(共48张PPT)
第五单元 四边形
第21讲 多边形与平行四边形(3年3考)
1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线;探究并掌握多边形的内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形的概念,探索并证明平行四边形的性质定理与判定
定理.
3.理解两平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 已知n边形.
(1)若n=5,则这个n边形的内角和是 ;
(2)若这个n边形的内角和是1 800°,则n的值是 ,这个n边形的外角和是 ;
(3)若从这个n边形的一个顶点出发可以画7条对角线,则n的值是 ,这个n边形一共有 条对角线;
540°
12
360°
10
35
(4)若这个n边形是正多边形,且每个外角都等于36°,则n的值是 ,这个正n边形的内角和是 ,每个内角是 ;
(5)若从这个正n边形的一个顶点出发,最多可作6条对角线,则该正多边形的内角和为 ,该正多边形是 对称图形,有 条对称轴.
10
1 440°
144°
1 260°
轴
9
知识梳理
知识点一 多边形及其性质
多边形 内角和定理 n边形的内角和为 (n≥3)
外角和定理 任意多边形的外角和为
对角线 从n(n>3)边形的一个顶点出发可以画 条对
角线,故n(n>3)边形共有 条对角线
(n-2)×180°
360°
(n-3)
正多边形 定义 各边 ,各角也 的多边形叫作正多边形
性质 正n边形的每一个内角的度数都是 ,每一个外角的度数都是 .对于正n边形,当n为奇数时,是 对称图形,当n为偶数时,既是 图形,又是 图形;正n边形都有 条对称轴
相等
相等
轴
轴对称
中心对称
n
基础对练
2.串题练透考点 如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)若四边形ABCD是平行四边形,AB=4,AD=3,AC=6,BD=5,则CD= ,
BC= ,AO= ,BO= ,∠ADB=∠ ,∠BAD=∠ ;
4
3
3
2.5
CBD
BCD
(2)下列条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 (填序号).
①AB=CD,AB∥CD;②AO=CO,BO=DO;③AB∥CD,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC;⑤∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
①②③⑤
3.[人教八下习题改编] 如图所示,某广场上一个形状是平行四边形的花坛,分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花.如果有AB∥EF∥DC,
BC∥GH∥AD,那么下列说法中错误的是( )
A.红花、白花种植面积一定相等
B.红花、蓝花种植面积一定相等
C.蓝花、黄花种植面积一定相等
D.紫花、橙花种植面积一定相等
B
4.[北师八下习题改编] 如图所示,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,则四边形EGFH的周长( )
A.只与AB,CD的长有关
B.只与AD,BC的长有关
C.只与AC,BD的长有关
D.与四边形ABCD各边的长都有关
B
知识梳理
知识点二 平行四边形的性质与判定
1.定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.性质
(1)边:两组对边 ;
(2)角:两组对角分别 ,四组邻角分别 ;
(3)对角线:对角线互相 ;每条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形;
分别平行且相等
相等
互补
平分
(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形;
(5)面积:S ABCD=底×高;
周长:C ABCD=2(AB+BC).
3.判定
(2)角:两组对角分别 的四边形是平行四边形;
(3)对角线:对角线 的四边形是平行四边形.
4.平行四边形中的几种常见面积关系
相等
互相平分
特殊(一条对角线) 一般(l过对称中心) 两条对角线
S1=S2 S1=S2 S1=S2=S3=S4
核心考点1 多边形的内角与外角和
5.(2025·北京顺义二模)内角和是540°的多边形为( )
A.六边形 B.五边形 C.四边形 D.三角形
6.(2025·贵阳云岩区一模)在剪纸活动中,小华想用一张矩形纸片剪出一个正八边形,如图所示,正八边形的一边与矩形的边重合,则∠α的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.135°
B
B
7.传统文化 风铃,又称铁马,古称“铎”,常见于中国传统建筑屋檐下
[如图(1)所示],如图(2)所示是六角形风铃的平面示意图,其底部可抽象为正六边形ABCDEF,连接CF,则∠AFC的度数为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
C
8.内角和与外角和相等的图形是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
9.传统文化 佩佩在黄娥古镇研学时学习扎染技术,得到了一个内角和为1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角均为 .
B
45°
核心考点2 平行四边形的性质与判定(3年3考)
典例精析
例 如图(1)所示,点E,F是 ABCD对角线AC上的两点,AE=CF.
(1)①求证:DF=BE;
图(1)
(1)证明:①∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥BC.∴∠DAF=∠BCE.
∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE.
∴△ADF≌△CBE(SAS).
∴DF=BE.
②如图(2)所示,连接DE,BF,求证:四边形DFBE是平行四边形;
图(2)
(1)证明:②由①知△ADF≌△CBE,
∴∠AFD=∠CEB.∴∠DFC=∠BEA.
∴DF∥BE.又DF=BE.
∴四边形DFBE是平行四边形.
(2)如图(3)所示,若BE⊥AC,DF⊥AC,延长BE,DF分别交CD,AB于点N,M.
①求证:四边形DMBN是平行四边形;
图(3)
(2)①证明:∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.
∴四边形DMBN是平行四边形.
②已知CE=4,FM=3,求AM的长.
[思路点拨] 判定平行四边形的思路:
(1)若已知一组对边平行,则需要证这一组对边相等,或另一组对边平行;
(2)若已知一组对边相等,则需要证这一组对边平行,或另一组对边相等;
(3)若已知一组对角相等,则需要证另一组对角相等;
(4)若已知条件与对角线有关,则需要证明对角线互相平分.
10.(2025·贵州)如图所示,小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个 ABCD,若∠1=70°,则∠2的度数是( )
A.20° B.70°
C.80° D.110°
B
真题对练
11.(2024·贵州)如图所示, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=BC B.AD=BC
C.OA=OB D.AC⊥BD
B
12.(2025·贵阳南明区二模)如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O作BD的垂线交BC于点E,连接DE.已知△DCE的周长是
9 cm,则平行四边形ABCD的周长是 cm.
18
13.(2025·贵州模拟)如图(1)所示, ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图(2)中的甲、乙、丙三种方案.
(1)正确的方案有 种;
解:(1)3
(2)针对上述三种作图方案,请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程.
解:(2)方案甲中,连接AC,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,
∴OB=OD,OA=OC.
∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM.
∴四边形ANCM为平行四边形,故方案甲正确;
14.新情境 (2025·自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形,若大平行四边形短边长40 cm,则小地砖短边长( )
A.7 cm B.8 cm
C.9 cm D.10 cm
B
15.传统文化 (2025·湖南)如图所示,图(1)为传统建筑中的一种窗格,图(2)为其窗框的示意图,多边形ABCDEFGH为正八边形,连接AC,BD,AC与BD交于点M,∠AMB= .
45°
归纳总结
判定平行四边形的方法有:(1)若条件中涉及角,考虑用“两组对角分别相等”来证明; (2)若条件中涉及对角线,考虑用“对角线互相平分”来说明;(3)若条件中涉及边,考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”或“两组对边分别相等”来证明,也可以巧添辅助线,构建平行四边形.
1.(2025·北京)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为( )
A.60 B.90 C.120 D.150
2.已知正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的内角和为( )
A.900° B.720°
C.540° D.360°
C
基础过关
B
3.(2025·山西)如图所示,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点,E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是( )
C
4.(2025·乌当区二模)如图所示,平行四边形ABCD中,AC⊥AB,点E为BC边中点,AD=6,则AE的长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
B
5.(2025·眉山)如图所示,直线l与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为( )
A.216° B.180°
C.144° D.120°
C
6.(2025·湖北)如图所示,平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若
A(-1,2),则点C的坐标是( )
A.(2,-1) B.(-2,1)
C.(1,-2) D.(-1,-2)
7.若一个正多边形的每个外角是72°,则它共有 条对角线.
C
5
8.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上, .请从“①∠B=∠AED; ②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条
件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
①(或②)
解:(1)选择①,
证明:∵∠B=∠AED,
∴DE∥CB.
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②,证明:∵AE=BE,AE=CD,
∴CD=BE.
∵AB∥CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
D
素养培优
10.(2025·安徽)在如图所示的 ABCD中,E,G分别为边AD,BC的中点,点F,H分别在边AB,CD上移动(不与端点重合),且满足AF=CH,则下列为定值的是( )
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
C
B
12.跨化学学科 实验课上,小华在研究苯的分子结构时,发现这种物质的分子为正多边形结构,且其内角和为 ,则这个正多边形的每个外角为 °.
13.如图所示,正五边形ABCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长是 .
720°
60
14.(2025·山东)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.点P为边AC上异于A的一点,以PA,PB为邻边作 PAQB,则线段PQ的最小值是 .
4.8
15.如图所示,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC上一动点,则MA+MD的最小值为 .
16.开放性题 (2025·武汉模拟)如图所示,AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与边AD,BC的延长线分别交于点E,F.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(1)证明:∵AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与边AD,BC的延长线分别交于点E,F,
∴∠B=∠DCF.∴∠D=∠DCF.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)请添加一个条件,使EF与CD互相平分(不需要说明理由).
(2)解:添加DE=CF,使EF与CD互相平分.理由如下:
如图所示,连接EC,DF,
∵AD∥BC,DE=CF,
∴四边形ECFD是平行四边形.
∴EF与CD互相平分.
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第22讲 矩形、菱形、正方形(3年7考)
1.理解矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系.
2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质与判定,理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
课标要求
知识梳理 夯基础
重难突破 提能力
视野拓展 培素养
实战演练 精评价
基础对练
1.串题练透考点 如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.
(1)若AB=6,BC=8,则矩形的周长是 ,面积是 ,AC= ,BO= ;
(2)若∠BOA=60°,AB=2,则∠ACB= ,AC= ,BC= .
28
48
10
5
30°
4
2.串题练透考点 如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.
(1)若四边形ABCD是平行四边形,当∠BAD= 时, ABCD是矩形;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,AC=5,当BD= 时, ABCD是矩形;
(3)若∠BAD=∠ABC=90°,当∠BCD= 时,四边形ABCD是矩形.
90°
5
90°
知识梳理
知识点一 矩形的性质与判定(高频考点)
如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O 性 质 边 对边 且
角 四个角都是 角.
对角线 两条对角线互相 且
对称性 矩形是 对称图形,又是 对称图形,有 条对称轴
平行
相等
直
平分
相等
中心
轴
2
面积 S=ab(a,b分别表示矩形的长和宽)
周长 C=2(a+b)(a,b分别表示矩形的长和宽)
判 定 有一个角是 角的平行四边形是矩形(定义)
对角线 的平行四边形是矩形
有三个角是 角的四边形是矩形
直
相等
直
基础对练
3.串题练透考点 如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)若四边形ABCD是菱形,AB=4,∠BAD=60°.
①菱形的周长是 ,∠BAC= ,BD= ;
②AC= ,菱形的面积是 ;
③若BH⊥AD于点H,则BH的长是 .
16
30°
4
(2)下列四个条件:①AB∥CD;②AO=OC;③AB=AD;④AC平分∠DAB.
从中选取三个条件,可以判定四边形ABCD为菱形,则可以选择的条件序号是 (写出所有可能的情况).
①②③或①②④或①③④或②③④
知识梳理
知识点二 菱形的性质与判定(高频考点)
如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O 性质 边 对边 ,四条边都
角 对角 ,邻角
性质 对角线 对角线互相 ,并且每一条对角线 一组对角
平行
相等
相等
互补
垂直平分
平分
面积 S菱形= ×高;
对称性 菱形既是 对称图形,也是轴对称图形,有 条对称轴
判定 有一组邻边 的平行四边形是菱形(定义)
四边 的四边形是菱形
对角线互相 的平行四边形是菱形
底
BD
中心
2
相等
相等
垂直
基础对练
4.如图所示,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,以点B为圆心,BD长为半径画弧交BC延长线于点E,AO=2.
(1)BD= ,BE= ,BC= ,CE= ;
(2)正方形的周长是 ,面积是 .
5.数学课上老师给出了以下四个条件:a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.有三名同学给出了不同的组合方式:①a,c,d;②b,c,d;③a,b,c.你认为能得到正方形的是
(填序号).
4
4
8
①②
知识梳理
知识点三 正方形的性质与判定(高频考点)
性质 正方形的对边平行,四条边都 ;
正方形的四个角都是 ;
对角线相等且互相 ,每条对角线平分一组对角
面积 S正=a2(a表示正方形的边长)
周长 C=4a(a表示正方形的边长)
相等
直角
垂直平分
对称性 正方形是 对称图形,也是轴对称图形,有 条对称轴
判定 有一组邻边相等的 是正方形
对角线互相垂直的 是正方形
对角线相等的 是正方形
有一个角是直角的 是正方形
中心
4
矩形
矩形
菱形
菱形
基础对练
6.[人教八下练习改编] 判断:
(1)有一个角是直角的平行四边形是正方形;( )
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形;( )
(3)有一组邻边相等的菱形是正方形;( )
(4)各边都相等的四边形是正方形.( )
×
√
×
×
7.已知四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,下列结论错误的是
( )
A.OA=OC,OB=OD
B.当AB=CD时,四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD且AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形
B
8.[北师大九上做一做改编]如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,点E,F,
G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.若AC=6,BD=8,则四边形EFGH的形状是
,面积是 .
矩形
12
知识梳理
知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1.关系图:
2.从边、角的关系看:
3.从对角线的关系看:
知识拓展
中点四边形:
(1)定义:顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形;
(2)中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系确定.
任意四边形 平行四边形
对角线相等的四边形 菱形
对角线互相垂直的四边形 矩形
对角线互相垂直且相等的四边形 正方形
核心考点1 矩形的性质与判定(3年3考)
9.(2025·铜仁碧江区一模)如图所示,四边形ABCD是矩形,且对角线AC,
BD相交于点O,若∠AOB=50°,则∠OCD= .
65°
10.(2024·贵州)如图所示,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥
BC,∠ABC=90°,有下列条件:①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
解:(1)选择①,
证明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
选择②,∵AD∥BC,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
核心考点2 菱形的性质与判定(3年2考)
11.如图所示,将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形,则∠1的度数是( )
A.40° B.60°
C.80° D.100°
C
12.(2025·汇川区一模)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,连接AF,CE,AF与CE交于点O,AF⊥BC,CE⊥AB.下面是两位同学的对话.
(1)请选择一位同学的说法,并证明;
(2)在(1)的条件下,若∠D=45°,AB=8,求△AEO的周长.
13.(2025·乌当区二模)已知:如图所示,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E,交AC于点F.
(1)求证:四边形AEDF是菱形;
(1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形,∠EAD=∠ADF.
∴∠FAD=∠FDA.∴AF=DF.
∴四边形AEDF是菱形.
(2)若AE=5,AD=8,试求四边形AEDF的面积.
核心考点3 正方形的性质与判定(3年2考)
例 如图所示,点E是正方形ABCD的边BC上的动点,∠AEF=90°,且EF=AE,
FH⊥BH.
求证:BE=CH.
典例精析
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,AB=BC.
∵FH⊥BH,
∴∠H=90°=∠B,∠F=90°-∠FEH.
14.(2025·安顺三模)如图所示,点O为正方形的中心,将正方形绕点O逆时针旋转,要使其旋转后能与自身重合,至少需要旋转( )
A.45° B.90°
C.180° D.270°
B
真题对练
15.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3,则中间小正方形的周长是( )
A.4 B.8
C.12 D.16
B
16.(2025·烟台)如图所示,BD是矩形ABCD的对角线,请按以下要求解决问题:
(1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线
BD成轴对称(不写作法,保留作图痕迹);
解:(1)如图所示,△BED即为所求作的三角形.
(2)在(1)的条件下,若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长.
1.(2025·成都)下列命题中,假命题是( )
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
D
基础过关
2.(2025·湖南)如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平
分,AB=3,则四边形ABCD的周长为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
C
3.(2025·内蒙古)如图所示,四边形ABCD是一个矩形草坪.对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的中点,连接OH,且OH=20 m,AD=30 m,则该草坪的面积为( )
A.2 400 m2 B.1 800 m2
C.1 200 m2 D.6 00 m2
C
4.如图所示,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时,∠AED的大小为( )
A.27° B.53°
C.57° D.63°
D
5.(2025·黑龙江)如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件: ,使平行四边形ABCD为菱形.
AC⊥BD(答案不唯一)
6.如图所示,正方形ABCD的面积为4,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH的面积为 .
2
5
8.(2023·贵州)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至点D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连接BE,则可证明BE⊥CD. 小红:由题目的已知条件,若连接CE,则可证明CE=DE.
(1)请你选择一位同学的说法,并进行证明;
(1)证明:小星:如图所示,连接BE,
∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AE=BD.
∵BD=BC,∴AE=BC.
∵AE∥BC,∴四边形AEBC是平行四边形.
∵∠C=90°,∴四边形AEBC是矩形.
∴∠EBC=90°.∴BE⊥CD.
小红:如图所示,连接CE,BE,
∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AE=BD,AB=DE.
∵BD=BC,∴AE=BC.
∵AE∥BC,∴四边形AEBC是平行四边形.
∵∠C=90°,∴四边形AEBC是矩形.
∴AB=CE.∴DE=CE.
素养培优
9.如图所示,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一
点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45° B.60°
C.67.5° D.77.5°
C
D
12.如图所示,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm.
4
(1)求证:四边形AFBG是菱形;
(1)证明:由作图过程可知,直线DE为线段AB的垂直平分线,BG=BF,
∴AG=BG=AF=BF,
∴四边形AFBG是菱形.
(2)求四边形AFBG的周长.
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