【冀教版】2016版七年级上：第3章《代数式》全章教学案（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 【冀教版】2016版七年级上：第3章《代数式》全章教学案（含答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-09-15 16:28:01 | ||
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文档简介
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第三章 代数式
1.让学生经历用字母表示以前学过的运算律和计算公式,并体会用字母表示数的意义,形成初步的符号感.
2.理解代数式的意义,能解释一些简单代数式的实际背景,并能体会代数式是反映数量之间关系的数学模型.
3.会求代数式的值,能够根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入字母的具体值进行计算.
1.用代数式表示实际问题中的数量关系,要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法.
2.学会“观察—归纳”的思维方法.
3.将文字语言描述的数量或数量关系,用符号语言表示,使学生感悟其中“分析—综合”方法的应用.
1.培养学生准确运算的能力,并适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯,体会数学与现实的联系.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
本章内容包括用字母表示数、代数式、代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值.数的运算伴随着数的扩充与发展不断丰富,用字母表示数后,再用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母形成代数式,从而可以用方程刻画现实问题中的等量关系,用不等式表示数量间的不等关系,用函数研究数量间的变化以及对应关系.所以代数式是学习方程、不等式、函数的基础,它对整个第三学段代数知识的学习具有奠基作用.教材采用“大家谈谈”“一起研究”“做一做”等模块,以生动鲜活的例子引入课题,加强讨论与交流,实验与探究,以及动手操作活动的开展,进一步培养学生运用符号解决问题的能力和进行判断和推理的能力,以及培养学生的探索精神.
【重点】
1.列代数式,求代数式的值.
2.培养学生对知识的抽象和概括能力.
【难点】 由实际问题列代数式及规律探究题的解法.
1.教学中重点渗透具体数字到字母的抽象概括思维方式,并注意归纳、类比、转化等思想方法的应用.
2.让学生经历观察、探究、思考交流,分析问题中的数量关系,来发展数学思维.
3.用代数式表示实际问题的数量关系,要求学
( http: / / www.21cnjy.com )生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法,对有些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更加清晰.
4.在代数式求值的教学过程中,让学生体会到
( http: / / www.21cnjy.com )从运算的角度看,代数式是一个计算过程.可以借助图框教学来显示计算过程.对含一个字母的代数式,有意识地取字母的不同值,代入并进行计算,来感受代数式的值是随着字母取值的变化而变化的,渗透函数思想.在解决实际问题的过程中,采用“由特殊到一般再到特殊”的教学过程.
5.代数式中字母的取值,要根据具体问题确定其范围,必须要保证代数式和其在实际问题中有意义.
3.1 用字母表示数
1课时
3.2 代数式
4课时
3.3 代数式的值
2课时
回顾与反思
1课时
3.1 用字母表示数
1.在观察、思考的过程中形成用字母表示数的一般概念.
2.体会用字母表示数的特点和意义.
3.通过用字母表示一些具体的数学量,初步培养抽象思维的能力和符号逻辑.
在实践的过程中,体会到用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研究式学习,在教师的帮助下形成代数的思维方式.
1.通过实践、观察、思考、归纳等环节,总结规律,培养自主学习的能力.
2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的.
3.在与其他同学的交流和讨论中,培养既合作又竞争的意识.
【重点】
1.通过实践总结规律,并使用字母表示规律.
2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系.
【难点】
1.认识用字母表示数具有不唯一性.
2.能根据实际情况列出合理的代数式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P96~97.
导入一:
出示教材章前图情境问题:
【课件】 代数式在现实生活
( http: / / www.21cnjy.com )中的应用非常广泛.如存款问题:爷爷在银行按1年定期存了a元钱,存款时的1年定期存款年利率是3.50%.到期后,爷爷取出本息共为p元.怎样写出用a表示p的式子
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[设计意图] 教材中的章前图和内容具有生活情境性,可以帮助学生初步感知用字母表示数的必要.
导入二:
周末,小明帮妈妈打扫卫生,做完后心里美滋滋的,想着自己喜欢的玩具,忽然他计上心来……
妈妈下班后看到桌上有一纸条,内容是拖地
( http: / / www.21cnjy.com )3元,叠被1元,抹窗5元,丢垃圾袋1元,共计10元.妈妈看了之后,一言不发,提笔在纸上加上了吃饭x元,穿衣y元,带去看病z元,关心a元,…,共计b元.写完后就去厨房做饭了,小明看后心里很不是滋味,心生惭愧,赶忙收起纸条.小明懂得了x与y等字母的含义,同学们,你们懂吗
[设计意图] 用伟大的母爱,引出本节课的内容,让学生学会感恩.
活动1 运算律中的字母
[过渡语] 在我们身边有许多用字母来表示数的例子,今天我们就一起来探索下这个问题.
师:科学家爱因斯坦上小学时,在一次数学课中,发现了下列等式:
1+2=2+1,
3.5+5.6=5.6+3.5,
.
大家能用示例再验证下这个规律吗
生随意举例.
师:如果仅靠具体的示例,还不能把这个规律完整地表达出来.你能把这个规律用简明的方法表示出来吗
活动方式:师生对话、交流.
[设计意图] 利用教材情境,让学生明白字母能简明表示一些规律,与此同时培养学生善于观察和勤于积累的能力.
[处理方式] 展示学生的成果:爱因斯坦发现的这个规律就是加法交换律,用字母表示为a+b=b+a(a,b表示任意数).
(过渡语)师:还有没有其他的已学过的运算律
预设 生1:加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c.
生2:乘法交换律:ab=ba.
生3:乘法结合律:abc=a(bc)=(ab)c.
(a,b,c分别为任意数)
……
(过渡语)师:同学们回答得太好了,那么除了用字母表示运算律之外,用字母还可以表示公式.
【课件展示】
1.长方形的面积计算公式S=ab,S表示面积,a,b分别表示长方形的长与宽.
2.圆的面积计算公式S=πr2,S表示面积,r表示圆的半径.
3.长方体的体积计算公式V=abc,V表示体积,a,b,c分别表示长方体的长、宽、高.
4.圆柱的体积计算公式V=πr2h,V表示体积,r表示底面半径,h表示圆柱的高.
[设计意图] 过渡到用字母表示以前
( http: / / www.21cnjy.com )学过的运算律、公式、法则,不仅复习了旧知识,而且巩固了新知识,把已学知识重新规划,让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会用字母表示数可以使数量关系简明和一般化,初步体验和确认了用字母可以表示任意数这一点.
活动2 用字母表示数量关系
[过渡语] 字母不仅能表示运算关系,也能表示数量关系.下面我们就来看一看,在100米短跑测试中,小帆、大林和小明谁跑得快.
姓名
小帆
大林
小明
成绩/s
16
14.5
15.2
速度
/(m/s)
(1)请你算出他们每人100米短跑的速度,并将计算结果填入表中.
(2)写出计算速度时所用的公式.
(3)这个公式能用来计算汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度吗
若用s表示路程,t表示所用时间,v表示速度,则这个公式就是v=.
思路一
[处理方式] 独立思考,写出结果,小组内交流.体会用字母表示数的优越性.
展示交流结果:
(1)100米表示路程,16秒表示
( http: / / www.21cnjy.com )时间,小帆的速度=100÷16=(m/s),同理,大林的速度=100÷14.5=(m/s),小明的速度=100÷15.2=(m/s).(算错的同学要订正错误)
(2)v=.(其中v表示速度,s表示路程,t表示时间)
(3)由于v表示速度,s表示路程,t表示时间,所以v=可以用来求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.
[设计意图] 此过程可以使学生经历运用数学符
( http: / / www.21cnjy.com )号描述数量关系的过程,发展符号感和抽象思维.通过与同伴交流,学生将体验获得解决问题策略的方法,学会合理清晰地阐述自己的观点.学生必将获得良好的数学活动经验.
思路二
(1)速度、路程和时间三个量的关系是什么 请动手写一写: .并利用这个关系,分别求出小帆、大林和小明的速度.
(2)如果用v表示速度,s表示路程,t表示时间,那么它们的关系可以用字母写成什么 表示为: .
(3)能否利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度
[处理方式] 独立思考,写在练习本上,同桌交流,展示成果.
(1)路程=速度×时间,速度=路程÷时间,时间=路程÷速度.
(2)s=vt,v=,t=.(其中v表示速度,s表示路程,t表示时间)
(3)可以利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.
师总结:用字母表示数、数量关系以及数学事实,不仅形式简单,而且具有一般性,还便于交流.
活动3 按照要求和条件表示数
[过渡语] 字母在表示数的时候神通广大,我们再接着看下面的内容.
出示教材第97页的内容:
观察自然数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,….
(1)请用字母表示偶数和奇数.
(2)两个偶数之和是什么数 提出猜想,并用字母表示数的方法说明这个猜想是正确的.
[处理方式] 同桌互相提问,复习已有知识,交流体会方法.提出引导问题:偶数、奇数的概念是什么 它们有什么特征
(1)能被2整除的数是偶数,不能被2整除的数是奇数.偶数用字母表示为2m(m为自然数),奇数用字母表示为2m+1(m为自然数).
(2)提出猜想:两个偶数的和是偶数.
验证1:2+4=6,102+134=236……
验证2:(相邻两个偶数)一个偶数为2m(m为自然数),另一个为2m+2,其和为2m+2m+2=2(2m+1).
验证3:一个偶数为2m(m为自然数),另一个为2n(n为自然数),两个偶数的和为2(m+n).
活动4 做一做——能力提升
用字母表示数,说明:
(1)任意两个奇数之和是偶数.
(2)如果m为自然数,那么与m相邻的两个自然数之和是偶数.
问题引导:
(1)一个奇数怎么表示
(2)两个相邻的奇数怎么表示
(3)任意两个奇数怎么表示
(4)与m相邻的两个自然数怎么表示
问题提示:
(1)2m+1.
(2)2m+1和2m
-
1.
(3)2m+1和2n+1.
(4)m+1和m
-
1.
(m,n为自然数)
问题说明:
(1)任意两个奇数之和是偶数:2m+1+2n+1=2(m+n+1).
(2)如果m为自然数,那么与m相邻的两个自然数之和是偶数:m+1+m
-
1=2m.
[知识拓展] 用字母表示数
( http: / / www.21cnjy.com ),同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值需使这个问题有意义,并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.
用字母表示数、数量关系以及数学事实,不仅形式简单,而且具有一般性,还便于交流.
1.填空.
(1)
-
6
℃下降2
℃后是 ℃;温度由t
℃下降2
℃后是 ℃;
(2)今年李华m岁,去年李华 岁,五年后李华 岁;
(3)三个连续偶数中间一个为2n,则其余两个为 , ;
(4)某商店上月收入a元,本月收入比上月的2倍多10元,本月收入 元;
(5)城市市区人口a万人,市区绿化面积m万m2,则平均每个人拥有绿地 m2;
(6)某城市5年前人均年收入为n元,预计今年人均年收入是5年前的2倍多500元,那么今年人均年收入将达 元.
答案:(1)
-
8 (
( http: / / www.21cnjy.com )t
-
2) (2)(m
-
1) (m+5) (3)2n
-
2 2n+2 (4)(2a+10) (5) (6)(2n+500)
2.选择.
(1)用字母表示乘法对加法的分配律是
( )
A.a(b+c)
B.ab+ac
C.a(b+c)=ab+ac
D.ab=ba
(2)昨天的最高气温是27
℃,今天的最高气温比昨天的下降t
℃,今天的最高气温是
( )
A.27+t B.27
-
t
C.(27+t)℃
D.(27
-
t)℃
(3)(2015·吉林中考)购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料,所需钱数为
( )
A.(a+b)元
B.3(a+b)元
C.(3a+b)元
D.(a+3b)元
解析:(1)乘法分配律是一个数乘两个数
( http: / / www.21cnjy.com )的和,等于这个数分别乘这两个加数,然后把乘得的积相加,据此写成字母表达式为a(b+c)=ab+ac;(2)用昨天的最高气温减去下降的气温即为今天的最高气温.今天的最高气温是(27
-
t)℃;(3)购买1个单价为a元的面包所需费用为a元,3瓶单价为b元的饮料所需费用为3b元,则共需费用为(a+3b)元.www-2-1-cnjy-com
答案:(1)C (2)D (3)D
3.填空.
(1)长方形窗户上的装饰物如图所示,它是由半径均为b的两个四分之一圆组成的,则能射进阳光部分的面积是 ;
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(2)(2015·安顺中考)如图所示的
( http: / / www.21cnjy.com )是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为 (用含n的式子表示).
解析:(1)能射进阳光部分的面积=
( http: / / www.21cnjy.com )长方形的面积
-
半径为b的半圆的面积.即能射进阳光部分的面积=2ab
-
πb2;(2)认真观察图形,确定图形变化规律:第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,以后每个图案都比前一个图案多3个基础图形,所以第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为3n+1.
答案:(1)2ab
-
πb2 (2)3n+1
3.1 用字母表示数
活动1 运算律中的字母
活动2 用字母表示数量关系
活动3 按照要求和条件表示数
活动4 做一做——能力提升
一、教材作业
【必做题】
教材第98页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第98页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果甲数是x,甲数是乙数的2倍,那么乙数是
( )
A.x B.2x C.x+2 D.x+
2.n为整数,则2n
-
1一定是
( )
A.偶数
B.奇数
C.2的倍数
D.正整数
3.一个长方形的周长为28,其中长为x,则此长方形的面积为
( )
A.14x
B.x(x
-
14)
C.x(14+x)
D.x(14
-
x)
4.若一个正方形的边长为a,则这个正方形的周长是 .
5.若每箱有36个苹果,则n箱共有 个苹果.
6.为了帮助玉树地区重建家园,某班全体师
( http: / / www.21cnjy.com )生积极捐款,捐款金额共3200元,其中5名教师人均捐款a元,则该班学生共捐款 元.(用含有a的式子表示)21·世纪
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7.某商品的进价为x元,售价为120元,则该商品的利润率可表示为 .
8.一棵树刚栽时高2
m,以后每年长高0.2
m,n年后的树高为多少米
9.一桶油,连桶重x
kg,桶本身重1
kg,用去油的后,桶内还有多少油
【能力提升】
10.x是两位数,y是一位数,如果把x置于y的左边,那么所成的三位数应表示为
( )
A.xy
B.x+y
C.100x+y
D.10x+y
11.(2015·海南中考)某企业今
( http: / / www.21cnjy.com )年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是
( )
A.(1
-
10%)(1+15%)x万元
B.(1
-
10%+15%)x万元
C.(x
-
10%)(x+15%)万元
D.(1+10%
-
15%)x万元
12.有一块长为x
m,宽为y
m的长方形草坪,在草坪中间有一条宽为z
m的人行道,形状如图所示,请你计算这块草坪的实际绿化面积.
【拓展探究】
13.怎样的两个数,它们的和等于它们的积呢 观察下面几个式子:
2+2=2×2;3+=3×;4+=4×;5+=5×……
(1)你还能发现一些这样的两个数吗
(2)你能从中发现什么规律吗 把这个规律用字母n表示出来.
【答案与解析】
1.A(解析:甲数是乙数的2倍,那么乙数就是甲数的.)
2.B(解析:因为n为整数,所以代数式2n
-
1一定是奇数.故选B.)
3.D(解析:长方形的宽为×28
-
x=14
-
x,面积为x(14
-
x).)
4.4a(解析:正方形的边长为a,正方形的周长为4×正方形的边长,所以正方形的周长为4a.)
5.36n(解析:每箱苹果数与箱数的积即为所求.)
6.(3200
-
5a)(解析:学生捐款数=捐款总数
-
教师捐款总数.所以学生捐款数为(3200
-
5a)元.)
7.(解析:利润为(120
-
x)元,所以该商品的利润率可表示为.)
8.解:原来树高为2
m,n年增长0.2n
m,所以n年后的树高为2+0.2n(m).
9.解:桶中有油(x
-
1)kg,用去油的后,还剩油的1
-
,所以桶内还有油(x
-
1)kg.
10.D(解析:根据题意可知把x置于y的左边,相当
于把x扩大为原来的10倍,y不变.即所得的数是10x+y.故选D.)
11.A(解析:1月份的产值是x万元,则2月份的产值是(1
-
10%)x万元,3月份的产值是(1+15%)(1
-
10%)x万元.)
12.解:草坪的实际绿化面积应是长方形
( http: / / www.21cnjy.com )面积与平行四边形面积之差,长方形的面积为xy
m2,平行四边形的面积为yz
m2.所以实际绿化面积为(xy
-
yz)m2.
13.解:(1)答案不唯一,如6+=6×等. (2)(n+1)+=(n+1)×.
本节课运用贴近学生生活实际的材
( http: / / www.21cnjy.com )料,再次引导学生经历由具体的数到“抽象的数”,由具体的算式到含有字母的式子的学习过程,让学生经历从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律的过程,从而体会用字母表示数的意义,形成初步的符号感,初步体会“特殊—一般—特殊”“数形结合”等数学思想方法.
对课堂节奏的把握不够紧凑,最后学生完成练
习的时间不够充分.在用字母表示数的过程中对学生的探究发现没有进行方法指导.
课堂创设要丰富多彩,供学生观察、猜想、
( http: / / www.21cnjy.com )讨论和验证,要充分调动学生的积极性,让每个学生都有发言的机会,教学面向全体学生.在猜想和说明问题时,提醒学生采取提出问题、特例验证、一般推理的方式进行思考.
练习(教材第97页)
(1)15a (2)4a+2 a (3)(a+b)
习题(教材第98页)
A组
1.(1)(
-
6+t) (2)8a (3)10a+b (4)25
-
a (5)(29+a) (26+a)
2.解:ab
-
cd.
3.解:ab+ac或a(b+c).
B组
1.解:设原来四位数的后三位数为a,则原来四位数为7000+a,新四位数为10a+7.
2.解:设连续两个奇数为2n+1和2n
-
1(n为整数),则(2n+1)+(2n
-
1)=4n,所以任意两个连续奇数之和都是4的倍数.
清朝末年,文学家俞曲园写了一首咏杭州风景点“九溪十八涧”的诗:
重重叠叠山,曲曲环环路,丁丁东东泉,高高下下树.
当代数学家淡祥柏把每句诗都表示成算式:
以上共有4个算式,每个汉字表示一个数字,在
( http: / / www.21cnjy.com )每一个算式中,重叠的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,你能写出这4个算式的数字形式吗
解:
3.2 代数式
1.进一步理解用字母表示数的意义.
2.掌握书写代数式的注意事项并会正确书写代数式.
1.会把代数式反映的数量关系用文字语言表述出来,会把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来.
2.能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示出来.
通过将实际问题中的数量关系用代数式表示,提高数学应用意识.
【重点】 列代数式;用代数式表示实际问题中的数量关系;代数式表示的实际意义.
【难点】 代数式的意义;用代数式表示实际问题中的数量关系;规律探索.
第课时
1.在具体情境中,进一步理解用字母表示数的意义.
2.能解释一些简单代数式的几何意义.
3.在具体情境中,能列出代数式,并解释其实际意义.
1.经历应用数学符号的过程,进一步提高学生的符号感.
2.初步学会从数学的角度提出问题和理解问题,充分体会解决问题的策略的多样性.
培养学生热爱数学,会用数学思想解决生活中的问题的能力.
【重点】 列代数式.
【难点】 用数学语言表达代数式的意义.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集以前学过的数学公式.
导入一:
填空.
1.m的3倍与5的和可以表示为 .
2.小华用a元买了b本练习本,每本练习本 元.
3.边长为x
cm的正方形的周长是 cm;面积是 cm2.
教师活动:(1)组织学生交流;
(2)引导学生观察所列代数式,给出代数式的概念;
(3)交流所列代数式的意义.
学生活动:(1)独立思考完成填空;
(2)交流结果;
(3)说说代数式在此问题中所代表的实际意义.
[设计意图] 用填空的方式来列简单的代数式,学生能够独立完成.为下面代数式概念的引出作铺垫.
导入二:
[过渡语] 请同学们举出已经学过的用含字母的式子来表示数量之间的关系的例子来.
师板书:三角形的面积公式S=ah,路程问题中的s=vt,5>b等等.
[过渡语] 同学们说得特别棒.用等号表示的式子是等式,用不等号表示的式子就是不等式.那么它们都是代数式吗
教师活动:(1)板书;
(2)讲解.
学生活动:(1)回答问题;
(2)讨论交流.
[设计意图] 引导学生找出代数式与等式、不等式的不同.
[过渡语] 用字母表示数后,现实世界中的数量和数量之间的关系可以用含字母的式子来表示,于是产生了代数式.
活动1 代数式的概念
1.代数式的概念.
思路一
教师活动:(1)组织学生阅读教材第99页;
(2)引导学生举出代数式的例子.
学生活动:(1)阅读课文;
(2)举例交流,畅所欲言.
[设计意图] 让学生先直观感受什么叫代数式,只要学生知道什么是代数式即可,要求学生能举出一些实际例子.
追问:单独的一个字母或一个数是代数式吗 (是.)
[设计意图] 这个问题的价值
( http: / / www.21cnjy.com )在于强调单独的一个数或一个字母也是代数式,强化易错点,使学生知道字母可以表示具体的数,也可以表示具体的数量关系,同一字母或表达式在不同的场合有不同的意义,强化学生的符号感;其次,通过交流,拓宽学生的思维,发展学生的联想、类比等思维能力.
思路二
请同学们观察并思考:a+b,m
-
n,25m,,6a2,a3……这些式子有哪些共同点
预设 生:都含有数字或字母.
师:除了数字和字母外,还有什么
预设 生:还有运算符号(+、
-
、×、÷、乘方).
师:运算符号在数字和字母之间起到了什么样的作用
预设 生:把数或字母连接起来了.
师:回答得很好!同学们,这就是代数式!现在你能用自己的语言叙述一下什么是代数式吗
学生交流2分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导.然后用多媒体课件展示代数式的定义.
概括:用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.例题讲解.
指出下列各代数式的意义:
(1)2a+5; (2)2(a+5);
(3)a2+b2;
(4)(a+b)2.
〔解析〕 根据代数式的意义,必须把代数式作为一个整体去看待.运算符号和字母、数字的组合,是代数式的重要特点.
解:(1)2a+5表示是a的2倍与5的和.
(2)2(a+5)表示a与5的和的2倍.
(3)a2+b2表示a的平方与b的平方的和.
(4)(a+b)2表示a与b的和的平方.
活动2 用代数式表示数量关系
[过渡语] 给你一段文字语言,能不能写出表示它的代数式
用代数式表示“a,8两数之和与b,c两数之差的积”.
可按下面的步骤列代数式:
[处理方式] 四人为一小组,把“做一做”试着做下来.做完之后,小组长把自己组做的答案呈现出来.
[设计意图] 让学生仿照图示的方法列代数式,体会数量之间的和、差、倍、分的关系与加、减、乘、除的运算的对应.
用代数式表示:
(1)a与b的差与c的平方的和.
(2)百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c的三位数.
(3)三个连续的整数(用同一个字母表示),以及它们的和.
〔解析〕 (1)a与b的差也就是a
-
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b,所求即为(a
-
b)与c的平方的和.列代数式的关键是一定要注意运算顺序;(2)用不同的字母表示一个整数各数位上的数字,记为abc=100a+10b+c;(3)中间的这个数是m,则连续的三个整数就是m
-
1,m,m+1.
解:(1)(a
-
b)+c2.
(2)100a+10b+c(其中,a,b,c是0到9之间的整数,且a≠0).
(3)设m是整数,三个连续整数可表示为m
-
1,m,m+1.它们的和为(m
-
1)+m+(m+1).
强调:在代数式中,字母与数或字母与字母相乘时,通常把乘号写作“·”或省略不写,如2×a写作2·a或2a,a×b写作a·b或ab.
除法运算一般以分数的形式表示.如s÷t写作(t≠0).
[设计意图] 本部分内容是学生学习了代
( http: / / www.21cnjy.com )数式之后紧跟的练习,目的是强化学生对代数式概念的理解与掌握,会根据具体要求列代数式,训练学生思维的严密性.
[知识拓展] (1)对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为出发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.
(2)如果式子中含有“=”“<”“>”“≤”“≥”等符号,它们不是运算符号,那么这样的式子不是代数式.
(3)数与字母、字母与字母相乘,乘号可以省略,也可写成“·”;数字与数字相乘,乘号不能省略;数字要写在字母前面.
(4)在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
(5)带分数一定要写成假分数.
1.用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.
2.单独的一个数或字母也是代数式.
1.下列式子是代数式的是 .
①,②a2b,③x=1,④a2+ab
-
1,⑤3>2,⑥o,⑦y=x
-
1.
解析:等式与不等式都不是代数式,排除③⑤⑦.故填①②④⑥.
2.写出代数式a2
-
b2表示的意义.
解:a的平方与b的平方的差.
3.用代数式表示.
(1)x的2倍与y的差;
(2)m与5的差的3倍;
(3)a的11倍再加上2;
(4)x,y两个数和的平方;
(5)甲数为a,比甲数的平方大3的数.
解:(1)2x
-
y. (2)3(m
-
5). (3)11a+2. (4)(x+y)2. (5)a2+3.
第1课时
活动1 代数式的概念
用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.
注意:单独的一个数或字母也是代数式.
活动2 用代数式表示数量关系
正确表达代数式的实际意义.
一、教材作业
【必做题】
教材第100页练习第1,2题.
【选做题】
教材第101页习题A组第1,2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列属于代数式的是
( )
A.4+6=10 B.2a
-
6b>0
C.0
D.v=
2.买一个足球需要a元,买一个篮球需要b元,则买4个足球、7个篮球共需要
( )
A.(4a+7b)元
B.4a元
C.7b元
D.11元
3.2(a+b)的几何意义是 .
4.设乙数为x,甲数比乙数的2倍大1,则甲数为 .
【能力提升】
5.某厂一月份产值为a万元,从二月份起每月增产15%,三月份的产值可以表示为
( )
A.(1+15%)2×a万元
B.(1+15%)3×a万元
C.(1+a)2×15%万元
D.(2+15%)2×a万元
6.一个两位数,十位上是a,个位上是b,用代数式表示这个两位数为
( )
A.ab
B.ba
C.10a+b
D.10b+a
7.用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”,正确的是
( )
A.(3m
-
n)2
B.3(m
-
n)2
C.3m
-
n2
D.(m
-
3n)2
8.甲、乙二人按5∶2的比例投资开办了一
( http: / / www.21cnjy.com )家公司,约定除去各项支出外,所得利润按投资比例分成,若第一年盈利14000元,那么甲、乙二人分别应分得
( )
A.2000元和5000元
B.4000元和10000元
C.5000元和2000元
D.10000元和4000元
【拓展探究】
9.通讯市场竞争日益激烈,某通讯公司的手机本
( http: / / www.21cnjy.com )地话费标准按原标准每分钟降低a元后,再次下调了20%,现在收费标准是每分钟b元,则原收费标准是每分钟多少元
【答案与解析】
1.C(解析:一个字母或一个数字也是代数式.)
2.A(解析:4个足球需要4a元,7个篮球需要7b元,共需要(4a+7b)元.故选A.)
3.a与b的和的2倍
4.2x+1
5.A(解析:一月份产值是a万元,二月份产值是a(1+15%)万元,三月份产值是(1+15%)2×a万元.故选A.)
6.C(解析:十位数字是a,表示为10a,个位数字是b,则这两位数是10a+b.)
7.A(解析:m的3倍是3m,与n的差就是3m
-
n,它的平方就是(3m
-
n)2.)
8.D
9.解:首先表示出下调20%前的价格,然后加上a元,即可得到原收费标准是每分钟b÷(1
-
20%)+a=a+b(元).
在实际情境中说明代数式的意义,让学生
( http: / / www.21cnjy.com )通过交流创设生活中最感兴趣的情境,学生从中能体会代数式在社会生活中的实际意义.学习中发挥小组合作的积极作用,每个同学都参与课堂,培养了学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.
让学生小组合作解决疑惑时,仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题的状态中,对于这部分学生,教师关注度还不是很高. 21
cnjy
com
开展学生之间的互动,一个同学说条件,另一个同学根据条件列代数式.
练习(教材第100页)
1.解:(1)a的平方与2的和. (2)b与1的和的a倍与1的差.
2.解:(1)(a
-
b)c. (2)(x+y)2
-
(x
-
y)2. (3)3a+b.
习题(教材第101页)
A组
1.解:(1)a的3倍与b的2倍的和. (2)a与b的2倍的和的3倍. (3)a与b的差与c的商. (4)a与b除以c的商的差.
2.解:(1)(3a+4). (2)x
( http: / / www.21cnjy.com )2+x. (3)a
-
3b. (4)ab(a+b). (5)(a+b)+18. (6)(2a
-
b)
-
6.
3.(1) (2) (3)49%x (4)
4.解:(1)a·a,即a2. (2)元/辆. (3)表面积为2ab+2bc+2ac,体积为abc.(4)a+a+a+2×,即2a+a.
B组
1.解:7.5x千克;千克.
2.解:(600a
-
1700)kg,(500a+300)kg.
在下列表述中,不能表示代数式“4a”的意义的是
( )
A.4的a倍 B.a的4倍
C.4个a相加
D.4个a相乘
〔解析〕 A.4的a倍用代数式表示为4a
( http: / / www.21cnjy.com ),故本选项正确;B.a的4倍用代数式表示为4a,故本选项正确;C.4个a相加用代数式表示为a+a+a+a=4a,故本选项正确;D.4个a相乘用代数式表示为a·a·a·a=a4,故本选项错误.故选D.
学校购买了一批图书,共a箱,每箱b册,将这批图书的一半捐给社区,则捐给社区的图书为册.(用含a,b的代数式表示)
〔解析〕 首先根据题意可得这批图书共有ab册,它的一半就是册.故填.
表述数量及数量关系,有两种语言,一
( http: / / www.21cnjy.com )种是文字语言,一种是符号语言——代数式.代数式是文字语言的数学抽象.本课时围绕两种语言之间的互相转化展开,让学生充分体会用代数式表示数量关系的简明性和一般性.借助于图示,把文字语言表述的数量关系转化为若干层次的“两个数的运算”.对初学者来说,这是有条理地分析数量关系并正确列出代数式的行之有效的方法.
第课时
1.用代数式表示比较复杂的数量关系.
2.能够用不同的代数式表示同一数量关系.
借助于具体的生活情境,体会代数式的一般性.
增强在探索问题过程中的合作交流意识.
【重点】 用不同的代数式表达同一个量.
【难点】 理解代数式是刻画实际问题中数量关系的重要数学模型.
【教师准备】 预设学生解决问题的多种方法.
【学生准备】 复习上一个课时所学的代数式知识.
导入一:
填空:已知一批小麦的出粉率是85%.a
kg小麦可磨出面粉
kg,要磨出面粉b
kg.需要小麦
kg.21教育名师原创作品
(85%a;)
[设计意图] 通过生活情境,帮助学生深刻领会代数式的含义,体会从生活情境到抽象代数式的含义.
导入二:
甲、乙两个口袋分别装有a
kg和b
kg(a>b)的大豆.要想使两个口袋装的大豆一样多,应从甲袋向乙袋倒入多少千克大豆
(
kg.)
[设计意图] 通过抽象生活情境,帮助学生思考抽象的数量关系,了解数学中代数式的一般性.
活动1 从实际问题中抽象出代数式
如教材图所示,已知装满油时,桶和油的质量一共是a
kg;当油用去一半时,桶和油的质量一共是b
kg.当桶里装满油时,设油的质量为c
kg.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)当桶里装满油时,写出表示桶的质量的代数式.
(2)当油用去一半时,写出表示桶的质量的代数式.
解:(1)设油的质量为c
kg,则桶的质量为(a
-
c)kg.
(2)半桶油的质量为
kg,桶的质量为
kg.
问题思考:本题的基本数量关系是什么
(油桶总质量=油的质量+桶的质量.)
[设计意图] 帮助学生抽象总结生活中的数量关系,为帮助学生建立代数式数学模型做准备.
活动2 不同的代数式表示同一个数量
已知参加甲、乙两地植树的同学分别为5
( http: / / www.21cnjy.com )2人和23人,现从甲、乙两地共抽调12人到丙地植树.如果从甲地抽调x人,那么抽调后,甲、乙两地各剩下多少人
将表示甲、乙两地剩下人数的代数式填入下表.
原来人数/人
抽调人数/人
剩下人数/人
甲地
52
x
乙地
23
12
-
x
师:用不同的代数式表示同一个量,这是解决实际问题的一种常用方法,对于一些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更清晰.
方法一:甲地剩余(52
-
x)人,乙地剩余[23
-
(12
-
x)]人.
方法二:两地共有75人,调走12人,剩余63人,已知甲地剩余(52
-
x)人,所以乙地剩余[63
-
(52
-
x)]人.
思考:
1.列表法表示数量关系有什么优点
2.你能借助于下列图示表示甲、乙两地的剩下人数吗
活动3 做一做
填空:
(1)如果汽车以85
km/h的速度在高速公路上匀速行驶,那么x
h行驶的路程为 km.
(2)如果某工程队平均每天修路0.8
km,那么x天可以修路
km.
(3)如果一套学生桌椅的价钱是380元,那么买x套这种学生桌椅需要 元.
(4)如果某期5年期国债的年利率是5.6%,小颖的爷爷买了这期国债x元,那么到期后可得利息 元,本息共为 元.
(5)如果一项工程要求30天完成,那么x天后完成了工程量的 .
〔答案〕 (1)85x (2)0.8x (3)380x (4)5×5.6%x x+5×5.6%x (5)x
思考:
1.请用文字的形式概括上述数量关系.
提示:主要数量关系如下:
行程问题:路程=速度×时间.
工程问题:工作量=工效×时间.
商品价格问题:总价=单价×数量.
利息问题:利息=本金×利率×期数,本息=本金+利息.
2.上面列出的这些代数式都有什么特点
提示:都有kx的形式.
[设计意图] 发现数量关系的特点,是从数量关系中抽象出代数式的重要前提,为此在这里侧重引导学生总结一些带有规律性的数量关系.
用不同的代数式表示同一个量,是解决实际问题的一种常用方法.
1.以下各式不是代数式的是
( )
A.5 B.3x2
-
2x+5
C.a+b=b+a
D.
解析:判断是不是代数式,关键是了解代数
( http: / / www.21cnjy.com )式的概念,注意代数式与等式、不等式的区别,等式含有等号,不等式含有不等号,而代数式不含等号也不含不等号.所以C选项不是代数式.故选C.
2.代数式4a可以表示的实际意义是 .
解析:根据代数式表示的意义和
( http: / / www.21cnjy.com )实际的联系编写场景即可.答案不唯一.如:每支钢笔4元,买了a支钢笔所需的钱数,或正方形的边长为a,它的周长是4a.
3.用代数式表示.
(1)x的与的差;
(2)一种小麦磨成面粉后质量要减少15%,m千克小麦磨成面粉后面粉的质量.
解:(1)x
-
. (2)(1
-
15%)m千克.
第2课时
活动1 从实际问题中抽象出代数式
活动2 不同的代数式表示同一个数量
活动3 做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第103页练习第1,2题.
【选做题】
教材第103页习题A组第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式中,不是代数式的是
( )
A.
-
3 B. C.5x
-
1=9 D.x2
-
4x
2.用代数式表示x的2倍与y的差的平方是
( )
A.(2x
-
y)2
B.2x
-
y2
C.2x2
-
y2
D.2(x
-
y)2
3.如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在半径为1
cm的圆O上,且四边形ABCD为正方形,则图形中阴影部分的面积是
( )【版权所有：21教育】
( http: / / www.21cnjy.com )
A.(2π
-
2)cm2
B.(2π
-
1)cm2
C.(π
-
2)cm2
D.(π
-
1)cm2
4.用代数式表示“x的2倍与3的差”为 .
5.用代数式表示.
(1)x的2倍与y的3倍的差;
(2)x的.
【能力提升】
6.下列代数式中,符合代数式书写要求的有
( )
①1x2y;②ab÷c2;③;④;⑤2(m+n);⑥mb·4.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.用代数式表示“x的4倍与y的差的平方”正确的是
( )
A.(4x
-
y)2
B.4x
-
y2
C.4(4x
-
y)2
D.(x
-
4y)2
8.代数式2x
-
的意义是 .
9.甲数为x,用代数式表示乙数.
(1)乙数是甲数的1倍;
(2)乙数比甲数小7%;
(3)乙数比甲数的一半大2;
(4)甲数的倒数比乙数小5.
【拓展探究】
10.下列各说法中,错误的是
( )
A.代数式x2+y2的意义是x与y的平方和
B.代数式5(x+y)的意义是5与x+y的积
C.x的5倍与y的和的一半,用代数式表示为5x+
D.比x的2倍多3的数,用代数式表示为2x+3
11.如图所示,一根5
m
( http: / / www.21cnjy.com )长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动),那么小羊A在草地上的活动区域面积是
( )【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
A.π
m2
B.π
m2
C.π
m2
D.π
m2
12.说出下列代数式的意义.
(1)2(a+3); (2)a2+b2; (3).
【答案与解析】
1.C(解析:代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子,C中用“=”连接的式子不是代数式.)
2.A(解析:先差再平方,即列式为(2x
-
y)2.)
3.C(解析:阴影部分的面积=圆的面积
-
正方形的面积.阴影部分的面积为π·12
-
4××1×1=π
-
2(cm2).)
4.2x
-
3(解析:x的2倍表示为2x,然后再减去3即可.由题意得x的2倍与3的差表示为2x
-
3.)
5.解:(1)x的2倍与y的3倍的差,用代数式表示为2x
-
3y. (2)x的,用代数式表示为x.
6.C(解析:符合要求的有③④⑤,共3个.)
7.A(解析:要明确给出文字语言中的运算关
( http: / / www.21cnjy.com )系,先表示出x的4倍,再表示出其与y的差,最后表示出差的平方即可.x的4倍是4x,x的4倍与y的差是4x
-
y,x的4倍与y的差的平方是(4x
-
y)2.故选A.)
8.x的2倍与y的的差(解析:注意运算顺序,最后计算的是差.)
9.解:(1)x. (2)(1
-
7%)x. (3)x+2. (4)+5.
10.C(解析:选项C中运算顺序表达错误,应写成(5x+y).)
11.D(解析:由于墙角是直角,所以小羊A活
( http: / / www.21cnjy.com )动的区域是以5
m为半径的圆的面积的,加上以1
m为半径的圆的面积的,故其活动区域面积为
m2,即为π
m2.)
12.解:(1)2(a+3)的意义是2与a+3的积. (2)a2+b2的意义是a与b的平方的和. (3)的意义是n+1除以n
-
1的商.
本课时在前面学习了代数式知识的基础上进一步深
( http: / / www.21cnjy.com )入学习,通过生活情境,帮助学生从抽象角度概括总结数量关系是本课时的教学核心.在教学的过程中,采取了列不同代数式表示同一数量关系、总结一般数量关系的规律,最后上升到总结对代数式这一数学模型的刻画策略,取得了较好的课堂活动效果.
用不同的代数式表示同一个数量关系,没有充分让学生进行对比交流.
在总结生活中一些常见的数量关系时,让学生列举相关的情境问题进行深化理解.
练习(教材第103页)
1.(1)85%a (2)①10a+9
-
a ②10(9
-
b)+b
2.解:千克.
习题(教材第103页)
A组
1.(y+9)
2.
3.解:2.4%x万元.
4.解:甲库:x
t;乙库:(50
-
x)t.
B组
1.10x+(10
-
x) 10x+(10
-
x)+36或10(10
-
x)+x
2.解:1375×80%元,(1+10%)x元.
x(1
-
5%)可以解释为 .
〔解析〕 答案不唯一,例如:如果某件商品的原价为x元,按照降价5%进行促销,那么降价后这件商品的售价为x(1
-
5%)元.
[解题策略] 将代数式放入具体的问题情境去理解,赋予它具体的实际意义,解题的关键是想出不同的实际背景或几何背景.
第课时
能用代数式表示比较复杂的数量关系.
通过生活情境体现符号意识.
培养学生的抽象思维和创新精神.
【重点】 能够对复杂数量关系列出代数式.
【难点】 通过列复杂数量关系的代数式,形成数学符号感.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集生活中用代数式表示规律的实际例子.
导入一:
已知甲、乙、丙三个数的比为1
( http: / / www.21cnjy.com )∶2∶3.如果设甲数为x,请表示出甲、乙两数的和减去丙数后的差;如果设丙数为z,请表示出甲、丙两数的和减去乙数后的差.
[设计意图] 通过列比较复杂数量关系的代数式,体会抽象思维在列代数式中的作用.
导入二:
为了预防流感,某校积极进行校园环
( http: / / www.21cnjy.com )境消毒,购买了甲、乙两种消毒液共100瓶,其中甲种6元/瓶,乙种9元/瓶.如果设甲种消毒液购买了x瓶,那么购买这两种消毒液共花了多少元
([6x+9(100
-
x)]元.)
[设计意图] 通过列比较复杂数量关系的代数式,帮助学生形成数学符号意识.
[过渡语] 对于电脑打字速度,每一个同学都有所不同.现在我们就来研究一个和打字有关的问题.
活动1 列复杂数量关系的代数式
经过练习,小亮和大华的打字速度都有了提高,小亮的打字速度达到80个/分,大华比小亮每分钟多打10个字.
(1)小亮和大华a
min分别能打多少个字
(2)b
min大华比小亮多打多少个字
(3)将同为c个字的两篇文章分别交给小亮和大华打,如果要求他们同时完成任务,那么小亮比大华要提前多少分钟开始打字
(4)根据以上问题情境,请你自己提出一个问题并解决.
问题思考:
(1)问题中涉及三个基本的量是什么
(打字速度、时间、打字的个数.)
(2)这三个量之间具有怎样的关系
(打字的个数=打字速度×时间.)
思考和解答:
(1)小亮a
min打的字数就等于80与a的积,即80a个字;大华a
min打的字数就等于(80+10)与a的积,即90a个字.
(2)b
min大华比小亮多打的字数就等于b与10的积,即10b个字.
(3)求小亮要比大华提前多少分钟开始打字,
( http: / / www.21cnjy.com )就是求小亮打c个字比大华打c个字多用的时间,也就是求“c除以80的商与c除以(80+10)的商的差”,即
min.
活动2 例题讲解
(教材例3)从A地乘火车到北京,普通票价格为40元/人,学生票价格为20元/人.星期日,A地育才学校组织部分师生到天安门广场观看升旗仪式.
(1)如果有教师14人,学生180人,那么买单程火车票共需多少元
(2)如果有教师x人,学生y人,那么买单程火车票共需多少元
(3)如果教师人数恰好是学生人数的,将教师的人数或学生的人数用字母表示,那么买单程火车票共需要多少元
〔解析〕 列表分析(1):
人数
票单价/元
票价/元
教师
14
40
560
学生
180
20
3600
单程总票价/元
4160
列表分析(2):
人数
票单价/元
票价/元
教师
x
40
40x
学生
y
20
20y
单程总票价/元
40x+20y
列表分析(3)①:
人数
票单价/元
票价/元
教师
x
40
40x
学生
12x
20
20×12x
单程总票价/元
40x+20×12x
列表分析(3)②:
人数
票单价/元
票价/元
教师
40
40×
学生
y
20
20y
单程总票价/元
y+20y
解:(1)40×14+20×180=4160(元).
(2)(40x+20y)元.
(3)如果设教师有x人,那么学生有12x人,买单程车票共需(40x+20×12x)元;如果设学生有y人,那么教师有人,买单程车票共需40×+20y元,即元.
从复杂的数量关系中抽象出代数式模型,是运用代数式解决问题的基本方法.
1.体育委员带了500元钱去买体育用品,已知一个足球a元,一个篮球b元.则代数式500
-
3a
-
2b表示的是 .
解析:因为买一个足球a元,一个篮球b元
( http: / / www.21cnjy.com ),所以3a表示体育委员买了3个足球,2b表示买了2个篮球,所以代数式500
-
3a
-
2b表示体育委员买了3个足球2个篮球后剩余的钱数.故填体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的钱数.
2.农民张大伯因病住院,手术费为a
( http: / / www.21cnjy.com )元,其他费用为b元.由于参加农村合作医疗,手术费报销85%,其他费用报销60%,则张大伯此次住院应缴纳 元.
解析:根据手术费用为a元,其他费
( http: / / www.21cnjy.com )用为b元,手术费用报销85%,其他费用报销60%,列出代数式,即可求出答案.因为手术费用为a元,其他费用为b元,手术费用报销85%,其他费用报销60%,所以张大伯此次住院应缴纳a·15%+b·40%=15%a+40%b(元).故填(15%a+40%b).
3.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车
( http: / / www.21cnjy.com )12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆.已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元,从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.设从甲仓库调往A县的农用车为x辆.
(1)从甲仓库调往B县的农用车为 辆,从乙仓库调往A县的农用车为 辆;(用含x的代数式表示)
(2)写出公司从甲、乙两个仓库调往农用车到A,B两县分别所需要的总运费.(用含x的代数式表示)
解:(1)设从甲仓库调往A县的农用
( http: / / www.21cnjy.com )车为x辆,则调往B县的农用车为(12
-
x)辆,从乙仓库调往A县的农用车为(10
-
x)辆. (2)到A县的总费用为[40x+30(10
-
x)]元;到B县的总费用为[80(12
-
x)+50(x
-
4)]元.
第3课时
活动1 列复杂数量关系的代数式
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第105页练习题.
【选做题】
教材第106页习题A组第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某农村贫困家庭的孩子读书,今年享
( http: / / www.21cnjy.com )受“两免一补”(即免学杂费,免课本费,补助寄宿生活费),加上免收农业税,该家庭现在平均每月可减少40%的费用支出.若该家庭原来平均每月支出m元,则现在每月的支出为
( )
A.元 B.元 C.60%m元 D.40%m
2.某商品先按批发价a元提高10%零售,后又按零售价降低10%出售,则它最后的单价是
( )
A.a元
B.0.99a元
C.1.21a元
D.0.81a元
3.张老师带领x名学生到某动物园参观,已知成人票每张10元,学生票每张5元,设门票的总费用为y元,则y= .
4.一筐苹果总重x千克,筐本身重2千克,若将苹果平均分成5份,则每份重 千克.
5.某校艺术班同学,每人都会弹钢琴或古
( http: / / www.21cnjy.com )筝,其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,两种都会的有7人.设会弹古筝的有m人,则该班同学共有多少人 (用含m的代数式表示)
【能力提升】
6.甲种糖果每千克a元,乙种糖果每千克b元,若买甲种糖果m千克,乙种糖果n千克,混合后的糖果每千克
( )
A.元
B.元
C.元
D.元
7.某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了m元/分钟,现在再次下调10%,使收费标准为n元/分钟,那么原收费标准为
( )
A.元/分钟
B.元/分钟
C.元/分钟
D.元/分钟
8.某商品的进价为60元,售价为x元,则该商品的利润率可表示为 .
9.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a克,再称得剩余电线的质量为b克,那么原来这卷电线的总长度是 米.
10.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增长25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,则每台电视机的实际售价是多少元
【拓展探究】
11.张老板以每颗a元的
( http: / / www.21cnjy.com )价格买进水蜜桃100颗,现以每颗比进价多20%的价格卖出70颗后,再以每颗比进价低b元的价格将剩下的30颗卖出,则全部水蜜桃共卖
( )
A.[70a+30(a
-
b)]元
B.[70×(1+20%)a+30b]元
C.[100×(1+20%)a
-
30(a
-
b)]元
D.[70×(1+20%)a+30(a
-
b)]元
12.惠民新村分给小慧家一套价格为
( http: / / www.21cnjy.com )12万元的住房.按要求,需首期(第一年)付房款3万元,从第二年起,每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和.假设剩余房款年利率为0.4%,小慧列表推算如下:
第一年
第二年
第三年
…
应还款/万元
3
0.5+9×0.4%
0.5+8.5×0.4%
…
剩余房款/万元
9
8.5
8
…
若第n年小慧家仍需还款,则第n年应还款 万元.(n>1)
13.用a米长的篱笆,在
( http: / / www.21cnjy.com )空地围成一块场地,有两种方案:一种是围成正方形场地,另一种是围成圆形场地,设S1,S2分别表示围成正方形场地和圆形场地的面积,试比较S1与S2的大小,并说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:若该家庭原来平均每月支出m元,则现在每月的支出为60%m元.)
2.B(解析:由题意得a(1+10%)(1
-
10%)=0.99a(元).)
3.5x+10(解析:总费用=成人票用钱数+学生票用钱数,根据此关系式列式即可.根据题意可知y=5x+10.)
4.(解析:苹果的总重量为(x
-
2)千克,平均分成5份,所以每份为千克.)
5.解:该班同学共有m+(m+10)
-
7=2m+3(人).
6.C(解析:因为甲种糖果m千克的
( http: / / www.21cnjy.com )总价钱为am元,乙种糖果n千克的总价钱为bn元,所以两种糖果的总价钱为(am+bn)元,所以混合后的糖果每千克的单价为元.)
7.B(解析:通过审题,弄清话费的变化方式,准确找出变化前后量之间的关系是解此题的关键.再次下
调10%后收费标准为n元/分钟,则再次下调10%前的收费标准为n元/分钟,这比原收费标准降低了m元/分钟,说明原收费标准为元/分钟.)
8.(解析:由利润率=利润÷进价可以列出式子.利润为(x
-
60)元,所以该商品的利润率可表示为.)
9.(解析:根据1米长的电线,称得它的质量为a克,只需根据剩余电线的质量除以a,即可知道剩余电线的长度.故总长度是米.)
10.解:70%(1+25%)a元.
11.D(解析:以比进价多20%
( http: / / www.21cnjy.com )的价格卖出70颗水蜜桃的售价为70×(1+20%)a元,以比进价低b元的价格卖出30颗水蜜桃的售价为30(a
-
b)元,所以总售价为[70×(1+20%)a+30(a
-
b)]元.故选D.)
12.{0.5+[9
-
0.5(n
-
2)]×0.4%}(解析:根据题意可知第(n
-
1)年需还的剩余房款为[9
-
0.5(n
-
2)]万元,则第n年应还款为{0.5+[9
-
0.5(n
-
2)]×0.4%}万元.)
13.解:S1=(平方米),S2=π(平方米),因为16>4π,所以,即S1利用学生现有的知识,大胆让
( http: / / www.21cnjy.com )学生进行探索尝试,是本课时教学设计的重要理念.在学生进行探索的过程中,给予学生必要的方法指导和提示,为本课时教学活动的顺利完成奠定了基础.
在课堂教学的过程中,忽略了对做一做这个内容的处理.
在对教材例3的教学活动中,鼓励学生自己用列表、画图等多种方式列代数式,帮助学生从更深层次理解数学中解决问题的抽象性.
练习(教材第105页)
(1)(1+5%)a (2) (3)5%a
习题(教材第106页)
A组
1.解:辆.
2.解:100x+y.
3.解:[(1+30%)×90%a
-
a]元.
B组
1.解:[90%x+(1+5%)(100
-
x)]元.
2.解:2m+3.
(1)一条河的水流速度是2.5
km/h,船在静水中的速度是v
km/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;
(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,用式子表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数;
(3)如图(1)所示(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;
(4)图(2)是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),用式子表示这所住宅的建筑面积.
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〔解析〕 船在河流中行驶时,船
( http: / / www.21cnjy.com )的速度需要分两种情况讨论:顺水行驶时,船的速度=船在静水中的速度+水流速度;逆水行驶时,船的速度=船在静水中的速度
-
水流速度.
解:(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h,逆水行驶的速度是(v
-
2.5)km/h.
(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.
(3)三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面
( http: / / www.21cnjy.com )积.根据图中的数据,得三角形的面积是ab
cm2,圆的面积是πr2
cm2.因此三角尺的面积为cm2.
(4)住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和.根据图中标出的尺寸,可得这所住宅的建筑面积(单位:m2)是x2+2x+18.
第课时
通过观察探索,发现和总结图形和代数式中所蕴含的规律.
通过对具体对象的观察,发现一些代数式的一般规律.
培养学生善于合作、勇于探索的创新精神.
【重点】 发现和总结一些数量之间的特殊规律.
【难点】 抽象理解代数式的数学模型,尝试解决问题的多种策略.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 自我总结列代数式的一般方法和规律,摆出三角形所用的火柴或小木棍等.
导入一:
观察:
1×3=22
-
1,2×4=32
-
1,3×5=42
-
1……
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
观察每个等式的共同特征,这些等式可以改写为:
(2
-
1)(2+1)=22
-
1;
(3
-
1)(3+1)=32
-
1;
(4
-
1)(4+1)=42
-
1;
……
一般地,有(n
-
1)(n+1)=n2
-
1.
[设计意图] 借助于教材中的练习问题,帮助学生体验代数式中蕴含着某种规律,激发学生对代数式探索的热情.21世纪教育网版权所有
导入二:
出示教材习题中摆火柴的图形,让学生按照教材的方式摆出相应的图形.
问题提出:三角形的个数和所用的火柴数量之间有什么关系
[设计意图] 通过游戏活动,调动学生参与课堂活动的积极性,为本课时的教学活动营造轻松的氛围.
活动1 一起探究
如图所示,这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
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(1)如果设方框左上角的数为a,用含a的代数式表示这9个数的和.
思考:
①方框内每行的三个数之和,和中间的数有什么关系
提示:三个数的和是中间数的三倍.
②怎样表示这九个数的和比较简单
提示:三行数的和依次为3(a+1),3(a+7),3(a+13),故九个数的和为9(a+7).
(2)如果设方框正中间的数为m,用含m的代数式表示这9个数的和.
思考:
①方框内9个数的和,和中间的数15有什么关系
提示:九个数的和为135,为15的九倍.
②如果方框下移一行,中间的数变为21,此时9个数的和是多少
提示:21的九倍.
③根据上述规律,你能直接写出中间数为m的这9个数的和吗
提示:这九个数的和为9m.
(3)如果将方框由左向右平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化 如果方框由上向下平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化
思考:
①在移动后,变化后的数字和原来的数字之间有什么关系
②如果将方框由右向左平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化 如果方框由下向上平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化
提示:无论向哪个方向移动,9个数字之
( http: / / www.21cnjy.com )和都是有规律地变化.向左(右)平移一列,和减少(增加)9.向上(下)平移一行,和减少(增加)6×9=54.
活动2 大家谈谈
图(1)是由点组成的n行n列的方阵,图(2)是由每条边上n个点围成的空心方阵.
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问题探究:
(1)如图(1)所示的方阵的总点数为多少 (n2)
(2)如图(2)所示的方阵的总点数为什么是n2
-
(n
-
2)2
方法1:
如图所示,每边n个点,4个边共4n个点,减去重复计算的4个点,方阵的总点数为4n
-
4.
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方法2:如图所示,将点阵分成不重叠的4组,每组有(n
-
1)个点,方阵的总点数为4(n
-
1).
( http: / / www.21cnjy.com )
方法3:如图所示,将点阵分成不重叠的4组,其中两组各有n个点,另两组各有(n
-
2)个点,方阵的总点数为2n+2(n
-
2).
( http: / / www.21cnjy.com )
列代数式的过程是一个分析和综合的过程,列代数式解决问题的策略往往是多种的.
1.在下列2×2的方格中找出规律,你认为x应为
( )
解析:每个方格中的四个数,对角上的两数和相等,所以3+7=12+x,所以x=
-
2.故选B.
2.(2015·德州中考
( http: / / www.21cnjy.com ))一组数1,1,2,x,5,y,…,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为
( )
A.8
B.9
C.13
D.15
解析:因为这组数据中,“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,所以1+2=x,x+5=y.所以x=3,y=8.故选A.
3.某大学阶梯教室,第一排有m个座位,后面每排比前一排多一个座位,第二排有几个座位 你知道第n排有多少个座位吗
解:第二排有(m+1)个座位,第n排有(m+n
-
1)个座位.
第4课时
活动1 一起探究
活动2 大家谈谈
一、教材作业
【必做题】
教材第108页习题A组第2,3题.
【选做题】
教材第108页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.寻找规律计算1
-
2+3
-
4+5
-
6+…+2015
-
2016等于
( )
A.0 B.
-
1 C.
-
1008 D.1008
2.如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是
( )
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A.27
B.36
C.40
D.54
3.观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.2n+2
B.4n+4
C.4n
–
4
D.4n
4.数字解密:第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8,…,观察并猜想第六个数是 .
5.按如图所示的方式,用火柴棒拼成三角形.
(1)当三角形的个数是5个时,用了多少根火柴棒
(2)要拼成n个三角形需要多少根火柴棒
【能力提升】
6.如图所示,按这种规律堆放圆木,第10堆应有
( )
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A.50根
B.60根
C.65根
D.55根
7.某百货大楼进了一批花布,出售时要在进价的基础上,加上一定的利润,其数量x(米)与售价y(元)如下表:
数量x/米
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
下列公式中正确的是
( )
A.y=0.8x+0.3
B.y=8+0.3x
C.y=(8+0.3)x
D.y=8+0.3+x
8.观察下列图形,根据变化规律推测第100个与第 个图形的位置相同.(填“1”“2”或“3”)
9.已知:2+=22×,3+=32×,4+=42×,5+=52×……
若10+=102×符合前面的式子的规律,则a+b= .
10.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式,探究其中的规律.
(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式;
①4×0+1=4×1
-
3;
②4×1+1=4×2
-
3;
③4×2+1=4×3
-
3;
④ ;
⑤
( http: / / www.21cnjy.com ) .
(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式.
【拓展探究】
11.如图所示,自行车每节链条的长度为2.5
cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8
cm.
(1)4节链条长 cm;
(2)n节链条长 cm;
(3)如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成,那么这辆自行车上链条的总长度是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案与解析】
1.C(解析:原式=(1
( http: / / www.21cnjy.com )
-
2)+(3
-
4)+(5
-
6)+…+(2015
-
2016)=
-
1+(
-
1)+(
-
1)+…+(
-
1)=
-
1008.)
2.C(解析:
一竖列上相邻的三个数的和是3的倍数.)
3.D(解析:根据给出的3个图形可以
( http: / / www.21cnjy.com )知道:第1个图形中三角形的个数是4,第2个图形中三角形的个数是8,第3个图形中三角形的个数是12,从而得出一般的规律,第n个图形中三角形的个数是4n.故选D.)
4.65(解析:
本题是数字规律探索题,观察前四个数字的特点,不难发现第五个数是17+16=33,第六个数是33+32=65.)
5.解:(1)11根. (2)(2n+1)根.
6.D(解析:找出规律,每堆的根数如下:第1堆:1,第2堆:3=1+2,第3堆:6=1+2+3,…,第n堆:1+2+3+…+n=.)
7.C(解析:数量x=1时,售价y=8+0.3,接下来,16是8的2倍,0.6是0.3的2倍,依次观察可发现y是x的(8+0.3)倍.)
8.1(解析:图形的变化规律是三个一循环,100÷3商33余1,所以第100个与第1个图形的位置相同.故填1.)【来源：21cnj
y.co
m】
9.109(解析:由题意知b=10,a=102
-
1=99,则a+b=99+10=109.)
10.解:(1)④4×3+1=4×4
-
3;⑤4×4+1=4×5
-
3. (2)4(n
-
1)+1=4n
-
3.
11.解:(1)根据图形可得出:2节链
( http: / / www.21cnjy.com )条的长度为(2.5×2
-
0.8)cm,3节链条的长度为(2.5×3
-
0.8×2)cm,4节链条的长度为2.5×4
-
0.8×3=7.6(cm).故填7.6. (2)由(1)可得n节链条长为2.5n
-
0.8(n
-
1)=1.7n+0.8(cm).故填(1.7n+0.8). (3)因为自行车上的链条为环形,所以要比展直时缩短0.8
cm,故这辆自行车链条的总长度是1.7×50=85(cm).
规律探索问题既需要充分调动学生的思维,也
( http: / / www.21cnjy.com )需要给予学生必要的指导.在引导学生进行探究的过程中,提出了相关具有引导性的问题,不但可以帮助学生摸索解决探索规律问题的方法,而且可以使学生体验到探索尝试的快乐.
对教材习题的处理花费的时间比较少,课后作业的部分习题难度较大.
在探索空心方阵的总点数等于n2
-
(n
-
2)2的过程中,可以让学生分组进行,最后总结全班同学一共列出了多少种算法.
练习(教材第107页)
解:n(n+2)=(n+1)2
-
1.
习题(教材第108页)
A组
1.解:(1)3 5 7 9 11 (2)(2n+1)根. (3)分别需要37根,81根火柴.
2.解:(2n+1)粒.
3.(1)64 8 15 (2)(n
-
1)2+1 n2 (2n
-
1)
B组
1.解:(1)42分;56分. (2)n(n
-
1)分.
2.解:(1)30个;42个. (2)6(2n
-
1)个.
(山西中考)如图所示的是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是 .
〔解析〕 由图可知第一个图案有阴影
( http: / / www.21cnjy.com )小三角形2个,第二个图案有阴影小三角形2+4=6(个),第三个图案有阴影小三角形2+8=10(个),第四个图案有阴影小三角形2+12=14(个),…,所以第n个图案有阴影小三角形2+4(n
-
1)=4n
-
2(个).故填4n
-
2(或2+4(n
-
1)).
[解题策略] 解决此种类型题的关键是分别数清每一个图案中的三角形个数,再由此发现规律,从而写出最终结果.
3.3 代数式的值
1.了解代数式的值的概念,会求代数式的值,并能体会代数式实际上是由计算程序反映的一种数量关系.
2.通过简单实例中两个数量之间的对应关系,进一步发展符号感.
3.根据代数式求值,推断代数式所反映的规律.
经历观察、实验、猜想等数学活动的过程,发展
合理的推理能力,能综合运用所学知识解决问题.
初步认识数学与人类活动的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【重点】 会求代数式的值;规范求值步骤.
【难点】 根据代数式求值,推断代数式所反映的规律.
第课时
了解代数式的值的概念,会求代数式的值.
通过课堂活动,理解代数式是一种计算程序.
初步认识数学与人类活动的密切联系.
【重点】 会求代数式的值;规范求值步骤.
【难点】 理解代数式是一种运算程序.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习代数式的相关定义.
导入一:
如图所示,由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4n
-
4,4(n
-
1),2n+2(n
-
2).
( http: / / www.21cnjy.com )
请你谈谈:当字母n是一个具体数值的时候,能算出这个空心方阵的总点数吗
[设计意图] 借助于上节课学习的问题情境,帮助学生认识到代数式可以通过确定字母的具体值解决实际问题.
导入二:
问题:(1)遗传是影响一个人身高的因素之一.
( http: / / www.21cnjy.com )国外有学者总结出由父母身高预测子女身高的公式:儿子成年后的身高=,女儿成年后的身高=,其中a是父亲的身高,b是母亲的身高,单位:m.现在你可以预测一下自己的身高了.
(2)你们用同一个公式计算的结果相同吗 为什么
[设计意图] 学生通过计算自己的身高,发现这实际就是代入求值问题,为学习本节课代数式的求值做准备.
导入三:
同学们一定记得圆的周长和面积公式吧 利用这个公式我们可以求具体的一个圆的周长和面积,这个计算的过程,实际就是一个求代数式的值的过程.
[设计意图] 借助于学生的学习经验,并迁移到新的学习内容中,便于学生接受知识.把具体的数代入代数式,就可以得到代数式的值了.
活动1 代数式是一种运算程序
在上节课研究的由点组成的空心方阵这一问题中,当空心方阵每边上的点数为n时,方阵总点数的一种表示形式是4n
-
4.
这是一个含字母n的代数式.
问题:此时我们能知道这个代数式的值是多少吗
1.一起探究.
(1)当n取4,10,13,25等值时,分别代入上面的代数式,计算出代数式4n
-
4相应的值.
思考:对于n的同一个值,同学们得到的结果都相同吗 (相同.)
(2)以n=4和n=13为例,说明你是如何算出4n
-
4的值的.
( http: / / www.21cnjy.com )
n=4时,4n
-
4=4×4
-
4=12.
n=13时,4n
-
4=4×13
-
4=48.
(3)总结:从上面我们可以看到,对代数式中的字母代入不同的值,都可以求出代数式相应的值.一个代数式,可以看作一个计算程序.例如:
5x2
-
8x+2→输入x=
-
2→5×(
-
2)2
-
8×(
-
2)+2→输出38.
2.代数式的值.
像这样,用数值代替代数式中的字母,按照代数式中给出的运算计算出的结果,叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.
活动2 例题讲解
根据下面a,b的值,求代数式a
-
的值:
(1)a=2,b=
-
6; (2)a=
-
10,b=4.
解:(1)当a=2,b=
-
6时,
a
-
=2
-
=2+3=5.
(2)当a=
-
10,b=4时,
a
-
=
-
10
-
=
-
10+=
-
.
如图所示,已知长方体的高为h,底面是边长为a的正方形.当h=3,a=2时,分别求其体积V和表面积S.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
解:因为V=a2h,S=2a2+4ah,
所以当a=2,h=3时,
V=a2h=22×3=12,
S=2a2+4ah=2×22+4×2×3=32.
[知识拓展] (1)代数式的值
( http: / / www.21cnjy.com )是按代数式的运算关系得到的具体数值,随字母取值的不同而不同,字母的值确定了,代数式的值也就确定了,但字母的取值必须确保代数式有意义.
(2)代数式中原来省略乘号时,代入具体数值后出现数与数相乘时,必须恢复乘号.
(3)若做乘方运算,字母给出的数值是负数或分数,代入时要加括号.
(4)一个代数式的值由它所含字母的值决定,具有不唯一性.
1.一个代数式,可以看作一个计算程序.
2.用数值代替代数式中的字母,按照代数式中给出的运算计算出的结果,叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.
1.(2015·湖州中考)当x=1时,代数式4
-
3x的值是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:当x=1时,4
-
3x=4
-
3×1=1.故选A.
2.若+(2y+1)2=0,则x2+y3的值为
( )
A.1
B.
-
1
C.
D.2
解析:由题意知x=
-
,y=
-
,x2+y3=.故选C.
3.(2015·龙岩中考)若4a
-
2b=2π,则2a
-
b+π= .
解析:由4a
-
2b=2π两边同时除以2,得2a
-
b=π,代入所求代数式得2a
-
b+π=π+π=2π.故填2π.
4.(1)分别求出代数式a2
-
2ab+b2和(a
-
b)2的值,其中:①a=,b=3,②a=5,b=3;
(2)观察(1)中的①②你发现了什么
解:(1)①,;②4,4. (2)a2
-
2ab+b2=(a
-
b)2.
第1课时
活动1 代数式是一种运算程序
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第112页习题A组第1,5题.
【选做题】
教材第112页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·海南中考)已知x=1,y=2,则代数式
x
-
y
的值为
( )
A.1
B.
-
1
C.2
D.
-
3
2.(2015·娄底中考)已知a2+2a=1,则代数式2a2+4a
-
1的值为
( )
A.0
B.1
C.
-
1
D.
-
2
3.下列代数式中的x能取0的是
( )
A.
B.
C.
D.
4.若x=2,则x3= .
5.求下列条件下代数式的值.
(1)当a=8,b=2时;
(2)当a=,b=时.
【能力提升】
6.若x=4,则|x
-
5|的值是
( )
A.1
B.
-
1
C.9
D.
-
9
7.当x分别等于3和
-
3时,代数式x6
-
2x2+1的值
( )
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.异号
8.若|a|=3,b=2,则a+b= .
9.请写出一个含有x,y的代数式,并且给定一组x,y的值,使得代数式的值为6.
10.设A=x2
-
3xy
-
y2,B=
-
2x2+xy
-
y2,当x=
-
,y=
-
4时,试比较A与B的大小.
【拓展探究】
11.已知x=
-
1,则代数式x+x2+x3+x4+…+x2016等于 .
12.当代数式3
-
(x
-
1)2取最大值时,代数式4x
-
[
-
x2+2(2x
-
1)]的值等于 .
13.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=1,求(a+b
-
1)+3cd
-
2m的值.
【答案与解析】
1.B(解析:把x=1,y=2代入代数式x
-
y中,得x
-
y=1
-
2=
-
1.)
2.B(解析:原式=2(a2+2a)
-
1=2×1
-
1=1.)
3.A(解析:0不能作分母,B,C,D错误.)
4.1(解析:
x3=×23=1.)
5.解:(1)当a=8,b=2时,. (2)当a=,b=时,.
6.A(解析:把x=4代入|x
-
5|,得|x
-
5|=|4
-
5|=|
-
1|=1.)
7.C(解析:互为相反数的两个数的偶次方相等.)
8.5或
-
1(解析:由|a|=3得a=±3,因此a+b=3+2=5或a+b=
-
3+2=
-
1.)
9.解:本题答案不唯一,可以任意给
( http: / / www.21cnjy.com )定一个含x,y的代数式,也可有无数组x,y的值使代数式的值为6.如:代数式x2+2y,当x=2,y=1时,x2+2y=22+2×1=6.
10.解:当x=
-
,y=
-
4时,A=x2
-
3xy
-
y2=
-
3××(
-
4)
-
(
-
4)2=
-
,B=
-
2x2+xy
-
y2=
-
2××(
-
4)
-
(
-
4)2=
-
,因为
-
<
-
,所以A11.0(解析:把x+x2,x3+x4,x5+x6,…,x2015+x2016分别看成一个整体,易知这些数都为0,故原式为0.)
12.3(解析:当x=1时,3
-
(x
-
1)2取最大值,所以原式=4×1
-
[
-
12+2(2×1
-
1)]=3.)
13.解:由题意得a+b=0,cd=1,m=
( http: / / www.21cnjy.com )±1,当m=1时,原式=(a+b
-
1)+3cd
-
2m=(0
-
1)+3
-
2=
-
+3
-
2=;当m=
-
1时,原式=(a+b
-
1)+3cd
-
2m=(0
-
1)+3+2=
-
+3+2=.
根据课程标准把握教材.新的课程标准要求注重知识的形成过程及学生对概念的感知和理解,如通过学生的实际计算,让学生熟练掌握代数式的值的概念.
演示例题的过程中,忽略了强调计算过程中应该注意的问题.
在教学过程中,让学生重点体会如何根据实际问题求代数式的值.帮助学生进一步建立起数学和生活联系的观念.
练习(教材第111页)
1.解:(1)当a=,b=时,a2+b2=,(a+b)2==1. (2)当a=4,b=
-
3时,a2+b2=42+,(a+b)2=.
2.解:(1)当x=2,y=1,z=
-
3时,z
-
y(z
-
x)=
-
3
-
1×(
-
3
-
2)=2. (2)当x=2,y=1,z=
-
3时,=
-
1.
习题(教材第112页)
A组
1.提示:(1). (2)4. (3)2.
2.提示:(a+b)(a
-
b)=a2
-
b2.
3.解:(1)a(20
-
a)cm2. (
( http: / / www.21cnjy.com )2)从左到右依次填:36,64,84,96,100,96,84,64. (3)当a=10时,长方形的面积最大,这时长方形变为正方形.
4.解:(1)第一行从左到右依
( http: / / www.21cnjy.com )次填:
-
4,
-
1,,2,,5,8,第二行从左到右依次填:8,5,,2,,
-
1,
-
4. (2)当a取的值越来越大时,代数式3a+2的值也随之增大,代数式
-
3a+2的值却随之减小.
5.提示:(1)1. (2).
B组
1.提示:当a=
-
2,a=2,a=时,a
-
的值都为1.
2.解:(1)当x=2,y=3时,(x+y)2=25,x2+2xy+y2=25. (2)当x=
-
2,y=4时,(x+y)2=4,x2+2xy+y2=4. (3)略. (4)(x+y)2=x2+2xy+y2.
下面是一组数值转换机,写出图(1)的输出结果(写在横线上),找出图(2)的转换步骤(填写在框内).
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 (1)先乘2,再减去3,列代数式得2x
-
3;(2)由可知先加上3,再除以2.
〔答案〕 (1)2x
-
3 (2)+3 ÷2
(大庆中考)按照如图所示的程序计算,若输入x=8.6,则m= .
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 根据图表可知m表示8.6的整数部分,即m=8.故填8.
[解题策略] 本题考查了代数式的求值,正确读图,理解x与m的关系是解题关键.
第课时
1.通过列表格等方法建立代数式数学模型.
2.通过代数式的计算理解具体的生活情境.
通过生活情境,进一步理解代数式的意义.
提升学生的数学应用意识,发展数学符号感.
【重点】 建立代数式数学模型,解决生活中的实际问题.
【难点】 通过代数式的计算理解具体的生活情境.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 交流总结自己发现的生活中存在的代数式.
导入一:
出示问题:
在某一时刻,小惠测得一棵2.4
m高的树在阳光下的影子的长为1.8
m.
(1)写出此时高度为h(m)的物体与它在阳光下的影子的长p(m)之间的关系式.
(2)多高的物体,此时它在阳光下的影子的长为1.5
m
(3)多高的物体,此时它在阳光下的影子的长超过2
m
[设计意图] 通过第(1)问,帮助学生复习列代数式的基本方法;通过第(2)(3)问,帮助学生体会代数式的值的应用.21·cn·jy·com
导入二:
物体自由下落的高度h米和下落的时间t秒的关系,在地球上大约是h=4.9t2,在月球上大约是h=0.8t2.
(1)填写下表:
t
0
2
4
6
8
10
h=4.9t2
h=0.8t2
(2)物体在哪儿下落得快
(3)当h=20时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
[设计意图] 通过生活中的科学计算问题,帮助学生体会数学的应用价值.
[过渡语] 我们不但要学会列代数式,同时也要通过代数式理解其应用价值.
活动1 做一做
小亮家离学校1280
m.
( http: / / www.21cnjy.com )他每天步行上学,速度约是80
m/min.我们用t(min)表示小亮从离开家开始的步行时间,s1(m)表示离开家的路程,s2(m)表示距学校的路程.
(1)写出用t分别表示s1和s2的代数式:
s1= ,
s2= .
提示:s1=80t,s2=1280
-
80t.
(2)对具体的t值,计算s1和s2的值,并填写下表:
t/min
0
4
5.5
10
12.5
16
s1/m
s2/m
提示:
t/min
s1/m
s2/m
0
0
1280
4
320
960
5.5
440
840
10
800
480
12.5
1000
280
16
1280
0
(3)当t=7时,请你比较小亮离开家的路程与离学校的路程哪个远.
提示:t=7时,s1=560,s2=720.此时,小亮离学校的路程远.
追问:
1.表格中的s1/m和s2/m在同时间对应的数量关系有什么特点 (两个数量之和等于小亮从学校到家的距离.)
2.通过这个表格,是否可以计算出任何一个时间中小亮的位置情况 (可以.)
活动2 一起探究
某农场购买了一台新型拖拉机
( http: / / www.21cnjy.com )用来耕地.为了测试耕地时的耗油量,用它试耕了三块地,其面积分别为0.4公顷,0.6公顷和1公顷.油量表的指针变化情况如图所示(油表中的一个大格表示10升油).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)根据油量表指针的变化,估算耕地0.4公顷,0.6公顷,1公顷的耗油量(升),与同学交流,并将结果填入表中.
耕地面积/公顷
0.4
0.6
1
耗油量/升
(2)如果设耕地a(公顷)耗油量为b(升),列代数式表示a和b之间的关系.
(3)根据所列的关系式,求解下列问题:
①耕地面积为0.5公顷,2公顷时,耗油量分别是多少
②如果两次耕地耗油量分别是12升和40升,那么所耕地的面积分别是多少公顷
提示:
(1)根据油量表指针的变化,得:
耕地面积/公顷
0.4
0.6
1
耗油量/升
10
15
25
(2)每耕1公顷地,耗油量为25升.
因此,b=25a.
(3)①12.5升,50升.②公顷,公顷.
追问:
1.本探究问题的核心代数式是什么 (b=25a.)
2.列出这个代数式的主要依据是什么 (依据是本题图所给出的数据.)
3.根据所列出的代数式可以解决哪些相关问题 (如耕多少地耗油多少,根据耗油的数量判断耕地的数量等.)21cnjy.com
通过生活中的数量关系可以列出代数式,通过列出的代数式可以解决生活中的数量关系问题.
1.树的高度与树生长的年数有关,测得某棵树的有关数据如下表:(树苗原高100厘米)
年数n
高度an/厘米
1
100+5
2
100+10
3
100+15
4
100+20
…
…
(1)用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度an;
(2)生长了11年的树的高度是多少
解:(1)an=100+5n. (2)当n=11时,an=100+5n=100+5×11=155(厘米).
2.某人到泉州市移动通讯营业厅办理手
( http: / / www.21cnjy.com )机通话业务,营业员给他提供了两种办理方式,甲方案:月租9元,每分钟通话费0.2元;乙方案:月租0元,每分钟通话费0.3元.
(1)若此人每月平均通话x分钟,则两种方式的收费各是多少元 (用含x的代数式表示)
(2)此人每月平均通话10小时,选择哪种方式比较合算 试说明理由.
解:(1)甲方案:9+0.2x,乙方案:
( http: / / www.21cnjy.com )0.3x. (2)10小时=600分钟,甲方案收费:9+0.2×600=129(元),乙方案收费:0.3×600=180(元),因为129<180,所以选择甲方案合算.
第2课时
活动1 做一做
活动2 一起探究
一、教材作业
【必做题】
教材第114页练习.
【选做题】
教材第114页习题A组第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.有一摞纸,每20张的厚度为1
mm,设x张纸的厚度为y
mm,则10张纸的厚度为 mm.
2.某电视机厂接到一批订货,每天生
( http: / / www.21cnjy.com )产m台,计划需a天完成任务,现在为了适应市场需求,要提前3天交货,用代数式表示实际每天应多生产多少台电视机,并求当m=1000,a=28时,每天多生产的台数.21
cnjy
com
3.治理沙漠的植树活动中,某县今年派出的青年志愿者为100人,每人完成植树任务50棵,计划明年派出的人数增加p%,每人植树的任务增加q%.
(1)写出明年计划的植树总数的代数式;
(2)求出当p=10,q=20时的植树总数.
【能力提升】
4.张叔叔在某房地产公司买了一套经
( http: / / www.21cnjy.com )济适用房,他准备将地面铺上地砖,这套住宅的建筑平面图(由四个长方形组成)如图所示(图中长度单位:米),解答下列问题.
(1)用式子表示这所住宅的总面积;
(2)若铺1平方米地砖平均费用为120元,求当x=6时,这套住宅铺地砖的总费用为多少元.
( http: / / www.21cnjy.com )
5.某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.6
℃.
(1)如果山脚温度是30
℃,那么山上x米处的温度为多少
(2)如果山脚温度不变,那么山上300米、1000米、5000米处的温度各是多少
6.某公园的成人票价为25元,儿童票价为15元,甲旅行团有x名成人和y名儿童.
(1)求甲旅行团所需的门票总费用;
(2)若乙旅行团的成人数是甲旅行团成人数的,儿童数是甲旅行团儿童数的3倍,则乙旅行团所需的门票总费用是多少
(3)当x=10,y=4时,两个旅行团所需的门票总费用是多少元
【拓展探究】
7.(2015·漳州中考)在
( http: / / www.21cnjy.com )数学活动课上,同学们利用如图所示的程序进行计算,发现无论x取任何正整数,结果都会进入循环,下面选项一定不是该循环的是
( )
A.4,2,1 B.2,1,4 C.1,4,2 D.2,4,1
8.某学校准备组织部分教师到杭州
( http: / / www.21cnjy.com )旅游,现联系了甲、乙两家旅行社,两家旅行社报价均为400元/人,同时两旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措:甲旅行社对每位游客七五折优惠;而乙旅行社则免去一位带队教师的费用,其余游客八折优惠.
(1)如果设参加旅游的教师共有x(x>10)人,那么甲旅行社的费用为 元,乙旅行社的费用为 元;(用含x的代数式表示)
(2)假如某校组织17名教师到杭州旅游,该校选择哪一家旅行社比较优惠 请说明理由.
【答案与解析】
1.0.5(解析:
总厚度=每张纸的厚度×张数.y=x.当x=10时,y=x=×10=0.5.故填0.5.)
2.解:实际每天应多生产台电视机.当
( http: / / www.21cnjy.com )m=1000,a=28时,
-
m=
-
1000=1120
-
1000=120,即每天多生产120台.
3.解:(1)50(1+q%)×10
( http: / / www.21cnjy.com )0(1+p%). (2)当p=10,q=20时,50(1+q%)×100(1+p%)=50×1.1×100×1.2=6600,即植树总数为6600棵.
4.解:(1)总面积=3x+x2+
( http: / / www.21cnjy.com )4×3+2×3=x2+3x+18. (2)当x=6时,总面积=62+3×6+18=36+18+18=72(平方米),所以这套住宅铺地砖的总费用为72×120=8640(元).
5.解:(1)山上x米处的温度是℃.
( http: / / www.21cnjy.com ) (2)把x=300,1000,5000分别代入30
-
,得30
-
=28.2(℃),30
-
=24(℃),【出处：21教育名师】
30
-
=0(℃),因此当山脚温度为30
℃时,山上300米、1000米、5000米处的温度分别为28.2
℃,24
℃,0
℃.
6.解:
(1)(25x+15y)
( http: / / www.21cnjy.com )元. (2)(10x+45y)元. (3)当x=10,y=4时,25x+15y=25×10+15×4=310(元).10x+45y=10×10+45×4=280(元).所以当x=10,y=4时,两个旅行团所需的门票总费用是310+280=590(元).
7.D(解析:若最初输入
( http: / / www.21cnjy.com )的数是4,由x=4是偶数,得对应的值是=2;而x=2是偶数,则对应的值是=1;而x=1是奇数,则对应的数是3x+1=4.由此可得以4,2,1为一个循环节进入循环.类似地,用上述方法可得:当最初输入的数是2时,其将以2,1,4为一个循环节进入循环;当最初输入的数是1时,其将以1,4,2为一个循环节进入循环.故选D.)
8.解:(1)甲旅行社:4
( http: / / www.21cnjy.com )00×0.75x=300x,乙旅行社:400×0.8(x
-
1)=320(x
-
1).故分别填:300x,320(x
-
1). (2)当x=17时,300x=300×17=5100(元),320(x
-
1)=320×16=5120(元),5100<5120,所以该校选择甲旅行社比较优惠.
本题的教学设计围绕通过列出的代数
( http: / / www.21cnjy.com )式去拓展解决具体问题展开,抓住了课时教学的重点.通过对问题的追问,加深了学生对代数式数学模型重要作用和意义的理解.
在填写表格数据的时候,没有让学生进行交流
和比较,忽略了交流合作在这个环节中的重要作用.
在处理活动1的时候,可以让学生自主选择不同时间的数据进行分析,这样可以更好地增强学生学习的自主性.
练习(教材第114页)
提示:(1)h=p. (2)2
m. (3)高度超过
m的物体.
习题(教材第114页)
A组
1.解:(1)p=(1+3.50%
( http: / / www.21cnjy.com ))a. (2)当a=1000时,p=1035(元),当a=2000时,p=2070(元),当a=4500时,p=4657.5(元). (3)列表如下:
a/元
1000
2000
4500
p/元
1035
2070
4657.5
2.解:(1)y=2x+1,z=3x
( http: / / www.21cnjy.com )
-
1. (2)第一行从左到右依次填:3,5,7,9,11,13,15,17.第二行从左到右依次填:2,5,8,11,14,17,20,23. (3)略.
3.解:(1)[7+0.8(n
-
1)]cm. (2)当n=6时高度为11
cm.
B组
1.解:(1)乙车出发x
h后,甲车离A地路程为千米,乙车离A地路程为80x千米. (2)60×+60x=80x.
2.解:(1)4×6
-
52=24
-
25=
-
1 (2)n(n+2)
-
(n+1)2=
-
1.
复习题(教材第116页)
A组
1.(1)
-
(a≠0) (2) (3) (4)5a (5)b(b+3) (6)
2.解:(1). (2)2a+b2. (3)a2+b2
-
4ab.
(4)+3.
3.解:(1)①3n. ②5n+2
( http: / / www.21cnjy.com ). ③2n
-
1. (2)×100% (3)2 (4)100(m+1)+10m+(m
-
1),即111m+99.
4.解:a+(a+7)+(a+14)+(a+21),即4a+42.
5.解:(4a+5)岁.
6.解:(1)(2x+50)m2. (2)
m2.
7.解:.
8.解:km.
10.解:x人,人.
11.解:(1)当x=5时,y=20.5(元),当x=10时,y=41(元). (2)y=4.1x.
12.解:n2+n=n(n+1).
13.解:第1行从左到右依次填:
-
( http: / / www.21cnjy.com )18,
-
4,
-
6,
-
2,2,8,18,第2行从左到右依次填:18,,3,2,3,,27,第3行从左到右依次填:,,0,,,,.
14.提示:当x=时,x2+2x+1和(x+1)2的值均为.
B组
1.解:[a+(2a+3)]·,即(a+1)2.
2.解:(1+3.5%)x+(1+3.5%)x·4.4%×2=1.12608x(元).
3.解:甲:.乙:.丙:.总共完成的工作量:.
4.解:[4+n(n+1)]个.
5.解:(1)从左到右依次填:3,6,10,15,21,28. (2)w=a(a+1).
C组
1.解:(1)个位数字依次是1,3,7,5,依次循环. (2)略. (3)5.
2.(1)略. (2)略. (3
( http: / / www.21cnjy.com ))解:设高为h.圆柱形容器的容积为π·h=,长方体形容器的容积为h=.因为4π<16,所以,所以圆柱形容器的容积大.
3.解:(1)0.25厘
( http: / / www.21cnjy.com )米.12.25厘米. (2)(12+0.25n)厘米. (3)同意,因为当n=72时,12+0.25n=12+0.25×72=30(厘米).
一根长80厘米的弹簧,一端固定,如果另一端挂上物体,那么在正常情况下,物体的质量每增加1千克,弹簧增长2厘米.
(1)填写下表:
所挂物体的质量
/
千克
1
2
3
4
…
弹簧的总长度/厘米
82
84
86
( )
…
(2)如何表示所挂物体的质量是m(千克)时弹簧的总长度L(厘米)是多少 用m的代数式来表示.
(3)如果弹簧的长度为92厘米,此时挂上多少千克的物体
解:(1)由题意知表中括号内应填88.
(2)L=80+2m.
(3)当L=92时,92=80+2m,解得m=6,
即此时挂上6千克的物体.
1.理解用字母表示数的意义,能结合具体情境给字母赋予实际意义.
2.理解代数式和代数式的值的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,在具体情境中能求出代数式的值.
3.建立数感、符号意识,初步形成运算能力,发展抽象思维.
1.经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程,体会数学与现实世界的联系,增强符号感,发展运用符号解决问题和数学探究意识.
2.会求代数式的值,能解释代数式的值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
在解决问题的过程中体验类比、联想等思维,体验数学美,增强学习的自信心.
【重点】 列代数式;求代数式的值.
【难点】 正确列出代数式表示现实问题中的数量关系;从不同的角度给代数式赋予实际意义.
代数式
专题一 用字母表示数
【专题分析】
用字母表示数量关系是学好本章的基础,也是
( http: / / www.21cnjy.com )今后学习方程、函数、不等式等内容的必备知识,应用广泛,涉及面广,且是中考常考的内容.用字母表示数解决了特殊与一般的关系,体现了“由特殊到一般”,再由“一般到特殊”的认识规律的思想方法.
用字母表示数,转化为用数字、字母和运算符号构成的符号语言.用字母表示数的特点:任意性,抽象性.
用字母表示下列各数.
(1)每包书有20册,n包书有 册;
(2)温度由t
℃下降3
℃后是 ℃;
(3)产量由m千克增长20%,就达到 千克.
〔解析〕 第(2)小题中,下降3
( http: / / www.21cnjy.com )
℃就是用t加上
-
3,且后面有单位,所以t
-
3要加括号,写成t
-
3就不对了;第(3)小题中,增长20%,即(1+20%)m.
〔答案〕 (1)20n (2)(t
-
3) (3)(1+20%)m
【针对训练1】 用字母表示下列各数.
(1)比a与b的和小3的数;
(2)比a与b的积的2倍大5的数;
(3)比a与b的差的一半小1的数;
(4)比a除以b的商的3倍大8的数.
〔解析〕 从关键性的词语判断运算顺序,列式即可.
解:(1)a+b
-
3. (2)2ab+5. (3)(a
-
b)
-
1. (4)+8.
[规律方法] 根据实际问题中的数量关系列出所要求的式子,在列式时,要抓住关键性词语,掌握好它们和运算之间的对应关系.
专题二 代数式
【专题分析】
用字母表示数有一定的限制,字母所取的数应保证它所在的式子有意义,单独一个数或一个字母也是代数式.
某风景区的门票价格是:成人票每张10元,学生票每张5元.一个旅游团有成人x人、学生y人.
(1)请你根据题意确定该旅游团应付多少门票费;
(2)如果该旅游团有37个成人,15个学生,那么门票费是多少呢
〔解析〕 x和y分别表示人数,取值时应符合实际意义.
解:(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)把x=37,y=15代入代数式10x+5y,得
10x+5y=10×37+5×15=445.
因此,他们应付445元门票费.
[解题策略] 10x+5y表示的是x个成人、y个学生进公园的门票费.
【针对训练2】 如果用x(m/s)表示小明跑步的速度,用y(m/s)表示小明走路的速度,那么10x+5y表示什么
解:表示他跑步10
s和走路5
s所经过的路程.
专题三 列代数式
【专题分析】
列代数式是研究数量关系的重要基础,在整个中学数学中占有极其重要的地位.
列代数式的几个注意事项:
(1)
第三章 代数式
1.让学生经历用字母表示以前学过的运算律和计算公式,并体会用字母表示数的意义,形成初步的符号感.
2.理解代数式的意义,能解释一些简单代数式的实际背景,并能体会代数式是反映数量之间关系的数学模型.
3.会求代数式的值,能够根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入字母的具体值进行计算.
1.用代数式表示实际问题中的数量关系,要求学生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法.
2.学会“观察—归纳”的思维方法.
3.将文字语言描述的数量或数量关系,用符号语言表示,使学生感悟其中“分析—综合”方法的应用.
1.培养学生准确运算的能力,并适当地渗透特殊与一般的辩证关系的思想.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯,体会数学与现实的联系.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
本章内容包括用字母表示数、代数式、代数式
( http: / / www.21cnjy.com )的值.数的运算伴随着数的扩充与发展不断丰富,用字母表示数后,再用加、减、乘、除、乘方和开方等运算符号连接数和字母形成代数式,从而可以用方程刻画现实问题中的等量关系,用不等式表示数量间的不等关系,用函数研究数量间的变化以及对应关系.所以代数式是学习方程、不等式、函数的基础,它对整个第三学段代数知识的学习具有奠基作用.教材采用“大家谈谈”“一起研究”“做一做”等模块,以生动鲜活的例子引入课题,加强讨论与交流,实验与探究,以及动手操作活动的开展,进一步培养学生运用符号解决问题的能力和进行判断和推理的能力,以及培养学生的探索精神.
【重点】
1.列代数式,求代数式的值.
2.培养学生对知识的抽象和概括能力.
【难点】 由实际问题列代数式及规律探究题的解法.
1.教学中重点渗透具体数字到字母的抽象概括思维方式,并注意归纳、类比、转化等思想方法的应用.
2.让学生经历观察、探究、思考交流,分析问题中的数量关系,来发展数学思维.
3.用代数式表示实际问题的数量关系,要求学
( http: / / www.21cnjy.com )生逐步掌握一些分析数量关系的一般方法,对有些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更加清晰.
4.在代数式求值的教学过程中,让学生体会到
( http: / / www.21cnjy.com )从运算的角度看,代数式是一个计算过程.可以借助图框教学来显示计算过程.对含一个字母的代数式,有意识地取字母的不同值,代入并进行计算,来感受代数式的值是随着字母取值的变化而变化的,渗透函数思想.在解决实际问题的过程中,采用“由特殊到一般再到特殊”的教学过程.
5.代数式中字母的取值,要根据具体问题确定其范围,必须要保证代数式和其在实际问题中有意义.
3.1 用字母表示数
1课时
3.2 代数式
4课时
3.3 代数式的值
2课时
回顾与反思
1课时
3.1 用字母表示数
1.在观察、思考的过程中形成用字母表示数的一般概念.
2.体会用字母表示数的特点和意义.
3.通过用字母表示一些具体的数学量,初步培养抽象思维的能力和符号逻辑.
在实践的过程中,体会到用一个一般的量来表示具体数值的必要性.通过自主式学习和研究式学习,在教师的帮助下形成代数的思维方式.
1.通过实践、观察、思考、归纳等环节,总结规律,培养自主学习的能力.
2.体会简单的数学思想是如何运用到具体情况中的.
3.在与其他同学的交流和讨论中,培养既合作又竞争的意识.
【重点】
1.通过实践总结规律,并使用字母表示规律.
2.能够自觉地使用字母表示简单的数学关系.
【难点】
1.认识用字母表示数具有不唯一性.
2.能根据实际情况列出合理的代数式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P96~97.
导入一:
出示教材章前图情境问题:
【课件】 代数式在现实生活
( http: / / www.21cnjy.com )中的应用非常广泛.如存款问题:爷爷在银行按1年定期存了a元钱,存款时的1年定期存款年利率是3.50%.到期后,爷爷取出本息共为p元.怎样写出用a表示p的式子
( http: / / www.21cnjy.com )
[设计意图] 教材中的章前图和内容具有生活情境性,可以帮助学生初步感知用字母表示数的必要.
导入二:
周末,小明帮妈妈打扫卫生,做完后心里美滋滋的,想着自己喜欢的玩具,忽然他计上心来……
妈妈下班后看到桌上有一纸条,内容是拖地
( http: / / www.21cnjy.com )3元,叠被1元,抹窗5元,丢垃圾袋1元,共计10元.妈妈看了之后,一言不发,提笔在纸上加上了吃饭x元,穿衣y元,带去看病z元,关心a元,…,共计b元.写完后就去厨房做饭了,小明看后心里很不是滋味,心生惭愧,赶忙收起纸条.小明懂得了x与y等字母的含义,同学们,你们懂吗
[设计意图] 用伟大的母爱,引出本节课的内容,让学生学会感恩.
活动1 运算律中的字母
[过渡语] 在我们身边有许多用字母来表示数的例子,今天我们就一起来探索下这个问题.
师:科学家爱因斯坦上小学时,在一次数学课中,发现了下列等式:
1+2=2+1,
3.5+5.6=5.6+3.5,
.
大家能用示例再验证下这个规律吗
生随意举例.
师:如果仅靠具体的示例,还不能把这个规律完整地表达出来.你能把这个规律用简明的方法表示出来吗
活动方式:师生对话、交流.
[设计意图] 利用教材情境,让学生明白字母能简明表示一些规律,与此同时培养学生善于观察和勤于积累的能力.
[处理方式] 展示学生的成果:爱因斯坦发现的这个规律就是加法交换律,用字母表示为a+b=b+a(a,b表示任意数).
(过渡语)师:还有没有其他的已学过的运算律
预设 生1:加法结合律:a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c.
生2:乘法交换律:ab=ba.
生3:乘法结合律:abc=a(bc)=(ab)c.
(a,b,c分别为任意数)
……
(过渡语)师:同学们回答得太好了,那么除了用字母表示运算律之外,用字母还可以表示公式.
【课件展示】
1.长方形的面积计算公式S=ab,S表示面积,a,b分别表示长方形的长与宽.
2.圆的面积计算公式S=πr2,S表示面积,r表示圆的半径.
3.长方体的体积计算公式V=abc,V表示体积,a,b,c分别表示长方体的长、宽、高.
4.圆柱的体积计算公式V=πr2h,V表示体积,r表示底面半径,h表示圆柱的高.
[设计意图] 过渡到用字母表示以前
( http: / / www.21cnjy.com )学过的运算律、公式、法则,不仅复习了旧知识,而且巩固了新知识,把已学知识重新规划,让学生有一个重新认识的过程.运算律的展示使学生进一步体会用字母表示数可以使数量关系简明和一般化,初步体验和确认了用字母可以表示任意数这一点.
活动2 用字母表示数量关系
[过渡语] 字母不仅能表示运算关系,也能表示数量关系.下面我们就来看一看,在100米短跑测试中,小帆、大林和小明谁跑得快.
姓名
小帆
大林
小明
成绩/s
16
14.5
15.2
速度
/(m/s)
(1)请你算出他们每人100米短跑的速度,并将计算结果填入表中.
(2)写出计算速度时所用的公式.
(3)这个公式能用来计算汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度吗
若用s表示路程,t表示所用时间,v表示速度,则这个公式就是v=.
思路一
[处理方式] 独立思考,写出结果,小组内交流.体会用字母表示数的优越性.
展示交流结果:
(1)100米表示路程,16秒表示
( http: / / www.21cnjy.com )时间,小帆的速度=100÷16=(m/s),同理,大林的速度=100÷14.5=(m/s),小明的速度=100÷15.2=(m/s).(算错的同学要订正错误)
(2)v=.(其中v表示速度,s表示路程,t表示时间)
(3)由于v表示速度,s表示路程,t表示时间,所以v=可以用来求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.
[设计意图] 此过程可以使学生经历运用数学符
( http: / / www.21cnjy.com )号描述数量关系的过程,发展符号感和抽象思维.通过与同伴交流,学生将体验获得解决问题策略的方法,学会合理清晰地阐述自己的观点.学生必将获得良好的数学活动经验.
思路二
(1)速度、路程和时间三个量的关系是什么 请动手写一写: .并利用这个关系,分别求出小帆、大林和小明的速度.
(2)如果用v表示速度,s表示路程,t表示时间,那么它们的关系可以用字母写成什么 表示为: .
(3)能否利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度
[处理方式] 独立思考,写在练习本上,同桌交流,展示成果.
(1)路程=速度×时间,速度=路程÷时间,时间=路程÷速度.
(2)s=vt,v=,t=.(其中v表示速度,s表示路程,t表示时间)
(3)可以利用上面的公式求汽车、轮船、飞机在某段匀速行驶过程中的速度.
师总结:用字母表示数、数量关系以及数学事实,不仅形式简单,而且具有一般性,还便于交流.
活动3 按照要求和条件表示数
[过渡语] 字母在表示数的时候神通广大,我们再接着看下面的内容.
出示教材第97页的内容:
观察自然数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,….
(1)请用字母表示偶数和奇数.
(2)两个偶数之和是什么数 提出猜想,并用字母表示数的方法说明这个猜想是正确的.
[处理方式] 同桌互相提问,复习已有知识,交流体会方法.提出引导问题:偶数、奇数的概念是什么 它们有什么特征
(1)能被2整除的数是偶数,不能被2整除的数是奇数.偶数用字母表示为2m(m为自然数),奇数用字母表示为2m+1(m为自然数).
(2)提出猜想:两个偶数的和是偶数.
验证1:2+4=6,102+134=236……
验证2:(相邻两个偶数)一个偶数为2m(m为自然数),另一个为2m+2,其和为2m+2m+2=2(2m+1).
验证3:一个偶数为2m(m为自然数),另一个为2n(n为自然数),两个偶数的和为2(m+n).
活动4 做一做——能力提升
用字母表示数,说明:
(1)任意两个奇数之和是偶数.
(2)如果m为自然数,那么与m相邻的两个自然数之和是偶数.
问题引导:
(1)一个奇数怎么表示
(2)两个相邻的奇数怎么表示
(3)任意两个奇数怎么表示
(4)与m相邻的两个自然数怎么表示
问题提示:
(1)2m+1.
(2)2m+1和2m
-
1.
(3)2m+1和2n+1.
(4)m+1和m
-
1.
(m,n为自然数)
问题说明:
(1)任意两个奇数之和是偶数:2m+1+2n+1=2(m+n+1).
(2)如果m为自然数,那么与m相邻的两个自然数之和是偶数:m+1+m
-
1=2m.
[知识拓展] 用字母表示数
( http: / / www.21cnjy.com ),同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示.用字母表示实际问题中的某一数量时,字母的取值需使这个问题有意义,并且符合实际.用字母表示数可简明表达问题中的数量关系、公式、法则、规律等.
用字母表示数、数量关系以及数学事实,不仅形式简单,而且具有一般性,还便于交流.
1.填空.
(1)
-
6
℃下降2
℃后是 ℃;温度由t
℃下降2
℃后是 ℃;
(2)今年李华m岁,去年李华 岁,五年后李华 岁;
(3)三个连续偶数中间一个为2n,则其余两个为 , ;
(4)某商店上月收入a元,本月收入比上月的2倍多10元,本月收入 元;
(5)城市市区人口a万人,市区绿化面积m万m2,则平均每个人拥有绿地 m2;
(6)某城市5年前人均年收入为n元,预计今年人均年收入是5年前的2倍多500元,那么今年人均年收入将达 元.
答案:(1)
-
8 (
( http: / / www.21cnjy.com )t
-
2) (2)(m
-
1) (m+5) (3)2n
-
2 2n+2 (4)(2a+10) (5) (6)(2n+500)
2.选择.
(1)用字母表示乘法对加法的分配律是
( )
A.a(b+c)
B.ab+ac
C.a(b+c)=ab+ac
D.ab=ba
(2)昨天的最高气温是27
℃,今天的最高气温比昨天的下降t
℃,今天的最高气温是
( )
A.27+t B.27
-
t
C.(27+t)℃
D.(27
-
t)℃
(3)(2015·吉林中考)购买1个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料,所需钱数为
( )
A.(a+b)元
B.3(a+b)元
C.(3a+b)元
D.(a+3b)元
解析:(1)乘法分配律是一个数乘两个数
( http: / / www.21cnjy.com )的和,等于这个数分别乘这两个加数,然后把乘得的积相加,据此写成字母表达式为a(b+c)=ab+ac;(2)用昨天的最高气温减去下降的气温即为今天的最高气温.今天的最高气温是(27
-
t)℃;(3)购买1个单价为a元的面包所需费用为a元,3瓶单价为b元的饮料所需费用为3b元,则共需费用为(a+3b)元.www-2-1-cnjy-com
答案:(1)C (2)D (3)D
3.填空.
(1)长方形窗户上的装饰物如图所示,它是由半径均为b的两个四分之一圆组成的,则能射进阳光部分的面积是 ;
( http: / / www.21cnjy.com )
(2)(2015·安顺中考)如图所示的
( http: / / www.21cnjy.com )是一组有规律的图案,第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,…,第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为 (用含n的式子表示).
解析:(1)能射进阳光部分的面积=
( http: / / www.21cnjy.com )长方形的面积
-
半径为b的半圆的面积.即能射进阳光部分的面积=2ab
-
πb2;(2)认真观察图形,确定图形变化规律:第1个图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,以后每个图案都比前一个图案多3个基础图形,所以第n(n是正整数)个图案中的基础图形的个数为3n+1.
答案:(1)2ab
-
πb2 (2)3n+1
3.1 用字母表示数
活动1 运算律中的字母
活动2 用字母表示数量关系
活动3 按照要求和条件表示数
活动4 做一做——能力提升
一、教材作业
【必做题】
教材第98页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第98页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果甲数是x,甲数是乙数的2倍,那么乙数是
( )
A.x B.2x C.x+2 D.x+
2.n为整数,则2n
-
1一定是
( )
A.偶数
B.奇数
C.2的倍数
D.正整数
3.一个长方形的周长为28,其中长为x,则此长方形的面积为
( )
A.14x
B.x(x
-
14)
C.x(14+x)
D.x(14
-
x)
4.若一个正方形的边长为a,则这个正方形的周长是 .
5.若每箱有36个苹果,则n箱共有 个苹果.
6.为了帮助玉树地区重建家园,某班全体师
( http: / / www.21cnjy.com )生积极捐款,捐款金额共3200元,其中5名教师人均捐款a元,则该班学生共捐款 元.(用含有a的式子表示)21·世纪
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7.某商品的进价为x元,售价为120元,则该商品的利润率可表示为 .
8.一棵树刚栽时高2
m,以后每年长高0.2
m,n年后的树高为多少米
9.一桶油,连桶重x
kg,桶本身重1
kg,用去油的后,桶内还有多少油
【能力提升】
10.x是两位数,y是一位数,如果把x置于y的左边,那么所成的三位数应表示为
( )
A.xy
B.x+y
C.100x+y
D.10x+y
11.(2015·海南中考)某企业今
( http: / / www.21cnjy.com )年1月份产值为x万元,2月份比1月份减少了10%,3月份比2月份增加了15%,则3月份的产值是
( )
A.(1
-
10%)(1+15%)x万元
B.(1
-
10%+15%)x万元
C.(x
-
10%)(x+15%)万元
D.(1+10%
-
15%)x万元
12.有一块长为x
m,宽为y
m的长方形草坪,在草坪中间有一条宽为z
m的人行道,形状如图所示,请你计算这块草坪的实际绿化面积.
【拓展探究】
13.怎样的两个数,它们的和等于它们的积呢 观察下面几个式子:
2+2=2×2;3+=3×;4+=4×;5+=5×……
(1)你还能发现一些这样的两个数吗
(2)你能从中发现什么规律吗 把这个规律用字母n表示出来.
【答案与解析】
1.A(解析:甲数是乙数的2倍,那么乙数就是甲数的.)
2.B(解析:因为n为整数,所以代数式2n
-
1一定是奇数.故选B.)
3.D(解析:长方形的宽为×28
-
x=14
-
x,面积为x(14
-
x).)
4.4a(解析:正方形的边长为a,正方形的周长为4×正方形的边长,所以正方形的周长为4a.)
5.36n(解析:每箱苹果数与箱数的积即为所求.)
6.(3200
-
5a)(解析:学生捐款数=捐款总数
-
教师捐款总数.所以学生捐款数为(3200
-
5a)元.)
7.(解析:利润为(120
-
x)元,所以该商品的利润率可表示为.)
8.解:原来树高为2
m,n年增长0.2n
m,所以n年后的树高为2+0.2n(m).
9.解:桶中有油(x
-
1)kg,用去油的后,还剩油的1
-
,所以桶内还有油(x
-
1)kg.
10.D(解析:根据题意可知把x置于y的左边,相当
于把x扩大为原来的10倍,y不变.即所得的数是10x+y.故选D.)
11.A(解析:1月份的产值是x万元,则2月份的产值是(1
-
10%)x万元,3月份的产值是(1+15%)(1
-
10%)x万元.)
12.解:草坪的实际绿化面积应是长方形
( http: / / www.21cnjy.com )面积与平行四边形面积之差,长方形的面积为xy
m2,平行四边形的面积为yz
m2.所以实际绿化面积为(xy
-
yz)m2.
13.解:(1)答案不唯一,如6+=6×等. (2)(n+1)+=(n+1)×.
本节课运用贴近学生生活实际的材
( http: / / www.21cnjy.com )料,再次引导学生经历由具体的数到“抽象的数”,由具体的算式到含有字母的式子的学习过程,让学生经历从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律的过程,从而体会用字母表示数的意义,形成初步的符号感,初步体会“特殊—一般—特殊”“数形结合”等数学思想方法.
对课堂节奏的把握不够紧凑,最后学生完成练
习的时间不够充分.在用字母表示数的过程中对学生的探究发现没有进行方法指导.
课堂创设要丰富多彩,供学生观察、猜想、
( http: / / www.21cnjy.com )讨论和验证,要充分调动学生的积极性,让每个学生都有发言的机会,教学面向全体学生.在猜想和说明问题时,提醒学生采取提出问题、特例验证、一般推理的方式进行思考.
练习(教材第97页)
(1)15a (2)4a+2 a (3)(a+b)
习题(教材第98页)
A组
1.(1)(
-
6+t) (2)8a (3)10a+b (4)25
-
a (5)(29+a) (26+a)
2.解:ab
-
cd.
3.解:ab+ac或a(b+c).
B组
1.解:设原来四位数的后三位数为a,则原来四位数为7000+a,新四位数为10a+7.
2.解:设连续两个奇数为2n+1和2n
-
1(n为整数),则(2n+1)+(2n
-
1)=4n,所以任意两个连续奇数之和都是4的倍数.
清朝末年,文学家俞曲园写了一首咏杭州风景点“九溪十八涧”的诗:
重重叠叠山,曲曲环环路,丁丁东东泉,高高下下树.
当代数学家淡祥柏把每句诗都表示成算式:
以上共有4个算式,每个汉字表示一个数字,在
( http: / / www.21cnjy.com )每一个算式中,重叠的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,你能写出这4个算式的数字形式吗
解:
3.2 代数式
1.进一步理解用字母表示数的意义.
2.掌握书写代数式的注意事项并会正确书写代数式.
1.会把代数式反映的数量关系用文字语言表述出来,会把文字语言表述的数量关系用代数式表示出来.
2.能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示出来.
通过将实际问题中的数量关系用代数式表示,提高数学应用意识.
【重点】 列代数式;用代数式表示实际问题中的数量关系;代数式表示的实际意义.
【难点】 代数式的意义;用代数式表示实际问题中的数量关系;规律探索.
第课时
1.在具体情境中,进一步理解用字母表示数的意义.
2.能解释一些简单代数式的几何意义.
3.在具体情境中,能列出代数式,并解释其实际意义.
1.经历应用数学符号的过程,进一步提高学生的符号感.
2.初步学会从数学的角度提出问题和理解问题,充分体会解决问题的策略的多样性.
培养学生热爱数学,会用数学思想解决生活中的问题的能力.
【重点】 列代数式.
【难点】 用数学语言表达代数式的意义.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集以前学过的数学公式.
导入一:
填空.
1.m的3倍与5的和可以表示为 .
2.小华用a元买了b本练习本,每本练习本 元.
3.边长为x
cm的正方形的周长是 cm;面积是 cm2.
教师活动:(1)组织学生交流;
(2)引导学生观察所列代数式,给出代数式的概念;
(3)交流所列代数式的意义.
学生活动:(1)独立思考完成填空;
(2)交流结果;
(3)说说代数式在此问题中所代表的实际意义.
[设计意图] 用填空的方式来列简单的代数式,学生能够独立完成.为下面代数式概念的引出作铺垫.
导入二:
[过渡语] 请同学们举出已经学过的用含字母的式子来表示数量之间的关系的例子来.
师板书:三角形的面积公式S=ah,路程问题中的s=vt,5>b等等.
[过渡语] 同学们说得特别棒.用等号表示的式子是等式,用不等号表示的式子就是不等式.那么它们都是代数式吗
教师活动:(1)板书;
(2)讲解.
学生活动:(1)回答问题;
(2)讨论交流.
[设计意图] 引导学生找出代数式与等式、不等式的不同.
[过渡语] 用字母表示数后,现实世界中的数量和数量之间的关系可以用含字母的式子来表示,于是产生了代数式.
活动1 代数式的概念
1.代数式的概念.
思路一
教师活动:(1)组织学生阅读教材第99页;
(2)引导学生举出代数式的例子.
学生活动:(1)阅读课文;
(2)举例交流,畅所欲言.
[设计意图] 让学生先直观感受什么叫代数式,只要学生知道什么是代数式即可,要求学生能举出一些实际例子.
追问:单独的一个字母或一个数是代数式吗 (是.)
[设计意图] 这个问题的价值
( http: / / www.21cnjy.com )在于强调单独的一个数或一个字母也是代数式,强化易错点,使学生知道字母可以表示具体的数,也可以表示具体的数量关系,同一字母或表达式在不同的场合有不同的意义,强化学生的符号感;其次,通过交流,拓宽学生的思维,发展学生的联想、类比等思维能力.
思路二
请同学们观察并思考:a+b,m
-
n,25m,,6a2,a3……这些式子有哪些共同点
预设 生:都含有数字或字母.
师:除了数字和字母外,还有什么
预设 生:还有运算符号(+、
-
、×、÷、乘方).
师:运算符号在数字和字母之间起到了什么样的作用
预设 生:把数或字母连接起来了.
师:回答得很好!同学们,这就是代数式!现在你能用自己的语言叙述一下什么是代数式吗
学生交流2分钟后,找不同学生语言叙述,互相补充,教师加以引导.然后用多媒体课件展示代数式的定义.
概括:用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式.
2.例题讲解.
指出下列各代数式的意义:
(1)2a+5; (2)2(a+5);
(3)a2+b2;
(4)(a+b)2.
〔解析〕 根据代数式的意义,必须把代数式作为一个整体去看待.运算符号和字母、数字的组合,是代数式的重要特点.
解:(1)2a+5表示是a的2倍与5的和.
(2)2(a+5)表示a与5的和的2倍.
(3)a2+b2表示a的平方与b的平方的和.
(4)(a+b)2表示a与b的和的平方.
活动2 用代数式表示数量关系
[过渡语] 给你一段文字语言,能不能写出表示它的代数式
用代数式表示“a,8两数之和与b,c两数之差的积”.
可按下面的步骤列代数式:
[处理方式] 四人为一小组,把“做一做”试着做下来.做完之后,小组长把自己组做的答案呈现出来.
[设计意图] 让学生仿照图示的方法列代数式,体会数量之间的和、差、倍、分的关系与加、减、乘、除的运算的对应.
用代数式表示:
(1)a与b的差与c的平方的和.
(2)百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c的三位数.
(3)三个连续的整数(用同一个字母表示),以及它们的和.
〔解析〕 (1)a与b的差也就是a
-
( http: / / www.21cnjy.com )
b,所求即为(a
-
b)与c的平方的和.列代数式的关键是一定要注意运算顺序;(2)用不同的字母表示一个整数各数位上的数字,记为abc=100a+10b+c;(3)中间的这个数是m,则连续的三个整数就是m
-
1,m,m+1.
解:(1)(a
-
b)+c2.
(2)100a+10b+c(其中,a,b,c是0到9之间的整数,且a≠0).
(3)设m是整数,三个连续整数可表示为m
-
1,m,m+1.它们的和为(m
-
1)+m+(m+1).
强调:在代数式中,字母与数或字母与字母相乘时,通常把乘号写作“·”或省略不写,如2×a写作2·a或2a,a×b写作a·b或ab.
除法运算一般以分数的形式表示.如s÷t写作(t≠0).
[设计意图] 本部分内容是学生学习了代
( http: / / www.21cnjy.com )数式之后紧跟的练习,目的是强化学生对代数式概念的理解与掌握,会根据具体要求列代数式,训练学生思维的严密性.
[知识拓展] (1)对于一个代数式,它的意义没有统一的规定,以简明而不致引起误解为出发点,同一个代数式可用不同形式的文字语言表述它的意义.
(2)如果式子中含有“=”“<”“>”“≤”“≥”等符号,它们不是运算符号,那么这样的式子不是代数式.
(3)数与字母、字母与字母相乘,乘号可以省略,也可写成“·”;数字与数字相乘,乘号不能省略;数字要写在字母前面.
(4)在含有字母的除法中,一般不用“÷”号,而写成分数的形式;式子后面有单位时,和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
(5)带分数一定要写成假分数.
1.用运算符号把数和字母连接起来的式子叫做代数式.
2.单独的一个数或字母也是代数式.
1.下列式子是代数式的是 .
①,②a2b,③x=1,④a2+ab
-
1,⑤3>2,⑥o,⑦y=x
-
1.
解析:等式与不等式都不是代数式,排除③⑤⑦.故填①②④⑥.
2.写出代数式a2
-
b2表示的意义.
解:a的平方与b的平方的差.
3.用代数式表示.
(1)x的2倍与y的差;
(2)m与5的差的3倍;
(3)a的11倍再加上2;
(4)x,y两个数和的平方;
(5)甲数为a,比甲数的平方大3的数.
解:(1)2x
-
y. (2)3(m
-
5). (3)11a+2. (4)(x+y)2. (5)a2+3.
第1课时
活动1 代数式的概念
用运算符号连接数和字母组成的式子,都叫做代数式.
注意:单独的一个数或字母也是代数式.
活动2 用代数式表示数量关系
正确表达代数式的实际意义.
一、教材作业
【必做题】
教材第100页练习第1,2题.
【选做题】
教材第101页习题A组第1,2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列属于代数式的是
( )
A.4+6=10 B.2a
-
6b>0
C.0
D.v=
2.买一个足球需要a元,买一个篮球需要b元,则买4个足球、7个篮球共需要
( )
A.(4a+7b)元
B.4a元
C.7b元
D.11元
3.2(a+b)的几何意义是 .
4.设乙数为x,甲数比乙数的2倍大1,则甲数为 .
【能力提升】
5.某厂一月份产值为a万元,从二月份起每月增产15%,三月份的产值可以表示为
( )
A.(1+15%)2×a万元
B.(1+15%)3×a万元
C.(1+a)2×15%万元
D.(2+15%)2×a万元
6.一个两位数,十位上是a,个位上是b,用代数式表示这个两位数为
( )
A.ab
B.ba
C.10a+b
D.10b+a
7.用代数式表示“m的3倍与n的差的平方”,正确的是
( )
A.(3m
-
n)2
B.3(m
-
n)2
C.3m
-
n2
D.(m
-
3n)2
8.甲、乙二人按5∶2的比例投资开办了一
( http: / / www.21cnjy.com )家公司,约定除去各项支出外,所得利润按投资比例分成,若第一年盈利14000元,那么甲、乙二人分别应分得
( )
A.2000元和5000元
B.4000元和10000元
C.5000元和2000元
D.10000元和4000元
【拓展探究】
9.通讯市场竞争日益激烈,某通讯公司的手机本
( http: / / www.21cnjy.com )地话费标准按原标准每分钟降低a元后,再次下调了20%,现在收费标准是每分钟b元,则原收费标准是每分钟多少元
【答案与解析】
1.C(解析:一个字母或一个数字也是代数式.)
2.A(解析:4个足球需要4a元,7个篮球需要7b元,共需要(4a+7b)元.故选A.)
3.a与b的和的2倍
4.2x+1
5.A(解析:一月份产值是a万元,二月份产值是a(1+15%)万元,三月份产值是(1+15%)2×a万元.故选A.)
6.C(解析:十位数字是a,表示为10a,个位数字是b,则这两位数是10a+b.)
7.A(解析:m的3倍是3m,与n的差就是3m
-
n,它的平方就是(3m
-
n)2.)
8.D
9.解:首先表示出下调20%前的价格,然后加上a元,即可得到原收费标准是每分钟b÷(1
-
20%)+a=a+b(元).
在实际情境中说明代数式的意义,让学生
( http: / / www.21cnjy.com )通过交流创设生活中最感兴趣的情境,学生从中能体会代数式在社会生活中的实际意义.学习中发挥小组合作的积极作用,每个同学都参与课堂,培养了学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识.
让学生小组合作解决疑惑时,仍有部分学生参与不到发现问题、探讨问题、解决问题的状态中,对于这部分学生,教师关注度还不是很高. 21
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开展学生之间的互动,一个同学说条件,另一个同学根据条件列代数式.
练习(教材第100页)
1.解:(1)a的平方与2的和. (2)b与1的和的a倍与1的差.
2.解:(1)(a
-
b)c. (2)(x+y)2
-
(x
-
y)2. (3)3a+b.
习题(教材第101页)
A组
1.解:(1)a的3倍与b的2倍的和. (2)a与b的2倍的和的3倍. (3)a与b的差与c的商. (4)a与b除以c的商的差.
2.解:(1)(3a+4). (2)x
( http: / / www.21cnjy.com )2+x. (3)a
-
3b. (4)ab(a+b). (5)(a+b)+18. (6)(2a
-
b)
-
6.
3.(1) (2) (3)49%x (4)
4.解:(1)a·a,即a2. (2)元/辆. (3)表面积为2ab+2bc+2ac,体积为abc.(4)a+a+a+2×,即2a+a.
B组
1.解:7.5x千克;千克.
2.解:(600a
-
1700)kg,(500a+300)kg.
在下列表述中,不能表示代数式“4a”的意义的是
( )
A.4的a倍 B.a的4倍
C.4个a相加
D.4个a相乘
〔解析〕 A.4的a倍用代数式表示为4a
( http: / / www.21cnjy.com ),故本选项正确;B.a的4倍用代数式表示为4a,故本选项正确;C.4个a相加用代数式表示为a+a+a+a=4a,故本选项正确;D.4个a相乘用代数式表示为a·a·a·a=a4,故本选项错误.故选D.
学校购买了一批图书,共a箱,每箱b册,将这批图书的一半捐给社区,则捐给社区的图书为册.(用含a,b的代数式表示)
〔解析〕 首先根据题意可得这批图书共有ab册,它的一半就是册.故填.
表述数量及数量关系,有两种语言,一
( http: / / www.21cnjy.com )种是文字语言,一种是符号语言——代数式.代数式是文字语言的数学抽象.本课时围绕两种语言之间的互相转化展开,让学生充分体会用代数式表示数量关系的简明性和一般性.借助于图示,把文字语言表述的数量关系转化为若干层次的“两个数的运算”.对初学者来说,这是有条理地分析数量关系并正确列出代数式的行之有效的方法.
第课时
1.用代数式表示比较复杂的数量关系.
2.能够用不同的代数式表示同一数量关系.
借助于具体的生活情境,体会代数式的一般性.
增强在探索问题过程中的合作交流意识.
【重点】 用不同的代数式表达同一个量.
【难点】 理解代数式是刻画实际问题中数量关系的重要数学模型.
【教师准备】 预设学生解决问题的多种方法.
【学生准备】 复习上一个课时所学的代数式知识.
导入一:
填空:已知一批小麦的出粉率是85%.a
kg小麦可磨出面粉
kg,要磨出面粉b
kg.需要小麦
kg.21教育名师原创作品
(85%a;)
[设计意图] 通过生活情境,帮助学生深刻领会代数式的含义,体会从生活情境到抽象代数式的含义.
导入二:
甲、乙两个口袋分别装有a
kg和b
kg(a>b)的大豆.要想使两个口袋装的大豆一样多,应从甲袋向乙袋倒入多少千克大豆
(
kg.)
[设计意图] 通过抽象生活情境,帮助学生思考抽象的数量关系,了解数学中代数式的一般性.
活动1 从实际问题中抽象出代数式
如教材图所示,已知装满油时,桶和油的质量一共是a
kg;当油用去一半时,桶和油的质量一共是b
kg.当桶里装满油时,设油的质量为c
kg.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)当桶里装满油时,写出表示桶的质量的代数式.
(2)当油用去一半时,写出表示桶的质量的代数式.
解:(1)设油的质量为c
kg,则桶的质量为(a
-
c)kg.
(2)半桶油的质量为
kg,桶的质量为
kg.
问题思考:本题的基本数量关系是什么
(油桶总质量=油的质量+桶的质量.)
[设计意图] 帮助学生抽象总结生活中的数量关系,为帮助学生建立代数式数学模型做准备.
活动2 不同的代数式表示同一个数量
已知参加甲、乙两地植树的同学分别为5
( http: / / www.21cnjy.com )2人和23人,现从甲、乙两地共抽调12人到丙地植树.如果从甲地抽调x人,那么抽调后,甲、乙两地各剩下多少人
将表示甲、乙两地剩下人数的代数式填入下表.
原来人数/人
抽调人数/人
剩下人数/人
甲地
52
x
乙地
23
12
-
x
师:用不同的代数式表示同一个量,这是解决实际问题的一种常用方法,对于一些实际问题,可以借助表格或图形分析数量关系,使得思路更清晰.
方法一:甲地剩余(52
-
x)人,乙地剩余[23
-
(12
-
x)]人.
方法二:两地共有75人,调走12人,剩余63人,已知甲地剩余(52
-
x)人,所以乙地剩余[63
-
(52
-
x)]人.
思考:
1.列表法表示数量关系有什么优点
2.你能借助于下列图示表示甲、乙两地的剩下人数吗
活动3 做一做
填空:
(1)如果汽车以85
km/h的速度在高速公路上匀速行驶,那么x
h行驶的路程为 km.
(2)如果某工程队平均每天修路0.8
km,那么x天可以修路
km.
(3)如果一套学生桌椅的价钱是380元,那么买x套这种学生桌椅需要 元.
(4)如果某期5年期国债的年利率是5.6%,小颖的爷爷买了这期国债x元,那么到期后可得利息 元,本息共为 元.
(5)如果一项工程要求30天完成,那么x天后完成了工程量的 .
〔答案〕 (1)85x (2)0.8x (3)380x (4)5×5.6%x x+5×5.6%x (5)x
思考:
1.请用文字的形式概括上述数量关系.
提示:主要数量关系如下:
行程问题:路程=速度×时间.
工程问题:工作量=工效×时间.
商品价格问题:总价=单价×数量.
利息问题:利息=本金×利率×期数,本息=本金+利息.
2.上面列出的这些代数式都有什么特点
提示:都有kx的形式.
[设计意图] 发现数量关系的特点,是从数量关系中抽象出代数式的重要前提,为此在这里侧重引导学生总结一些带有规律性的数量关系.
用不同的代数式表示同一个量,是解决实际问题的一种常用方法.
1.以下各式不是代数式的是
( )
A.5 B.3x2
-
2x+5
C.a+b=b+a
D.
解析:判断是不是代数式,关键是了解代数
( http: / / www.21cnjy.com )式的概念,注意代数式与等式、不等式的区别,等式含有等号,不等式含有不等号,而代数式不含等号也不含不等号.所以C选项不是代数式.故选C.
2.代数式4a可以表示的实际意义是 .
解析:根据代数式表示的意义和
( http: / / www.21cnjy.com )实际的联系编写场景即可.答案不唯一.如:每支钢笔4元,买了a支钢笔所需的钱数,或正方形的边长为a,它的周长是4a.
3.用代数式表示.
(1)x的与的差;
(2)一种小麦磨成面粉后质量要减少15%,m千克小麦磨成面粉后面粉的质量.
解:(1)x
-
. (2)(1
-
15%)m千克.
第2课时
活动1 从实际问题中抽象出代数式
活动2 不同的代数式表示同一个数量
活动3 做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第103页练习第1,2题.
【选做题】
教材第103页习题A组第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式中,不是代数式的是
( )
A.
-
3 B. C.5x
-
1=9 D.x2
-
4x
2.用代数式表示x的2倍与y的差的平方是
( )
A.(2x
-
y)2
B.2x
-
y2
C.2x2
-
y2
D.2(x
-
y)2
3.如图所示,四边形ABCD的四个顶点都在半径为1
cm的圆O上,且四边形ABCD为正方形,则图形中阴影部分的面积是
( )【版权所有：21教育】
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A.(2π
-
2)cm2
B.(2π
-
1)cm2
C.(π
-
2)cm2
D.(π
-
1)cm2
4.用代数式表示“x的2倍与3的差”为 .
5.用代数式表示.
(1)x的2倍与y的3倍的差;
(2)x的.
【能力提升】
6.下列代数式中,符合代数式书写要求的有
( )
①1x2y;②ab÷c2;③;④;⑤2(m+n);⑥mb·4.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.用代数式表示“x的4倍与y的差的平方”正确的是
( )
A.(4x
-
y)2
B.4x
-
y2
C.4(4x
-
y)2
D.(x
-
4y)2
8.代数式2x
-
的意义是 .
9.甲数为x,用代数式表示乙数.
(1)乙数是甲数的1倍;
(2)乙数比甲数小7%;
(3)乙数比甲数的一半大2;
(4)甲数的倒数比乙数小5.
【拓展探究】
10.下列各说法中,错误的是
( )
A.代数式x2+y2的意义是x与y的平方和
B.代数式5(x+y)的意义是5与x+y的积
C.x的5倍与y的和的一半,用代数式表示为5x+
D.比x的2倍多3的数,用代数式表示为2x+3
11.如图所示,一根5
m
( http: / / www.21cnjy.com )长的绳子,一端拴在围墙墙角的柱子上,另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动),那么小羊A在草地上的活动区域面积是
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A.π
m2
B.π
m2
C.π
m2
D.π
m2
12.说出下列代数式的意义.
(1)2(a+3); (2)a2+b2; (3).
【答案与解析】
1.C(解析:代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子,C中用“=”连接的式子不是代数式.)
2.A(解析:先差再平方,即列式为(2x
-
y)2.)
3.C(解析:阴影部分的面积=圆的面积
-
正方形的面积.阴影部分的面积为π·12
-
4××1×1=π
-
2(cm2).)
4.2x
-
3(解析:x的2倍表示为2x,然后再减去3即可.由题意得x的2倍与3的差表示为2x
-
3.)
5.解:(1)x的2倍与y的3倍的差,用代数式表示为2x
-
3y. (2)x的,用代数式表示为x.
6.C(解析:符合要求的有③④⑤,共3个.)
7.A(解析:要明确给出文字语言中的运算关
( http: / / www.21cnjy.com )系,先表示出x的4倍,再表示出其与y的差,最后表示出差的平方即可.x的4倍是4x,x的4倍与y的差是4x
-
y,x的4倍与y的差的平方是(4x
-
y)2.故选A.)
8.x的2倍与y的的差(解析:注意运算顺序,最后计算的是差.)
9.解:(1)x. (2)(1
-
7%)x. (3)x+2. (4)+5.
10.C(解析:选项C中运算顺序表达错误,应写成(5x+y).)
11.D(解析:由于墙角是直角,所以小羊A活
( http: / / www.21cnjy.com )动的区域是以5
m为半径的圆的面积的,加上以1
m为半径的圆的面积的,故其活动区域面积为
m2,即为π
m2.)
12.解:(1)2(a+3)的意义是2与a+3的积. (2)a2+b2的意义是a与b的平方的和. (3)的意义是n+1除以n
-
1的商.
本课时在前面学习了代数式知识的基础上进一步深
( http: / / www.21cnjy.com )入学习,通过生活情境,帮助学生从抽象角度概括总结数量关系是本课时的教学核心.在教学的过程中,采取了列不同代数式表示同一数量关系、总结一般数量关系的规律,最后上升到总结对代数式这一数学模型的刻画策略,取得了较好的课堂活动效果.
用不同的代数式表示同一个数量关系,没有充分让学生进行对比交流.
在总结生活中一些常见的数量关系时,让学生列举相关的情境问题进行深化理解.
练习(教材第103页)
1.(1)85%a (2)①10a+9
-
a ②10(9
-
b)+b
2.解:千克.
习题(教材第103页)
A组
1.(y+9)
2.
3.解:2.4%x万元.
4.解:甲库:x
t;乙库:(50
-
x)t.
B组
1.10x+(10
-
x) 10x+(10
-
x)+36或10(10
-
x)+x
2.解:1375×80%元,(1+10%)x元.
x(1
-
5%)可以解释为 .
〔解析〕 答案不唯一,例如:如果某件商品的原价为x元,按照降价5%进行促销,那么降价后这件商品的售价为x(1
-
5%)元.
[解题策略] 将代数式放入具体的问题情境去理解,赋予它具体的实际意义,解题的关键是想出不同的实际背景或几何背景.
第课时
能用代数式表示比较复杂的数量关系.
通过生活情境体现符号意识.
培养学生的抽象思维和创新精神.
【重点】 能够对复杂数量关系列出代数式.
【难点】 通过列复杂数量关系的代数式,形成数学符号感.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 搜集生活中用代数式表示规律的实际例子.
导入一:
已知甲、乙、丙三个数的比为1
( http: / / www.21cnjy.com )∶2∶3.如果设甲数为x,请表示出甲、乙两数的和减去丙数后的差;如果设丙数为z,请表示出甲、丙两数的和减去乙数后的差.
[设计意图] 通过列比较复杂数量关系的代数式,体会抽象思维在列代数式中的作用.
导入二:
为了预防流感,某校积极进行校园环
( http: / / www.21cnjy.com )境消毒,购买了甲、乙两种消毒液共100瓶,其中甲种6元/瓶,乙种9元/瓶.如果设甲种消毒液购买了x瓶,那么购买这两种消毒液共花了多少元
([6x+9(100
-
x)]元.)
[设计意图] 通过列比较复杂数量关系的代数式,帮助学生形成数学符号意识.
[过渡语] 对于电脑打字速度,每一个同学都有所不同.现在我们就来研究一个和打字有关的问题.
活动1 列复杂数量关系的代数式
经过练习,小亮和大华的打字速度都有了提高,小亮的打字速度达到80个/分,大华比小亮每分钟多打10个字.
(1)小亮和大华a
min分别能打多少个字
(2)b
min大华比小亮多打多少个字
(3)将同为c个字的两篇文章分别交给小亮和大华打,如果要求他们同时完成任务,那么小亮比大华要提前多少分钟开始打字
(4)根据以上问题情境,请你自己提出一个问题并解决.
问题思考:
(1)问题中涉及三个基本的量是什么
(打字速度、时间、打字的个数.)
(2)这三个量之间具有怎样的关系
(打字的个数=打字速度×时间.)
思考和解答:
(1)小亮a
min打的字数就等于80与a的积,即80a个字;大华a
min打的字数就等于(80+10)与a的积,即90a个字.
(2)b
min大华比小亮多打的字数就等于b与10的积,即10b个字.
(3)求小亮要比大华提前多少分钟开始打字,
( http: / / www.21cnjy.com )就是求小亮打c个字比大华打c个字多用的时间,也就是求“c除以80的商与c除以(80+10)的商的差”,即
min.
活动2 例题讲解
(教材例3)从A地乘火车到北京,普通票价格为40元/人,学生票价格为20元/人.星期日,A地育才学校组织部分师生到天安门广场观看升旗仪式.
(1)如果有教师14人,学生180人,那么买单程火车票共需多少元
(2)如果有教师x人,学生y人,那么买单程火车票共需多少元
(3)如果教师人数恰好是学生人数的,将教师的人数或学生的人数用字母表示,那么买单程火车票共需要多少元
〔解析〕 列表分析(1):
人数
票单价/元
票价/元
教师
14
40
560
学生
180
20
3600
单程总票价/元
4160
列表分析(2):
人数
票单价/元
票价/元
教师
x
40
40x
学生
y
20
20y
单程总票价/元
40x+20y
列表分析(3)①:
人数
票单价/元
票价/元
教师
x
40
40x
学生
12x
20
20×12x
单程总票价/元
40x+20×12x
列表分析(3)②:
人数
票单价/元
票价/元
教师
40
40×
学生
y
20
20y
单程总票价/元
y+20y
解:(1)40×14+20×180=4160(元).
(2)(40x+20y)元.
(3)如果设教师有x人,那么学生有12x人,买单程车票共需(40x+20×12x)元;如果设学生有y人,那么教师有人,买单程车票共需40×+20y元,即元.
从复杂的数量关系中抽象出代数式模型,是运用代数式解决问题的基本方法.
1.体育委员带了500元钱去买体育用品,已知一个足球a元,一个篮球b元.则代数式500
-
3a
-
2b表示的是 .
解析:因为买一个足球a元,一个篮球b元
( http: / / www.21cnjy.com ),所以3a表示体育委员买了3个足球,2b表示买了2个篮球,所以代数式500
-
3a
-
2b表示体育委员买了3个足球2个篮球后剩余的钱数.故填体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的钱数.
2.农民张大伯因病住院,手术费为a
( http: / / www.21cnjy.com )元,其他费用为b元.由于参加农村合作医疗,手术费报销85%,其他费用报销60%,则张大伯此次住院应缴纳 元.
解析:根据手术费用为a元,其他费
( http: / / www.21cnjy.com )用为b元,手术费用报销85%,其他费用报销60%,列出代数式,即可求出答案.因为手术费用为a元,其他费用为b元,手术费用报销85%,其他费用报销60%,所以张大伯此次住院应缴纳a·15%+b·40%=15%a+40%b(元).故填(15%a+40%b).
3.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车
( http: / / www.21cnjy.com )12辆和6辆,现需要调往A县10辆,调往B县8辆.已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元,从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.设从甲仓库调往A县的农用车为x辆.
(1)从甲仓库调往B县的农用车为 辆,从乙仓库调往A县的农用车为 辆;(用含x的代数式表示)
(2)写出公司从甲、乙两个仓库调往农用车到A,B两县分别所需要的总运费.(用含x的代数式表示)
解:(1)设从甲仓库调往A县的农用
( http: / / www.21cnjy.com )车为x辆,则调往B县的农用车为(12
-
x)辆,从乙仓库调往A县的农用车为(10
-
x)辆. (2)到A县的总费用为[40x+30(10
-
x)]元;到B县的总费用为[80(12
-
x)+50(x
-
4)]元.
第3课时
活动1 列复杂数量关系的代数式
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第105页练习题.
【选做题】
教材第106页习题A组第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某农村贫困家庭的孩子读书,今年享
( http: / / www.21cnjy.com )受“两免一补”(即免学杂费,免课本费,补助寄宿生活费),加上免收农业税,该家庭现在平均每月可减少40%的费用支出.若该家庭原来平均每月支出m元,则现在每月的支出为
( )
A.元 B.元 C.60%m元 D.40%m
2.某商品先按批发价a元提高10%零售,后又按零售价降低10%出售,则它最后的单价是
( )
A.a元
B.0.99a元
C.1.21a元
D.0.81a元
3.张老师带领x名学生到某动物园参观,已知成人票每张10元,学生票每张5元,设门票的总费用为y元,则y= .
4.一筐苹果总重x千克,筐本身重2千克,若将苹果平均分成5份,则每份重 千克.
5.某校艺术班同学,每人都会弹钢琴或古
( http: / / www.21cnjy.com )筝,其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人,两种都会的有7人.设会弹古筝的有m人,则该班同学共有多少人 (用含m的代数式表示)
【能力提升】
6.甲种糖果每千克a元,乙种糖果每千克b元,若买甲种糖果m千克,乙种糖果n千克,混合后的糖果每千克
( )
A.元
B.元
C.元
D.元
7.某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了m元/分钟,现在再次下调10%,使收费标准为n元/分钟,那么原收费标准为
( )
A.元/分钟
B.元/分钟
C.元/分钟
D.元/分钟
8.某商品的进价为60元,售价为x元,则该商品的利润率可表示为 .
9.如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a克,再称得剩余电线的质量为b克,那么原来这卷电线的总长度是 米.
10.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增长25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,则每台电视机的实际售价是多少元
【拓展探究】
11.张老板以每颗a元的
( http: / / www.21cnjy.com )价格买进水蜜桃100颗,现以每颗比进价多20%的价格卖出70颗后,再以每颗比进价低b元的价格将剩下的30颗卖出,则全部水蜜桃共卖
( )
A.[70a+30(a
-
b)]元
B.[70×(1+20%)a+30b]元
C.[100×(1+20%)a
-
30(a
-
b)]元
D.[70×(1+20%)a+30(a
-
b)]元
12.惠民新村分给小慧家一套价格为
( http: / / www.21cnjy.com )12万元的住房.按要求,需首期(第一年)付房款3万元,从第二年起,每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和.假设剩余房款年利率为0.4%,小慧列表推算如下:
第一年
第二年
第三年
…
应还款/万元
3
0.5+9×0.4%
0.5+8.5×0.4%
…
剩余房款/万元
9
8.5
8
…
若第n年小慧家仍需还款,则第n年应还款 万元.(n>1)
13.用a米长的篱笆,在
( http: / / www.21cnjy.com )空地围成一块场地,有两种方案:一种是围成正方形场地,另一种是围成圆形场地,设S1,S2分别表示围成正方形场地和圆形场地的面积,试比较S1与S2的大小,并说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:若该家庭原来平均每月支出m元,则现在每月的支出为60%m元.)
2.B(解析:由题意得a(1+10%)(1
-
10%)=0.99a(元).)
3.5x+10(解析:总费用=成人票用钱数+学生票用钱数,根据此关系式列式即可.根据题意可知y=5x+10.)
4.(解析:苹果的总重量为(x
-
2)千克,平均分成5份,所以每份为千克.)
5.解:该班同学共有m+(m+10)
-
7=2m+3(人).
6.C(解析:因为甲种糖果m千克的
( http: / / www.21cnjy.com )总价钱为am元,乙种糖果n千克的总价钱为bn元,所以两种糖果的总价钱为(am+bn)元,所以混合后的糖果每千克的单价为元.)
7.B(解析:通过审题,弄清话费的变化方式,准确找出变化前后量之间的关系是解此题的关键.再次下
调10%后收费标准为n元/分钟,则再次下调10%前的收费标准为n元/分钟,这比原收费标准降低了m元/分钟,说明原收费标准为元/分钟.)
8.(解析:由利润率=利润÷进价可以列出式子.利润为(x
-
60)元,所以该商品的利润率可表示为.)
9.(解析:根据1米长的电线,称得它的质量为a克,只需根据剩余电线的质量除以a,即可知道剩余电线的长度.故总长度是米.)
10.解:70%(1+25%)a元.
11.D(解析:以比进价多20%
( http: / / www.21cnjy.com )的价格卖出70颗水蜜桃的售价为70×(1+20%)a元,以比进价低b元的价格卖出30颗水蜜桃的售价为30(a
-
b)元,所以总售价为[70×(1+20%)a+30(a
-
b)]元.故选D.)
12.{0.5+[9
-
0.5(n
-
2)]×0.4%}(解析:根据题意可知第(n
-
1)年需还的剩余房款为[9
-
0.5(n
-
2)]万元,则第n年应还款为{0.5+[9
-
0.5(n
-
2)]×0.4%}万元.)
13.解:S1=(平方米),S2=π(平方米),因为16>4π,所以,即S1
( http: / / www.21cnjy.com )学生进行探索尝试,是本课时教学设计的重要理念.在学生进行探索的过程中,给予学生必要的方法指导和提示,为本课时教学活动的顺利完成奠定了基础.
在课堂教学的过程中,忽略了对做一做这个内容的处理.
在对教材例3的教学活动中,鼓励学生自己用列表、画图等多种方式列代数式,帮助学生从更深层次理解数学中解决问题的抽象性.
练习(教材第105页)
(1)(1+5%)a (2) (3)5%a
习题(教材第106页)
A组
1.解:辆.
2.解:100x+y.
3.解:[(1+30%)×90%a
-
a]元.
B组
1.解:[90%x+(1+5%)(100
-
x)]元.
2.解:2m+3.
(1)一条河的水流速度是2.5
km/h,船在静水中的速度是v
km/h,用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度;
(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,用式子表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数;
(3)如图(1)所示(图中长度单位:cm),用式子表示三角尺的面积;
(4)图(2)是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位:m),用式子表示这所住宅的建筑面积.
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 船在河流中行驶时,船
( http: / / www.21cnjy.com )的速度需要分两种情况讨论:顺水行驶时,船的速度=船在静水中的速度+水流速度;逆水行驶时,船的速度=船在静水中的速度
-
水流速度.
解:(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h,逆水行驶的速度是(v
-
2.5)km/h.
(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.
(3)三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面
( http: / / www.21cnjy.com )积.根据图中的数据,得三角形的面积是ab
cm2,圆的面积是πr2
cm2.因此三角尺的面积为cm2.
(4)住宅的建筑面积等于四个长方形面积的和.根据图中标出的尺寸,可得这所住宅的建筑面积(单位:m2)是x2+2x+18.
第课时
通过观察探索,发现和总结图形和代数式中所蕴含的规律.
通过对具体对象的观察,发现一些代数式的一般规律.
培养学生善于合作、勇于探索的创新精神.
【重点】 发现和总结一些数量之间的特殊规律.
【难点】 抽象理解代数式的数学模型,尝试解决问题的多种策略.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 自我总结列代数式的一般方法和规律,摆出三角形所用的火柴或小木棍等.
导入一:
观察:
1×3=22
-
1,2×4=32
-
1,3×5=42
-
1……
请你试用一个公式表示出这些等式所反映的规律.
观察每个等式的共同特征,这些等式可以改写为:
(2
-
1)(2+1)=22
-
1;
(3
-
1)(3+1)=32
-
1;
(4
-
1)(4+1)=42
-
1;
……
一般地,有(n
-
1)(n+1)=n2
-
1.
[设计意图] 借助于教材中的练习问题,帮助学生体验代数式中蕴含着某种规律,激发学生对代数式探索的热情.21世纪教育网版权所有
导入二:
出示教材习题中摆火柴的图形,让学生按照教材的方式摆出相应的图形.
问题提出:三角形的个数和所用的火柴数量之间有什么关系
[设计意图] 通过游戏活动,调动学生参与课堂活动的积极性,为本课时的教学活动营造轻松的氛围.
活动1 一起探究
如图所示,这是一个由1~120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数,那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.
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(1)如果设方框左上角的数为a,用含a的代数式表示这9个数的和.
思考:
①方框内每行的三个数之和,和中间的数有什么关系
提示:三个数的和是中间数的三倍.
②怎样表示这九个数的和比较简单
提示:三行数的和依次为3(a+1),3(a+7),3(a+13),故九个数的和为9(a+7).
(2)如果设方框正中间的数为m,用含m的代数式表示这9个数的和.
思考:
①方框内9个数的和,和中间的数15有什么关系
提示:九个数的和为135,为15的九倍.
②如果方框下移一行,中间的数变为21,此时9个数的和是多少
提示:21的九倍.
③根据上述规律,你能直接写出中间数为m的这9个数的和吗
提示:这九个数的和为9m.
(3)如果将方框由左向右平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化 如果方框由上向下平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化
思考:
①在移动后,变化后的数字和原来的数字之间有什么关系
②如果将方框由右向左平行移动一列,那么9个数的和会有怎样的变化 如果方框由下向上平行移动一行,那么9个数的和又有怎样的变化
提示:无论向哪个方向移动,9个数字之
( http: / / www.21cnjy.com )和都是有规律地变化.向左(右)平移一列,和减少(增加)9.向上(下)平移一行,和减少(增加)6×9=54.
活动2 大家谈谈
图(1)是由点组成的n行n列的方阵,图(2)是由每条边上n个点围成的空心方阵.
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问题探究:
(1)如图(1)所示的方阵的总点数为多少 (n2)
(2)如图(2)所示的方阵的总点数为什么是n2
-
(n
-
2)2
方法1:
如图所示,每边n个点,4个边共4n个点,减去重复计算的4个点,方阵的总点数为4n
-
4.
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方法2:如图所示,将点阵分成不重叠的4组,每组有(n
-
1)个点,方阵的总点数为4(n
-
1).
( http: / / www.21cnjy.com )
方法3:如图所示,将点阵分成不重叠的4组,其中两组各有n个点,另两组各有(n
-
2)个点,方阵的总点数为2n+2(n
-
2).
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列代数式的过程是一个分析和综合的过程,列代数式解决问题的策略往往是多种的.
1.在下列2×2的方格中找出规律,你认为x应为
( )
解析:每个方格中的四个数,对角上的两数和相等,所以3+7=12+x,所以x=
-
2.故选B.
2.(2015·德州中考
( http: / / www.21cnjy.com ))一组数1,1,2,x,5,y,…,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为
( )
A.8
B.9
C.13
D.15
解析:因为这组数据中,“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,所以1+2=x,x+5=y.所以x=3,y=8.故选A.
3.某大学阶梯教室,第一排有m个座位,后面每排比前一排多一个座位,第二排有几个座位 你知道第n排有多少个座位吗
解:第二排有(m+1)个座位,第n排有(m+n
-
1)个座位.
第4课时
活动1 一起探究
活动2 大家谈谈
一、教材作业
【必做题】
教材第108页习题A组第2,3题.
【选做题】
教材第108页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.寻找规律计算1
-
2+3
-
4+5
-
6+…+2015
-
2016等于
( )
A.0 B.
-
1 C.
-
1008 D.1008
2.如图所示的是某年5月的日历表,任意圈出一竖列上相邻的三个数,发现这三个数的和不可能是
( )
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
A.27
B.36
C.40
D.54
3.观察下列图形,则第n个图形中三角形的个数是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.2n+2
B.4n+4
C.4n
–
4
D.4n
4.数字解密:第一个数是3=2+1,第二个数是5=3+2,第三个数是9=5+4,第四个数是17=9+8,…,观察并猜想第六个数是 .
5.按如图所示的方式,用火柴棒拼成三角形.
(1)当三角形的个数是5个时,用了多少根火柴棒
(2)要拼成n个三角形需要多少根火柴棒
【能力提升】
6.如图所示,按这种规律堆放圆木,第10堆应有
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.50根
B.60根
C.65根
D.55根
7.某百货大楼进了一批花布,出售时要在进价的基础上,加上一定的利润,其数量x(米)与售价y(元)如下表:
数量x/米
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
下列公式中正确的是
( )
A.y=0.8x+0.3
B.y=8+0.3x
C.y=(8+0.3)x
D.y=8+0.3+x
8.观察下列图形,根据变化规律推测第100个与第 个图形的位置相同.(填“1”“2”或“3”)
9.已知:2+=22×,3+=32×,4+=42×,5+=52×……
若10+=102×符合前面的式子的规律,则a+b= .
10.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式,探究其中的规律.
(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式;
①4×0+1=4×1
-
3;
②4×1+1=4×2
-
3;
③4×2+1=4×3
-
3;
④ ;
⑤
( http: / / www.21cnjy.com ) .
(2)通过猜想,写出与第n个图形相对应的等式.
【拓展探究】
11.如图所示,自行车每节链条的长度为2.5
cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8
cm.
(1)4节链条长 cm;
(2)n节链条长 cm;
(3)如果一辆22型自行车的链条由50节这样的链条组成,那么这辆自行车上链条的总长度是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案与解析】
1.C(解析:原式=(1
( http: / / www.21cnjy.com )
-
2)+(3
-
4)+(5
-
6)+…+(2015
-
2016)=
-
1+(
-
1)+(
-
1)+…+(
-
1)=
-
1008.)
2.C(解析:
一竖列上相邻的三个数的和是3的倍数.)
3.D(解析:根据给出的3个图形可以
( http: / / www.21cnjy.com )知道:第1个图形中三角形的个数是4,第2个图形中三角形的个数是8,第3个图形中三角形的个数是12,从而得出一般的规律,第n个图形中三角形的个数是4n.故选D.)
4.65(解析:
本题是数字规律探索题,观察前四个数字的特点,不难发现第五个数是17+16=33,第六个数是33+32=65.)
5.解:(1)11根. (2)(2n+1)根.
6.D(解析:找出规律,每堆的根数如下:第1堆:1,第2堆:3=1+2,第3堆:6=1+2+3,…,第n堆:1+2+3+…+n=.)
7.C(解析:数量x=1时,售价y=8+0.3,接下来,16是8的2倍,0.6是0.3的2倍,依次观察可发现y是x的(8+0.3)倍.)
8.1(解析:图形的变化规律是三个一循环,100÷3商33余1,所以第100个与第1个图形的位置相同.故填1.)【来源：21cnj
y.co
m】
9.109(解析:由题意知b=10,a=102
-
1=99,则a+b=99+10=109.)
10.解:(1)④4×3+1=4×4
-
3;⑤4×4+1=4×5
-
3. (2)4(n
-
1)+1=4n
-
3.
11.解:(1)根据图形可得出:2节链
( http: / / www.21cnjy.com )条的长度为(2.5×2
-
0.8)cm,3节链条的长度为(2.5×3
-
0.8×2)cm,4节链条的长度为2.5×4
-
0.8×3=7.6(cm).故填7.6. (2)由(1)可得n节链条长为2.5n
-
0.8(n
-
1)=1.7n+0.8(cm).故填(1.7n+0.8). (3)因为自行车上的链条为环形,所以要比展直时缩短0.8
cm,故这辆自行车链条的总长度是1.7×50=85(cm).
规律探索问题既需要充分调动学生的思维,也
( http: / / www.21cnjy.com )需要给予学生必要的指导.在引导学生进行探究的过程中,提出了相关具有引导性的问题,不但可以帮助学生摸索解决探索规律问题的方法,而且可以使学生体验到探索尝试的快乐.
对教材习题的处理花费的时间比较少,课后作业的部分习题难度较大.
在探索空心方阵的总点数等于n2
-
(n
-
2)2的过程中,可以让学生分组进行,最后总结全班同学一共列出了多少种算法.
练习(教材第107页)
解:n(n+2)=(n+1)2
-
1.
习题(教材第108页)
A组
1.解:(1)3 5 7 9 11 (2)(2n+1)根. (3)分别需要37根,81根火柴.
2.解:(2n+1)粒.
3.(1)64 8 15 (2)(n
-
1)2+1 n2 (2n
-
1)
B组
1.解:(1)42分;56分. (2)n(n
-
1)分.
2.解:(1)30个;42个. (2)6(2n
-
1)个.
(山西中考)如图所示的是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是 .
〔解析〕 由图可知第一个图案有阴影
( http: / / www.21cnjy.com )小三角形2个,第二个图案有阴影小三角形2+4=6(个),第三个图案有阴影小三角形2+8=10(个),第四个图案有阴影小三角形2+12=14(个),…,所以第n个图案有阴影小三角形2+4(n
-
1)=4n
-
2(个).故填4n
-
2(或2+4(n
-
1)).
[解题策略] 解决此种类型题的关键是分别数清每一个图案中的三角形个数,再由此发现规律,从而写出最终结果.
3.3 代数式的值
1.了解代数式的值的概念,会求代数式的值,并能体会代数式实际上是由计算程序反映的一种数量关系.
2.通过简单实例中两个数量之间的对应关系,进一步发展符号感.
3.根据代数式求值,推断代数式所反映的规律.
经历观察、实验、猜想等数学活动的过程,发展
合理的推理能力,能综合运用所学知识解决问题.
初步认识数学与人类活动的密切联系,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
【重点】 会求代数式的值;规范求值步骤.
【难点】 根据代数式求值,推断代数式所反映的规律.
第课时
了解代数式的值的概念,会求代数式的值.
通过课堂活动,理解代数式是一种计算程序.
初步认识数学与人类活动的密切联系.
【重点】 会求代数式的值;规范求值步骤.
【难点】 理解代数式是一种运算程序.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习代数式的相关定义.
导入一:
如图所示,由三种图示方法得到空心方阵的总点数分别为4n
-
4,4(n
-
1),2n+2(n
-
2).
( http: / / www.21cnjy.com )
请你谈谈:当字母n是一个具体数值的时候,能算出这个空心方阵的总点数吗
[设计意图] 借助于上节课学习的问题情境,帮助学生认识到代数式可以通过确定字母的具体值解决实际问题.
导入二:
问题:(1)遗传是影响一个人身高的因素之一.
( http: / / www.21cnjy.com )国外有学者总结出由父母身高预测子女身高的公式:儿子成年后的身高=,女儿成年后的身高=,其中a是父亲的身高,b是母亲的身高,单位:m.现在你可以预测一下自己的身高了.
(2)你们用同一个公式计算的结果相同吗 为什么
[设计意图] 学生通过计算自己的身高,发现这实际就是代入求值问题,为学习本节课代数式的求值做准备.
导入三:
同学们一定记得圆的周长和面积公式吧 利用这个公式我们可以求具体的一个圆的周长和面积,这个计算的过程,实际就是一个求代数式的值的过程.
[设计意图] 借助于学生的学习经验,并迁移到新的学习内容中,便于学生接受知识.把具体的数代入代数式,就可以得到代数式的值了.
活动1 代数式是一种运算程序
在上节课研究的由点组成的空心方阵这一问题中,当空心方阵每边上的点数为n时,方阵总点数的一种表示形式是4n
-
4.
这是一个含字母n的代数式.
问题:此时我们能知道这个代数式的值是多少吗
1.一起探究.
(1)当n取4,10,13,25等值时,分别代入上面的代数式,计算出代数式4n
-
4相应的值.
思考:对于n的同一个值,同学们得到的结果都相同吗 (相同.)
(2)以n=4和n=13为例,说明你是如何算出4n
-
4的值的.
( http: / / www.21cnjy.com )
n=4时,4n
-
4=4×4
-
4=12.
n=13时,4n
-
4=4×13
-
4=48.
(3)总结:从上面我们可以看到,对代数式中的字母代入不同的值,都可以求出代数式相应的值.一个代数式,可以看作一个计算程序.例如:
5x2
-
8x+2→输入x=
-
2→5×(
-
2)2
-
8×(
-
2)+2→输出38.
2.代数式的值.
像这样,用数值代替代数式中的字母,按照代数式中给出的运算计算出的结果,叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.
活动2 例题讲解
根据下面a,b的值,求代数式a
-
的值:
(1)a=2,b=
-
6; (2)a=
-
10,b=4.
解:(1)当a=2,b=
-
6时,
a
-
=2
-
=2+3=5.
(2)当a=
-
10,b=4时,
a
-
=
-
10
-
=
-
10+=
-
.
如图所示,已知长方体的高为h,底面是边长为a的正方形.当h=3,a=2时,分别求其体积V和表面积S.www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
解:因为V=a2h,S=2a2+4ah,
所以当a=2,h=3时,
V=a2h=22×3=12,
S=2a2+4ah=2×22+4×2×3=32.
[知识拓展] (1)代数式的值
( http: / / www.21cnjy.com )是按代数式的运算关系得到的具体数值,随字母取值的不同而不同,字母的值确定了,代数式的值也就确定了,但字母的取值必须确保代数式有意义.
(2)代数式中原来省略乘号时,代入具体数值后出现数与数相乘时,必须恢复乘号.
(3)若做乘方运算,字母给出的数值是负数或分数,代入时要加括号.
(4)一个代数式的值由它所含字母的值决定,具有不唯一性.
1.一个代数式,可以看作一个计算程序.
2.用数值代替代数式中的字母,按照代数式中给出的运算计算出的结果,叫做代数式的值.这个过程叫做求代数式的值.
1.(2015·湖州中考)当x=1时,代数式4
-
3x的值是
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:当x=1时,4
-
3x=4
-
3×1=1.故选A.
2.若+(2y+1)2=0,则x2+y3的值为
( )
A.1
B.
-
1
C.
D.2
解析:由题意知x=
-
,y=
-
,x2+y3=.故选C.
3.(2015·龙岩中考)若4a
-
2b=2π,则2a
-
b+π= .
解析:由4a
-
2b=2π两边同时除以2,得2a
-
b=π,代入所求代数式得2a
-
b+π=π+π=2π.故填2π.
4.(1)分别求出代数式a2
-
2ab+b2和(a
-
b)2的值,其中:①a=,b=3,②a=5,b=3;
(2)观察(1)中的①②你发现了什么
解:(1)①,;②4,4. (2)a2
-
2ab+b2=(a
-
b)2.
第1课时
活动1 代数式是一种运算程序
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第112页习题A组第1,5题.
【选做题】
教材第112页习题B组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·海南中考)已知x=1,y=2,则代数式
x
-
y
的值为
( )
A.1
B.
-
1
C.2
D.
-
3
2.(2015·娄底中考)已知a2+2a=1,则代数式2a2+4a
-
1的值为
( )
A.0
B.1
C.
-
1
D.
-
2
3.下列代数式中的x能取0的是
( )
A.
B.
C.
D.
4.若x=2,则x3= .
5.求下列条件下代数式的值.
(1)当a=8,b=2时;
(2)当a=,b=时.
【能力提升】
6.若x=4,则|x
-
5|的值是
( )
A.1
B.
-
1
C.9
D.
-
9
7.当x分别等于3和
-
3时,代数式x6
-
2x2+1的值
( )
A.互为相反数
B.互为倒数
C.相等
D.异号
8.若|a|=3,b=2,则a+b= .
9.请写出一个含有x,y的代数式,并且给定一组x,y的值,使得代数式的值为6.
10.设A=x2
-
3xy
-
y2,B=
-
2x2+xy
-
y2,当x=
-
,y=
-
4时,试比较A与B的大小.
【拓展探究】
11.已知x=
-
1,则代数式x+x2+x3+x4+…+x2016等于 .
12.当代数式3
-
(x
-
1)2取最大值时,代数式4x
-
[
-
x2+2(2x
-
1)]的值等于 .
13.已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,|m|=1,求(a+b
-
1)+3cd
-
2m的值.
【答案与解析】
1.B(解析:把x=1,y=2代入代数式x
-
y中,得x
-
y=1
-
2=
-
1.)
2.B(解析:原式=2(a2+2a)
-
1=2×1
-
1=1.)
3.A(解析:0不能作分母,B,C,D错误.)
4.1(解析:
x3=×23=1.)
5.解:(1)当a=8,b=2时,. (2)当a=,b=时,.
6.A(解析:把x=4代入|x
-
5|,得|x
-
5|=|4
-
5|=|
-
1|=1.)
7.C(解析:互为相反数的两个数的偶次方相等.)
8.5或
-
1(解析:由|a|=3得a=±3,因此a+b=3+2=5或a+b=
-
3+2=
-
1.)
9.解:本题答案不唯一,可以任意给
( http: / / www.21cnjy.com )定一个含x,y的代数式,也可有无数组x,y的值使代数式的值为6.如:代数式x2+2y,当x=2,y=1时,x2+2y=22+2×1=6.
10.解:当x=
-
,y=
-
4时,A=x2
-
3xy
-
y2=
-
3××(
-
4)
-
(
-
4)2=
-
,B=
-
2x2+xy
-
y2=
-
2××(
-
4)
-
(
-
4)2=
-
,因为
-
<
-
,所以A
12.3(解析:当x=1时,3
-
(x
-
1)2取最大值,所以原式=4×1
-
[
-
12+2(2×1
-
1)]=3.)
13.解:由题意得a+b=0,cd=1,m=
( http: / / www.21cnjy.com )±1,当m=1时,原式=(a+b
-
1)+3cd
-
2m=(0
-
1)+3
-
2=
-
+3
-
2=;当m=
-
1时,原式=(a+b
-
1)+3cd
-
2m=(0
-
1)+3+2=
-
+3+2=.
根据课程标准把握教材.新的课程标准要求注重知识的形成过程及学生对概念的感知和理解,如通过学生的实际计算,让学生熟练掌握代数式的值的概念.
演示例题的过程中,忽略了强调计算过程中应该注意的问题.
在教学过程中,让学生重点体会如何根据实际问题求代数式的值.帮助学生进一步建立起数学和生活联系的观念.
练习(教材第111页)
1.解:(1)当a=,b=时,a2+b2=,(a+b)2==1. (2)当a=4,b=
-
3时,a2+b2=42+,(a+b)2=.
2.解:(1)当x=2,y=1,z=
-
3时,z
-
y(z
-
x)=
-
3
-
1×(
-
3
-
2)=2. (2)当x=2,y=1,z=
-
3时,=
-
1.
习题(教材第112页)
A组
1.提示:(1). (2)4. (3)2.
2.提示:(a+b)(a
-
b)=a2
-
b2.
3.解:(1)a(20
-
a)cm2. (
( http: / / www.21cnjy.com )2)从左到右依次填:36,64,84,96,100,96,84,64. (3)当a=10时,长方形的面积最大,这时长方形变为正方形.
4.解:(1)第一行从左到右依
( http: / / www.21cnjy.com )次填:
-
4,
-
1,,2,,5,8,第二行从左到右依次填:8,5,,2,,
-
1,
-
4. (2)当a取的值越来越大时,代数式3a+2的值也随之增大,代数式
-
3a+2的值却随之减小.
5.提示:(1)1. (2).
B组
1.提示:当a=
-
2,a=2,a=时,a
-
的值都为1.
2.解:(1)当x=2,y=3时,(x+y)2=25,x2+2xy+y2=25. (2)当x=
-
2,y=4时,(x+y)2=4,x2+2xy+y2=4. (3)略. (4)(x+y)2=x2+2xy+y2.
下面是一组数值转换机,写出图(1)的输出结果(写在横线上),找出图(2)的转换步骤(填写在框内).
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 (1)先乘2,再减去3,列代数式得2x
-
3;(2)由可知先加上3,再除以2.
〔答案〕 (1)2x
-
3 (2)+3 ÷2
(大庆中考)按照如图所示的程序计算,若输入x=8.6,则m= .
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 根据图表可知m表示8.6的整数部分,即m=8.故填8.
[解题策略] 本题考查了代数式的求值,正确读图,理解x与m的关系是解题关键.
第课时
1.通过列表格等方法建立代数式数学模型.
2.通过代数式的计算理解具体的生活情境.
通过生活情境,进一步理解代数式的意义.
提升学生的数学应用意识,发展数学符号感.
【重点】 建立代数式数学模型,解决生活中的实际问题.
【难点】 通过代数式的计算理解具体的生活情境.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 交流总结自己发现的生活中存在的代数式.
导入一:
出示问题:
在某一时刻,小惠测得一棵2.4
m高的树在阳光下的影子的长为1.8
m.
(1)写出此时高度为h(m)的物体与它在阳光下的影子的长p(m)之间的关系式.
(2)多高的物体,此时它在阳光下的影子的长为1.5
m
(3)多高的物体,此时它在阳光下的影子的长超过2
m
[设计意图] 通过第(1)问,帮助学生复习列代数式的基本方法;通过第(2)(3)问,帮助学生体会代数式的值的应用.21·cn·jy·com
导入二:
物体自由下落的高度h米和下落的时间t秒的关系,在地球上大约是h=4.9t2,在月球上大约是h=0.8t2.
(1)填写下表:
t
0
2
4
6
8
10
h=4.9t2
h=0.8t2
(2)物体在哪儿下落得快
(3)当h=20时,比较物体在地球上和月球上自由下落所需的时间.
[设计意图] 通过生活中的科学计算问题,帮助学生体会数学的应用价值.
[过渡语] 我们不但要学会列代数式,同时也要通过代数式理解其应用价值.
活动1 做一做
小亮家离学校1280
m.
( http: / / www.21cnjy.com )他每天步行上学,速度约是80
m/min.我们用t(min)表示小亮从离开家开始的步行时间,s1(m)表示离开家的路程,s2(m)表示距学校的路程.
(1)写出用t分别表示s1和s2的代数式:
s1= ,
s2= .
提示:s1=80t,s2=1280
-
80t.
(2)对具体的t值,计算s1和s2的值,并填写下表:
t/min
0
4
5.5
10
12.5
16
s1/m
s2/m
提示:
t/min
s1/m
s2/m
0
0
1280
4
320
960
5.5
440
840
10
800
480
12.5
1000
280
16
1280
0
(3)当t=7时,请你比较小亮离开家的路程与离学校的路程哪个远.
提示:t=7时,s1=560,s2=720.此时,小亮离学校的路程远.
追问:
1.表格中的s1/m和s2/m在同时间对应的数量关系有什么特点 (两个数量之和等于小亮从学校到家的距离.)
2.通过这个表格,是否可以计算出任何一个时间中小亮的位置情况 (可以.)
活动2 一起探究
某农场购买了一台新型拖拉机
( http: / / www.21cnjy.com )用来耕地.为了测试耕地时的耗油量,用它试耕了三块地,其面积分别为0.4公顷,0.6公顷和1公顷.油量表的指针变化情况如图所示(油表中的一个大格表示10升油).
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)根据油量表指针的变化,估算耕地0.4公顷,0.6公顷,1公顷的耗油量(升),与同学交流,并将结果填入表中.
耕地面积/公顷
0.4
0.6
1
耗油量/升
(2)如果设耕地a(公顷)耗油量为b(升),列代数式表示a和b之间的关系.
(3)根据所列的关系式,求解下列问题:
①耕地面积为0.5公顷,2公顷时,耗油量分别是多少
②如果两次耕地耗油量分别是12升和40升,那么所耕地的面积分别是多少公顷
提示:
(1)根据油量表指针的变化,得:
耕地面积/公顷
0.4
0.6
1
耗油量/升
10
15
25
(2)每耕1公顷地,耗油量为25升.
因此,b=25a.
(3)①12.5升,50升.②公顷,公顷.
追问:
1.本探究问题的核心代数式是什么 (b=25a.)
2.列出这个代数式的主要依据是什么 (依据是本题图所给出的数据.)
3.根据所列出的代数式可以解决哪些相关问题 (如耕多少地耗油多少,根据耗油的数量判断耕地的数量等.)21cnjy.com
通过生活中的数量关系可以列出代数式,通过列出的代数式可以解决生活中的数量关系问题.
1.树的高度与树生长的年数有关,测得某棵树的有关数据如下表:(树苗原高100厘米)
年数n
高度an/厘米
1
100+5
2
100+10
3
100+15
4
100+20
…
…
(1)用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度an;
(2)生长了11年的树的高度是多少
解:(1)an=100+5n. (2)当n=11时,an=100+5n=100+5×11=155(厘米).
2.某人到泉州市移动通讯营业厅办理手
( http: / / www.21cnjy.com )机通话业务,营业员给他提供了两种办理方式,甲方案:月租9元,每分钟通话费0.2元;乙方案:月租0元,每分钟通话费0.3元.
(1)若此人每月平均通话x分钟,则两种方式的收费各是多少元 (用含x的代数式表示)
(2)此人每月平均通话10小时,选择哪种方式比较合算 试说明理由.
解:(1)甲方案:9+0.2x,乙方案:
( http: / / www.21cnjy.com )0.3x. (2)10小时=600分钟,甲方案收费:9+0.2×600=129(元),乙方案收费:0.3×600=180(元),因为129<180,所以选择甲方案合算.
第2课时
活动1 做一做
活动2 一起探究
一、教材作业
【必做题】
教材第114页练习.
【选做题】
教材第114页习题A组第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.有一摞纸,每20张的厚度为1
mm,设x张纸的厚度为y
mm,则10张纸的厚度为 mm.
2.某电视机厂接到一批订货,每天生
( http: / / www.21cnjy.com )产m台,计划需a天完成任务,现在为了适应市场需求,要提前3天交货,用代数式表示实际每天应多生产多少台电视机,并求当m=1000,a=28时,每天多生产的台数.21
cnjy
com
3.治理沙漠的植树活动中,某县今年派出的青年志愿者为100人,每人完成植树任务50棵,计划明年派出的人数增加p%,每人植树的任务增加q%.
(1)写出明年计划的植树总数的代数式;
(2)求出当p=10,q=20时的植树总数.
【能力提升】
4.张叔叔在某房地产公司买了一套经
( http: / / www.21cnjy.com )济适用房,他准备将地面铺上地砖,这套住宅的建筑平面图(由四个长方形组成)如图所示(图中长度单位:米),解答下列问题.
(1)用式子表示这所住宅的总面积;
(2)若铺1平方米地砖平均费用为120元,求当x=6时,这套住宅铺地砖的总费用为多少元.
( http: / / www.21cnjy.com )
5.某地区夏季高山上的温度从山脚处开始每升高100米降低0.6
℃.
(1)如果山脚温度是30
℃,那么山上x米处的温度为多少
(2)如果山脚温度不变,那么山上300米、1000米、5000米处的温度各是多少
6.某公园的成人票价为25元,儿童票价为15元,甲旅行团有x名成人和y名儿童.
(1)求甲旅行团所需的门票总费用;
(2)若乙旅行团的成人数是甲旅行团成人数的,儿童数是甲旅行团儿童数的3倍,则乙旅行团所需的门票总费用是多少
(3)当x=10,y=4时,两个旅行团所需的门票总费用是多少元
【拓展探究】
7.(2015·漳州中考)在
( http: / / www.21cnjy.com )数学活动课上,同学们利用如图所示的程序进行计算,发现无论x取任何正整数,结果都会进入循环,下面选项一定不是该循环的是
( )
A.4,2,1 B.2,1,4 C.1,4,2 D.2,4,1
8.某学校准备组织部分教师到杭州
( http: / / www.21cnjy.com )旅游,现联系了甲、乙两家旅行社,两家旅行社报价均为400元/人,同时两旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措:甲旅行社对每位游客七五折优惠;而乙旅行社则免去一位带队教师的费用,其余游客八折优惠.
(1)如果设参加旅游的教师共有x(x>10)人,那么甲旅行社的费用为 元,乙旅行社的费用为 元;(用含x的代数式表示)
(2)假如某校组织17名教师到杭州旅游,该校选择哪一家旅行社比较优惠 请说明理由.
【答案与解析】
1.0.5(解析:
总厚度=每张纸的厚度×张数.y=x.当x=10时,y=x=×10=0.5.故填0.5.)
2.解:实际每天应多生产台电视机.当
( http: / / www.21cnjy.com )m=1000,a=28时,
-
m=
-
1000=1120
-
1000=120,即每天多生产120台.
3.解:(1)50(1+q%)×10
( http: / / www.21cnjy.com )0(1+p%). (2)当p=10,q=20时,50(1+q%)×100(1+p%)=50×1.1×100×1.2=6600,即植树总数为6600棵.
4.解:(1)总面积=3x+x2+
( http: / / www.21cnjy.com )4×3+2×3=x2+3x+18. (2)当x=6时,总面积=62+3×6+18=36+18+18=72(平方米),所以这套住宅铺地砖的总费用为72×120=8640(元).
5.解:(1)山上x米处的温度是℃.
( http: / / www.21cnjy.com ) (2)把x=300,1000,5000分别代入30
-
,得30
-
=28.2(℃),30
-
=24(℃),【出处：21教育名师】
30
-
=0(℃),因此当山脚温度为30
℃时,山上300米、1000米、5000米处的温度分别为28.2
℃,24
℃,0
℃.
6.解:
(1)(25x+15y)
( http: / / www.21cnjy.com )元. (2)(10x+45y)元. (3)当x=10,y=4时,25x+15y=25×10+15×4=310(元).10x+45y=10×10+45×4=280(元).所以当x=10,y=4时,两个旅行团所需的门票总费用是310+280=590(元).
7.D(解析:若最初输入
( http: / / www.21cnjy.com )的数是4,由x=4是偶数,得对应的值是=2;而x=2是偶数,则对应的值是=1;而x=1是奇数,则对应的数是3x+1=4.由此可得以4,2,1为一个循环节进入循环.类似地,用上述方法可得:当最初输入的数是2时,其将以2,1,4为一个循环节进入循环;当最初输入的数是1时,其将以1,4,2为一个循环节进入循环.故选D.)
8.解:(1)甲旅行社:4
( http: / / www.21cnjy.com )00×0.75x=300x,乙旅行社:400×0.8(x
-
1)=320(x
-
1).故分别填:300x,320(x
-
1). (2)当x=17时,300x=300×17=5100(元),320(x
-
1)=320×16=5120(元),5100<5120,所以该校选择甲旅行社比较优惠.
本题的教学设计围绕通过列出的代数
( http: / / www.21cnjy.com )式去拓展解决具体问题展开,抓住了课时教学的重点.通过对问题的追问,加深了学生对代数式数学模型重要作用和意义的理解.
在填写表格数据的时候,没有让学生进行交流
和比较,忽略了交流合作在这个环节中的重要作用.
在处理活动1的时候,可以让学生自主选择不同时间的数据进行分析,这样可以更好地增强学生学习的自主性.
练习(教材第114页)
提示:(1)h=p. (2)2
m. (3)高度超过
m的物体.
习题(教材第114页)
A组
1.解:(1)p=(1+3.50%
( http: / / www.21cnjy.com ))a. (2)当a=1000时,p=1035(元),当a=2000时,p=2070(元),当a=4500时,p=4657.5(元). (3)列表如下:
a/元
1000
2000
4500
p/元
1035
2070
4657.5
2.解:(1)y=2x+1,z=3x
( http: / / www.21cnjy.com )
-
1. (2)第一行从左到右依次填:3,5,7,9,11,13,15,17.第二行从左到右依次填:2,5,8,11,14,17,20,23. (3)略.
3.解:(1)[7+0.8(n
-
1)]cm. (2)当n=6时高度为11
cm.
B组
1.解:(1)乙车出发x
h后,甲车离A地路程为千米,乙车离A地路程为80x千米. (2)60×+60x=80x.
2.解:(1)4×6
-
52=24
-
25=
-
1 (2)n(n+2)
-
(n+1)2=
-
1.
复习题(教材第116页)
A组
1.(1)
-
(a≠0) (2) (3) (4)5a (5)b(b+3) (6)
2.解:(1). (2)2a+b2. (3)a2+b2
-
4ab.
(4)+3.
3.解:(1)①3n. ②5n+2
( http: / / www.21cnjy.com ). ③2n
-
1. (2)×100% (3)2 (4)100(m+1)+10m+(m
-
1),即111m+99.
4.解:a+(a+7)+(a+14)+(a+21),即4a+42.
5.解:(4a+5)岁.
6.解:(1)(2x+50)m2. (2)
m2.
7.解:.
8.解:km.
10.解:x人,人.
11.解:(1)当x=5时,y=20.5(元),当x=10时,y=41(元). (2)y=4.1x.
12.解:n2+n=n(n+1).
13.解:第1行从左到右依次填:
-
( http: / / www.21cnjy.com )18,
-
4,
-
6,
-
2,2,8,18,第2行从左到右依次填:18,,3,2,3,,27,第3行从左到右依次填:,,0,,,,.
14.提示:当x=时,x2+2x+1和(x+1)2的值均为.
B组
1.解:[a+(2a+3)]·,即(a+1)2.
2.解:(1+3.5%)x+(1+3.5%)x·4.4%×2=1.12608x(元).
3.解:甲:.乙:.丙:.总共完成的工作量:.
4.解:[4+n(n+1)]个.
5.解:(1)从左到右依次填:3,6,10,15,21,28. (2)w=a(a+1).
C组
1.解:(1)个位数字依次是1,3,7,5,依次循环. (2)略. (3)5.
2.(1)略. (2)略. (3
( http: / / www.21cnjy.com ))解:设高为h.圆柱形容器的容积为π·h=,长方体形容器的容积为h=.因为4π<16,所以,所以圆柱形容器的容积大.
3.解:(1)0.25厘
( http: / / www.21cnjy.com )米.12.25厘米. (2)(12+0.25n)厘米. (3)同意,因为当n=72时,12+0.25n=12+0.25×72=30(厘米).
一根长80厘米的弹簧,一端固定,如果另一端挂上物体,那么在正常情况下,物体的质量每增加1千克,弹簧增长2厘米.
(1)填写下表:
所挂物体的质量
/
千克
1
2
3
4
…
弹簧的总长度/厘米
82
84
86
( )
…
(2)如何表示所挂物体的质量是m(千克)时弹簧的总长度L(厘米)是多少 用m的代数式来表示.
(3)如果弹簧的长度为92厘米,此时挂上多少千克的物体
解:(1)由题意知表中括号内应填88.
(2)L=80+2m.
(3)当L=92时,92=80+2m,解得m=6,
即此时挂上6千克的物体.
1.理解用字母表示数的意义,能结合具体情境给字母赋予实际意义.
2.理解代数式和代数式的值的意义,能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义,在具体情境中能求出代数式的值.
3.建立数感、符号意识,初步形成运算能力,发展抽象思维.
1.经历观察、体验、验算、猜想、归纳等数学过程,体会数学与现实世界的联系,增强符号感,发展运用符号解决问题和数学探究意识.
2.会求代数式的值,能解释代数式的值的实际意义,能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
在解决问题的过程中体验类比、联想等思维,体验数学美,增强学习的自信心.
【重点】 列代数式;求代数式的值.
【难点】 正确列出代数式表示现实问题中的数量关系;从不同的角度给代数式赋予实际意义.
代数式
专题一 用字母表示数
【专题分析】
用字母表示数量关系是学好本章的基础,也是
( http: / / www.21cnjy.com )今后学习方程、函数、不等式等内容的必备知识,应用广泛,涉及面广,且是中考常考的内容.用字母表示数解决了特殊与一般的关系,体现了“由特殊到一般”,再由“一般到特殊”的认识规律的思想方法.
用字母表示数,转化为用数字、字母和运算符号构成的符号语言.用字母表示数的特点:任意性,抽象性.
用字母表示下列各数.
(1)每包书有20册,n包书有 册;
(2)温度由t
℃下降3
℃后是 ℃;
(3)产量由m千克增长20%,就达到 千克.
〔解析〕 第(2)小题中,下降3
( http: / / www.21cnjy.com )
℃就是用t加上
-
3,且后面有单位,所以t
-
3要加括号,写成t
-
3就不对了;第(3)小题中,增长20%,即(1+20%)m.
〔答案〕 (1)20n (2)(t
-
3) (3)(1+20%)m
【针对训练1】 用字母表示下列各数.
(1)比a与b的和小3的数;
(2)比a与b的积的2倍大5的数;
(3)比a与b的差的一半小1的数;
(4)比a除以b的商的3倍大8的数.
〔解析〕 从关键性的词语判断运算顺序,列式即可.
解:(1)a+b
-
3. (2)2ab+5. (3)(a
-
b)
-
1. (4)+8.
[规律方法] 根据实际问题中的数量关系列出所要求的式子,在列式时,要抓住关键性词语,掌握好它们和运算之间的对应关系.
专题二 代数式
【专题分析】
用字母表示数有一定的限制,字母所取的数应保证它所在的式子有意义,单独一个数或一个字母也是代数式.
某风景区的门票价格是:成人票每张10元,学生票每张5元.一个旅游团有成人x人、学生y人.
(1)请你根据题意确定该旅游团应付多少门票费;
(2)如果该旅游团有37个成人,15个学生,那么门票费是多少呢
〔解析〕 x和y分别表示人数,取值时应符合实际意义.
解:(1)该旅游团应付的门票费是(10x+5y)元.
(2)把x=37,y=15代入代数式10x+5y,得
10x+5y=10×37+5×15=445.
因此,他们应付445元门票费.
[解题策略] 10x+5y表示的是x个成人、y个学生进公园的门票费.
【针对训练2】 如果用x(m/s)表示小明跑步的速度,用y(m/s)表示小明走路的速度,那么10x+5y表示什么
解:表示他跑步10
s和走路5
s所经过的路程.
专题三 列代数式
【专题分析】
列代数式是研究数量关系的重要基础,在整个中学数学中占有极其重要的地位.
列代数式的几个注意事项:
(1)
同课章节目录
- 第一章 有理数
- 1.1 正数和负数
- 1.2 数轴
- 1.3 绝对值与相反数
- 1.4 有理数的大小
- 1.5 有理数的加法
- 1.6 有理数的减法
- 1.7 有理数的加减混合运算
- 1.8 有理数的乘法
- 1.9 有理数的除法
- 1.10 有理数的乘方
- 1.11 有理数的混合运算
- 1.12 计算器的使用
- 第二章 几何图形的初步认识
- 2.1 从生活中认识几何图形
- 2.2 点和线
- 2.3 线段长短的比较
- 2.4 线段的和与差
- 2.5 角以及角的度量
- 2.6 角的大小
- 2.7 角的和与差
- 2.8 平面图形的旋转
- 第三章 代数式
- 3.1 用字母表示数
- 3.2 代数式
- 3.3 代数式的值
- 第四章 整式的加减
- 4.1 整式
- 4.2 合并同类项
- 4.3 去括号
- 4.4 整式的加减
- 第五章 一元一次方程
- 5.1一元一次方程
- 5.2 等式的基本性质
- 5.3 解一元一次方程
- 5.4 一元一次方程的应用