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沪科版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·岳阳期中）下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·镇海区期中）已知，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·秀洲期中）如图△ABC的边上有D，E，F三点，若，，，，，，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
4．（2023九上·秀洲期中）把二次函数的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·黄岛期中）按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取。则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·遵化期中）的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
7．（2023九上·盘州期中）如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·武昌期中）如图，一段抛物线y＝-x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-8 D．8
9．（2023九上·天长期中）如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023九上·崇明期中）如图，M是正方形的边上中点，点E、F分别在边上，且．①，②是的比例中项，③平分，④．上述四个判断中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·哈尔滨期中）已知函数 y＝(m＋2) 是二次函数，则m等于
12．（2023九上·莱芜期中）已知抛物线与直线只有一个交点，则锐角 度．
13．（2023九上·哈尔滨期中）已知：在中，于点，点在直线AC上，，则的面积是 .
14．（2023九上·泸州期中）已知关于x的二次函数y＝ax2-4ax+a在-1≤x≤3的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是 ．
15．（2022九上·茂南期中）如图，在反比例函数（）的图象上有四点，它们的横坐标依次为，，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中阴影部分面积和为 ．
16．（2023九上·金华期中）如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·石家庄期中）计算
（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）解方程：x2﹣1＝3（x+1）；
（3）计算： ．
18．（2023九上·潮南期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求的值；
（3）为何值时，有最大值？最大值是多少？
19．（2023九上·潮南期中）如图，已知二次函数的图像与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
20．（2024九上·浙江期中）某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？
21．（2023九上·栾城期中） 如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米
到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1） 度， 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
22．（2023九上·武昌期中）我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排人生产乙产品．
（1）求每天生产甲产品可获得的利润（元）和乙产品可获得的利润（元）与之间的函数关系式；
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的梨润多1250元，求的值；
（3）设生产甲、乙两种产品的总利润为（元），求的最大值和相应的的值。
23．（2024九上·鹿城期中）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式 ．
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
（3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
24．（2023九上·岳阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且．
（1）求点、点、点的坐标；
（2）若直线过点交线段于点，且，求点坐标；
（3）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024九上·合肥期中）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，如果，，，请直接写出的长.
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沪科版2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·岳阳期中）下列关系式中，是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据反比例函数的定义可得，函数是反比例，
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的定义逐项分析判断即可.
2．（2024九上·镇海区期中）已知，则下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A：∵，
∴a：b=9：12，式子错误，不符合题意；
B：∵，
∴a：b=6：8，式子正确，符合题意；
C：∵，
∴a：b≠（a+3)：（b+3)，式子错误，不符合题意；
D：∵，
∴a：b=3：4，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据对每个选项逐一计算求解即可。
3．（2023九上·秀洲期中）如图△ABC的边上有D，E，F三点，若，，，，，，则四边形ADEF与△ABC的面积之比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：5 D．3：8
【答案】D
【解析】【解答】解：∵BE=7，EF=4，FC=5；
∴BC=7+4+5=16
∵∠B=∠FAC，∠C=∠C；
∴△AFC∽△BAC
∴=
∴=BC×FC=16×5=80，解得AC=；
∴===
∵∠B=∠B，∠BDE=∠C；
∴△BED∽△BAC
∴====
∴=（16-5-5）：16=3：8
故答案为：D.
【分析】根据有两对对应角相等的三角形相似，判定△AFC∽△BAC和△BED∽△BAC；根据三角形相似，对应两对边成比例，列代数式，可得AC的长；根据相似三角形的面积之比对应边之比的平方，可得三角形AFC和三角形BAC的面积之比，三角形BED和三角形BAC的面积之比，进而可得四边形ADEF和三角形ABC的面积之比.
4．（2023九上·秀洲期中）把二次函数的图象向右平移3个单位，向再上平移1个单位，如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数经过两次平移后可得y=，
移项后可得：y=，
∵平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点
∴m-3=0，解得m=3.
故答案为：B.
【分析】二次函数的二次项系数大于0，可得函数的开口向上，当二次函数与x轴只有一个交点时，二次函数的顶点坐标的纵坐标为0，列一元一次方程，解方程即可求出m的值.
5．（2023九上·黄岛期中）按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取。则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】
解：∵，
∴ AD=
∵ DE=DB
∴ AE=AD-DE=
∵ AC=AE
∴
故答案为B
【分析】本题考查比例线段---黄金分割，根据，得AD=，由 DE=DB得AE=，由 AC=AE得 .
6．（2023九上·遵化期中）的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【解析】【解答】解：原式=
=
=2，
故答案为：B.
【分析】先计算出特殊三角函数值，再进行混合计算即可求解.
7．（2023九上·盘州期中）如图，在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
故选：D
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半定理，推算出斜边AB的长，再根据余弦函数的定义计算余弦值即可。
8．（2023九上·武昌期中）如图，一段抛物线y＝-x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2024，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．-6 B．6 C．-8 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：，
令，即，解得
∴，由抛物线旋转得，
∴的解析式为
由题意得，函数图象以12为周期循环，
∵，
∴m与时的函数值相等，
时，，
故答案为：C.
【分析】根据确定，，图象开始循环，横坐标以12为循环节，计算，判定m与时的函数值相等，代入的解析式即可得解．
9．（2023九上·天长期中）如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于点E，
因为 A、B两点在双曲线的图象上，轴于点，轴于点E，
所以设A，B，则E（），C（），
因为A、B两点在直线y=kx（k>0）的图象上，
所以，，
所以，
所以，则，
所以，
所以，即，
因为OA>0，OB>0，
所以OA=OB，故结论 ① 对的；
根据上述证明得出，在中，
，
所以，BC=AE，
所以，
所以，
所以，即，
所以 的面积为定值 ，故结论 ② 对的；
由上述证明得出，OA=OB，即 O是的中点，
因为与点C，
所以BC//y轴，即BC//OD，
所以，
所以点D是AC的中点，故结论 ③ 对的；
因为于点E，
所以AE//OD，且D是AC的中点，
所以，
所以，且OE=，
所以，故结论 ④ 错的；
综上所述，正确的有 ①、②、③，共3个。
故选：C。
【分析】过点A作于点E，利用反比例函数图象上点坐标的特征，反比例函数与正比例函数图象交点的特征可得点A、B点坐标的关系，再利用“SAS”证出，可得BC=AE，再利用三角形的面积公式及等量代换求解，再利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
10．（2023九上·崇明期中）如图，M是正方形的边上中点，点E、F分别在边上，且．①，②是的比例中项，③平分，④．上述四个判断中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：因为四边形ABCD为正方形，所以又因为，所以故则在和中，则，故 ① 正确；
因为 M是正方形的边上中点 ，所以BM=MC，又因为，所以即又因为则，则即即 是的比例中项 ，故 ② 正确；
因为，所以又，所以则即 平分 ，故 ③ 正确；
因为，所以即即故 ④ 错误.
综上所述 判断中正确的有 3个.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形相似的判定及性质，根据正方形的性质及等量代换可证得：从而得到，再根据得到及可得到然后在逐项判定即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·哈尔滨期中）已知函数 y＝(m＋2) 是二次函数，则m等于
【答案】2
【解析】【解答】函数 是二次函数，
解得：
故答案为：
【分析】所给二次函数只有一项，所以这项是二次项，且二次项系数不为0.
12．（2023九上·莱芜期中）已知抛物线与直线只有一个交点，则锐角 度．
【答案】60
【解析】【解答】解：根据题意可得，3x2+1=4sina·x，
3x2+1-4sina·x=0，
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=16sin2a-4×3×1=0，解得sina=，a=60°；
故答案为：60.
【分析】根据一元二次方程根的判别式以及锐角三角函数的定义求出a即可。
13．（2023九上·哈尔滨期中）已知：在中，于点，点在直线AC上，，则的面积是 .
【答案】16或
【解析】【解答】解：如图1：E为AC延长线上一点，连接交于G，过E作EF⊥BC于F.
∵
∴EF∥AD
∵
∴EF为△ACD的中位线
∴，
在Rt△BEF中，BF=
∵，
∴BD=CD
∴
∴
∴．
如图2：E为AC延长线上一点，作于G，
∴
∴
∵
∴
在中，由勾股定理可得：
∵
∴
∴．
故答案为：16或.
【分析】分点E在线段AC上和AC延长线上两种情况，分别画出图形，分别根据等腰三角形的性质、勾股定理、平行线等分线段定理、三角形的面积公式求解即可．
14．（2023九上·泸州期中）已知关于x的二次函数y＝ax2-4ax+a在-1≤x≤3的取值范围内最大值是7，则该二次函数的最小值是 ．
【答案】或-14
【解析】【解答】解：当a＞0抛物线 y＝ax2-4ax+a 的对称轴为：x=，
当a＞0时，抛物线开口方向向上，
∵二次函数y＝ax2-4ax+a在-1≤x≤3的取值范围内最大值是7，
所以当x=-1时，y=7，
∴7=（-1）2a-4a×（-1）+a，
解得：a=，
∴当x=2时， 该二次函数有最小值 ，最小值为：y=；
当a＜0时，抛物线的开口向下，
∵二次函数y＝ax2-4ax+a在-1≤x≤3的取值范围内最大值是7，
∴当x=2时，函数有最大值7，
∴7=22×a-4a×2+a，
∴a=，
∴当x=-1时，该函数有最小值，
最小值为：；
故答案为：或-14.
【分析】首先求得二次函数的对称轴，然后分成两种情况：①当a＞0时，抛物线开口方向向上，根据二次函数的性质轴线可求得a的值，然后根据顶点坐标，即可求得函数的最小值；②当a＜0时，抛物线的开口向下，根据函数的性质即可得出顶点坐标的纵坐标为函数的最大值，即当x=2时，函数有最大值7，即可求得此时a的值，然后根据函数的增减性，即可求得当x=-1时，该函数有最小值，把x=-1代入函数解析式中，即可求得函数最小值。
15．（2022九上·茂南期中）如图，在反比例函数（）的图象上有四点，它们的横坐标依次为，，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中阴影部分面积和为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图：
∵（）
当x=-4时，y=1
∴A(-4，1)
∴OC=1
当x=-1时，y=4
∴B(-1，4)
∴OF=4
∴
∴把左边两个小阴影部分向右平移到轴
∴=4-1=3
故选：3．
【分析】
先求出点A，B的坐标，再求出，然后再
把左边两个小阴影部分向右平移到轴，得到：，代入计算即可.
16．（2023九上·金华期中）如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，斜坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为
【答案】3
【解析】【解答】解：如下图，连接AE，
根据题意有在中
则由勾股定理可得：
因为在中则
所以
则在中
故
故答案为：3m.
【分析】本题主要考查直角三角形勾股定理、三角函数的计算.连接AE，根据题意有在中可算得：从而得到进而得到在中即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·石家庄期中）计算
（1）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；
（2）解方程：x2﹣1＝3（x+1）；
（3）计算： ．
【答案】（1）解：x2﹣2x﹣4＝0，
移项得，x2﹣2x＝4，
等式两边同时加上1得，x2﹣2x+1＝5，
配方得，（x﹣1）2＝5，
直接开方得，，
移项得，，
∴；
（2）解：x2﹣1＝3（x+1），
等式左边因式分解得，（x+1）（x﹣1）＝3（x+1），
移项得，（x+1）（x﹣1）﹣3（x+1）＝0，
提取公因式得，（x+1）（x﹣1﹣3）＝0，整理得，（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4；
（3）解：
【解析】【分析】（1）利用配方法即可求出方程的解；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）首先把特殊角的三角函数值代入进去，然后再进行实数运算即可。
18．（2023九上·潮南期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）．
（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求的值；
（3）为何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：，∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，即，
解得，，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：由（1）知，化成顶点式：，
因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，
∴当时，y有最大值，且为，
此时，符合题意．
【解析】【分析】（1） 设矩形空地中，垂直于墙的边 ，据此可得， 利用矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，根据 墙长不超过 可得：，解不等式可求出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，则由可列出关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，再进行取舍，可确定x的值；
（3）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式可得：，据此可得开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，利用二次函数的性质可求出最大值，进而可求出AD，求出答案.
（1）解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得：，
即，
解得，，
∵，
∴不符合题意，故舍去，
∴；
（3）解：由（1）知，
化成顶点式：，
因为开口向下，x值越靠近对称轴，y值最大，且，
∴当时，y有最大值，且为，
此时，符合题意．
19．（2023九上·潮南期中）如图，已知二次函数的图像与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、点B、点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：令y=0
∴解得：
∴
令x=0时
∴
∴
（2）解：
由（1）可知：
点∴AB=4，OC=3，
∴．
【解析】【分析】（1）令x=0，解得y的值，得出点C的坐标，再令y=0，得出：，解出x的值，求出A，B的值.
（2）由（1）可知AB=4，OC=3，然后根据三角形的面积公式计算出三角形的面积即可.
（1）解：当y=0时，则有：，
解得：，
∴，
当x=0时，则有，
∴；
（2）解：由（1）可知：点，
∴AB=4，OC=3，
∴．
20．（2024九上·浙江期中）某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，y＝600－20(x－60)，
∴y＝－20x＋1800（x≥60）．
（2）解：设每盒售价定为 x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为 W（元），则：
W＝y(x－50)＝(－20x＋1800)(x－50)
即：W＝－20(x－90)(x－50)，
∵x≥60，
∴当 x＝70，W 最大值＝8000（元），
答：当每盒售价定为 70 元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为 8000元．
【解析】【分析】(1)根据“当售价定为每盒60元时，每天可以卖出600盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)根据利润=一盒糕点所获得的利润×销售量列式整理，再进行配方从而可求得答案.
21．（2023九上·栾城期中） 如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60°方向往前铺设．测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的P小区位于北偏东30°方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道方向前行2000米
到达B处，此时测得P小区位于北偏西75°方向．
（1） 度， 度；
（2）现要在主输气管道AB上选择一个支管道连接点Q，使从Q处到P小区铺设的管道最短，求A小区与支管道连接点Q的距离．（结果保留根号）
【答案】（1）30；45
（2）解：如下图所示，过点P作于Q，
则此时从Q处到P小区铺设的管道最短，设米．
∵，
∴米，米．
∴米．
∵米，
∴．
∴．
∴米．
答：A小区与支管道连接点Q的距离是米．
【解析】【解答】解：（1）∠PAB=60°-30°=30°；∠PBA=90°-75°+30°=45°；
故第1空答案为：30°；第2空答案为：45°；
【分析】（1）根据角与角之间的关系，即可求得答案；
（2） 如图所示，过点P作于Q，，设米，则BQ=x米，AQ=米，然后根据AQ+BQ=AB=2000，即可得出方程+x=2000，解方程，即可求得，进一步得出 米．
22．（2023九上·武昌期中）我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排人生产乙产品．
（1）求每天生产甲产品可获得的利润（元）和乙产品可获得的利润（元）与之间的函数关系式；
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的梨润多1250元，求的值；
（3）设生产甲、乙两种产品的总利润为（元），求的最大值和相应的的值。
【答案】（1）解：∵每天安排x人生产乙产品，则每天安排（65-x）人生产甲产品
∵每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少）
∴，
（2）解：由题意，得，整理，得，
解得，（不合题意，舍去）
所以，．
（3）解：（为整数）
对称轴为，不为整数
，开口向下，且离对称轴越近，越大
当或23时，最大．
【解析】【分析】（1）由题意可得每天安排（65-x）人生产甲产品，根据题意即可列出方程.
（2）根据题意列出等式，解方程即可求出答案.
（3）根据二次函数的性质即可求出答案.
23．（2024九上·鹿城期中）国庆期间某旅游点一家商铺销售一批成本为每件50元的商品，规定销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式 ．
（2）设该商铺销售这批商品获得的总利润（总利润＝总销售额﹣总成本）为w元，当销售单价为多少元时，可获得的总利润最大？最大总利润是多少？
（3）若该商铺要保证销售这批商品的利润不能低于4000元，则销售单价x（元）的取值范围是 ．（直接写答案）
【答案】（1）
（2）解：由题意可得出：
，
自变量取值范围：．
∵，．
∴函数图象开口向下，对称轴是直线．
∵，此时y随x的增大而增大，
∴当时，；
故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元
（3）
【解析】【解答】
（1）
解：设y与x的函数关系式为：，
∵函数图象经过点和，
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（3）
解：由，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
又∵；
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）根据总利润＝总销售额﹣总成本可求得w与x的函数关系式，并将解析式配成顶点式，然后由二次函数的性质可求解；
（3）由题意，用二次函数的增减性求得x的取值范围即可求解．
（1）解：（1）设y与x的函数关系式为：，
∵函数图象经过点和，
∴，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：；
故答案为：；
（2）解：由题意可得出：
，
自变量取值范围：．
∵，．
∴函数图象开口向下，对称轴是直线．
∵，此时y随x的增大而增大，
∴当时，；
故当销售单价为70元时，可获得的总利润最大；最大总利润是6000元；
（3）解：由，
当时，，
解得：，
∵，
∴，
又∵；
∴，
故答案为：．
24．（2023九上·岳阳期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，且，线段、的长是一元二次方程的两个根，且．
（1）求点、点、点的坐标；
（2）若直线过点交线段于点，且，求点坐标；
（3）在平面内是否存在一点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，
∴A点坐标为，B点坐标为，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴点C的坐标是；
（2）如图，过点D作轴于点E，轴于点F，
则，
∴，，
∵，
∴．
∴；，
∵，，
∴；，
解得．
∴；
（3）解：存在，
设，
∵点的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为，
∴，，，，，
当时，，
∴，，
解得，或，
∴点坐标为或；
当时，，
∴，，
解得或，
∴点坐标为或，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或．
【解析】【分析】（1）求解一元二次方程，根据点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，即可得出点、点的坐标；设点的坐标为，则，证明，则，，求解即可得出点的坐标；
（2）过点作轴于点，轴于点，证明，，由得到，则，，由，，得到；，解得，即可得出点坐标；
（3）设，由题意可得，，，则，，分和两种情况分别进行求解即可．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，
∴A点坐标为，B点坐标为，
∴，
设点C的坐标为，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验，是方程的解且符合题意，
∴点C的坐标是；
（2）如图，过点D作轴于点E，轴于点F，
则，
∴，，
∵，
∴．
∴；，
∵，，
∴；，
解得．
∴；
（3）解：存在，
设，
∵点的坐标为，点的坐标为，点C的坐标为，
∴，，，，，
当时，，
∴，，
解得，或，
∴点坐标为或；
当时，，
∴，，
解得或，
∴点坐标为或，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或．
25．（2024九上·合肥期中）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E.
（1）如图1，如果，求证：；
（2）如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的情况下，如果，，，请直接写出的长.
【答案】（1）证明：作，交于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
作，交于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴DE=10，
【解析】【分析】（1）作，交于点F，先根据题意，进而运用平行线的性质得到，再根据平行线分线段成比例即可得到，进而运用三角形全等的判定与性质即可求解；
（2）作，交于点F，先根据平行线分线段成比例即可得到，进而题意即可得到∠EDC的度数，再运用平行线的性质得到，进而运用相似三角形的判定与性质即可求解；
（3）根据题意设，则，进而根据勾股定理即可求解。
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