【冀教版】2016版七年级上：第4章《整式的加减》全章教学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 【冀教版】2016版七年级上：第4章《整式的加减》全章教学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-09-15 16:35:36 | ||
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第四章 整式的加减
1.理解整式的概念,知道单项式、多项式、整式与代数式的联系和区别.
2.理解同类项的概念,会辨别同类项,并能熟练地合并同类项.
3.探索并掌握去括号法则,并能准确地去括号.
1.进一步经历在现实情境中用代数式表示数量关系的过程,体验数学抽象,发展符号意识.
2.理解整式加减运算的算理,能进行简单的整式加减运算,并能运用整式的有关知识解决一些实际问题,培养应用意识.
经历数与式比较的过程,体验类比的数学思想,初步培养学生辩证看问题的意识.
在本章中,整式的概念、合并同类项、去括号
( http: / / www.21cnjy.com )法则和整式加减运算等主要内容,既是以后学习整式乘法、分式运算、方程和函数等知识的基础,也是培养学生抽象思维能力的重要内容.21教育网
本章内容呈现方式如下:结合具体情境,充分展
( http: / / www.21cnjy.com )现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,使学生体验从具体问题情境中抽象数学符号的过程,发展符号意识,感受计算原理,提高运算能力,培养学生的应用意识.
在具体情境中,通过代数式表示数量以及数量之间关系可以:
(1)建立单项式、多项式和整式的有关概念;
(2)在探索合并同类项和去括号法则的过程中,通过归纳、类比等活动,使学生体会发现问题、提出问题的过程,培养学生提出数学问题的意识;
(3)通过实例,使学生了解整式加减的必要性
( http: / / www.21cnjy.com ),理解运算的算理,重视对学生基础知识和基本技能的训练,关注学生对知识发生、发展过程的体验和应用能力的培养,帮助学生积累数学活动经验.
【重点】 整式的概念,合并同类项,去括号法则和整式加减运算.
【难点】 理解运算的算理,运用知识解决实际问题.
1.提供充分的素材,让学生经历用代数式表示数量(关系)的过程,进一步发展符号意识.
2.结合现实的、富有趣味性
( http: / / www.21cnjy.com )的情境,探索合并同类项的法则,并学会运用加法结合律,乘法对加法的分配律等,通过数与式的类比,自然而合理地解决去括号问题.
3.开展用数学语言(代数式)合乎逻辑地
( http: / / www.21cnjy.com )进行讨论,提出质疑,让学生在经历“符号化”的过程中,体验数学抽象,初步发展推理能力,积累数学活动经验.
4.整式的加减运算是建立在数的运算基础上的,因此要强调运用数的运算律,保证基本运算技能的训练,同时要注意避免过多的、繁琐的运算.
4.1 整 式
2课时
4.2 合并同类项
2课时
4.3 去括号
1课时
4.4 整式的加减
1课时
回顾与反思
1课时
4.1 整 式
1.了解单项式的系数、次数等概念,并能在具体问题中识别和运用.
2.感受单项式概念建立的过程,知道它与代数式之间的联系和区别.
3.了解多项式的相关概念,了解单项式和多项式之间的关系.
经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程,发展符号意识.
培养学生乐于观察、善于思考的良好学习习惯,增强合作交流意识.
【重点】 单项式的系数、次数等概念.
【难点】 单项式和代数式之间的区别和联系.
第课时
了解单项式,单项式的系数、次数等概念.
引导学生观察、讨论、自主探究,发展学生的逻辑思维能力.
通过师生之间的交流合作,体验合作分享的快乐.
【重点】 单项式的系数、次数等概念.
【难点】 能熟练地判定一个单项式的系数、次数.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习用字母表示数的书写规范.
导入一:
用字母表示下列数量关系.
(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ;
(2)买一本笔记本要0.5元,买n本的价钱是 ;
(3)若x表示正方体的棱长,则正方体的表面积是 ;
(4)若m表示一个有理数,则它的3倍是 .
思考:(1)请学生说出所列代数式的意义.
(2)请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同的运算特征.
[设计意图] 让学生列式不仅复习前
( http: / / www.21cnjy.com )面的知识,更是为下面给出单项式的概念埋下伏笔.在活动中充分让学生自己观察、自己发现、自己描述,进行自主学习和合作交流,可极大地激发学生学习的积极性和主动性,满足学生的表现欲和探究欲,使学生学得轻松愉快,充分体现课堂教学的开放性.
导入二:
我们每个家庭在装修房子的时候,往往
( http: / / www.21cnjy.com )会挂上美丽的窗帘起到美化我们的房间的作用,窗帘的选择既要美观大方,又要考虑到窗户的透光效果.你能说说你们家的窗帘都是怎么设计的吗 下面我们一起去看看小芳家的窗帘吧.
( http: / / www.21cnjy.com )
小芳房间的窗户如图所示,其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同).
(1)装饰物所占的面积是多少
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少 (窗框面积忽略不计)
学生完成:
(1)b2;(2)ab
-
b2.
师:上面的这两个代数式之间有什么区别和联系呢
[设计意图] 问题是思维的出发点,从学生实际出发,为学生创设了丰富的问题情境,自然引入新课,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
[过渡语] 整式是一类简单的代数式.在日常生活中,我们经常要用整式表示有关的量.
活动1 列代数式
用多媒体课件依次出示下列问题,学生先独立完成,随后指名让同学说出正确答案.
1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为m千瓦时,那么n天耗电量为 千瓦时.(mn)
2.某物品包装箱的形状是长方体.如果包装箱的宽和高都是a
cm,长是b
cm,那么它的体积是
cm3.(a2b)
3.一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,
( http: / / www.21cnjy.com )这个两位数可表示为 ;如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为 .(10y+x;10x+y)
4.为了保护环境,促进生态
( http: / / www.21cnjy.com )平衡,某地计划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林a公顷,第二年比第一年增加了10%,那么第二年比第一年的植树造林面积增加了 公顷.(10%a)
5.如图所示,在边长为a的正方形内,挖去一个底为b,高为的三角形,则剩下部分的面积为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
[设计意图] 提供一组学生熟悉的具体问题,通过列代数式,既复习了旧知识,又为单项式、多项式的概念生成作铺垫.
活动2 单项式的概念
1.观察思考.
观察上面得到的代数式:
mn,a2b,10y+x,10x+y,10%a,a2
-
b.
从所含的运算来看,它们各自有什么特点
2.尝试按照运算分类.
3.单项式的概念.
像mn,a2b,10%a这样的代数式,它们都是由数与字母(或字母与字母)相乘组成的代数式,我们把这样的代数式叫做单项式.
4.单项式的系数和次数.
单项式中的数字因数叫做这
( http: / / www.21cnjy.com )个单项式的系数,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如单项式10%a的系数是10%,次数是1;mn的系数是1,次数是2;a2b的系数是1,次数是3.
强调:单个字母的指数是1,而不是0.
[知识拓展] (1)判断一个式子是否为
( http: / / www.21cnjy.com )单项式的方法,一是必须是乘积的形式,也就是除乘号外没有其他符号;二是这个式子的分母是否含有字母,不含有字母的才是单项式.
(2)π是单项式,表示一个具体的数,而不是字母,故π出现在分母上可以成为单项式,如等.
活动3 例题讲解
(教材例1)用代数式表示,并指出它们的系数和次数.
(1)某商店8月份营业额为m万元,9月份营业额比8月份增加了25%.9月份的营业额为多少万元
(2)某品牌汽车原价为a元/辆,现按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b辆,那么这周的销售额为多少元
(3)一个长方体形状的零件,它的底面边长分别是a
cm和b
cm,高是h
cm,这个零件的体积是多少立方厘米
分析处理:强调列代数式的注意事项,本例
( http: / / www.21cnjy.com )题要注意列出的代数式是不用带单位的,同时注意括号的运用.结合本例题强调:单项式的系数是1或
-
1时,“1”通常省略不写.
解:(1)(1+25%)m,它的系数是1+25%,次数是1.
(2)0.9ab,它的系数是0.9,次数是2.
(3)abh,它的系数是1,次数是3.
1.单项式的概念.
单项式是数与字母(或字母与字母)的乘积组成的式子,单独一个数或字母也是单项式.
注意:单项式中数与字母或字母与字母
( http: / / www.21cnjy.com )之间都是乘积关系,单项式只含有乘法以及数字为除数的除法运算,不能含有加减运算,更不能含有以字母为除式的除法运算.
2.单项式的次数与系数.
注意:单项式中的数字因数叫做单项式的系数
( http: / / www.21cnjy.com ),一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数;在判别单项式的时候,要注意包括数字前面的符号.一个单项式的次数是几,通常称这个单项式为几次单项式.
1.下列代数式中不是单项式的是
( )
A.
-
(
-
3)2 B.
-
x C.0 D.
解析:A,C都是单独一个数,是单项式,B是数与字母的积,是单项式,D中分母中含有字母,它不是单项式.故选D.
2.(2015·通辽中考)下列说法中,正确的是
( )
A.
-
x2的系数是
B.πa2的系数为
C.3ab2的系数是3a
D.xy2的系数是
解析:单项式的系数是单项式中的数字因
( http: / / www.21cnjy.com )数,找出每个单项式中的数字因数即可.选项A中的系数是
-
,选项B中的系数是π,选项C中的系数是3,选项D正确.故选D.
3.填空.
(1)
-
3ab2c3的系数是 ,次数是 ;
(2)3×105a2的系数是 ,次数是 .
解析:(1)单项式的系数是式子中的数字
( http: / / www.21cnjy.com )因数,次数为所有字母的指数和,不要忽略题中a的指数是1.(2)105中的指数5不能算成单项式的次数,此题中仅含一个字母a.
答案:(1)
-
3 6 (2)3×105 2
4.比较单项式12ab2c3与
-
8a3x2y的异同.
解:这两个单项式的共同之处有:
( http: / / www.21cnjy.com )各含有3个字母,都含有字母a,都是六次单项式,系数都是整数,并且都是4的倍数;它们的不同之处有:它们的系数不同(符号和绝对值都不相同),字母a的指数不同,除了a之外,它们所含有的字母也不相同.
第1课时
活动1 列代数式
活动2 单项式的概念
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第123页练习第1题.
【选做题】
教材第124页习题A组第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·台州中考)单项式2a的系数是
( )
A.2 B.2a C.1 D.a
2.(2015·厦门中考)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是
( )
A.
-
2xy2
B.3x2
C.2xy3
D.2x3
3.下列说法中正确的是
( )
A.4不是单项式
B.
-
的系数是2
C.的次数是3
D.πr2的次数是3
4.(2015·桂林中考)单项式7a3b2的次数是 .
5.写出下列代数式的系数.
(1)
-
18a2b; (2)xy; (3); (4)
-
x;(5)23x4.
【能力提升】
6.下面说法中正确的是
( )
A.xy+1是单项式
B.是单项式
C.是单项式
D.是单项式
7.单项式
-
ab2c3的系数和次数分别是
( )
A.系数是
-
1,次数为3
B.系数是
-
1,次数为5
C.系数是
-
1,次数为6
D.以上说法都不对
8.若
-
是四次单项式,则m的值为
( )
A.4 B.2 C.
-
4 D.
-
2
9.单项式
-
2xy4的次数与系数之差是 .
10.根据题意列出单项式,并指出单项式的次数.
(1)某商店前一个月赢利a元,这个月赢利比前一个月减少25%,这个月赢利多少元
(2)三角形的底是高的2倍,若高是x
cm,则这个三角形的面积是多少平方厘米
【拓展探究】
11.写出3个含有字母x,y,系数为
-
8,次数是4的单项式.
12.已知(a
-
1)x2ya+1是关于x,y的五次单项式,求下列代数式的值.
(1)a2+2a+1; (2)(a+1)2.
由(1)(2)的结果,你发现了什么规律
【答案与解析】
1.A(解析:单项式的系数是单项式中的数字因数.所以单项式2a的系数是2.)
2.D(解析:此题规定单项式的系数与次数,但没有规定式中有几个字母,观察四个选项,只有选项D符合要求.)www-2-1-cnjy-com
3.C(解析:4是单项式,A错;
-
的系数是
-
,B错;的次数是3,C对;πr2的次数是2,D错.)
4.5(解析:因为a的指数是3,b的指数是2,所以单项式的次数是3+2=5.)
5.解:(1)
-
18a2b的系数是
( http: / / www.21cnjy.com )
-
18. (2)xy的系数是1. (3)的系数是
-
. (4)
-
x的系数是
-
1. (5)23x4的系数是23,即8.【版权所有：21教育】
6.D(解析:xy+1由xy和1两项的和组
( http: / / www.21cnjy.com )成,不是单项式;由和两项的和组成,也不是单项式;的分母中出现了字母,不是单项式;只有D符合单项式的概念.)
7.C(解析:根据单项式的系数和次数的概念可知C正确.)
8.B(解析:单项式中所有字
( http: / / www.21cnjy.com )母的指数和是单项式的次数,
-
的所有字母的指数和为1+(2m
-
1),所以1+(2m
-
1)=4,解得m=2.)
9.7(解析:单项式
-
2xy4的次数是5,系数是
-
2,所以它们的差是5
-
(
-
2)=7.故填7.)
10.解:(1)75%a,一次单项式. (2)x2,二次单项式.
11.解:三个单项式为
-
8xy3,
-
8x2y2,
-
8x3y.
12.解:若(a
-
1)x2ya+1
( http: / / www.21cnjy.com )是关于x,y的五次单项式,则有2+a+1=5,所以a=2,所以a2+2a+1=22+2×2+1=9,(a+1)2=(2+1)2=9.发现的规律是a2+2a+1=(a+1)2.
数学概念的产生和形成过程是人们在对实际
( http: / / www.21cnjy.com )事例观察的基础上,通过比较、分析、归纳,再进一步抽象概括出本质的过程.在进行单项式概念的教学时,通过设计一系列问题,引导学生积极思考,层层深入,从而抽象概括出单项式的概念,有利于培养学生观察、分析、抽象等思维能力.
在概念讲解时给学生思考的时间略少,导致许多学生表面上会了,其实并没理解好.
对于概念的讲解,注重强调概念中的关键词语,如单项式的次数,需要强调是所有字母的指数和,只和字母的指数有关,和数字的指数无关等.
练习(教材第123页)
1.解:系数从左到右依次填:
-
1,5,
-
,0.3,2,,次数从左到右依次填:1,3,3,2,5,3.
2.解:
-
5a2b,
-
5ab2.
习题(教材第124页)
A组
1.解:a,πr2,
-
3xy3z是单项式,因为它们都是数与字母的积.x+1,不是单项式,因为它们不是数与字母(或字母与字母)的积.
2.解:(1)系数:3,次数:3. (2)系数:
-
,次数:3.
(3)系数:0.12,次数:1. (4)系数:,次数:3.
3.解:由题意得2+1+m=5,所以m=2,所以m2=22=4.
B组
1.解:
-
2xy3,
-
2x2y2,
-
2x3y.
2.解:销售n台共收入0.9mn元,系数:0.9,次数:2.
判断下列各式是否为单项式,如果不是,请简要说明理由;如果是,请指出它们的系数和次数.
(1)x+1; (2); (3)πr2; (4)
-
a3b.
解:(1)是字母与数字和的形式,不满足单项式的定义,不是单项式.
(2)的分母中有字母a,不是单项式.
(3)(4)都是数字与字母的积的形式,是单项式.πr2的系数是π,次数是2,
-
a3b的系数是
-
,次数是4.21世纪教育网版权所有
[解题策略] (1)判断一个代数式是否为单项式,关键看式子中的数与字母或者字母与字母之间
是不是乘积关系,如果之间是加减关系,那么
( http: / / www.21cnjy.com )就不是单项式.(2)单项式的系数包括它前面的符号.(3)单项式的次数是所有字母的指数相加的结果,它只与字母的指数有关,而与系数的指数无关,如23abc的次数是3,而不是6.(4)相同字母的乘积形式常用乘方的表达形式.
若
-
3axym是关于x,y的单项式,且系数为
-
6,次数为3,则a= ,m= .
〔解析〕 “关于x,y的单项式”说明只有x,
( http: / / www.21cnjy.com )y才是单项式中的字母,a只是系数的一部分,所以
-
3a=
-
6,解得a=2.而单项式的次数是x,y的指数和1+m,因此1+m=3,解得m=2.
〔答案〕 2 2
[解题策略] 单项式是数与字母的积,
( http: / / www.21cnjy.com )数字因数是单项式的系数,所有字母的指数和是单项式的次数.本题中x,y才是单项式的字母,而a只是系数的一部分,这点一定要理解到位.
第课时
1.掌握多项式的概念,进而理解整式的概念.
2.掌握多项式的次数、项数的概念,并能熟练说出多项式的项数和次数.
1.通过具体情境,发展学生的形象思维.
2.通过观察、讨论、自主探究等形式,发展学生的抽象概括能力.
通过交流、研讨活动,培养学生主动与他人合作的意识.
【重点】 多项式的概念及多项式的项数、次数的概念.
【难点】 多项式的次数.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习单项式的有关概念.
导入一:
如图所示,用两种不同形状的积木块,搭成两个不同形状的“桥”,它们的体积之和是多少呢
( http: / / www.21cnjy.com )
[设计意图] 通过情境图使知识性和趣味性融为一体,增加学生的学习兴趣.
导入二:
1.回答下列问题:
(1)长方形的长与宽分别为a,b,则长方形的周长是 ;
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人;
(3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.
[设计意图] 由于本课时的主题是多项式
( http: / / www.21cnjy.com ),通过列代数式引入多项式的定义,既是对前面知识的回顾,又可以由此导入新课,既符合学生的认知水平,又能为学生学习新知提供丰富的素材.
2.观察以上所得出的四个代数式与上一课时所学的单项式有何区别.
(1)2(a+b); (2)21+x; (3)a+b; (4)2a+4b.
[设计意图] 由学生小组派代表回答,教师
( http: / / www.21cnjy.com )应肯定每一位学生说出的特点,培养学生观察、比较、归纳的能力,同时又锻炼他们的表达能力.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充.
[过渡语] 在上一课时的活动1
( http: / / www.21cnjy.com )中,我们还得到了像10y+x,10x+y,a2
-
b这样的代数式,这些代数式与之前学过的单项式不同,它们叫什么名字呢
活动1 多项式及其相关概念
v+2.5,v
-
2.5,3x+5y+2z,ab
-
πr2,x2+2x+18.
提出问题:这些式子有什么共同的特点
生:(思考讨论.)
师:进一步提出问题,以上各式显然不是单项式,它们和单项式有联系吗
生:(讨论,交流,自由发言回答上面的问题.)
说明:指出多项式的概念及其相关的几个
( http: / / www.21cnjy.com )概念.由单项式相加组成的代数式叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.一个多项式由几个单项式组成,我们就把它叫做几项式,如2x
-
3由2x和
-
3组成,可以叫做二项多项式,这里的
-
3就是常数项;3x+5y+2z由3x,5y,2z组成,可以叫做三项多项式.
师:(进一步引导学生探究多项式次数的概念.)
生:(可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法,教师不必苛求学生怎样想,让学生大胆发言,只要能发挥他们的想象力即可.)
师:(在这一过程中教师可以引导,多项式
( http: / / www.21cnjy.com )的次数是不是也可以将所有字母的指数加在一块呢 如果字母多的话是不是有点太乱呢 如果这样的话,我们是不是派个代表就行了 派谁当代表呢 引导学生说出以次数最高的项的次数作为代表.)
归纳:多项式中次数最高的项的
( http: / / www.21cnjy.com )次数叫做多项式的次数.同单项式一样,一个多项式的次数是几,我们就称它为几次式,如2x
-
3可以叫做一次二项式,3x+5y+2z可以叫做一次三项式.
活动2 例题讲解
(教材例2)写出多项式,并指出它们的项和次数.
(1)目前,在地球上生存的动物约有150万种.其中,无脊椎动物约有m万种,脊椎动物约有 万种.
(2)如图所示的是城楼门口的形状,下部是长方形,上部是半圆形.它的面积是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)一个三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,这个三位数可表示为 .
〔解析〕 写出多项式,实际就是列出具有多项式特点的代数式.写出多项式后,依据多项式的项和次数的相关定义,确定其项和次数.
解:(1)150
-
m,它的项是150和
-
m,次数是1.
(2)2ra+πr2,它的项是2ra和πr2,次数是2.
(3)100c+10b+a,它的项是100c,10b和a,次数是1.
思考:整式与单项式、多项式有什么关系
小结:单项式是整式,多项式也是整式;整式中包括单项式和多项式.它们之间的关系可以表示为:
整式
(教材例3)如图所示的是由一个正方体和一个长方体组成的组合体.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)这个代数式是多项式还是单项式 如果是多项式,请你说出它是几次几项式.
〔解析〕 首先要正确列出代数式,然后依据所列出代数式的特点,判定其属于单项式还是属于多项式.同时需要准确理解多项式的项和次数的概念.
解:(1)这个组合体的体积是a3+a2b.
(2)这个代数式是多项式,它是三次二项式.
[知识拓展] 整式、单项式与多项式的联系与区别:
整式
1.几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
2.多项式的组成元素是单项
( http: / / www.21cnjy.com )式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式.
3.单项式和多项式统称为整式,它们都有次数
( http: / / www.21cnjy.com ),但是单项式有系数;多项式的每一项是一个单项式,含有字母的项都有系数.如果一个代数式既不是单项式也不是多项式,那么它就一定不是整式.
1.下面说法中正确的是
( )
A.一个代数式不是单项式,就是多项式
B.单项式是整式
C.整式是单项式
D.以上都不对
解析:因为单项式和多项式统称为整式,所以C错
( http: / / www.21cnjy.com );又因为代数式中,除了整式外,还有字母出现在分母上的不是整式的代数式,故A错;而B的说法符合整式的分类原则.故选B.
2.多项式1+xy
-
xy2的次数及最高次项的系数分别是
( )
A.2,1 B.2,
-
1 C.3,
-
1 D.5,
-
1
解析:多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数,是3,最高次项的系数是
-
1.故选C.
3.多项式ab2+25的次数和项数分别是
( )
A.3,2
B.5,2
C.3,3
D.5,1
解析:因为ab2+25有两项,分别是ab2和25,而25为常数项,其次数可看作0,ab2的次数为3,所以是三次二项式.故选A.
4.判断下列各代数式中哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式.
①
-
3xy2;②2x3+1;③;④
-
a;⑤0;⑥;⑦;⑧;⑨x2+
-
1;⑩.
解:单项式有:①
-
3xy2;④
-
a;⑤0;⑦;
多项式有:②2x3+1;③(x+y+1);
不是整式的有:⑥;⑧;⑨x2+
-
1;⑩.
第2课时
活动1 多项式及其相关概念
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第126页练习第1题.
【选做题】
教材第126页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列多项式中,是二次三项式的为
( )
A.a+b B.3a+4ab2+5b
C.a2+2a+1
D.a3+b3
2.代数式(x2+y2)
( )
A.是单项式
B.是整式
C.既不是单项式也不是多项式
D.不是多项式
3.多项式4x
-
5有 项,次数为 ;a2
-
ab2+b2有 项,次数为 .
4.若多项式2xm+3与ax3+2x2+x
-
1是同次的,则m= .
5.如图所示的是一个长方形园子的示意图,长方
( http: / / www.21cnjy.com )形的长为x,宽为y,里面有两个半圆形的花池,阴影部分是草坪,求草坪的面积是多少.它是多项式吗 它的次数是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
【能力提升】
6.下列判断正确的是
( )
A.与都是单项式
B.整式包括单项式与多项式
C.单项式与多项式是整式,但不是代数式
D.如果多项式a2+b2的值不为0,那么ab的值一定不为0
7.按某种标准把多项式分类,4x2
-
4与a3b+2ab2属于同一类,则下列多项式也属于此类的是
( )
A.
-
x5+y4
B.3x3+x
-
1
C.2ab+cd+1
D.a4+3a3+3ab2+b2
8.一个只含字母y的二次三项式,它的二次项系数是
-
1,一次项系数是2,常数项是,这个二次三项式是 .
9.(1)已知单项式
-
x4y3的次数与多项式a2+8xm+1b+a2b2的次数相同,求m的值;
(2)若关于x,y的多项式2x2+(k
-
2)xy
-
3y2+x
-
1不含xy项,求k3+1的值.
【拓展探究】
10.一个五次多项式,它的任何一项的次数都
( )
A.小于5 B.等于5
C.不小于5
D.不大于5
11.已知多项式a4+ab2
-
am+1b
-
6是六次四项式,单项式2x5
-
myn的次数与多项式的次数相同,求m2+n2的值.
12.长方形壁画的长为a
c
( http: / / www.21cnjy.com )m,宽为b
cm,现要在其四周镶上宽为5
cm的彩条,如图所示,至少需多长的彩条才能镶完 并说明你所列式子是否为整式,若是整式,则判断它是单项式还是多项式.
【答案与解析】
1.C(解析:A是一次二项式,B是三次三项式,C是二次三项式,D是三次二项式.)
2.B(解析:代数式(x2+y2)=x2+y2,它是多项式,也是整式.)
3.两 1 三 3(解析:因为4
( http: / / www.21cnjy.com )x
-
5是由4x和
-
5这两项组成的,其中4x的次数最高,为1,因此是一次二项式,同理可得a2
-
ab2+b2为三次三项式.)
4.4(解析:因为ax3+2x2+x
-
1的次数是4,所以m=4.)
5.解:根据题意得S草坪=xy
-
π=xy
-
πy2,它是多项式,次数是2.
6.B(解析:A项中不是单项式,C项中单项
( http: / / www.21cnjy.com )式与多项式是代数式,D项中a2+b2≠0可能为a=0,b≠0或a≠0,b=0,此时ab=0.故选B.)
7.A(解析:4x2
-
4与a3b+2ab2都是二项式,而且次数不同.故选A.)
8.
-
y2+2y+(解析:根据条件依次写出各项,再把各项相加即可.)
9.解:(1)由题意可知4+3=m+1
( http: / / www.21cnjy.com )+1,所以m=5.
(2)多项式不含某项,说明此项系数为0.因为关于x,y的多项式2x2+(k
-
2)xy
-
3y2+x
-
1不含xy项,所以k
-
2=0,即k=2,则k3+1=23+1=9.
10.D(解析:由于多项式的次数是
( http: / / www.21cnjy.com )“多项式中次数最高项的次数”,因此五次多项式中,次数最高的项是五次的,其余的项的次数可以是五次的,也可以是小于五次的,却不能是大于五次的.因此,五次多项式中的任何一项都是不大于五次的.故选D.)
11.解:由题意可知m+1+1=
( http: / / www.21cnjy.com )6,所以m=4,又单项式的次数是6,所以5
-
m+n=6,所以5
-
4+n=6,即n=5,所以m2+n2=42+52=41.
12.解:[2(a+5×2)+2b]c
( http: / / www.21cnjy.com )m或[2(b+5×2)+2a]cm或(2a+2b+5×4)cm,是整式,是多项式.即至少需(2a+2b+20)cm的彩条才能镶完,所列式子是整式,是多项式.
本课时借助教材章前图的情境,激发学
( http: / / www.21cnjy.com )生探究的欲望.然后教师紧接着让学生回顾之前学过的例子,发现它们与单项式的不同,进而让学生总结出多项式的概念.培养了学生的归纳和概括的能力,让每个学生都参与到课堂中来.在对多项式有关概念的介绍中,以逐层深入的原则,分析概念,并通过举例让学生加以理解,让其体验新知识的必然性及需进一步学习的必要性.整个教学过程中,教师注意与单项式进行类比,发现规律,形成结论.
重点、难点过多的分析反而会降低学生自己思考及探究的热情,课堂上大部分知识可以通过教师的引导让学生去主动获取,避免教师的过多的包办代替.
在例题讲解和处理一些练习的时候,不需要面面俱到,同类的问题讲解尽量不要过多,尝试着让学生自己学会去思考为什么.
练习(教材第126页)
1.解:(1)a2
-
2ab+b2
( http: / / www.21cnjy.com )的项是a2,
-
2ab,b2,次数是2. (2)x
-
5x2y2+3xy
-
1的项是x,
-
5x2y2,3xy,
-
1,次数是4.
2.解:(1)二次二项式. (2)四次三项式.
习题(教材第126页)
A组
1.解:(1)项是3x,
-
2x2,
( http: / / www.21cnjy.com )1,次数是2. (2)项是xy2,x2y,
-
xy,次数是3. (3)项是abc2,
-
ac,
-
bc,2,次数是4. (4)项是mn,cd,
-
d,m,次数是2.
2.解:项数是5,次数是3,常数项是
-
1.
3.解:(2800
-
a
-
b)名.
B组
1.解:(300m+25n)棵.
2.解:容积:abc,是整式,是单项式.表面积:ab+2bc+2ac,是整式,是多项式.
多项式2a2b
-
a2b
-
ab的项数及次数分别是
( )
A.3,3
B.3,2
C.2,3
D.2,2
〔解析〕 多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数,根据这个定义即可判定.故选A.21教育名师原创作品
如果整式xn
-
2
-
5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
〔解析〕 根据题意得到n
-
2=3,即可求出n的值.由题意得n
-
2=3,解得n=5.故选C.
一组按规律排列的多项式:a+b,a2
-
b3,a3+b5,a4
-
b7,…,其中第10个式子是
( )
A.a10+b19
B.a10
-
b19
C.a10
-
b17
D.a10
-
b21
〔解析〕 多项式的第一项
( http: / / www.21cnjy.com )依次是a,a2,a3,a4,…,an,第二项依次是b,
-
b3,b5,
-
b7,…,(
-
1)n+1·b2n
-
1,所以当n=10时,代入可得到第10个式子为an+(
-
1)n+1b2n
-
1=a10
-
b19.故选B.
对于多项式
-
x2
-
2xy2+3π,下列说法正确的是
( )
A.2次3项式,常数项是3π
B.3次3项式,没有常数项
C.2次3项式,没有常数项
D.3次3项式,常数项是3π
〔解析〕 因为多项式中的每个单项式
( http: / / www.21cnjy.com )叫做多项式的项,多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数,所以多项式
-
x2
-
2xy2+3π中最高次项
-
2xy2的次数为3,3π中虽有字母π,但是作已知数处理,即为常数项.故此多项式为3次3项式,常数项是3π.故选D.
4.2 合并同类项
1.结合具体情境,经历合并同类项的过程,体会合并同类项的意义.
2.理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
3.通过合并同类项解决生活中的实际问题.
通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力.
初步体会数学与人类生活的密切联系.
【重点】 理解同类项的概念;掌握合并同类项的法则.
【难点】 根据同类项的概念在多项式中找同类项,并能正确地合并.
第课时
理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
结合具体情境,经历合并同类项的过程,体会合并同类项的意义.
培养学生自主探索知识和合作交流的意识.
【重点】 理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
【难点】 根据同类项的概念在多项式中找同类项,并能正确地合并.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习多项式的有关概念.
导入一:
某学校校园的总体规划图(单位:m)如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
在计算这个学校的土地面积时,同学们得出两个答案:
①100a+200a+240b+60b;
②(100+200)a+(240+60)b.
上述哪个答案正确呢
[设计意图] 通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断的能力,让学生亲身体会了数学与生活的密切关系.
导入二:
如图所示,青藏铁路线上,
( http: / / www.21cnjy.com )在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度是100
km/h和120
km/h.在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需的时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍,如果通过冻土地段需要t
h,能用含t的式子表示这段铁路的全长吗
这段铁路的全长用代数式表示为(单位:km)100t+120×2.1t,即100t+252t.
怎样化简这个式子呢
[设计意图] 以情境图引入教学,让学生列出式子,然后讨论如何对式子进行化简,引发学生的思考.
[过渡语] 有些多项式,它们中的某些项可以合并,这样可使原多项式简化.这就是我们要学习的合并同类项.
活动1 感知、探究合并同类项
小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木块搭成了如图(1)和图(2)所示的两个不同形状的“桥”.
( http: / / www.21cnjy.com )
师:怎样计算两个“桥”的体积之和呢 大家能用哪些方法计算两个“桥”的体积之和呢
预设 生1:先计算图(1)中“桥”的体积,后计算图(2)中“桥”的体积,再将两个“桥”的体积相加,结果是2a3+a2b+3a3+2a2b.
生2:将两个“桥”看作一个整体来计算:它们是由5个Ⅰ型积木和3个Ⅱ型积木组成的,结果是5a3+3a2b.
师:两个“桥”的体积是一定的,也就
( http: / / www.21cnjy.com )是说不同的方法计算出的两个“桥”的体积之和是相等的.那么不同的方法计算出的结果也应该是一样的.也就是说2a3+a2b+3a3+2a2b=5a3+3a2b.等式的左边和右边有什么联系呢
预设 生1:从等式的左边到右边,就是将2a3与3a3,a2b与2a2b分别“合并”在一起.
生2:2a3与3a3,a2b与2a2b除系数不同外,所含字母及相同字母的指数都是相同的.
师:请同学们总结一下什么是同类项.
生:在多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.几个常数项也叫同类项.
[设计意图] 通过日常生活中分类
( http: / / www.21cnjy.com )的例子,让学生感受到在分类时,应该把具有相同特征的事物化归成一类;再通过对单项式的分类,让学生掌握同类项的概念.
[知识拓展] (1)同类项不一定是两个,也可以是多个,所有的常数项都是同类项.
(2)判断同类项的两个标准:一是所含的字母相同,二是相同字母的指数相等.两个无关:一是与系数无关,二是与字母顺序无关.
(3)同类项的前提条件必须是单项式.
活动2 合并同类项的法则
师:由2a3+3a3是怎么得到(2+3)a3的
生:根据乘法对加法的分配律.
师:由a2b+2a2b是怎么得到(1+2)a2b的
生:根据乘法对加法的分配律.
师:观察下面图示中的式子,请你总结下什么是合并同类项,合并同类项的法则是什么.
( http: / / www.21cnjy.com )
师:(追问)在多项式中,两项可以合并成一项的条件是什么
生:是同类项.
师:合并前后的系数有什么关系,字母和它的指数有无变化
生:合并后的系数是同类项的系数之和,字母和它的指数无变化.
师:请总结下什么是合并同类项,合并同类项的法则是什么.
生:在多项式中,几个同类项可以合并成一项,这个合并的过程,叫做合并同类项.在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变.
活动3 例题讲解
(教材例1)合并同类项:
(1)4ab2
-
ab
-
6ab2;
(2)2x2y
-
5x2y+x2y+5xy2;
(3)xy+5y2
-
3+4xy
-
5y2.
〔解析〕 注意:①如果两个同类项的
( http: / / www.21cnjy.com )系数互为相反数,合并同类项的结果为0;②合并同类项时,只能把同类项合并为一项,不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上;③只要不再有同类项,此时就是最后的结果,结果可能是单项式,也可能是多项式;④同类项移动位置时,不要漏掉它的性质符号,特别注意“
-
”号.
解:(1)
-
ab
=(4
-
6)ab2
-
ab
=
-
2ab2
-
ab.
(2)+5xy2
=x2y+5xy2
=
-
x2y+5xy2.
(3)+5y2
-
3+
-
5y2
=(1+4)xy+(5
-
5)y2
-
3
=5xy
-
3.
1.对于同类项的识别,只要
( http: / / www.21cnjy.com )抓住它的两个条件:一是所含的字母相同;二是相同字母的指数也必须相同.具备了这两个条件就是同类项,同类项只与字母和字母的指数有关,与字母的排列顺序和前面的系数无关.
2.把多项式中的同类项合并成一
( http: / / www.21cnjy.com )项,叫做合并同类项.合并同类项的理论根据是乘法分配律.合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.
3.合并同类项的步骤:第一步,准确地找出同类
( http: / / www.21cnjy.com )项,并用不同的记号标出同类项;第二步,利用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变;第三步,写出合并后的结果.
1.下列各组式子中为同类项的是
( )
A.3x2y与
-
3xy2
B.3xy与
-
2yx
C.2x与2x2
D.5xy与5yz
解析:选项A,C中,所含字母相同但相
( http: / / www.21cnjy.com )同字母的指数不同,故不是同类项;选项D中由于所含字母不同,故也不是同类项;而选项B中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,故是同类项.故选B.
2.下列计算正确的是
( )
A.8x+4=12x
B.4y
-
4=y
C.4y
-
3y=y
D.3x
-
x=3
解析:根据合并同类项的法
( http: / / www.21cnjy.com )则计算各个选项,选出正确答案即可.A.不能合并,不正确;B.不能合并,不正确;C.4y
-
3y=y,正确;D.3x
-
x=2x,不正确.故选C.
3.若单项式2x2ym与
-
xny3是同类项,则m+n的值是 .
解析:本题考查同类项的定义.由题意可知m=3,n=2,故m+n=5.故填5.
4.下列各题中的两项是不是同类项 为什么
(1)2xy,3yx;
( http: / / www.21cnjy.com )(2)
-
2a3b2,5b3a2; (3)m2n,2m2n; (4)4ab4c,3acb4; (5)2×103t,1.5×102t.
解:(1)是,因为所含字母相同,即都
( http: / / www.21cnjy.com )有x,y,而且x,y的指数都是1,即相同字母的指数也分别相同. (2)不是,因为虽然所含字母相同,但是相同字母的指数不相同. (3)是,因为只有系数不同,完全符合同类项的两个标准. (4)是,因为它们只有字母的排列顺序和系数大小不同,所含字母及相同字母的指数都分别相同. (5)是,因为两项都只含有字母t,并且t的指数都是1,2×103与1.5×102都是系数,它们是同类项.21
cnjy
com
第1课时
活动1 感知、探究合并同类项
活动2 合并同类项的法则
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第129页练习第1,2题.
【选做题】
教材第129页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式中,是3a2b的同类项的是
( )
A.2x2y B.
-
2ab2 C.a2b D.3ab
2.化简a+2b
-
b,正确的结果是
( )
A.a
-
b
B.
-
2b
C.a+b
D.a+2
3.下列各式中不是同类项的是
( )
A.xy和
-
xy
B.
-
和3
C.2ab2c和
-
3cab2
D.ab3和a3b
4.(2015·遵义中考)如果单项式
-
xyb+1与xa
-
2y3是同类项,那么(a
-
b)2015= .
5.合并同类项.
(1)
-
a
-
a
-
2a2
-
2a2;
(2)4x2
-
8x+5
-
3x2+6x
-
2.
【能力提升】
6.下面给出的四对单项式中是同类项的一对是
( )
A.x2y与
-
3x2z
B.3.22m2n3与n3m2
C.0.2a2b与0.2ab2
D.11abc与ab
7.下列合并同类项的结果正确的是
( )
A.a+a=a2
B.3m
-
2m=1
C.4a2+a3=5a5
D.6xy2
-
4y2x=2xy2
8.若
-
x3ym与xny是同类项,则m+n的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9.已知x4my与
-
x9y可以合并,则式子12m
-
10的值是 .
10.下列各题中的两项都是同类项,求m,n的值.
(1)
-
x3yn,2xm+1y3;
(2)5an+2b,3am+2nbn
-
1.
【拓展探究】
11.多项式
-
x2
-
x3+3x2+1
-
xy2
-
x2中,与2x2是同类项的是
( )2·1·c·n·j·y
A.
-
x2
B.
-
x2,3x2
C.
-
x2,
-
x3,3x2
D.
-
x2,3x2,
-
x2
12.若|m
-
2|+=0,则单项式3x2ym+n
-
1和x2m
-
n+1y4是同类项吗
13.已知
-
2ambc2与4a3bnc2是同类项,求多项式3m2n
-
2mn2
-
m2n+mn2的值.
【答案与解析】
1.C(解析:运用同类项的定义判定即可
( http: / / www.21cnjy.com ).A.2x2y,字母不同,故A选项错误;B.
-
2ab2,相同字母的指数不同,故B选项错误;C.a2b是3a2b的同类项,故C选项正确;D.3ab,相同字母的指数不同,故D选项错误.故选C.)
2.C(解析:a+2b
-
b=a+b.故选C.)
3.D(解析:ab3和a3b中所含字母相同,但相同字母的指数不同.)
4.1(解析:因为单项式
-
xyb+1
( http: / / www.21cnjy.com )与y3是同类项,所以a
-
2=1,b+1=3,解得a=3,b=2,所以(a
-
b)2015=(3
-
2)2015=12015=1.故填1.)
5.解:(1)
-
a
-
a
-
2a2
-
2a2=(
-
a
-
a)+(
-
2a2
-
2a2)=
-
2a
-
4a2. (2)4x2
-
8x+5
-
3x2+6x
-
2=(4x2
-
3x2)+(
-
8x+6x)+(5
-
2)=(4
-
3)x2+(
-
8+6)x+(5
-
2)=x2
-
2x+3.
6.B(解析:3.22m2n3与n3m2这两个单项式满足所含字母相同,并且相同字母的指数也相同.故选B.)
7.D(解析:a+a=2a,3m
-
2m=m,4a2+a3不能合并,6xy2
-
4y2x=(6
-
4)xy2=2xy2.)
8.D(解析:根据同类项的定义(所含字母相同
( http: / / www.21cnjy.com ),相同字母的指数也相同)列出方程,求出n,m的值,再代入代数式计算即可.根据题意得n=3,m=1,则m+n=4.故选D.)
9.17(解析:由x4my与
( http: / / www.21cnjy.com )-
x9y可以合并,可得x4my与
-
x9y是同类项,所以4m=9,m=,所以12m
-
10=12×
-
10=17.)
10.解:(1)因为
-
x3yn
( http: / / www.21cnjy.com ),2xm+1y3是同类项,所以m+1=3,n=3,所以m=2,n=3. (2)因为5an+2b,3am+2nbn
-
1是同类项,所以n+2=m+2n,n
-
1=1,则n=2,由n=2得2+2=m+2×2,即m=0,所以m=0,n=2.【来源：21·世纪·教育·网】
11.D(解析:仅含字母x,且x的次数是2的单项式即为2x2的同类项.故选D.)
12.解:因为|m
-
2|+=0,所以m
-
2=0,
-
1=0,即m=2,n=3.所以3x2ym+n
-
1=3x2y4,x2m
-
n+1y4=x2y4满足同类项的两个条件.所以单项式3x2ym+n
-
1和x2m
-
n+1y4是同类项.
13.解:由同类项定义得m=3,n=1,3m
( http: / / www.21cnjy.com )2n
-
2mn2
-
m2n+mn2=(3
-
1)m2n+(
-
2+1)mn2=2m2n
-
mn2,当m=3,n=1时,原式=2×32×1
-
3×12=18
-
3=15.
在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体性,
( http: / / www.21cnjy.com )向学生提供充分参与数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,培养学生的动手、动口、动脑的能力和学生间的合作交流能力.
指导的时机和方式欠妥:在讲解合并同类项的法则
( http: / / www.21cnjy.com )时,没有留给学生更多的时间去思考,学生在回答问题时迫不及待地去提醒他们,这对学生的自主探究不利,没有让学生去感受和体验,没有让学生去发挥他们的主体性,课堂上没给学生充分的时间做练习.
在处理教材例1的过程中,结合运算的过程,指导学生注意合并同类项的注意事项,提高合并同类项运算的准确性.
练习(教材第129页)
1.解:(1)不是同类项,因为
( http: / / www.21cnjy.com )所含字母不同. (2)是同类项,因为所含字母相同,相同字母的指数也相同. (3)不是同类项,因为相同字母的指数不同.
(4)不是同类项,因为所含字母不同. (5)是同类项,理由同(2). (6)是同类项,所有常数项都是同类项.
2.解:(1)2x2
-
3y
-
5xy+
( http: / / www.21cnjy.com )7+x2
-
y=x2
-
y
-
5xy+7. (2)4a2
-
9a
-
3a2+8a=a2
-
a+1.
习题(教材第129页)
A组
1.(1)
-
1 (2)
-
2.解:(1)不正确.因为
( http: / / www.21cnjy.com )2a与3b不是同类项,不能合并. (2)不正确,因为5y3与
-
3y2不是同类项,不能合并. (3)正确,符合合并同类项的法则. (4)不正确,因为4x2y与
-
5xy2不是同类项,不能合并.
3.提示:a3b——
-
7ba3
-
6a3b
-
7ab——4ab
-
3ab x——
-
4x
-
3x
-
mnp——
-
9mnp
-
10mnp
4.解:(1)4a+2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
7a+8b
-
5=
-
3a+8b
-
3. (2)15ab2
-
2a2c
-
12ab2
-
6a2c=3ab2
-
8a2c. (3)x3
-
x3+x=
-
x3+x. (4)2x2+1
-
3x+7
-
3x2
-
5x=
-
x2
-
8x+8. (5)5ab
-
a2+2a2
-
7ab
-
6a2=
-
2ab
-
5a2. (6)4ax+3by
-
6ax+4bx
-
3by=
-
2ax+4bx.
B组
1.(1)1 3 (2)x2y2z,6x2y2z,
-
7x2y2z(答案不唯一)
2.解:(1)n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10. (2)这五个数为58,59,60,61,62.
3.解:120a+50×0.8a+1
( http: / / www.21cnjy.com )00×(200
-
120
-
50)=160a+3000.即销售这批该品牌服装的销售额为(160a+3000)元.
已知
-
xa
-
3y3与3y5
-
bx3是同类项,则ab的值为 .
〔解析〕 根据同类项的定义:所含字母相同
( http: / / www.21cnjy.com ),相同字母的指数也分别相同,可得a
-
3=3,5
-
b=3,进而求解.由题意可得a
-
3=3,5
-
b=3,可解得a=6,b=2,所以ab=62=36.故填36.
[解题策略] 掌握两个单项式成为同类项必须具备的条件是解这个题目的关键,即把握住同类项的两个相同:字母相同,相同字母的指数也分别相同.
下面各组中的同类项是
( )
A.3a2b3和2b3a2 B.2x2y和2xy2
C.4与a
D.2x和2ax
〔解析〕 根据同类项的定义,需要满足两个条件:所含字母相同及相同字母的指数也相同.故选A.
下列合并同类项正确的是
( )
A.2x2
-
3x=
-
x
B.2x2
-
3x2=
-
1
C.2x2+3x=5x3
D.2x2+5x2=7x2
〔解析〕 是同类项才能合并,合并同类项时,只把系数相加,字母和字母的指数不变.故选D.
第课时
1.掌握多项式的求代数式的值的方法.
2.能够通过求代数式的值解决生活中的一些实际问题.
通过具体的生活情境,帮助学生积累数学活动经验.
培养学生的合作交流意识.
【重点】 掌握多项式的求代数式的值的方法.
【难点】 通过具体的生活情境,帮助学生积累数学活动经验.
【教师准备】 预设本课时学生在计算过程中容易出错的地方.
【学生准备】 复习代数式的值、合并同类项等知识.
导入一:
已知代数式5a2
-
5a+4
-
3a2+6a
-
5.
(1)将a=直接代入代数式中求值.
(2)先合并同类项,再将a=代入求值.
比较上面的两种解法,哪种方法更简单
[设计意图] 通过上面的问题,既可
( http: / / www.21cnjy.com )以帮助学生回顾之前学习的代数式的值的知识,在尝试计算的过程中,感受求多项式的值的时候先化简再求值带来的简便.
导入二:
某学校校园的总体规划图(单位:m)如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)用代数式表示该校的土地面积是多少;
(2)如果a=120,b=60,计算该校的土地面积是多少.
[设计意图] 改编前面课时的导入情境,学生通过观察、思考,亲身体会数学与生活的密切关系.
[过渡语] 之前我们学习了简单代数式的求值,那么怎样求一个多项式的值呢
(教材例2)当x=1,y=时,求多项式3xy2
-
5xy+0.5x2y
-
3xy2
-
4.5x2y的值.
〔解析〕 求这个多项式的值,我们可
( http: / / www.21cnjy.com )以采取两种方法:一是分别求这个多项式中各个单项式的值,再把各单项式的值分别相加;二是通过观察,这个多项式可以进行同类项合并,先合并同类项后再求值.www.21-cn-jy.com
解:3xy2
-
5xy+0.5x2y
-
3xy2
-
4.5x2y=
-
5xy
-
4x2y.
当x=1,y=时,
原式=
-
5×1×
-
4×12×=
-
.
(教材例3)某学校组织七、八年级全体同学参观革命老区西柏坡.七年级租用45座大巴车x辆,60座大巴车y辆;八年级租用60座大巴车x辆,30座中巴车y辆(以上三种车型,座位均不含司机).当每辆车恰好坐满时:
(1)用含x,y的代数式表示该学校七、八年级学生人数.
(2)当x=4,y=7时,该学校七、八年级共有多少学生
〔解析〕 代数式本身并没有值
( http: / / www.21cnjy.com ),在特定的情境或条件下,某些字母的值确定的时候,我们就可以求出相应代数式的值.因此我们可以通过先列代数式再求值的方法,解决一些生活中的具体问题.
解:(1)由题意可得七年级有学生(45x+60y)人,八年级有学生(60x+30y)人.
所以七、八年级共有学生的人数为:
45x+60y+60x+30y=105x+90y.
(2)当x=4,y=7时,
105x+90y=105×4+90×7=1050.
所以七、八年级共有1050名学生.
1.先合并同类项再求值,可以简化多项式的求值.
2.利用代数式求值解决实际问题,要注意数量单位的统一和取值的实际意义.
1.(2015·玉林中考)下列运算中,正确的是
( )
A.3a+2b=5ab B.2a3+3a2=5a5
C.3a2b
-
3ba2=0
D.5a2
-
4a2=1
解析:先根据同类项的概念进行判断
( http: / / www.21cnjy.com )是否为同类项,然后根据合并同类项的法则,即系数相加作为系数,字母和字母的指数不变计算,最后进行判断即可.A.3a和2b不是同类项,不能合并,A错误;B.2a3和3a2不是同类项,不能合并,B错误;C.3a2b
-
3ba2=0,C正确;D.5a2
-
4a2=a2,D错误.故选C.
2.三个连续奇数,设中间的数为2n+1,则这三个数的和是
( )
A.6n B.6n+1 C.6n+2 D.6n+3
解析:设中间的数是2n+1,则它前面
( http: / / www.21cnjy.com )的数是2n
-
1,它后面的数是2n+3,它们的和为2n
-
1+2n+1+2n+3=6n+3.故选D.
3.当a=1,b=2时,多项式3ab2
-
2a2b
-
4ab2+5a2b的值为 .
解析:先合并同类项,再把a=1,b=2代入,求出多项式的值为2.故填2.
4.先合并同类项,再求值.
(1)7x2
-
3x2
-
2x
-
2x2+5+6x,其中x=
-
2;
(2)4a2b+4ab2
-
3a2b
-
2ab2,其中a=1,b=
-
2.
解:(1)原式=2x2+4x+5,值为5. (2)原式=a2b+2ab2,值为6.
第2课时
例1 (多项式求值)
例2 (多项式求值解决问题)
一、教材作业
【必做题】
教材第132页练习第1,2题.
【选做题】
教材第132页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列合并同类项的结果正确的是
( )
A.a2
-
3a2=
-
2a2 B.3a
-
a=2
C.3a+b=3ab
D.a+3a=3a2
2.已知ax+bx合并后的结果是0,则下列说法正确的是
( )
A.a=b=0
B.a=b=x=0
C.a+b=0或x=0
D.a
-
b=0
3.若2ab2m+6与a2n
-
3b8的和仍是一个单项式,则mn= .
4.求下列各式的值.
(1)3x
-
4x2+7
-
3x+2x2+6,其中x=2;
(2)
-
x+y
-
x+8,其中x=
-
8,y=9.
5.小李的住房结构如图所示,小李打算把卧室和客厅铺上木地板,请你帮他算一算,他至少需要买多少平方米的木地板
( http: / / www.21cnjy.com )
【能力提升】
6.下列运算错误的有
( )
①5x6+7x6=12x12;②3a
( http: / / www.21cnjy.com )+4b=7ab;③a
-
2a=
-
a;④9y2
-
2y2=7;⑤6a2b3
-
2b3a2=4a2b3;⑥πxy
-
3xy=(π
-
3)xy.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.多项式7a2
-
6a3b+3a2b+3a2+6a3b
-
3a2b
-
10a2的值
( )
A.与字母a,b都有关
B.只与字母a有关
C.只与字母b都有关
D.与字母a,b都无关
8.无论x为何值,代数式3x2
-
4x+6x2+2
-
9x2+4x
-
5的值恒等于 .
9.把(x
-
y)看成一个整体合并同类项:5(x
-
y)2+2(x
-
y)
-
3(x
-
y)2+(x
-
y)
-
3.5.
10.国庆长假里,小华和爸爸、妈妈
( http: / / www.21cnjy.com )一家三口去旅游,甲旅行社说:“大人买全票,小孩半价优惠”.乙旅行社说:“大人、小孩全部按票价的八折优惠”.若原票价为α元,则小华家选择哪个旅行社合算 请说出理由.
【拓展探究】
11.当k= 时,代数式x2
-
2kxy
-
3y2
-
xy
-
8中不含xy项.
12.如果一个两位数的个位数字是十位数字的8倍,那么这个两位数一定是18的倍数,为什么
13.李华老师给学生出了一道题:当a
( http: / / www.21cnjy.com )=0.35,b=
-
0.28时,求7a3
-
6a3b+3a2b+3a3+6a3b
-
3ba2
-
10a3+3的值.题目出完后,小明说:“老师给的条件a=0.35,b=
-
0.28是多余的”.王光说:“不给这两个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理 为什么
【答案与解析】
1.A(解析:根据合并同类项的法则
( http: / / www.21cnjy.com ):把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变,结合选项即可得出答案.A.a2
-
3a2=
-
2a2,故本选项正确;B.3a
-
a=2a,故本选项错误;C.3a和b不是同类项,不能合并,故本选项错误;D.a+3a=4a,故本选项错误.故选A.)
2.C(解析:先把代数式进行合并,再分析即可.因为原式=ax+bx=(a+b)x=0,所以a+b=0或x=0.)
3.1(解析:由题意得2n
-
3=1,2m+6=8,解得n=2,m=1,所以mn=1.)
4.解:(1)原式=
-
2x2+13,当x=2时,原式=5.
(2)原式=
-
x+y+8,当x=
-
8,y=9时,原式=29.
5.解:客厅的面积为4y
( http: / / www.21cnjy.com )×2x=8xy,卧室的面积为2y×2x=4xy,所以需买木地板的面积为8xy+4xy=12xy,即小李至少需买12xy平方米的木地板.
6.C(解析:①应为12x6;②不是同类项,不能合并;④应为7y2.)
7.D(解析:原式=(7+3
-
10)a2+(
-
6+6)a3b+(3
-
3)a2b=0,所以其值与字母a,b都无关.故选D.)
8.
-
3(解析:原式=(3+6
-
9)x2+(
-
4+4)x+(2
-
5)=
-
3.)
9.解:原式=5(x
-
y)2
-
3(x
-
y)2+2(x
-
y)+(x
-
y)
-
3.5=(5
-
3)(x
-
y)2+(x
-
y)
-
3.5=2(x
-
y)2+(x
-
y)
-
3.5.
10.解:由题意得甲旅行社的费用
( http: / / www.21cnjy.com )是2α+0.5α=2.5α(元),乙旅行社的费用是3α×0.8=2.4α(元).因为2.5α>2.4α,所以选择乙旅行社比较合算.
11.
-
(解析:代数式中xy项合并为
-
2k
-
xy=0,则
-
2k
-
=0,解得k=
-
.)
12.解:令十位数字为x,则个位数字为8x.这个两位数为10x+8x=18x,所以这个两位数是18的倍数.
13.解:7a3
-
6a3b+3
( http: / / www.21cnjy.com )a2b+3a3+6a3b
-
3ba2
-
10a3+3=(7+3
-
10)a3+(
-
6+6)a3b+(3
-
3)a2b+3=3,通过合并,可知合并后的结果为常数3,与a,b的取值无关,所以小明说的有道理.
通过比较,帮助学生认识通常合并同类项后再求值的方法的简便,同时注意引导学生规范解答习题.在例题的处理过程中,注意点拨学生容易出错的地方.
课堂教学内容较少,学生对问题比较容易理解,忽略了在方法上指导学生进行阶段性总结.
在现有教材例题的基础上,对教材例2和例3进行改编.例2改换字母的不同取值,例3让学生根据情境自己改编一个多项式求值的问题.
练习(教材第132页)
1.解:原式=x3+y3.
2.解:4a+3a2
-
6a
-
2a2+13=a2
-
2a+13.当a=
-
2时,原式=(
-
2)2
-
2×(
-
2)+13=21.
习题(教材第132页)
A组
1.解:(1)3x
-
4x2+7
( http: / / www.21cnjy.com )
-
3x+2x2+6=
-
2x2+13,当x=2时,原式=
-
2×22+13=5. (2)4ab
-
3a2
-
ab+b2
-
3ab
-
2b2=
-
3a2
-
b2,当a=0.9,b=
-
1时,原式=
-
3×0.92
-
(
-
1)2=
-
3.43. (3)
-
x+y
-
x+10=
-
x+y+10,当x=
-
8,y=9时,原式=
-
×(
-
8)+×9+10=31.
2.解:m+2m+m=m.
B组
1.解:a
-
a
-
a.当a=180时,原式=×180=40.即小明还有a页没有读.当a=180时,没有读的有40页.
2.解:110a+40a×3.5=250a.即甲地到乙地的路程为250a
km.
求代数式的值:8p2
-
7q+6q
-
7p2
-
7,其中p=3,q=3.
〔解析〕 此题直接代入计算,较繁琐,解题时可以先化简多项式再代入求值,化简时主要利用合并同类项的法则进行合并多项式中的同类项.
解:8p2
-
7q+6q
-
7p2
( http: / / www.21cnjy.com )
-
7=(8p2
-
7p2)+(
-
7q+6q)
-
7=p2
-
q
-
7,当p=3,q=3时,原式=p2
-
q
-
7=32
-
3
-
7=
-
1.
[解题策略] 利用合并同类项的法则化简多项式可使计算简便,但需要注意的是不是同类项的一定不能合并.
下列图案是运河古城窗格的一部分,其
中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 由图形可得后一个图形比前一个多3个基本图形,所以答案为3n+2.故填3n+2.
4.3 去括号
1.经历去括号法则的形成过程,理解去括号的意义.
2.掌握去括号法则,能用去括号法则进行运算,培养运算能力.
3.能利用去括号法则解决简单的问题.
1.类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时的符号变化的规律,归纳出去括号法则.
2.培养学生观察、分析、归纳的能力.
培养学生主动探究、合作交流的意识和严谨治学的学习态度.
【重点】 去括号法则,准确应用法则将整式化简.
【难点】 括号前面是“
-
”号,去括号时,括号内各项变号.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习同类项的概念及合并同类项法则.
导入一:
回答下列问题.
问题1:请用字母表示乘法对加法的分配律.
问题2:你会化简8a+2b+(5a
-
b)吗
[处理方式] 对于问题1,学生很
( http: / / www.21cnjy.com )轻松地得出结果,对于问题2,可能有学生做出,但这里仅仅提出问题,激发兴趣,引出课题,并不要求现在解决,而希望在本节课后面再回解该问题.
[设计意图] 通过问题1
( http: / / www.21cnjy.com )复习已有知识,让学生初步感知去括号;问题2是让学生发现在化简代数式的过程中,遇到括号先运算括号中的,并不一定能很好地解决问题,为了便于合并同类项,常常需要先将括号去掉,如8a+2b+(5a
-
b)中,2b与
-
b是同类项,8a与5a是同类项,要先去掉括号,才能合并同类项.引出本节课将要学习的内容(板书课题).
导入二:
青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很
( http: / / www.21cnjy.com )长的冻土地段.列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100
km/h和120
km/h.列车通过冻土地段要比通过非冻土地段多用0.5
h,如果通过冻土地段需要u
h,那么它通过非冻土地段的时间为(u
-
0.5)h,于是,冻土地段的路程为100u
km,非冻土地段的路程为120(u
-
0.5)km,因此,这段铁路全长(单位:km)为100u+120(u
-
0.5).①【出处：21教育名师】
冻土地段与非冻土地段的路程差(单位:km)为100u
-
120(u
-
0.5).②
上面的式子①②都带有括号,它们应如何化简
[设计意图] 通过对实际生活中的问题的探讨,引入去括号的概念,激发学生探究知识的欲望,为下面的继续学习做了铺垫.
[过渡语] 在整式中,常常会遇到带有括号的式子.在进行整式的运算时,就需要研究怎样去括号.
活动1 试着做做
师:我们知道:a+(b+c)=a+b+c.我们分别取a,b,c的值为2,3,4,先计算第一组、第二组代数式的值.
第一组
第二组
思考:去掉括号后,各组代数式之间有什么关系
生:各组代数式的值相等.
师:我们再计算第三组、第四组代数式的值.
第三组
第四组
思考:去掉括号后,各组代数式之间有什么关系
生:各组代数式的值相等.
活动2 探究去括号法则
师:为什么上面每组代数式的值相等呢 我们可以利用乘法对加法的分配律,说明每组所组成的等式成立.
事实上,
a+(
-
1)(b+c)
=a+(
-
1)b+(
-
1)c
=a
-
b
-
c,
即a
-
(b+c)=a
-
b
-
c.
师:大家还能按照刚才的思路,说明第一组、第二组、第四组中的两个代数式为什么分别相等吗
生交流、尝试.
师:请你谈谈括号前分别是“+”和“
-
”时,去掉括号后,括号里各项的符号是怎样变化的
生根据前面分组的代数式变化情况分类总结.
总结:去括号法则:
括号前是“+”时,把括号和它前面的“+”去掉,原括号里的各项都不改变符号.
括号前是“
-
”时,把括号和它前面的“
-
”去掉,原括号里的各项都改变符号.
活动3 例题讲解
先去括号,再合并同类项:
(1)5a+2(b
-
a);
(2)2(4x
-
6y)
-
3(2x+3y
-
1).
〔解析〕 第(1)题的括号前是“
( http: / / www.21cnjy.com )+”号,把括号和它前面的“+”去掉,原括号里的各项都不改变符号.第(2)题括号前是“
-
”时,把括号和它前面的“
-
”去掉,原括号里的各项都改变符号.其实,第(1)题去掉括号,相当于括号内各项都乘2;第(2)题去掉前面的括号,相当于括号内各项都乘2,去掉后面的括号,相当于括号内的各项都乘“
-
3”.
解:(1)5a+2(b
-
a)
=5a+2b
-
2a
=3a+2b.
(2)2(4x
-
6y)
-
3(2x+3y
-
1).
=8x
-
12y
-
6x
-
9y+3
=2x
-
21y+3.
[知识拓展] (1)去括号的依据是乘法分配律,不要漏乘.
(2)注意法则中的“都”字,变号时各项都变号,若不变号,各项都不变号.
(3)多重符号,一般先去小括号,再去中括号比较简单,每去掉一层括号,如果有同类项可以随时合并,这样可使下一步运算简便,减少差错.
1.根据去括号法则,如果括号前面
( http: / / www.21cnjy.com )是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号前面是“
-
”号,把括号和它前面的“
-
”号去掉,原括号内各项的符号与原来的符号相反.
2.根据分配律去括号,如果把括号前面的“+”号看成+1,“
-
”号看成
-
1,那么根据分配律也能达到去括号的目的.
1.下列去括号正确的是
( )
A.a
-
(b+c
-
1)=a
-
b+c
-
1
B.a
-
(b
-
c
-
1)=a
-
b+c
-
1
C.a
-
(b
-
c+1)=a
-
b+c
-
1
D.a
-
(b+c+1)=a
-
b+c
-
1
解析:括号前面是负号,去括号后各项都要变号.只有选项C符合要求.故选C.
2.(2015·济宁中考)化简
-
16(x
-
0.5)的结果是
( )
A.
-
16x
-
0.5 B.
-
16x+0.5
C.16x
-
8
D.
-
16x+8
解析:根据去括号的法则计算即可.
-
16(x
-
0.5)=
-
16x+8.故选D.
3.化简a
-
[
-
2a
-
(a
-
b)]等于
( )
A.
-
2a B.0 C.4a
-
b D.2a
-
2b
解析:a
-
[
-
2a
-
(a
-
b)]=a
-
(
-
2a
-
a+b)=a+2a+a
-
b=4a
-
b.故选C.
4.容量是56升的铁桶,装满油,取出(x+1)升后,桶内还剩油 升.
解析:由题意得56
-
(x+1)=56
-
x
-
1=55
-
x(升).故填(55
-
x).
5.化简.
(1)m
-
(5m
-
3n)+2(n
-
m);
(2)3a2
-
[2a2
-
(2ab
-
a2)+4ab]
解析:(1)观察要化简的
( http: / / www.21cnjy.com )式子中含有两个括号,第一个括号前面是“
-
”,去括号和它前面的“
-
”号,括号内的项都要改变符号;第二个括号前面是“+”,且括号前的系数是2,化简时应用2乘括号内的两项,且不要改变符号.(2)本题先去括号,再合并同类项.去括号时可以从内往外去也可以从外往内去.
解:(1)m
-
(5m
-
3n)+2(n
-
m)=m
-
5m+3n+2n
-
2m=
-
6m+5n.
解法1:(2)(先去小括号)原
( http: / / www.21cnjy.com )式=3a2
-
[2a2
-
2ab+a2+4ab]=3a2
-
2a2+2ab
-
a2
-
4ab=
-
2ab.
解法2:(2)(先去中括号)原
( http: / / www.21cnjy.com )式=3a2
-
2a2+(2ab
-
a2)
-
4ab=3a2
-
2a2+2ab
-
a2
-
4ab=
-
2ab.
4.3 去括号
活动1 试着做做
活动2 探究去括号法则
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第134页练习第1题.
【选做题】
教材第134页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简m
-
n
-
(m+n)的结果是
( )
A.0 B.2m C.
-
2n D.2m
-
2n
2.计算a+(
-
a)的结果是
( )
A.2a
B.0
C.
-
a2
D.
-
2a
3.与a
-
2(2x
-
3y)相等的代数式是
( )
A.a+(4x+3y)
B.a+(4x+6y)
C.a+2(2x
-
3y)
D.a+2(3y
-
2x)
4.一个长方形相邻的一边长为2a+3b,另一边长为a+b,则这个长方形的周长为 .
5.先化简,再求值.
(1)2(3x2
-
y)
-
(x2+y),其中x=
-
1,y=2;
(2)2a+[a2
-
(3a2+2a
-
1)],其中a=.
【能力提升】
6.下列运算正确的是
( )
A.
-
3(x
-
1)=
-
3x
-
1
B.
-
3(x
-
1)=
-
3x+1
C.
-
3(x
-
1)=
-
3x
-
3
D.
-
3(x
-
1)=
-
3x+3
7.把a+b+2(a+b)
-
4(a+b)合并同类项得
( )
A.a+b
B.
-
a
-
b
C.a
-
b
D.
-
a+b
8.化简a
-
4+|a
-
4|的结果是
( )
A.2a
-
8
B.8
-
2a
C.2a
-
8或0
D.2a
-
8或8
-
2a
9.代数式2a2+b
-
2c与
-
4b+c
-
a2的和为 .
10.已知小明的年龄是m岁,小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁,小华的年龄比小红的年龄的还多1岁,求这三名同学年龄的和.21cnjy.com
【拓展探究】
11.若A=4x2
-
3x
-
2,B=4x2
-
3x
-
4,则A与B的大小关系是
( )
A.A>B
B.AC.A=B
D.无法确定
12.某轮船顺水航行了4小时,逆水航行了2小时.已知船在静水中的速度为每小时a千米,水流速度为每小时b千米,则轮船共航行了 千米.
13.某天数学课上,学习了合并同类项,放学后,小明回到家拿出课堂笔记,认真地复习课上学习的内容,他突然发现一道题:=
-
x2+y2.有个地方被钢笔水弄污了,你能算出弄污的部分是什么吗
【答案与解析】
1.C(解析:m
-
n
-
(m+n)=m
-
n
-
m
-
n=
-
2n.)
2.B(解析:a+(
-
a)=a
-
a=0.)
3.D(解析:a
-
2(2x
-
3y)=a
-
4x+6y,然后分别计算各个选项.只有选项D是正确的.)
4.6a+8b(解析:2(2a+3b)+2(a+b)=4a+6b+2a+2b=6a+8b.)
5.解:(1)化简为5x2
-
3y,值为
-
1. (2)化简为
-
2a2+1,值为.
6.D(解析:由去括号法则得
-
3(x
-
1)=
-
3x+3.故选D.)
7.B(解析:a+b+2(a+b)
-
4(a+b)=(1+2
-
4)(a+b)=
-
(a+b)=
-
a
-
b.故选B.)
8.C(解析:当a
-
4≥0时,
( http: / / www.21cnjy.com )原式=a
-
4+a
-
4=2a
-
8;当a
-
4<0时,原式=a
-
4
-
(a
-
4)=0.故选C.)
9.a2
-
3b
-
c(解析:2a2
( http: / / www.21cnjy.com )+b
-
2c+(
-
4b+c
-
a2)=2a2+b
-
2c
-
4b+c
-
a2=2a2
-
a2+b
-
4b
-
2c+c=a2
-
3b
-
c.)
10.解:小红的年龄为(2m
-
( http: / / www.21cnjy.com )
4)岁,小华的年龄为岁,所以这三名同学的年龄的和为m+(2m
-
4)+=m+2m
-
4+[m
-
2+1]=m+2m
-
4+m
-
1=4m
-
5(岁).
11.A(解析:A
-
B=4x2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
3x
-
2
-
(4x2
-
3x
-
4)=4x2
-
3x
-
2
-
4x2+3x+4=2>0.)
12.(6a+2b)(解析:根据题意得轮
( http: / / www.21cnjy.com )船顺水航行的速度为每小时(a+b)千米,顺水航行4小时,航行了4(a+b)千米,逆水航行的速度为每小时(a
-
b)千米,逆水航行2小时,航行了2(a
-
b)千米,则轮船共航行了4(a+b)+2(a
-
b)=4a+4b+2a
-
2b=6a+2b(千米).故填(6a+2b).)
13.解:
-
-
x2+4xy
-
y2
-
-
x2+y2=
-
x2+3xy
-
y2+x2
-
4xy+y2+x2
-
y2=
-
xy.所以被钢笔水弄污的部分是
-
xy.21·世纪
教育网
理解去括号法则是本节课的教学
( http: / / www.21cnjy.com )重点和难点.在处理问题的过程中,采取先分组比较得出感性认识,再借助于乘法分配律进行推理分析的策略,取得了较好的课堂学习效果.
对于括号前面的因数不是“1”或“
-
1”的式子,学生化简的不够好,尤其是前面是负因数的式子,去括号时没有掌握好方法.21·cn·jy·com
运用法则去括号时,开始学
( http: / / www.21cnjy.com )生确实容易弄得混乱,因为刚探索出来的东西毕竟是新生事物,学生的认知水平不可能马上接受,所以必须经过练习.教师在教学中可以设计相应的习题,强化训练,让学生掌握这类题去括号的方法.可以板演学生出现的问题,集体进行分析纠正,达到强化的目的.
练习(教材第134页)
1.解:(1)原式=x+y
-
z. (
( http: / / www.21cnjy.com )2)原式=a+b+c. (3)原式=x
-
2y
-
3+2z. (4)原式=
-
a+2b+c
-
d.
2.解:(1)原式=6a+4a
-
2
( http: / / www.21cnjy.com )b=10a
-
2b. (2)原式=7x+5x
-
9=12x
-
9. (3)原式=2a+6a
-
2b
-
4c=8a
-
2b
-
4c. (4)原式=x
-
6x
-
15y+18=
-
5x
-
15y+18.
习题(教材第134页)
A组
1.解:(1)原式=
-
3m+2n
( http: / / www.21cnjy.com )-
1. (2)原式=3m+2n
-
p. (3)原式=a
-
3a2+3b
-
3c. (4)原式=
-
6a
-
12b+c
-
d. (5)原式=
-
5(3x
-
6y+8z)=
-
15x+30y
-
40z. (6)原式=
-
x+y
-
2z
-
5.
2.提示:(1)12a+22. (2)2a
-
8b+c. (3)
-
9x2+6x
-
6. (4)5a2b
-
ab.
3.解:原式=a2
-
3a+3
( http: / / www.21cnjy.com )a+2ab=a2+2ab.当a=
-
2,b=0.5时,原式=(
-
2)2+2×(
-
2)×0.5=2.
B组
1.解:①依次填“+”“+
( http: / / www.21cnjy.com )”时,原式=3x2
-
xy+3y2
-
1.②依次填“+”“
-
”时,原式=3x2
-
xy
-
y2+1.③依次填“
-
”“+”时,原式=3x2+5xy+y2
-
1.④依次填“
-
”“
-
”时,原式=3x2+5xy
-
3y2+1.所以此题一共有4种填法和4种结果.
2.解:能.理由如下:设三个连续自
( http: / / www.21cnjy.com )然数中间的一个为m(m≠0),则这三个连续自然数为m
-
1,m,m+1,所以它们的和为(m
-
1)+m+(m+1)=m
-
1+m+m+1=3m,因为3m能被3整除,所以三个连续的自然数的和也一定能被3整除.
3.提示:原式化简后为8,不含a项,所以a无论取何值,原式的值都为8.
去括号时容易出现的错误
初学去括号时,由于对去括号法则掌握不够准确,常常出现各种各样的错误,归纳起来主要有以下几种.
1.去括号时忘记变号
计算:4x
-
(
-
5x+3x
-
6).
错解:原式=4x+5x+3x
-
6
=12x
-
6.
〔易错辨析〕 括号前是“
-
( http: / / www.21cnjy.com )
”号,把括号和它前面的“
-
”号去掉后,原括号内各项的符号都要改变.本题错在只改变了括号内的第一项的符号,而后两项的符号忘记改变了.
正解:原式=4x+5x
-
3x+6
=6x+6.
2.去括号时,括号前符号忘记去掉
化简2x2
-
3x+2
-
(5x2
-
x+1).
错解:原式=2x2
-
3x+2
-
(
-
5x2)+x
-
1
=2x2
-
3x+2+5x2+x
-
1
=7x2
-
2x+1.
〔易错辨析〕 此题去括号时,只记住括号前是“
-
”号的,去括号后括号内各项符号均改变,但忘记了整个括号前“
-
”号要去掉,故出现错误.
正解:原式=2x2
-
3x+2
-
5x2+x
-
1
=
-
3x2
-
2x+1.
3.去括号时漏乘
化简:3a2
-
2[2a2
-
(2ab
-
a2)+4ab].
错解:原式=3a2
-
2[2a2
-
2ab
-
a2+4ab]
=3a2
-
4a2
-
2ab
-
a2+4ab
=
-
2a2+2ab.
〔易错辨析〕 以上解法有两种典型错误:
( http: / / www.21cnjy.com )一是忽略括号前面的负号,去掉括号时,括在括号里的各项应改变符号;二是忽略括号前面的数字,去掉括号时,应运用乘法分配律.
正解:原式=3a2
-
2[2a2
-
2ab+a2+4ab]
=3a2
-
4a2+4ab
-
2a2
-
8ab
=
-
3a2
-
4ab.
4.4 整式的加减
能进行整式加减运算,掌握整式加减的一般步骤,能运用整式加减运算解决简单的实际问题.
经历从具体情境中用代数式表示数量关系的过程,体会整式加减的意义,进一步发展符号意识.
渗透数学来源于生活,数学为生活服务的辩证思想.
【重点】 整式加减运算的运算律.
【难点】 利用整式加减运算解决一些实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习去括号的方法与合并同类项的法则.
导入一:
学生完成下面各小题.
1.填空:整式包括 和 .
2.下列各式中,是同类项的一组是
( )
A.22x2y与yx2
B.2m2n与2mn2
C.ab与abc
3.去括号后合并同类项:(3a
-
b)+(5a+2b)
-
(7a+4b).
[处理方式] 教学中,教师和学生复习整理的
( http: / / www.21cnjy.com )方式可以多样化,可以口头设问,也可以以简单的练习形式呈现,从本环节开始就有效地帮助学生集中注意力,充分有效地复习了前面所学的主要内容,有利于学生顺利观察归纳出整式加减的实质:整式的加减运算是“合并同类项”与“去括号”.
[设计意图] 和学生共同回忆以前的知识,降低教学难度,激发兴趣,从而顺利过渡到本节的知识内容,为下一个环节做好铺垫.
导入二:
有一个长方形花坛,其周长为(14a+2b)米,长为(3a+b)米,求它的宽.
问题探究:
长方形的周长为14a+2
( http: / / www.21cnjy.com )b,它的长为3a+b,则它的宽为(14a+2b)
-
(3a+b),显然要计算长方形的宽,必须把上述式子进一步化简,化简上述式子的过程,实质就是进行整式的加减运算.
怎样进行整式的加减运算呢
这节课我们就来进一步学习整式的加减.(揭示课题)
[设计意图] 通过问题的设计,体会整式的加减在实际中的应用,自然地引入到本节课的教学之中.
[过渡语] 整式的加减是代数式的基本运算,怎样进行整式加减运算呢
活动1 体会整式加减的意义
七年级(一)班分成三个小组,利用星期日参加社
( http: / / www.21cnjy.com )会公益活动.第一组有学生m名;第二组的人数比第一组的2倍少10人;第三组的人数是第二组的一半.七年级(一)班共有学生多少名
1.问题思考.
(1)怎样用代数式表示每组的人数
提示:第一组人数为m;第二组人数为2m
-
10;第三组人数为(2m
-
10).
(2)怎样计算全班一共有多少名学生
提示:m+(2m
-
10)+(2m
-
10).
2.整式加减的意义.
因为七年级(一)班的学生总数是:
m+(2m
-
10)+(2m
-
10),
而m+(2m
-
10)+(2m
-
10)
=m+2m
-
10+m
-
5
=4m
-
15,
所以七年级(一)班共有学生(4m
-
15)名.
小结:整式的加减运算,实质上就是去括号和合并同类项的问题.先去括号,再合并同类项是整式运算的基本步骤.
活动2 整式的混合运算
观察与思考:
对于“求整式2a2+ab+3b2与a2
-
2ab+b2的差”,小明的做法是:
解:(2a2+ab+3b2)
-
(a2
-
2ab+b2)
=2a2+ab+3b2
-
a2+2ab
-
b2
=a2+3ab+2b2.
请你观察并思考小明的解题过程,说明整式相减的步骤有哪些.
思考:
(1)上面算式中第一步是什么 (去括号)
(2)上面算式中第二步是什么 (合并同类项)
活动3 例题讲解
一个长方形的宽为a,长比宽的2倍小1.
(1)写出这个长方形的周长.
(2)当a=2时,这个长方形的周长是多少
(3)当a为何值时,这个长方形的周长是16
解:(1)这个长方形的周长是2a+2(2a
-
1)=6a
-
2.
(2)当a=2时,6a
-
2=6×2
-
2=10.
所以这个长方形的周长是10.
(3)如果6a
-
2=16,那么6a=18,即a=3.
所以当a=3时,这个长方形的周长是16.
[知识拓展] (1)整式加减的一般步骤并不绝对,在具体运算中,也可以先将同类项合并,再去括号(当然要按运算顺序去做).
(2)已知代数式和代数式中字母的值,求代数式的值,一般不直接将字母的值代入代数式,而是先把代数式化简,然后再代入求值.
整式的加减实质就是把合并同类项
( http: / / www.21cnjy.com )和去括号综合起来,求两个多项式的和或差时,首先把多项式看作一个整体,分别括在括号里;给出整式中字母的值,求整式的值的问题,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,不要把数值直接代入整式中计算.对于整式中的应用问题,应根据题意列出算式,再进行整式的加减运算,计算出结果.
1.(2015·镇江中考)计算
-
3(x
-
2y)+4(x
-
2y)的结果是
( )
A.x
-
2y B.x+2y C.
-
x
-
2y D.
-
x+2y
解析:原式去括号,合并同类项后即可得到结果.原式=
-
3x+6y+4x
-
8y=x
-
2y.故选A.
2.化简的结果是
( )
A.
-
x
-
B.
-
x+
C.3x
-
D.x+
解析:原式=x+
-
2x+=(x
-
2x)+=
-
x+.故选B.
3.若m,n互为相反数,则3m
-
2n与2m
-
3n的差为 .
解析:因为m,n互为相反数,所以m+n=
( http: / / www.21cnjy.com )0,所以(3m
-
2n)
-
(2m
-
3n)=3m
-
2n
-
2m+3n=m+n=0.故填0.
4.已知A=a2+b2
-
c2,B=
-
4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0.
(1)求多项式C;
(2)若a=1,b=
-
1,c=3,求A+B的值.
解:(1)因为A=a2+b2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
c2,B=
-
4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0,所以C=
-
A
-
B=
-
(a2+b2
-
c2)
-
(
-
4a2+2b2+3c2)=
-
a2
-
b2+c2+4a2
-
2b2
-
3c2=3a2
-
3b2
-
2c2. (2)A+B=a2+b2
-
c2
-
4a2+2b2+3c2=
-
3a2+3b2+2c2,当a=1,b=
-
1,c=3时,A+B=
-
3+3+18=18.
4.4 整式的加减
活动1 体会整式加减的意义
活动2 整式的混合运算
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第137页练习第1,2题.
【选做题】
教材第138页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.比2a2
-
3a
-
7少3
-
2a2的多项式是
( )
A.
-
3a
-
4 B.
-
4a2+3a+10
C.4a2
-
3a
-
10
D.
-
3a
-
10
2.如果多项式ax2
-
abx+b与bx2+abx+b的和是一个单项式,那么a与b(b≠0)的关系是
( )
A.a=b
B.a=
-
b
C.ab=
-
1
D.ab=1
3.一个多项式A减去3x2+2y
-
5的差是x2
-
2y,则A= .
4.某书店出售图书的同时,
( http: / / www.21cnjy.com )推出一种租书业务,每租一本书,租期不超过3天,每天租金a元;租期超过3天,从第4天开始,每天另加收b元.如果租看一本书7天归还,那么租金为 元.
5.已知A+B=3x2+x,B+C=x2,求A
-
C的值.
【能力提升】
6.一条铁丝正好可围成一个长方形,一边长为2a+b,另一边比它长a
-
b,则长方形的周长是
( )
A.5a+b
B.10a+3b
C.10a+2b
D.10a+6b
7.A是一个五次多项式,B是一个五次单项式,则A
-
B一定是
( )
A.十次多项式
B.五次多项式
C.四次多项式
D.不高于五次的整式
8.有一种石棉瓦(如图所示),每块宽
( http: / / www.21cnjy.com )60厘米,用于铺盖屋顶时,每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米,那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.60n厘米
B.50n厘米
C.(50n+10)厘米
D.(60n
-
10)厘米
9.化简5a2
-
的结果为 .
10.有三个植树队,第一队植
( http: / / www.21cnjy.com )树x棵,第二队植的树比第一队植的树的3倍少8棵,第三队植的树比第一队植的树的一半多6棵,三个队一共植树多少棵 当第一队植树1200棵时,三个队一共植树多少棵 2-1-c-n-j-y
【拓展探究】
11.若a
b=a2+ab,a b=4ab
-
3b2,化简4(a
b)
-
(a b).
12.如图所示,将面积为a2的小正方形,与
( http: / / www.21cnjy.com )面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0),用a,b表示三角形ABC的面积S,并求当b=6时,S的值. 21
cnjy
com
13.试说明:无论x取何值,
( http: / / www.21cnjy.com )代数式(x3+5x2+4x
-
1)
-
(
-
x2
-
3x+2x3
-
3)+(8
-
7x
-
6x2+x3)的值恒不变.
【答案与解析】
1.C(解析:由题意得2a2
( http: / / www.21cnjy.com )-
3a
-
7
-
(3
-
2a2)=2a2
-
3a
-
7
-
3+2a2=4a2
-
3a
-
10.)
2.B(解析:ax2
-
abx+b
( http: / / www.21cnjy.com )+bx2+abx+b=(a+b)x2+2b,由于结果是单项式,又因为b≠0,所以a+b=0,即a=
-
b.)
3.4x2
-
5(解析:A=3x2+2y
-
5+x2
-
2y=4x2
-
5.)
4.(7a+4b)(解析:3a+(7
-
3)(a+b)=3a+4a+4b=7a+4b.)
5.解:因为A+B
-
(B+C)=A+B
-
B
-
C=A
-
C,所以A
-
C=3x2+x
-
x2=2x2+x.
6.C(解析:另一边长为2a+b+a
-
b,所以周长为2(2a+b)+2(2a+b+a
-
b)=4a+2b+6a=10a+2b.)
7.D(解析:若五次项的系数相同,则A
-
B后得到的整式的次数会小于五,否则仍为五次整式.)
8.C(解析:此题考查的是整式加减
( http: / / www.21cnjy.com )的实际应用.由题意知n块石棉瓦重叠的部分有(n
-
1)处,60n
-
10(n
-
1)=50n+10(厘米).故选C.)
9.a2
-
4a(解析:原式=5a2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
a2
-
(5a2
-
2a)+2(a2
-
3a)=4a2
-
5a2+2a+2a2
-
6a=a2
-
4a.)
10.解:共植树x+(3x
-
8)+x
-
2(棵);当x=1200时,x
-
2=×1200
-
2=5398,即共植树5398棵.
11.解:4(a
b)
-
(a b)=4(a2+ab)
-
(4ab
-
3b2)=4a2+4ab
-
4ab+3b2=4a2+3b2.
12.解:S=b2+(b
-
a)×a+a2
-
b2
-
a(a+b)=b2,当b=6时,S=18.
13.解:代数式的值恒不变是指该代
( http: / / www.21cnjy.com )数式的值为定值,不随x的变化而变化,可先化简代数式,再观察结果.原式=x3+5x2+4x
-
1+x2+3x
-
2x3+3+8
-
7x
-
6x2+x3=(x3
-
2x3+x3)+(5x2+x2
-
6x2)+(4x+3x
-
7x)
-
1+3+8=0+0+0+10=10.因为此代数式经化简后的结果为10,不含x,所以代数式的值与x的取值无关,即x无论取何值,原代数式的值恒不变.
对于本节课教师先引导复习了去括号、合并
( http: / / www.21cnjy.com )同类项的法则,帮助学生感知整式加减的过程,通过例题的讲解,让学生体会整式加减的必要性,让学生在具体问题中感知去括号、合并同类项的过程就是整式的加减运算.
整式混合运算的步骤和方法可以交给学生自己去总结,教师不宜包办代替.
应格外关注学生对法则的理解和应用
( http: / / www.21cnjy.com )是否能落到实处.另外,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
练习(教材第137页)
1.解:(2x2
-
3x
-
1)+(
-
x2+3x
-
5)=2x2
-
3x
-
1
-
x2+3x
-
5=x2
-
6.
2.解:
-
(4a2
-
4a+2)=2a2+3a
-
-
4a2+4a
-
2=
-
2a2+7a
-
.
3.解:(1)原式=2a
-
3a2
( http: / / www.21cnjy.com )+5a
-
6a2=7a
-
9a2. (2)原式=4x
-
4
-
7x
-
14=
-
3x
-
18.
4.解:(1)原式=x2
( http: / / www.21cnjy.com )-
2x3+1+1
-
2x3
-
2x2=
-
4x3
-
x2+2,当x=2时,原式=
-
34. (2)原式=5a2
-
3b2
-
3a2+3b2+b2=2a2+b2,当a=5,b=
-
3时,原式=59.
习题(教材第138页)
A组
1.提示:(1)4x
-
2y. (2)x2+3. (3)x. (4)
-
8ab
-
a2. (5)7x
-
5y
-
z.
2.解:(1)2(x2
-
y2+1)
-
2(x2+y2)+xy=
-
4y2+xy+2,当x=,y=时,原式=1. (2)(3a2+7bc
-
6b2)
-
(5a2
-
3bc
-
4b2)=
-
2a2
-
2b2+10bc,当a=5,b=
-
3,c=时,原式=
-
78.
3.解:(1)A+B=(3x2
-
6
( http: / / www.21cnjy.com )x+5)+(4x2+7x
-
6)=7x2+x
-
1. (2)A
-
B=(3x2
-
6x+5)
-
(4x2+7x
-
6)=
-
x2
-
13x+11.
4.解:(
-
2x2+x
-
3)
-
(
-
3x2+x
-
6)=
-
2x2+x
-
3+3x2
-
x+6=x2+3.
B组
1.解:由题意知(2x2+my
-
12)+(nx2
-
3y+6)=
-
6,所以(2+n)x2+(m
-
3)y
-
6=
-
6,所以2+n=0,m
-
3=0,所以n=
-
2,m=3,所以mn=
-
6.
2.解:(1)面积:4a2+πa2,窗框的总
( http: / / www.21cnjy.com )长:15a+πa.
(2)当a=50
cm时,面积约为13925
cm2,窗框总长约为907
cm.
3.提示:M=14x2
-
x
-
11.正确答案:15x2
-
4x
-
4.
4.提示:(1)(8a+2πa)m. (2)m2.
复习题(教材第142页)
A组
1.(1)
-
3 (2)5ab2
( http: / / www.21cnjy.com )
-
ab与ab
-
4 (3)2x
-
3xy+3y2
-
5 (4)6x2
-
3x
-
6 (5)7a2
-
6a+2 (6)2ab+10b
2.解:
单项式
系数
次数
-
m
-
1
1
5x3
5
3
-
ab2
-
3
-
-
0
多项式
次数
项数
常数项
a+1
1
2
1
a2+2ab+b2
2
3
0
a
-
2ab
2
2
0
-
2x2+3b
-
6
2
3
-
6
3.解:由题意得k
-
1=2,所以k=3.
4.提示:(1)
-
2x+2. (2)6y2
-
1. (3)
-
8ab
-
a2b+ab2. (4)
-
5a2b2+b4.
5.提示:(1)a2+6a
-
13. (2)6x2
-
4x+2.
6.解:(1)(3a+2
( http: / / www.21cnjy.com )a2
-
4a3)
-
(
-
a+3a3
-
a2)=3a+2a2
-
4a3+a
-
3a3+a2=
-
7a3+3a2+4a.当a=
-
2时,原式=
-
7×(
-
2)3+3×(
-
2)2+4×(
-
2)=60. (2)3xy2
-
2xy
-
x2y+(3x2y
-
2xy2)=3xy2
-
2xy
-
x2y+3x2y
-
2xy2=xy2
-
2xy+x2y.当x=
-
4,y=时,原式=(
-
4)×
-
2×(
-
4)××(
-
4)2×=15.
7.解:(1)M
-
N=(
-
5x2+3xy
-
2y2)
-
(5x2
-
6xy+2y2)=
-
5x2+3xy
-
2y2
-
5x2+6xy
-
2y2=
-
10x2+9xy
-
4y2. (2)M+N=
-
5x2+3xy
-
2y2+5x2
-
6xy+2y2=
-
3xy. (3)N
-
(M
-
N)=N
-
M+N=2N
-
M=2(5x2
-
6xy+2y2)
-
(
-
5x2+3xy
-
2y2)=10x2
-
12xy+4y2+5x2
-
3xy+2y2=15x2
-
15xy+6y2.
8.解:由题意,可知这个长方
( http: / / www.21cnjy.com )形的周长为2{(5a+2b)+[(5a+2b)
-
(a
-
3b)]}=2(5a+2b+5a+2b
-
a+3b)=2×(9a+7b)=18a+14b.即这个长方形的周长为18a+14b.
9.解:由题意,可得第三个角的度数为180°
-
x
-
=180°
-
x.
10.解:原式=15+a
-
8a+a
-
9
-
3+6a=3.因为原式化简后不含a项,所以原代数式的值与a无关.
B组
1.解:因为2x2+3x+7=8,所以2x2+3x=1,所以4x2+6x
-
9=2(2x2+3x)
-
9=2×1
-
9=
-
7.
2.解:因为A+B+C=
( http: / / www.21cnjy.com )0,A=4a2b
-
5b2,B=
-
3a2b+2b2,所以C=
-
(A+B)=
-
(4a2b
-
5b2
-
3a2b+2b2)=
-
a2b+3b2,所以当a=
-
2,b=时,C=
-
(
-
2)2×+3×=
-
2+=
-
.
3.解:因为a是绝对值等
( http: / / www.21cnjy.com )于4的负数,所以a=
-
4.因为b是最小的正整数,所以b=1.因为c的倒数的相反数是
-
2,所以c=.4a2b3
-
[2abc+(5a2b3
-
7abc)
-
a2b3]=4a2b3
-
2abc
-
5a2b3+7abc+a2b3=5abc.所以当a=
-
4,b=1,c=时,原式=5×(
-
4)×1×=
-
10.
4.解:原式=2x4y+x2y2+y3
-
2y2,因为x的指数为偶数,所以x=2,y=
-
1和x=
-
2,y=
-
1时的结果一样,故说他的计算结果正确.
5.解:(1)m+(3m
-
5)+(2m+8)=6m+3. (2)当m=15时,爸爸的年龄为3m
-
5=40(岁),妈妈的年龄为2m+8=38(岁).
C组
1.提示:62a2.
2.提示:(1)相等. (2)2a
-
3.
已知三角形的第一条边长是a+2b,第二条边长比第一条边长大b
-
2,第三条边长比第二条边长小5.
(1)求三角形的周长;
(2)当a=2,b=3时,求三角形的周长.
〔解析〕 (1)根据题意表示出第二条边长与第
( http: / / www.21cnjy.com )三条边长,即可确定出周长;(2)把表示出的周长去括号、合并同类项得到最简结果,将a与b的值代入计算即可求出值.
解:(1)由题意可得第二条边长为a+3b
-
2,第三条边长为a+3b
-
7,
则三角形的周长为a+2b+
( http: / / www.21cnjy.com )(a+3b
-
2)+(a+3b
-
7)=a+2b+a+3b
-
2+a+3b
-
7=(a+a+a)+(2b+3b+3b)+[(
-
2)+(
-
7)]=3a+8b
-
9.
(2)当a=2,b=3时,三角形的周长为3×2+8×3
-
9=6+24
-
9=21.
一辆大客车从甲地开往乙地,车上原有(3a
-
b)人,中途停车一次,有一半人下车,又有(13a
-
9b)人上车.
(1)用代数式表示中途下车的人数;
(2)用代数式表示中途下车、上车之后,车上共有乘客多少人;
(3)当a=10,b=8时,分别求车上原有人数,中途下车的人数,中途上车的人数,中途下车、上车之后车上的人数.
〔解析〕 (1)能正确理解
( http: / / www.21cnjy.com )有一半人下车的含义,即有总数的人下车;(2)用车上剩余的人数加上又上车的人数即可求出车上的人数;(3)把a,b的值代入代数式可分别计算具体数值.
解:(1)(3a
-
b)人.
(2)(3a
-
b)+(13a
-
9b)=(3a
-
b+13a
-
9b)=(16a
-
10b)=8a
-
5b(人).
(3)当a=10,b=8时:
①车上原有人数:3a
-
b=3×10
-
8=30
-
8=22(人);
②中途下车的人数:(3a
-
b)=(3×10
-
8)=×22=11(人);
③中途上车的人数:(13a
-
9b)=(13×10
-
9×8)=×58=29(人);
④中途下车、上车之后车上的人数:8a
-
5b=8×10
-
5×8=80
-
40=40(人).
1.从整体上回顾本章的教学内容,找出知识间的内在联系,形成知识网络.
2.反思知识的形成过程中所蕴含的数学思想方法和思维,使学生积累数学活动经验.
3.灵活运用所学知识解决实际问题,发展符号意识和解决问题的能力.
1.在解决问题的过程中,提高学生对知识的综合运用能力.
2.在计算的过程中,掌握一定的解题思路和方法.
1.体验数学知识的关联性,培养学生积极的学习态度.
2.培养学生严谨的思考问题的习惯,能正确对待实际问题.
【重点】 整式的加减运算.
【难点】 整合知识,构建知识网络.
整式的加减
1.整式的有关概念.
整式包括单项式和多项式.
(1)在单项式中,数与字母、字母与字母之间都
( http: / / www.21cnjy.com )是相乘关系.单项式的系数包括它前面的符号,当系数是1或
-
1时,“1”省略不写.单独一个数或一个字母也是单项式.单项式的次数是所有字母的指数的和.
(2)多项式是几个单项式的和,因此多项式的项应包括它前面的符号.
同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,几个常数项也是同类项.
2.整式的加减运算.
整式加减的一般步骤:写成加减算式;去括号;合并同类项.
专题一 整式
【专题分析】
整式是初中代数的重要概念之一,与整式相关的
( http: / / www.21cnjy.com )单项式和多项式的概念,是初中代数的核心概念之一.与整式相关的知识经常和整式方程、函数等知识结合在一起,是初中数学知识的主要联接点.
(1)下列代数式:①
-
15;②;③;④;⑤3a+2b;⑥0;⑦7m.其中是单项式的有 ;
(2)单项式22ab2c的系数是 ,次数是 ;
(3)πR2是 次单项式,
-
可看作 次
第四章 整式的加减
1.理解整式的概念,知道单项式、多项式、整式与代数式的联系和区别.
2.理解同类项的概念,会辨别同类项,并能熟练地合并同类项.
3.探索并掌握去括号法则,并能准确地去括号.
1.进一步经历在现实情境中用代数式表示数量关系的过程,体验数学抽象,发展符号意识.
2.理解整式加减运算的算理,能进行简单的整式加减运算,并能运用整式的有关知识解决一些实际问题,培养应用意识.
经历数与式比较的过程,体验类比的数学思想,初步培养学生辩证看问题的意识.
在本章中,整式的概念、合并同类项、去括号
( http: / / www.21cnjy.com )法则和整式加减运算等主要内容,既是以后学习整式乘法、分式运算、方程和函数等知识的基础,也是培养学生抽象思维能力的重要内容.21教育网
本章内容呈现方式如下:结合具体情境,充分展
( http: / / www.21cnjy.com )现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,使学生体验从具体问题情境中抽象数学符号的过程,发展符号意识,感受计算原理,提高运算能力,培养学生的应用意识.
在具体情境中,通过代数式表示数量以及数量之间关系可以:
(1)建立单项式、多项式和整式的有关概念;
(2)在探索合并同类项和去括号法则的过程中,通过归纳、类比等活动,使学生体会发现问题、提出问题的过程,培养学生提出数学问题的意识;
(3)通过实例,使学生了解整式加减的必要性
( http: / / www.21cnjy.com ),理解运算的算理,重视对学生基础知识和基本技能的训练,关注学生对知识发生、发展过程的体验和应用能力的培养,帮助学生积累数学活动经验.
【重点】 整式的概念,合并同类项,去括号法则和整式加减运算.
【难点】 理解运算的算理,运用知识解决实际问题.
1.提供充分的素材,让学生经历用代数式表示数量(关系)的过程,进一步发展符号意识.
2.结合现实的、富有趣味性
( http: / / www.21cnjy.com )的情境,探索合并同类项的法则,并学会运用加法结合律,乘法对加法的分配律等,通过数与式的类比,自然而合理地解决去括号问题.
3.开展用数学语言(代数式)合乎逻辑地
( http: / / www.21cnjy.com )进行讨论,提出质疑,让学生在经历“符号化”的过程中,体验数学抽象,初步发展推理能力,积累数学活动经验.
4.整式的加减运算是建立在数的运算基础上的,因此要强调运用数的运算律,保证基本运算技能的训练,同时要注意避免过多的、繁琐的运算.
4.1 整 式
2课时
4.2 合并同类项
2课时
4.3 去括号
1课时
4.4 整式的加减
1课时
回顾与反思
1课时
4.1 整 式
1.了解单项式的系数、次数等概念,并能在具体问题中识别和运用.
2.感受单项式概念建立的过程,知道它与代数式之间的联系和区别.
3.了解多项式的相关概念,了解单项式和多项式之间的关系.
经历在具体情境中用代数式表示数量关系的过程,发展符号意识.
培养学生乐于观察、善于思考的良好学习习惯,增强合作交流意识.
【重点】 单项式的系数、次数等概念.
【难点】 单项式和代数式之间的区别和联系.
第课时
了解单项式,单项式的系数、次数等概念.
引导学生观察、讨论、自主探究,发展学生的逻辑思维能力.
通过师生之间的交流合作,体验合作分享的快乐.
【重点】 单项式的系数、次数等概念.
【难点】 能熟练地判定一个单项式的系数、次数.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习用字母表示数的书写规范.
导入一:
用字母表示下列数量关系.
(1)若正方形的边长为a,则正方形的面积是 ;
(2)买一本笔记本要0.5元,买n本的价钱是 ;
(3)若x表示正方体的棱长,则正方体的表面积是 ;
(4)若m表示一个有理数,则它的3倍是 .
思考:(1)请学生说出所列代数式的意义.
(2)请学生观察所列代数式包含哪些运算,有何共同的运算特征.
[设计意图] 让学生列式不仅复习前
( http: / / www.21cnjy.com )面的知识,更是为下面给出单项式的概念埋下伏笔.在活动中充分让学生自己观察、自己发现、自己描述,进行自主学习和合作交流,可极大地激发学生学习的积极性和主动性,满足学生的表现欲和探究欲,使学生学得轻松愉快,充分体现课堂教学的开放性.
导入二:
我们每个家庭在装修房子的时候,往往
( http: / / www.21cnjy.com )会挂上美丽的窗帘起到美化我们的房间的作用,窗帘的选择既要美观大方,又要考虑到窗户的透光效果.你能说说你们家的窗帘都是怎么设计的吗 下面我们一起去看看小芳家的窗帘吧.
( http: / / www.21cnjy.com )
小芳房间的窗户如图所示,其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同).
(1)装饰物所占的面积是多少
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少 (窗框面积忽略不计)
学生完成:
(1)b2;(2)ab
-
b2.
师:上面的这两个代数式之间有什么区别和联系呢
[设计意图] 问题是思维的出发点,从学生实际出发,为学生创设了丰富的问题情境,自然引入新课,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
[过渡语] 整式是一类简单的代数式.在日常生活中,我们经常要用整式表示有关的量.
活动1 列代数式
用多媒体课件依次出示下列问题,学生先独立完成,随后指名让同学说出正确答案.
1.小亮家的电冰箱平均每天耗电量为m千瓦时,那么n天耗电量为 千瓦时.(mn)
2.某物品包装箱的形状是长方体.如果包装箱的宽和高都是a
cm,长是b
cm,那么它的体积是
cm3.(a2b)
3.一个两位数,个位数字是x,十位数字是y,
( http: / / www.21cnjy.com )这个两位数可表示为 ;如果个位数字与十位数字交换位置,所得的两位数可表示为 .(10y+x;10x+y)
4.为了保护环境,促进生态
( http: / / www.21cnjy.com )平衡,某地计划逐年增加植树造林的面积.如果第一年植树造林a公顷,第二年比第一年增加了10%,那么第二年比第一年的植树造林面积增加了 公顷.(10%a)
5.如图所示,在边长为a的正方形内,挖去一个底为b,高为的三角形,则剩下部分的面积为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
[设计意图] 提供一组学生熟悉的具体问题,通过列代数式,既复习了旧知识,又为单项式、多项式的概念生成作铺垫.
活动2 单项式的概念
1.观察思考.
观察上面得到的代数式:
mn,a2b,10y+x,10x+y,10%a,a2
-
b.
从所含的运算来看,它们各自有什么特点
2.尝试按照运算分类.
3.单项式的概念.
像mn,a2b,10%a这样的代数式,它们都是由数与字母(或字母与字母)相乘组成的代数式,我们把这样的代数式叫做单项式.
4.单项式的系数和次数.
单项式中的数字因数叫做这
( http: / / www.21cnjy.com )个单项式的系数,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.如单项式10%a的系数是10%,次数是1;mn的系数是1,次数是2;a2b的系数是1,次数是3.
强调:单个字母的指数是1,而不是0.
[知识拓展] (1)判断一个式子是否为
( http: / / www.21cnjy.com )单项式的方法,一是必须是乘积的形式,也就是除乘号外没有其他符号;二是这个式子的分母是否含有字母,不含有字母的才是单项式.
(2)π是单项式,表示一个具体的数,而不是字母,故π出现在分母上可以成为单项式,如等.
活动3 例题讲解
(教材例1)用代数式表示,并指出它们的系数和次数.
(1)某商店8月份营业额为m万元,9月份营业额比8月份增加了25%.9月份的营业额为多少万元
(2)某品牌汽车原价为a元/辆,现按九折出售.如果一周内销售了这种汽车b辆,那么这周的销售额为多少元
(3)一个长方体形状的零件,它的底面边长分别是a
cm和b
cm,高是h
cm,这个零件的体积是多少立方厘米
分析处理:强调列代数式的注意事项,本例
( http: / / www.21cnjy.com )题要注意列出的代数式是不用带单位的,同时注意括号的运用.结合本例题强调:单项式的系数是1或
-
1时,“1”通常省略不写.
解:(1)(1+25%)m,它的系数是1+25%,次数是1.
(2)0.9ab,它的系数是0.9,次数是2.
(3)abh,它的系数是1,次数是3.
1.单项式的概念.
单项式是数与字母(或字母与字母)的乘积组成的式子,单独一个数或字母也是单项式.
注意:单项式中数与字母或字母与字母
( http: / / www.21cnjy.com )之间都是乘积关系,单项式只含有乘法以及数字为除数的除法运算,不能含有加减运算,更不能含有以字母为除式的除法运算.
2.单项式的次数与系数.
注意:单项式中的数字因数叫做单项式的系数
( http: / / www.21cnjy.com ),一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数;在判别单项式的时候,要注意包括数字前面的符号.一个单项式的次数是几,通常称这个单项式为几次单项式.
1.下列代数式中不是单项式的是
( )
A.
-
(
-
3)2 B.
-
x C.0 D.
解析:A,C都是单独一个数,是单项式,B是数与字母的积,是单项式,D中分母中含有字母,它不是单项式.故选D.
2.(2015·通辽中考)下列说法中,正确的是
( )
A.
-
x2的系数是
B.πa2的系数为
C.3ab2的系数是3a
D.xy2的系数是
解析:单项式的系数是单项式中的数字因
( http: / / www.21cnjy.com )数,找出每个单项式中的数字因数即可.选项A中的系数是
-
,选项B中的系数是π,选项C中的系数是3,选项D正确.故选D.
3.填空.
(1)
-
3ab2c3的系数是 ,次数是 ;
(2)3×105a2的系数是 ,次数是 .
解析:(1)单项式的系数是式子中的数字
( http: / / www.21cnjy.com )因数,次数为所有字母的指数和,不要忽略题中a的指数是1.(2)105中的指数5不能算成单项式的次数,此题中仅含一个字母a.
答案:(1)
-
3 6 (2)3×105 2
4.比较单项式12ab2c3与
-
8a3x2y的异同.
解:这两个单项式的共同之处有:
( http: / / www.21cnjy.com )各含有3个字母,都含有字母a,都是六次单项式,系数都是整数,并且都是4的倍数;它们的不同之处有:它们的系数不同(符号和绝对值都不相同),字母a的指数不同,除了a之外,它们所含有的字母也不相同.
第1课时
活动1 列代数式
活动2 单项式的概念
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第123页练习第1题.
【选做题】
教材第124页习题A组第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·台州中考)单项式2a的系数是
( )
A.2 B.2a C.1 D.a
2.(2015·厦门中考)已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是
( )
A.
-
2xy2
B.3x2
C.2xy3
D.2x3
3.下列说法中正确的是
( )
A.4不是单项式
B.
-
的系数是2
C.的次数是3
D.πr2的次数是3
4.(2015·桂林中考)单项式7a3b2的次数是 .
5.写出下列代数式的系数.
(1)
-
18a2b; (2)xy; (3); (4)
-
x;(5)23x4.
【能力提升】
6.下面说法中正确的是
( )
A.xy+1是单项式
B.是单项式
C.是单项式
D.是单项式
7.单项式
-
ab2c3的系数和次数分别是
( )
A.系数是
-
1,次数为3
B.系数是
-
1,次数为5
C.系数是
-
1,次数为6
D.以上说法都不对
8.若
-
是四次单项式,则m的值为
( )
A.4 B.2 C.
-
4 D.
-
2
9.单项式
-
2xy4的次数与系数之差是 .
10.根据题意列出单项式,并指出单项式的次数.
(1)某商店前一个月赢利a元,这个月赢利比前一个月减少25%,这个月赢利多少元
(2)三角形的底是高的2倍,若高是x
cm,则这个三角形的面积是多少平方厘米
【拓展探究】
11.写出3个含有字母x,y,系数为
-
8,次数是4的单项式.
12.已知(a
-
1)x2ya+1是关于x,y的五次单项式,求下列代数式的值.
(1)a2+2a+1; (2)(a+1)2.
由(1)(2)的结果,你发现了什么规律
【答案与解析】
1.A(解析:单项式的系数是单项式中的数字因数.所以单项式2a的系数是2.)
2.D(解析:此题规定单项式的系数与次数,但没有规定式中有几个字母,观察四个选项,只有选项D符合要求.)www-2-1-cnjy-com
3.C(解析:4是单项式,A错;
-
的系数是
-
,B错;的次数是3,C对;πr2的次数是2,D错.)
4.5(解析:因为a的指数是3,b的指数是2,所以单项式的次数是3+2=5.)
5.解:(1)
-
18a2b的系数是
( http: / / www.21cnjy.com )
-
18. (2)xy的系数是1. (3)的系数是
-
. (4)
-
x的系数是
-
1. (5)23x4的系数是23,即8.【版权所有：21教育】
6.D(解析:xy+1由xy和1两项的和组
( http: / / www.21cnjy.com )成,不是单项式;由和两项的和组成,也不是单项式;的分母中出现了字母,不是单项式;只有D符合单项式的概念.)
7.C(解析:根据单项式的系数和次数的概念可知C正确.)
8.B(解析:单项式中所有字
( http: / / www.21cnjy.com )母的指数和是单项式的次数,
-
的所有字母的指数和为1+(2m
-
1),所以1+(2m
-
1)=4,解得m=2.)
9.7(解析:单项式
-
2xy4的次数是5,系数是
-
2,所以它们的差是5
-
(
-
2)=7.故填7.)
10.解:(1)75%a,一次单项式. (2)x2,二次单项式.
11.解:三个单项式为
-
8xy3,
-
8x2y2,
-
8x3y.
12.解:若(a
-
1)x2ya+1
( http: / / www.21cnjy.com )是关于x,y的五次单项式,则有2+a+1=5,所以a=2,所以a2+2a+1=22+2×2+1=9,(a+1)2=(2+1)2=9.发现的规律是a2+2a+1=(a+1)2.
数学概念的产生和形成过程是人们在对实际
( http: / / www.21cnjy.com )事例观察的基础上,通过比较、分析、归纳,再进一步抽象概括出本质的过程.在进行单项式概念的教学时,通过设计一系列问题,引导学生积极思考,层层深入,从而抽象概括出单项式的概念,有利于培养学生观察、分析、抽象等思维能力.
在概念讲解时给学生思考的时间略少,导致许多学生表面上会了,其实并没理解好.
对于概念的讲解,注重强调概念中的关键词语,如单项式的次数,需要强调是所有字母的指数和,只和字母的指数有关,和数字的指数无关等.
练习(教材第123页)
1.解:系数从左到右依次填:
-
1,5,
-
,0.3,2,,次数从左到右依次填:1,3,3,2,5,3.
2.解:
-
5a2b,
-
5ab2.
习题(教材第124页)
A组
1.解:a,πr2,
-
3xy3z是单项式,因为它们都是数与字母的积.x+1,不是单项式,因为它们不是数与字母(或字母与字母)的积.
2.解:(1)系数:3,次数:3. (2)系数:
-
,次数:3.
(3)系数:0.12,次数:1. (4)系数:,次数:3.
3.解:由题意得2+1+m=5,所以m=2,所以m2=22=4.
B组
1.解:
-
2xy3,
-
2x2y2,
-
2x3y.
2.解:销售n台共收入0.9mn元,系数:0.9,次数:2.
判断下列各式是否为单项式,如果不是,请简要说明理由;如果是,请指出它们的系数和次数.
(1)x+1; (2); (3)πr2; (4)
-
a3b.
解:(1)是字母与数字和的形式,不满足单项式的定义,不是单项式.
(2)的分母中有字母a,不是单项式.
(3)(4)都是数字与字母的积的形式,是单项式.πr2的系数是π,次数是2,
-
a3b的系数是
-
,次数是4.21世纪教育网版权所有
[解题策略] (1)判断一个代数式是否为单项式,关键看式子中的数与字母或者字母与字母之间
是不是乘积关系,如果之间是加减关系,那么
( http: / / www.21cnjy.com )就不是单项式.(2)单项式的系数包括它前面的符号.(3)单项式的次数是所有字母的指数相加的结果,它只与字母的指数有关,而与系数的指数无关,如23abc的次数是3,而不是6.(4)相同字母的乘积形式常用乘方的表达形式.
若
-
3axym是关于x,y的单项式,且系数为
-
6,次数为3,则a= ,m= .
〔解析〕 “关于x,y的单项式”说明只有x,
( http: / / www.21cnjy.com )y才是单项式中的字母,a只是系数的一部分,所以
-
3a=
-
6,解得a=2.而单项式的次数是x,y的指数和1+m,因此1+m=3,解得m=2.
〔答案〕 2 2
[解题策略] 单项式是数与字母的积,
( http: / / www.21cnjy.com )数字因数是单项式的系数,所有字母的指数和是单项式的次数.本题中x,y才是单项式的字母,而a只是系数的一部分,这点一定要理解到位.
第课时
1.掌握多项式的概念,进而理解整式的概念.
2.掌握多项式的次数、项数的概念,并能熟练说出多项式的项数和次数.
1.通过具体情境,发展学生的形象思维.
2.通过观察、讨论、自主探究等形式,发展学生的抽象概括能力.
通过交流、研讨活动,培养学生主动与他人合作的意识.
【重点】 多项式的概念及多项式的项数、次数的概念.
【难点】 多项式的次数.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习单项式的有关概念.
导入一:
如图所示,用两种不同形状的积木块,搭成两个不同形状的“桥”,它们的体积之和是多少呢
( http: / / www.21cnjy.com )
[设计意图] 通过情境图使知识性和趣味性融为一体,增加学生的学习兴趣.
导入二:
1.回答下列问题:
(1)长方形的长与宽分别为a,b,则长方形的周长是 ;
(2)某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人;
(3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,脚 只.
[设计意图] 由于本课时的主题是多项式
( http: / / www.21cnjy.com ),通过列代数式引入多项式的定义,既是对前面知识的回顾,又可以由此导入新课,既符合学生的认知水平,又能为学生学习新知提供丰富的素材.
2.观察以上所得出的四个代数式与上一课时所学的单项式有何区别.
(1)2(a+b); (2)21+x; (3)a+b; (4)2a+4b.
[设计意图] 由学生小组派代表回答,教师
( http: / / www.21cnjy.com )应肯定每一位学生说出的特点,培养学生观察、比较、归纳的能力,同时又锻炼他们的表达能力.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充.
[过渡语] 在上一课时的活动1
( http: / / www.21cnjy.com )中,我们还得到了像10y+x,10x+y,a2
-
b这样的代数式,这些代数式与之前学过的单项式不同,它们叫什么名字呢
活动1 多项式及其相关概念
v+2.5,v
-
2.5,3x+5y+2z,ab
-
πr2,x2+2x+18.
提出问题:这些式子有什么共同的特点
生:(思考讨论.)
师:进一步提出问题,以上各式显然不是单项式,它们和单项式有联系吗
生:(讨论,交流,自由发言回答上面的问题.)
说明:指出多项式的概念及其相关的几个
( http: / / www.21cnjy.com )概念.由单项式相加组成的代数式叫做多项式.多项式中的每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项.一个多项式由几个单项式组成,我们就把它叫做几项式,如2x
-
3由2x和
-
3组成,可以叫做二项多项式,这里的
-
3就是常数项;3x+5y+2z由3x,5y,2z组成,可以叫做三项多项式.
师:(进一步引导学生探究多项式次数的概念.)
生:(可以发挥自己的想象去探究给多项式的次数命名的方法,教师不必苛求学生怎样想,让学生大胆发言,只要能发挥他们的想象力即可.)
师:(在这一过程中教师可以引导,多项式
( http: / / www.21cnjy.com )的次数是不是也可以将所有字母的指数加在一块呢 如果字母多的话是不是有点太乱呢 如果这样的话,我们是不是派个代表就行了 派谁当代表呢 引导学生说出以次数最高的项的次数作为代表.)
归纳:多项式中次数最高的项的
( http: / / www.21cnjy.com )次数叫做多项式的次数.同单项式一样,一个多项式的次数是几,我们就称它为几次式,如2x
-
3可以叫做一次二项式,3x+5y+2z可以叫做一次三项式.
活动2 例题讲解
(教材例2)写出多项式,并指出它们的项和次数.
(1)目前,在地球上生存的动物约有150万种.其中,无脊椎动物约有m万种,脊椎动物约有 万种.
(2)如图所示的是城楼门口的形状,下部是长方形,上部是半圆形.它的面积是 .
( http: / / www.21cnjy.com )
(3)一个三位数的个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c,这个三位数可表示为 .
〔解析〕 写出多项式,实际就是列出具有多项式特点的代数式.写出多项式后,依据多项式的项和次数的相关定义,确定其项和次数.
解:(1)150
-
m,它的项是150和
-
m,次数是1.
(2)2ra+πr2,它的项是2ra和πr2,次数是2.
(3)100c+10b+a,它的项是100c,10b和a,次数是1.
思考:整式与单项式、多项式有什么关系
小结:单项式是整式,多项式也是整式;整式中包括单项式和多项式.它们之间的关系可以表示为:
整式
(教材例3)如图所示的是由一个正方体和一个长方体组成的组合体.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)请用代数式表示这个组合体的体积.
(2)这个代数式是多项式还是单项式 如果是多项式,请你说出它是几次几项式.
〔解析〕 首先要正确列出代数式,然后依据所列出代数式的特点,判定其属于单项式还是属于多项式.同时需要准确理解多项式的项和次数的概念.
解:(1)这个组合体的体积是a3+a2b.
(2)这个代数式是多项式,它是三次二项式.
[知识拓展] 整式、单项式与多项式的联系与区别:
整式
1.几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项;多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
2.多项式的组成元素是单项
( http: / / www.21cnjy.com )式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式.
3.单项式和多项式统称为整式,它们都有次数
( http: / / www.21cnjy.com ),但是单项式有系数;多项式的每一项是一个单项式,含有字母的项都有系数.如果一个代数式既不是单项式也不是多项式,那么它就一定不是整式.
1.下面说法中正确的是
( )
A.一个代数式不是单项式,就是多项式
B.单项式是整式
C.整式是单项式
D.以上都不对
解析:因为单项式和多项式统称为整式,所以C错
( http: / / www.21cnjy.com );又因为代数式中,除了整式外,还有字母出现在分母上的不是整式的代数式,故A错;而B的说法符合整式的分类原则.故选B.
2.多项式1+xy
-
xy2的次数及最高次项的系数分别是
( )
A.2,1 B.2,
-
1 C.3,
-
1 D.5,
-
1
解析:多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数,是3,最高次项的系数是
-
1.故选C.
3.多项式ab2+25的次数和项数分别是
( )
A.3,2
B.5,2
C.3,3
D.5,1
解析:因为ab2+25有两项,分别是ab2和25,而25为常数项,其次数可看作0,ab2的次数为3,所以是三次二项式.故选A.
4.判断下列各代数式中哪些是单项式,哪些是多项式,哪些不是整式.
①
-
3xy2;②2x3+1;③;④
-
a;⑤0;⑥;⑦;⑧;⑨x2+
-
1;⑩.
解:单项式有:①
-
3xy2;④
-
a;⑤0;⑦;
多项式有:②2x3+1;③(x+y+1);
不是整式的有:⑥;⑧;⑨x2+
-
1;⑩.
第2课时
活动1 多项式及其相关概念
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第126页练习第1题.
【选做题】
教材第126页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列多项式中,是二次三项式的为
( )
A.a+b B.3a+4ab2+5b
C.a2+2a+1
D.a3+b3
2.代数式(x2+y2)
( )
A.是单项式
B.是整式
C.既不是单项式也不是多项式
D.不是多项式
3.多项式4x
-
5有 项,次数为 ;a2
-
ab2+b2有 项,次数为 .
4.若多项式2xm+3与ax3+2x2+x
-
1是同次的,则m= .
5.如图所示的是一个长方形园子的示意图,长方
( http: / / www.21cnjy.com )形的长为x,宽为y,里面有两个半圆形的花池,阴影部分是草坪,求草坪的面积是多少.它是多项式吗 它的次数是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
【能力提升】
6.下列判断正确的是
( )
A.与都是单项式
B.整式包括单项式与多项式
C.单项式与多项式是整式,但不是代数式
D.如果多项式a2+b2的值不为0,那么ab的值一定不为0
7.按某种标准把多项式分类,4x2
-
4与a3b+2ab2属于同一类,则下列多项式也属于此类的是
( )
A.
-
x5+y4
B.3x3+x
-
1
C.2ab+cd+1
D.a4+3a3+3ab2+b2
8.一个只含字母y的二次三项式,它的二次项系数是
-
1,一次项系数是2,常数项是,这个二次三项式是 .
9.(1)已知单项式
-
x4y3的次数与多项式a2+8xm+1b+a2b2的次数相同,求m的值;
(2)若关于x,y的多项式2x2+(k
-
2)xy
-
3y2+x
-
1不含xy项,求k3+1的值.
【拓展探究】
10.一个五次多项式,它的任何一项的次数都
( )
A.小于5 B.等于5
C.不小于5
D.不大于5
11.已知多项式a4+ab2
-
am+1b
-
6是六次四项式,单项式2x5
-
myn的次数与多项式的次数相同,求m2+n2的值.
12.长方形壁画的长为a
c
( http: / / www.21cnjy.com )m,宽为b
cm,现要在其四周镶上宽为5
cm的彩条,如图所示,至少需多长的彩条才能镶完 并说明你所列式子是否为整式,若是整式,则判断它是单项式还是多项式.
【答案与解析】
1.C(解析:A是一次二项式,B是三次三项式,C是二次三项式,D是三次二项式.)
2.B(解析:代数式(x2+y2)=x2+y2,它是多项式,也是整式.)
3.两 1 三 3(解析:因为4
( http: / / www.21cnjy.com )x
-
5是由4x和
-
5这两项组成的,其中4x的次数最高,为1,因此是一次二项式,同理可得a2
-
ab2+b2为三次三项式.)
4.4(解析:因为ax3+2x2+x
-
1的次数是4,所以m=4.)
5.解:根据题意得S草坪=xy
-
π=xy
-
πy2,它是多项式,次数是2.
6.B(解析:A项中不是单项式,C项中单项
( http: / / www.21cnjy.com )式与多项式是代数式,D项中a2+b2≠0可能为a=0,b≠0或a≠0,b=0,此时ab=0.故选B.)
7.A(解析:4x2
-
4与a3b+2ab2都是二项式,而且次数不同.故选A.)
8.
-
y2+2y+(解析:根据条件依次写出各项,再把各项相加即可.)
9.解:(1)由题意可知4+3=m+1
( http: / / www.21cnjy.com )+1,所以m=5.
(2)多项式不含某项,说明此项系数为0.因为关于x,y的多项式2x2+(k
-
2)xy
-
3y2+x
-
1不含xy项,所以k
-
2=0,即k=2,则k3+1=23+1=9.
10.D(解析:由于多项式的次数是
( http: / / www.21cnjy.com )“多项式中次数最高项的次数”,因此五次多项式中,次数最高的项是五次的,其余的项的次数可以是五次的,也可以是小于五次的,却不能是大于五次的.因此,五次多项式中的任何一项都是不大于五次的.故选D.)
11.解:由题意可知m+1+1=
( http: / / www.21cnjy.com )6,所以m=4,又单项式的次数是6,所以5
-
m+n=6,所以5
-
4+n=6,即n=5,所以m2+n2=42+52=41.
12.解:[2(a+5×2)+2b]c
( http: / / www.21cnjy.com )m或[2(b+5×2)+2a]cm或(2a+2b+5×4)cm,是整式,是多项式.即至少需(2a+2b+20)cm的彩条才能镶完,所列式子是整式,是多项式.
本课时借助教材章前图的情境,激发学
( http: / / www.21cnjy.com )生探究的欲望.然后教师紧接着让学生回顾之前学过的例子,发现它们与单项式的不同,进而让学生总结出多项式的概念.培养了学生的归纳和概括的能力,让每个学生都参与到课堂中来.在对多项式有关概念的介绍中,以逐层深入的原则,分析概念,并通过举例让学生加以理解,让其体验新知识的必然性及需进一步学习的必要性.整个教学过程中,教师注意与单项式进行类比,发现规律,形成结论.
重点、难点过多的分析反而会降低学生自己思考及探究的热情,课堂上大部分知识可以通过教师的引导让学生去主动获取,避免教师的过多的包办代替.
在例题讲解和处理一些练习的时候,不需要面面俱到,同类的问题讲解尽量不要过多,尝试着让学生自己学会去思考为什么.
练习(教材第126页)
1.解:(1)a2
-
2ab+b2
( http: / / www.21cnjy.com )的项是a2,
-
2ab,b2,次数是2. (2)x
-
5x2y2+3xy
-
1的项是x,
-
5x2y2,3xy,
-
1,次数是4.
2.解:(1)二次二项式. (2)四次三项式.
习题(教材第126页)
A组
1.解:(1)项是3x,
-
2x2,
( http: / / www.21cnjy.com )1,次数是2. (2)项是xy2,x2y,
-
xy,次数是3. (3)项是abc2,
-
ac,
-
bc,2,次数是4. (4)项是mn,cd,
-
d,m,次数是2.
2.解:项数是5,次数是3,常数项是
-
1.
3.解:(2800
-
a
-
b)名.
B组
1.解:(300m+25n)棵.
2.解:容积:abc,是整式,是单项式.表面积:ab+2bc+2ac,是整式,是多项式.
多项式2a2b
-
a2b
-
ab的项数及次数分别是
( )
A.3,3
B.3,2
C.2,3
D.2,2
〔解析〕 多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数,根据这个定义即可判定.故选A.21教育名师原创作品
如果整式xn
-
2
-
5x+2是关于x的三次三项式,那么n等于
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
〔解析〕 根据题意得到n
-
2=3,即可求出n的值.由题意得n
-
2=3,解得n=5.故选C.
一组按规律排列的多项式:a+b,a2
-
b3,a3+b5,a4
-
b7,…,其中第10个式子是
( )
A.a10+b19
B.a10
-
b19
C.a10
-
b17
D.a10
-
b21
〔解析〕 多项式的第一项
( http: / / www.21cnjy.com )依次是a,a2,a3,a4,…,an,第二项依次是b,
-
b3,b5,
-
b7,…,(
-
1)n+1·b2n
-
1,所以当n=10时,代入可得到第10个式子为an+(
-
1)n+1b2n
-
1=a10
-
b19.故选B.
对于多项式
-
x2
-
2xy2+3π,下列说法正确的是
( )
A.2次3项式,常数项是3π
B.3次3项式,没有常数项
C.2次3项式,没有常数项
D.3次3项式,常数项是3π
〔解析〕 因为多项式中的每个单项式
( http: / / www.21cnjy.com )叫做多项式的项,多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数,所以多项式
-
x2
-
2xy2+3π中最高次项
-
2xy2的次数为3,3π中虽有字母π,但是作已知数处理,即为常数项.故此多项式为3次3项式,常数项是3π.故选D.
4.2 合并同类项
1.结合具体情境,经历合并同类项的过程,体会合并同类项的意义.
2.理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
3.通过合并同类项解决生活中的实际问题.
通过小组讨论、合作学习等方式,经历概念的形成过程,培养学生自主探索知识和合作交流的能力.
初步体会数学与人类生活的密切联系.
【重点】 理解同类项的概念;掌握合并同类项的法则.
【难点】 根据同类项的概念在多项式中找同类项,并能正确地合并.
第课时
理解合并同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
结合具体情境,经历合并同类项的过程,体会合并同类项的意义.
培养学生自主探索知识和合作交流的意识.
【重点】 理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则.
【难点】 根据同类项的概念在多项式中找同类项,并能正确地合并.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习多项式的有关概念.
导入一:
某学校校园的总体规划图(单位:m)如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
在计算这个学校的土地面积时,同学们得出两个答案:
①100a+200a+240b+60b;
②(100+200)a+(240+60)b.
上述哪个答案正确呢
[设计意图] 通过比较培养了学生观察、思考、类比、判断的能力,让学生亲身体会了数学与生活的密切关系.
导入二:
如图所示,青藏铁路线上,
( http: / / www.21cnjy.com )在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段.列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度是100
km/h和120
km/h.在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需的时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍,如果通过冻土地段需要t
h,能用含t的式子表示这段铁路的全长吗
这段铁路的全长用代数式表示为(单位:km)100t+120×2.1t,即100t+252t.
怎样化简这个式子呢
[设计意图] 以情境图引入教学,让学生列出式子,然后讨论如何对式子进行化简,引发学生的思考.
[过渡语] 有些多项式,它们中的某些项可以合并,这样可使原多项式简化.这就是我们要学习的合并同类项.
活动1 感知、探究合并同类项
小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木块搭成了如图(1)和图(2)所示的两个不同形状的“桥”.
( http: / / www.21cnjy.com )
师:怎样计算两个“桥”的体积之和呢 大家能用哪些方法计算两个“桥”的体积之和呢
预设 生1:先计算图(1)中“桥”的体积,后计算图(2)中“桥”的体积,再将两个“桥”的体积相加,结果是2a3+a2b+3a3+2a2b.
生2:将两个“桥”看作一个整体来计算:它们是由5个Ⅰ型积木和3个Ⅱ型积木组成的,结果是5a3+3a2b.
师:两个“桥”的体积是一定的,也就
( http: / / www.21cnjy.com )是说不同的方法计算出的两个“桥”的体积之和是相等的.那么不同的方法计算出的结果也应该是一样的.也就是说2a3+a2b+3a3+2a2b=5a3+3a2b.等式的左边和右边有什么联系呢
预设 生1:从等式的左边到右边,就是将2a3与3a3,a2b与2a2b分别“合并”在一起.
生2:2a3与3a3,a2b与2a2b除系数不同外,所含字母及相同字母的指数都是相同的.
师:请同学们总结一下什么是同类项.
生:在多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.几个常数项也叫同类项.
[设计意图] 通过日常生活中分类
( http: / / www.21cnjy.com )的例子,让学生感受到在分类时,应该把具有相同特征的事物化归成一类;再通过对单项式的分类,让学生掌握同类项的概念.
[知识拓展] (1)同类项不一定是两个,也可以是多个,所有的常数项都是同类项.
(2)判断同类项的两个标准:一是所含的字母相同,二是相同字母的指数相等.两个无关:一是与系数无关,二是与字母顺序无关.
(3)同类项的前提条件必须是单项式.
活动2 合并同类项的法则
师:由2a3+3a3是怎么得到(2+3)a3的
生:根据乘法对加法的分配律.
师:由a2b+2a2b是怎么得到(1+2)a2b的
生:根据乘法对加法的分配律.
师:观察下面图示中的式子,请你总结下什么是合并同类项,合并同类项的法则是什么.
( http: / / www.21cnjy.com )
师:(追问)在多项式中,两项可以合并成一项的条件是什么
生:是同类项.
师:合并前后的系数有什么关系,字母和它的指数有无变化
生:合并后的系数是同类项的系数之和,字母和它的指数无变化.
师:请总结下什么是合并同类项,合并同类项的法则是什么.
生:在多项式中,几个同类项可以合并成一项,这个合并的过程,叫做合并同类项.在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变.
活动3 例题讲解
(教材例1)合并同类项:
(1)4ab2
-
ab
-
6ab2;
(2)2x2y
-
5x2y+x2y+5xy2;
(3)xy+5y2
-
3+4xy
-
5y2.
〔解析〕 注意:①如果两个同类项的
( http: / / www.21cnjy.com )系数互为相反数,合并同类项的结果为0;②合并同类项时,只能把同类项合并为一项,不是同类项的不能合并,不能合并的项,在每步运算中都要写上;③只要不再有同类项,此时就是最后的结果,结果可能是单项式,也可能是多项式;④同类项移动位置时,不要漏掉它的性质符号,特别注意“
-
”号.
解:(1)
-
ab
=(4
-
6)ab2
-
ab
=
-
2ab2
-
ab.
(2)+5xy2
=x2y+5xy2
=
-
x2y+5xy2.
(3)+5y2
-
3+
-
5y2
=(1+4)xy+(5
-
5)y2
-
3
=5xy
-
3.
1.对于同类项的识别,只要
( http: / / www.21cnjy.com )抓住它的两个条件:一是所含的字母相同;二是相同字母的指数也必须相同.具备了这两个条件就是同类项,同类项只与字母和字母的指数有关,与字母的排列顺序和前面的系数无关.
2.把多项式中的同类项合并成一
( http: / / www.21cnjy.com )项,叫做合并同类项.合并同类项的理论根据是乘法分配律.合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.
3.合并同类项的步骤:第一步,准确地找出同类
( http: / / www.21cnjy.com )项,并用不同的记号标出同类项;第二步,利用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变;第三步,写出合并后的结果.
1.下列各组式子中为同类项的是
( )
A.3x2y与
-
3xy2
B.3xy与
-
2yx
C.2x与2x2
D.5xy与5yz
解析:选项A,C中,所含字母相同但相
( http: / / www.21cnjy.com )同字母的指数不同,故不是同类项;选项D中由于所含字母不同,故也不是同类项;而选项B中所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,故是同类项.故选B.
2.下列计算正确的是
( )
A.8x+4=12x
B.4y
-
4=y
C.4y
-
3y=y
D.3x
-
x=3
解析:根据合并同类项的法
( http: / / www.21cnjy.com )则计算各个选项,选出正确答案即可.A.不能合并,不正确;B.不能合并,不正确;C.4y
-
3y=y,正确;D.3x
-
x=2x,不正确.故选C.
3.若单项式2x2ym与
-
xny3是同类项,则m+n的值是 .
解析:本题考查同类项的定义.由题意可知m=3,n=2,故m+n=5.故填5.
4.下列各题中的两项是不是同类项 为什么
(1)2xy,3yx;
( http: / / www.21cnjy.com )(2)
-
2a3b2,5b3a2; (3)m2n,2m2n; (4)4ab4c,3acb4; (5)2×103t,1.5×102t.
解:(1)是,因为所含字母相同,即都
( http: / / www.21cnjy.com )有x,y,而且x,y的指数都是1,即相同字母的指数也分别相同. (2)不是,因为虽然所含字母相同,但是相同字母的指数不相同. (3)是,因为只有系数不同,完全符合同类项的两个标准. (4)是,因为它们只有字母的排列顺序和系数大小不同,所含字母及相同字母的指数都分别相同. (5)是,因为两项都只含有字母t,并且t的指数都是1,2×103与1.5×102都是系数,它们是同类项.21
cnjy
com
第1课时
活动1 感知、探究合并同类项
活动2 合并同类项的法则
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第129页练习第1,2题.
【选做题】
教材第129页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式中,是3a2b的同类项的是
( )
A.2x2y B.
-
2ab2 C.a2b D.3ab
2.化简a+2b
-
b,正确的结果是
( )
A.a
-
b
B.
-
2b
C.a+b
D.a+2
3.下列各式中不是同类项的是
( )
A.xy和
-
xy
B.
-
和3
C.2ab2c和
-
3cab2
D.ab3和a3b
4.(2015·遵义中考)如果单项式
-
xyb+1与xa
-
2y3是同类项,那么(a
-
b)2015= .
5.合并同类项.
(1)
-
a
-
a
-
2a2
-
2a2;
(2)4x2
-
8x+5
-
3x2+6x
-
2.
【能力提升】
6.下面给出的四对单项式中是同类项的一对是
( )
A.x2y与
-
3x2z
B.3.22m2n3与n3m2
C.0.2a2b与0.2ab2
D.11abc与ab
7.下列合并同类项的结果正确的是
( )
A.a+a=a2
B.3m
-
2m=1
C.4a2+a3=5a5
D.6xy2
-
4y2x=2xy2
8.若
-
x3ym与xny是同类项,则m+n的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9.已知x4my与
-
x9y可以合并,则式子12m
-
10的值是 .
10.下列各题中的两项都是同类项,求m,n的值.
(1)
-
x3yn,2xm+1y3;
(2)5an+2b,3am+2nbn
-
1.
【拓展探究】
11.多项式
-
x2
-
x3+3x2+1
-
xy2
-
x2中,与2x2是同类项的是
( )2·1·c·n·j·y
A.
-
x2
B.
-
x2,3x2
C.
-
x2,
-
x3,3x2
D.
-
x2,3x2,
-
x2
12.若|m
-
2|+=0,则单项式3x2ym+n
-
1和x2m
-
n+1y4是同类项吗
13.已知
-
2ambc2与4a3bnc2是同类项,求多项式3m2n
-
2mn2
-
m2n+mn2的值.
【答案与解析】
1.C(解析:运用同类项的定义判定即可
( http: / / www.21cnjy.com ).A.2x2y,字母不同,故A选项错误;B.
-
2ab2,相同字母的指数不同,故B选项错误;C.a2b是3a2b的同类项,故C选项正确;D.3ab,相同字母的指数不同,故D选项错误.故选C.)
2.C(解析:a+2b
-
b=a+b.故选C.)
3.D(解析:ab3和a3b中所含字母相同,但相同字母的指数不同.)
4.1(解析:因为单项式
-
xyb+1
( http: / / www.21cnjy.com )与y3是同类项,所以a
-
2=1,b+1=3,解得a=3,b=2,所以(a
-
b)2015=(3
-
2)2015=12015=1.故填1.)
5.解:(1)
-
a
-
a
-
2a2
-
2a2=(
-
a
-
a)+(
-
2a2
-
2a2)=
-
2a
-
4a2. (2)4x2
-
8x+5
-
3x2+6x
-
2=(4x2
-
3x2)+(
-
8x+6x)+(5
-
2)=(4
-
3)x2+(
-
8+6)x+(5
-
2)=x2
-
2x+3.
6.B(解析:3.22m2n3与n3m2这两个单项式满足所含字母相同,并且相同字母的指数也相同.故选B.)
7.D(解析:a+a=2a,3m
-
2m=m,4a2+a3不能合并,6xy2
-
4y2x=(6
-
4)xy2=2xy2.)
8.D(解析:根据同类项的定义(所含字母相同
( http: / / www.21cnjy.com ),相同字母的指数也相同)列出方程,求出n,m的值,再代入代数式计算即可.根据题意得n=3,m=1,则m+n=4.故选D.)
9.17(解析:由x4my与
( http: / / www.21cnjy.com )-
x9y可以合并,可得x4my与
-
x9y是同类项,所以4m=9,m=,所以12m
-
10=12×
-
10=17.)
10.解:(1)因为
-
x3yn
( http: / / www.21cnjy.com ),2xm+1y3是同类项,所以m+1=3,n=3,所以m=2,n=3. (2)因为5an+2b,3am+2nbn
-
1是同类项,所以n+2=m+2n,n
-
1=1,则n=2,由n=2得2+2=m+2×2,即m=0,所以m=0,n=2.【来源：21·世纪·教育·网】
11.D(解析:仅含字母x,且x的次数是2的单项式即为2x2的同类项.故选D.)
12.解:因为|m
-
2|+=0,所以m
-
2=0,
-
1=0,即m=2,n=3.所以3x2ym+n
-
1=3x2y4,x2m
-
n+1y4=x2y4满足同类项的两个条件.所以单项式3x2ym+n
-
1和x2m
-
n+1y4是同类项.
13.解:由同类项定义得m=3,n=1,3m
( http: / / www.21cnjy.com )2n
-
2mn2
-
m2n+mn2=(3
-
1)m2n+(
-
2+1)mn2=2m2n
-
mn2,当m=3,n=1时,原式=2×32×1
-
3×12=18
-
3=15.
在整堂课的教学活动中充分体现学生的主体性,
( http: / / www.21cnjy.com )向学生提供充分参与数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,培养学生的动手、动口、动脑的能力和学生间的合作交流能力.
指导的时机和方式欠妥:在讲解合并同类项的法则
( http: / / www.21cnjy.com )时,没有留给学生更多的时间去思考,学生在回答问题时迫不及待地去提醒他们,这对学生的自主探究不利,没有让学生去感受和体验,没有让学生去发挥他们的主体性,课堂上没给学生充分的时间做练习.
在处理教材例1的过程中,结合运算的过程,指导学生注意合并同类项的注意事项,提高合并同类项运算的准确性.
练习(教材第129页)
1.解:(1)不是同类项,因为
( http: / / www.21cnjy.com )所含字母不同. (2)是同类项,因为所含字母相同,相同字母的指数也相同. (3)不是同类项,因为相同字母的指数不同.
(4)不是同类项,因为所含字母不同. (5)是同类项,理由同(2). (6)是同类项,所有常数项都是同类项.
2.解:(1)2x2
-
3y
-
5xy+
( http: / / www.21cnjy.com )7+x2
-
y=x2
-
y
-
5xy+7. (2)4a2
-
9a
-
3a2+8a=a2
-
a+1.
习题(教材第129页)
A组
1.(1)
-
1 (2)
-
2.解:(1)不正确.因为
( http: / / www.21cnjy.com )2a与3b不是同类项,不能合并. (2)不正确,因为5y3与
-
3y2不是同类项,不能合并. (3)正确,符合合并同类项的法则. (4)不正确,因为4x2y与
-
5xy2不是同类项,不能合并.
3.提示:a3b——
-
7ba3
-
6a3b
-
7ab——4ab
-
3ab x——
-
4x
-
3x
-
mnp——
-
9mnp
-
10mnp
4.解:(1)4a+2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
7a+8b
-
5=
-
3a+8b
-
3. (2)15ab2
-
2a2c
-
12ab2
-
6a2c=3ab2
-
8a2c. (3)x3
-
x3+x=
-
x3+x. (4)2x2+1
-
3x+7
-
3x2
-
5x=
-
x2
-
8x+8. (5)5ab
-
a2+2a2
-
7ab
-
6a2=
-
2ab
-
5a2. (6)4ax+3by
-
6ax+4bx
-
3by=
-
2ax+4bx.
B组
1.(1)1 3 (2)x2y2z,6x2y2z,
-
7x2y2z(答案不唯一)
2.解:(1)n+n+1+n+2+n+3+n+4=5n+10. (2)这五个数为58,59,60,61,62.
3.解:120a+50×0.8a+1
( http: / / www.21cnjy.com )00×(200
-
120
-
50)=160a+3000.即销售这批该品牌服装的销售额为(160a+3000)元.
已知
-
xa
-
3y3与3y5
-
bx3是同类项,则ab的值为 .
〔解析〕 根据同类项的定义:所含字母相同
( http: / / www.21cnjy.com ),相同字母的指数也分别相同,可得a
-
3=3,5
-
b=3,进而求解.由题意可得a
-
3=3,5
-
b=3,可解得a=6,b=2,所以ab=62=36.故填36.
[解题策略] 掌握两个单项式成为同类项必须具备的条件是解这个题目的关键,即把握住同类项的两个相同:字母相同,相同字母的指数也分别相同.
下面各组中的同类项是
( )
A.3a2b3和2b3a2 B.2x2y和2xy2
C.4与a
D.2x和2ax
〔解析〕 根据同类项的定义,需要满足两个条件:所含字母相同及相同字母的指数也相同.故选A.
下列合并同类项正确的是
( )
A.2x2
-
3x=
-
x
B.2x2
-
3x2=
-
1
C.2x2+3x=5x3
D.2x2+5x2=7x2
〔解析〕 是同类项才能合并,合并同类项时,只把系数相加,字母和字母的指数不变.故选D.
第课时
1.掌握多项式的求代数式的值的方法.
2.能够通过求代数式的值解决生活中的一些实际问题.
通过具体的生活情境,帮助学生积累数学活动经验.
培养学生的合作交流意识.
【重点】 掌握多项式的求代数式的值的方法.
【难点】 通过具体的生活情境,帮助学生积累数学活动经验.
【教师准备】 预设本课时学生在计算过程中容易出错的地方.
【学生准备】 复习代数式的值、合并同类项等知识.
导入一:
已知代数式5a2
-
5a+4
-
3a2+6a
-
5.
(1)将a=直接代入代数式中求值.
(2)先合并同类项,再将a=代入求值.
比较上面的两种解法,哪种方法更简单
[设计意图] 通过上面的问题,既可
( http: / / www.21cnjy.com )以帮助学生回顾之前学习的代数式的值的知识,在尝试计算的过程中,感受求多项式的值的时候先化简再求值带来的简便.
导入二:
某学校校园的总体规划图(单位:m)如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)用代数式表示该校的土地面积是多少;
(2)如果a=120,b=60,计算该校的土地面积是多少.
[设计意图] 改编前面课时的导入情境,学生通过观察、思考,亲身体会数学与生活的密切关系.
[过渡语] 之前我们学习了简单代数式的求值,那么怎样求一个多项式的值呢
(教材例2)当x=1,y=时,求多项式3xy2
-
5xy+0.5x2y
-
3xy2
-
4.5x2y的值.
〔解析〕 求这个多项式的值,我们可
( http: / / www.21cnjy.com )以采取两种方法:一是分别求这个多项式中各个单项式的值,再把各单项式的值分别相加;二是通过观察,这个多项式可以进行同类项合并,先合并同类项后再求值.www.21-cn-jy.com
解:3xy2
-
5xy+0.5x2y
-
3xy2
-
4.5x2y=
-
5xy
-
4x2y.
当x=1,y=时,
原式=
-
5×1×
-
4×12×=
-
.
(教材例3)某学校组织七、八年级全体同学参观革命老区西柏坡.七年级租用45座大巴车x辆,60座大巴车y辆;八年级租用60座大巴车x辆,30座中巴车y辆(以上三种车型,座位均不含司机).当每辆车恰好坐满时:
(1)用含x,y的代数式表示该学校七、八年级学生人数.
(2)当x=4,y=7时,该学校七、八年级共有多少学生
〔解析〕 代数式本身并没有值
( http: / / www.21cnjy.com ),在特定的情境或条件下,某些字母的值确定的时候,我们就可以求出相应代数式的值.因此我们可以通过先列代数式再求值的方法,解决一些生活中的具体问题.
解:(1)由题意可得七年级有学生(45x+60y)人,八年级有学生(60x+30y)人.
所以七、八年级共有学生的人数为:
45x+60y+60x+30y=105x+90y.
(2)当x=4,y=7时,
105x+90y=105×4+90×7=1050.
所以七、八年级共有1050名学生.
1.先合并同类项再求值,可以简化多项式的求值.
2.利用代数式求值解决实际问题,要注意数量单位的统一和取值的实际意义.
1.(2015·玉林中考)下列运算中,正确的是
( )
A.3a+2b=5ab B.2a3+3a2=5a5
C.3a2b
-
3ba2=0
D.5a2
-
4a2=1
解析:先根据同类项的概念进行判断
( http: / / www.21cnjy.com )是否为同类项,然后根据合并同类项的法则,即系数相加作为系数,字母和字母的指数不变计算,最后进行判断即可.A.3a和2b不是同类项,不能合并,A错误;B.2a3和3a2不是同类项,不能合并,B错误;C.3a2b
-
3ba2=0,C正确;D.5a2
-
4a2=a2,D错误.故选C.
2.三个连续奇数,设中间的数为2n+1,则这三个数的和是
( )
A.6n B.6n+1 C.6n+2 D.6n+3
解析:设中间的数是2n+1,则它前面
( http: / / www.21cnjy.com )的数是2n
-
1,它后面的数是2n+3,它们的和为2n
-
1+2n+1+2n+3=6n+3.故选D.
3.当a=1,b=2时,多项式3ab2
-
2a2b
-
4ab2+5a2b的值为 .
解析:先合并同类项,再把a=1,b=2代入,求出多项式的值为2.故填2.
4.先合并同类项,再求值.
(1)7x2
-
3x2
-
2x
-
2x2+5+6x,其中x=
-
2;
(2)4a2b+4ab2
-
3a2b
-
2ab2,其中a=1,b=
-
2.
解:(1)原式=2x2+4x+5,值为5. (2)原式=a2b+2ab2,值为6.
第2课时
例1 (多项式求值)
例2 (多项式求值解决问题)
一、教材作业
【必做题】
教材第132页练习第1,2题.
【选做题】
教材第132页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列合并同类项的结果正确的是
( )
A.a2
-
3a2=
-
2a2 B.3a
-
a=2
C.3a+b=3ab
D.a+3a=3a2
2.已知ax+bx合并后的结果是0,则下列说法正确的是
( )
A.a=b=0
B.a=b=x=0
C.a+b=0或x=0
D.a
-
b=0
3.若2ab2m+6与a2n
-
3b8的和仍是一个单项式,则mn= .
4.求下列各式的值.
(1)3x
-
4x2+7
-
3x+2x2+6,其中x=2;
(2)
-
x+y
-
x+8,其中x=
-
8,y=9.
5.小李的住房结构如图所示,小李打算把卧室和客厅铺上木地板,请你帮他算一算,他至少需要买多少平方米的木地板
( http: / / www.21cnjy.com )
【能力提升】
6.下列运算错误的有
( )
①5x6+7x6=12x12;②3a
( http: / / www.21cnjy.com )+4b=7ab;③a
-
2a=
-
a;④9y2
-
2y2=7;⑤6a2b3
-
2b3a2=4a2b3;⑥πxy
-
3xy=(π
-
3)xy.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.多项式7a2
-
6a3b+3a2b+3a2+6a3b
-
3a2b
-
10a2的值
( )
A.与字母a,b都有关
B.只与字母a有关
C.只与字母b都有关
D.与字母a,b都无关
8.无论x为何值,代数式3x2
-
4x+6x2+2
-
9x2+4x
-
5的值恒等于 .
9.把(x
-
y)看成一个整体合并同类项:5(x
-
y)2+2(x
-
y)
-
3(x
-
y)2+(x
-
y)
-
3.5.
10.国庆长假里,小华和爸爸、妈妈
( http: / / www.21cnjy.com )一家三口去旅游,甲旅行社说:“大人买全票,小孩半价优惠”.乙旅行社说:“大人、小孩全部按票价的八折优惠”.若原票价为α元,则小华家选择哪个旅行社合算 请说出理由.
【拓展探究】
11.当k= 时,代数式x2
-
2kxy
-
3y2
-
xy
-
8中不含xy项.
12.如果一个两位数的个位数字是十位数字的8倍,那么这个两位数一定是18的倍数,为什么
13.李华老师给学生出了一道题:当a
( http: / / www.21cnjy.com )=0.35,b=
-
0.28时,求7a3
-
6a3b+3a2b+3a3+6a3b
-
3ba2
-
10a3+3的值.题目出完后,小明说:“老师给的条件a=0.35,b=
-
0.28是多余的”.王光说:“不给这两个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理 为什么
【答案与解析】
1.A(解析:根据合并同类项的法则
( http: / / www.21cnjy.com ):把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变,结合选项即可得出答案.A.a2
-
3a2=
-
2a2,故本选项正确;B.3a
-
a=2a,故本选项错误;C.3a和b不是同类项,不能合并,故本选项错误;D.a+3a=4a,故本选项错误.故选A.)
2.C(解析:先把代数式进行合并,再分析即可.因为原式=ax+bx=(a+b)x=0,所以a+b=0或x=0.)
3.1(解析:由题意得2n
-
3=1,2m+6=8,解得n=2,m=1,所以mn=1.)
4.解:(1)原式=
-
2x2+13,当x=2时,原式=5.
(2)原式=
-
x+y+8,当x=
-
8,y=9时,原式=29.
5.解:客厅的面积为4y
( http: / / www.21cnjy.com )×2x=8xy,卧室的面积为2y×2x=4xy,所以需买木地板的面积为8xy+4xy=12xy,即小李至少需买12xy平方米的木地板.
6.C(解析:①应为12x6;②不是同类项,不能合并;④应为7y2.)
7.D(解析:原式=(7+3
-
10)a2+(
-
6+6)a3b+(3
-
3)a2b=0,所以其值与字母a,b都无关.故选D.)
8.
-
3(解析:原式=(3+6
-
9)x2+(
-
4+4)x+(2
-
5)=
-
3.)
9.解:原式=5(x
-
y)2
-
3(x
-
y)2+2(x
-
y)+(x
-
y)
-
3.5=(5
-
3)(x
-
y)2+(x
-
y)
-
3.5=2(x
-
y)2+(x
-
y)
-
3.5.
10.解:由题意得甲旅行社的费用
( http: / / www.21cnjy.com )是2α+0.5α=2.5α(元),乙旅行社的费用是3α×0.8=2.4α(元).因为2.5α>2.4α,所以选择乙旅行社比较合算.
11.
-
(解析:代数式中xy项合并为
-
2k
-
xy=0,则
-
2k
-
=0,解得k=
-
.)
12.解:令十位数字为x,则个位数字为8x.这个两位数为10x+8x=18x,所以这个两位数是18的倍数.
13.解:7a3
-
6a3b+3
( http: / / www.21cnjy.com )a2b+3a3+6a3b
-
3ba2
-
10a3+3=(7+3
-
10)a3+(
-
6+6)a3b+(3
-
3)a2b+3=3,通过合并,可知合并后的结果为常数3,与a,b的取值无关,所以小明说的有道理.
通过比较,帮助学生认识通常合并同类项后再求值的方法的简便,同时注意引导学生规范解答习题.在例题的处理过程中,注意点拨学生容易出错的地方.
课堂教学内容较少,学生对问题比较容易理解,忽略了在方法上指导学生进行阶段性总结.
在现有教材例题的基础上,对教材例2和例3进行改编.例2改换字母的不同取值,例3让学生根据情境自己改编一个多项式求值的问题.
练习(教材第132页)
1.解:原式=x3+y3.
2.解:4a+3a2
-
6a
-
2a2+13=a2
-
2a+13.当a=
-
2时,原式=(
-
2)2
-
2×(
-
2)+13=21.
习题(教材第132页)
A组
1.解:(1)3x
-
4x2+7
( http: / / www.21cnjy.com )
-
3x+2x2+6=
-
2x2+13,当x=2时,原式=
-
2×22+13=5. (2)4ab
-
3a2
-
ab+b2
-
3ab
-
2b2=
-
3a2
-
b2,当a=0.9,b=
-
1时,原式=
-
3×0.92
-
(
-
1)2=
-
3.43. (3)
-
x+y
-
x+10=
-
x+y+10,当x=
-
8,y=9时,原式=
-
×(
-
8)+×9+10=31.
2.解:m+2m+m=m.
B组
1.解:a
-
a
-
a.当a=180时,原式=×180=40.即小明还有a页没有读.当a=180时,没有读的有40页.
2.解:110a+40a×3.5=250a.即甲地到乙地的路程为250a
km.
求代数式的值:8p2
-
7q+6q
-
7p2
-
7,其中p=3,q=3.
〔解析〕 此题直接代入计算,较繁琐,解题时可以先化简多项式再代入求值,化简时主要利用合并同类项的法则进行合并多项式中的同类项.
解:8p2
-
7q+6q
-
7p2
( http: / / www.21cnjy.com )
-
7=(8p2
-
7p2)+(
-
7q+6q)
-
7=p2
-
q
-
7,当p=3,q=3时,原式=p2
-
q
-
7=32
-
3
-
7=
-
1.
[解题策略] 利用合并同类项的法则化简多项式可使计算简便,但需要注意的是不是同类项的一定不能合并.
下列图案是运河古城窗格的一部分,其
中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 .
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 由图形可得后一个图形比前一个多3个基本图形,所以答案为3n+2.故填3n+2.
4.3 去括号
1.经历去括号法则的形成过程,理解去括号的意义.
2.掌握去括号法则,能用去括号法则进行运算,培养运算能力.
3.能利用去括号法则解决简单的问题.
1.类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时的符号变化的规律,归纳出去括号法则.
2.培养学生观察、分析、归纳的能力.
培养学生主动探究、合作交流的意识和严谨治学的学习态度.
【重点】 去括号法则,准确应用法则将整式化简.
【难点】 括号前面是“
-
”号,去括号时,括号内各项变号.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习同类项的概念及合并同类项法则.
导入一:
回答下列问题.
问题1:请用字母表示乘法对加法的分配律.
问题2:你会化简8a+2b+(5a
-
b)吗
[处理方式] 对于问题1,学生很
( http: / / www.21cnjy.com )轻松地得出结果,对于问题2,可能有学生做出,但这里仅仅提出问题,激发兴趣,引出课题,并不要求现在解决,而希望在本节课后面再回解该问题.
[设计意图] 通过问题1
( http: / / www.21cnjy.com )复习已有知识,让学生初步感知去括号;问题2是让学生发现在化简代数式的过程中,遇到括号先运算括号中的,并不一定能很好地解决问题,为了便于合并同类项,常常需要先将括号去掉,如8a+2b+(5a
-
b)中,2b与
-
b是同类项,8a与5a是同类项,要先去掉括号,才能合并同类项.引出本节课将要学习的内容(板书课题).
导入二:
青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很
( http: / / www.21cnjy.com )长的冻土地段.列车在冻土地段、非冻土地段的行驶速度分别是100
km/h和120
km/h.列车通过冻土地段要比通过非冻土地段多用0.5
h,如果通过冻土地段需要u
h,那么它通过非冻土地段的时间为(u
-
0.5)h,于是,冻土地段的路程为100u
km,非冻土地段的路程为120(u
-
0.5)km,因此,这段铁路全长(单位:km)为100u+120(u
-
0.5).①【出处：21教育名师】
冻土地段与非冻土地段的路程差(单位:km)为100u
-
120(u
-
0.5).②
上面的式子①②都带有括号,它们应如何化简
[设计意图] 通过对实际生活中的问题的探讨,引入去括号的概念,激发学生探究知识的欲望,为下面的继续学习做了铺垫.
[过渡语] 在整式中,常常会遇到带有括号的式子.在进行整式的运算时,就需要研究怎样去括号.
活动1 试着做做
师:我们知道:a+(b+c)=a+b+c.我们分别取a,b,c的值为2,3,4,先计算第一组、第二组代数式的值.
第一组
第二组
思考:去掉括号后,各组代数式之间有什么关系
生:各组代数式的值相等.
师:我们再计算第三组、第四组代数式的值.
第三组
第四组
思考:去掉括号后,各组代数式之间有什么关系
生:各组代数式的值相等.
活动2 探究去括号法则
师:为什么上面每组代数式的值相等呢 我们可以利用乘法对加法的分配律,说明每组所组成的等式成立.
事实上,
a+(
-
1)(b+c)
=a+(
-
1)b+(
-
1)c
=a
-
b
-
c,
即a
-
(b+c)=a
-
b
-
c.
师:大家还能按照刚才的思路,说明第一组、第二组、第四组中的两个代数式为什么分别相等吗
生交流、尝试.
师:请你谈谈括号前分别是“+”和“
-
”时,去掉括号后,括号里各项的符号是怎样变化的
生根据前面分组的代数式变化情况分类总结.
总结:去括号法则:
括号前是“+”时,把括号和它前面的“+”去掉,原括号里的各项都不改变符号.
括号前是“
-
”时,把括号和它前面的“
-
”去掉,原括号里的各项都改变符号.
活动3 例题讲解
先去括号,再合并同类项:
(1)5a+2(b
-
a);
(2)2(4x
-
6y)
-
3(2x+3y
-
1).
〔解析〕 第(1)题的括号前是“
( http: / / www.21cnjy.com )+”号,把括号和它前面的“+”去掉,原括号里的各项都不改变符号.第(2)题括号前是“
-
”时,把括号和它前面的“
-
”去掉,原括号里的各项都改变符号.其实,第(1)题去掉括号,相当于括号内各项都乘2;第(2)题去掉前面的括号,相当于括号内各项都乘2,去掉后面的括号,相当于括号内的各项都乘“
-
3”.
解:(1)5a+2(b
-
a)
=5a+2b
-
2a
=3a+2b.
(2)2(4x
-
6y)
-
3(2x+3y
-
1).
=8x
-
12y
-
6x
-
9y+3
=2x
-
21y+3.
[知识拓展] (1)去括号的依据是乘法分配律,不要漏乘.
(2)注意法则中的“都”字,变号时各项都变号,若不变号,各项都不变号.
(3)多重符号,一般先去小括号,再去中括号比较简单,每去掉一层括号,如果有同类项可以随时合并,这样可使下一步运算简便,减少差错.
1.根据去括号法则,如果括号前面
( http: / / www.21cnjy.com )是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,原括号内各项的符号与原来的符号相同;如果括号前面是“
-
”号,把括号和它前面的“
-
”号去掉,原括号内各项的符号与原来的符号相反.
2.根据分配律去括号,如果把括号前面的“+”号看成+1,“
-
”号看成
-
1,那么根据分配律也能达到去括号的目的.
1.下列去括号正确的是
( )
A.a
-
(b+c
-
1)=a
-
b+c
-
1
B.a
-
(b
-
c
-
1)=a
-
b+c
-
1
C.a
-
(b
-
c+1)=a
-
b+c
-
1
D.a
-
(b+c+1)=a
-
b+c
-
1
解析:括号前面是负号,去括号后各项都要变号.只有选项C符合要求.故选C.
2.(2015·济宁中考)化简
-
16(x
-
0.5)的结果是
( )
A.
-
16x
-
0.5 B.
-
16x+0.5
C.16x
-
8
D.
-
16x+8
解析:根据去括号的法则计算即可.
-
16(x
-
0.5)=
-
16x+8.故选D.
3.化简a
-
[
-
2a
-
(a
-
b)]等于
( )
A.
-
2a B.0 C.4a
-
b D.2a
-
2b
解析:a
-
[
-
2a
-
(a
-
b)]=a
-
(
-
2a
-
a+b)=a+2a+a
-
b=4a
-
b.故选C.
4.容量是56升的铁桶,装满油,取出(x+1)升后,桶内还剩油 升.
解析:由题意得56
-
(x+1)=56
-
x
-
1=55
-
x(升).故填(55
-
x).
5.化简.
(1)m
-
(5m
-
3n)+2(n
-
m);
(2)3a2
-
[2a2
-
(2ab
-
a2)+4ab]
解析:(1)观察要化简的
( http: / / www.21cnjy.com )式子中含有两个括号,第一个括号前面是“
-
”,去括号和它前面的“
-
”号,括号内的项都要改变符号;第二个括号前面是“+”,且括号前的系数是2,化简时应用2乘括号内的两项,且不要改变符号.(2)本题先去括号,再合并同类项.去括号时可以从内往外去也可以从外往内去.
解:(1)m
-
(5m
-
3n)+2(n
-
m)=m
-
5m+3n+2n
-
2m=
-
6m+5n.
解法1:(2)(先去小括号)原
( http: / / www.21cnjy.com )式=3a2
-
[2a2
-
2ab+a2+4ab]=3a2
-
2a2+2ab
-
a2
-
4ab=
-
2ab.
解法2:(2)(先去中括号)原
( http: / / www.21cnjy.com )式=3a2
-
2a2+(2ab
-
a2)
-
4ab=3a2
-
2a2+2ab
-
a2
-
4ab=
-
2ab.
4.3 去括号
活动1 试着做做
活动2 探究去括号法则
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第134页练习第1题.
【选做题】
教材第134页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.化简m
-
n
-
(m+n)的结果是
( )
A.0 B.2m C.
-
2n D.2m
-
2n
2.计算a+(
-
a)的结果是
( )
A.2a
B.0
C.
-
a2
D.
-
2a
3.与a
-
2(2x
-
3y)相等的代数式是
( )
A.a+(4x+3y)
B.a+(4x+6y)
C.a+2(2x
-
3y)
D.a+2(3y
-
2x)
4.一个长方形相邻的一边长为2a+3b,另一边长为a+b,则这个长方形的周长为 .
5.先化简,再求值.
(1)2(3x2
-
y)
-
(x2+y),其中x=
-
1,y=2;
(2)2a+[a2
-
(3a2+2a
-
1)],其中a=.
【能力提升】
6.下列运算正确的是
( )
A.
-
3(x
-
1)=
-
3x
-
1
B.
-
3(x
-
1)=
-
3x+1
C.
-
3(x
-
1)=
-
3x
-
3
D.
-
3(x
-
1)=
-
3x+3
7.把a+b+2(a+b)
-
4(a+b)合并同类项得
( )
A.a+b
B.
-
a
-
b
C.a
-
b
D.
-
a+b
8.化简a
-
4+|a
-
4|的结果是
( )
A.2a
-
8
B.8
-
2a
C.2a
-
8或0
D.2a
-
8或8
-
2a
9.代数式2a2+b
-
2c与
-
4b+c
-
a2的和为 .
10.已知小明的年龄是m岁,小红的年龄比小明的年龄的2倍少4岁,小华的年龄比小红的年龄的还多1岁,求这三名同学年龄的和.21cnjy.com
【拓展探究】
11.若A=4x2
-
3x
-
2,B=4x2
-
3x
-
4,则A与B的大小关系是
( )
A.A>B
B.A
D.无法确定
12.某轮船顺水航行了4小时,逆水航行了2小时.已知船在静水中的速度为每小时a千米,水流速度为每小时b千米,则轮船共航行了 千米.
13.某天数学课上,学习了合并同类项,放学后,小明回到家拿出课堂笔记,认真地复习课上学习的内容,他突然发现一道题:=
-
x2+y2.有个地方被钢笔水弄污了,你能算出弄污的部分是什么吗
【答案与解析】
1.C(解析:m
-
n
-
(m+n)=m
-
n
-
m
-
n=
-
2n.)
2.B(解析:a+(
-
a)=a
-
a=0.)
3.D(解析:a
-
2(2x
-
3y)=a
-
4x+6y,然后分别计算各个选项.只有选项D是正确的.)
4.6a+8b(解析:2(2a+3b)+2(a+b)=4a+6b+2a+2b=6a+8b.)
5.解:(1)化简为5x2
-
3y,值为
-
1. (2)化简为
-
2a2+1,值为.
6.D(解析:由去括号法则得
-
3(x
-
1)=
-
3x+3.故选D.)
7.B(解析:a+b+2(a+b)
-
4(a+b)=(1+2
-
4)(a+b)=
-
(a+b)=
-
a
-
b.故选B.)
8.C(解析:当a
-
4≥0时,
( http: / / www.21cnjy.com )原式=a
-
4+a
-
4=2a
-
8;当a
-
4<0时,原式=a
-
4
-
(a
-
4)=0.故选C.)
9.a2
-
3b
-
c(解析:2a2
( http: / / www.21cnjy.com )+b
-
2c+(
-
4b+c
-
a2)=2a2+b
-
2c
-
4b+c
-
a2=2a2
-
a2+b
-
4b
-
2c+c=a2
-
3b
-
c.)
10.解:小红的年龄为(2m
-
( http: / / www.21cnjy.com )
4)岁,小华的年龄为岁,所以这三名同学的年龄的和为m+(2m
-
4)+=m+2m
-
4+[m
-
2+1]=m+2m
-
4+m
-
1=4m
-
5(岁).
11.A(解析:A
-
B=4x2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
3x
-
2
-
(4x2
-
3x
-
4)=4x2
-
3x
-
2
-
4x2+3x+4=2>0.)
12.(6a+2b)(解析:根据题意得轮
( http: / / www.21cnjy.com )船顺水航行的速度为每小时(a+b)千米,顺水航行4小时,航行了4(a+b)千米,逆水航行的速度为每小时(a
-
b)千米,逆水航行2小时,航行了2(a
-
b)千米,则轮船共航行了4(a+b)+2(a
-
b)=4a+4b+2a
-
2b=6a+2b(千米).故填(6a+2b).)
13.解:
-
-
x2+4xy
-
y2
-
-
x2+y2=
-
x2+3xy
-
y2+x2
-
4xy+y2+x2
-
y2=
-
xy.所以被钢笔水弄污的部分是
-
xy.21·世纪
教育网
理解去括号法则是本节课的教学
( http: / / www.21cnjy.com )重点和难点.在处理问题的过程中,采取先分组比较得出感性认识,再借助于乘法分配律进行推理分析的策略,取得了较好的课堂学习效果.
对于括号前面的因数不是“1”或“
-
1”的式子,学生化简的不够好,尤其是前面是负因数的式子,去括号时没有掌握好方法.21·cn·jy·com
运用法则去括号时,开始学
( http: / / www.21cnjy.com )生确实容易弄得混乱,因为刚探索出来的东西毕竟是新生事物,学生的认知水平不可能马上接受,所以必须经过练习.教师在教学中可以设计相应的习题,强化训练,让学生掌握这类题去括号的方法.可以板演学生出现的问题,集体进行分析纠正,达到强化的目的.
练习(教材第134页)
1.解:(1)原式=x+y
-
z. (
( http: / / www.21cnjy.com )2)原式=a+b+c. (3)原式=x
-
2y
-
3+2z. (4)原式=
-
a+2b+c
-
d.
2.解:(1)原式=6a+4a
-
2
( http: / / www.21cnjy.com )b=10a
-
2b. (2)原式=7x+5x
-
9=12x
-
9. (3)原式=2a+6a
-
2b
-
4c=8a
-
2b
-
4c. (4)原式=x
-
6x
-
15y+18=
-
5x
-
15y+18.
习题(教材第134页)
A组
1.解:(1)原式=
-
3m+2n
( http: / / www.21cnjy.com )-
1. (2)原式=3m+2n
-
p. (3)原式=a
-
3a2+3b
-
3c. (4)原式=
-
6a
-
12b+c
-
d. (5)原式=
-
5(3x
-
6y+8z)=
-
15x+30y
-
40z. (6)原式=
-
x+y
-
2z
-
5.
2.提示:(1)12a+22. (2)2a
-
8b+c. (3)
-
9x2+6x
-
6. (4)5a2b
-
ab.
3.解:原式=a2
-
3a+3
( http: / / www.21cnjy.com )a+2ab=a2+2ab.当a=
-
2,b=0.5时,原式=(
-
2)2+2×(
-
2)×0.5=2.
B组
1.解:①依次填“+”“+
( http: / / www.21cnjy.com )”时,原式=3x2
-
xy+3y2
-
1.②依次填“+”“
-
”时,原式=3x2
-
xy
-
y2+1.③依次填“
-
”“+”时,原式=3x2+5xy+y2
-
1.④依次填“
-
”“
-
”时,原式=3x2+5xy
-
3y2+1.所以此题一共有4种填法和4种结果.
2.解:能.理由如下:设三个连续自
( http: / / www.21cnjy.com )然数中间的一个为m(m≠0),则这三个连续自然数为m
-
1,m,m+1,所以它们的和为(m
-
1)+m+(m+1)=m
-
1+m+m+1=3m,因为3m能被3整除,所以三个连续的自然数的和也一定能被3整除.
3.提示:原式化简后为8,不含a项,所以a无论取何值,原式的值都为8.
去括号时容易出现的错误
初学去括号时,由于对去括号法则掌握不够准确,常常出现各种各样的错误,归纳起来主要有以下几种.
1.去括号时忘记变号
计算:4x
-
(
-
5x+3x
-
6).
错解:原式=4x+5x+3x
-
6
=12x
-
6.
〔易错辨析〕 括号前是“
-
( http: / / www.21cnjy.com )
”号,把括号和它前面的“
-
”号去掉后,原括号内各项的符号都要改变.本题错在只改变了括号内的第一项的符号,而后两项的符号忘记改变了.
正解:原式=4x+5x
-
3x+6
=6x+6.
2.去括号时,括号前符号忘记去掉
化简2x2
-
3x+2
-
(5x2
-
x+1).
错解:原式=2x2
-
3x+2
-
(
-
5x2)+x
-
1
=2x2
-
3x+2+5x2+x
-
1
=7x2
-
2x+1.
〔易错辨析〕 此题去括号时,只记住括号前是“
-
”号的,去括号后括号内各项符号均改变,但忘记了整个括号前“
-
”号要去掉,故出现错误.
正解:原式=2x2
-
3x+2
-
5x2+x
-
1
=
-
3x2
-
2x+1.
3.去括号时漏乘
化简:3a2
-
2[2a2
-
(2ab
-
a2)+4ab].
错解:原式=3a2
-
2[2a2
-
2ab
-
a2+4ab]
=3a2
-
4a2
-
2ab
-
a2+4ab
=
-
2a2+2ab.
〔易错辨析〕 以上解法有两种典型错误:
( http: / / www.21cnjy.com )一是忽略括号前面的负号,去掉括号时,括在括号里的各项应改变符号;二是忽略括号前面的数字,去掉括号时,应运用乘法分配律.
正解:原式=3a2
-
2[2a2
-
2ab+a2+4ab]
=3a2
-
4a2+4ab
-
2a2
-
8ab
=
-
3a2
-
4ab.
4.4 整式的加减
能进行整式加减运算,掌握整式加减的一般步骤,能运用整式加减运算解决简单的实际问题.
经历从具体情境中用代数式表示数量关系的过程,体会整式加减的意义,进一步发展符号意识.
渗透数学来源于生活,数学为生活服务的辩证思想.
【重点】 整式加减运算的运算律.
【难点】 利用整式加减运算解决一些实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习去括号的方法与合并同类项的法则.
导入一:
学生完成下面各小题.
1.填空:整式包括 和 .
2.下列各式中,是同类项的一组是
( )
A.22x2y与yx2
B.2m2n与2mn2
C.ab与abc
3.去括号后合并同类项:(3a
-
b)+(5a+2b)
-
(7a+4b).
[处理方式] 教学中,教师和学生复习整理的
( http: / / www.21cnjy.com )方式可以多样化,可以口头设问,也可以以简单的练习形式呈现,从本环节开始就有效地帮助学生集中注意力,充分有效地复习了前面所学的主要内容,有利于学生顺利观察归纳出整式加减的实质:整式的加减运算是“合并同类项”与“去括号”.
[设计意图] 和学生共同回忆以前的知识,降低教学难度,激发兴趣,从而顺利过渡到本节的知识内容,为下一个环节做好铺垫.
导入二:
有一个长方形花坛,其周长为(14a+2b)米,长为(3a+b)米,求它的宽.
问题探究:
长方形的周长为14a+2
( http: / / www.21cnjy.com )b,它的长为3a+b,则它的宽为(14a+2b)
-
(3a+b),显然要计算长方形的宽,必须把上述式子进一步化简,化简上述式子的过程,实质就是进行整式的加减运算.
怎样进行整式的加减运算呢
这节课我们就来进一步学习整式的加减.(揭示课题)
[设计意图] 通过问题的设计,体会整式的加减在实际中的应用,自然地引入到本节课的教学之中.
[过渡语] 整式的加减是代数式的基本运算,怎样进行整式加减运算呢
活动1 体会整式加减的意义
七年级(一)班分成三个小组,利用星期日参加社
( http: / / www.21cnjy.com )会公益活动.第一组有学生m名;第二组的人数比第一组的2倍少10人;第三组的人数是第二组的一半.七年级(一)班共有学生多少名
1.问题思考.
(1)怎样用代数式表示每组的人数
提示:第一组人数为m;第二组人数为2m
-
10;第三组人数为(2m
-
10).
(2)怎样计算全班一共有多少名学生
提示:m+(2m
-
10)+(2m
-
10).
2.整式加减的意义.
因为七年级(一)班的学生总数是:
m+(2m
-
10)+(2m
-
10),
而m+(2m
-
10)+(2m
-
10)
=m+2m
-
10+m
-
5
=4m
-
15,
所以七年级(一)班共有学生(4m
-
15)名.
小结:整式的加减运算,实质上就是去括号和合并同类项的问题.先去括号,再合并同类项是整式运算的基本步骤.
活动2 整式的混合运算
观察与思考:
对于“求整式2a2+ab+3b2与a2
-
2ab+b2的差”,小明的做法是:
解:(2a2+ab+3b2)
-
(a2
-
2ab+b2)
=2a2+ab+3b2
-
a2+2ab
-
b2
=a2+3ab+2b2.
请你观察并思考小明的解题过程,说明整式相减的步骤有哪些.
思考:
(1)上面算式中第一步是什么 (去括号)
(2)上面算式中第二步是什么 (合并同类项)
活动3 例题讲解
一个长方形的宽为a,长比宽的2倍小1.
(1)写出这个长方形的周长.
(2)当a=2时,这个长方形的周长是多少
(3)当a为何值时,这个长方形的周长是16
解:(1)这个长方形的周长是2a+2(2a
-
1)=6a
-
2.
(2)当a=2时,6a
-
2=6×2
-
2=10.
所以这个长方形的周长是10.
(3)如果6a
-
2=16,那么6a=18,即a=3.
所以当a=3时,这个长方形的周长是16.
[知识拓展] (1)整式加减的一般步骤并不绝对,在具体运算中,也可以先将同类项合并,再去括号(当然要按运算顺序去做).
(2)已知代数式和代数式中字母的值,求代数式的值,一般不直接将字母的值代入代数式,而是先把代数式化简,然后再代入求值.
整式的加减实质就是把合并同类项
( http: / / www.21cnjy.com )和去括号综合起来,求两个多项式的和或差时,首先把多项式看作一个整体,分别括在括号里;给出整式中字母的值,求整式的值的问题,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,不要把数值直接代入整式中计算.对于整式中的应用问题,应根据题意列出算式,再进行整式的加减运算,计算出结果.
1.(2015·镇江中考)计算
-
3(x
-
2y)+4(x
-
2y)的结果是
( )
A.x
-
2y B.x+2y C.
-
x
-
2y D.
-
x+2y
解析:原式去括号,合并同类项后即可得到结果.原式=
-
3x+6y+4x
-
8y=x
-
2y.故选A.
2.化简的结果是
( )
A.
-
x
-
B.
-
x+
C.3x
-
D.x+
解析:原式=x+
-
2x+=(x
-
2x)+=
-
x+.故选B.
3.若m,n互为相反数,则3m
-
2n与2m
-
3n的差为 .
解析:因为m,n互为相反数,所以m+n=
( http: / / www.21cnjy.com )0,所以(3m
-
2n)
-
(2m
-
3n)=3m
-
2n
-
2m+3n=m+n=0.故填0.
4.已知A=a2+b2
-
c2,B=
-
4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0.
(1)求多项式C;
(2)若a=1,b=
-
1,c=3,求A+B的值.
解:(1)因为A=a2+b2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
c2,B=
-
4a2+2b2+3c2,且A+B+C=0,所以C=
-
A
-
B=
-
(a2+b2
-
c2)
-
(
-
4a2+2b2+3c2)=
-
a2
-
b2+c2+4a2
-
2b2
-
3c2=3a2
-
3b2
-
2c2. (2)A+B=a2+b2
-
c2
-
4a2+2b2+3c2=
-
3a2+3b2+2c2,当a=1,b=
-
1,c=3时,A+B=
-
3+3+18=18.
4.4 整式的加减
活动1 体会整式加减的意义
活动2 整式的混合运算
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第137页练习第1,2题.
【选做题】
教材第138页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.比2a2
-
3a
-
7少3
-
2a2的多项式是
( )
A.
-
3a
-
4 B.
-
4a2+3a+10
C.4a2
-
3a
-
10
D.
-
3a
-
10
2.如果多项式ax2
-
abx+b与bx2+abx+b的和是一个单项式,那么a与b(b≠0)的关系是
( )
A.a=b
B.a=
-
b
C.ab=
-
1
D.ab=1
3.一个多项式A减去3x2+2y
-
5的差是x2
-
2y,则A= .
4.某书店出售图书的同时,
( http: / / www.21cnjy.com )推出一种租书业务,每租一本书,租期不超过3天,每天租金a元;租期超过3天,从第4天开始,每天另加收b元.如果租看一本书7天归还,那么租金为 元.
5.已知A+B=3x2+x,B+C=x2,求A
-
C的值.
【能力提升】
6.一条铁丝正好可围成一个长方形,一边长为2a+b,另一边比它长a
-
b,则长方形的周长是
( )
A.5a+b
B.10a+3b
C.10a+2b
D.10a+6b
7.A是一个五次多项式,B是一个五次单项式,则A
-
B一定是
( )
A.十次多项式
B.五次多项式
C.四次多项式
D.不高于五次的整式
8.有一种石棉瓦(如图所示),每块宽
( http: / / www.21cnjy.com )60厘米,用于铺盖屋顶时,每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米,那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.60n厘米
B.50n厘米
C.(50n+10)厘米
D.(60n
-
10)厘米
9.化简5a2
-
的结果为 .
10.有三个植树队,第一队植
( http: / / www.21cnjy.com )树x棵,第二队植的树比第一队植的树的3倍少8棵,第三队植的树比第一队植的树的一半多6棵,三个队一共植树多少棵 当第一队植树1200棵时,三个队一共植树多少棵 2-1-c-n-j-y
【拓展探究】
11.若a
b=a2+ab,a b=4ab
-
3b2,化简4(a
b)
-
(a b).
12.如图所示,将面积为a2的小正方形,与
( http: / / www.21cnjy.com )面积为b2的大正方形放在一起(b>a>0),用a,b表示三角形ABC的面积S,并求当b=6时,S的值. 21
cnjy
com
13.试说明:无论x取何值,
( http: / / www.21cnjy.com )代数式(x3+5x2+4x
-
1)
-
(
-
x2
-
3x+2x3
-
3)+(8
-
7x
-
6x2+x3)的值恒不变.
【答案与解析】
1.C(解析:由题意得2a2
( http: / / www.21cnjy.com )-
3a
-
7
-
(3
-
2a2)=2a2
-
3a
-
7
-
3+2a2=4a2
-
3a
-
10.)
2.B(解析:ax2
-
abx+b
( http: / / www.21cnjy.com )+bx2+abx+b=(a+b)x2+2b,由于结果是单项式,又因为b≠0,所以a+b=0,即a=
-
b.)
3.4x2
-
5(解析:A=3x2+2y
-
5+x2
-
2y=4x2
-
5.)
4.(7a+4b)(解析:3a+(7
-
3)(a+b)=3a+4a+4b=7a+4b.)
5.解:因为A+B
-
(B+C)=A+B
-
B
-
C=A
-
C,所以A
-
C=3x2+x
-
x2=2x2+x.
6.C(解析:另一边长为2a+b+a
-
b,所以周长为2(2a+b)+2(2a+b+a
-
b)=4a+2b+6a=10a+2b.)
7.D(解析:若五次项的系数相同,则A
-
B后得到的整式的次数会小于五,否则仍为五次整式.)
8.C(解析:此题考查的是整式加减
( http: / / www.21cnjy.com )的实际应用.由题意知n块石棉瓦重叠的部分有(n
-
1)处,60n
-
10(n
-
1)=50n+10(厘米).故选C.)
9.a2
-
4a(解析:原式=5a2
-
( http: / / www.21cnjy.com )
a2
-
(5a2
-
2a)+2(a2
-
3a)=4a2
-
5a2+2a+2a2
-
6a=a2
-
4a.)
10.解:共植树x+(3x
-
8)+x
-
2(棵);当x=1200时,x
-
2=×1200
-
2=5398,即共植树5398棵.
11.解:4(a
b)
-
(a b)=4(a2+ab)
-
(4ab
-
3b2)=4a2+4ab
-
4ab+3b2=4a2+3b2.
12.解:S=b2+(b
-
a)×a+a2
-
b2
-
a(a+b)=b2,当b=6时,S=18.
13.解:代数式的值恒不变是指该代
( http: / / www.21cnjy.com )数式的值为定值,不随x的变化而变化,可先化简代数式,再观察结果.原式=x3+5x2+4x
-
1+x2+3x
-
2x3+3+8
-
7x
-
6x2+x3=(x3
-
2x3+x3)+(5x2+x2
-
6x2)+(4x+3x
-
7x)
-
1+3+8=0+0+0+10=10.因为此代数式经化简后的结果为10,不含x,所以代数式的值与x的取值无关,即x无论取何值,原代数式的值恒不变.
对于本节课教师先引导复习了去括号、合并
( http: / / www.21cnjy.com )同类项的法则,帮助学生感知整式加减的过程,通过例题的讲解,让学生体会整式加减的必要性,让学生在具体问题中感知去括号、合并同类项的过程就是整式的加减运算.
整式混合运算的步骤和方法可以交给学生自己去总结,教师不宜包办代替.
应格外关注学生对法则的理解和应用
( http: / / www.21cnjy.com )是否能落到实处.另外,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
练习(教材第137页)
1.解:(2x2
-
3x
-
1)+(
-
x2+3x
-
5)=2x2
-
3x
-
1
-
x2+3x
-
5=x2
-
6.
2.解:
-
(4a2
-
4a+2)=2a2+3a
-
-
4a2+4a
-
2=
-
2a2+7a
-
.
3.解:(1)原式=2a
-
3a2
( http: / / www.21cnjy.com )+5a
-
6a2=7a
-
9a2. (2)原式=4x
-
4
-
7x
-
14=
-
3x
-
18.
4.解:(1)原式=x2
( http: / / www.21cnjy.com )-
2x3+1+1
-
2x3
-
2x2=
-
4x3
-
x2+2,当x=2时,原式=
-
34. (2)原式=5a2
-
3b2
-
3a2+3b2+b2=2a2+b2,当a=5,b=
-
3时,原式=59.
习题(教材第138页)
A组
1.提示:(1)4x
-
2y. (2)x2+3. (3)x. (4)
-
8ab
-
a2. (5)7x
-
5y
-
z.
2.解:(1)2(x2
-
y2+1)
-
2(x2+y2)+xy=
-
4y2+xy+2,当x=,y=时,原式=1. (2)(3a2+7bc
-
6b2)
-
(5a2
-
3bc
-
4b2)=
-
2a2
-
2b2+10bc,当a=5,b=
-
3,c=时,原式=
-
78.
3.解:(1)A+B=(3x2
-
6
( http: / / www.21cnjy.com )x+5)+(4x2+7x
-
6)=7x2+x
-
1. (2)A
-
B=(3x2
-
6x+5)
-
(4x2+7x
-
6)=
-
x2
-
13x+11.
4.解:(
-
2x2+x
-
3)
-
(
-
3x2+x
-
6)=
-
2x2+x
-
3+3x2
-
x+6=x2+3.
B组
1.解:由题意知(2x2+my
-
12)+(nx2
-
3y+6)=
-
6,所以(2+n)x2+(m
-
3)y
-
6=
-
6,所以2+n=0,m
-
3=0,所以n=
-
2,m=3,所以mn=
-
6.
2.解:(1)面积:4a2+πa2,窗框的总
( http: / / www.21cnjy.com )长:15a+πa.
(2)当a=50
cm时,面积约为13925
cm2,窗框总长约为907
cm.
3.提示:M=14x2
-
x
-
11.正确答案:15x2
-
4x
-
4.
4.提示:(1)(8a+2πa)m. (2)m2.
复习题(教材第142页)
A组
1.(1)
-
3 (2)5ab2
( http: / / www.21cnjy.com )
-
ab与ab
-
4 (3)2x
-
3xy+3y2
-
5 (4)6x2
-
3x
-
6 (5)7a2
-
6a+2 (6)2ab+10b
2.解:
单项式
系数
次数
-
m
-
1
1
5x3
5
3
-
ab2
-
3
-
-
0
多项式
次数
项数
常数项
a+1
1
2
1
a2+2ab+b2
2
3
0
a
-
2ab
2
2
0
-
2x2+3b
-
6
2
3
-
6
3.解:由题意得k
-
1=2,所以k=3.
4.提示:(1)
-
2x+2. (2)6y2
-
1. (3)
-
8ab
-
a2b+ab2. (4)
-
5a2b2+b4.
5.提示:(1)a2+6a
-
13. (2)6x2
-
4x+2.
6.解:(1)(3a+2
( http: / / www.21cnjy.com )a2
-
4a3)
-
(
-
a+3a3
-
a2)=3a+2a2
-
4a3+a
-
3a3+a2=
-
7a3+3a2+4a.当a=
-
2时,原式=
-
7×(
-
2)3+3×(
-
2)2+4×(
-
2)=60. (2)3xy2
-
2xy
-
x2y+(3x2y
-
2xy2)=3xy2
-
2xy
-
x2y+3x2y
-
2xy2=xy2
-
2xy+x2y.当x=
-
4,y=时,原式=(
-
4)×
-
2×(
-
4)××(
-
4)2×=15.
7.解:(1)M
-
N=(
-
5x2+3xy
-
2y2)
-
(5x2
-
6xy+2y2)=
-
5x2+3xy
-
2y2
-
5x2+6xy
-
2y2=
-
10x2+9xy
-
4y2. (2)M+N=
-
5x2+3xy
-
2y2+5x2
-
6xy+2y2=
-
3xy. (3)N
-
(M
-
N)=N
-
M+N=2N
-
M=2(5x2
-
6xy+2y2)
-
(
-
5x2+3xy
-
2y2)=10x2
-
12xy+4y2+5x2
-
3xy+2y2=15x2
-
15xy+6y2.
8.解:由题意,可知这个长方
( http: / / www.21cnjy.com )形的周长为2{(5a+2b)+[(5a+2b)
-
(a
-
3b)]}=2(5a+2b+5a+2b
-
a+3b)=2×(9a+7b)=18a+14b.即这个长方形的周长为18a+14b.
9.解:由题意,可得第三个角的度数为180°
-
x
-
=180°
-
x.
10.解:原式=15+a
-
8a+a
-
9
-
3+6a=3.因为原式化简后不含a项,所以原代数式的值与a无关.
B组
1.解:因为2x2+3x+7=8,所以2x2+3x=1,所以4x2+6x
-
9=2(2x2+3x)
-
9=2×1
-
9=
-
7.
2.解:因为A+B+C=
( http: / / www.21cnjy.com )0,A=4a2b
-
5b2,B=
-
3a2b+2b2,所以C=
-
(A+B)=
-
(4a2b
-
5b2
-
3a2b+2b2)=
-
a2b+3b2,所以当a=
-
2,b=时,C=
-
(
-
2)2×+3×=
-
2+=
-
.
3.解:因为a是绝对值等
( http: / / www.21cnjy.com )于4的负数,所以a=
-
4.因为b是最小的正整数,所以b=1.因为c的倒数的相反数是
-
2,所以c=.4a2b3
-
[2abc+(5a2b3
-
7abc)
-
a2b3]=4a2b3
-
2abc
-
5a2b3+7abc+a2b3=5abc.所以当a=
-
4,b=1,c=时,原式=5×(
-
4)×1×=
-
10.
4.解:原式=2x4y+x2y2+y3
-
2y2,因为x的指数为偶数,所以x=2,y=
-
1和x=
-
2,y=
-
1时的结果一样,故说他的计算结果正确.
5.解:(1)m+(3m
-
5)+(2m+8)=6m+3. (2)当m=15时,爸爸的年龄为3m
-
5=40(岁),妈妈的年龄为2m+8=38(岁).
C组
1.提示:62a2.
2.提示:(1)相等. (2)2a
-
3.
已知三角形的第一条边长是a+2b,第二条边长比第一条边长大b
-
2,第三条边长比第二条边长小5.
(1)求三角形的周长;
(2)当a=2,b=3时,求三角形的周长.
〔解析〕 (1)根据题意表示出第二条边长与第
( http: / / www.21cnjy.com )三条边长,即可确定出周长;(2)把表示出的周长去括号、合并同类项得到最简结果,将a与b的值代入计算即可求出值.
解:(1)由题意可得第二条边长为a+3b
-
2,第三条边长为a+3b
-
7,
则三角形的周长为a+2b+
( http: / / www.21cnjy.com )(a+3b
-
2)+(a+3b
-
7)=a+2b+a+3b
-
2+a+3b
-
7=(a+a+a)+(2b+3b+3b)+[(
-
2)+(
-
7)]=3a+8b
-
9.
(2)当a=2,b=3时,三角形的周长为3×2+8×3
-
9=6+24
-
9=21.
一辆大客车从甲地开往乙地,车上原有(3a
-
b)人,中途停车一次,有一半人下车,又有(13a
-
9b)人上车.
(1)用代数式表示中途下车的人数;
(2)用代数式表示中途下车、上车之后,车上共有乘客多少人;
(3)当a=10,b=8时,分别求车上原有人数,中途下车的人数,中途上车的人数,中途下车、上车之后车上的人数.
〔解析〕 (1)能正确理解
( http: / / www.21cnjy.com )有一半人下车的含义,即有总数的人下车;(2)用车上剩余的人数加上又上车的人数即可求出车上的人数;(3)把a,b的值代入代数式可分别计算具体数值.
解:(1)(3a
-
b)人.
(2)(3a
-
b)+(13a
-
9b)=(3a
-
b+13a
-
9b)=(16a
-
10b)=8a
-
5b(人).
(3)当a=10,b=8时:
①车上原有人数:3a
-
b=3×10
-
8=30
-
8=22(人);
②中途下车的人数:(3a
-
b)=(3×10
-
8)=×22=11(人);
③中途上车的人数:(13a
-
9b)=(13×10
-
9×8)=×58=29(人);
④中途下车、上车之后车上的人数:8a
-
5b=8×10
-
5×8=80
-
40=40(人).
1.从整体上回顾本章的教学内容,找出知识间的内在联系,形成知识网络.
2.反思知识的形成过程中所蕴含的数学思想方法和思维,使学生积累数学活动经验.
3.灵活运用所学知识解决实际问题,发展符号意识和解决问题的能力.
1.在解决问题的过程中,提高学生对知识的综合运用能力.
2.在计算的过程中,掌握一定的解题思路和方法.
1.体验数学知识的关联性,培养学生积极的学习态度.
2.培养学生严谨的思考问题的习惯,能正确对待实际问题.
【重点】 整式的加减运算.
【难点】 整合知识,构建知识网络.
整式的加减
1.整式的有关概念.
整式包括单项式和多项式.
(1)在单项式中,数与字母、字母与字母之间都
( http: / / www.21cnjy.com )是相乘关系.单项式的系数包括它前面的符号,当系数是1或
-
1时,“1”省略不写.单独一个数或一个字母也是单项式.单项式的次数是所有字母的指数的和.
(2)多项式是几个单项式的和,因此多项式的项应包括它前面的符号.
同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关,几个常数项也是同类项.
2.整式的加减运算.
整式加减的一般步骤:写成加减算式;去括号;合并同类项.
专题一 整式
【专题分析】
整式是初中代数的重要概念之一,与整式相关的
( http: / / www.21cnjy.com )单项式和多项式的概念,是初中代数的核心概念之一.与整式相关的知识经常和整式方程、函数等知识结合在一起,是初中数学知识的主要联接点.
(1)下列代数式:①
-
15;②;③;④;⑤3a+2b;⑥0;⑦7m.其中是单项式的有 ;
(2)单项式22ab2c的系数是 ,次数是 ;
(3)πR2是 次单项式,
-
可看作 次
同课章节目录
- 第一章 有理数
- 1.1 正数和负数
- 1.2 数轴
- 1.3 绝对值与相反数
- 1.4 有理数的大小
- 1.5 有理数的加法
- 1.6 有理数的减法
- 1.7 有理数的加减混合运算
- 1.8 有理数的乘法
- 1.9 有理数的除法
- 1.10 有理数的乘方
- 1.11 有理数的混合运算
- 1.12 计算器的使用
- 第二章 几何图形的初步认识
- 2.1 从生活中认识几何图形
- 2.2 点和线
- 2.3 线段长短的比较
- 2.4 线段的和与差
- 2.5 角以及角的度量
- 2.6 角的大小
- 2.7 角的和与差
- 2.8 平面图形的旋转
- 第三章 代数式
- 3.1 用字母表示数
- 3.2 代数式
- 3.3 代数式的值
- 第四章 整式的加减
- 4.1 整式
- 4.2 合并同类项
- 4.3 去括号
- 4.4 整式的加减
- 第五章 一元一次方程
- 5.1一元一次方程
- 5.2 等式的基本性质
- 5.3 解一元一次方程
- 5.4 一元一次方程的应用