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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学八年级上册期中试卷
1． 如图。
（1）写出△ABO各顶点的坐标，以及它们关于y轴的对称点的坐标，并描点。
（2）以y轴为对称轴，作△ABO的轴对称图形，然后将所得图形连同原图形，以x轴为对称轴再作轴对称图形。
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标；A1（，）．
3．如图，池塘边有两点A，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，两点间的距离．
4．如图，在中，D是BC上的一点，，，，．
（1）求证：；
（2）求BD的长．
5．如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1．
（1）请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标．
6．已知与成正比例，且时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）将所得函数图象向上平移个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
7．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
边长= ，该边长的整数部分为 ，该边长的小数部分为 ．
8．某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______．
（2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式．
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度．
9．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
10．已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
11．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．
（1）若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？
（2）写出当时与之间的表达式；
（3）若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？
12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上有一点，使得，求点的坐标．
13．年月日晚，千余架无人机在宜宾三江口上演巨龙腾飞，美出了天际，惊艳了时光，让人震憾如图，在平面直角坐标系中，线段、分别表示号、号无人机在队形变换中飞行的高度、米与飞行时间秒的函数图象，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为，根据图像回答下列问题：
（1）图中点的坐标为 ；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）求点的坐标，并写出点的坐标表示的实际意义．
14．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 多少cm？
15．在数轴上表示下列各数，并将各数按从小到大的顺序用“＜”连接．
16．某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1200米？
17．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 40 24
（3）试写出y与x的关系式是 ．
（4）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米
18．已知 满足 ， 求 的值.
19．如图，已知，，，，，求图中阴影部分的面积．
20．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝4cm，求AB的长．
22．已知与成正比例，且当时，.求y与x的函数表达式.
23．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子最稳定.如图，现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米高的墙头吗？( )
24．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则_▲_，求的值；
（2）若实数，满足，，且，求的值．
25．已知的算术平方根是的立方根是是的整数部分，求的平方根．
26．a，b均为正整数，且求a+b的最小值．
27． 如图， 漏刻是我国古代的一种计时工具， 是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校 STEAM 社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型． 该社团成员通过观察， 记录水位 ，时间 的数据， 得到下表．
1 2 3 4
1.6 2.0 2.4 2.8
为了描述水位 与时间 的关系， 现有以下三种函数模型供选择： ．
（1） 在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点， 再选出最符合实际的函数模型， 求出相应的函数表达式， 并画出这个函数的图象．
（2） 当水位高度 为 时， 求对应的时间 的值．
28．如图，直线是一次函数的图象，回答下面问题：
（1）当时，______；
（2）当x______时，；
（3）直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为______；
（4）写出m的一个值，使x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达．
29． 已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点在轴左侧且到两坐标轴的距离相等．
30．①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
（1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ；
（2）化简．
31．甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）求线段对应的函数解析式．
（2）货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？
（3）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．
32．已知 中， ，点 在 上， ， ， ，判断 是否是直角三角形？并说明理由.
33．如图所示，已知△ABC的三边长之比为3：4：5，且周长为72cm，求它的面积.
34．如图，在中，，，边上的中线，求的长.
35．如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ．
（2）估计边长的值在两个相邻整数 与 之间．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长的整数部分为，小数部分为，求的值．
36．如果一个球的体积扩大为原来的8倍，那么它的半径扩大为原来的多少倍？如果一个球的体积扩大为原来的27倍，那么它的半径扩大为原来的多少倍？如果球的体积扩大为原来的1000倍，那么它的半径扩大为原来的多少倍？（球的体积公式： ）
37．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 ，求代数式 的值．
38．若x是的小数部分，求式子的平方根
39．已知3a的立方根是-3，的算术平方根是2，求的立方根．
40．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
（1）若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？
（2）由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）；
②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
41．已知直线 与直线 的交点 的横坐标为3，与直线 的交点 的纵坐标为 ，求直线 的函数关系式.
42．甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟；
（2）甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米；
（3）甲同学两次休息地相距________千米；
（4）甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？
43．如图所示，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离是多少？
44．甲、乙两人相约登山， 他们同时从人口处出发， 甲步行登山到山顶， 乙先步行 15 分钟到缆车站， 再乘坐缆车到达山顶． 甲、乙距山脚的垂直高度 （米） 与甲登山的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．
（1） 当 时， 求乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
45．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点．
（1）填空：① （填写“＞”“＜”或“=”）；② ；
（2）证明：；
（3）①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值；
②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值．
46．某合作社为尽快打开市场，对芸豆进行线上和线下销售相结合的模式，具体销售模式如下：
线下销售模式，标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克的，超出部分每千克再让利1.5元．
设购买威宁芸豆x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求两种销售模式分别对应的函数表达式；
（2）求出图中点C的坐标，并说明其实际意义；
（3）若想购买10千克威宁芸豆，请问选择哪种模式购买更省钱？
47．如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内．
（1）如图1，若，求点C的坐标．
（2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
（3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长．
48．在平面直角坐标系中，，，，如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如：点，，，．点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，．
（1）点B是点A的______阶“生长点”；
（2）已知点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”．
①若三角形的面积为4，求点C的坐标；
②若，求b的值；
（3）若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时总有，则m的取值范围为______．
49． 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．
50． 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
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【解答题强化训练·50道必刷题】北师大版数学八年级上册期中试卷
1． 如图。
（1）写出△ABO各顶点的坐标，以及它们关于y轴的对称点的坐标，并描点。
（2）以y轴为对称轴，作△ABO的轴对称图形，然后将所得图形连同原图形，以x轴为对称轴再作轴对称图形。
【答案】（1）解：A（2，1），B（1，3），O（0，0）
如图，它们关于y轴的对称点的坐标为A'（-2，1），B'（-1，3），O（0，0）
（2）解：如图，△A'B'O、△A1B1O、△A2B2O为所作.
【解析】【分析】（1）利用第一象限的点的特征写出A，B，O的坐标，再根据点（x，y）关于y轴对称点坐标为（-x，y）即可解答；
（2）利用轴对称的性质作出关于x轴为对称轴的对称图形即可．
2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（0，4），C（0，2）．画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并写出点A1的坐标；A1（，）．
【答案】解：如图所示：A1( 3， 2)，
故答案为：A1（-3，-2）
【解析】【分析】坐标系中的点关于X轴对称的点的特点。横坐标不变，纵坐标变为相反数。
3．如图，池塘边有两点A，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．求A，两点间的距离．
【答案】解：由题意得：，
∵，，
∴；
答：A、B两点间的距离为．
【解析】【分析】先根据题意可得，再利用勾股定理求解即可.
4．如图，在中，D是BC上的一点，，，，．
（1）求证：；
（2）求BD的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：∵在中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理即可求证；
（2）在中，利用勾股定理求出BC的长度，最后根据线段间的数量关系即可求解.
5．如图为某县区几个公共设施的平面示意图，小正方形的边长为1．
（1）请以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系；
（2）在所建立的平面直角坐标系中，写出其余各设施的坐标．
【答案】（1）解：如图：以学校为坐标原点，建立平面直角坐标系如下：
（2）解：图书馆：，商场：，医院：，车站：
【解析】【解答】（2）解：其余各设施的坐标分别为：
图书馆：，商场：，医院：，车站：．
【分析】（1）以学校为原点，过学校的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，向右及向上的方向为正方向，小正方形的边长得长度为单位长度，建立直角坐标系即可；
（2）以学校为原点建立直角坐标系，根据其余各设施所在的位置可得其坐标．
6．已知与成正比例，且时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）将所得函数图象向上平移个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）解：由题知，与成正比例，
设
当时，，
解得
，即与的函数关系式
（2）解：将向上平移个单位后，函数关系式为
令，则，令，则
则平移后与坐标轴围成的三角形面积为
【解析】【分析】（1）由题意设 ，再代入（2，7）即可解题。
（2）先把平移后的函数求出来，再求出函数与x、y轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式求解即可。
7．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求图甲中阴影正方形的面积和边长；
（2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）．
边长= ，该边长的整数部分为 ，该边长的小数部分为 ．
【答案】（1）解：S阴影=4×4-4××1×3=10，
∴边长=；
（2）；2；-2
【解析】【解答】解：（2）解：如图，
∵S小正方形=3×3-4××1×2=5，
∴它的边长=；边长的整数部分=2；边长的小数部分=-2（答案不唯一），
故答案为：；2；-2.
【分析】（1）利用阴影正方形的面积=大正方形的面积-4×三角形的面积，列式进行计算，求出阴影正方形的面积，从而得出阴影正方形的边长；
（2）画出图形，先求出小正方形的面积再开方，求出小正方形的边长，从而得出边长的整数部分以及边长的小数部分.
8．某小区在旧小区改造过程中，需要为一段路面重新铺设地砖，由小区物业的甲、乙两个小组共同完成．甲小组先单独铺设路面，一段时间后，乙小组也赶来和甲小组一起铺设路面．甲、乙两个小组每小时铺设路面的长度不变，乙小组每小时铺设路面40米．甲、乙两小组铺设路面的总长度y（米）与甲小组铺设路面所用的时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）甲小组每小时铺设路面______米，m的值为______．
（2）求乙小组加入后，y与x之间的函数关系式．
（3）当铺设完路面总长度的一半时，求甲、乙两个小组各自铺设路面的长度．
【答案】（1）50，150
（2）解：设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）解：当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
【解析】【解答】（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
【分析】（1）由图像可知：甲小组每小时铺设路面米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将点，代入解析式即可求出答案.
（3）根据时，求出x值，再分别求出各自各自铺设路面的长度即可求出答案.
（1）解：由图像可知：甲小组每小时铺设路面米．
，
解得：，
∴甲小组每小时铺设路面米．
故答案为：50，150；
（2）设y与x之间的函数关系式为．
将点，代入，得
由题意，得．
解得．
∴y与x之间的函数关系式为．
（3）当时，．
∴（米），
（米）．
∴甲铺设路面的长度为米，乙铺设路面的长度为米．
9．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】（1），
（2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米，
∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米
∵，，
∴，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
【解析】【解答】（1）解：由题意得：
圆形团扇的半径为厘米，
正方形团扇的边长为厘米；
【分析】（1）根据圆和正方形的面积公式，分别计算出半径，可得出答案；
（2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案．
（1）解：由题意得：
圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米；
（2）解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米，
∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米
∵，，
∴，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
10．已知一次函数（a为常数，）的图象过点．
（1）求一次函数的表达式．
（2）若点，都在该函数的图象上．
①当时，求的取值范围．
②请判断，的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：(1)∵一次函数y=(a+1)x+a-2(a为常数，a≠-1)的图象过点(-2，4)，
∴4=-2a-2+a-2，
解得a=-8，
∴一次函数的表达式为：y=-7x-10.
（2）解：(2)①由一次函数解析式y=-7x-10可知：
当-1②因为一次函数k=-7<0，y随x的增大而减小，
又∵m∴y1>y2.
【解析】【分析】(1)将点(-2，4)坐标代入直线解析式求出a值，还原解析式即可；
(2)①根据-1②根据一次函数的增减性判定即可.
（1）解：根据题意，将点代入一次函数中，
则，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：①由（1）知一次函数的表达式为，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，则，
当时，则，
∴当时，的取值范围为；
②，理由如下：
由①知一次函数，随的增大而减小，
∵，
∴．
11．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．
（1）若小丽家某季度用煤气量为60立方米，则小丽家该季度应交煤气费多少元？
（2）写出当时与之间的表达式；
（3）若小丽家第一季度的煤气费为380元，那么她家第一季度所用煤气为多少立方米？
【答案】（1）解：根据题意得：小丽家该季度应交煤气费为(元)，
答：小丽家该季度应交煤气费245元.
（2）解：根据题意可得当时，.
（3）解：设小丽家第一季度用气立方米，
∵
∴
由题意，得
解得：
答：小丽家第一季度用气立方米.
【解析】【分析】（1）根据题干中的收费标准列出算式求解即可；
（2）根据题干中的收费标准列出函数解析式即可；
（3）设小丽家第一季度用气立方米，列出方程，再求解即可.
12．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点．
（1）求直线的解析式；
（2）在轴上有一点，使得，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入得，
，
所以点坐标为，
因为点是的中点，
所以，
所以点的坐标为．
将代入得，
，
所以点坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
所以直线的函数表达式为．
（2）解：因为，
所以，
则，
所以．
因为点的坐标为，
所以点的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先求出A，B的坐标，进而得到C的坐标，根据待定系数法求直线AC的解析式即可；
（2）根据三角形的面积公式可得 和，在x轴上即可求得D的坐标.
13．年月日晚，千余架无人机在宜宾三江口上演巨龙腾飞，美出了天际，惊艳了时光，让人震憾如图，在平面直角坐标系中，线段、分别表示号、号无人机在队形变换中飞行的高度、米与飞行时间秒的函数图象，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为，根据图像回答下列问题：
（1）图中点的坐标为 ；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）求点的坐标，并写出点的坐标表示的实际意义．
【答案】（1）
（2）解：由题意知点的坐标为，
设线段对应的函数表达式为，
将代入得，
，
，
线段对应的函数表达式为：；
（3）解：联立与，得，
解得：，
，
点的坐标为，
点坐标表示的实际意义是第秒时号和号无人机在同一高度．
【解析】【解答】解：（1），当x=0时，y=180，
∴点B的坐标为（0，180） .
故答案为：（0，180） .
【分析】（1），当x=0时，y=180，即得点B坐标；
（2）先求出A的坐标，再代入中求出k值即可；
（3）联立与并解出x、y值，即得点P坐标.
14．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 多少cm？
【答案】解：把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，如图所示
则DB=AD=4cm
由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形
∴CE=MH=9cm，EH=CM=4cm
∴DE=DH－EH=12－4=8（cm）
∴BE=DE+DB=8+4=12（cm）
在Rt△BEC中，由勾股定理得：
即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm
【解析】【分析】把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于DF的对称点B，分别连接BD、BC，过点C作CE⊥DH于点E，则DB=AD=4cm，由题意及辅助线作法知，M与N分别为GH与DF的中点，且四边形CMHE为长方形，在Rt△BEC中，利用勾股定理得出BC的值即可得出答案。
15．在数轴上表示下列各数，并将各数按从小到大的顺序用“＜”连接．
【答案】解：∵|-1|=1，如图，
∴ 解：
【解析】【分析】先化简|-1|，再将各个数在数轴上表示出来，然后将各数按从小到大的顺序用“＜”连接即可。
16．某天早晨，张强从家跑步去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走）．如图是两人离家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题：
（1）求张强返回时的速度；
（2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
（3）请直接写出张强与妈妈何时相距1200米？
【答案】（1）解：3000÷(50 30)=3000÷20=150(米/分)，
答：张强返回时的速度为150米/分。
（2）解：(45 30)×150=2250(米)，点B的坐标为(45，750)，
妈妈原来的速度为：2250÷45=50(米/分)，
妈妈原来回家所用的时间为：3000÷50=60(分)，
60 50=10(分)，
答：妈妈比按原速返回提前10分钟到家。
（3）解：线段OA的函数解析式为：y= =100x(0 x 30)，
如图：
设线段BD的函数解析式为：y=kx+b，
把(0，3000)，(45，750)代入得： ，
解得： ，
∴线段BD的函数解析式为：y= 50x+3000（0 x 45），
设线段AC的解析式为：y=k1x+b1，
把(30，3000)，(50，0)代入得： ，
解得： ，
∴线段AC的解析式为：y= 150x+7500(30当张强与妈妈相距1200米时，
即 50x+3000 100x=1200或100x ( 50x+3000)=1200或( 150x+7500) ( 50x+3000)=1200，
解得：x=28或x=12或x=33，
∴当时间为12分或28分或33分时，张强与妈妈何时相距1200米.
【解析】【分析】（1）由图象可知，张强家与体育场距离3000米，张强用30分钟到达体育场，然后在离家50分钟回到家，所以张强的速度为3000÷（50-30）；
（2）由图象可知，45分钟时，张强与妈妈相遇，此时距家还有750米，妈妈行走了2250米，可以求出妈妈的速度为50米/分钟，那妈妈到家的时间为60分钟，而图象可知，张强与妈妈到家的时间为50分钟，所以早到家10分钟；
（3）由图象可知，AO与DB的交点为张强与妈妈第一次相遇，AC与DB的交点为张强与妈妈第二次相遇，用待定系数法分别求出AO，DB和AC的函数解析式，在张强与妈妈第一次相遇前，即用BD的解析式减去AO的解析式为1200米，在张强与妈妈第一次相遇后第二次相遇前，即用AO的解析式减去BD的解析式为1200米，AC的解析式减去BD的解析式为1200米，解析这三个方程即可。
17．一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升），行驶路程为x（千米），则y随x的变化而变化．
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ．
（2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 40 24
（3）试写出y与x的关系式是 ．
（4）这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米
【答案】（1）汽车行驶路程；油箱内剩油量
（2）48；32
（3）
（4）解：当千米时，（升）；
当时，得，
解得，
所以这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升；汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米．
【解析】【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是油箱内剩油量；
故答案为：汽车行驶路程；油箱内剩油量；
（2）56-0.08×100=48；56-0.08×300=32，
行驶路程x（千米） 100 200 300 400
油箱内剩油量y（升） 48 40 32 24
故答案为：48；32；
（3）根据题意得y与x的关系式为y=56 0.08x (0≤x≤700) ，
故答案为： y=56 0.08x (0≤x≤700) ；
（4）解：当千米时，（升）；
当时，得，
解得，
所以这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升；汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米．
【分析】（1）由油箱中的余油随行驶路程的变化而变化可得答案；
（2）根据油箱中的余油等于油箱中原有油量减去行驶过程消耗的油量列出算式，即可求出答案；
（3）根据油箱中的余油等于油箱中原有油量减去行驶过程消耗的油量即可列出y关于x的关系式；
（4）把x=350和y=8分别代入（3）所得函数关系式中进行计算，即可得出答案.
18．已知 满足 ， 求 的值.
【答案】解：依题意，得：，8﹣2x≠0；
即x2﹣16＝0，8﹣2x≠0；
由x2﹣16＝0，得：x＝±4；
由8﹣2x≠0，得x≠4；
∴x＝﹣4；
y；
故x+y＝﹣4+2×（-2）=-8．
∴x+y的值为﹣8.
【解析】【分析】首先根据二次根式的性质以及分式的分母不为0求出x、y的值，然后再代入求值即可解答.
19．如图，已知，，，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】证明：在中，，，，
，
（取正值）．
在中，，，
，
为直角三角形；
【解析】【分析】 在
中， 根据勾股定理求出AC， 在
中，因为
，则
为直角三角，可得
。
20．已知O为坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△ABO=4，求k的值．
【答案】把y＝0代入y＝kx＋b得kx＋b＝0，解得x＝ ，
所以B点坐标为（ ，0）；
把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2 k，
∵S△AOB＝4，
∴ ×| |×2＝4，即| |＝4，
∴| |＝4，
解得k＝ 或 ．
∴k＝ 或 ．
【解析】【分析】先表示出B点坐标为（ ，0）；再把A（1，2）代入y＝kx＋b得k＋b＝2，则b＝2 k，然后根据三角形面积公式得到 ×| |×2＝4，即| |＝4，所以| |＝4，然后解方程即可．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝4cm，求AB的长．
【答案】解：∵AB＝AC，BC＝4cm，AD⊥BC， ∴BD＝ BC＝2， ∵AD＝4cm， ∴AB＝ ＝2 cm．
【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD的长，利用勾股定理求出AB的长即可.
22．已知与成正比例，且当时，.求y与x的函数表达式.
【答案】解：设（k是常数且），
将，代入得，
解得，
所以y与x的函数表达式为：.
【解析】【分析】设y-3=k(x+2)，将x=2、y=-1代入求出k的值，据此可得y与x的关系式.
23．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子最稳定.如图，现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米高的墙头吗？( )
【答案】解：能.如图，
当BC＝ AB时，
∵AB＝6，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AC＝ ＝ ＝ ＝4 ≈4×1.414＝5.656米，
∵5.656＞5.6，
∴梯子顶端能到5.6米高的墙头.
【解析】【分析】 能.如图， 根据题意AB=6，BC=2，由勾股定理算出AC的长，将该长度与5.6比大小即可得出结论。
24．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则_▲_，求的值；
（2）若实数，满足，，且，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
，，，即，
当时，原式；
当时，原式；
综上所述，原式的值是或3．
（2）解：，，
，
，
，．
当，时，；
当，时，；
综上所述，的值是或．
【解析】【分析】（1）根据相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质可得，，，，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据绝对值性质可得，，再由题意可得，，再代入代数式即可求出答案.
25．已知的算术平方根是的立方根是是的整数部分，求的平方根．
【答案】解：的算术平方根是4，
，
解得；
的立方根是－2，
，解得；
是的整数部分，，
，
，
的平方根是．
【解析】【分析】根据题意求得a，b的值，再估算的大小得到c的值，代入求出数值，再根据平方根的定义解答即可．
26．a，b均为正整数，且求a+b的最小值．
【答案】解：因为9<11<16，所以：
因为8<9<27，所以
又因为a，b均为正整数，
所以a的最小值为4，b的最小值为3，
所以a+b的最小值为3+4=7．
【解析】【分析】先利用夹逼法求出，，再根据a，b均为正整数，求出a+b的最小值．
27． 如图， 漏刻是我国古代的一种计时工具， 是中国古代人民对函数思想的创造性应用．某学校 STEAM 社团在进行项目化学习时依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型． 该社团成员通过观察， 记录水位 ，时间 的数据， 得到下表．
1 2 3 4
1.6 2.0 2.4 2.8
为了描述水位 与时间 的关系， 现有以下三种函数模型供选择： ．
（1） 在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点， 再选出最符合实际的函数模型， 求出相应的函数表达式， 并画出这个函数的图象．
（2） 当水位高度 为 时， 求对应的时间 的值．
【答案】（1）解：描点，连线如图：
这些点是在同一条直线上， 最符合实际的函数模型为 ， 把 代入．
得
解得
相应的函数表达式为 ，
（2）令 ， 得 ，
解得 ．
答： 对应的时间 的值为
【解析】【分析】（1）描点连线，可得函数为一次函数，函数模型为 ，利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）把h=4.8代入函数表达式，即可求出对应的t值.
28．如图，直线是一次函数的图象，回答下面问题：
（1）当时，______；
（2）当x______时，；
（3）直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为______；
（4）写出m的一个值，使x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达．
【答案】（1）
（2）
（3）4
（4）解：当直线过时，，
，
当x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达，
直线比倾斜程度变大，
，
可以为
【解析】【解答】解：（1）由图可知，函数经过两点，
将点代入解析式，
，解得：，
直线是一次函数，
当时，，
故答案为：；
（2）当时，，
，
当时，，
故答案为：；
（3）令时，，
，
直线与x轴的交点为，
直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为；
故答案为：4；
【分析】（1）结合函数图象，可知函数经过两点，进而根据待定系数法即可得出直线是一次函数，进一步即可得出 、当时， y=-6；
（2）y＞1，即，解不等式即可求解；
（3）首先求出直线与两坐标轴的交点，进而即可根据三角形的面积计算公式得出 三角形的面积 ；
（4）当直线过时，求出m值，由题意可得出，从而得出结果．
（1）解：由图可知，函数经过两点，
将点代入解析式，
，解得：，
直线是一次函数，
当时，，
故答案为：；
（2）解：当时，，
，
当时，，
故答案为：；
（3）解：令时，，
，
直线与x轴的交点为，
直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积为；
故答案为：4；
（4）解：当直线过时，，
，
当x从0开始逐渐增大时，函数的值比函数的值先到达，
直线比倾斜程度变大，
，
可以为．
29． 已知点，分别根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点在轴左侧且到两坐标轴的距离相等．
【答案】（1）解：根据题意得，，
解得，
，
；
（2）解：根据题意得，或，
解得或．
∴点的坐标为或，
∵点在轴左侧，
．
【解析】【分析】（1）根据点在x轴上的坐标特征：纵坐标为0，据此得到：，据此解出m的值，进而即可得到点P的坐标；
（2）根据y轴左侧的点横坐标为负数及一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝度值可得到：或，据此即可求出m的值，进而得到点P的坐标，最后根据"点在轴左侧"据此即可判断点P的坐标.
30．①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
②．
（1）请用不同的方法化简，参照①式得＝ ；参照②式得＝ ；
（2）化简．
【答案】（1）；
（2）解：原式
．
【解析】【解答】（1）解：方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法并利用分母有理化分析求解即可；
（2）先利用分母有理化化简，再利用二次根式的混合运算的计算方法分析求解即可.
（1）解：方法一：；
方法二：；
故答案为：；；
（2）原式
．
31．甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发开往乙地．如图，线段表示货车离甲地距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离千米与小时之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）求线段对应的函数解析式．
（2）货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？
（3）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米．
【答案】（1）解：设线段对应的函数解析式为，由题意，得
，
解得：．
则．
答：线段对应的函数解析式为；
（2）解：设的解析式为，由题意，得
，
解得：，
．
当时，
，
解得：．
离甲地的距离是：千米．
答：货车从甲地出发后小时被轿车追上，此时离甲地的距离是千米；
（3）解：由题意，得千米．
答：轿车到达乙地后，货车距乙地千米．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）设的解析式为，先运用待定系数法求出一次函数的解析式，进而结合题意即可求解；
（3）根据题意即可求解。
32．已知 中， ，点 在 上， ， ， ，判断 是否是直角三角形？并说明理由.
【答案】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ，
∴△ADC和△BCD是直角三角形，
又∵ ， ， ，
∴AC2=AD2+CD2=1+4=5，BC2=CD2+BD2=20，AB2=（AD+BD）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
【解析】【分析】由题意在Rt△ADC和Rt△BCD中，用勾股定理可求得BC和AC的值，然后计算AC2、BC2和AB2的值，再观察是否满足a2+b2=c2，然后由勾股定理的逆定理可判断求解.
33．如图所示，已知△ABC的三边长之比为3：4：5，且周长为72cm，求它的面积.
【答案】解：设三边长为3x cm，4x cm，5x cm，
∵(3x)2+ (4x)2=(5x)2，
∴AC2+ BC2=AB2 ，所以∠C= 90°．
∵周长为72 cm，所以3x+4x+5x=72，解得x=6，
∴3x=18，4x=24，所以它的面积为 ×18×24=216(cm2 )．
【解析】【分析】 设三边长为3x cm，4x cm，5x cm， 利用勾股定理逆定理求出△ABC是以AB为斜边的直角三角形，然后根据周长为72构建方程求解，最后根据三角形面积公式计算即可.
34．如图，在中，，，边上的中线，求的长.
【答案】解：如图，延长到，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，，
，
是直角三角形，，
，
.
【解析】【分析】 延长到，使，连接，证明，可得CE=AB=3，根据勾股定理的逆定理推出△ACE是直角三角形 ，且CE⊥AE，利用勾股定理求出CD的长，从而求出BC的长.
35．如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ．
（2）估计边长的值在两个相邻整数 与 之间．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长的整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】（1）13；
（2）3；4
（3）解：∵
∴
的整数部分为，
小数部分为，
.
的值为．
【解析】【解答】解：（1）图中阴影部分的面积是：；
阴影部分正方形的边长是.
故答案为：13； ；
（2）
，
即边长的值在两个相邻整数3与4之间
故答案为：3，4．
【分析】（1）影部分的面积=大正方形面积4个直角三角形的面积，再根据正方形的面积公式可得阴影部分正方形的边长；
（2）根据无理数的估值，即可得解；
（3）结合（2）的结论得， 代数求解即可.
36．如果一个球的体积扩大为原来的8倍，那么它的半径扩大为原来的多少倍？如果一个球的体积扩大为原来的27倍，那么它的半径扩大为原来的多少倍？如果球的体积扩大为原来的1000倍，那么它的半径扩大为原来的多少倍？（球的体积公式： ）
【答案】解：∵
∴当 时
即
∴
∴当一个球的体积扩大为原来的8倍时，它的半径扩大为原来的2倍，
同理，当一个球的体积扩大为原来的27倍时，它的半径扩大为原来的3倍；
当球的体积扩大为原来的1000倍时，它的半径扩大为原来的10倍.
故答案为：当一个球的体积扩大为原来的8倍时，它的半径扩大为原来的2倍，
当一个球的体积扩大为原来的27倍时，它的半径扩大为原来的3倍；
当球的体积扩大为原来的1000倍时，它的半径扩大为原来的10倍.
【解析】【分析】利用球的体积公式，确定半径之间的关系，即可得到结论．
37．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为 ，求代数式 的值．
【答案】由题意知a＋b＝0，cd＝1，x＝± ，
则原式＝（± ）2＋
＝3＋2 3
＝2．
【解析】【分析】先根据相反数的性质、倒数和绝对值的定义得出a＋b＝0，cd＝1，x＝± ，代入计算可得．
38．若x是的小数部分，求式子的平方根
【答案】解：因为，
所以的小数部分，
所以，
所以式子的平方根是
【解析】【分析】本题考查无理数的小数部分和整数部分，平方根等知识，先求出介于哪两个连续整数之间，确定整数部分，进而确定它的小数部分，从而计算出，从而得解．
39．已知3a的立方根是-3，的算术平方根是2，求的立方根．
【答案】解：由题意可知，
∴
解得：
∴，
∴
【解析】【分析】根据立方根及算术平方根的意义分别求出a、b的值，再代入计算即可.
40．某车间有50名工人，每人每天可加工16个甲种零件或15个乙种零件，安排其中一部分工人加工甲种零件，其余工人加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利20元，每加工一个乙种零件可获利24元．
（1）若该车间某天获利17000元，问这天加工甲种零件的工人多少人？
（2）由于生产需要，每天都需要加工两种零件，设加工甲种零件的人数为m．
①请用含m的式子表示该车间每天的获利w（元）；
②若，求当m为何值时，该车间一天的获利w最大？最大为多少元？
【答案】（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人，
根据题意可得，，
解得
∴这天加工甲种零件的工人有25人；
（2）①∵加工甲种零件的人数为m，
∴加工乙种零件的人数为，
∴根据题意可得，；
②∵，
∴w随m的增大而减小，
∵
∴当时，w最大，此时．
【解析】【分析】（1）设这天加工甲种零件的工人有x人，则加工乙种零件的工人有人，根据题意列出一元一次方程，计算求解即可；
（2）①设加工甲种零件的人数为m，加工乙种零件的人数为，根据利润公式列出式子即可；
②根据①中求出的表达式，根据一次函数的性质求解即可．
41．已知直线 与直线 的交点 的横坐标为3，与直线 的交点 的纵坐标为 ，求直线 的函数关系式.
【答案】解：在直线 中，
令 ，解得
则P点的坐标为(3，10)
在直线 中，
令 ，解得
则Q点的坐标为(-3，-8)
则直线 经过点P(3，10)，Q(-3，-8)
设直线 的解析式为：
根据题意得：
解得
故直线 的解析式为： .
【解析】【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，求出P(3，10)，Q(-3，-8)，利用待定系数法求出直线的解析式即可.
42．甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：
（1）甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟；
（2）甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米；
（3）甲同学两次休息地相距________千米；
（4）甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？
【答案】（1）；
（2）；
（3）
（4）解：路段内的路程为千米，
所用的时间为小时，
所以甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时．
【解析】【解答】（1）解：甲同学第一次休息时距离图书馆千米，停留的时间为分钟；
故答案为：；；
（2）解：甲同学离图书馆的最远距离是千米，他在120分钟内共跑了千米；
故答案为：；；
（3）解：甲同学两次休息地相距千米；
故答案为：；
【分析】（1）（2）（3）在图象上提取相关信息解答即可；
（4）根据速度=路程÷时间计算解答.
43．如图所示，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，点I为Rt△ABC三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离是多少？
【答案】解：连接AI，BI，CI，过点I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，ID⊥BC于D，
在△ABC中，
∵BC=4，CA=3，AB=5，
∴ AC2+ BC2=32+42=52=AB2 ，
∴ △ABC是直角三角形，∠C= 90°．
∵点I为△ABC的三条角平分线的交点，
∴ IE=IF= ID．
设IE=x，因为S△ABC=S△IAB十S△IAC+ S△ICB，
∴ ×4×3= IF×5+ IE×3+ ID×4，
∴ 5x+3x+4x= 12，解得x=1，
∴ 点I到AB的距离等于1．
【解析】【分析】 连接AI，BI，CI，过点I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，ID⊥BC于D，根据勾股定理逆定理证出△ABC是直角三角形，∠C= 90°，然后根据角平分线的性质得出IE=IF= ID，设IE=x， 利用分割法求△ABC的面积，然后根据等积构建方程求解即可.
44．甲、乙两人相约登山， 他们同时从人口处出发， 甲步行登山到山顶， 乙先步行 15 分钟到缆车站， 再乘坐缆车到达山顶． 甲、乙距山脚的垂直高度 （米） 与甲登山的时间 （分钟）之间的函数图象如图所示．
（1） 当 时， 求乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度．
【答案】（1）解：由图像可知 当 时 直线经过（15，0），（40，300），
设 乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式为y=kx+b，
由图像可知直线y=kx+b经过（15，0），（40，300），
将这两点代入得，，解得，
∴乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式为y=12x-180.
（2）解：设甲得函数解析式为y=mx+n，
将（25，160），（60，300）代入得，
，解得，
∴甲得函数解析式为y=4x+60，
∵ 乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度 ，
∴，解得
乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 180 米
【解析】【分析】（1）将 乙距山脚的垂直高度 与 之间的函数关系式 设出来，再利用待定系数法求解即可；
（2） 先求出甲和乙得解析式，乙乘坐缆车上升过程中， 再将甲，乙两个解析式组成一元二次方程组，求出方程组得解，y的值就是乙乘坐缆车上升过程中， 和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度.
45．如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点．
（1）填空：① （填写“＞”“＜”或“=”）；② ；
（2）证明：；
（3）①记四边形，，，，的面积依次为，，，，，若满足，，求的值；
②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值．
【答案】（1）=；90
（2）证明：连接，
，
，
在和中，
，
，，，
是的中垂线，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：①且，
，，
①，
同理，②，
①＋②得：，
可化为，
即
，，
；
过作于点，
故，
，
又由（2）知，
，
在等腰中，由，
∴
∴，
②如图，过点作于点，连接，
由（2）知
平分，，
又是的中垂线，
，
∴
又由（2）知，
．
【解析】【解答】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，90．
【分析】(1)①根据等腰直角三角形的性质得到，求得根据全等三角形的判定和性质定理得到AD= CE ；
②根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)连接EF，根据全等三角形的性质得到AD=CE ，，推出 BF 是 DE 的中垂线，得到DF=EF，求得，根据勾股定理得到结论；
(3)①根据已知条件得到 S =S1+S3+，，得到①，同理，，求得，得到推出得到
过B作于点 K，根据三角形的面积公式得到 BK=CE，又由（2）知 CE=AD，根据等腰直角三角形的性质得到，
②如图，过点F作于点 M ，连接EF，由（2）知，根据角平分线的性质得到FM=FC ，又BF是DE的中垂线，得到FD=FE，根据全等三角形的性质得到DM=CE ，GM=GC，于是得到结论.
46．某合作社为尽快打开市场，对芸豆进行线上和线下销售相结合的模式，具体销售模式如下：
线下销售模式，标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克的，超出部分每千克再让利1.5元．
设购买威宁芸豆x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求两种销售模式分别对应的函数表达式；
（2）求出图中点C的坐标，并说明其实际意义；
（3）若想购买10千克威宁芸豆，请问选择哪种模式购买更省钱？
【答案】（1）解：线下销售：y1=5×0.8x=4x.
线上销售：当0≤x≤6时，y2=5×0.9x=4.5x；
当x＞6时，y2=5×0.9×6+（x-6）×（5×0.9-1.5）=27+3（x-6）=3x+9．
故线下销售y与x之间的函数表达式为y1=4x，
线上销售y与x之间的函数表达式为y2=
（2）解：由题意，知图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售．
由图象，得4x=3x+9，
解得x=9，
∴y=4×9=36，
∴C（9，36），
∴图中点C的实际意义为：当购买9千克威宁荟豆时，线上线下所花的钱数相同，都为36元．
（3）解：根据图象，可知当x＞9时，选择线上购买更省钱．
∴购买10千克威宁芸豆，选择线上购买更省钱．
【解析】【分析】（1）根据线上与线下的付费方式计算费用即可；
（2）由C为射线OA，折线OBD的交点，再建立方程求解即可，同时可得其实际意义；
（3）根据图象，可知当x＞9时，线上购物的函数图象在下方，即选择线上购买更省钱，从而可得答案。
47．如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内．
（1）如图1，若，求点C的坐标．
（2）如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．
（3）如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的2倍时，求的长．
【答案】（1）解：如图：过点C作轴于点D，
∵B（2，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=2，
，
，
又∵，
，
在和中，
，，
∴
，.
，
∴点C的坐标为(6，2)；
（2）解：点C，D之间的距离是为定值，理由如下：
如图：
连结CD，
∵∠OBA+∠ABD=90°，∠DBC+∠ABD=90°，
∴∠OBA=∠DBC.
在△OAB和△DCB中，
∴△OAB≌△DCB（SAS）.
∴DC=AO=4；
（3）解：如图：
过点C作轴于点F，由（1）可知，，
∴，.
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴.
∵，
．
∴，
．
【解析】【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，可利用AAS证明△AOB和△BDC全等，从而得AO=BD，OB=CD，结合OD=OB+BD即可得点C坐标；
（2）连接CD，用SAS证明△OAB和△DCB全等，即可得DC=AO=4为定值；
（3）由△AOB和△BFC全等得到BO=CF，BF=AO=4，又由BD=BO，得CF=BD，可用AAS证△CFE和△DBE全等，于是BE=EF=2，最后由△ABD的面积是△BEC的面积的2倍得到BO=BD=2BE=4，问题解决.
48．在平面直角坐标系中，，，，如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如：点，，，．点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，．
（1）点B是点A的______阶“生长点”；
（2）已知点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”．
①若三角形的面积为4，求点C的坐标；
②若，求b的值；
（3）若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时总有，则m的取值范围为______．
【答案】（1）
（2）解：∵点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”
∴，，即，，
①∵三角形的面积为4，
∴，
解得，
∴C的坐标为或；
②，
∵，
∴，
解得，或5
（3）
【解析】【解答】解：∵，，∴，
∴，
故答案为：；
（3）∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，
∴，，即，，
∵当时总有，
∴ mb＞b-2，
（m-1)b＞-2，
当m=1时，0＞-2恒成立；
当m＜1时，b＜与b＞-1矛盾；
当m＞1是，b＞，则≤-1，解得，m＜3；
故答案为：．
【分析】（1）根据新定义即可求得；
（2）①根据新定义可求出，，再根据三角形面积公式求解即可；
②根据得出，求解即可；
（3）根据新定义可求出，，根据当时总有求解即可．
（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”
∴，，
∴，，
∴，
∵三角形的面积为4，
∴，
解得，
∴C的坐标为或；
②∵，
∴，
解得或5；
（3）解：∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，
∴，，
∴，，
当时，，
令，则，
∵当时总有，
∴．
故答案为：．
49． 如图，在等边中，P是等边内一点，且，，，，求的度数．
【答案】解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据手拉手模型得出三角形全等，进而将边长进行转移，再利用勾股定理的逆定理的出直角三角形，再加上等边三角形的内角即可求出答案.
50． 我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：，
，
原式
．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（2）根据二次根式的性质，结合完全平方公式进行化简求值即可；
（3）各式变形后，代入a的值即可求出答案。
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