江苏省常州高级中学2026届高三上学期10月阶段性考试数学试卷（含解析）

江苏省常州高级中学
2025~2026学年第一学期高三年级阶段性考试
数学试卷
说明：
1．请将答案填写在答卷上．
2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. ，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在直三棱柱中，是棱的中点，则C到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
6. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　）
A. B.
C. D.
7. 如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）
A. B.
C. D.
8. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根
10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ）
A. 平面 B.
C. 截面的周长为 D.
11. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 若函数恰有4个零点，则
B. 关于x的方程有10个不同的实数解
C. 当时，不等式恒成立
D. 函数的图象与直线及x轴所围成图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为___________.
13. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________.
14. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，则的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围.
16. 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
（1）该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
（2）记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望.
17. 如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点.
（1）证明：；
（2）设点，，，均在球的球面上.
①证明：点O在平面内；
②求直线与平面所成角的正弦值.
18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点．
（1）求角的大小；
（2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度；
（3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围．
19. 已知函数．
（1）若，求函数的最值；
（2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值；
（3）若函数有两个不同极值点，且，求证：．
答案版
江苏省常州高级中学
2025~2026学年第一学期高三年级阶段性考试
数学试卷
说明：
1．请将答案填写在答卷上．
2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由有意义，得，解得或，
则或，，而，
所以.
故选：A
2. 已知平面向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为，所以，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得，
圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为.
故选：B
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由可得，① ，
由可得，② ，
联立①，② ，解得，，
故.
故选：A.
5. 在直三棱柱中，是棱的中点，则C到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】如图所示：
由条件得为等腰直角三角形，且，
故
因为是棱的中点，所以，所以，
则，，
设到直线的距离为，由，
可知，，
且，设C到平面的距离为，
因为，所以，解得.
故选：C
6. 定义在上的偶函数的导函数为，且当时，．则（　 　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由当时，，
得，
设，则，
所以在上单调递增，
又函数为偶函数，
所以为偶函数，
所以在在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，所以，A选项错误；
，即，所以，B选项错误；
，即，所以，C选项错误；
，即，所以，D选项正确；
故选：D
7. 如图， 为等边三角形的中线上任一点，，，则（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】方法一：
因为为等边三角形，是边的中点.所以.故.
所以.
因为是边上的中点，所以有.
因此.
故选：D
方法二：
以为原点，，为轴，轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，.
则，，，.
所以.
又因为，，所以有
两式作差得.故.
故选：D
8. 已知，若对任意实数x均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【详解】，任意实数均有.
当时，任意实数均有，且，
时，符合题意；
任意实数均有，即，
，
只能任意实数均有，则，
当时，，则，
，符合题意；
当时，.
所以，，
又，符合题意.
综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根
【答案】AC
【详解】对于A，，所以，，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确；
对于D，将代入方程左边，
即，也即不是该方程的根，故D错误．
故选：AC．
10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ）
A. 平面 B.
C. 截面的周长为 D.
【答案】ABD
【详解】对于A，连接AC，则，，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，连接，在正方体中，，平面，
又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
对于C，过的截面为梯形，
，，，
所以其周长为，故C错误；
对于D，截面将正方体分成三棱台和剩余的部分，
三棱台的体积为，
剩余部分的体积为，所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 已知函数，则下列说法正确是（ ）
A. 若函数恰有4个零点，则
B. 关于x的方程有10个不同的实数解
C. 当时，不等式恒成立
D. 函数的图象与直线及x轴所围成图形的面积为
【答案】BCD
【详解】当时，，
当时，，
当时，即时，，且，
当时，即时，，
当时，即时，，且，
当时，即时，，
当时，即时，，且，
当时，即时，，
当时，即时，，且，
依次类推，作出函数的大致图象，
对于A，若函数恰有5个零点，即与有5个交点，如图所示，
此时直线过点，所以，解得，
同理，若函数恰有3个零点，即与有3个交点，
此时直线过点，所以，解得，
则函数恰有4个零点时，有，故A错误；
对于B，由图象规律可知与的交点个数是10，故B正确；
对于C，由，，，，，，
任意实数，不等式恒成立，等价于恒成立，
由图知函数在的每一个上顶点的纵坐标为，且，
即恒成立，故C正确；
对于D，函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为___________.
【答案】1
【详解】设切点坐标为，由，
得，即.
令，则，
故在上单调递增，又，
所以方程的解为，故切点的坐标为，
代入直线方程，得，解得.
故答案为：.
13. 在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为__________.
【答案】或
【详解】如图，设为的中点，连接，
因为分别为的中点，
所以，且，，
而，则，
则（或其补角）为直线与所成的角，即或，
而（或其补角）为直线与所成的角，
当时，，
当时，，
故答案为：或.
14. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，则的最小值是________．
【答案】6
【详解】由正弦定理，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，得
∴，
∴，
即．
设，则，
因为三角形为锐角三角形，所以，，
此时，即．
所以．
三角形为锐角三角形，则，又，可得．
令，．
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
所以，
则的最小值是6．
故答案为：6．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求图象的对称轴方程；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
，
因为的对称轴为，
令，解得，
所以图象的对称轴方程为.
【小问2详解】
当时，，当，即时，取最大值1，
当，即时，取最小值，则，
因为，使得成立，则有解，
所以，即，
所以实数取值范围为.
16. 2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制（率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束），已知该同学第一局获胜的概率为，从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局.
（1）该同学在以获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；
（2）记整场比赛该同学的获胜局数为，求的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【小问1详解】
设事件“该同学以获得比赛胜利”，“该同学连胜两局”，
若该同学以获得比赛胜利，则三局比赛的结果为：赢输赢，输赢赢，共两种情况，
所以，
，
则，
则该同学在以获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为.
【小问2详解】
由题意的所有取值为.
则，
，
所以变量的分布列为
0 1 2
则的期望为.
17. 如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点.
（1）证明：；
（2）设点，，，均在球的球面上.
①证明：点O在平面内；
②求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【小问1详解】
因为平面平面，且平面平面，
且是等腰直角三角形，，点是的中点，
所以，所以平面，且平面，
所以；
【小问2详解】
①因为是等边三角形，且点是的中点，
所以，
如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，
设，
由条件可知，，
所以，
解得：，即，
所以点在平面内；
②，，，
设平面的一个法向量，
，令，则，
所以平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以.
18. 在中，角的对边分别为，向量，且，点为边上一点．
（1）求角的大小；
（2）若是的角平分线，的周长为19，求的长度；
（3）若是边上靠近点A的一个三等分点，，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
小问1详解】
且
，即.
.
又，则，结合，；
【小问2详解】
而
为角的角平分线
.
即，；
【小问3详解】
设，则；
设，则.
在中即
在中
即，
则.
又，而
，
由和差化积公式可得.
则.
，；
解法二：，
，
.
．
.
，
.
19. 已知函数．
（1）若，求函数的最值；
（2）若函数与都存在极值，且极值相等，求实数a的值；
（3）若函数有两个不同极值点，且，求证：．
【答案】（1）最小值为，无最大值
（2）
（3）证明见解析
【小问1详解】
当时，函数，定义域为，求导得，
令，解得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因此，在处取得极小值，也是最小值，
最小值为，无最大值.
【小问2详解】
对求导得，
因为存在极值，所以在上有解，解得（），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此，在处取得极小值，，
对，求导得,
因为存在极值，所以有解，解得（）,
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因此，在处取得极小值,
,因为和极值相等，所以，
即，
因为，所以，即，因此，实数a的值为
【小问3详解】
由，
令，
即，
因为函数有两个不同的极值点，
所以①，②，
令③，则，代入②得：
由①得：，两式相减：，
所以，
又，得，
则，要证，即证，
即证，化简得，
即证，即
即证，
令，
，所以
即，所以在上单调递增，
所以，所以，得证.