【冀教版】2016版七年级上：第5章《一元一次方程》全章教学案（含答案）
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| 名称 | 【冀教版】2016版七年级上：第5章《一元一次方程》全章教学案（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-09-15 16:38:20 | ||
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文档简介
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第五章 一元一次方程
1.掌握等式的基本性质.
2.了解方程、一元一次方程、方程的解等概念,会解一元一次方程,体会方程中的“化归”思想.
3.对于一些简单的实际问题,会分析其数量关系,列出一元一次方程并求解,能根据实际问题确定其解,使学生经历用数学解决实际问题的过程.
引导学生经历一元一次方程的建立和应用过程,使学生根据具体问题中的数量关系列出方程,感受模型化的过程,初步形成方程思想.
通过一元一次方程模型的建立和应用,帮助学
( http: / / www.21cnjy.com )生提高数学抽象、模型思想以及分析问题和解决问题的能力,增强数学的应用意识和学习数学的兴趣,积累数学活动经验.
方程和方程组是第三学段“数与代数”的主要内
( http: / / www.21cnjy.com )容之一,一元一次方程是最简单、最基本的代数方程,它不仅在实际中有广泛的应用,而且是学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程以及其他后继内容的基础.与一元一次方程有关的一些概念,如方程的解、解方程等又是代数方程中具有共性的重要概念,等式的基本性质是代数方程进行同解变形并最后求出原方程的解的重要依据.所以本章内容无论从实践上还是从进一步学习上看,都是有重要地位的.列一元一次方程解应用题对培养学生的方程思想和建模能力,发展数感、符号感,提高分析问题、解决问题的能力有不可替代的作用.
1.以实际问题为主线引入方程和方程的解的概
( http: / / www.21cnjy.com )念,改变传统教材过于注重较为完整的概念体系而与实际脱节的现象,破除陈旧、繁琐的模式训练.在实际问题的应用中,强调对具体内容的分析、抽象,渗透数学建模思想,教材注重实际意义,选用贴近学生生活,具有现代气息的例题、习题,激发学生的学习兴趣,使学生体会方程在现实世界中的作用.
2.淡化概念的过分形式化叙
( http: / / www.21cnjy.com )述,删繁就简.注意数学思想方法的渗透,重视学生能力的培养.让学生参与知识的形成过程,改变传统教材“给出法则,让学生模仿练习”的框架,在解方程的教学上打破常规,在学生理解方程的简单变形及其合理性的基础上,鼓励学生自行探索、掌握解一元一次方程的一般步骤.
3.在体现“让不同的人在数学上得到不同
( http: / / www.21cnjy.com )的发展”方面,教材注意留有较大的弹性,以适应不同学生的需要.除了在练习、习题和复习题中设置不同要求的问题外,对大多数例题和部分习题均有一定的拓展、探索余地,提出不同的问题供学生思考、拓展.
【重点】
1.理解和掌握一元一次方程的解法.
2.能利用一元一次方程解应用题.
【难点】
1.能熟练地解一元一次方程.
2.正确地找出应用题中的数量关系,正确地列方程并求解.
1.教学应结合具体内容多采用“问题
( http: / / www.21cnjy.com )情境—建立模型—应用拓展”的模式展开,从简单而具体的实例中,让学生经历方程的形成与应用的过程,从而更好地理解方程的基本概念及意义,使学生从小学算术的思维方式逐渐过渡到用方程的思想思考和解决实际问题,发展应用数学的意识和能力.
2.在讲解一元一次方程的化简及求解
( http: / / www.21cnjy.com )的时候,应该同时练习代数式的有关知识,让学生通过所学的知识,学习和掌握新的知识.这样教学既有利于培养学生综合运用所学知识的能力,又有利于通过知识间的内在联系,化解教学中的难点,使学生更加牢固地掌握知识.
3.有效的数学学习不是单纯的模仿和记忆,解方程的步骤也没有统一的模式,教师应注意引导学生选择合理的解方程步骤,关注他们的个性发展.
4.在讲解如何用一元一次方程解决实际问题的各
( http: / / www.21cnjy.com )节中,应该鼓励学生自己分析问题中的量与量之间的关系,并寻找问题中的等量关系,经历从分析问题、解决问题到检验问题的完整过程.教师在这个过程中只是起到一个引导的作用,不宜代替学生的思维过程.
5.运用方程解决实际问题时,注意启发学生从多角度寻找等量关系,关注他们能否恰当地转化和分析量与量之间的关系,并鼓励学生大胆质疑、创新.
5.1 一元一次方程
1课时
5.2 等式的基本性质
1课时
5.3 解一元一次方程
2课时
5.4 一元一次方程的应用
4课时
回顾与反思
1课时
5.1 一元一次方程
1.了解一元一次方程的概念和它的解.
2.引领学生逐步提高分析问题和解决问题的能力.
通过用算术与方程不同的方法解决同一问题的对比,感悟方程的意义和作用.
通过建立一元一次方程的过程,初步认识方程模型,体会数学建模思想.
【重点】 了解一元一次方程及其相关概念.
【难点】 理解方程模型的建立和价值.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习小学学过的方程.
导入一:
丢番图是古希腊数学家.人们
( http: / / www.21cnjy.com )对他的生平事迹知道的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.
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五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.
你能用方程求出丢番图去世的年龄吗 大家讨论交流一下.
可以利用我们所学的知识设他的年龄为x岁,列方程为x+x+x+5+x+4=x.
师生交流:
你对方程有什么认识 列方程解决实际问题的关键是什么
本章将学习一元一次方程的概念、解法和应用,充分感受方程模型的思想,首先从第五章一元一次方程开始.(板书主标题)
[设计意图] 通过阅读图
( http: / / www.21cnjy.com )中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效的模型.
导入二:
(出示多媒体课件)同学们请看大屏幕,小彬和小华在进行猜年龄游戏,我们来看一看,小华是怎样猜出小彬的年龄的 他利用了什么样的方法呢
( http: / / www.21cnjy.com )
分析:如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是 ,因此可以得到方程: .
生:我知道怎么回事,如果设小彬的年龄为
( http: / / www.21cnjy.com )x岁,那么“乘2再减5”就是2x
-
5,因此可以得到方程:2x
-
5=21.根据我们小学所学的方程的解法,解得x=13,所以小彬的年龄为13岁.
师:这位同学非常聪明,能够利用小学的知
( http: / / www.21cnjy.com )识把它解出来很好而且非常正确,同学们给他掌声鼓励.那我们是否也可以用列方程的方式来解决生活中的实际问题呢
[设计意图] 通过小彬和小华在进行猜年龄游戏,把现实生活中的问题转化为数学中的方程问题,从而认识一元一次方程的重要作用.
[过渡语] 在小学我们就认识了方程,并用方程解决了一些简单的实际问题.本节我们将继续探究方程的相关问题.
活动1 感受方程解决问题的方法
一千五百年前的《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何 ”这是我国古代著名趣题之一.
下面是用列算式与列方程两种不同的方法对问题进行解答的过程.
1.列算式解法.
每只兔子先算2只足(与鸡的足数凑齐),此时兔子和鸡的足数共有2×35=70(只).
由于每只兔子少算了2只足,总共少算的足数为94
-
70=24(只),
所以兔子数为24÷2=12(只),
鸡数为35
-
12=23(只).
答:鸡有23只,兔子有12只.
2.列方程解法.
设鸡有x只,那么兔子有(35
-
x)只.
因为鸡的足数+兔的足数=94,
所以2x+4(35
-
x)=94.
解这个方程,得x=23.
从而35
-
x=12.
答:鸡有23只,兔子有12只.
[处理方式] 首先让学生用列算式和
( http: / / www.21cnjy.com )列方程的方法进行计算,初步感受两种解决同一问题的不同方法,再参考教材解决问题方法的基础上,尝试独立解决教材第146页“做一做”中提及的问题.
[设计意图] 对比是一种重要的解决问题的方法.通过对比帮助学生体验两种解决问题的不同思路.
活动2 方程方法和列算式方法解决问题的对比
师:解决上述问题哪种方法比较简单
生:用方程的方法比较简单.
总结:对上述问题,利用列算式的方法求解,
( http: / / www.21cnjy.com )需要先将每只兔子看成2只足,与每只鸡的足数凑齐(或者先将每只鸡看成4只足,与每只兔子的足数凑齐),然后用足数之差求出兔子(或者鸡)数,思考过程和算式的得出都比较曲折.利用列方程的方法,可就足数之和直接列方程,使得问题的解决比较简单.
活动3 例题讲解
某市举行中学生足球比赛,规定平局时不再进行加时赛,并且胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.实验中学足球队参加了10场比赛,只负了1场,共得21分.该校足球队胜了几场
〔解析〕 该校足球队得分满足相等关系
( http: / / www.21cnjy.com ):3×胜的场数+1×平的场数+0×负的场数=21,即3×胜的场数+1×(10
-
1
-
胜的场数)=21.
解:设实验中学足球队胜了x场,
那么3x+(9
-
x)=21.
解得x=6.
答:实验中学胜了6场.
活动4 一元一次方程及其相关概念
像2x+4(35
-
x)=94,3x+(9
-
x)=21这样含有未知数的等式叫做方程.能使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
如果方程中含有一个未知数(也称元),并且所含未知数的项的次数是1,那么我们就把这样的方程叫做一元一次方程.
即时练习:
判断以下哪些是一元一次方程.
(1)
-
2+5=3;
(2)3x
-
1=7;
(3)m=0;
(4)x>3;
(5)x+y=8;
(6)2x2
-
5x+1=0;
(7)2a+b.
【师生活动】 以抢答的形式来完成此题,并让学生找出不是的理由.教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.
[设计意图] 进一步强化一元一次方程的概念满足的两个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
[知识拓展] (1)实际上,判断一个方
( http: / / www.21cnjy.com )程是一元一次方程需同时满足三个条件:①方程中的代数式都是整式;②只含有一个未知数;③未知数的指数都是1.
(2)方程中解的意义和实际生活中问题的意义是有区别的,就是说方程的解不一定都在实际生活中有意义.
一元一次方程:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.
方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
1.下列方程中,是一元一次方程的是
( )
A.x2+1=2 B.y=x
-
1
C.=1
D.=1
解析:一元一次方程满足两个条件:只含有一个未知数,未知数的次数是1.故选C.
2.已知关于x的方程4x
-
3m=2的解是x=m,则m的值为
( )
A. B.
-
2 C.2 D.
-
解析:方程定义:含有未知数的等式叫做方程.本题已知方程的解是m,将m代入原方程得出:4m
-
3m=2 m=2.故选C.
3.小华打算寒假期间读一本72
( http: / / www.21cnjy.com )0页的书,若他每天读40页,读了x天,还剩下27页,可列方程为 ,列出的方程 一元一次方程(填“是”或“不是”).
解析:每天读40页,x天共读40x页,已读的页数+未读的页数=总页数,所以40x+27=720,此方程为一元一次方程.
答案:40x+27=720 是
4.在一次植树活动中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株,设乙班植树x株.
(1)列两个不同的含x的代数式,分别表示甲班植树的株数;
(2)根据题意列出含未知数x的方程;
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
解:(1)根据甲班植树的株数比乙班多2
( http: / / www.21cnjy.com )0%,得甲班植树的株数为(1+20%)x;根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株,得甲班植树的株数为2(x
-
10). (2)由题意得(1+20%)x=2(x
-
10). (3)当x=25时,甲班植树的株数为25(1+20%)=30≠35,2×(25
-
10)=30≠35,所以乙班植树的株数是25株,甲班植树的株数是30株,而不是35株.
5.1 一元一次方程
活动1 感受方程解决问题的方法
活动2 方程方法和列算式方法解决问题的对比
活动3 例题讲解
活动4 一元一次方程及其相关概念
一、教材作业
【必做题】
教材第147页练习第1题.
【选做题】
教材第148页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法中正确的是
( )
A.方程是等式
B.等式是方程
C.含有字母的等式是方程
D.含有未知数的不等式是方程
2.下列各式中,不是方程的是
( )
A.x=1
B.3x=2x+5
C.x+y=0
D.2x
-
3y+1
3.方程x(x+2)=0的解为
( )
A.0 B.
-
2 C.0或
-
2 D.0或2
4.若xa+1=2是一元一次方程,则a2015= .
5.设某数为x,根据下列条件列出方程.
(1)某数的平方减去该数的等于9;
(2)某数比它的倒数大2.
【能力提升】
6.下列说法中正确的是
( )
A.含有一个未知数的等式是一元一次方程
B.未知数的次数都是1次的方程是一元一次方程
C.含有未知数,并且未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程
D.2y
-
3=1是一元一次方程
7.下列方程中,一元一次方程的个数是
( )
①2x+3y=5;②x2+1=2;③m
-
3=6;④x
-
6=5x;⑤+2=7.
A.1
B.2
C.3
D.4
8.下列方程中,解是x=4的方程是
( )
A.3x
-
2=
-
10
B.x+3=2x+3
C.3x+8=5x
D.2(x+3)=x+3
9.关于x的方程2x+m=5的解是x=2,则m= .
10.甲、乙两车分别从相距400千米的A,
( http: / / www.21cnjy.com )B两地同时出发相向而行,5小时后相遇,已知甲车每小时比乙车多行驶8千米,求乙车的速度,请列出方程(不用解).
【拓展探究】
11.小华买了桃和香蕉共6千克,用去20元,其中桃每千克3元,香蕉每千克4元,设小华买了x千克桃,列出方程正确的是
( )
A.3x+4x=20
B.6x+4x=20
C.3x+4(6
-
x)=20
D.(3+4)x=20
12.某音像公司对外出租光盘
( http: / / www.21cnjy.com )的收费方式是:每张光盘出租的前2天每天收费0.8元,以后每天收费0.5元,那么一张光盘出租x(x>2且为整数)天应收费 ;当收费为5.6元时,可列方程为 .
13.早晨,小猴把一天要吃的桃,按早、
( http: / / www.21cnjy.com )中、晚三餐依次放在三个盘子里.看了看,觉得晚餐太多,早餐太少.于是,他从第一个盘里拿了2个桃放在第二个盘里,又从第二个盘里拿了3个桃放在第三个盘里,再从第三个盘里拿了5个桃放在第一个
盘里.这时三个盘里各有6个桃.小猴满意
( http: / / www.21cnjy.com )地笑了.想一想:小猴第一次分桃时,早、中、晚三餐各分得多少个桃 (只列方程,不求解,提示:每个盘里各列一个方程)
【答案与解析】
1.A(解析:方程是等式,但等式不一定是方程.)
2.D(解析:判断方程需要两个条件:一是含有未知数,二是等式.)
3.C(解析:根据方程的解的定义,将0,
( http: / / www.21cnjy.com )
-
2,2分别代入方程的左边和右边,当x=0和x=
-
2时,左边=右边,所以x=0和x=
-
2都是方程的解;当x=2时,左边=8,右边=0,左边≠右边,所以x=2不是方程的解.)
4.0(解析:由一元一次方程的定义得a+1=1,所以a=0,则a2015=02015=0.)
5.解:(1)x2
-
x=9. (2)x=+2.
6.D(解析:只含有一个未知数(元),并且未
( http: / / www.21cnjy.com )知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).据此可得出答案.A.未涉及未知数的次数;B.未涉及未知数的个数;C.未知数的个数只能为1;D.符合一元一次方程的定义.)
7.B(解析:③④是一元一次方程.)
8.C(解析:把x=4分别代入四个方程,符合方程左边=右边的为所求.)
9.1(解析:把x=2代入2x+m=5中,得2×2+m=5,解得m=1.)
10.解:设乙车的速度为每小时x千米,则5(x+8)+5x=400.
11.C(解析:由题意可知小华买桃用去3x元,买香蕉用去4(6
-
x)元.故选C.)
12.[2×0.8+0.5(x
-
2)]元 2×0.8+0.5(x
-
2)=5.6(解析:本题相等关系为:前2天的收费+后些天的收费=5.6元.)
13.解:设第一次分桃时,第一个盘里有
( http: / / www.21cnjy.com )x个桃,则x
-
2+5=6;设第一次分桃时,第二个盘里有y个桃,则y+2
-
3=6;设第一次分桃时,第三个盘里有z个桃,则z+3
-
5=6.
以小游戏作为情境引入,让学生在一个轻松的
( http: / / www.21cnjy.com )环境中打开问题之门,由惊奇到好奇再到激起解开疑惑的欲望,然后设置一系列的情境问题,引导学生借助游戏中的思维方法来辨析生活中的实际问题,从而投入到认识一元一次方程上来,课堂达到了水到渠成的不错效果.
利用情境列方程时仍有部分同学不能及时地列出方程,达不到构建方程模型解决实际问题的能力要求.
在整个教学实施的过程中,自始至终坚
( http: / / www.21cnjy.com )持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念.
练习(教材第147页)
1.解:x
-
1=3,5x+5=
-
1,2x+4=0是一元一次方程.
2.解:x=是方程2x
-
1=0的
( http: / / www.21cnjy.com )解.x=2是方程2x
-
4=0的解,x=5是方程3x
-
15=0的解.x=
-
5是方程x+5=0的解.
习题(教材第148页)
A组
1.解:方程:x=1,2x+7=0,5
( http: / / www.21cnjy.com )x
-
1=5
-
x,x2
-
1=0,x+y=3,3y
-
6=0.一元一次方程:x=1,2x+7=0,5x
-
1=5
-
x,3y
-
6=0.
2.解:答案不唯一,如:x
-
2=0.
3.解:当x=2时,2×2
-
1=m,m=3.即m的值为3.
4.解:(1)2(2x+x)
( http: / / www.21cnjy.com )=90. (2)当x=15时,左边=2×(2×15+15)=2×45=90,右边=90,左边=右边,所以x=15是所列方程的解.当x=20时,左边=2×(2×20+20)=120,右边=90,左边≠右边,所以x=20不是所列方程的解. (3)2=90.
B组
1.解:(1)设这个数为x
( http: / / www.21cnjy.com ),由题意列方程为2x+30=6x
-
14. (2)设陆地面积为x亿平方千米,由题意列方程为x+x=5.1. (3)设这个月份第一个星期日的日期数是x.由题意列方程为x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=58.
2.解:设小明他们共去了x人.由题意列方程为5×20×80%+15=5x.
下列各式中,是方程的为
( )
A.3=5
-
2 B.3+4x
C.5a
-
6=3
D.2x+3>4x
-
5
〔解析〕 本题考查方程的定义.A选项为一个
( http: / / www.21cnjy.com )等式,但等式中不含有未知数,故不是方程;B选项含有未知数,但不是一个等式,也不是方程;D选项含有未知数,但不是等式,故也不是方程.故选C.
[解题策略] 方程的定义有两个条件:(1)式子中必须含有未知数;(2)式子必须是等式.
检验2,1,0三个数是否为方程3(x+1)=2(2x+1)的解.
〔解析〕 判断一个数是不是原方程的解,必须用这个数替换方程的未知数,并计算方程左右两边的值是否相等.
解:将x=2分别代入原方程的左右两边,
左边=3×(2+1)=9,右边=2×(2×2+1)=10,
左边≠右边,所以x=2不是原方程的解.
将x=1分别代入原方程的左右两边,
左边=3×(1+1)=6,右边=2×(2×1+1)=6,
左边=右边,所以x=1是原方程的解,
将x=0分别代入原方程的左右两边,
左边=3×(0+1)=3,右边=2×(2×0+1)=2,
左边≠右边,所以x=0不是原方程的解.
[解题策略] 使方程左右两边式子相等的未知数的值称为方程的解.判断一个数是不是原方程的解,直接根据条件代入方程的两边进行计算即可.
5.2 等式的基本性质
1.理解并掌握等式的基本性质.
2.理解方程是等式,能根据等式的基本性质求一元一次方程的解.
3.理解并掌握移项的法则.
1.让学生经历知识的形成过程,培养学生自主探索和相互合作的能力.
2.初步体验解方程的化归思想.
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
【重点】 理解和应用等式的基本性质.
【难点】 应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
【教师准备】 多媒体课件、天平、砝码等.
【学生准备】 复习一元一次方程的定义.
导入一:
在小学,我们求解过方程,请大家回忆你会求解哪些方程,方程5x=3x+4你会解吗
我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程(简单举例说明).
对于较为复杂的方程,例如这样一个问题:某数与2的和的,比某数的2倍与3的差的大1,求某数.如果我们设某数为x,可以得到方程是+1.
怎样才能求出x呢 如果还用以前的方法容易求出方程的解吗
观察思考,小组内简单交流后认同不易求出方程的解.
师:因此要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们有必要研究等式的性质,以解决这个问题.(板书课题)
[设计意图] 通过问题串,让学生感受到自己原
( http: / / www.21cnjy.com )先具有的知识已不能够解决问题,学生遇到了困难,从而激发学生的求知欲,产生了克服困难的决心和信心,更能积极投入到新课的学习情境中去.
导入二:
用估算的方法,我们可以求出简单的一元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解.你能用这种方法求出方程(1)3x
-
5=22,(2)0.23
-
0.13y=0.47y+1的解吗
第(1)题要求学生给出解答,第(2)题较复杂,估算比较困难.
师:通过估算的方法,我们可以
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[设计意图] 通过对上节课内容的回忆和教师提出的问题,引发学生的思考,激发学生的探究欲望,进而引入本节课的内容.
[过渡语] 利用等式的基本性质,可以对方程进行恒等变形,进而达到解一元一次方程的目的.
活动1 等式的基本性质
1.感受等式的基本性质.
游戏一:
如图所示,此时天平架是平衡的.在托盘上增加或减少一定数量的砝码,使其仍保持平衡.请你最少摆出5种不同的平衡形式,并说明保持平衡的道理.
通过游戏,我们可认识到什么
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活动提示:
(1)天平两端放置同类型的砝码,怎样使天平平衡
(2)天平两端放置不同类型的砝码,怎样使天平平衡
(3)在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样增加砝码可以使天平继续保持平衡
(4)在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样减少砝码可以使天平继续保持平衡
(5)请你思考使天平平衡,增加或减少砝码有什么规律
[设计意图] 天平游戏可以往两端添加等量的砝码,又可以取走等量的砝码.其中蕴含了等式关于加、减、乘、除的基本性质.
2.总结等式的基本性质.
(1)等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c=b±c.
(2)等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc.
[处理方式] 根据等式的基本性质,分别设置两种不同的平衡形式.
活动2 天平的平衡与解方程
如图所示,天平架是平衡的.如果一个黄砝码的质量为1
g,一个蓝砝码的质量为x
g,请你观察下面的操作过程,并说出1个蓝砝码的质量是多少克.
解释过程(1):
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图中的平衡现象,用方程可表示为3x+1=x+5.
解释过程(2):
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方程两边同时减去1.
方程变为3x+1
-
1=x+5
-
1,即3x=x+4.
解释过程(3):
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方程两边同时减去x.
方程变为3x
-
x=x+4
-
x,即2x=4.
解释过程(4):
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方程两边同时除以2.
方程变为×2x=×4,即x=2.
思考:为什么根据等式的基本性质可以求方程的解
总结:方程是等式,根据等式的基本性质可以求方程的解.
活动3 例题讲解
解方程x+3=8.
解:两边都减去3,得x+3
-
3=8
-
3.
所以x=8
-
3,即x=5.
在解上面的方程时,用到如下框图所示的步骤:
思考:(1)什么是移项
在解方程的过程中,等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程,相当于将这一项改变符号后,从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
(2)移项的目的是什么
移项的目的是为了合并同类项.
(3)解方程的过程中,通常怎样移项
移项通常是将方程中含有未知数的项移到等式的一边,将常数项移到等式的另一边.
[知识拓展] (1)方程是含有未知数的等式,所以可以利用等式的基本性质解方程.
(2)利用等式的基本性质解一元一次方程,也就是通过正确的变形,将方程化成未知数的系数为1的形式,即x=a的形式.
理解等式的基本性质是对等式变形的重要理论依据,应用时需要把握两点:
(1)等式两边变形做到两个“同”,即同加、同减、同乘或同除以,是第一个“同”,另一个是同一个数(或整式);
(2)等式的基本性质2中,当两边同除以某一个数时,此数不能为0,这一点容易忽略,需要特别注意.
1.下列说法正确的是
( )
A.等式两边都加上一个数,所得结果仍是等式
B.等式两边都乘一个数,所得结果仍是等式
C.等式两边都除以同一个数,所得结果仍是等式
D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边相加,所得结果仍是等式
解析:根据等式的基本性质1,2判
( http: / / www.21cnjy.com )断即可.A.等式的两边一边加1,另一边加2,就不是等式,故本选项错误;B.等式的两边一边乘1,另一边乘2,就不是等式,故本选项错误;C.两边都除以0,就不是等式,故本选项错误;D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边相加,所得的结果仍是等式,故本选项正确.故选D.
2.下列变形正确的是
( )
A.若3x
-
1=2x+1,则x=0
B.若ac=bc,则a=b
C.若a=b,则
D.若,则y=x
解析:对于选项A,方程两边减2x,化简,得
( http: / / www.21cnjy.com )x
-
1=1,两边再加1,可得x=2,故错误;选项B中两边需要同时除以c,得a=b,但不能保证c不等于0,故错误;选项C也是错的,因为不能保证同时除以的数c不为0;只有选项D正确.故选D.
3.如图所示的两台天平保持平衡,已知每块巧克力的重量相等,且每个果冻的重量也相等,则每块巧克力和每个果冻的重量分别为
( )
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A.10
g,40
g B.15
g,35
g
C.20
g,30
g
D.30
g,20
g
解析:由第二架天平,知两块巧克力和两个
( http: / / www.21cnjy.com )果冻的重量为100
g,由第一架天平,知两个果冻的重量等于3块巧克力的重量,故5块巧克力的重量为100
g,所以每块巧克力重20
g,每个果冻重30
g.故选C.
4.(1)将等式5a
-
3b=4a
-
3b变形,过程如下:
因为5a
-
3b=4a
-
3b,
所以5a=4a(第一步),
所以5=4(第二步).
上述过程中,第一步的依据是 ,第二步得出错误的结论,其原因是 .
(2)在梯形面积公式S=(a+b)h中,已知S,a,b,求h.
解:(1)等式的基本性质1 等式的
( http: / / www.21cnjy.com )两边同除以了一个可能等于0的a (2)等式两边同乘2,得2S=(a+b)h,等式两边同除以a+b,得h=.
5.2 等式的基本性质
活动1 等式的基本性质
活动2 天平的平衡与解方程
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第151页练习第1,2题.
【选做题】
教材第151页习题第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知x=y,则下列结论错误的是
( )
A.x+a=y+a B.x
-
a=y
-
a
C.ax=ay
D.
2.下列方程变形中,正确的是
( )
A.由=0得y=3
B.由
-
7x=4得x=
-
C.由3=x
-
1得x=
-
1
-
3
D.由x=得x=
3.若=2x,则应变形为
( )
A.3x
-
2=4x
B.3x
-
1=2x
C.5x
-
1=0
D.3x
-
1=4x
4.把方程2x
-
y=3改写成用含x的式子表示y的形式,得y= .
5.(1)怎样从等式6x=4x
-
2得到等式x=
-
1 (2)怎样从等式
-
3x=18得到等式x=
-
6
【能力提升】
6.下列各组方程中,解相同的是
( )
A.x=3与2x+6=0
B.x=2与2x=3
C.x=3与2x
-
6=0
D.x=3与2x=5
7.下列变形符合等式的基本性质的是
( )
A.如果2x
-
3=7,那么2x=7
-
3
B.如果3x
-
2=x+1,那么3x
-
x=1
-
2
C.如果
-
2x=5,那么x=5+2
D.如果
-
x=1,那么x=
-
3
8.以x=1为根的一元一次方程是 .(写出一个即可)
9.由等式am=bm变形到a=b,必须满足的条件为 .
10.利用等式的基本性质解方程.
(1)
-
4x=
-
; (2)3x+5=2.
【拓展探究】
11.将方程2(x
-
1)=3(x
-
1)的两边同除以x
-
1,得2=3,其错误的原因是
( )
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.两边都除以0
D.2(x
-
1)小于3(x
-
1)
12.能否找到一个m的值,使式子2m+3与7m
-
3的值相等 若能,请找出m的值;若不能,请说明理由.
13.能不能从(a
-
2)x=b
-
1得到等式x=,为什么 反之,能不能从x=得到等式(a
-
2)x=b
-
1,为什么
【答案与解析】
1.D(解析:根据等式的基本性质,等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.)
2.D(解析:由=0得y=0;由
-
7x=4得x=
-
;由3=x
-
1得x=1+3=4;由x=得x=.)
3.D(解析:利用等式的基本性质2,两边都乘2,得3x
-
1=4x.)
4.2x
-
3(解析:将x看成已知数,y看成未知数,求出y即可.由2x
-
y=3,得y=2x
-
3.故填2x
-
3.)
5.解:(1)利用等式的基本性质
( http: / / www.21cnjy.com )1,在等式6x=4x
-
2的左右两边同时减去4x,得到等式2x=
-
2,再利用等式的基本性质2,在等式2x=
-
2的左右两边同时除以2,即可得x=
-
1. (2)在等式
-
3x=18的左右两边同时除以
-
3,即可得x=
-
6.
6.C(解析:应用等式的基本性质分别解方程即可.)
7.D(解析:A中2x=7+3;B中,3x
-
x=1+2;C中,x=
-
.只有选项D成立.)
8.x
-
1=0(解析:答案不唯一,只要在等式x=1两边应用等式的基本性质进行变形即可.)
9.m≠0(解析:由等式的基本性质2,等式两边同时除以m≠0时,得到a=b.故填m≠0.)
10.解:(1)两边同时除以
-
4,
( http: / / www.21cnjy.com )得x=. (2)两边同时减去5,得3x+5
-
5=2
-
5,即3x=
-
3.两边同时除以3,得=
-
,即x=
-
1.
11.C(解析:根据等式的基本性质
( http: / / www.21cnjy.com )2:等式两边同乘一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式,所以在两边同除以x
-
1时要保证x≠1,条件没给出x≠1,所以不能同除以x
-
1.因为2(x
-
1)=3(x
-
1),所以2x
-
2=3x
-
3,所以
-
2=x
-
3,即x=1,当两边同除以x
-
1时,即同除以了0,无意义,所以错误的原因是方程两边同除以了0.)
12.解:若存在使2m+3=7m
-
( http: / / www.21cnjy.com )
3的m值,则可根据等式的基本性质,两边都减去3,得2m=7m
-
6,两边都减去7m,得2m
-
7m=
-
6,即
-
5m=
-
6,两边都除以
-
5,得m=.所以当m=时,2m+3与7m
-
3的值相等.
13.解:当a=2时,从(a
-
2)x=b
-
1不能得到x=.而从x=可以得到(a
-
2)x=b
-
1,因为等式两边同时乘同一个数,所得结果仍是等式,而同时除以的数不能为0.
等式的基本性质教学采用体
( http: / / www.21cnjy.com )验探究的教学方式,首先由教师演示天平实验,分别在天平两侧放上砝码使天平保持平衡,并把实验转化为数学问题并列出数学式子;再针对学生所列的式子,提出问题:通过天平实验所得到的式子你能联想到等式有什么性质 由学生独立思考归纳出等式的基本性质1和基本性质2,然后再把等式的基本性质抽象为数学的符号语言并表示出来.最后通过例题和练习巩固等式的两条基本性质,并让学生从练习中思考运用等式的基本性质时应注意些什么.
对于性质的应用,不要采用教师问学生答的形
式,要尽量让学生板演,照顾到全体学
( http: / / www.21cnjy.com )生的参与.对于教材中的问题,重点内容和难点的地方要尽量让学生讨论解决,要控制好度和量,体现小组合作的优势.
学生在小学学过用运算的逆
( http: / / www.21cnjy.com )运算关系解简单一元一次方程普遍掌握较好,但用小学方法解方程比用等式的基本性质解方程理性思维要差些,所以教学过程中要着重引导学生体会代数中处理类似小学且难于小学的方程内容时“代数化”方法的优越性、概括性及抽象性.
练习(教材第151页)
1.解:(2)(3)(5)(7)成立,其余不成立.
2.解:(答案不唯一)①x+2=y
( http: / / www.21cnjy.com )+2.依据等式的基本性质1,等式两边同时加上2.②
-
x=
-
y.依据等式的基本性质2,等式两边同时乘
-
.③.依据等式的基本性质2,等式两边同时除以3.
3.解:(1)x
-
2=5,两
( http: / / www.21cnjy.com )边同时加上2,得x
-
2+2=5+2,所以x=5+2,即x=7. (2)3x
-
2=1,两边同时加上2,得3x=1+2,3x=3,两边同时除以3,得x=1.
习题(教材第151页)
1.解:(1)(2)(3)(4)全成立.
2.提示:(1)x=1. (2)x=4. (3)x=1. (4)x=
-
7.
3.解:(1)2x
-
5=1,两
( http: / / www.21cnjy.com )边同时加上5,得2x=6,两边同时除以2,得x=3. (2)3
-
2x=9,两边同时减去3,得
-
2x=9
-
3,所以
-
2x=6,两边同时除以
-
2,得x=
-
3. (3)4x+3=15,两边同时减去3,得4x=15
-
3,所以4x=12,两边同时除以4,得x=3. (4)x
-
1=5,两边同时加上1,得x=5+1,所以x=6,两边同时除以,得x=10.
设“○”“△”“□”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示:
则下列图形正确的有 .
〔答案〕 (1)(2)
5.3 解一元一次方程
掌握解一元一次方程的基本方法,能够熟练地解一元一次方程.
通过一元一次方程解法及步骤的探究,体会化归思想,发展学生分析和解决问题的能力.
培养学生具体问题具体分析的态度.
【重点】 一元一次方程的解法.
【难点】 理解一元一次方程的一般形式和化归思想.
第课时
1.在理解等式的基本性质的基础上,通过移项、合并同类项的方法解一元一次方程.
2.知道如何把未知数的系数化为1.
借助于等式的基本性质探究一元一次方程的基本解法.
培养学生的实事求是的科学态度.
【重点】 通过移项和合并同类项解一元一次方程.
【难点】 初步体验把方程化为ax=b(a≠0,a,b是已知数)的一般形式.
【教师准备】 预设学生在解方程过程中的学习难点.
【学生准备】 复习等式的基本性质.
导入一:
观察下列方程:
(1)x+7=4;
(2)x
-
8=
-
3x;
(3)3x+4=
-
2x
-
6;
(4)2+x=x+1.
你会解上面的方程吗
【学生活动】 先观察方程的特征,分析解方程的方法.(学生解方程,教师巡视适时指导)
[设计意图] 让学生复习上节课的内容,为本课时的学习作铺垫.体会等式的基本性质在解方程的过程中的作用.21
cnjy
com
导入二:
运用等式的基本性质解下列方程.
(1)x+2=1;
解:两边都减去2,得x+2
-
2=1
-
2,
合并同类项,得x=
-
1.
等式的基本性质1:等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.
(2)3x=
-
6;
解:两边都除以3,得,
即x=
-
2.
等式的基本性质2:等式两边都乘或除以同一个数(除数不等于0),所得结果仍是等式.
(3)2x=5x
-
21.
解:两边都减去5x,得2x
-
5x=
-
21,
合并同类项,得
-
3x=
-
21,
系数化为1,得x=7.
2x=5x
-
21和2x
-
5x=
-
21各项是怎样变化的 今天我们就来学习用移项法解一元一次方程(揭示课题).
[设计意图] 通过复习等式的基本性质,让学生利用等式的基本性质完成(3),从(3)中发现移项的特点,从而引入到本课时的教学中.
[过渡语] 我们已经学习了等式的基本性质,怎样运用等式的这些性质去解一元一次方程呢
思路一
解下列方程:
(1)5x=4x
-
6; (2)3x
-
2=2x+5.
思考:解方程的基本依据是什么 为什么要移项和合并同类项
解:(1)移项,得5x
-
4x=
-
6.
合并同类项,得x=
-
6.
(2)移项,得3x
-
2x=5+2.
合并同类项,得x=7.
解下列方程:
(1)5x
-
2=2x
-
10; (2)x=x+1.
思考:例2的两个方程和例1的两个方程有什么不同 (移项后,未知数的系数不为1.)
解:(1)移项,得5x
-
2x=
-
10+2.
合并同类项,得3x=
-
8.
将x的系数化为1,得x=
-
.
(2)移项,得x
-
x=1.
合并同类项,得
-
x=1.
将x的系数化为1,得x=
-
3.
思考总结:解一元一次方程的基本步骤是什么
(1)移项;
(2)合并同类项;
(3)化归.一般地,对于形如ax=b(a≠0,a,b是已知数)的一元一次方程,方程两边同除以a,得到方程的解是x=.
思路二
(补充例1)解方程:3x+20=4x
-
25.
问题1:怎样解这个方程 它与上节课遇到的方程有何不同
学生讨论后发现:方程的两边都有含x的项(3x和4x)和不含字母的常数项(20与
-
25).
问题2:怎样才能使它向x=a的形式转化呢
学生思考、探索:为使方程的右边没有含x的项,等号两边同时减去4x,为使方程的左边没有常数项,等号两边同时减去20.
3x
-
4x=
-
25
-
20.
说明:上面的变形,相当于把原方程左边的20变为
-
20移到右边,把右边的4x变为
-
4x移到左边.
问题3:以上变形的依据是什么
等式的基本性质1.
归纳:像上面那样把等式一边
( http: / / www.21cnjy.com )的某项变号后移到另一边,叫做移项.它的实质就是运用等式的基本性质1,在方程的两边加(或减)同一个数(或整式),使方程含有未知数的项位于方程的一边(通常为左边),不含有未知数的项位于方程的另一边(通常为右边),使方程更接近于“x=a”的形式.从表示上看,相当于把方程中的某些项改变符号后移动到方程的另一边,所以称为移项.
师生共同完成解答过程.
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问题4:以上解方程中“移项”起了什么作用
学生讨论、回答,师生共同整理:
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程的左右两边,使方程更接近于x=a的形式.
[设计意图] 进一步渗透模型化的思想,引发学生认知上的冲突,寻求解决途径,感受解决问题的方法与思路.
(补充例2) 解下列方程:
(1)3x+7=32
-
2x; (2)x
-
3=x+1.
分析:怎样解这个方程 如何使它向x=a转化
学生讨论交流,然后回答,教师归纳补充.
说明:师生配合完成,教师要向学
( http: / / www.21cnjy.com )生讲明,利用等式的基本性质将方程进行变形,使方程左边只剩下含有未知数的项,右边只含有常数项,然后系数化为1,向x=a的形式进行转化.要让学生体验这种化归思想,为进一步学习更复杂的解方程作准备.
解:(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
请同学们根据上面的框图完成(2)的解答过程.
解:(2)移项,得x
-
x=1+3.
合并同类项,得
-
x=4.
系数化为1,得x=
-
8.
[设计意图] 通过对解方程的方法进一步探究,使学生感受转化思想,能够解形如ax+b=cx+d的方程.
[知识拓展] 方程中任何一项都可以移项,移项
( http: / / www.21cnjy.com )法则是移项变号,不变号则不能移项.通常把含有未知数的项移到方程的左边,把不含未知数的项(即常数项)移到方程的右边,这样做便于合并同类项,使方程变成ax=b(a,b为常数,且a≠0)的形式,再把x的系数化为1就可得到方程的解.
移项是解方程的重要变形,一般把含有未
( http: / / www.21cnjy.com )知数的各项移到同一边(通常移到左边),而把常数项移到另一边(通常移到右边),不管是从左边到右边,还是从右边到左边,注意移项要变号.
一般地,对于形如ax=b(a≠0,a,b是已知数)的一元一次方程,方程两边同除以a,得到方程的解是x=.
1.(2015·梧州中考)一元一次方程4x+1=0的解是
( )
A. B.
-
C.4 D.
-
4
解析:移项,得4x=
-
1,两边同除以4,得x=
-
.故选B.
2.对方程8x+6x
-
10x=8进行合并,下列表示正确的是
( )
A.3x=8
B.4x=8
C.8x=8
D.2x=8
解析:因为8x+6x
-
10x=8,所以(8+6
-
10)x=8,即4x=8.故选B.
3.下列变形属于移项的是
( )
A.由3x+2
-
2x=5,得3x
-
2x+2=5
B.由3x+2x=1,得5x=1
C.由2(x
-
1)=3,得2x
-
2=3
D.由9x+5=
-
3,得9x=
-
3
-
5
解析:根据解一元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )时,将含未知数的项移到一边,常数项移到另一边,且移项要变号,判断即可得到结果.A.由3x+2
-
2x=5,移项得3x
-
2x=5
-
2,本选项错误;B.由3x+2x=1,合并同类项得5x=1,本选项错误;C.由2(x
-
1)=3,去括号得2x
-
2=3,本选项错误;D.由9x+5=
-
3,移项得9x=
-
3
-
5,本选项正确.故选D.【来源：21·世纪·教育·网】
4.解方程.
(1)3x+5=5x
-
7;
(2)x+=5x
-
3.
解:(1)移项,得3x
( http: / / www.21cnjy.com )-
5x=
-
7
-
5,合并同类项,得
-
2x=
-
12,系数化为1,得x=6. (2)移项,得x
-
5x=
-
-
3,合并同类项,得
-
x=
-
,系数化为1,得x=.
第1课时
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第153页练习第1题.
【选做题】
教材第153页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.解方程移项变形的根据是
( )
A.加法交换律 B.加法结合律
C.合并同类项
D.等式的基本性质
2.对方程4x
-
5=6x
-
7
-
3x进行变形正确的是
( )
A.4x=6x+5+7
-
3x
B.4x
-
6x+3x=5
-
7
C.4x
-
6x
-
3x=5
-
7
D.4x
-
6x+3x=
-
5
-
7
3.已知方程x
-
2=0,则下列方程的解与它的相同的是
( )
A.x=
-
2
B.x+2=0
C.2(x
-
2)=0
D.
-
x=2
4.解方程4x
-
2=3
-
x的过程顺序是
( )
①合并同类项,得5x=5;②移项,得4x+x=3+2;③系数化为1,得x=1.
A.①②③
B.③②①
C.②①③
D.③①②
5.当x为何值时,5x与8+3x的值分别满足下列条件
(1)相等; (2)互为相反数.
【能力提升】
6.如果xa+2y3与
-
3x3y2b
-
1是同类项,那么a,b的值分别是
( )
A.1,2 B.0,2 C.2,1 D.1,1
7.下列各式正确的是
( )
A.
-
3x+x=(
-
3
-
1)x
B.0.1x
-
0.1x=0
C.0.1x
-
0.9x=
-
x
D.
-
x
-
2x
-
5x=(
-
2
-
5)x=
-
7x
8.下列变形中属于移项的是
( )
A.由5x
-
7y=2,得
-
2
-
7y+5x
B.由6x
-
3=x+4,得6x
-
3=4+x
C.由8
-
x=x
-
5,得
-
x
-
x=
-
5
-
8
D.由x+9=3x
-
1,得3x
-
1=x+9
9.如果方程2x+1=
-
3与x+a=2x+3的解相同,那么a10= .
10.已知关于x的方程2x+1=a和2x+2=0的解相同,求a2
-
的值.
【拓展探究】
11.小明在解方程5a
-
x=13(x为未知数)时,误将
-
x看作+x,解方程得x=
-
2,则原方程的解为
( )21·cn·jy·com
A.x=
-
3 B.x=0 C.x=2 D.x=1
12.对有理数a,b规定运算※的意义是a※b=2a
-
b,则方程3x※4=2的解是 .
13.把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,那么剩余20本,如果每人分4本,那么还缺25本,这个班有多少名学生
【答案与解析】
1.D(解析:移项变形要注意与原式是不是恒等的,移项变形的依据是在等号两边同加或同减同一个整式,也就是等式的基本性质.)
2.B(解析:注意移项要变号.)
3.C(解析:方程x
-
2=0的解为x=2,方程2(x
-
2)=0的解也为x=2.故选C.)
4.C(解析:观察方程特点:不含分母
( http: / / www.21cnjy.com ),没有括号.故解答过程只需要:移项,合并同类项,系数化为1.根据解方程的步骤:先移项,再合并同类项,最后系数化为1.故选C.)
5.解:(1)由题意可知5x=8+3x
( http: / / www.21cnjy.com ),5x
-
3x=8,x=4.所以当x=4时,5x与8+3x的值相等. (2)由题意可知8+3x=
-
5x,8x=
-
8,x=
-
1.所以当x=
-
1时,5x与8+3x的值互为相反数.
6.A(解析:已知两个单项式是同类项,也
( http: / / www.21cnjy.com )就是x的指数相同,y的指数也相同,于是可得方程a+2=3,2b
-
1=3,所以a=1,b=2.故选A.)
7.B(解析:A中
-
3x+x=(
-
3+1)x,错;C中0.1x
-
0.9x=(0.1
-
0.9)x=
-
0.8x,错;D中
-
x
-
2x
-
5x=(
-
1
-
2
-
5)x=
-
8x,错.)
8.C(解析:根据移项的定义,移项是从方程的
( http: / / www.21cnjy.com )一边移到方程的另一边,注意改变符号作答.A.5x
-
7y=2是等式,
-
2
-
7y+5x是代数式,不属于移项;B.由6x
-
3=x+4,得6x
-
3=4+x,等号右边运用了加法的交换律,不属于移项;C.属于移项;D.运用了等式的对称性,不属于移项.故选C.)
9.1(解析:把2x+1=
-
3的解x=
-
2代入x+a=2x+3,得关于a的一元一次方程
-
2+a=
-
4+3,解得a=1.则a10=1.)
10.解:因为它们的解相同,所以=
-
1,a
-
1=
-
2,a=
-
1.a2
-
=(
-
1)2
-
=1
-
1=0.
11.C(解析:由x=
-
2是方程5a+x=13的解,得a=3,再解方程15
-
x=13,得x=2.故选C.)
12.x=1(解析:3x※4=2×3x
-
4,所以方程为2×3x
-
4=2,6x
-
4=2,x=1.)
13.解:设这个班有x名学生,根据
( http: / / www.21cnjy.com )题意,得3x+20=4x
-
25,移项,得3x
-
4x=
-
25
-
20,合并同类项,得
-
x=
-
45,系数化为1,得x=45.即这个班有45名学生.
引导学生发现和总结移项法则.
( http: / / www.21cnjy.com )让学生体会新知识的学习与事物的发展变化总是由易到难相一致,而解决新问题的方法往往是化“新”为“旧”,这样一个研究数学的方法,会对以后的数学学习在思维方式、解决问题的策略等方面给予启发和帮助,明确学习移项法则的必要性.
在解题过程中出现“移项”与“项的换序”混淆、合并同类项中出现符号出错以及系数化为1时系数为分数易出错等问题.
将学生分成两人一组,一个出题,另一个解答,利用了学生好胜的心理,增加学生解答的趣味性,从而提高学生的学习效率.
练习(教材第153页)
1.解:(1)不正确.移项要变号.正确为:由x
-
2=6,得x=6+2. (2)正确.
2.解:(1)移项,得x=4
-
7;合并同类项,得x=
-
3.
(2)移项,得x+3x=8;合并同类项,得4
( http: / / www.21cnjy.com )x=8;系数化为1,得x=2. (3)移项,得3x+2x=
-
6
-
4;合并同类项,得5x=
-
10;系数化为1,得x=
-
2. (4)移项,得x
-
x=1
-
2;合并同类项,得
-
x=
-
1;系数化为1,得x=.
习题(教材第153页)
A组
1.提示:(1)x=. (2)x=
-
. (3)x=
-
13.
(4)x=25. (5)x=1. (6)x=5.【版权所有：21教育】
2.提示:(1)x=
-
. (2)x=9.
B组
1.解:由题意得2a
-
8=20,解这个方程,得a=14,所以当a=14时,代数式2a
-
8的值等于20.
2.解:设最小的数为x,由题意得x+2x+4x=84.解这个方程,得x=12,4x=4×12=48.即这三个数中最大的数为48.21教育名师原创作品
解一元一次方程的常见错误
1.同解变形不同解
下列结论中正确的是
( )
A.在等式3a
-
6=3b+5的两边都除以3,可得等式a
-
2=b+5
B.在等式7x=5x+3的两边都减去x
-
3,可以得等式6x
-
3=4x+6
C.在等式
-
5=0.1x的两边都除以0.1,可以得等式x=
-
0.5
D.如果
-
2=x,那么x=
-
2
〔解析〕 方程同解变形的理论依据:一为数的
( http: / / www.21cnjy.com )运算法则、运算性质;二为等式的性质,通常都用后者.性质中的关键词是“两边都”和“同一个”,即对等式变形必须两边同时进行加或减或乘或除以,不可漏掉一边、一项,并且加、减、乘或除以的数(或整式)完全相同.选项A错误,原因是没有将“等号”右边的每一项都除以3;选项B错误,原因是左边减去x
-
3时,应写作“
-
(x
-
3)”而不是“
-
x
-
3”,这里有一个去括号的问题;选项C错误,原因是思维跳跃短路,一边记着是除以而到另一边变为乘了,对一般像这样小数的除法可以运用有理数运算法则变成乘其倒数较为简便;选项D正确,这恰好是等式的对称性,即a=b b=a.故选D.
2.移项时忘了变号
解方程20
-
3x=5,移项后正确的是
( )
A.
-
3x=5+20 B.20
-
5=3x
C.3x=5
-
20
D.
-
3x=
-
5
-
20
〔解析〕 解方程的“移项”步骤,其实质就是在
( http: / / www.21cnjy.com )“等式的两边同加或减同一个数或整式”,运用该性质且化简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边,简单概括就成了“移项”步骤,此外最易错的就是“变号”的问题,如此题选项A,C,D均出错在此处.解决这类易错点的办法是记牢移项过程中的符号法则,操作此步骤时就予以关注;或明晰其原理,移项就是两边同加或减该项的相反数,使该项原来所在的这边不再含该项——即代数和为0.故选B.www.21-cn-jy.com
第课时
1.使学生掌握去括号的方法步骤.
2.会把实际问题建成数学模型,会用去分母的方法解一元一次方程.
通过列方程解决问题,让学生逐步建立方程思想;通过去分母解方程,让学生了解数学中的化归思想.
增强数学的应用意识,激发学习数学的热情.
【重点】
1.去括号解方程.
2.会用去分母的方法解一元一次方程.
【难点】 灵活地解含括号与含分母的方程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习用移项法解一元一次方程的方法.
导入一:
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家
( http: / / www.21cnjy.com ),有一次有位数学家问他:“尊敬的毕达哥拉斯先生,请告诉我,有多少名学生在你的学校里听你讲课 ”毕达哥拉斯回答说:“我的学生,现在有在学习数学,在学习音乐,沉默无言,此外,还有三名妇女.”算一算:毕达哥拉斯的学生有多少名
如果设毕达哥拉斯的学生有x名.
根据题意得x+x+x+3=x.(教师板书)
通过解方程求出x的值,即可得到答案.
【师生活动】 让大家观察这个方程同上一课时学习的方程有什么不同,尝试解这个方程.
学生发现:这个方程含有分数系数,但同样可以用移项、合并同类项的方法来解,只不过合并起来要通分,计算量较大.
师生探讨:那有什么办法避免繁琐的通分、合并吗 这节课我们就来共同研究这种含有分数系数的一元一次方程的解法.板书课题:第2课时.
[设计意图] 用数学小故事引入新知,激发学生
( http: / / www.21cnjy.com )的学习兴趣,让学生自然地展开对含有分数系数的一元一次方程的学习.利用列方程解决实际问题,让学生感受方程的优越性,提高学生主动使用方程的意识.通过设问,让学生发现问题,把学生引入探究新解法的情境,自然地引入本课时的课题——用去分母法解一元一次方程.
导入二:
学生完成下列两组习题:
1.去括号.
(1)x
-
(x
-
4);
(2)8
-
2(x
-
7);
(3)4(x+0.5).
2.解方程.
(1)x+4=2
-
x;
(2)3x=8+2x
-
6.
(两同学板演,其余同学在练习本上自主完成解题,教师巡视并随时指导.)
从简单到复杂,巩固所学的解方程知识,为去括号做铺垫,并让学生回忆解一元一次方程的基本步骤:
①移项;
②合并同类项;
③未知数的系数化为1.
[设计意图] 通过复习去括号和前面学过的解方程导入新课,让学生重温旧知识,为本课时的学习做准备.
[过渡语] 同学们会解下面两个方程吗
(1)3(x
-
1)=9;
(2).
(教材例3)解方程:6(2x
-
5)+20=4(1
-
2x).
思路一
解:去括号,得12x
-
30+20=4
-
8x.
移项,得12x+8x=4+30
-
20.
合并同类项,得20x=14.
两边同除以20,得x=.
思考:方程中含有括号时,一般应该怎样做 (先去括号.)
思路二
师:观察方程,它与前几节课所学的方程有何不同 怎样解这个方程
生观察,讨论.
师引导学生说出:只要将它化成与前几节课所学的方程相同的形式就可以解,即去括号.然后师生共同回忆去括号的方法.
师用多媒体课件展示框图的解答过程,然后让学生和前边解方程的过程对比,使学生温故而知新,“现在比原来多了一步——去括号”.
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
(教材例4)解方程:.
解:去分母,得2(x
-
1)
-
(x
-
2)=3(4
-
x).
去括号,得2x
-
2
-
x+2=12
-
3x.
移项,合并同类项,得4x=12.
两边同除以4,得x=3.
思考:解方程在去括号的过程中要注意什么 (括号前面是“
-
”时,去括号后,括号内的每一项都要改变符号.)
总结:解一元一次方程的步骤,一般是:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项(化为ax=b的形式,其中a≠0,a,b是已知数);
(5)将未知数的系数化为1(化为x=c的形式).
[知识拓展] 去括号法则的
( http: / / www.21cnjy.com )依据是乘法分配律,以及有理数乘法法则.如果括号外面与括号内相乘的数不等于1,去括号时注意用括号外面的数乘括号内的每一个数,同时注意每一个乘积的符号以及乘积的绝对值.
1.解方程实际上就是将一个
( http: / / www.21cnjy.com )复杂的方程,利用等式的性质和其他法则等逐步转化,最后变成x=a的形式,其中x=a既是方程,又是方程的解,去括号的主要理论依据是乘法分配律和有理数乘法法则.计算时,把每一项前的符号与这项作为一个整体,再相乘,并去括号.
2.解一元一次方程的一般步骤:
方程变形名称
具体做法
注意事项
去分母
方程两边同乘分母的最小公倍数
不含分母的项也要乘,分子要用括号括起来
去括号
利用乘法分配律去括号,括号前是正数,去括号后,括号内各项都不变号;括号前是负数,去括号后,括号内各项都变号
不要漏乘括号内的项,符号不要弄错
移项
把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边
移项一定要变号,不移不变
合并同类项
把方程化为ax=b(a≠0)的形式
把未知数的系数相加减,未知数不变;把常数项相加减
系数化为1
在方程的两边同除以未知数的系数
由ax=b到x=,a在方程右边作分母,不要把分子、分母弄颠倒
1.解方程3
-
4(x+2)=x,去括号正确的是
( )
A.3
-
x+2=x B.3
-
4x
-
8=x
C.3
-
4x+8=x
D.3
-
x
-
2=x
解析:方程去括号得3
-
4x
-
8=x.故选B.
2.在解方程=1时,下列变形正确的是
( )
A.=10
B.=10
C.=1
D.=1
解析:分数的分母化为整数,根据分数的基本性质,分数的分子和分母都扩大到原来的10倍,得到=1.故选D.
3.(2015·济南中考)若代数式4x
-
5与的值相等,则x的值是
( )
A.1 B. C. D.2
解析:4x
-
5=,去分母得8x
-
10=2x
-
1,移项、合并同类项得6x=9,系数化为1得x=.故选B.
4.(1)(2015·广州中考)解方程:5x=3(x
-
4);
(2)解方程:=1.
解:(1)去括号,得5x=3x
-
12.移项,得5x
-
3x=
-
12.合并同类项,得2x=
-
12.系数化为1,得x=
-
6. (2)去分母,得3(2x
-
1)
-
2(x+1)=6.去括号,得6x
-
3
-
2x
-
2=6.移项、合并同类项,得4x=11.系数化为1,得x=.
第2课时
例1
例2
解一元一次方程的一般步骤
一、教材作业
【必做题】
教材第155页练习第1,2题.
【选做题】
教材第155页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.将方程3
-
去分母时,方程两边应同时乘
( )
A.4 B.6 C.8 D.12
2.(2015·大连中考)方程3x+2(1
-
x)=4的解是
( )
A.x=
B.x=
C.x=2
D.x=1
3.关于x的方程
-
3(a+x)=a
-
2(x
-
a)的解为x=
-
1,则a的值为
( )
A.6
B.
C.
-
6
D.
-
4.当y= 时,的值与
-
的相反数相等.
5.解方程.
(1)4x
-
3(20
-
x)=6x
-
7(9
-
x);
(2).
【能力提升】
6.把方程=1
-
去分母后,正确的结果是
( )
A.2x
-
1=1
-
(3
-
x)
B.2(2x
-
1)=1
-
(3
-
x)
C.2(2x
-
1)=8
-
3
-
x
D.2(2x
-
1)=8
-
(3
-
x)
7.关于x的方程2
-
=0的解与2x+1=3的解相同,则a的值为
( )
A.7
B.0
C.3
D.5
8.下列两个方程的解相同的是
( )
A.方程5x+3=6与方程2x=4
B.方程3x=x+1与方程2x=4x
-
1
C.方程x+=0与方程=0
D.方程6x
-
3(5x
-
2)=5与6x
-
15x=3
9.解方程:=1.
10.当m为何值时,代数式的值比代数式的值小1
【拓展探究】
11.某书中一道方程题+1=x, 处印刷时被墨盖住了,查看后面的答案得知这道题的解为x=
-
2.5,那么 处的数字为 .
12.观察方程=2x+1的特点,你有好的解法吗 写出你的解法.
13.王明在解方程
-
2去分母时,方程右边的
-
2没有乘3,因而求得方程的解为x=
-
1,求m的值,并正确地解方程.
【答案与解析】
1.A(解析:找出方程中各分母的最小公倍数即可得到结果.方程去分母时两边同时乘4.)
2.C(解析:去括号得3x+2
-
2x=4,移项、合并同类项得x=2.)
3.B(解析:把x=
-
1代入原方程,得
-
3(a
-
1)=a
-
2(
-
1
-
a),解得a=.)
4.3(解析:由题意知,解得y=3.)
5.解:(1)去括号,得4x
-
60+3x=6x
-
63+7x.移项,得4x+3x
-
6x
-
7x=
-
63+60.合并同类项,得
-
6x=
-
3.系数化为1,得x=. (2)去分母,得5(2y
-
1)=4(3y+1).去括号,得10y
-
5=12y+4.移项、合并同类项,得
-
2y=9.系数化为1,得y=
-
.21·世纪
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6.D(解析:去分母的方法是方程左
( http: / / www.21cnjy.com )右两边同时乘分母的最小公倍数,注意分数线起括号的作用,并注意不能漏乘.方程左右两边同时乘8,得2(2x
-
1)=8
-
(3
-
x).)
7.A(解析:2x+1=3的解为x=1,然后代入2
-
=0中求得a.)
8.B(解析:选项A中的方程5x+
( http: / / www.21cnjy.com )3=6,解得x=,方程2x=4的解为x=2;选项B中的方程3x=x+1,移项得3x
-
x=1,解得x=,方程2x=4x
-
1,移项得4x
-
2x=1,解得x=;选项C中的方程x+=0,解得x=
-
,方程=0,即x+1=0,解得x=
-
1;选项D中的方程6x
-
3(5x
-
2)=5,去括号得6x
-
15x+6=5,移项得6x
-
15x=5
-
6,解得x=,方程6x
-
15x=3,整理得
-
9x=3,解得x=
-
.综上所述,两个方程的解相同的是B.)
9.解:原方程可化为=1.去
( http: / / www.21cnjy.com )分母,得2(1+2x)
-
3(10
-
3x)=6,去括号,得2+4x
-
30+9x=6,移项,得4x+9x=6+30
-
2,合并同类项,得13x=34,系数化为1,得x=.
10.解:根据题意得=1.去分母
( http: / / www.21cnjy.com ),得5(3+2m)
-
3(m+3)=15.去括号,得15+10m
-
3m
-
9=15.移项、合并同类项,得7m=9.系数化为1,得m=.
11.5(解析:把x=
-
2.5代入方程,解得 =5.)
12.解:去中括号得(x
-
4)
-
4=2x+1.去小括号,得x
-
4
-
4=2x+1.移项,得x
-
2x=1+4+4.合并同类项,得
-
x=9.系数化为1,得x=
-
9.
13.解:由题意可知方程2x
-
1
( http: / / www.21cnjy.com )=x+m
-
2的解为x=
-
1,所以2×(
-
1)
-
1=
-
1+m
-
2,解得m=0,把m=0代入方程
-
2,得
-
2,2x
-
1=x
-
6,所以x=
-
5.
在前面的学习中,学生已学习了合并同
( http: / / www.21cnjy.com )类项、去括号等整式运算内容.解一元一次方程就成为承上启下的重要内容.因此,它既是重点也是难点.本课时基于对学情的分析,充分借助学生以往的知识,做到了知识的有效衔接,并通过创设新颖的问题情境,以引导法为主,辅之以直观演示法、讨论法,向学生提供充分从事数学活动的机会,激发学生的学习积极性,使学生主动参与学习的全过程.
学生容易出现下列错误:不会找各分母的最小公倍数;用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时,漏乘不含分母的项.
在训练上可以采取多种方式呈现,如判断
( http: / / www.21cnjy.com )题、辨析题、选择题等,让学生通过各种方式达到提高能力的目的.对于分母是小数的一元一次方程,教师可举例作为例题来讲解,在这时让学生体会去分母的方法.不要局限于教材上的例题,要有创造性,要让学生通过对比了解其特点,掌握其方法.
练习(教材第155页)
1.解:(1)不正确.3
-
(1
-
2x)=6,3
-
1+2x=6,2x=4,x=2. (2)不正确.
-
1=,2x+1
-
4=3x+2,2x
-
3x=2+4
-
1,
-
x=5,x=
-
5.
2.提示:(1)x=4. (2)x=. (3)y=13. (4)x=2.
3.解:(1)由题意得3
( http: / / www.21cnjy.com )(2
-
x)=2(3+x),解这个方程,得x=0. (2)由题意得5(x+2)+3=2(1
-
3x),解这个方程,得x=
-
1.
习题(教材第155页)
A组
1.解:(1)不对.正确为
( http: / / www.21cnjy.com ):2(x
-
1)
-
(5x+2)=4. (2)不对.正确为:4(2x
-
1)
-
3(5x+2)=12. (3)不对.正确为:4(1
-
x)
-
(9x+5)=0.
2.提示:(1)x=
-
. (2)x=14. (3)x=
-
.
(4)x=10. (5)x=. (6)x=3.
B组
1.提示:(1)b=9. (2)h=6.
2.提示:a=.
解一元一次方程的常见错误
1.移项没有改变符号
解方程:10+9x=9+10x.
错解:移项,得9x+10x=9+10,合并同类项,得19x=19,解得x=1.
〔易错辨析〕 根据移项法则,方程中10x和10从方程的一边移到另一边应改变符号.
正解:移项,得9x
-
10x=9
-
10,合并同类项,得
-
x=
-
1,系数化为1,得x=1.
2.去分母时漏乘不含分母的项
解方程:+2=.
错解:去分母,得3x
-
2+2=x+6,移项、合并同类项,得2x=6,系数化为1,得x=3.
〔易错辨析〕 去分母时,方程两边都乘5,而2这一项漏乘了5.
正解:去分母,得3x
-
2+10=x+6,移项、合并同类项,得2x=
-
2,系数化为1,得x=
-
1.
3.去括号时错用乘法的分配律
解方程:8x
-
2(1
-
x)=7x
-
3(x
-
1).
错解:去括号,得8x
-
2
-
x=7x
-
3x
-
3,移项、合并同类项,得3x=
-
1,系数化为1,得x=
-
.
〔易错辨析〕 用乘法分配律时,方程左边
-
2(1
-
x)=
-
2+2x,右边
-
3(x
-
1)=
-
3x+3.
正解:去括号,得8x
-
2+2x=7x
-
3x+3,移项、合并同类项,得6x=5,系数化为1,得x=.
4.去分母时,忽略分数线的括号作用
解方程:=1.
错解:去分母,得4(x+1)
-
4
-
3x=8,去括号,得4x+4
-
4
-
3x=8,合并同类项,得x=8.
〔易错辨析〕 分子4
-
3x是一个整体,在去分母时应加上括号.
正解:去分母,得4(x+1)
-
(4
-
3x)=8,去括号,得4x+4
-
4+3x=8,合并同类项,得7x=8,系数化为1,得x=.
5.4 一元一次方程的应用
1.会列一元一次方程解决实际问题.
2.能根据实际问题的意义,检验结果的合理性.
经历应用一元一次方程解决实际问题的过程,帮助学生提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
通过一元一次方程解决实际问题,进一步体会方程这一数学模型的重要作用,增强数学的应用意识.
【重点】 列一元一次方程解决实际问题.
【难点】 体会和形成方程这一数学模型的思想.
第课时
1.会用多种方式表示问题中的各种量.
2.根据数量关系建立方程.
3.根据“各分量之和=总量”建立数量关系.
在教师的引导下,通过学生的参与和思考完成解决问题的过程.
增强数学应用意识.
【重点】 根据数量关系(各分量之和=总量)列出方程.
【难点】 确定方程的解的实际意义,体会列不同的方程解决同一问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习解一元一次方程的基本步骤.
导入一:
解方程.
(1)6(x
-
3)=
-
2(x
-
4)+1;
(2)
-
2(10
-
0.5y)=4(1.5y+2);
(3)=1;
(4)x
-
.
[设计意图] 通过练习,起到复习旧知识的作用,同时检验上一节课的学习效果,为本节课进一步学习起到一个基石的作用.2·1·c·n·j·y
导入二:
在一条公路施工中,需要修一条长为
( http: / / www.21cnjy.com )1200
m的隧道,由甲、乙两个施工队从两端同时施工.甲队每天挖4
m,乙队每天挖6
m,多少天能打通这条隧道
[设计意图] 通过教材中的练习唤起学生解决问题的愿望,为本课时的学习进行思想动员.
[过渡语] 一元一次方程是重要的数学模型之一.利用等量关系建立一元一次方程,可以方便地解决许多实际问题.
活动1 体验根据代数式列方程
某学校七年级同学参加一次公益活动,
( http: / / www.21cnjy.com )其中15%的同学去作保护环境的宣传,剩下的170名同学去植树、种草.七年级共有多少名同学参加这次公益活动
请你思考小红和小华的做法,并提出自己的见解与同学交流.
小红的做法:
解:设七年级共有x名同学参加这次公益活动,那么作环境保护宣传的同学有15%x名.
根据题意,得15%x+170=x.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加这次公益活动.
追问:
(1)问题总的等量关系是什么 (总量=各分量之和.)
(2)如果不用方程怎样去解决这个问题 (170÷(1
-
15%).)
(3)设未知数的用意是什么 (建立方程去解决问题.)
小华的做法:
解:设七年级共有x名同学参加这次公益活动,那么作保护环境宣传的同学有(x
-
170)名.
根据题意,得15%x=x
-
170.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加这次公益活动.
追问:
(1)你认为小红和小华的做法正确吗 方程15%x+170=x与15%x=x
-
170有怎样的联系
(都正确.15%x+170=x与15%x=x
-
170是从不同思考角度提出的,从方程的角度看是移项的结果.)
(2)如果仍设七年级共有x名同学参加这次公益活动,请解释方程“85%x=170”所表示的意义.
(“85%x=170”的左右两边都是“剩下的去植树、种草的同学数”,是同一个量的两种表现形式.)
活动2 例题讲解
(教材例1)大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷.其中,大拖拉机耕地的面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷.这两台拖拉机一天各耕地多少公顷
〔解析〕 寻找等量关系是列方程的基础
( http: / / www.21cnjy.com )和前提,本题中等量关系为:大拖拉机耕地面积+小拖拉机耕地面积=总耕地面积,① 大拖拉机耕地面积=小拖拉机耕地面积×2+1.②
解:设小拖拉机一天耕地x公顷,则大拖拉机一天耕地(2x+1)公顷.
根据题意,得x+(2x+1)=19.
解得x=6.
从而有2x+1=13.
答:大拖拉机一天耕地13公顷,小拖拉机一天耕地6公顷.
追问:
(1)如果设小拖拉机一天耕地x公顷
( http: / / www.21cnjy.com ),那么能由等式①得到大拖拉机一天的耕地面积,进而列出方程求得x吗 谈谈你的认识和做法.(19
-
x=2x+1.) 21
cnjy
com
(2)在以上两个问题中,量与量之间都存在着怎样的关系式 (各分量之和=总量.)
[设计意图] 通过追问帮助学生理解同一问题可以用不同的方法解决,不同的思考会带来不同的问题模型.
[知识拓展] 在分析实际问题中复杂的数
( http: / / www.21cnjy.com )量关系时,可借助表格、图形帮助审题,准确地分析题意,探索已知量和未知量之间的数量关系,找出题中的等量关系,通过列一元一次方程解决实际问题.
各分量之和=总量是建立方程时重要的和差关系,同一个量可以有不同的代数表达式.
1.根据图提供的信息,可知一个杯子的价格是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.50元 B.35元 C.10元 D.8元
解析:设一个杯子的价格为x元,则一只暖壶的价格为(40
-
x)元,于是得方程3x+2(40
-
x)=90,解得x=10.故选C.
2.(2015·南充中考)学校机
( http: / / www.21cnjy.com )房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置的计算机数量是去年购置计算机数量的3倍,则今年购置计算机的数量是
( )
A.25台
B.50台
C.75台
D.100台
解析:设去年购置计算机x台,则3x+x=100,解得x=25.故今年购置计算机75台.故选C.
3.有一个两位数,它是合数,且十位上的数字与个位上的数字之和是8,符合这样条件的两位数有哪些
解:8=0+8=1+7=2+6=3+5=4+4,则符合这样条件的两位数有:80,26,62,35,44,共5个.
4.(2015·云南中考
( http: / / www.21cnjy.com ))为有效开展阳光体育活动,云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场比赛都要决出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.已知九年级一班在8场比赛中得到13分,则九年级一班胜、负场数分别是多少
解:设九年级一班胜x场,则负(8
-
x)场.由题意知2x+(8
-
x)=13,解得x=5,则8
-
x=8
-
5=3.即九年级一班胜5场,负3场.
第1课时
活动1 体验根据代数式列方程
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第159页练习第1,2题.
【选做题】
教材第160页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小明准备为希望工程捐款,他现在有20元,以后每月打算存10元,若设x月后他能捐出100元,则下列方程中能正确计算出x的是
( )
A.10x+20=100 B.10x
-
20=100
C.20
-
10x=100
D.20x+10=100
2.笼子里有一些鸡和兔,总共有32个头,106只脚,若设笼中有鸡x只,只列方程为
( )
A.2x+4(32
-
x)=106
B.2x
-
4(32
-
x)=106
C.4x+2(32
-
x)=106
D.2x+(32
-
x)=106
3.生产一批零件,某工人若每小时
( http: / / www.21cnjy.com )生产28个零件,在规定时间内还有15个不能完成,若每小时生产32个,则可以超额完成5个,则规定时间是
( )
A.3小时 B.4.5小时 C.4小时 D.5小时
4.(2015·嘉兴中考)公元前
( http: / / www.21cnjy.com )1700年的古埃及纸草书中,记载着一个数学问题:“它的全部,加上它的七分之一,其和等于19.”此问题中的“它”的值为 .
5.在甲地劳动的有27人,在乙地劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲地的人数为在乙地的人数的2倍,应调往甲、乙两地各多少人
【能力提升】
6.41人参加运土劳动,有30根扁担,要安排多少人抬,多少人挑,可以使扁担和人数相配不多不少 若设有x人挑土,则列出的方程是
( )
A.2x
-
(30
-
x)=41
B.+(41
-
x)=30
C.x+=30
D.30
-
x=41
-
x
7.亮亮同学买了80分邮票与1元邮票共花了16元,其中所买的1元邮票比80分邮票少了2枚,设买了80分邮票x枚,则可列方程为
( )
A.0.8x+(x
-
2)=16
B.0.8x+(x+2)=16
C.80x+(x
-
2)=16
D.80x+(x+2)=16
8.(2015·荆门中考
( http: / / www.21cnjy.com ))王大爷用280元买了甲、乙两种药材,甲种药材每千克20元,乙种药材每千克60元,且甲种药材比乙种药材多买了2千克.则甲种药材买了 千克.
9.(2015·宁德中考)为支
( http: / / www.21cnjy.com )持亚太地区国家基础设施建设,由中国倡议设立亚投行.截止2015年4月15日,亚投行意向创始成员国确定为57个.其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个,其余洲共5个,求亚洲和欧洲意向创始成员国各有多少个.
10.王阿姨和李奶奶一起去超市
( http: / / www.21cnjy.com )买菜,王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1
kg,共花12.8元,李奶奶买西红柿2
kg、茄子1.5
kg,共花15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元.
【拓展探究】
11.某渔场的甲仓库存鱼30吨,乙
( http: / / www.21cnjy.com )仓库存鱼40吨,要再往这两个仓库运送80吨鱼,使甲仓库的存鱼量为乙仓库的存鱼量的1.5倍,应往甲仓库和乙仓库分别运送多少吨鱼
12.在“为贫困山区的孩子送温暖”的活动
( http: / / www.21cnjy.com )中,要运76吨物资,有大、小两种汽车17辆,这些车一次恰好运完,要求大、小汽车各多少辆,你认为还需要什么条件 请你添加符合实际的条件,并列出方程求解.
13.某天,一水果个体户用90元钱从水果批发市场批发了苹果和香蕉共80
kg到菜市场去卖,苹果和香蕉这天的批发价和零售价如下表所示:
品名
苹果
香蕉
批发价(单位:元/
kg)
1
1.2
零售价(单位:元/
kg)
1.2
1.6
则他当天卖完这些苹果和香蕉能赚多少钱
【答案与解析】
1.A(解析:本题的等量关系为:小明现有的钱+存入的钱=小明可捐出的钱,对应方程为:10x+20=100.故选A.)2-1-c-n-j-y
2.A(解析:鸡有两只脚,兔有四只脚.)
3.D(解析:设规定时间为x小时,则28x+15=32x
-
5,解得x=5.)
4.(解析:可以直接设“它”的值
( http: / / www.21cnjy.com )为x,根据题意可建立等量关系列方程,从而解得所求的结果.设“它”的值为x,根据题意得x+x=19,解得x=,故“它”的值为.故填.)
5.解:设调往甲地x人,则调往乙地(2
( http: / / www.21cnjy.com )0
-
x)人.根据题意,得27+x=2[19+(20
-
x)],解这个方程,得x=17,所以20
-
x=3.即调往甲地17人,调往乙地3人.
6.C(解析:本题在运土过程中,挑土的是一人一根扁担,抬土的是两人一根扁担.)
7.A(解析:买了80分邮票x枚,因此80分邮票花了0.8x元,1元邮票花了(x
-
2)元,则有0.8x+(x
-
2)=16.)
8.5(解析:首先设出未知数,然后找出等
( http: / / www.21cnjy.com )量关系列出方程,最后求出方程的解即可.设甲种药材买了x千克,则乙种药材买了(x
-
2)千克,根据题意得20x+60(x
-
2)=280,解这个方程得x=5,所以甲种药材买了5千克.故填5.)
9.解:设欧洲有x个成员国,
( http: / / www.21cnjy.com )则亚洲有(2x
-
2)个成员国,根据题意,得x+2x
-
2+5=57,解得x=18,从而2x
-
2=34.即亚洲和欧洲意向创始成员国分别有34个、18个.
10.解:设每千克西红柿
( http: / / www.21cnjy.com )x元,则每千克茄子(12.8
-
4.2
-
x)元,由题意得2x+1.5(12.8
-
4.2
-
x)=15,2x+1.5(8.6
-
x)=15,2x
-
1.5x+1.5×8.6=15,0.5x=2.1,x=4.2.所以12.8
-
4.2
-
4.2=4.4(元).即每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元.
11.解:本题的相等关系可表示为:运送后
( http: / / www.21cnjy.com )甲仓库的存鱼量=乙仓库的存鱼量×1.5.设运送到甲仓库的鱼为x吨,则运送到乙仓库的鱼为(80
-
x)吨,即运送后甲仓库有鱼(30+x)吨,运送后乙仓库有鱼[40+(80
-
x)]吨.依题意,得30+x=[40+(80
-
x)]×1.5,解得x=60,则80
-
x=20.即运送到甲仓库的鱼为60吨,运送到乙仓库的鱼为20吨.
12.解:答案不唯一,符合实际即可,如
( http: / / www.21cnjy.com ):添上“大汽车的载重量为5吨,小汽车的载重量为4吨”.设大汽车有x辆,则小汽车有(17
-
x)辆,依题意,得5x+4(17
-
x)=76,解得x=8,则17
-
x=9.即大汽车有8辆,小汽车有9辆.
13.解:设他卖了x
kg苹果.依题意
( http: / / www.21cnjy.com )得1×x+1.2(80
-
x)=90,解得x=30,30×1.2+(80
-
30)×1.6
-
90=36+80
-
90=26(元).即他当天卖完这些苹果和香蕉能赚26元.
本课时是初中阶段列方程解决问题的
( http: / / www.21cnjy.com )起始课,在教学的过程中渗透着帮助学生形成建立方程模型的数学思想,注重指导学生根据抽象等量关系列出方程,并注意提醒学生解决问题思路的多样性.
在“观察与思考”和“例1”的教学过程中,老师包办过多,应该给学生更多的思考和交流的机会.
“观察与思考”和“例1”先让学生尝试解决,总结交流后教师再进行点拨和指导.
练习(教材第159页)
1.解:设这个数为x.由题意得3x+x=6,解这个方程,得x=.即这个数为.
2.解:设仓库原有大米x
kg.由题意得x
-
25%x=37500,解这个方程,得x=50000.即仓库原有大米50000
kg.
3.解:设x天能打通这条隧道.由题意得4x+6x=1200,解这个方程,得x=120.即120天能打通这条隧道.
习题(教材第160页)
A组
1.解:设需要x
kg小麦.由题意得(1
-
15%)x=1000,解这个方程,得x=.即需要
kg小麦.
2.解:设需要这种药液x
kg,则需要水10x
kg.由题意得x+10x=110,解这个方程,得x=10.即需要10
kg这种药液.
3.解:设乙的速度为x
km/h.由题意得4×x,解这个方程,得x=16.即乙的速度为16
km/h.
B组
1.解:设两城间的路程是x
km.由题意得+20=,解这个方程,得x=240.即两城间的路程是240
km.
2.解:设沙包落在A区域得
( http: / / www.21cnjy.com )x分,则落在B区域得(34
-
3x)分.由题意得2x+2(34
-
3x)=32,解这个方程,得x=9,所以34
-
3x=34
-
3×9=7,所以9+3×7=30.即小敏的四次总分为30分.
某班将举行“法律知识竞赛”活动,班长安排小明购买奖品,下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境.
请根据图中的信息,试求两种笔记本各买了多少本.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 设单价为5元的笔记本买了
( http: / / www.21cnjy.com )x本,则单价为8元的笔记本买了(40
-
x)本.根据领了300元,找回68元,此时多找回13元,列出方程求解即可.
解:设单价为5元的笔记本买了x本,
则单价为8元的笔记本买了(40
-
x)本.
由题意得5x+8(40
-
x)=300+13
-
68,
解得x=25,则40
-
x=15.
即单价为5元的笔记本买了25本,单价为8元的笔记本买了15本.
第课时
1.继续深化理解“和与差”的基本数量关系.
2.继续深化理解“各分量之和=总量”的基本等量关系.
3.通过“线段图”分析题目中的数量关系,找出等量关系.
1.从生活实际出发,体会数量之间的一般关系.
2.体会如何用简单的数学知识解决复杂的数学问题.
增强数学应用意识,培养良好的思维习惯.
【重点】 继续通过“各分量之和=总量”的基本等量关系列方程解决问题.
【难点】 用“和与差”的关系理解工程问题和行程问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习解一元一次方程的基本步骤.
导入一:
你能用方程解决这个问题吗
甲、乙两人骑自行车,同时从相距54
km的两地相向而行,2
h后相遇.已知甲每小时比乙多走3
km,求甲、乙两人的速度.
[设计意图] 通过与本课时知识密切相关的问题,引发学生探求新知识的欲望,寻求学习新知识的契机.
导入二:
我国元朝数学家朱世杰于1299年编写的《算学启蒙》中有这样一个题目:良马日行240里,驽马日行150里,驽马先行12日,问驽马几何追及之
师:这道古题的含义是什么呢 如何解答这个问题呢
[设计意图] 让学生阅读“名
( http: / / www.21cnjy.com )人名言”可以使学生感受到实际问题可以用数学问题解决,通过提出古代数学问题可以调动学生的学习兴趣,提高学生的学习热情,激发学生的学习欲望.
活动1 试着做做
甲、乙两地间的路程为375
km.一辆
( http: / / www.21cnjy.com )轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90
km/h,公共汽车的平均速度为60
km/h.它们出发后多少小时在途中相遇
问题:
1.本题中的等量关系是什么
(轿车的行驶路程+公共汽车的行驶路程=甲、乙两地之间的距离.)
2.设两车出发后x
h相遇,请你解释下图的含义.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)线段示意甲、乙两地的路程;
(2)反向箭头示意相向而行:
(3)虚线位置示意相遇地点;
(4)左上的数字是轿车的行驶路程;
(5)右上的数字是公共汽车的行驶路程;
(6)中间数字375
km是全路程.
3.列出的方程是什么
(90x+60x=375.)
4.这个方程的解是多少
(x=2.5.)
补充例题:
小明早晨要在7:20以前赶到距家1000米
( http: / / www.21cnjy.com )的学校上学,一天,小明以80米/分的速度出发.5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带历史作业,于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多长时间
(2)追上小明时,距离学校还有多远
思考:
(1)当爸爸追上小明时,两人所行路程为 ,等量关系为 .
(2)你能用线段图表示出等量关系吗
(3)如果设爸爸追上小明用了x分钟,你能用代数式在线段图上表示出各部分么
活动2 例题讲解
(教材例2)一项工作,小李单独做需要6
h完成,小王单独做需要9
h完成.如果小李先做2
h后,再由两人合做,那么还需几小时才能完成
〔解析〕 借助于图示,可以帮助我们理清题中数量的等量关系.
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设两人合做x
h才能完成.
依题意,得×2+x=1.
解得x=.
答:还需两人合做
h才可完成这项工作.
[知识拓展] 培养学生利用简单图形分析问题,体会数形结合的数学思想在具体问题中的应用,有助于更好地学习数学的其他方面的知识.
有的问题由于比较复杂,各
( http: / / www.21cnjy.com )个量之间的关系不是很容易被理解,这个时候,借助于简单的图形,可以使问题中的各种量直观化和明晰化,从而使问题迎刃而解.
1.汽车以72千米/时的速度在公路上行驶,开
( http: / / www.21cnjy.com )向寂静的山谷,驾驶员按一下喇叭,4秒后听到回响,这时汽车离山谷多远 已知空气中声音的传播速度约为340米/秒.设听到回响时,汽车离山谷x米,根据题意,列出方程为
( )【出处：21教育名师】
A.2x+4×20=4×340
B.2x
-
4×72=4×340
C.2x+4×72=4×340
D.2x
-
4×20=4×340
解析:72千米/时=20米/秒
( http: / / www.21cnjy.com ).汽车4秒所走的路程为4×20米,而声音在空气中传播的路程为(2x+4×20)米,易知2x+4×20=4×340.故选A.
2.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时后相遇,已知甲比乙每小时多走2.5千米,则乙的速度为 千米/时.
解析:本题属于相遇问题,等量关系为:甲走
( http: / / www.21cnjy.com )的路程+乙走的路程=45,甲走的路程=甲的速度×甲用的时间,乙走的路程=乙的速度×乙用的时间.依此列出方程.设乙每小时骑x千米,甲每小时骑(x+2.5)千米,由题意列方程为(x+x+2.5)×2=45,解得x=10.故乙的速度为10千米/时.故填10.
3.一轮船在A,B两个码头之间航
( http: / / www.21cnjy.com )行,顺水航行时需8小时,逆水航行时需12小时,已知该船在静水中的航行速度为每小时20千米,求水流速度和A,B两个码头之间的距离.
解:设水流速度为x千米/时
( http: / / www.21cnjy.com ),根据题意得(20+x)×8=(20
-
x)×12,解得x=4,即水流速度为4千米/时,则A,B两个码头之间的距离为(20+x)×8=192(千米).
4.一件工程,甲独做需15天完成,乙
( http: / / www.21cnjy.com )独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,则乙还要几天才能完成全部工程
解:设工程总量为单位1,等量
( http: / / www.21cnjy.com )关系为:甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量.设乙还需x天完成全部工程,工作总量为单位1.则根据题意,得×3+=1,解这个方程,得x=6.即乙还需6天才能完成全部工程.
第2课时
活动1 试着做做
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第162页练习第1,2题.
【选做题】
教材第162页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(铜仁中考)小明从家里骑自行车到学校,
( http: / / www.21cnjy.com )每小时骑15千米,可早到10分钟,每小时骑12千米就会迟到5分钟.他家到学校的路程是多少千米 设他家到学校的路程是x千米,根据题意列出的方程是
( )
A. B.
C.
D.+10=
-
5
2.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行,小明每小时走4千米,3小时后两人相遇,设小刚的速度为x千米/时,列方程得
( )
A.4+3x=25.2
B.3×4+x=25.2
C.3(4+x)=25.2
D.3(x
-
4)=25.2
3.小强以5千米/时的速度先走16分钟,然后小明以13千米/时的速度追,则小明从出发到追上小强所需的时间为
( )
A.小时
B.10小时
C.小时
D.以上都不对
4.一项工程由甲队单独干18天完成,由乙队单独干9天完成,若两队合干需 天完成.
5.一轮船航行于两个码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时.已知水流速度为3千米/时,求该船在静水中的速度和两码头间的距离.
【能力提升】
6.加工1500个零件,甲单独做要12小时,乙单独做要15小时,若甲、乙两人合做要x小时,依题意可列方程为
( )
A.=1500
B.x=1500
C.12x+15x=1500
D.
7.甲、乙两地相距50千米,
( http: / / www.21cnjy.com )小明、小刚分别以6千米/时、4千米/时从甲、乙两地同时出发,小明领一只小狗以10千米/时奔向小刚,碰到小刚后奔向小明,碰到小明后奔向小刚……一直到两人相遇,小狗共跑了
( )
A.25千米 B.30千米 C.35千米 D.50千米
8.一列长90米的队伍以2米/秒的速度向前行进,队尾一位学生用1分钟从队尾赶到队首,这位同学的速度是 ,走的路程是 米.
9.(肇庆中考)顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游,到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1,到两地旅游的人数各是多少
10.京津城际铁路开通运营,预
( http: / / www.21cnjy.com )计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时,试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟,由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时,由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米,那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米
【拓展探究】
11.A,B两地相距450米,甲、乙
( http: / / www.21cnjy.com )两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车的速度为120千米/时,乙车的速度为80千米/时,经过t小时两车相距50千米,则t的值是
( )
A.2或2.5
B.2或10
C.10或12.5
D.2或12.5
12.某部队执行任务,以8千米/时
( http: / / www.21cnjy.com )的速度前进,通讯员在队尾接到命令,要把命令传给排头,然后立即返回队尾.通讯员来回的行进速度都是12千米/时,共用了14.4分钟,则队伍的长是多少 www-2-1-cnjy-com
13.甲、乙二人在300米的环形跑道上练习长跑,甲的速度是6米/秒,乙的速度是7米/秒.
(1)如果甲、乙二人同地背向跑,乙先跑2秒,再经过多少秒二人相遇
(2)如果甲、乙二人同时同地同向跑,乙跑几圈后能首次追上甲
(3)如果甲、乙二人同时同向跑,乙在甲前面6米,经过多少秒后两人第二次相遇
【答案与解析】
1.A(解析:10分钟=小时,5分钟=小时,根据题意,得.故选A.)
2.C(解析:设小刚的速度为x千米/时,则
( http: / / www.21cnjy.com )3小时两人走的路程为3(4+x)千米,根据3小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米的等量关系,可得到方程:3(4+x)=25.2.故选C.)
3.A(解析:设出追上小强所需的时
( http: / / www.21cnjy.com )间,利用小明和小强走过的距离相等,列出方程进行求解.设小明从出发到追上小强所需的时间为x小时,则5=13x,解得x=.)
4.6(解析:设两队合干需x天完成,则x=1,所以x=6.)
5.解:设船在静水中的速度为x千米/时
( http: / / www.21cnjy.com ),则顺水速度为(x+3)千米/时,逆水速度为(x
-
3)千米/时,由题意,得6(x+3)=10(x
-
3),解得x=12,则6(x+3)=6×(12+3)=90.即该船在静水中的速度是12千米/时,两码头间的距离为90千米.
6.B(解析:首先要理解题意,找
( http: / / www.21cnjy.com )出题中存在的等量关系:工作总量=工作效率×工作时间,从而根据此等式列出方程即可.设甲、乙两人合做要x小时,由题意,可得甲的工作效率是每小时做个,乙的工作效率是每小时做个.根据等式可列方程为x=1500.故选B.)
7.D(解析:此题要求小狗所跑的路程
( http: / / www.21cnjy.com ),只要求得两人相遇的时间即可.设两人x小时相遇,则6x+4x=50,解得x=5,则小狗所跑的路程是10×5=50(千米).)
8.3.5米/秒 210(
( http: / / www.21cnjy.com )解析:设这位同学的速度为x米/秒,则走的路程为60x米,列方程为60x=90+60×2,解得x=3.5,则60x=210.)
9.解:设到怀集旅游的为x人,则到德庆旅游的
( http: / / www.21cnjy.com )为(2x
-
1)人,根据题意,得x+(2x
-
1)=200,解得x=67,则到德庆旅游的为2x
-
1=133(人).即到怀集和德庆旅游的人数分别是67人,133人.
10.解:设这次试车时,由北京到天津的
( http: / / www.21cnjy.com )平均速度是每小时x千米,则由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米.依题意,得x=(x+40),解得x=200.即这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时200千米.
11.A(解析:考虑两种情况:相遇之前两车相距50千米,相遇之后两车相距50千米.)
12.解:设队伍的长为x千米,则通讯员从队
( http: / / www.21cnjy.com )尾到排头所用的时间为小时,从排头返回队尾的时间为小时,依题意,得,解得x=0.8.即队伍的长为0.8千米.
13.解:(1)设再经过x秒甲、乙二人相遇,
( http: / / www.21cnjy.com )则7×2+7x+6x=300,解得x=22.所以再经过22秒甲、乙二人相遇. (2)设经过y秒后乙能追上甲,则7y
-
6y=300,解得y=300.因为乙跑一圈需要秒,所以乙跑了300÷=7(圈),即
第五章 一元一次方程
1.掌握等式的基本性质.
2.了解方程、一元一次方程、方程的解等概念,会解一元一次方程,体会方程中的“化归”思想.
3.对于一些简单的实际问题,会分析其数量关系,列出一元一次方程并求解,能根据实际问题确定其解,使学生经历用数学解决实际问题的过程.
引导学生经历一元一次方程的建立和应用过程,使学生根据具体问题中的数量关系列出方程,感受模型化的过程,初步形成方程思想.
通过一元一次方程模型的建立和应用,帮助学
( http: / / www.21cnjy.com )生提高数学抽象、模型思想以及分析问题和解决问题的能力,增强数学的应用意识和学习数学的兴趣,积累数学活动经验.
方程和方程组是第三学段“数与代数”的主要内
( http: / / www.21cnjy.com )容之一,一元一次方程是最简单、最基本的代数方程,它不仅在实际中有广泛的应用,而且是学习二元一次方程组、一元二次方程、分式方程以及其他后继内容的基础.与一元一次方程有关的一些概念,如方程的解、解方程等又是代数方程中具有共性的重要概念,等式的基本性质是代数方程进行同解变形并最后求出原方程的解的重要依据.所以本章内容无论从实践上还是从进一步学习上看,都是有重要地位的.列一元一次方程解应用题对培养学生的方程思想和建模能力,发展数感、符号感,提高分析问题、解决问题的能力有不可替代的作用.
1.以实际问题为主线引入方程和方程的解的概
( http: / / www.21cnjy.com )念,改变传统教材过于注重较为完整的概念体系而与实际脱节的现象,破除陈旧、繁琐的模式训练.在实际问题的应用中,强调对具体内容的分析、抽象,渗透数学建模思想,教材注重实际意义,选用贴近学生生活,具有现代气息的例题、习题,激发学生的学习兴趣,使学生体会方程在现实世界中的作用.
2.淡化概念的过分形式化叙
( http: / / www.21cnjy.com )述,删繁就简.注意数学思想方法的渗透,重视学生能力的培养.让学生参与知识的形成过程,改变传统教材“给出法则,让学生模仿练习”的框架,在解方程的教学上打破常规,在学生理解方程的简单变形及其合理性的基础上,鼓励学生自行探索、掌握解一元一次方程的一般步骤.
3.在体现“让不同的人在数学上得到不同
( http: / / www.21cnjy.com )的发展”方面,教材注意留有较大的弹性,以适应不同学生的需要.除了在练习、习题和复习题中设置不同要求的问题外,对大多数例题和部分习题均有一定的拓展、探索余地,提出不同的问题供学生思考、拓展.
【重点】
1.理解和掌握一元一次方程的解法.
2.能利用一元一次方程解应用题.
【难点】
1.能熟练地解一元一次方程.
2.正确地找出应用题中的数量关系,正确地列方程并求解.
1.教学应结合具体内容多采用“问题
( http: / / www.21cnjy.com )情境—建立模型—应用拓展”的模式展开,从简单而具体的实例中,让学生经历方程的形成与应用的过程,从而更好地理解方程的基本概念及意义,使学生从小学算术的思维方式逐渐过渡到用方程的思想思考和解决实际问题,发展应用数学的意识和能力.
2.在讲解一元一次方程的化简及求解
( http: / / www.21cnjy.com )的时候,应该同时练习代数式的有关知识,让学生通过所学的知识,学习和掌握新的知识.这样教学既有利于培养学生综合运用所学知识的能力,又有利于通过知识间的内在联系,化解教学中的难点,使学生更加牢固地掌握知识.
3.有效的数学学习不是单纯的模仿和记忆,解方程的步骤也没有统一的模式,教师应注意引导学生选择合理的解方程步骤,关注他们的个性发展.
4.在讲解如何用一元一次方程解决实际问题的各
( http: / / www.21cnjy.com )节中,应该鼓励学生自己分析问题中的量与量之间的关系,并寻找问题中的等量关系,经历从分析问题、解决问题到检验问题的完整过程.教师在这个过程中只是起到一个引导的作用,不宜代替学生的思维过程.
5.运用方程解决实际问题时,注意启发学生从多角度寻找等量关系,关注他们能否恰当地转化和分析量与量之间的关系,并鼓励学生大胆质疑、创新.
5.1 一元一次方程
1课时
5.2 等式的基本性质
1课时
5.3 解一元一次方程
2课时
5.4 一元一次方程的应用
4课时
回顾与反思
1课时
5.1 一元一次方程
1.了解一元一次方程的概念和它的解.
2.引领学生逐步提高分析问题和解决问题的能力.
通过用算术与方程不同的方法解决同一问题的对比,感悟方程的意义和作用.
通过建立一元一次方程的过程,初步认识方程模型,体会数学建模思想.
【重点】 了解一元一次方程及其相关概念.
【难点】 理解方程模型的建立和价值.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习小学学过的方程.
导入一:
丢番图是古希腊数学家.人们
( http: / / www.21cnjy.com )对他的生平事迹知道的很少,但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平:坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了其所经历的人生旅程.上帝赐予他的童年占六分之一,又过十二分之一他两颊长出了胡须,再过七分之一,点燃了新婚的蜡烛.
( http: / / www.21cnjy.com )
五年之后喜得贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半便入黄泉.悲伤只有用数学研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.
你能用方程求出丢番图去世的年龄吗 大家讨论交流一下.
可以利用我们所学的知识设他的年龄为x岁,列方程为x+x+x+5+x+4=x.
师生交流:
你对方程有什么认识 列方程解决实际问题的关键是什么
本章将学习一元一次方程的概念、解法和应用,充分感受方程模型的思想,首先从第五章一元一次方程开始.(板书主标题)
[设计意图] 通过阅读图
( http: / / www.21cnjy.com )中的故事,激发同学们探索丟番图年龄的兴趣,进而引导学生通过列方程解决问题,感受利用方程可以解决实际问题,感受方程是刻画现实世界有效的模型.
导入二:
(出示多媒体课件)同学们请看大屏幕,小彬和小华在进行猜年龄游戏,我们来看一看,小华是怎样猜出小彬的年龄的 他利用了什么样的方法呢
( http: / / www.21cnjy.com )
分析:如果设小彬的年龄为x岁,那么“乘2再减5”就是 ,因此可以得到方程: .
生:我知道怎么回事,如果设小彬的年龄为
( http: / / www.21cnjy.com )x岁,那么“乘2再减5”就是2x
-
5,因此可以得到方程:2x
-
5=21.根据我们小学所学的方程的解法,解得x=13,所以小彬的年龄为13岁.
师:这位同学非常聪明,能够利用小学的知
( http: / / www.21cnjy.com )识把它解出来很好而且非常正确,同学们给他掌声鼓励.那我们是否也可以用列方程的方式来解决生活中的实际问题呢
[设计意图] 通过小彬和小华在进行猜年龄游戏,把现实生活中的问题转化为数学中的方程问题,从而认识一元一次方程的重要作用.
[过渡语] 在小学我们就认识了方程,并用方程解决了一些简单的实际问题.本节我们将继续探究方程的相关问题.
活动1 感受方程解决问题的方法
一千五百年前的《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何 ”这是我国古代著名趣题之一.
下面是用列算式与列方程两种不同的方法对问题进行解答的过程.
1.列算式解法.
每只兔子先算2只足(与鸡的足数凑齐),此时兔子和鸡的足数共有2×35=70(只).
由于每只兔子少算了2只足,总共少算的足数为94
-
70=24(只),
所以兔子数为24÷2=12(只),
鸡数为35
-
12=23(只).
答:鸡有23只,兔子有12只.
2.列方程解法.
设鸡有x只,那么兔子有(35
-
x)只.
因为鸡的足数+兔的足数=94,
所以2x+4(35
-
x)=94.
解这个方程,得x=23.
从而35
-
x=12.
答:鸡有23只,兔子有12只.
[处理方式] 首先让学生用列算式和
( http: / / www.21cnjy.com )列方程的方法进行计算,初步感受两种解决同一问题的不同方法,再参考教材解决问题方法的基础上,尝试独立解决教材第146页“做一做”中提及的问题.
[设计意图] 对比是一种重要的解决问题的方法.通过对比帮助学生体验两种解决问题的不同思路.
活动2 方程方法和列算式方法解决问题的对比
师:解决上述问题哪种方法比较简单
生:用方程的方法比较简单.
总结:对上述问题,利用列算式的方法求解,
( http: / / www.21cnjy.com )需要先将每只兔子看成2只足,与每只鸡的足数凑齐(或者先将每只鸡看成4只足,与每只兔子的足数凑齐),然后用足数之差求出兔子(或者鸡)数,思考过程和算式的得出都比较曲折.利用列方程的方法,可就足数之和直接列方程,使得问题的解决比较简单.
活动3 例题讲解
某市举行中学生足球比赛,规定平局时不再进行加时赛,并且胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.实验中学足球队参加了10场比赛,只负了1场,共得21分.该校足球队胜了几场
〔解析〕 该校足球队得分满足相等关系
( http: / / www.21cnjy.com ):3×胜的场数+1×平的场数+0×负的场数=21,即3×胜的场数+1×(10
-
1
-
胜的场数)=21.
解:设实验中学足球队胜了x场,
那么3x+(9
-
x)=21.
解得x=6.
答:实验中学胜了6场.
活动4 一元一次方程及其相关概念
像2x+4(35
-
x)=94,3x+(9
-
x)=21这样含有未知数的等式叫做方程.能使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
如果方程中含有一个未知数(也称元),并且所含未知数的项的次数是1,那么我们就把这样的方程叫做一元一次方程.
即时练习:
判断以下哪些是一元一次方程.
(1)
-
2+5=3;
(2)3x
-
1=7;
(3)m=0;
(4)x>3;
(5)x+y=8;
(6)2x2
-
5x+1=0;
(7)2a+b.
【师生活动】 以抢答的形式来完成此题,并让学生找出不是的理由.教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.
[设计意图] 进一步强化一元一次方程的概念满足的两个条件,采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.
[知识拓展] (1)实际上,判断一个方
( http: / / www.21cnjy.com )程是一元一次方程需同时满足三个条件:①方程中的代数式都是整式;②只含有一个未知数;③未知数的指数都是1.
(2)方程中解的意义和实际生活中问题的意义是有区别的,就是说方程的解不一定都在实际生活中有意义.
一元一次方程:在一个方程中,只含有一个未知数,而且方程中的代数式都是整式,未知数的指数都是1,这样的方程叫一元一次方程.
方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
1.下列方程中,是一元一次方程的是
( )
A.x2+1=2 B.y=x
-
1
C.=1
D.=1
解析:一元一次方程满足两个条件:只含有一个未知数,未知数的次数是1.故选C.
2.已知关于x的方程4x
-
3m=2的解是x=m,则m的值为
( )
A. B.
-
2 C.2 D.
-
解析:方程定义:含有未知数的等式叫做方程.本题已知方程的解是m,将m代入原方程得出:4m
-
3m=2 m=2.故选C.
3.小华打算寒假期间读一本72
( http: / / www.21cnjy.com )0页的书,若他每天读40页,读了x天,还剩下27页,可列方程为 ,列出的方程 一元一次方程(填“是”或“不是”).
解析:每天读40页,x天共读40x页,已读的页数+未读的页数=总页数,所以40x+27=720,此方程为一元一次方程.
答案:40x+27=720 是
4.在一次植树活动中,甲班植树的株数比乙班多20%,乙班植树的株数比甲班的一半多10株,设乙班植树x株.
(1)列两个不同的含x的代数式,分别表示甲班植树的株数;
(2)根据题意列出含未知数x的方程;
(3)检验乙班、甲班植树的株数是不是分别为25株和35株.
解:(1)根据甲班植树的株数比乙班多2
( http: / / www.21cnjy.com )0%,得甲班植树的株数为(1+20%)x;根据乙班植树的株数比甲班的一半多10株,得甲班植树的株数为2(x
-
10). (2)由题意得(1+20%)x=2(x
-
10). (3)当x=25时,甲班植树的株数为25(1+20%)=30≠35,2×(25
-
10)=30≠35,所以乙班植树的株数是25株,甲班植树的株数是30株,而不是35株.
5.1 一元一次方程
活动1 感受方程解决问题的方法
活动2 方程方法和列算式方法解决问题的对比
活动3 例题讲解
活动4 一元一次方程及其相关概念
一、教材作业
【必做题】
教材第147页练习第1题.
【选做题】
教材第148页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法中正确的是
( )
A.方程是等式
B.等式是方程
C.含有字母的等式是方程
D.含有未知数的不等式是方程
2.下列各式中,不是方程的是
( )
A.x=1
B.3x=2x+5
C.x+y=0
D.2x
-
3y+1
3.方程x(x+2)=0的解为
( )
A.0 B.
-
2 C.0或
-
2 D.0或2
4.若xa+1=2是一元一次方程,则a2015= .
5.设某数为x,根据下列条件列出方程.
(1)某数的平方减去该数的等于9;
(2)某数比它的倒数大2.
【能力提升】
6.下列说法中正确的是
( )
A.含有一个未知数的等式是一元一次方程
B.未知数的次数都是1次的方程是一元一次方程
C.含有未知数,并且未知数的次数都是一次的方程是一元一次方程
D.2y
-
3=1是一元一次方程
7.下列方程中,一元一次方程的个数是
( )
①2x+3y=5;②x2+1=2;③m
-
3=6;④x
-
6=5x;⑤+2=7.
A.1
B.2
C.3
D.4
8.下列方程中,解是x=4的方程是
( )
A.3x
-
2=
-
10
B.x+3=2x+3
C.3x+8=5x
D.2(x+3)=x+3
9.关于x的方程2x+m=5的解是x=2,则m= .
10.甲、乙两车分别从相距400千米的A,
( http: / / www.21cnjy.com )B两地同时出发相向而行,5小时后相遇,已知甲车每小时比乙车多行驶8千米,求乙车的速度,请列出方程(不用解).
【拓展探究】
11.小华买了桃和香蕉共6千克,用去20元,其中桃每千克3元,香蕉每千克4元,设小华买了x千克桃,列出方程正确的是
( )
A.3x+4x=20
B.6x+4x=20
C.3x+4(6
-
x)=20
D.(3+4)x=20
12.某音像公司对外出租光盘
( http: / / www.21cnjy.com )的收费方式是:每张光盘出租的前2天每天收费0.8元,以后每天收费0.5元,那么一张光盘出租x(x>2且为整数)天应收费 ;当收费为5.6元时,可列方程为 .
13.早晨,小猴把一天要吃的桃,按早、
( http: / / www.21cnjy.com )中、晚三餐依次放在三个盘子里.看了看,觉得晚餐太多,早餐太少.于是,他从第一个盘里拿了2个桃放在第二个盘里,又从第二个盘里拿了3个桃放在第三个盘里,再从第三个盘里拿了5个桃放在第一个
盘里.这时三个盘里各有6个桃.小猴满意
( http: / / www.21cnjy.com )地笑了.想一想:小猴第一次分桃时,早、中、晚三餐各分得多少个桃 (只列方程,不求解,提示:每个盘里各列一个方程)
【答案与解析】
1.A(解析:方程是等式,但等式不一定是方程.)
2.D(解析:判断方程需要两个条件:一是含有未知数,二是等式.)
3.C(解析:根据方程的解的定义,将0,
( http: / / www.21cnjy.com )
-
2,2分别代入方程的左边和右边,当x=0和x=
-
2时,左边=右边,所以x=0和x=
-
2都是方程的解;当x=2时,左边=8,右边=0,左边≠右边,所以x=2不是方程的解.)
4.0(解析:由一元一次方程的定义得a+1=1,所以a=0,则a2015=02015=0.)
5.解:(1)x2
-
x=9. (2)x=+2.
6.D(解析:只含有一个未知数(元),并且未
( http: / / www.21cnjy.com )知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).据此可得出答案.A.未涉及未知数的次数;B.未涉及未知数的个数;C.未知数的个数只能为1;D.符合一元一次方程的定义.)
7.B(解析:③④是一元一次方程.)
8.C(解析:把x=4分别代入四个方程,符合方程左边=右边的为所求.)
9.1(解析:把x=2代入2x+m=5中,得2×2+m=5,解得m=1.)
10.解:设乙车的速度为每小时x千米,则5(x+8)+5x=400.
11.C(解析:由题意可知小华买桃用去3x元,买香蕉用去4(6
-
x)元.故选C.)
12.[2×0.8+0.5(x
-
2)]元 2×0.8+0.5(x
-
2)=5.6(解析:本题相等关系为:前2天的收费+后些天的收费=5.6元.)
13.解:设第一次分桃时,第一个盘里有
( http: / / www.21cnjy.com )x个桃,则x
-
2+5=6;设第一次分桃时,第二个盘里有y个桃,则y+2
-
3=6;设第一次分桃时,第三个盘里有z个桃,则z+3
-
5=6.
以小游戏作为情境引入,让学生在一个轻松的
( http: / / www.21cnjy.com )环境中打开问题之门,由惊奇到好奇再到激起解开疑惑的欲望,然后设置一系列的情境问题,引导学生借助游戏中的思维方法来辨析生活中的实际问题,从而投入到认识一元一次方程上来,课堂达到了水到渠成的不错效果.
利用情境列方程时仍有部分同学不能及时地列出方程,达不到构建方程模型解决实际问题的能力要求.
在整个教学实施的过程中,自始至终坚
( http: / / www.21cnjy.com )持以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学,如此既有利于培养学生的分析归纳能力,也真正体现了以学生为主体的教学理念.
练习(教材第147页)
1.解:x
-
1=3,5x+5=
-
1,2x+4=0是一元一次方程.
2.解:x=是方程2x
-
1=0的
( http: / / www.21cnjy.com )解.x=2是方程2x
-
4=0的解,x=5是方程3x
-
15=0的解.x=
-
5是方程x+5=0的解.
习题(教材第148页)
A组
1.解:方程:x=1,2x+7=0,5
( http: / / www.21cnjy.com )x
-
1=5
-
x,x2
-
1=0,x+y=3,3y
-
6=0.一元一次方程:x=1,2x+7=0,5x
-
1=5
-
x,3y
-
6=0.
2.解:答案不唯一,如:x
-
2=0.
3.解:当x=2时,2×2
-
1=m,m=3.即m的值为3.
4.解:(1)2(2x+x)
( http: / / www.21cnjy.com )=90. (2)当x=15时,左边=2×(2×15+15)=2×45=90,右边=90,左边=右边,所以x=15是所列方程的解.当x=20时,左边=2×(2×20+20)=120,右边=90,左边≠右边,所以x=20不是所列方程的解. (3)2=90.
B组
1.解:(1)设这个数为x
( http: / / www.21cnjy.com ),由题意列方程为2x+30=6x
-
14. (2)设陆地面积为x亿平方千米,由题意列方程为x+x=5.1. (3)设这个月份第一个星期日的日期数是x.由题意列方程为x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=58.
2.解:设小明他们共去了x人.由题意列方程为5×20×80%+15=5x.
下列各式中,是方程的为
( )
A.3=5
-
2 B.3+4x
C.5a
-
6=3
D.2x+3>4x
-
5
〔解析〕 本题考查方程的定义.A选项为一个
( http: / / www.21cnjy.com )等式,但等式中不含有未知数,故不是方程;B选项含有未知数,但不是一个等式,也不是方程;D选项含有未知数,但不是等式,故也不是方程.故选C.
[解题策略] 方程的定义有两个条件:(1)式子中必须含有未知数;(2)式子必须是等式.
检验2,1,0三个数是否为方程3(x+1)=2(2x+1)的解.
〔解析〕 判断一个数是不是原方程的解,必须用这个数替换方程的未知数,并计算方程左右两边的值是否相等.
解:将x=2分别代入原方程的左右两边,
左边=3×(2+1)=9,右边=2×(2×2+1)=10,
左边≠右边,所以x=2不是原方程的解.
将x=1分别代入原方程的左右两边,
左边=3×(1+1)=6,右边=2×(2×1+1)=6,
左边=右边,所以x=1是原方程的解,
将x=0分别代入原方程的左右两边,
左边=3×(0+1)=3,右边=2×(2×0+1)=2,
左边≠右边,所以x=0不是原方程的解.
[解题策略] 使方程左右两边式子相等的未知数的值称为方程的解.判断一个数是不是原方程的解,直接根据条件代入方程的两边进行计算即可.
5.2 等式的基本性质
1.理解并掌握等式的基本性质.
2.理解方程是等式,能根据等式的基本性质求一元一次方程的解.
3.理解并掌握移项的法则.
1.让学生经历知识的形成过程,培养学生自主探索和相互合作的能力.
2.初步体验解方程的化归思想.
1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又服务于生活.
2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考,勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.
【重点】 理解和应用等式的基本性质.
【难点】 应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.
【教师准备】 多媒体课件、天平、砝码等.
【学生准备】 复习一元一次方程的定义.
导入一:
在小学,我们求解过方程,请大家回忆你会求解哪些方程,方程5x=3x+4你会解吗
我们曾经利用逆运算求解形如ax+b=c的方程(简单举例说明).
对于较为复杂的方程,例如这样一个问题:某数与2的和的,比某数的2倍与3的差的大1,求某数.如果我们设某数为x,可以得到方程是+1.
怎样才能求出x呢 如果还用以前的方法容易求出方程的解吗
观察思考,小组内简单交流后认同不易求出方程的解.
师:因此要想求出这些复杂的一元一次方程的解,我们有必要研究等式的性质,以解决这个问题.(板书课题)
[设计意图] 通过问题串,让学生感受到自己原
( http: / / www.21cnjy.com )先具有的知识已不能够解决问题,学生遇到了困难,从而激发学生的求知欲,产生了克服困难的决心和信心,更能积极投入到新课的学习情境中去.
导入二:
用估算的方法,我们可以求出简单的一元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )的解.你能用这种方法求出方程(1)3x
-
5=22,(2)0.23
-
0.13y=0.47y+1的解吗
第(1)题要求学生给出解答,第(2)题较复杂,估算比较困难.
师:通过估算的方法,我们可以
( http: / / www.21cnjy.com )求得方程的解,可是我们也看到,通过估算求解,需要通过多次尝试才能得到正确的答案,而且有的方程要利用这种方法求解很困难.有没有相对简单的方法,使我们可以获得方程的解呢 从今天开始我们就来学习解方程.
[设计意图] 通过对上节课内容的回忆和教师提出的问题,引发学生的思考,激发学生的探究欲望,进而引入本节课的内容.
[过渡语] 利用等式的基本性质,可以对方程进行恒等变形,进而达到解一元一次方程的目的.
活动1 等式的基本性质
1.感受等式的基本性质.
游戏一:
如图所示,此时天平架是平衡的.在托盘上增加或减少一定数量的砝码,使其仍保持平衡.请你最少摆出5种不同的平衡形式,并说明保持平衡的道理.
通过游戏,我们可认识到什么
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活动提示:
(1)天平两端放置同类型的砝码,怎样使天平平衡
(2)天平两端放置不同类型的砝码,怎样使天平平衡
(3)在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样增加砝码可以使天平继续保持平衡
(4)在天平有砝码保持平衡的情况下,怎样减少砝码可以使天平继续保持平衡
(5)请你思考使天平平衡,增加或减少砝码有什么规律
[设计意图] 天平游戏可以往两端添加等量的砝码,又可以取走等量的砝码.其中蕴含了等式关于加、减、乘、除的基本性质.
2.总结等式的基本性质.
(1)等式的两边加上(或减去)同一个数或同一个整式,结果仍是等式,即如果a=b,那么a±c=b±c.
(2)等式的两边乘(或除以)同一个数(除数不等于0),结果仍是等式,即如果a=b,那么ac=bc.
[处理方式] 根据等式的基本性质,分别设置两种不同的平衡形式.
活动2 天平的平衡与解方程
如图所示,天平架是平衡的.如果一个黄砝码的质量为1
g,一个蓝砝码的质量为x
g,请你观察下面的操作过程,并说出1个蓝砝码的质量是多少克.
解释过程(1):
( http: / / www.21cnjy.com )
图中的平衡现象,用方程可表示为3x+1=x+5.
解释过程(2):
( http: / / www.21cnjy.com )
方程两边同时减去1.
方程变为3x+1
-
1=x+5
-
1,即3x=x+4.
解释过程(3):
( http: / / www.21cnjy.com )
方程两边同时减去x.
方程变为3x
-
x=x+4
-
x,即2x=4.
解释过程(4):
( http: / / www.21cnjy.com )
方程两边同时除以2.
方程变为×2x=×4,即x=2.
思考:为什么根据等式的基本性质可以求方程的解
总结:方程是等式,根据等式的基本性质可以求方程的解.
活动3 例题讲解
解方程x+3=8.
解:两边都减去3,得x+3
-
3=8
-
3.
所以x=8
-
3,即x=5.
在解上面的方程时,用到如下框图所示的步骤:
思考:(1)什么是移项
在解方程的过程中,等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程,相当于将这一项改变符号后,从等号的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.
(2)移项的目的是什么
移项的目的是为了合并同类项.
(3)解方程的过程中,通常怎样移项
移项通常是将方程中含有未知数的项移到等式的一边,将常数项移到等式的另一边.
[知识拓展] (1)方程是含有未知数的等式,所以可以利用等式的基本性质解方程.
(2)利用等式的基本性质解一元一次方程,也就是通过正确的变形,将方程化成未知数的系数为1的形式,即x=a的形式.
理解等式的基本性质是对等式变形的重要理论依据,应用时需要把握两点:
(1)等式两边变形做到两个“同”,即同加、同减、同乘或同除以,是第一个“同”,另一个是同一个数(或整式);
(2)等式的基本性质2中,当两边同除以某一个数时,此数不能为0,这一点容易忽略,需要特别注意.
1.下列说法正确的是
( )
A.等式两边都加上一个数,所得结果仍是等式
B.等式两边都乘一个数,所得结果仍是等式
C.等式两边都除以同一个数,所得结果仍是等式
D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边相加,所得结果仍是等式
解析:根据等式的基本性质1,2判
( http: / / www.21cnjy.com )断即可.A.等式的两边一边加1,另一边加2,就不是等式,故本选项错误;B.等式的两边一边乘1,另一边乘2,就不是等式,故本选项错误;C.两边都除以0,就不是等式,故本选项错误;D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边相加,所得的结果仍是等式,故本选项正确.故选D.
2.下列变形正确的是
( )
A.若3x
-
1=2x+1,则x=0
B.若ac=bc,则a=b
C.若a=b,则
D.若,则y=x
解析:对于选项A,方程两边减2x,化简,得
( http: / / www.21cnjy.com )x
-
1=1,两边再加1,可得x=2,故错误;选项B中两边需要同时除以c,得a=b,但不能保证c不等于0,故错误;选项C也是错的,因为不能保证同时除以的数c不为0;只有选项D正确.故选D.
3.如图所示的两台天平保持平衡,已知每块巧克力的重量相等,且每个果冻的重量也相等,则每块巧克力和每个果冻的重量分别为
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.10
g,40
g B.15
g,35
g
C.20
g,30
g
D.30
g,20
g
解析:由第二架天平,知两块巧克力和两个
( http: / / www.21cnjy.com )果冻的重量为100
g,由第一架天平,知两个果冻的重量等于3块巧克力的重量,故5块巧克力的重量为100
g,所以每块巧克力重20
g,每个果冻重30
g.故选C.
4.(1)将等式5a
-
3b=4a
-
3b变形,过程如下:
因为5a
-
3b=4a
-
3b,
所以5a=4a(第一步),
所以5=4(第二步).
上述过程中,第一步的依据是 ,第二步得出错误的结论,其原因是 .
(2)在梯形面积公式S=(a+b)h中,已知S,a,b,求h.
解:(1)等式的基本性质1 等式的
( http: / / www.21cnjy.com )两边同除以了一个可能等于0的a (2)等式两边同乘2,得2S=(a+b)h,等式两边同除以a+b,得h=.
5.2 等式的基本性质
活动1 等式的基本性质
活动2 天平的平衡与解方程
活动3 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第151页练习第1,2题.
【选做题】
教材第151页习题第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知x=y,则下列结论错误的是
( )
A.x+a=y+a B.x
-
a=y
-
a
C.ax=ay
D.
2.下列方程变形中,正确的是
( )
A.由=0得y=3
B.由
-
7x=4得x=
-
C.由3=x
-
1得x=
-
1
-
3
D.由x=得x=
3.若=2x,则应变形为
( )
A.3x
-
2=4x
B.3x
-
1=2x
C.5x
-
1=0
D.3x
-
1=4x
4.把方程2x
-
y=3改写成用含x的式子表示y的形式,得y= .
5.(1)怎样从等式6x=4x
-
2得到等式x=
-
1 (2)怎样从等式
-
3x=18得到等式x=
-
6
【能力提升】
6.下列各组方程中,解相同的是
( )
A.x=3与2x+6=0
B.x=2与2x=3
C.x=3与2x
-
6=0
D.x=3与2x=5
7.下列变形符合等式的基本性质的是
( )
A.如果2x
-
3=7,那么2x=7
-
3
B.如果3x
-
2=x+1,那么3x
-
x=1
-
2
C.如果
-
2x=5,那么x=5+2
D.如果
-
x=1,那么x=
-
3
8.以x=1为根的一元一次方程是 .(写出一个即可)
9.由等式am=bm变形到a=b,必须满足的条件为 .
10.利用等式的基本性质解方程.
(1)
-
4x=
-
; (2)3x+5=2.
【拓展探究】
11.将方程2(x
-
1)=3(x
-
1)的两边同除以x
-
1,得2=3,其错误的原因是
( )
A.方程本身是错的
B.方程无解
C.两边都除以0
D.2(x
-
1)小于3(x
-
1)
12.能否找到一个m的值,使式子2m+3与7m
-
3的值相等 若能,请找出m的值;若不能,请说明理由.
13.能不能从(a
-
2)x=b
-
1得到等式x=,为什么 反之,能不能从x=得到等式(a
-
2)x=b
-
1,为什么
【答案与解析】
1.D(解析:根据等式的基本性质,等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.)
2.D(解析:由=0得y=0;由
-
7x=4得x=
-
;由3=x
-
1得x=1+3=4;由x=得x=.)
3.D(解析:利用等式的基本性质2,两边都乘2,得3x
-
1=4x.)
4.2x
-
3(解析:将x看成已知数,y看成未知数,求出y即可.由2x
-
y=3,得y=2x
-
3.故填2x
-
3.)
5.解:(1)利用等式的基本性质
( http: / / www.21cnjy.com )1,在等式6x=4x
-
2的左右两边同时减去4x,得到等式2x=
-
2,再利用等式的基本性质2,在等式2x=
-
2的左右两边同时除以2,即可得x=
-
1. (2)在等式
-
3x=18的左右两边同时除以
-
3,即可得x=
-
6.
6.C(解析:应用等式的基本性质分别解方程即可.)
7.D(解析:A中2x=7+3;B中,3x
-
x=1+2;C中,x=
-
.只有选项D成立.)
8.x
-
1=0(解析:答案不唯一,只要在等式x=1两边应用等式的基本性质进行变形即可.)
9.m≠0(解析:由等式的基本性质2,等式两边同时除以m≠0时,得到a=b.故填m≠0.)
10.解:(1)两边同时除以
-
4,
( http: / / www.21cnjy.com )得x=. (2)两边同时减去5,得3x+5
-
5=2
-
5,即3x=
-
3.两边同时除以3,得=
-
,即x=
-
1.
11.C(解析:根据等式的基本性质
( http: / / www.21cnjy.com )2:等式两边同乘一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式,所以在两边同除以x
-
1时要保证x≠1,条件没给出x≠1,所以不能同除以x
-
1.因为2(x
-
1)=3(x
-
1),所以2x
-
2=3x
-
3,所以
-
2=x
-
3,即x=1,当两边同除以x
-
1时,即同除以了0,无意义,所以错误的原因是方程两边同除以了0.)
12.解:若存在使2m+3=7m
-
( http: / / www.21cnjy.com )
3的m值,则可根据等式的基本性质,两边都减去3,得2m=7m
-
6,两边都减去7m,得2m
-
7m=
-
6,即
-
5m=
-
6,两边都除以
-
5,得m=.所以当m=时,2m+3与7m
-
3的值相等.
13.解:当a=2时,从(a
-
2)x=b
-
1不能得到x=.而从x=可以得到(a
-
2)x=b
-
1,因为等式两边同时乘同一个数,所得结果仍是等式,而同时除以的数不能为0.
等式的基本性质教学采用体
( http: / / www.21cnjy.com )验探究的教学方式,首先由教师演示天平实验,分别在天平两侧放上砝码使天平保持平衡,并把实验转化为数学问题并列出数学式子;再针对学生所列的式子,提出问题:通过天平实验所得到的式子你能联想到等式有什么性质 由学生独立思考归纳出等式的基本性质1和基本性质2,然后再把等式的基本性质抽象为数学的符号语言并表示出来.最后通过例题和练习巩固等式的两条基本性质,并让学生从练习中思考运用等式的基本性质时应注意些什么.
对于性质的应用,不要采用教师问学生答的形
式,要尽量让学生板演,照顾到全体学
( http: / / www.21cnjy.com )生的参与.对于教材中的问题,重点内容和难点的地方要尽量让学生讨论解决,要控制好度和量,体现小组合作的优势.
学生在小学学过用运算的逆
( http: / / www.21cnjy.com )运算关系解简单一元一次方程普遍掌握较好,但用小学方法解方程比用等式的基本性质解方程理性思维要差些,所以教学过程中要着重引导学生体会代数中处理类似小学且难于小学的方程内容时“代数化”方法的优越性、概括性及抽象性.
练习(教材第151页)
1.解:(2)(3)(5)(7)成立,其余不成立.
2.解:(答案不唯一)①x+2=y
( http: / / www.21cnjy.com )+2.依据等式的基本性质1,等式两边同时加上2.②
-
x=
-
y.依据等式的基本性质2,等式两边同时乘
-
.③.依据等式的基本性质2,等式两边同时除以3.
3.解:(1)x
-
2=5,两
( http: / / www.21cnjy.com )边同时加上2,得x
-
2+2=5+2,所以x=5+2,即x=7. (2)3x
-
2=1,两边同时加上2,得3x=1+2,3x=3,两边同时除以3,得x=1.
习题(教材第151页)
1.解:(1)(2)(3)(4)全成立.
2.提示:(1)x=1. (2)x=4. (3)x=1. (4)x=
-
7.
3.解:(1)2x
-
5=1,两
( http: / / www.21cnjy.com )边同时加上5,得2x=6,两边同时除以2,得x=3. (2)3
-
2x=9,两边同时减去3,得
-
2x=9
-
3,所以
-
2x=6,两边同时除以
-
2,得x=
-
3. (3)4x+3=15,两边同时减去3,得4x=15
-
3,所以4x=12,两边同时除以4,得x=3. (4)x
-
1=5,两边同时加上1,得x=5+1,所以x=6,两边同时除以,得x=10.
设“○”“△”“□”表示三种不同的物体,现用天平称了两次,情况如图所示:
则下列图形正确的有 .
〔答案〕 (1)(2)
5.3 解一元一次方程
掌握解一元一次方程的基本方法,能够熟练地解一元一次方程.
通过一元一次方程解法及步骤的探究,体会化归思想,发展学生分析和解决问题的能力.
培养学生具体问题具体分析的态度.
【重点】 一元一次方程的解法.
【难点】 理解一元一次方程的一般形式和化归思想.
第课时
1.在理解等式的基本性质的基础上,通过移项、合并同类项的方法解一元一次方程.
2.知道如何把未知数的系数化为1.
借助于等式的基本性质探究一元一次方程的基本解法.
培养学生的实事求是的科学态度.
【重点】 通过移项和合并同类项解一元一次方程.
【难点】 初步体验把方程化为ax=b(a≠0,a,b是已知数)的一般形式.
【教师准备】 预设学生在解方程过程中的学习难点.
【学生准备】 复习等式的基本性质.
导入一:
观察下列方程:
(1)x+7=4;
(2)x
-
8=
-
3x;
(3)3x+4=
-
2x
-
6;
(4)2+x=x+1.
你会解上面的方程吗
【学生活动】 先观察方程的特征,分析解方程的方法.(学生解方程,教师巡视适时指导)
[设计意图] 让学生复习上节课的内容,为本课时的学习作铺垫.体会等式的基本性质在解方程的过程中的作用.21
cnjy
com
导入二:
运用等式的基本性质解下列方程.
(1)x+2=1;
解:两边都减去2,得x+2
-
2=1
-
2,
合并同类项,得x=
-
1.
等式的基本性质1:等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.
(2)3x=
-
6;
解:两边都除以3,得,
即x=
-
2.
等式的基本性质2:等式两边都乘或除以同一个数(除数不等于0),所得结果仍是等式.
(3)2x=5x
-
21.
解:两边都减去5x,得2x
-
5x=
-
21,
合并同类项,得
-
3x=
-
21,
系数化为1,得x=7.
2x=5x
-
21和2x
-
5x=
-
21各项是怎样变化的 今天我们就来学习用移项法解一元一次方程(揭示课题).
[设计意图] 通过复习等式的基本性质,让学生利用等式的基本性质完成(3),从(3)中发现移项的特点,从而引入到本课时的教学中.
[过渡语] 我们已经学习了等式的基本性质,怎样运用等式的这些性质去解一元一次方程呢
思路一
解下列方程:
(1)5x=4x
-
6; (2)3x
-
2=2x+5.
思考:解方程的基本依据是什么 为什么要移项和合并同类项
解:(1)移项,得5x
-
4x=
-
6.
合并同类项,得x=
-
6.
(2)移项,得3x
-
2x=5+2.
合并同类项,得x=7.
解下列方程:
(1)5x
-
2=2x
-
10; (2)x=x+1.
思考:例2的两个方程和例1的两个方程有什么不同 (移项后,未知数的系数不为1.)
解:(1)移项,得5x
-
2x=
-
10+2.
合并同类项,得3x=
-
8.
将x的系数化为1,得x=
-
.
(2)移项,得x
-
x=1.
合并同类项,得
-
x=1.
将x的系数化为1,得x=
-
3.
思考总结:解一元一次方程的基本步骤是什么
(1)移项;
(2)合并同类项;
(3)化归.一般地,对于形如ax=b(a≠0,a,b是已知数)的一元一次方程,方程两边同除以a,得到方程的解是x=.
思路二
(补充例1)解方程:3x+20=4x
-
25.
问题1:怎样解这个方程 它与上节课遇到的方程有何不同
学生讨论后发现:方程的两边都有含x的项(3x和4x)和不含字母的常数项(20与
-
25).
问题2:怎样才能使它向x=a的形式转化呢
学生思考、探索:为使方程的右边没有含x的项,等号两边同时减去4x,为使方程的左边没有常数项,等号两边同时减去20.
3x
-
4x=
-
25
-
20.
说明:上面的变形,相当于把原方程左边的20变为
-
20移到右边,把右边的4x变为
-
4x移到左边.
问题3:以上变形的依据是什么
等式的基本性质1.
归纳:像上面那样把等式一边
( http: / / www.21cnjy.com )的某项变号后移到另一边,叫做移项.它的实质就是运用等式的基本性质1,在方程的两边加(或减)同一个数(或整式),使方程含有未知数的项位于方程的一边(通常为左边),不含有未知数的项位于方程的另一边(通常为右边),使方程更接近于“x=a”的形式.从表示上看,相当于把方程中的某些项改变符号后移动到方程的另一边,所以称为移项.
师生共同完成解答过程.
( http: / / www.21cnjy.com )
问题4:以上解方程中“移项”起了什么作用
学生讨论、回答,师生共同整理:
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程的左右两边,使方程更接近于x=a的形式.
[设计意图] 进一步渗透模型化的思想,引发学生认知上的冲突,寻求解决途径,感受解决问题的方法与思路.
(补充例2) 解下列方程:
(1)3x+7=32
-
2x; (2)x
-
3=x+1.
分析:怎样解这个方程 如何使它向x=a转化
学生讨论交流,然后回答,教师归纳补充.
说明:师生配合完成,教师要向学
( http: / / www.21cnjy.com )生讲明,利用等式的基本性质将方程进行变形,使方程左边只剩下含有未知数的项,右边只含有常数项,然后系数化为1,向x=a的形式进行转化.要让学生体验这种化归思想,为进一步学习更复杂的解方程作准备.
解:(1)
( http: / / www.21cnjy.com )
请同学们根据上面的框图完成(2)的解答过程.
解:(2)移项,得x
-
x=1+3.
合并同类项,得
-
x=4.
系数化为1,得x=
-
8.
[设计意图] 通过对解方程的方法进一步探究,使学生感受转化思想,能够解形如ax+b=cx+d的方程.
[知识拓展] 方程中任何一项都可以移项,移项
( http: / / www.21cnjy.com )法则是移项变号,不变号则不能移项.通常把含有未知数的项移到方程的左边,把不含未知数的项(即常数项)移到方程的右边,这样做便于合并同类项,使方程变成ax=b(a,b为常数,且a≠0)的形式,再把x的系数化为1就可得到方程的解.
移项是解方程的重要变形,一般把含有未
( http: / / www.21cnjy.com )知数的各项移到同一边(通常移到左边),而把常数项移到另一边(通常移到右边),不管是从左边到右边,还是从右边到左边,注意移项要变号.
一般地,对于形如ax=b(a≠0,a,b是已知数)的一元一次方程,方程两边同除以a,得到方程的解是x=.
1.(2015·梧州中考)一元一次方程4x+1=0的解是
( )
A. B.
-
C.4 D.
-
4
解析:移项,得4x=
-
1,两边同除以4,得x=
-
.故选B.
2.对方程8x+6x
-
10x=8进行合并,下列表示正确的是
( )
A.3x=8
B.4x=8
C.8x=8
D.2x=8
解析:因为8x+6x
-
10x=8,所以(8+6
-
10)x=8,即4x=8.故选B.
3.下列变形属于移项的是
( )
A.由3x+2
-
2x=5,得3x
-
2x+2=5
B.由3x+2x=1,得5x=1
C.由2(x
-
1)=3,得2x
-
2=3
D.由9x+5=
-
3,得9x=
-
3
-
5
解析:根据解一元一次方程
( http: / / www.21cnjy.com )时,将含未知数的项移到一边,常数项移到另一边,且移项要变号,判断即可得到结果.A.由3x+2
-
2x=5,移项得3x
-
2x=5
-
2,本选项错误;B.由3x+2x=1,合并同类项得5x=1,本选项错误;C.由2(x
-
1)=3,去括号得2x
-
2=3,本选项错误;D.由9x+5=
-
3,移项得9x=
-
3
-
5,本选项正确.故选D.【来源：21·世纪·教育·网】
4.解方程.
(1)3x+5=5x
-
7;
(2)x+=5x
-
3.
解:(1)移项,得3x
( http: / / www.21cnjy.com )-
5x=
-
7
-
5,合并同类项,得
-
2x=
-
12,系数化为1,得x=6. (2)移项,得x
-
5x=
-
-
3,合并同类项,得
-
x=
-
,系数化为1,得x=.
第1课时
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第153页练习第1题.
【选做题】
教材第153页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.解方程移项变形的根据是
( )
A.加法交换律 B.加法结合律
C.合并同类项
D.等式的基本性质
2.对方程4x
-
5=6x
-
7
-
3x进行变形正确的是
( )
A.4x=6x+5+7
-
3x
B.4x
-
6x+3x=5
-
7
C.4x
-
6x
-
3x=5
-
7
D.4x
-
6x+3x=
-
5
-
7
3.已知方程x
-
2=0,则下列方程的解与它的相同的是
( )
A.x=
-
2
B.x+2=0
C.2(x
-
2)=0
D.
-
x=2
4.解方程4x
-
2=3
-
x的过程顺序是
( )
①合并同类项,得5x=5;②移项,得4x+x=3+2;③系数化为1,得x=1.
A.①②③
B.③②①
C.②①③
D.③①②
5.当x为何值时,5x与8+3x的值分别满足下列条件
(1)相等; (2)互为相反数.
【能力提升】
6.如果xa+2y3与
-
3x3y2b
-
1是同类项,那么a,b的值分别是
( )
A.1,2 B.0,2 C.2,1 D.1,1
7.下列各式正确的是
( )
A.
-
3x+x=(
-
3
-
1)x
B.0.1x
-
0.1x=0
C.0.1x
-
0.9x=
-
x
D.
-
x
-
2x
-
5x=(
-
2
-
5)x=
-
7x
8.下列变形中属于移项的是
( )
A.由5x
-
7y=2,得
-
2
-
7y+5x
B.由6x
-
3=x+4,得6x
-
3=4+x
C.由8
-
x=x
-
5,得
-
x
-
x=
-
5
-
8
D.由x+9=3x
-
1,得3x
-
1=x+9
9.如果方程2x+1=
-
3与x+a=2x+3的解相同,那么a10= .
10.已知关于x的方程2x+1=a和2x+2=0的解相同,求a2
-
的值.
【拓展探究】
11.小明在解方程5a
-
x=13(x为未知数)时,误将
-
x看作+x,解方程得x=
-
2,则原方程的解为
( )21·cn·jy·com
A.x=
-
3 B.x=0 C.x=2 D.x=1
12.对有理数a,b规定运算※的意义是a※b=2a
-
b,则方程3x※4=2的解是 .
13.把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,那么剩余20本,如果每人分4本,那么还缺25本,这个班有多少名学生
【答案与解析】
1.D(解析:移项变形要注意与原式是不是恒等的,移项变形的依据是在等号两边同加或同减同一个整式,也就是等式的基本性质.)
2.B(解析:注意移项要变号.)
3.C(解析:方程x
-
2=0的解为x=2,方程2(x
-
2)=0的解也为x=2.故选C.)
4.C(解析:观察方程特点:不含分母
( http: / / www.21cnjy.com ),没有括号.故解答过程只需要:移项,合并同类项,系数化为1.根据解方程的步骤:先移项,再合并同类项,最后系数化为1.故选C.)
5.解:(1)由题意可知5x=8+3x
( http: / / www.21cnjy.com ),5x
-
3x=8,x=4.所以当x=4时,5x与8+3x的值相等. (2)由题意可知8+3x=
-
5x,8x=
-
8,x=
-
1.所以当x=
-
1时,5x与8+3x的值互为相反数.
6.A(解析:已知两个单项式是同类项,也
( http: / / www.21cnjy.com )就是x的指数相同,y的指数也相同,于是可得方程a+2=3,2b
-
1=3,所以a=1,b=2.故选A.)
7.B(解析:A中
-
3x+x=(
-
3+1)x,错;C中0.1x
-
0.9x=(0.1
-
0.9)x=
-
0.8x,错;D中
-
x
-
2x
-
5x=(
-
1
-
2
-
5)x=
-
8x,错.)
8.C(解析:根据移项的定义,移项是从方程的
( http: / / www.21cnjy.com )一边移到方程的另一边,注意改变符号作答.A.5x
-
7y=2是等式,
-
2
-
7y+5x是代数式,不属于移项;B.由6x
-
3=x+4,得6x
-
3=4+x,等号右边运用了加法的交换律,不属于移项;C.属于移项;D.运用了等式的对称性,不属于移项.故选C.)
9.1(解析:把2x+1=
-
3的解x=
-
2代入x+a=2x+3,得关于a的一元一次方程
-
2+a=
-
4+3,解得a=1.则a10=1.)
10.解:因为它们的解相同,所以=
-
1,a
-
1=
-
2,a=
-
1.a2
-
=(
-
1)2
-
=1
-
1=0.
11.C(解析:由x=
-
2是方程5a+x=13的解,得a=3,再解方程15
-
x=13,得x=2.故选C.)
12.x=1(解析:3x※4=2×3x
-
4,所以方程为2×3x
-
4=2,6x
-
4=2,x=1.)
13.解:设这个班有x名学生,根据
( http: / / www.21cnjy.com )题意,得3x+20=4x
-
25,移项,得3x
-
4x=
-
25
-
20,合并同类项,得
-
x=
-
45,系数化为1,得x=45.即这个班有45名学生.
引导学生发现和总结移项法则.
( http: / / www.21cnjy.com )让学生体会新知识的学习与事物的发展变化总是由易到难相一致,而解决新问题的方法往往是化“新”为“旧”,这样一个研究数学的方法,会对以后的数学学习在思维方式、解决问题的策略等方面给予启发和帮助,明确学习移项法则的必要性.
在解题过程中出现“移项”与“项的换序”混淆、合并同类项中出现符号出错以及系数化为1时系数为分数易出错等问题.
将学生分成两人一组,一个出题,另一个解答,利用了学生好胜的心理,增加学生解答的趣味性,从而提高学生的学习效率.
练习(教材第153页)
1.解:(1)不正确.移项要变号.正确为:由x
-
2=6,得x=6+2. (2)正确.
2.解:(1)移项,得x=4
-
7;合并同类项,得x=
-
3.
(2)移项,得x+3x=8;合并同类项,得4
( http: / / www.21cnjy.com )x=8;系数化为1,得x=2. (3)移项,得3x+2x=
-
6
-
4;合并同类项,得5x=
-
10;系数化为1,得x=
-
2. (4)移项,得x
-
x=1
-
2;合并同类项,得
-
x=
-
1;系数化为1,得x=.
习题(教材第153页)
A组
1.提示:(1)x=. (2)x=
-
. (3)x=
-
13.
(4)x=25. (5)x=1. (6)x=5.【版权所有：21教育】
2.提示:(1)x=
-
. (2)x=9.
B组
1.解:由题意得2a
-
8=20,解这个方程,得a=14,所以当a=14时,代数式2a
-
8的值等于20.
2.解:设最小的数为x,由题意得x+2x+4x=84.解这个方程,得x=12,4x=4×12=48.即这三个数中最大的数为48.21教育名师原创作品
解一元一次方程的常见错误
1.同解变形不同解
下列结论中正确的是
( )
A.在等式3a
-
6=3b+5的两边都除以3,可得等式a
-
2=b+5
B.在等式7x=5x+3的两边都减去x
-
3,可以得等式6x
-
3=4x+6
C.在等式
-
5=0.1x的两边都除以0.1,可以得等式x=
-
0.5
D.如果
-
2=x,那么x=
-
2
〔解析〕 方程同解变形的理论依据:一为数的
( http: / / www.21cnjy.com )运算法则、运算性质;二为等式的性质,通常都用后者.性质中的关键词是“两边都”和“同一个”,即对等式变形必须两边同时进行加或减或乘或除以,不可漏掉一边、一项,并且加、减、乘或除以的数(或整式)完全相同.选项A错误,原因是没有将“等号”右边的每一项都除以3;选项B错误,原因是左边减去x
-
3时,应写作“
-
(x
-
3)”而不是“
-
x
-
3”,这里有一个去括号的问题;选项C错误,原因是思维跳跃短路,一边记着是除以而到另一边变为乘了,对一般像这样小数的除法可以运用有理数运算法则变成乘其倒数较为简便;选项D正确,这恰好是等式的对称性,即a=b b=a.故选D.
2.移项时忘了变号
解方程20
-
3x=5,移项后正确的是
( )
A.
-
3x=5+20 B.20
-
5=3x
C.3x=5
-
20
D.
-
3x=
-
5
-
20
〔解析〕 解方程的“移项”步骤,其实质就是在
( http: / / www.21cnjy.com )“等式的两边同加或减同一个数或整式”,运用该性质且化简后恰相当于将等式一边的一项变号后移到另一边,简单概括就成了“移项”步骤,此外最易错的就是“变号”的问题,如此题选项A,C,D均出错在此处.解决这类易错点的办法是记牢移项过程中的符号法则,操作此步骤时就予以关注;或明晰其原理,移项就是两边同加或减该项的相反数,使该项原来所在的这边不再含该项——即代数和为0.故选B.www.21-cn-jy.com
第课时
1.使学生掌握去括号的方法步骤.
2.会把实际问题建成数学模型,会用去分母的方法解一元一次方程.
通过列方程解决问题,让学生逐步建立方程思想;通过去分母解方程,让学生了解数学中的化归思想.
增强数学的应用意识,激发学习数学的热情.
【重点】
1.去括号解方程.
2.会用去分母的方法解一元一次方程.
【难点】 灵活地解含括号与含分母的方程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习用移项法解一元一次方程的方法.
导入一:
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家
( http: / / www.21cnjy.com ),有一次有位数学家问他:“尊敬的毕达哥拉斯先生,请告诉我,有多少名学生在你的学校里听你讲课 ”毕达哥拉斯回答说:“我的学生,现在有在学习数学,在学习音乐,沉默无言,此外,还有三名妇女.”算一算:毕达哥拉斯的学生有多少名
如果设毕达哥拉斯的学生有x名.
根据题意得x+x+x+3=x.(教师板书)
通过解方程求出x的值,即可得到答案.
【师生活动】 让大家观察这个方程同上一课时学习的方程有什么不同,尝试解这个方程.
学生发现:这个方程含有分数系数,但同样可以用移项、合并同类项的方法来解,只不过合并起来要通分,计算量较大.
师生探讨:那有什么办法避免繁琐的通分、合并吗 这节课我们就来共同研究这种含有分数系数的一元一次方程的解法.板书课题:第2课时.
[设计意图] 用数学小故事引入新知,激发学生
( http: / / www.21cnjy.com )的学习兴趣,让学生自然地展开对含有分数系数的一元一次方程的学习.利用列方程解决实际问题,让学生感受方程的优越性,提高学生主动使用方程的意识.通过设问,让学生发现问题,把学生引入探究新解法的情境,自然地引入本课时的课题——用去分母法解一元一次方程.
导入二:
学生完成下列两组习题:
1.去括号.
(1)x
-
(x
-
4);
(2)8
-
2(x
-
7);
(3)4(x+0.5).
2.解方程.
(1)x+4=2
-
x;
(2)3x=8+2x
-
6.
(两同学板演,其余同学在练习本上自主完成解题,教师巡视并随时指导.)
从简单到复杂,巩固所学的解方程知识,为去括号做铺垫,并让学生回忆解一元一次方程的基本步骤:
①移项;
②合并同类项;
③未知数的系数化为1.
[设计意图] 通过复习去括号和前面学过的解方程导入新课,让学生重温旧知识,为本课时的学习做准备.
[过渡语] 同学们会解下面两个方程吗
(1)3(x
-
1)=9;
(2).
(教材例3)解方程:6(2x
-
5)+20=4(1
-
2x).
思路一
解:去括号,得12x
-
30+20=4
-
8x.
移项,得12x+8x=4+30
-
20.
合并同类项,得20x=14.
两边同除以20,得x=.
思考:方程中含有括号时,一般应该怎样做 (先去括号.)
思路二
师:观察方程,它与前几节课所学的方程有何不同 怎样解这个方程
生观察,讨论.
师引导学生说出:只要将它化成与前几节课所学的方程相同的形式就可以解,即去括号.然后师生共同回忆去括号的方法.
师用多媒体课件展示框图的解答过程,然后让学生和前边解方程的过程对比,使学生温故而知新,“现在比原来多了一步——去括号”.
解:
( http: / / www.21cnjy.com )
(教材例4)解方程:.
解:去分母,得2(x
-
1)
-
(x
-
2)=3(4
-
x).
去括号,得2x
-
2
-
x+2=12
-
3x.
移项,合并同类项,得4x=12.
两边同除以4,得x=3.
思考:解方程在去括号的过程中要注意什么 (括号前面是“
-
”时,去括号后,括号内的每一项都要改变符号.)
总结:解一元一次方程的步骤,一般是:
(1)去分母;
(2)去括号;
(3)移项;
(4)合并同类项(化为ax=b的形式,其中a≠0,a,b是已知数);
(5)将未知数的系数化为1(化为x=c的形式).
[知识拓展] 去括号法则的
( http: / / www.21cnjy.com )依据是乘法分配律,以及有理数乘法法则.如果括号外面与括号内相乘的数不等于1,去括号时注意用括号外面的数乘括号内的每一个数,同时注意每一个乘积的符号以及乘积的绝对值.
1.解方程实际上就是将一个
( http: / / www.21cnjy.com )复杂的方程,利用等式的性质和其他法则等逐步转化,最后变成x=a的形式,其中x=a既是方程,又是方程的解,去括号的主要理论依据是乘法分配律和有理数乘法法则.计算时,把每一项前的符号与这项作为一个整体,再相乘,并去括号.
2.解一元一次方程的一般步骤:
方程变形名称
具体做法
注意事项
去分母
方程两边同乘分母的最小公倍数
不含分母的项也要乘,分子要用括号括起来
去括号
利用乘法分配律去括号,括号前是正数,去括号后,括号内各项都不变号;括号前是负数,去括号后,括号内各项都变号
不要漏乘括号内的项,符号不要弄错
移项
把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边
移项一定要变号,不移不变
合并同类项
把方程化为ax=b(a≠0)的形式
把未知数的系数相加减,未知数不变;把常数项相加减
系数化为1
在方程的两边同除以未知数的系数
由ax=b到x=,a在方程右边作分母,不要把分子、分母弄颠倒
1.解方程3
-
4(x+2)=x,去括号正确的是
( )
A.3
-
x+2=x B.3
-
4x
-
8=x
C.3
-
4x+8=x
D.3
-
x
-
2=x
解析:方程去括号得3
-
4x
-
8=x.故选B.
2.在解方程=1时,下列变形正确的是
( )
A.=10
B.=10
C.=1
D.=1
解析:分数的分母化为整数,根据分数的基本性质,分数的分子和分母都扩大到原来的10倍,得到=1.故选D.
3.(2015·济南中考)若代数式4x
-
5与的值相等,则x的值是
( )
A.1 B. C. D.2
解析:4x
-
5=,去分母得8x
-
10=2x
-
1,移项、合并同类项得6x=9,系数化为1得x=.故选B.
4.(1)(2015·广州中考)解方程:5x=3(x
-
4);
(2)解方程:=1.
解:(1)去括号,得5x=3x
-
12.移项,得5x
-
3x=
-
12.合并同类项,得2x=
-
12.系数化为1,得x=
-
6. (2)去分母,得3(2x
-
1)
-
2(x+1)=6.去括号,得6x
-
3
-
2x
-
2=6.移项、合并同类项,得4x=11.系数化为1,得x=.
第2课时
例1
例2
解一元一次方程的一般步骤
一、教材作业
【必做题】
教材第155页练习第1,2题.
【选做题】
教材第155页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.将方程3
-
去分母时,方程两边应同时乘
( )
A.4 B.6 C.8 D.12
2.(2015·大连中考)方程3x+2(1
-
x)=4的解是
( )
A.x=
B.x=
C.x=2
D.x=1
3.关于x的方程
-
3(a+x)=a
-
2(x
-
a)的解为x=
-
1,则a的值为
( )
A.6
B.
C.
-
6
D.
-
4.当y= 时,的值与
-
的相反数相等.
5.解方程.
(1)4x
-
3(20
-
x)=6x
-
7(9
-
x);
(2).
【能力提升】
6.把方程=1
-
去分母后,正确的结果是
( )
A.2x
-
1=1
-
(3
-
x)
B.2(2x
-
1)=1
-
(3
-
x)
C.2(2x
-
1)=8
-
3
-
x
D.2(2x
-
1)=8
-
(3
-
x)
7.关于x的方程2
-
=0的解与2x+1=3的解相同,则a的值为
( )
A.7
B.0
C.3
D.5
8.下列两个方程的解相同的是
( )
A.方程5x+3=6与方程2x=4
B.方程3x=x+1与方程2x=4x
-
1
C.方程x+=0与方程=0
D.方程6x
-
3(5x
-
2)=5与6x
-
15x=3
9.解方程:=1.
10.当m为何值时,代数式的值比代数式的值小1
【拓展探究】
11.某书中一道方程题+1=x, 处印刷时被墨盖住了,查看后面的答案得知这道题的解为x=
-
2.5,那么 处的数字为 .
12.观察方程=2x+1的特点,你有好的解法吗 写出你的解法.
13.王明在解方程
-
2去分母时,方程右边的
-
2没有乘3,因而求得方程的解为x=
-
1,求m的值,并正确地解方程.
【答案与解析】
1.A(解析:找出方程中各分母的最小公倍数即可得到结果.方程去分母时两边同时乘4.)
2.C(解析:去括号得3x+2
-
2x=4,移项、合并同类项得x=2.)
3.B(解析:把x=
-
1代入原方程,得
-
3(a
-
1)=a
-
2(
-
1
-
a),解得a=.)
4.3(解析:由题意知,解得y=3.)
5.解:(1)去括号,得4x
-
60+3x=6x
-
63+7x.移项,得4x+3x
-
6x
-
7x=
-
63+60.合并同类项,得
-
6x=
-
3.系数化为1,得x=. (2)去分母,得5(2y
-
1)=4(3y+1).去括号,得10y
-
5=12y+4.移项、合并同类项,得
-
2y=9.系数化为1,得y=
-
.21·世纪
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6.D(解析:去分母的方法是方程左
( http: / / www.21cnjy.com )右两边同时乘分母的最小公倍数,注意分数线起括号的作用,并注意不能漏乘.方程左右两边同时乘8,得2(2x
-
1)=8
-
(3
-
x).)
7.A(解析:2x+1=3的解为x=1,然后代入2
-
=0中求得a.)
8.B(解析:选项A中的方程5x+
( http: / / www.21cnjy.com )3=6,解得x=,方程2x=4的解为x=2;选项B中的方程3x=x+1,移项得3x
-
x=1,解得x=,方程2x=4x
-
1,移项得4x
-
2x=1,解得x=;选项C中的方程x+=0,解得x=
-
,方程=0,即x+1=0,解得x=
-
1;选项D中的方程6x
-
3(5x
-
2)=5,去括号得6x
-
15x+6=5,移项得6x
-
15x=5
-
6,解得x=,方程6x
-
15x=3,整理得
-
9x=3,解得x=
-
.综上所述,两个方程的解相同的是B.)
9.解:原方程可化为=1.去
( http: / / www.21cnjy.com )分母,得2(1+2x)
-
3(10
-
3x)=6,去括号,得2+4x
-
30+9x=6,移项,得4x+9x=6+30
-
2,合并同类项,得13x=34,系数化为1,得x=.
10.解:根据题意得=1.去分母
( http: / / www.21cnjy.com ),得5(3+2m)
-
3(m+3)=15.去括号,得15+10m
-
3m
-
9=15.移项、合并同类项,得7m=9.系数化为1,得m=.
11.5(解析:把x=
-
2.5代入方程,解得 =5.)
12.解:去中括号得(x
-
4)
-
4=2x+1.去小括号,得x
-
4
-
4=2x+1.移项,得x
-
2x=1+4+4.合并同类项,得
-
x=9.系数化为1,得x=
-
9.
13.解:由题意可知方程2x
-
1
( http: / / www.21cnjy.com )=x+m
-
2的解为x=
-
1,所以2×(
-
1)
-
1=
-
1+m
-
2,解得m=0,把m=0代入方程
-
2,得
-
2,2x
-
1=x
-
6,所以x=
-
5.
在前面的学习中,学生已学习了合并同
( http: / / www.21cnjy.com )类项、去括号等整式运算内容.解一元一次方程就成为承上启下的重要内容.因此,它既是重点也是难点.本课时基于对学情的分析,充分借助学生以往的知识,做到了知识的有效衔接,并通过创设新颖的问题情境,以引导法为主,辅之以直观演示法、讨论法,向学生提供充分从事数学活动的机会,激发学生的学习积极性,使学生主动参与学习的全过程.
学生容易出现下列错误:不会找各分母的最小公倍数;用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时,漏乘不含分母的项.
在训练上可以采取多种方式呈现,如判断
( http: / / www.21cnjy.com )题、辨析题、选择题等,让学生通过各种方式达到提高能力的目的.对于分母是小数的一元一次方程,教师可举例作为例题来讲解,在这时让学生体会去分母的方法.不要局限于教材上的例题,要有创造性,要让学生通过对比了解其特点,掌握其方法.
练习(教材第155页)
1.解:(1)不正确.3
-
(1
-
2x)=6,3
-
1+2x=6,2x=4,x=2. (2)不正确.
-
1=,2x+1
-
4=3x+2,2x
-
3x=2+4
-
1,
-
x=5,x=
-
5.
2.提示:(1)x=4. (2)x=. (3)y=13. (4)x=2.
3.解:(1)由题意得3
( http: / / www.21cnjy.com )(2
-
x)=2(3+x),解这个方程,得x=0. (2)由题意得5(x+2)+3=2(1
-
3x),解这个方程,得x=
-
1.
习题(教材第155页)
A组
1.解:(1)不对.正确为
( http: / / www.21cnjy.com ):2(x
-
1)
-
(5x+2)=4. (2)不对.正确为:4(2x
-
1)
-
3(5x+2)=12. (3)不对.正确为:4(1
-
x)
-
(9x+5)=0.
2.提示:(1)x=
-
. (2)x=14. (3)x=
-
.
(4)x=10. (5)x=. (6)x=3.
B组
1.提示:(1)b=9. (2)h=6.
2.提示:a=.
解一元一次方程的常见错误
1.移项没有改变符号
解方程:10+9x=9+10x.
错解:移项,得9x+10x=9+10,合并同类项,得19x=19,解得x=1.
〔易错辨析〕 根据移项法则,方程中10x和10从方程的一边移到另一边应改变符号.
正解:移项,得9x
-
10x=9
-
10,合并同类项,得
-
x=
-
1,系数化为1,得x=1.
2.去分母时漏乘不含分母的项
解方程:+2=.
错解:去分母,得3x
-
2+2=x+6,移项、合并同类项,得2x=6,系数化为1,得x=3.
〔易错辨析〕 去分母时,方程两边都乘5,而2这一项漏乘了5.
正解:去分母,得3x
-
2+10=x+6,移项、合并同类项,得2x=
-
2,系数化为1,得x=
-
1.
3.去括号时错用乘法的分配律
解方程:8x
-
2(1
-
x)=7x
-
3(x
-
1).
错解:去括号,得8x
-
2
-
x=7x
-
3x
-
3,移项、合并同类项,得3x=
-
1,系数化为1,得x=
-
.
〔易错辨析〕 用乘法分配律时,方程左边
-
2(1
-
x)=
-
2+2x,右边
-
3(x
-
1)=
-
3x+3.
正解:去括号,得8x
-
2+2x=7x
-
3x+3,移项、合并同类项,得6x=5,系数化为1,得x=.
4.去分母时,忽略分数线的括号作用
解方程:=1.
错解:去分母,得4(x+1)
-
4
-
3x=8,去括号,得4x+4
-
4
-
3x=8,合并同类项,得x=8.
〔易错辨析〕 分子4
-
3x是一个整体,在去分母时应加上括号.
正解:去分母,得4(x+1)
-
(4
-
3x)=8,去括号,得4x+4
-
4+3x=8,合并同类项,得7x=8,系数化为1,得x=.
5.4 一元一次方程的应用
1.会列一元一次方程解决实际问题.
2.能根据实际问题的意义,检验结果的合理性.
经历应用一元一次方程解决实际问题的过程,帮助学生提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
通过一元一次方程解决实际问题,进一步体会方程这一数学模型的重要作用,增强数学的应用意识.
【重点】 列一元一次方程解决实际问题.
【难点】 体会和形成方程这一数学模型的思想.
第课时
1.会用多种方式表示问题中的各种量.
2.根据数量关系建立方程.
3.根据“各分量之和=总量”建立数量关系.
在教师的引导下,通过学生的参与和思考完成解决问题的过程.
增强数学应用意识.
【重点】 根据数量关系(各分量之和=总量)列出方程.
【难点】 确定方程的解的实际意义,体会列不同的方程解决同一问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习解一元一次方程的基本步骤.
导入一:
解方程.
(1)6(x
-
3)=
-
2(x
-
4)+1;
(2)
-
2(10
-
0.5y)=4(1.5y+2);
(3)=1;
(4)x
-
.
[设计意图] 通过练习,起到复习旧知识的作用,同时检验上一节课的学习效果,为本节课进一步学习起到一个基石的作用.2·1·c·n·j·y
导入二:
在一条公路施工中,需要修一条长为
( http: / / www.21cnjy.com )1200
m的隧道,由甲、乙两个施工队从两端同时施工.甲队每天挖4
m,乙队每天挖6
m,多少天能打通这条隧道
[设计意图] 通过教材中的练习唤起学生解决问题的愿望,为本课时的学习进行思想动员.
[过渡语] 一元一次方程是重要的数学模型之一.利用等量关系建立一元一次方程,可以方便地解决许多实际问题.
活动1 体验根据代数式列方程
某学校七年级同学参加一次公益活动,
( http: / / www.21cnjy.com )其中15%的同学去作保护环境的宣传,剩下的170名同学去植树、种草.七年级共有多少名同学参加这次公益活动
请你思考小红和小华的做法,并提出自己的见解与同学交流.
小红的做法:
解:设七年级共有x名同学参加这次公益活动,那么作环境保护宣传的同学有15%x名.
根据题意,得15%x+170=x.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加这次公益活动.
追问:
(1)问题总的等量关系是什么 (总量=各分量之和.)
(2)如果不用方程怎样去解决这个问题 (170÷(1
-
15%).)
(3)设未知数的用意是什么 (建立方程去解决问题.)
小华的做法:
解:设七年级共有x名同学参加这次公益活动,那么作保护环境宣传的同学有(x
-
170)名.
根据题意,得15%x=x
-
170.
解这个方程,得x=200.
答:七年级共有200名同学参加这次公益活动.
追问:
(1)你认为小红和小华的做法正确吗 方程15%x+170=x与15%x=x
-
170有怎样的联系
(都正确.15%x+170=x与15%x=x
-
170是从不同思考角度提出的,从方程的角度看是移项的结果.)
(2)如果仍设七年级共有x名同学参加这次公益活动,请解释方程“85%x=170”所表示的意义.
(“85%x=170”的左右两边都是“剩下的去植树、种草的同学数”,是同一个量的两种表现形式.)
活动2 例题讲解
(教材例1)大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷.其中,大拖拉机耕地的面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷.这两台拖拉机一天各耕地多少公顷
〔解析〕 寻找等量关系是列方程的基础
( http: / / www.21cnjy.com )和前提,本题中等量关系为:大拖拉机耕地面积+小拖拉机耕地面积=总耕地面积,① 大拖拉机耕地面积=小拖拉机耕地面积×2+1.②
解:设小拖拉机一天耕地x公顷,则大拖拉机一天耕地(2x+1)公顷.
根据题意,得x+(2x+1)=19.
解得x=6.
从而有2x+1=13.
答:大拖拉机一天耕地13公顷,小拖拉机一天耕地6公顷.
追问:
(1)如果设小拖拉机一天耕地x公顷
( http: / / www.21cnjy.com ),那么能由等式①得到大拖拉机一天的耕地面积,进而列出方程求得x吗 谈谈你的认识和做法.(19
-
x=2x+1.) 21
cnjy
com
(2)在以上两个问题中,量与量之间都存在着怎样的关系式 (各分量之和=总量.)
[设计意图] 通过追问帮助学生理解同一问题可以用不同的方法解决,不同的思考会带来不同的问题模型.
[知识拓展] 在分析实际问题中复杂的数
( http: / / www.21cnjy.com )量关系时,可借助表格、图形帮助审题,准确地分析题意,探索已知量和未知量之间的数量关系,找出题中的等量关系,通过列一元一次方程解决实际问题.
各分量之和=总量是建立方程时重要的和差关系,同一个量可以有不同的代数表达式.
1.根据图提供的信息,可知一个杯子的价格是
( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.50元 B.35元 C.10元 D.8元
解析:设一个杯子的价格为x元,则一只暖壶的价格为(40
-
x)元,于是得方程3x+2(40
-
x)=90,解得x=10.故选C.
2.(2015·南充中考)学校机
( http: / / www.21cnjy.com )房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置的计算机数量是去年购置计算机数量的3倍,则今年购置计算机的数量是
( )
A.25台
B.50台
C.75台
D.100台
解析:设去年购置计算机x台,则3x+x=100,解得x=25.故今年购置计算机75台.故选C.
3.有一个两位数,它是合数,且十位上的数字与个位上的数字之和是8,符合这样条件的两位数有哪些
解:8=0+8=1+7=2+6=3+5=4+4,则符合这样条件的两位数有:80,26,62,35,44,共5个.
4.(2015·云南中考
( http: / / www.21cnjy.com ))为有效开展阳光体育活动,云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场比赛都要决出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.已知九年级一班在8场比赛中得到13分,则九年级一班胜、负场数分别是多少
解:设九年级一班胜x场,则负(8
-
x)场.由题意知2x+(8
-
x)=13,解得x=5,则8
-
x=8
-
5=3.即九年级一班胜5场,负3场.
第1课时
活动1 体验根据代数式列方程
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第159页练习第1,2题.
【选做题】
教材第160页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.小明准备为希望工程捐款,他现在有20元,以后每月打算存10元,若设x月后他能捐出100元,则下列方程中能正确计算出x的是
( )
A.10x+20=100 B.10x
-
20=100
C.20
-
10x=100
D.20x+10=100
2.笼子里有一些鸡和兔,总共有32个头,106只脚,若设笼中有鸡x只,只列方程为
( )
A.2x+4(32
-
x)=106
B.2x
-
4(32
-
x)=106
C.4x+2(32
-
x)=106
D.2x+(32
-
x)=106
3.生产一批零件,某工人若每小时
( http: / / www.21cnjy.com )生产28个零件,在规定时间内还有15个不能完成,若每小时生产32个,则可以超额完成5个,则规定时间是
( )
A.3小时 B.4.5小时 C.4小时 D.5小时
4.(2015·嘉兴中考)公元前
( http: / / www.21cnjy.com )1700年的古埃及纸草书中,记载着一个数学问题:“它的全部,加上它的七分之一,其和等于19.”此问题中的“它”的值为 .
5.在甲地劳动的有27人,在乙地劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲地的人数为在乙地的人数的2倍,应调往甲、乙两地各多少人
【能力提升】
6.41人参加运土劳动,有30根扁担,要安排多少人抬,多少人挑,可以使扁担和人数相配不多不少 若设有x人挑土,则列出的方程是
( )
A.2x
-
(30
-
x)=41
B.+(41
-
x)=30
C.x+=30
D.30
-
x=41
-
x
7.亮亮同学买了80分邮票与1元邮票共花了16元,其中所买的1元邮票比80分邮票少了2枚,设买了80分邮票x枚,则可列方程为
( )
A.0.8x+(x
-
2)=16
B.0.8x+(x+2)=16
C.80x+(x
-
2)=16
D.80x+(x+2)=16
8.(2015·荆门中考
( http: / / www.21cnjy.com ))王大爷用280元买了甲、乙两种药材,甲种药材每千克20元,乙种药材每千克60元,且甲种药材比乙种药材多买了2千克.则甲种药材买了 千克.
9.(2015·宁德中考)为支
( http: / / www.21cnjy.com )持亚太地区国家基础设施建设,由中国倡议设立亚投行.截止2015年4月15日,亚投行意向创始成员国确定为57个.其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个,其余洲共5个,求亚洲和欧洲意向创始成员国各有多少个.
10.王阿姨和李奶奶一起去超市
( http: / / www.21cnjy.com )买菜,王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1
kg,共花12.8元,李奶奶买西红柿2
kg、茄子1.5
kg,共花15元.已知青椒每千克4.2元,请你求出每千克西红柿、茄子各多少元.
【拓展探究】
11.某渔场的甲仓库存鱼30吨,乙
( http: / / www.21cnjy.com )仓库存鱼40吨,要再往这两个仓库运送80吨鱼,使甲仓库的存鱼量为乙仓库的存鱼量的1.5倍,应往甲仓库和乙仓库分别运送多少吨鱼
12.在“为贫困山区的孩子送温暖”的活动
( http: / / www.21cnjy.com )中,要运76吨物资,有大、小两种汽车17辆,这些车一次恰好运完,要求大、小汽车各多少辆,你认为还需要什么条件 请你添加符合实际的条件,并列出方程求解.
13.某天,一水果个体户用90元钱从水果批发市场批发了苹果和香蕉共80
kg到菜市场去卖,苹果和香蕉这天的批发价和零售价如下表所示:
品名
苹果
香蕉
批发价(单位:元/
kg)
1
1.2
零售价(单位:元/
kg)
1.2
1.6
则他当天卖完这些苹果和香蕉能赚多少钱
【答案与解析】
1.A(解析:本题的等量关系为:小明现有的钱+存入的钱=小明可捐出的钱,对应方程为:10x+20=100.故选A.)2-1-c-n-j-y
2.A(解析:鸡有两只脚,兔有四只脚.)
3.D(解析:设规定时间为x小时,则28x+15=32x
-
5,解得x=5.)
4.(解析:可以直接设“它”的值
( http: / / www.21cnjy.com )为x,根据题意可建立等量关系列方程,从而解得所求的结果.设“它”的值为x,根据题意得x+x=19,解得x=,故“它”的值为.故填.)
5.解:设调往甲地x人,则调往乙地(2
( http: / / www.21cnjy.com )0
-
x)人.根据题意,得27+x=2[19+(20
-
x)],解这个方程,得x=17,所以20
-
x=3.即调往甲地17人,调往乙地3人.
6.C(解析:本题在运土过程中,挑土的是一人一根扁担,抬土的是两人一根扁担.)
7.A(解析:买了80分邮票x枚,因此80分邮票花了0.8x元,1元邮票花了(x
-
2)元,则有0.8x+(x
-
2)=16.)
8.5(解析:首先设出未知数,然后找出等
( http: / / www.21cnjy.com )量关系列出方程,最后求出方程的解即可.设甲种药材买了x千克,则乙种药材买了(x
-
2)千克,根据题意得20x+60(x
-
2)=280,解这个方程得x=5,所以甲种药材买了5千克.故填5.)
9.解:设欧洲有x个成员国,
( http: / / www.21cnjy.com )则亚洲有(2x
-
2)个成员国,根据题意,得x+2x
-
2+5=57,解得x=18,从而2x
-
2=34.即亚洲和欧洲意向创始成员国分别有34个、18个.
10.解:设每千克西红柿
( http: / / www.21cnjy.com )x元,则每千克茄子(12.8
-
4.2
-
x)元,由题意得2x+1.5(12.8
-
4.2
-
x)=15,2x+1.5(8.6
-
x)=15,2x
-
1.5x+1.5×8.6=15,0.5x=2.1,x=4.2.所以12.8
-
4.2
-
4.2=4.4(元).即每千克西红柿4.2元,每千克茄子4.4元.
11.解:本题的相等关系可表示为:运送后
( http: / / www.21cnjy.com )甲仓库的存鱼量=乙仓库的存鱼量×1.5.设运送到甲仓库的鱼为x吨,则运送到乙仓库的鱼为(80
-
x)吨,即运送后甲仓库有鱼(30+x)吨,运送后乙仓库有鱼[40+(80
-
x)]吨.依题意,得30+x=[40+(80
-
x)]×1.5,解得x=60,则80
-
x=20.即运送到甲仓库的鱼为60吨,运送到乙仓库的鱼为20吨.
12.解:答案不唯一,符合实际即可,如
( http: / / www.21cnjy.com ):添上“大汽车的载重量为5吨,小汽车的载重量为4吨”.设大汽车有x辆,则小汽车有(17
-
x)辆,依题意,得5x+4(17
-
x)=76,解得x=8,则17
-
x=9.即大汽车有8辆,小汽车有9辆.
13.解:设他卖了x
kg苹果.依题意
( http: / / www.21cnjy.com )得1×x+1.2(80
-
x)=90,解得x=30,30×1.2+(80
-
30)×1.6
-
90=36+80
-
90=26(元).即他当天卖完这些苹果和香蕉能赚26元.
本课时是初中阶段列方程解决问题的
( http: / / www.21cnjy.com )起始课,在教学的过程中渗透着帮助学生形成建立方程模型的数学思想,注重指导学生根据抽象等量关系列出方程,并注意提醒学生解决问题思路的多样性.
在“观察与思考”和“例1”的教学过程中,老师包办过多,应该给学生更多的思考和交流的机会.
“观察与思考”和“例1”先让学生尝试解决,总结交流后教师再进行点拨和指导.
练习(教材第159页)
1.解:设这个数为x.由题意得3x+x=6,解这个方程,得x=.即这个数为.
2.解:设仓库原有大米x
kg.由题意得x
-
25%x=37500,解这个方程,得x=50000.即仓库原有大米50000
kg.
3.解:设x天能打通这条隧道.由题意得4x+6x=1200,解这个方程,得x=120.即120天能打通这条隧道.
习题(教材第160页)
A组
1.解:设需要x
kg小麦.由题意得(1
-
15%)x=1000,解这个方程,得x=.即需要
kg小麦.
2.解:设需要这种药液x
kg,则需要水10x
kg.由题意得x+10x=110,解这个方程,得x=10.即需要10
kg这种药液.
3.解:设乙的速度为x
km/h.由题意得4×x,解这个方程,得x=16.即乙的速度为16
km/h.
B组
1.解:设两城间的路程是x
km.由题意得+20=,解这个方程,得x=240.即两城间的路程是240
km.
2.解:设沙包落在A区域得
( http: / / www.21cnjy.com )x分,则落在B区域得(34
-
3x)分.由题意得2x+2(34
-
3x)=32,解这个方程,得x=9,所以34
-
3x=34
-
3×9=7,所以9+3×7=30.即小敏的四次总分为30分.
某班将举行“法律知识竞赛”活动,班长安排小明购买奖品,下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境.
请根据图中的信息,试求两种笔记本各买了多少本.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
〔解析〕 设单价为5元的笔记本买了
( http: / / www.21cnjy.com )x本,则单价为8元的笔记本买了(40
-
x)本.根据领了300元,找回68元,此时多找回13元,列出方程求解即可.
解:设单价为5元的笔记本买了x本,
则单价为8元的笔记本买了(40
-
x)本.
由题意得5x+8(40
-
x)=300+13
-
68,
解得x=25,则40
-
x=15.
即单价为5元的笔记本买了25本,单价为8元的笔记本买了15本.
第课时
1.继续深化理解“和与差”的基本数量关系.
2.继续深化理解“各分量之和=总量”的基本等量关系.
3.通过“线段图”分析题目中的数量关系,找出等量关系.
1.从生活实际出发,体会数量之间的一般关系.
2.体会如何用简单的数学知识解决复杂的数学问题.
增强数学应用意识,培养良好的思维习惯.
【重点】 继续通过“各分量之和=总量”的基本等量关系列方程解决问题.
【难点】 用“和与差”的关系理解工程问题和行程问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习解一元一次方程的基本步骤.
导入一:
你能用方程解决这个问题吗
甲、乙两人骑自行车,同时从相距54
km的两地相向而行,2
h后相遇.已知甲每小时比乙多走3
km,求甲、乙两人的速度.
[设计意图] 通过与本课时知识密切相关的问题,引发学生探求新知识的欲望,寻求学习新知识的契机.
导入二:
我国元朝数学家朱世杰于1299年编写的《算学启蒙》中有这样一个题目:良马日行240里,驽马日行150里,驽马先行12日,问驽马几何追及之
师:这道古题的含义是什么呢 如何解答这个问题呢
[设计意图] 让学生阅读“名
( http: / / www.21cnjy.com )人名言”可以使学生感受到实际问题可以用数学问题解决,通过提出古代数学问题可以调动学生的学习兴趣,提高学生的学习热情,激发学生的学习欲望.
活动1 试着做做
甲、乙两地间的路程为375
km.一辆
( http: / / www.21cnjy.com )轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90
km/h,公共汽车的平均速度为60
km/h.它们出发后多少小时在途中相遇
问题:
1.本题中的等量关系是什么
(轿车的行驶路程+公共汽车的行驶路程=甲、乙两地之间的距离.)
2.设两车出发后x
h相遇,请你解释下图的含义.
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)线段示意甲、乙两地的路程;
(2)反向箭头示意相向而行:
(3)虚线位置示意相遇地点;
(4)左上的数字是轿车的行驶路程;
(5)右上的数字是公共汽车的行驶路程;
(6)中间数字375
km是全路程.
3.列出的方程是什么
(90x+60x=375.)
4.这个方程的解是多少
(x=2.5.)
补充例题:
小明早晨要在7:20以前赶到距家1000米
( http: / / www.21cnjy.com )的学校上学,一天,小明以80米/分的速度出发.5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带历史作业,于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多长时间
(2)追上小明时,距离学校还有多远
思考:
(1)当爸爸追上小明时,两人所行路程为 ,等量关系为 .
(2)你能用线段图表示出等量关系吗
(3)如果设爸爸追上小明用了x分钟,你能用代数式在线段图上表示出各部分么
活动2 例题讲解
(教材例2)一项工作,小李单独做需要6
h完成,小王单独做需要9
h完成.如果小李先做2
h后,再由两人合做,那么还需几小时才能完成
〔解析〕 借助于图示,可以帮助我们理清题中数量的等量关系.
( http: / / www.21cnjy.com )
解:设两人合做x
h才能完成.
依题意,得×2+x=1.
解得x=.
答:还需两人合做
h才可完成这项工作.
[知识拓展] 培养学生利用简单图形分析问题,体会数形结合的数学思想在具体问题中的应用,有助于更好地学习数学的其他方面的知识.
有的问题由于比较复杂,各
( http: / / www.21cnjy.com )个量之间的关系不是很容易被理解,这个时候,借助于简单的图形,可以使问题中的各种量直观化和明晰化,从而使问题迎刃而解.
1.汽车以72千米/时的速度在公路上行驶,开
( http: / / www.21cnjy.com )向寂静的山谷,驾驶员按一下喇叭,4秒后听到回响,这时汽车离山谷多远 已知空气中声音的传播速度约为340米/秒.设听到回响时,汽车离山谷x米,根据题意,列出方程为
( )【出处：21教育名师】
A.2x+4×20=4×340
B.2x
-
4×72=4×340
C.2x+4×72=4×340
D.2x
-
4×20=4×340
解析:72千米/时=20米/秒
( http: / / www.21cnjy.com ).汽车4秒所走的路程为4×20米,而声音在空气中传播的路程为(2x+4×20)米,易知2x+4×20=4×340.故选A.
2.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时后相遇,已知甲比乙每小时多走2.5千米,则乙的速度为 千米/时.
解析:本题属于相遇问题,等量关系为:甲走
( http: / / www.21cnjy.com )的路程+乙走的路程=45,甲走的路程=甲的速度×甲用的时间,乙走的路程=乙的速度×乙用的时间.依此列出方程.设乙每小时骑x千米,甲每小时骑(x+2.5)千米,由题意列方程为(x+x+2.5)×2=45,解得x=10.故乙的速度为10千米/时.故填10.
3.一轮船在A,B两个码头之间航
( http: / / www.21cnjy.com )行,顺水航行时需8小时,逆水航行时需12小时,已知该船在静水中的航行速度为每小时20千米,求水流速度和A,B两个码头之间的距离.
解:设水流速度为x千米/时
( http: / / www.21cnjy.com ),根据题意得(20+x)×8=(20
-
x)×12,解得x=4,即水流速度为4千米/时,则A,B两个码头之间的距离为(20+x)×8=192(千米).
4.一件工程,甲独做需15天完成,乙
( http: / / www.21cnjy.com )独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,则乙还要几天才能完成全部工程
解:设工程总量为单位1,等量
( http: / / www.21cnjy.com )关系为:甲完成的工作量+乙完成的工作量=工作总量.设乙还需x天完成全部工程,工作总量为单位1.则根据题意,得×3+=1,解这个方程,得x=6.即乙还需6天才能完成全部工程.
第2课时
活动1 试着做做
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第162页练习第1,2题.
【选做题】
教材第162页习题A组第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(铜仁中考)小明从家里骑自行车到学校,
( http: / / www.21cnjy.com )每小时骑15千米,可早到10分钟,每小时骑12千米就会迟到5分钟.他家到学校的路程是多少千米 设他家到学校的路程是x千米,根据题意列出的方程是
( )
A. B.
C.
D.+10=
-
5
2.小明和小刚从相距25.2千米的两地同时相向而行,小明每小时走4千米,3小时后两人相遇,设小刚的速度为x千米/时,列方程得
( )
A.4+3x=25.2
B.3×4+x=25.2
C.3(4+x)=25.2
D.3(x
-
4)=25.2
3.小强以5千米/时的速度先走16分钟,然后小明以13千米/时的速度追,则小明从出发到追上小强所需的时间为
( )
A.小时
B.10小时
C.小时
D.以上都不对
4.一项工程由甲队单独干18天完成,由乙队单独干9天完成,若两队合干需 天完成.
5.一轮船航行于两个码头之间,逆水需10小时,顺水需6小时.已知水流速度为3千米/时,求该船在静水中的速度和两码头间的距离.
【能力提升】
6.加工1500个零件,甲单独做要12小时,乙单独做要15小时,若甲、乙两人合做要x小时,依题意可列方程为
( )
A.=1500
B.x=1500
C.12x+15x=1500
D.
7.甲、乙两地相距50千米,
( http: / / www.21cnjy.com )小明、小刚分别以6千米/时、4千米/时从甲、乙两地同时出发,小明领一只小狗以10千米/时奔向小刚,碰到小刚后奔向小明,碰到小明后奔向小刚……一直到两人相遇,小狗共跑了
( )
A.25千米 B.30千米 C.35千米 D.50千米
8.一列长90米的队伍以2米/秒的速度向前行进,队尾一位学生用1分钟从队尾赶到队首,这位同学的速度是 ,走的路程是 米.
9.(肇庆中考)顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游,到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1,到两地旅游的人数各是多少
10.京津城际铁路开通运营,预
( http: / / www.21cnjy.com )计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时,试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟,由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时,由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米,那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米
【拓展探究】
11.A,B两地相距450米,甲、乙
( http: / / www.21cnjy.com )两车分别从A,B两地同时出发,相向而行.已知甲车的速度为120千米/时,乙车的速度为80千米/时,经过t小时两车相距50千米,则t的值是
( )
A.2或2.5
B.2或10
C.10或12.5
D.2或12.5
12.某部队执行任务,以8千米/时
( http: / / www.21cnjy.com )的速度前进,通讯员在队尾接到命令,要把命令传给排头,然后立即返回队尾.通讯员来回的行进速度都是12千米/时,共用了14.4分钟,则队伍的长是多少 www-2-1-cnjy-com
13.甲、乙二人在300米的环形跑道上练习长跑,甲的速度是6米/秒,乙的速度是7米/秒.
(1)如果甲、乙二人同地背向跑,乙先跑2秒,再经过多少秒二人相遇
(2)如果甲、乙二人同时同地同向跑,乙跑几圈后能首次追上甲
(3)如果甲、乙二人同时同向跑,乙在甲前面6米,经过多少秒后两人第二次相遇
【答案与解析】
1.A(解析:10分钟=小时,5分钟=小时,根据题意,得.故选A.)
2.C(解析:设小刚的速度为x千米/时,则
( http: / / www.21cnjy.com )3小时两人走的路程为3(4+x)千米,根据3小时内两人走的路程之和=两地的距离25.2千米的等量关系,可得到方程:3(4+x)=25.2.故选C.)
3.A(解析:设出追上小强所需的时
( http: / / www.21cnjy.com )间,利用小明和小强走过的距离相等,列出方程进行求解.设小明从出发到追上小强所需的时间为x小时,则5=13x,解得x=.)
4.6(解析:设两队合干需x天完成,则x=1,所以x=6.)
5.解:设船在静水中的速度为x千米/时
( http: / / www.21cnjy.com ),则顺水速度为(x+3)千米/时,逆水速度为(x
-
3)千米/时,由题意,得6(x+3)=10(x
-
3),解得x=12,则6(x+3)=6×(12+3)=90.即该船在静水中的速度是12千米/时,两码头间的距离为90千米.
6.B(解析:首先要理解题意,找
( http: / / www.21cnjy.com )出题中存在的等量关系:工作总量=工作效率×工作时间,从而根据此等式列出方程即可.设甲、乙两人合做要x小时,由题意,可得甲的工作效率是每小时做个,乙的工作效率是每小时做个.根据等式可列方程为x=1500.故选B.)
7.D(解析:此题要求小狗所跑的路程
( http: / / www.21cnjy.com ),只要求得两人相遇的时间即可.设两人x小时相遇,则6x+4x=50,解得x=5,则小狗所跑的路程是10×5=50(千米).)
8.3.5米/秒 210(
( http: / / www.21cnjy.com )解析:设这位同学的速度为x米/秒,则走的路程为60x米,列方程为60x=90+60×2,解得x=3.5,则60x=210.)
9.解:设到怀集旅游的为x人,则到德庆旅游的
( http: / / www.21cnjy.com )为(2x
-
1)人,根据题意,得x+(2x
-
1)=200,解得x=67,则到德庆旅游的为2x
-
1=133(人).即到怀集和德庆旅游的人数分别是67人,133人.
10.解:设这次试车时,由北京到天津的
( http: / / www.21cnjy.com )平均速度是每小时x千米,则由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米.依题意,得x=(x+40),解得x=200.即这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时200千米.
11.A(解析:考虑两种情况:相遇之前两车相距50千米,相遇之后两车相距50千米.)
12.解:设队伍的长为x千米,则通讯员从队
( http: / / www.21cnjy.com )尾到排头所用的时间为小时,从排头返回队尾的时间为小时,依题意,得,解得x=0.8.即队伍的长为0.8千米.
13.解:(1)设再经过x秒甲、乙二人相遇,
( http: / / www.21cnjy.com )则7×2+7x+6x=300,解得x=22.所以再经过22秒甲、乙二人相遇. (2)设经过y秒后乙能追上甲,则7y
-
6y=300,解得y=300.因为乙跑一圈需要秒,所以乙跑了300÷=7(圈),即
同课章节目录
- 第一章 有理数
- 1.1 正数和负数
- 1.2 数轴
- 1.3 绝对值与相反数
- 1.4 有理数的大小
- 1.5 有理数的加法
- 1.6 有理数的减法
- 1.7 有理数的加减混合运算
- 1.8 有理数的乘法
- 1.9 有理数的除法
- 1.10 有理数的乘方
- 1.11 有理数的混合运算
- 1.12 计算器的使用
- 第二章 几何图形的初步认识
- 2.1 从生活中认识几何图形
- 2.2 点和线
- 2.3 线段长短的比较
- 2.4 线段的和与差
- 2.5 角以及角的度量
- 2.6 角的大小
- 2.7 角的和与差
- 2.8 平面图形的旋转
- 第三章 代数式
- 3.1 用字母表示数
- 3.2 代数式
- 3.3 代数式的值
- 第四章 整式的加减
- 4.1 整式
- 4.2 合并同类项
- 4.3 去括号
- 4.4 整式的加减
- 第五章 一元一次方程
- 5.1一元一次方程
- 5.2 等式的基本性质
- 5.3 解一元一次方程
- 5.4 一元一次方程的应用