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第27讲 尺规作图(3年3考)
1.了解尺规作图的步骤,能完成5种基本作图.
2.能用尺规作三角形.
3.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆.
4.能用尺规作三角形的外接圆和内切圆.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.已知线段a,求作OA=a(使用直尺和圆规作图).
这种作一条线段等于已知线段的作图依据是: .
解:作图如图所示.
圆上的点到圆心的距离都等于半径
2.补充解题过程 下面是作∠A′O′B′=∠AOB的尺规作图过程,请完成以下推理.
由作图可知,以点O′为圆心, 长为半径作弧,交O′A′于点M′;以点M′为圆心, 长为半径作弧,交前弧于点N′,
∴OM= ,ON= ,
MN= .
∴△MON≌△M′O′N′( )(填依据).
∴∠AOB=∠A′O′B′.
OM
MN
O′M′
O′N′
M′N′
SSS
3.如图所示,在Rt△ACB中,∠C=90°.
(1)用尺规作∠BAC的平分线交BC于点D(保留作图痕迹,不写作法);
解:(1)如图所示,AD即为所求.
(2)若∠B=30°,CD=1,则AB= ;
(3)这种作已知角的平分线的作图依据是 (填序号).
①SSS ②SAS ③AAS ④ASA
4.已知某条线段,求作线段的垂直平分线(根据作法使用直尺和圆规作
图)时,这种作线段的垂直平分线的作图依据是: .
.
到线段两个端点距离
相等的点在这条线段的垂直平分线上
5.串题练透考点 如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,∠C=30°.
(1)用尺规完成以下基本作图:作∠B的平分线交AC于点D,过点D作直线BC的垂线交BC于点E;
(2)这种过直线外一点作已知直线的垂线的作图依据是: .
解:(1)如图所示,射线BD,直线DE即为所求.
(2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(3)求CD的长.
知识梳理
知识点 尺规作图
1.五种基本作图
类型 步骤 图示
Ⅰ、作一条 线段等于 已知线段 (1)作射线OP; (2)在OP上截取OA=a,则OA即为所求的线段
Ⅱ、作一个 角等于已 知角 (1)在∠α上以点O为圆心,任意长为半径作弧,交∠α的两边于点P,Q; (2)作射线O′A′; (3)以点O′为圆心,OP的长为半径作弧,交O′A′于点M; (4)以点M为圆心,PQ的长为半径作弧交(3)中所作的弧于点N; (5)过点N作射线O′B′,则∠A′O′B′即为所求的角
2.常见尺规作图的应用
类型 作图内容与图示 作图类型
作 三 角 形 已知三边作三角形 Ⅰ
已知两边及其夹角作三角形 Ⅰ、Ⅱ
作 三 角 形 已知两角及其夹边作三角形 Ⅰ、Ⅱ
已知底边及底边上的高作等腰三角形 Ⅰ、Ⅳ
作 三 角 形 已知一直角边和斜边作直角三角形 Ⅰ、Ⅴ 作 圆 作三角形的外接圆 作三角形的内切圆 Ⅳ Ⅲ、
Ⅴ
核心考点 尺规作图及其应用(3年3考)
例 串题练透考点 如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,
AC=4,按要求画图并填空:
(1)如图(1)所示,作∠BAC的平分线,交BC于点D,则∠BDA的度数为 ;
典例精析
60°
(2)如图(2)所示,作BC的垂直平分线,分别交AC,BC于点E,F.
(Ⅰ)连接BE,则∠EBC的度数为 ;
(Ⅱ)连接BE,则△BEC的周长为 ;
(3)如图(3)所示,过点B作AC边上的垂线,交AC于点G,则BG的长度为 ;
30°
(4)如图(4)所示,延长AC到点H,在直线AC右侧作∠HCP,使∠HCP=∠A,则∠PCA的度数为 .
120°
6.(2025·贵州)如图所示,在 ABCD中,AB=3,BC=5,∠ABC=60°,以A为圆心,AB长为半径作弧,交BC于点E,则EC的长为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
真题对练
D
A
C
C
C
11.(2025·凯里校级一模)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论不一定正确的是( )
A.∠BDE=∠BAC B.∠BAD=∠B
C.DE=DC D.AE=AC
B
4
(2)若BC=2.5,求AD的长.
解:(2)∵∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°,∠B=72°,
∴∠BDC=∠B.∴CD=CB.
∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°,
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.∴AD=CD.
∴AD=BC=2.5.
基础过关
1.下列四种基本尺规作图分别表示如下,则对应选项中作法错误的是( )
C
A. 作一个角等于已知角
B. 作一个角的平分线
C. 作一条线段的垂直平分线
D. 过直线外一点P作已知直线的垂线
2.在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是( )
A
A B C D
B
4.如图所示,用直尺和圆规作∠MAN的角平分线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是( )
A.AD=AE B.AD=DF
C.DF=EF D.AF⊥DE
B
D
5
7.如图所示是由边长为1的小正方形构成6×6的网格.每个小正方形的顶点叫作格点.线段AB的端点在格点上.点P是AB与网格线的交点,仅用无刻度的直尺在给定网格中画图.画图过程用虚线表示、画图结果用实线表示.按步骤完成下列问题:
(1)直接写出AB的长为 ;
(2)请以AB为边,在图中画格点正方形ABCD;
(3)在图中CD边上画点Q,连接PQ,使得四边形BCQP的面积为5.
(2)如图所示,正方形ABCD即为所求.
(3)如图所示,线段PQ即为所求.
素养培优
9.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线m∥AD,交AB,CD于点E,F.
(1)请用无刻度直尺及圆规过点O作m的垂线,分别交AD,
BC于点G,H,保留作图痕迹;
解:(1)如图所示,直线GH即为所求.
(2)顺次连接E,G,F,H,判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
解:(2)四边形EGFH为菱形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,AD∥BC.
∴∠GDO=∠HBO,∠DGO=∠BHO.
∴△GDO≌△HBO(AAS).∴OG=OH.
同理可得OE=OF.
∴四边形EGFH是平行四边形.由作图得EF⊥GH,
∴四边形EGFH是菱形.
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第28讲 图形的对称(含折叠)、平移与旋转(3年3考)
1.通过具体实例理解轴对称的概念,探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
2.能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形.
3.理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
4.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它们的基本性质.
课标要求
5.探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
6.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质.
7.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质.
8.运用图形的平移、旋转、轴对称进行图案设计.
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.(2025·湖南)武术是我国传统的体育项目.下列武术动作图形中,是轴对称图形的是( )
C
2.在美术字中,有些汉字或字母是中心对称图形.下面的汉字或字母不是中心对称图形的是( )
A
3.如图所示,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,且∠A=100°,∠C′=
50°,则∠B的度数是 .
30°
4.如图所示,三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形,观察点A与点C的坐标之间的关系、三角形AOB内任意一点M的坐标为(x,y),点M经过这种变换后得到点N,则点N的坐标是 .
(x,-y)
5.下列图形:(1)正三角形;(2)正方形;(3)正五边形;(4)正六边形;(5)线段;(6)圆;(7)菱形;(8)平行四边形.其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (填序号).
6.如图所示,以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系.点A的坐标为(1,1),写出点B,C,D的坐标:B ,C ,D .
(2)(4)(5)(6)(7)
(1,-1)
(-1,-1)
(-1,1)
7.如图所示,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,现将△ABC沿BD进行翻折,使点A刚好落在BC上,则CD的长为( )
A
知识梳理
知识点一 图形的对称
1.轴对称与轴对称图形
轴对称 轴对称图形
定 义 把一个图形沿某一条直线折叠,如果能够与另一个图形 ,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴 如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分能够完全重合,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫作这个图形的对称轴
完全重合
图形
区别 指位置关系,对称轴只有一条 指一个图形,对称轴不一定只有一条
性 质 对应线 段相等 AB=A′B′, AC= , BC=B′C′ AB= ,
BD=B′D,
AE=A′E
对应角 相等 ∠BAC=∠B′A′C′, ∠ABC=∠A′B′C′, ∠ACB=∠A′C′B′ ∠BAE=∠B′A′E,
∠B=∠B′
对应点的连线被对称轴 A′C′
A′B′
垂直平分
2.中心对称与中心对称图形
中心对称 中心对称图形
定 义 把一个图形绕着某一点旋转 后,如果与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫作对称中心(简称中心) 把一个图形绕着某一个点旋转180°后,能与原来的图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这
个点叫作
图 形
180°
对称中心
区别 指两个图形的位置关系 指一个图形
性质 1.成中心对称的两个图形,对称点所连接线段都经过对称中心,而且被对称中心平分; 2.成中心对称的两个图形 全等
3.常见的轴对称图形和中心对称图形
基础对练
8.如图所示是一张矩形纸片ABCD,AD=10 cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6 cm,则CD= .
4 cm
知识梳理
知识点二 图形的折叠
(1)位于折痕两侧的图形关于折痕所在直线成 ;
(2)折叠的性质
折叠前后线段相等:
AF= ,CF= ;
折叠前后角相等:
∠CAF= ,∠F= ,∠ACF= .
轴对称
AD
CD
∠CAD
∠D
∠ACD
(3)折痕可看作垂直平分线,折叠前后,对应点的连线被 垂直平分;
(4)折痕可看作角平分线,对应线段所在的直线与折痕构成的夹角相等.
对称轴
基础对练
9.串题练透考点 如图所示,将△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到对应的△A′B′C′.
(1)若AB=4,A′C′=6,B′C=4,则B′C′= ,△ABC的周长是 ;
(2)若∠A=70°,∠C′=40°,则∠B= ;
(3)AB A′B′,AC A′C′.
5
15
70°
知识梳理
知识点三 图形的平移
要素 平移的方向和
性质 1.平移前后,对应线段平行(或共线)且 ,对应角
;
2.对应点所连线段平行(或共线)且 ;
3.平移前后的图形
距离
相等
相等
相等
全等
基础对练
10.串题练透考点 如图所示,把△AOB绕点O顺时针旋转65°得到△COD.
(1)若∠AOD=95°,则∠AOB= ;
(2)若AO=3,CD=3,OD=5,则△AOB的周长是 ;
(3)若∠A=105°,∠B=45°,则∠COD= .
30°
11
30°
11.如图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE.若∠E=70°,且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为 .
75°
知识梳理
知识点四 图形的旋转
要素 旋转 ,旋转方向和旋转
性质 1.对应点到旋转中心的距离 ;
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ;
3.旋转前后的图形
作图 步骤 (1)根据题意,确定旋转中心、旋转方向及旋转角;
(2)找出原图形的关键点;
(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点;
(4)按原图形依次连接对应点,得到旋转后的图形
中心
角
相等
旋转角
全等
核心考点1 图形的对称(3年1考)
12.(2024·贵州)“黔山秀水”写成下列字体,可以看作是轴对称图形的是( )
B
13.(2025·遵义红花岗区一模)下列图形中,是中心对称图形的是( )
14.(2025·遵义汇川区二模)若点A(a,-3)与点B(-2,b+2)关于原点对称,则a-b= .
B
1
核心考点2 图形的折叠
15.如图所示,将一张长方形纸片进行折叠,若∠2-∠1=20°,则∠EFB的度数为( )
A.40° B.45°
C.50° D.55°
16.如图所示,把一张矩形纸片沿对角线折叠,若BC=9,CD=3,则阴影部分
的面积为 .
C
核心考点3 图形的平移
17.(2025·遵义红花岗区模拟)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的早期形式,下列甲骨文中,能用其中一部分平移得到的是( )
A
18.(2025·贵阳南明区二模)南南在画板上画出两条不平行的直线a,b
[如图(1)所示],他发现,如果利用平移变换就可以知道这两条直线所成的角的度数,将直线b向左平移与直线a交于一点[如图(2)所示],则直线a,b所成的锐角的度数为( )
A.45° B.30°
C.25° D.40°
B
核心考点4 图形的旋转(3年2考)
19.如图所示,将△ABC绕点A旋转得到△ADE,若∠B=90°,∠C=30°,AB=
1,则AE= .
2
20.传统文化 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录,下列四幅作品分别代表“大雪”“清明”
“谷雨”“白露”,其中既是中心对称又是轴对称图形的是( )
A
21.(2025·福建)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题,是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形,其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
D
基础过关
1.(2025·武汉)在现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.在下列文字中,其中是轴对称图形的是( )
A
2.(2025·北京)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
( )
3.(2025·眉山)在平面直角坐标系中,将点A(-1,3)向右平移2个单位长度到点B,则点B的坐标为( )
A.(-3,3) B.(-1,1)
C.(1,3) D.(-1,5)
D
C
4.(2025·吉林)如图所示,风力发电机的叶片在风的吹动下转动,使风能转化为电能.图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后,能够与它本身重合,则角α的大小可以为( )
A.90° B.120°
C.150° D.180°
B
B
D
7.(2025·凉山州)如图所示,将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF,连接AD,则四边形ABFD的周长为 .
24
8.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于直线l成轴对称;
(2)画出△ABC向下平移4个单位的△A2B2C2;
(3)画出△A3B3C3,使△A3B3C3与△ABC关于点O成中心对称.
解:(1)如图所示,△A1B1C1为所求作.
(2)如图所示,△A2B2C2为所求作.
(3)如图所示,△A3B3C3为所求作.
素养培优
9.如图所示,正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案,其中正方形边长是80 cm,则图中阴影图形的周长是( )
A.440 cm B.320 cm
C.280 cm D.160 cm
A
D
11.如图所示,在矩形纸片ABCD中,E为BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折
叠得到△AFE,连接CF.若AB=4,BC=6,则CF的长为 .
12.如图所示,在等边△ABC中,过顶点A作AD⊥BC,E为DA上任意一点,连BE,将AE绕点A逆时针旋转60°,点E对应点为点F.
(1)求证:△ABE≌△ACF;
(2)连接EC,请添加一个与线段相关的条件,使四边形AECF为菱形(不需要说明理由).
(2)解:如图所示,添加条件:AE=EC,
由(1)的证明可得,AE=AF,∠BAE=∠CAF,
∵△ABC是等边三角形,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD.∴∠EAC=∠FAC.
∵AE=EC,∴∠EAC=∠ECA.∴∠FAC=∠ECA.
∴AF∥EC,且AF=AE=EC.∴四边形AECF是菱形.
∴添加条件:AE=EC(答案不唯一).
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第26讲 投影与视图(3年1考)
第七单元 图形的变换
1.通过丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念.
2.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体.
3.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作模型.
4.通过实例,了解上述视图与展开图在实际生活中的应用.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.一张矩形纸片在太阳光的照射下,在地面上的投影不可能是( )
A.正方形 B.平行四边形
C.矩形 D.等边三角形
2.如图所示,光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
D
A B C D
C
知识梳理
知识点一 投影
1.平行投影:由 线形成的投影,如物体在太阳光的照射下形成的影子(简称日影).
2.中心投影:由 (点光源)发出的光线形成的投影,如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子.
3.正投影:投影线 投影面产生的投影.
平行光
同一点
垂直于
基础对练
3.(2025·天津)如图所示是一个由6个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
D
4.传统文化 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”,这是“鼓舞”一词最早的起源,如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形,该立体图形的主视图是( )
B
A B C D
5.(2025·黔东南二模)下面几何体中,主视图是矩形的是( )
D
6.如图所示是一个几何体的主视图和俯视图,则该几何体的名称是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.球 D.长方体
B
7.如图所示是某几何体的三视图,则该几何体是( )
A.圆锥 B.三棱锥
C.圆柱 D.三棱柱
8.下列几何体中,三视图都是圆的是( )
A.长方体 B.圆柱
C.圆锥 D.球
D
D
知识梳理
知识点二 三视图(高频考点)
1.定义
主视图 在正面内得到的由 向 观察物体的视图
俯视图 在水平面内得到的由 向 观察物体的视图
左视图 在侧面内得到的由 向 观察物体的视图
前
后
上
下
左
右
2.三视图的作法步骤
画三视图时,主、俯视图要长对正;主、左视图要高平齐;左、俯视图要宽相等.
3.几种常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图
正方体
圆柱
圆锥
球体
4.根据三视图还原几何体
(1)想象:根据各视图想象从三个方向看到的几何体形状;
(2)定形:综合确定几何体(实物原型)的形状;
(3)定大小、位置:根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的位置以及各个方向的大小.
基础对练
9.如图是某几何体的三视图,则该几何体的侧面展开图是( )
A
A B C D
10.某个立体图形的侧面展开图是一个矩形,它的底面是一个圆,那么这个立体图形可能是( )
A.圆柱 B.圆锥
C.三棱柱 D.四棱柱
11.某同学学习了正方体的表面展开图后,在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字,还原成正方体后,“红”的对面是( )
A.传 B.承 C.文 D.化
A
D
12.如图所示四个图形中,不能作为正方体的展开图的是( )
B
A B C D
知识梳理
知识点三 立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图
几何体 展开图特点 示意图
2个 和1个 ,矩形在中间,两个圆一上一下
1个圆和1个 ,圆与扇形的弧相连
2个全等的 和3个
圆
矩形
扇形
三角形
矩形
2.正方体的展开图
类型 示意图
“1-4-1”型
“2-3-1”型
“2-2-2”型
“3-3”型
核心考点1 投影
13.下列四幅图中,能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是( )
C
14.(2025·六盘水模拟)正午时候,将一个足球踢到空中,在地面形成的影子是( )
A
核心考点2 常见几何体的三视图(3年1考)
15.如图所示是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体,从正面看这个几何体的形状图是( )
B
16.(2025·安顺三模)榫卯被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”.如图所
示,这是其中一种卯,其主视图是( )
D
17.某几何体如图所示,它的俯视图是( )
D
核心考点3 由三视图还原几何体
18.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
A.圆锥 B.三棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱
C
19.(2025·贵阳观山湖区一模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体为( )
C
20.如图所示,根据三视图,这是由 个正方体组合而成的几何体
( )
A.3 B.4
C.5 D.6
B
核心考点4 立体图形的展开与折叠
21.“争创全国文明典范城市,让文明成为黔西人民的内在气质和城市的亮丽名片”.如图所示,是一个正方体的平面展开图,把展开图折叠成正方体后,“城”字对面的字是( )
A.文 B.明
C.典 D.范
B
22.(六盘水中考)如图所示,裁掉一个正方形后能折叠成正方体,但不能裁掉的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
A
23.地域文化 贵州鼓楼文化是贵州地区,尤其是黔东南苗族侗族自治州独特的地域文化的重要组成部分,鼓楼作为侗族村寨的地标性建筑,承载着丰富的历史与文化价值.如图所示,是某鼓楼的手绘插画图,该图形可以近似地看作一个圆锥,则该立体图形的主视图是( )
A
24.(2025·铜仁模拟)位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜,简称FAST,是世界上最大的单口径球面射电望远镜(如图所示),它的俯视图是( )
D
基础过关
1.(2025·广东)如图所示,是由5个大小相同的正方体组成的立体图形,它的左视图是( )
C
2.(2025·成都)下列几何体中,主视图和俯视图相同的是( )
C
3.“斗”是我国古代称量粮食的量器,它无盖,其示意图如图所示,下列图形是“斗”的俯视图的是( )
C
4.如图所示是某几何体的表面展开后得到的平面图形,则该几何体是
( )
A.三棱锥 B.圆锥
C.三棱柱 D.长方体
5.(2025·武汉)如图所示是一个长方体和一个圆柱组成的图形,则它的俯视图是( )
C
D
6.如图所示是4×3的正方形网格,选择一空白小正方形,能与阴影部分组成正方体展开图的方法有( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
B
素养培优
7.(2025·黑龙江)一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体,它的主视图和俯视图如图所示,那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是( )
A.7 B.8
C.6 D.5
A
8.如图所示是正方体表面展开图.将其折叠成正方体后,距顶点A最远的点是( )
A.B点 B.C点
C.D点 D.E点
B
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