行驶3
m
初始位置
先向东行驶5
m,再向西行驶2
m
向东行驶了3
m
先向西行驶5
m,再向东行驶2
m
向　　行驶了　　m
先向西行驶5
m,然后停止不动
向西行驶了5
m
观察上表,完成下列问题:
(1)完成表格中的填空.(从上到下依次为:西,5;西,3)
(2)请将车模每次行驶和运动结果的情况用有理数表示出来.
第一次运动
第二次运动
运动结果
1
+3
+2
+5
2
-
3
-
2
-
5
3
+3
-
3
0
4
+5
-
2
+3
5
-
5
+2
-
3
6
-
5
0
-
5
　　(3)接连两次行驶的运动结果能用算式表示吗 如果能,应怎样表示
事实上,求接连两次行驶的运动结果,用加法.按照上面对“正”“负”的规定,“向东行驶3
m,再向东行驶2
m,运动结果是向东行驶了5
m”,用算式表示就是
(+3)　　+　　(+2)　　=　　+5.
　


(向东行驶3
m)(向东行驶2
m)(向东行驶了5
m)
“向西行驶3
m,再向西行驶2
m,运动结果是向西行驶了5
m”,用算式表示就是
(
-
3)　　+　　(
-
2)　　=　　
-
5.
　


(向西行驶3
m)(向西行驶2
m)(向西行驶了5
m)
类似地,另外四回运动的结果可用算式表示为:
(+3)+(
-
3)=0;　　(+5)+(
-
2)=+3;
(
-
5)+(+2)=
-
3;
(
-
5)+0=
-
5.
问题:
(1)两个正数相加,怎样确定和的符号与和的绝对值
(2)两个负数相加,怎样确定和的符号与和的绝对值
(3)一个正数与一个负数相加,怎样确定和的符号与和的绝对值
(4)一个数同0相加,和等于什么
[设计意图]　通过上面的问题和算式,引导学生发现和的符号与加数的符号、和的绝对值与加数的绝对值之间的关系.
总结有理数加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加,仍得这个数.
思路二
海上钻井平台每天都要记录潮汐涨落的情况,假设海水初始水位记为0米,海水上升记为正,下降记为负.
(1)海水上升2米,又上升了3米,共上升了几米
海水上升2米记作+2米,上升3米记作+3米.求两次共上升几米,就是求+2与+3的和.由图(1)可以看出,共上升了5米,用算式表示就是:
(+2)+(+3)=+5.
(2)海水下降2米,又下降了3米,共下降了几米
海水下降2米记作
-
2米,下降3米记作
-
3米,求两次共下降几米,就是求
-
2与
-
3的和,由图(2)可以看出,共下降了5米,用算式表示就是:
(
-
2)+(
-
3)=
-
5.
(3)海水上升2米,又下降了3米,共上升了几米
由图(3)可以看出,共下降了1米,用算式表示就是:
(+2)+(
-
3)=
-
1.
(4)海水下降2米,又上升了3米,共上升了几米
由图(4)可以看出,共上升了1米,用算式表示就是:
(
-
2)+(+3)=+1.
(5)海水下降3米,又上升了3米,共上升了几米
由图(5)可以看出,共上升了0米,用算式表示就是:
(
-
3)+(+3)=0.
(6)海水下降3米,又上升了0米,共下降了几米
由图(6)可以看出,共下降了3米,用算式表示就是:
(
-
3)+0=
-
3.
[设计意图]　情境(1)(2)是同号两数相加;情境(3)(4)(5)为异号两数相加;情境(6)为一个加数与0相加.由(1)~(6)的结果,引导学生初步感受两个有理数的和与两个加数在符号与绝对值方面的关系.
总结有理数加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
异号两数相加,绝对值相等时和为0;绝对值不相等时,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
一个数同0相加,仍得这个数.
活动2　例题讲解
　(教材例1)计算:
(1)(+8)+(+5);
(2)(+2.5)+(
-
2.5);
(3);
(4).
〔解析〕　本例题的四个小题,包括了有理数相加的四种情况:同是正数;同是负数;一正一负且绝对值相同;一正一负且绝对值不同.按照有理数加法法则进行计算.
解:(1)(+8)+(+5)
=+(8+5)(同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加)
=+13.
(2)(+2.5)+(
-
2.5)
=0.(异号两数相加,绝对值相等,和为0)
(3)
=+(异号两数相加,绝对值不相等,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值)
=+.
(4)
=
-
(同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加)
=
-
.
　　[过渡语]　利用有理数相加的法则,能否解决一些实际问题呢
　(教材例2)如图所示,海平面的高度为0
m.一艘潜艇从海平面先下潜40
m,再上升15
m.求现在这艘潜艇相对于海平面的位置.(上升为正,下潜为负)
〔解析〕　本题首先要清楚对上升和下潜正负的规定,根据规定才能准确理解潜艇潜水深度变化的实际意义,进而用有理数表示出潜艇的深度变化.
解:潜艇下潜40
m,记作
-
40
m;上升15
m,记作+15
m.根据题意,得
(
-
40)+(+15)
=
-
(40
-
15)
=
-
25(m).
答:现在这艘潜艇位于海平面下25
m处.
[知识拓展]　有理数的加法法则:
(1)互为相反数的两个数相加得0;反之,如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数.
(2)由有理数的加法法则可以看出:①若a>0,b>0,则a+b=+(|a|+|b|)>0.②若a<0,b>0,且|a|>|b|,则a+b=
-
(|a|
-
|b|)<0.③若a>0,b<0,且|a|>|b|,则a+b=+(|a|
-
|b|)>0.④若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b=
-
(|b|
-
|a|)<0.⑤若a>0,b<0,且|a|=|b|,则a+b=0.
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
2.异号两数相加,绝对值相等,和为0(互为相反数的两个数相加得0).
3.异号两数相加,绝对值不相等,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
4.一个数同0相加,仍得这个数.
1.计算(
-
3)+4的结果是
(　　)
A.
-
7　　　B.
-
1　　　C.1　　　D.7
解析:根据异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值可得原式=+(4
-
3)=1.故选C.
2.已知两个数的和为正数,下列说法正确的是
(　　)
A.两个加数都必须为正数
B.两个加数都是负数
C.两个加数至少有一个为正数
D.两个加数一正一负
解析:若两个数的和为正数,则这两个数都是正数或一正一负且正数的绝对值较大,或是一个正数与0,即两个加数中至少有一个为正数.故选C.
3.计算:(1)(
-
5)+(
-
2);
(2)(+4)+(
-
6);
(3)+2;
(4)(
-
3.5)+0.
解:(1)(
-
5)+(
-
2)=
-
(5+2)=
-
7.
(2)(+4)+(
-
6)=
-
(6
-
4)=
-
2.
(3)+2=0.
(4)(
-
3.5)+0=
-
3.5.
第1课时
活动1　有理数的加法法则
活动2　例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第22页练习第1,2题.
【选做题】
教材第22页习题A组第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.
-
3+(
-
5)的结果是
(　　)
A.
-
2　　　B.
-
8　　　C.8　　　D.2
2.下列计算过程正确的是
(　　)
A.100+(
-
70)=
-
(100+70)=
-
30
B.0+(
-
4)=0
C.(
-
7)+(
-
8)=
-
15
D.(
-
18)+(
-
20)=
-
(20
-
18)=
-
2
3.下列说法中正确的是
(　　)
A.两个负数相加就是把它们的绝对值相加
B.正数加负数,和为0
C.两个正数相加,和为正数;两个负数相加,和为负数
D.两个有理数相加等于把它们的绝对值相加
4.上升10米,再上升
-
3米,则共上升了米.
5.计算:(1)(+18)+(
-
11);
(2)(
-
3.25)+2.36;
(3);
(4)+3.5.
【能力提升】
6.1,
-
1,
-
2这三个数中,任意两数之和的最大值是
(　　)
A.
-
1
B.0
C.
-
3
D.3
7.下列运算正确的有
(　　)
①(
-
4)+(
-
5)=9;
②=
-
;
③0+(
-
2015)=
-
2015;
④=0;
⑤(
-
2015)+(+2016)=
-
1.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
8.若x的相反数是3,|y|=5,则x+y的值为
(　　)
A.
-
8
B.8
C.
-
2
D.
-
8或2
9.在一次智力竞赛中,主持人出了这样一道题目:“a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,则a,b,c三数之和是什么 ”你能回答主持人的问题吗 其和应为　　　　.
【拓展探究】
10.下列说法正确的是
(　　)
A.两个正数相加,和为正数,两个负数相加,和为负数
B.两个有理数相加,和不可能小于每一个加数
C.两个非零有理数相加,和一定不是0
D.两个有理数相加,和为负数时,这两个有理数都是负数
11.若|x|=5,|y|=7,则|x+y|的值为　　　　.
12.下表给出的是某中学九年级5班6名学生的身高与他们平均身高的差值(单位:厘米):
姓名
苏明
杜清
路广
宋瑞
刘军
李杰
身高与平均身高的差值
-
3.5
-
0.5
-
2.5
+1.5
+1.5
+3.5
已知该6名学生的平均身高为169.5厘米.
(1)试比较这6名学生谁最高,谁最矮;
(2)最高与最矮学生的身高和为多少
【答案与解析】
1.B(解析:根据同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加,可得原式=
-
(3+5)=
-
8.)
2.C(解析:A.原式=100
-
70=30;B.原式=
-
4;D.原式=
-
(20+18)=
-
38.)
3.C(解析:A项错,两个负数相加,应先确定结果的符号为负号,再把绝对值相加;B项错,正数加负数,只有它们互为相反数时和才为0;D项错,两个有理数相加,应先确定结果的符号,同号时,取相同的符号,它们的绝对值的和作为结果的绝对值;异号时,取绝对值较大的数的符号,用较大的绝对值减去较小的绝对值作为结果的绝对值.)
4.7(解析:10+(
-
3)=7(米).故填7.)
5.解:(1)(+18)+(
-
11)=+(18
-
11)=7.　(2)(
-
3.25)+2.36=
-
(3.25
-
2.36)=
-
0.89.
(3)=
-
5.　(4)
-
4+3.5=
-
=
-
1.
6.B(解析:因为1+(
-
1)=0,1+(
-
2)=
-
1,(
-
1)+(
-
2)=
-
3,所以任意两数之和的最大值是0.)
7.D(解析:①同号两数相加,取相同的符号,结果应为
-
9,错误;②正确;③任何数同0相加,仍得这个数,正确;④互为相反数的两个数的和为0,正确;⑤错,应等于1.)
8.D(解析:由题意知x=
-
3,y=±5,所以x+y=
-
3+(+5)=2或
-
3+(
-
5)=
-
8.故选D.)
9.0(解析:最小的正整数是1,所以a=1;最大的负整数是
-
1,所以b=
-
1;绝对值最小的有理数是0,所以c=0,所以a+b+c=1+(
-
1)+0=0.)
10.A(解析:B.反例:
-
2+(
-
3)=
-
5;C.反例:
-
2+2=0;D.反例:
-
2+0=
-
2.故选A.)
11.12或2(解析:由题意得x=±5,y=±7,则|x+y|=|5+7|=12或|(
-
5)+7|=2或|+5+(
-
7)|=2或|(
-
5)+(
-
7)|=12.)
12.解:(1)因为+3.5>+1.5,|
-
3.5|>|
-
2.5|>|
-
0.5|,所以李杰最高,苏明最矮.　(2)李杰身高为169.5+(+3.5)=173(厘米),苏明身高为169.5+(
-
3.5)=166(厘米),他们的身高和为166+173=339(厘米).
采用以学生为学习主体,教师为主导的方式进行合作探究的教学方法.通过教材问题情境,提供开展自主合作交流的学习背景,在教师的引导下,学生能对有理数的加法法则进行探究.学生积极思考问题,大部分会主动参与讨论,敢于发表自己的见解.学生能多样化理解有理数的加法法则,并运用类比、数形结合等手段形象具体地理解有理数的加法法则.
在探求有理数加法法则的过程中,忽略了让学生自己先总结的过程,老师直接总结了有理数加法法则,没有做到恰到好处的处理.
课堂上既要培养学生的计算能力,又要让学生在练习中不断总结计算技巧.练习题的设计还应贴近现实生活,进一步做全面设计.
练习(教材第22页)
1.提示:(1)
-
14.　(2)0.　(3)
-
2.　(4)
-
.　(5)
-
99.　(6)
-
.
2.解:不一定.如一个数同0相加,仍得这个数;两个负数相加,和小于每个加数.
习题(教材第22页)
A组
1.提示:(1)
-
7.　(2)
-
4.　(3)
-
6.　(4)11.
(5)
-
.　(6)
-
.
2.解:规定上升为正,下降为负,(+1000)+(
-
150)=+(1000
-
150)=+850(m).答:热气球实际上升了850
m.
B组
1.解:(
-
15)+(+8)=
-
(15
-
8)=
-
7(cm).答:这两天水位下降了7
cm.
2.解:这两个点表示的数分别为
-
2,3或2,
-
3,所以这两个点表示的有理数的和是1或
-
1.
同号两数相加的法则学生易理解,难点是异号两数相加,教学时要注意以下几点:
(1)学生在小学阶段的学习和前面正数、负数、数轴、绝对值的学习为本节课提供了学习的前提,要注意这方面知识的复习与巩固.
(2)七年级学生已经具备一定的合作与交流的能力,利用学生的好奇心,采用生动形象的事例,让学生主动探索,合作学习,发现有理数加法的不同形式的解释方法,从中获取成功体验,实现本节课的教学目标.
(3)注重范例讲解和随堂练习,这是学生强化理解法则、正确运用法则的有效方法.范例讲解时应引导学生步步说理,随堂练习时应引导学生通过自我反省来避免解题时的错误,必要时教师应给予规范矫正.
第课时
1.正确理解加法交换律、结合律,能用字母表示运算律的内容.
2.进一步掌握有理数的加法运算法则,理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性.
3.学会把知识运用于实践,灵活、合理地运用加法运算律简化运算.
1.经历有理数加法运算律的探索,概括出有理数加法仍满足加法交换律和结合律.
2.通过学生主动参与探索有理数加法运算律的数学活动,体会观察、试验、归纳、推理等活动在数学学习中的作用.
通过思考、观察、比较等活动体验数学的创新思维和发散思维,激发学生的学习兴趣.
【重点】
1.理解加法交换律、结合律的内容,运用运算律进行加法运算.
2.运用有理数的加法解决问题.
【难点】　运用有理数的加法解决问题.
【教师准备】　多媒体课件.
【学生准备】　复习有理数加法法则.
导入一:
计算下列各题:
(1)(
-
8)+(
-
9),(
-
9)+(
-
8);
(2)4+(
-
7),(
-
7)+4;;
(3)[2+(
-
3)]+(
-
8),2+[(
-
3)+(
-
8)];
(4)[10+(
-
10)]+(
-
5),10+[(
-
10)+(
-
5)].
通过计算上面的题目,你有什么发现
[设计意图]　在回答问题的过程中,选择不同程度的学生来回答.一是为了检查学生对上节课知识掌握的情况,二是为了培养大部分学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也是为新课的学习做铺垫.
导入二:
在小学阶段,我们知道,数的加法满足交换律,例如:8+4.5=4.5+8;还满足结合律,例如:(8+4.5)+5.5=8+(4.5+5.5).引进负数以后,这些运算律是否仍然成立呢
[设计意图]　从学生在小学学过的加法运算律直接引入,让学生带着问题去探究,引起学生的学习兴趣.因为到初中数的范围扩展到负数,那么加法运算律对于有理数是否仍然成立,学生一定会很好奇,所以一定会有急切盼望得到答案的欲望.
　　[过渡语]　在小学学过的加法运算律,在有理数的范围内是否仍然成立呢
活动1　有理数加法运算律
思路一
1.计算:
(1)5+(
-
13)=　　　　,(
-
13)+5=　　　　;(
-
8,
-
8)
(2)(
-
4)+(
-
8)=　　　　,(
-
8)+(
-
4)=　　　　.(
-
12,
-
12)
2.计算:
(1)[3+(
-
8)]+(
-
4)=　　　　,3+[(
-
8)+(
-
4)]=　　　　;(
-
9,
-
9)
(2)[(
-
6)+(
-
12)]+15=　　　　,(
-
6)+[(
-
12)+15]=　　　　.(
-
3,
-
3)
问题思考:
(1)每组小题的两个算式的结果有什么特点
(2)每组小题的两个算式本身有什么特点
(3)你还记得小学学过的加法交换律和结合律吗
(4)通过上面的计算,你认为有理数的加法仍满足交换律和结合律吗
[设计意图]　通过观察计算结果和算式特点,让学生概括有理数的加法运算律.
3.总结:
加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变,即a+b=b+a.
加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).
思路二
1.有理数加法交换律
计算:
(1)5+(
-
13)=　　　　,(
-
13)+5=　　　　;(
-
8,
-
8)
(2)(
-
4)+(
-
8)=　　　　,(
-
8)+(
-
4)=　　　　.(
-
12,
-
12)
问题:每组小题中,两次运算所得的结果相同吗 换几个加数再试一试.
讨论:由以上运算,你可以总结出什么
归纳:加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变.
提问:如果用a,b表示这两个有理数,你能用式子表示出有理数的加法交换律吗 (加法交换律:a+b=b+a)
[设计意图]　学生通过观察、比较、讨论与归纳,感受加法运算律的意义与作用.
2.有理数加法结合律
计算:
(1)[3+(
-
8)]+(
-
4)=　　　　,3+[(
-
8)+(
-
4)]=　　　　;(
-
9,
-
9)
(2)[(
-
6)+(
-
12)]+15=　　　　,(
-
6)+[(
-
12)+15]=　　　　.(
-
3,
-
3)
要求:指两名同学到黑板完成,其他学生在练习本上完成.
思考:每组小题两次运算所得的结果相同吗 请你再任意选择三个有理数(至少有一个是负数)试一试.
学生尝试完成,教师巡视指导.
提问:通过刚才的计算,你有什么发现
小结:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
思考:对照有理数的加法交换律,如果用三个字母表示三个有理数,又该怎样表示加法的结合律呢
归纳:加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加再和第三个数相加,或者先把后两个数相加再和第一个数相加,和不变,即(a+b)+c=a+(b+c).
说明:(1)上式中的字母a,b,c分别表示任意一个有理数,在同一个式子中,相同字母只能表示同一个数;(2)加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况.
活动2　例题讲解
　　[过渡语]　在进行多个有理数的加法运算时,运用运算律常常可以简化运算过程.
　(教材例3)计算:
(1)(
-
2.4)+(
-
3.7)+(
-
4.6)+5.7;
(2)+13++17.
〔解析〕　本题有两种基本算法,一是根据有理数加法法则按照从左到右的先后顺序计算,二是利用加法交换律、加法结合律进行计算.两种基本算法的简便程度是不一样的,在有理数的计算过程中,要注意加法运算律的应用,因为恰当运用有理数加法运算律可以简化运算程序.
解:(1)(
-
2.4)+(
-
3.7)+(
-
4.6)+5.7
=[(
-
2.4)+(
-
4.6)]+[(
-
3.7)+5.7]
=(
-
7)+2
=
-
5.
(2)+13++17
=+(13+17)
=(
-
1)+30
=29.
　(教材例4)某水库在星期一的水位是110.3
m,星期二下降了0.2
m,星期三上升了0.7
m,星期四下降了0.8
m.
(1)如果规定水位上升为正,下降为负,请你将每天水位的变化情况用正数或负数表示出来.
(2)星期四的水位是多少米
〔解析〕　本题首先要用有理数正确表示出水位变化的实际情况,具体的计算过程和方法是多样的,要想使计算过程简单,就要注意有理数加法交换律和结合律的灵活运用.
解:(1)每天水位的变化量分别是:星期二为
-
0.2
m,星期三为+0.7
m,星期四为
-
0.8
m.
(2)根据题意,得:
110.3+(
-
0.2)+(+0.7)+(
-
0.8)
=[110.3+(+0.7)]+[(
-
0.2)+(
-
0.8)]
=111+(
-
1)
=110(m).
答:每天水位的变化量分别是:星期二为
-
0.2
m,星期三为+0.7
m,星期四为
-
0.8
m.星期四的水位是110
m.
[知识拓展]　有理数简便运算的规律:
(1)同号:把正数和负数分别结合相加.
(2)凑整:把和为整数的数相加.
(3)凑零:把和为0的数相加.
(4)分数相加:分母相同或易于通分的分数相加.
(5)带分数相加:把带分数的整数部分、真分数部分分别相加.
(6)小数相加:整数部分、纯小数部分分别相加.
以上方法不是固定不变的,可以灵活运用.
有理数的加法运算律
(1)加法交换律:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.即a+b=b+a.
(2)加法结合律:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加再与第三个数相加,或先把后两个数相加再与第一个数相加,和不变.即(a+b)+c=a+(b+c).
1.下列各式能用加法运算律简化计算的是
(　　)
A.3
B.7+4
C.4
D.+(
-
2.16)+8+3.125+(
-
3.84)+(
-
0.25)
解析:首先把分数化成小数,然后把互为相反数的先相加或者凑整数的先相加,选项D就具有这些特点.故选D.
2.绝对值小于2015的所有整数的和为　　　　.
解析:绝对值小于2015的所有整数为±2015,±2014,…,±1,0,由互为相反数的两个数和为0可知这些整数的和为0.故填0.
3.计算:
(1)(+15)+(
-
20)+(+8)+(
-
6)+(+2);
(2)(
-
0.6)+0.2+(
-
11.4)+0.8.
解:(1)(+15)+(
-
20)+(+8)+(
-
6)+(+2)
=[(+15)+(+8)+(+2)]+[(
-
20)+(
-
6)]
=(+25)+(
-
26)
=
-
1.
(2)(
-
0.6)+0.2+(
-
11.4)+0.8
=[(
-
0.6)+(
-
11.4)]+(0.2+0.8)
=
-
12+1
=
-
11.
第2课时
活动1　有理数加法运算律
活动2　例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第25页练习第1,2题.
【选做题】
教材第25页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.比
-
1大1的数是
(　　)
A.2　　　B.1　　　C.0　　　D.
-
2
2.在一条东西走向的道路上,小亮先向东走了8米,记作+8米,又向西走了10米,此时他的位置可记作(　　)
A.+2米
B.
-
2米
C.+18米
D.
-
18米
3.把
-
1,0,1,2,3这五个数填入如图所示的方格中,使每行、每列三个数的和相等,其中错误的是(　　)
4.小明爸爸的存折中现有8000元,如果记存入为正,支取为负,那么上半年的存支情况为:+500元,
-
300元,+1200元,
-
600元,则小明的爸爸现在的存款有　　　　元.
5.某校举办秋季运动会,七年级(1)班和七年级(2)班进行拔河比赛,比赛规定标志物红绸向某班方向移动2
m或2
m以上,该班就获胜.红绸先向(2)班移动0.2
m,又向(1)班移动0.5
m,相持几秒后,红绸向(2)班移动0