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上海市2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ）
A． B． C． D．
2． “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为( )
A． B． C． D．
3．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝ OD′，则A′B′∶AB为（ ）
A．2∶3 B．3∶2 C．1∶2 D．2∶1
6．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD的值为（ ）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
7．关于二次函数y＝﹣x2+3x﹣4，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线x＝﹣3
B．函数的有最小值，最小值为﹣4
C．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当时，y1＜y2
D．函数值y随x的增大而增大
8．有四组段，每组线段长度如下：①2，1， ， ；②3，2，6，4；③ ，1， ， ；④1，3，5，7，能组成比例的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
9．如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（ ）米
A． B． C． D．
10．如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若为线段AB的黄金分割点且.则 AB.
12．如图，在中，D是AB的中点，过点D的直线交AC于E，交BC的延长线于F，当，时， ．
13．如图，把两张宽度都是 的纸条交错地叠在一起，相交成角 ，则重叠部分的面积是 .
14．如图，大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为 .
15．已知Р是线段AB上的一个黄金分割点，AP>BP，AB=20cm，那么AP= .
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则 的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
18．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得 ，边DF离地面的高度 ，求树高AB.
19．如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系，随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低。为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动、如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m（测角仪的高度），DF=CE=5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin22°≈0.37，co82°2≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
20．某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为的山坡直线上行350米到达B处，再沿着坡角为的山坡BC直线上行600米到达C处.求小山的高度及该数学小组行进的水平距离（结果精确到1米）.
（参考数据：）
21．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AEAB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求的值．
（2）若AB：AC：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
22．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ）
23．某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪CD，测得路灯杆顶部的仰角为60°，求路灯杆AB的高度（结果保留根号）．
24．在中，已知是BC边的中点，点是的重心，过点的直线分别交AB，AC于点E，F.
（1）如图甲所示，当时，求证：.
（2）如图乙所示，当EF和BC不平行，且点E，F分别在线段AB，AC上时，第(1)题中的结论是否成立 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
25．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
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上海市2025—2026学年九年级上册期中模拟测试卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，，则下列各式中，不能说明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
添加后，两组对角相等，可证，故A选项不合题意；
添加后，两组对角相等，可证，故B选项不合题意；
添加后，两组对应边的比相等且相应的夹角相等，可证，故C选项不合题意；
添加后，对应边成比例但无法证明其夹角相等，不能说明，故D选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2． “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点大致是的黄金分割点，AP=4
∴
∴
∴AB的长为
故答案为：A
【分析】根据黄金分割点即可求出答案.
3．如图，中，交于点，，，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A=∠E，∠ADC=∠EDB，
∴△BDE△CDA，
∵，，，
∴，BD=6，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定方法求出△BDE△CDA，再求出，BD=6，最后计算求解即可。
4．如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 的顶端C处，已知 ，且测得 ，那么该古城墙的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由题意知： ，
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
故答案为：C
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质列出比例式，最后将数据代入计算即可。
5．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，O为位似中心，OD＝ OD′，则A′B′∶AB为（ ）
A．2∶3 B．3∶2 C．1∶2 D．2∶1
【答案】D
【解析】【解答】解：位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比.
∴A′B′：AB=OD′：OD=2：1.
故答案为：D.
【分析】由题，根据OD与OD′的数量关系，可以得出两个图形的位似比。
6．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD的值为（ ）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，
∴AO：OD= .
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积与△DEF的面积之比==
可求解.
7．关于二次函数y＝﹣x2+3x﹣4，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象的对称轴是直线x＝﹣3
B．函数的有最小值，最小值为﹣4
C．点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，当时，y1＜y2
D．函数值y随x的增大而增大
【答案】C
【解析】【解答】解：先将二次函数改写成.
A、函数图象的对称轴为，A错误；
B、函数的二次项系数为负，开口向下，没有最小值，B错误；
C、当时，y随x的增大而增大，C正确；
D、当时，y随x的增大反而减小，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题给出的二次函数为一般式，而观察选项可知利用图像属性判断更快，故转化成y=a(x-h)2+k的形式比较直观感知.
8．有四组段，每组线段长度如下：①2，1， ， ；②3，2，6，4；③ ，1， ， ；④1，3，5，7，能组成比例的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【解析】【解答】解：①线段从小到大排列，因为1×2＝ × ＝2，线段成比例，故①正确；
②线段从小到大排列，因为2×6＝3×4＝12，线段成比例，故②正确；
③线段从小到大排列，因为 × ≠1× ，线段不成比例，故③不正确；
④线段从小到大排列，因为1×7≠3×5，线段不成比例，故④不正确．
所以①②正确，③④不正确，成比例的有2组．
故答案为：B．
【分析】将各组线段从小到大排列，计算出中间两数的积以及两边的两数的积，再判断是否相等，相等的即为比例式。
9．如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（ ）米
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点，
则由“三线合一”知，，，
∴在中，米，
∴米，
故答案为：D．
【分析】根据题意可得为等腰三角形，过点O作于C点，在Rt△AOC中，用三角形函数sin∠AOC=可将用含m的代数式表示出来，然后根据“等腰三角形的三线合一”得AB=2AC即可求解．
10．如图正方形，点分别在边上，且，把绕点沿逆时针方向旋转得到，连接交于点，连接，并在上截取，连接，有如下结论：①；②始终平分；③；④；⑤垂直平分，上述结论中，所有正确的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】解：正方形，
，
绕点沿逆时针方向旋转得到，
，
，
，
三点共线，
，
，
故①错误；
由
由
始终平分
故②始终平分正确；
正方形
故③正确；
如图，连接
④正确，
垂直平分．
故⑤垂直平分正确．
综上：上述结论中，所有正确的是②③④⑤，共有4个．
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质与旋转的性质得到，再证明，从而可判断出①②，利用正方形性质与 ，证明，可判断③，连接MC ，证明，再证明为直角三角形，可判断④，证明，利用等腰三角形的性质可判断⑤.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若为线段AB的黄金分割点且.则 AB.
【答案】；
【解析】【解答】解：设AP的长为x，PB=AB-x，
∵ P为线段AB的黄金分割点且，
∴即
∴x2+ABx-AB2=0
解之：（取正值）
∴
故答案为：，0.618.
【分析】设AP的长为x，PB=AB-x，利用黄金分割点，可得到，据此可求出x的值，可表示出AP的长，即可求解.
12．如图，在中，D是AB的中点，过点D的直线交AC于E，交BC的延长线于F，当，时， ．
【答案】
【解析】【解答】解：过C作，交于点M，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】过C作，交于点M，可证出，，再根据，得出，由，，代入求解即可。
13．如图，把两张宽度都是 的纸条交错地叠在一起，相交成角 ，则重叠部分的面积是 .
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE=α，
过A作AE⊥BC于E，则AE=3，
∵∠ABE=α，
∴sin∠ABE= ，
∴AB= =BC，
∴重叠部分的面积=BC×AE= .
故答案为： .
【分析】对图形进行点标注，由题意可知：重叠部分是菱形，∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，则AE=3，根据∠α的正弦函数可得AB，然后根据菱形的面积公式进行计算.
14．如图，大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为 .
【答案】15-5
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割（AP＞PB），
∴
∴AP= ，
∴PB=AB-AP=AB-
= ，
∵AB=10，
∴PB= =15-5 .
故答案为：15-5 .
【分析】所谓黄金分割，就是将整体一分为二，其中较大部分的与整体的比=较小部分与较大部分的比，据此列出比例式，求解即可.
15．已知Р是线段AB上的一个黄金分割点，AP>BP，AB=20cm，那么AP= .
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB， AB=20cm，
∴AP=×20=.
【分析】把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，据此列出算式，进行计算即可得出答案.
16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作BH⊥OA于H，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=OB，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC= =5，
∴AO=OB= ，
∵ BH AC= AB BC，
∴BH= = ，
在Rt△OBH中，OH= = = ，
∵EA⊥CA，
∴BH∥AE，
∴△OBH∽△OEA，
∴ = ，
∴ = = = ．
故答案为 ．
【分析】AE不易求，因此需转化整个比例，通过作垂线构造“A"字型相似， ， BH就是Rt△ABC斜边上的高，利用面积法求出BH，再利用勾股定理求出OH，代入比例式即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
【答案】解：
【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值分别化简，再根据实数的混合运算顺序即可算出答案。
18．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得 ，边DF离地面的高度 ，求树高AB.
【答案】解： ， .
由题意得 ， .
∵ ， ，
∴ .
∴ .
∴ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB.
19．如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系，随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低。为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动、如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m（测角仪的高度），DF=CE=5.5m，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）.（参考数据：sin22°≈0.37，co82°2≈0.93，tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈0.96，tan16.7°≈0.30）
【答案】解：设长为m，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
根据题意，得，
∴，
∴长城第一墩的高度约为8.3m.
【解析】【分析】设长为m，在和，分别解直角三角形得的长，结合得关于的方程，解方程得的长，根据题意得的长，最后求的长即可.
20．某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为的山坡直线上行350米到达B处，再沿着坡角为的山坡BC直线上行600米到达C处.求小山的高度及该数学小组行进的水平距离（结果精确到1米）.
（参考数据：）
【答案】解：如图，过B作于E，过B作于H，
则四边形是矩形，
.
在中，
米，，
（米），（米），
.
在中，米，，
（米），（米）
（米），
（米），
小山的高度CD为502米，该数学小组行进的水平距离AD为768米.
【解析】【分析】 过B作BE⊥CD于E，过B作BH⊥AD于H， 易得四边形BEDH是矩形，得DE=BH，BE=DH，在Rt△BCE中根据锐角三角函数的定义，由CE=BC×sin22°，BE=BC×cos22°可算出CE、BE的长，在Rt△ABH中，由BH=AB×sin53°，AH=AB×cos53°算出BH、AH的长，进而根据CD=CE+DE=CE+BH及AD=AH+DH即可算出答案.
21．如图，在 ABCD中，点E在AB上，AEAB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．
（1）求的值．
（2）若AB：AC：2，
①求证：∠AEF＝∠ACB．
②求证：DF2＝DG DA．
【答案】（1）解：在 ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
又∵∠DFC＝∠AFE，
∴△AFE∽△CFD，
∴；
（2）解：①证明：∵，
可设AC＝2a，则，
由（1）知：，
∴，
∴，，
∴，
又∵∠BAC＝∠FAE，
∴△FAE∽△BAC，
∴∠AEF＝∠ACB；
②证明：∵FG∥AB，
∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠FAD，
∴∠FAD＝∠GFD，
又∵∠GDF＝∠FDA，
∴△GDF∽△FDA，
∴，
∴DF2＝DG DA．
【解析】【分析】（1）证明△AFE∽△CFD，根据相似三角形的性质即可求解；
（2）① 根据， 可设AC＝2a，则， 由（1）相似三角形的性质得到， 进而得到， 结合∠BAC＝∠FAE，证明△FAE∽△BAC， 最后根据相似三角形的性质即可求解；② 利用平行线的性质得到∠FAD＝∠GFD， 结合∠GDF＝∠FDA，进而证明△GDF∽△FDA， 根据相似三角形的性质列出比例式，进行变形即可求解.
22．小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为45°、35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）（参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ）
【答案】作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x有题意得，∠ABD=45°， ∠ACD=35°，在Rt ADB中，∠ABD=45°∴BD＝x，在Rt△ADC中，∠ACD＝35°，∴tan∠ACD＝ ，∴ ＝ ，解得x≈233m.答：热气球与地面的高度为233m
【解析】【分析】根据题意作AD⊥BC交CB的延长线于D，要求热气球离地面的高度，即求线段AD的长度，在Rt ADB中，由已知条件可将BD用AD表示出来，则CD也可用AD表示出来，在Rt△ADC中，用∠ACD的正切可的关于AD的方程，解方程即可求解。
23．某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪CD，测得路灯杆顶部的仰角为60°，求路灯杆AB的高度（结果保留根号）．
【答案】解：由题意知：四形是矩形，
∴米，米，
在Rt中，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：路灯杆的高度为（）米．
【解析】【分析】根据矩形性质可得米，米，在Rt中，根据锐角三角函数定义可得，再根据即可求出答案.
24．在中，已知是BC边的中点，点是的重心，过点的直线分别交AB，AC于点E，F.
（1）如图甲所示，当时，求证：.
（2）如图乙所示，当EF和BC不平行，且点E，F分别在线段AB，AC上时，第(1)题中的结论是否成立 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
【答案】（1）证明：点G是△ABC的重心，
，
又
，
∴；
（2）解：成立，理由如下：过点A作AN∥BC，交EF的延长线于点N，FE与CB的延长线相交于点M，
∴△BME∽△ANE，△ANF∽△CMF，△ANG∽△DMG，
∴，，，
∴，
又∵BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM，
∴，
∴，
∴结论成立.
【解析】【分析】（1）三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段，据此可得，然后根据平行线分线段成比例定理得，最后根据等式的性质可得结论；
（2）（1）中结论依然成立，理由如下：过点A作AN∥BC，交EF的延长线于点N，FE与CB的延长线相交于点M，由平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△BME∽△ANE，△ANF∽△CMF，△ANG∽△DMG，由相似三角形对应边成比例可得，，，进而根据等式性质、中点定义及线段和差可得，此题得解了.
25．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）4；21
（2）解：①∠CDB=90°时，AC BDAB BC，
∴BD，
所以CD=，
∴，
解得：（秒）；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
∴，
解得：（秒）；
综上所述，当或秒时，△CBD是直角三角形；
（3）解：①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，DE∥AB，
∴CD=AD=AC=，
∴，
解得：（秒）；
②CD=BC时，CD=15，
∴，
解得：（秒）；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
∵S△BCA=AB×BC=AC×BF，
∴×20×15=×25BF，
∴BF=12，
在△BCF中，
∵BC=BD，BF⊥AC，
∴CD=2CF=18，
∴，
解得：（秒）；
综上所述，当或或秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1），
CD=2t=4，AD=AC-CD=21，
故答案为：4；21；
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC=25，利用路程=速度×时间得到CD=4，再利用AD=AC-CD可算出AD的长；
（2）分两种情况讨论：①∠CDB=90°时，利用面积法可求出AC边上的高BD的长，再根据勾股定理求出CD长，即可求出时间t；②∠CBD=90°时，当D与A重合时，此时CD=AC=25，可算出t，综合得到或时，三角形CBD是直角三角形；
（3）分三种情况：①CD=BD，过点D作DE⊥BC于E，由等腰三角形的三线合一得CE=BE，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DE∥AB，由平行线等分线段定理得CD=，由路程、速度、时间三者的关系可求出t；②CD=CB=15，由路程、速度、时间三者的关系可求出t；③BD=BC时，由面积法可得BF=12，根据勾股定理可得CF=9，再根据三线合一得到DF=CF=9，求得CD=18，即可求出t=9，综合即可得到t的三个值.
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