华东师大版九年级下册 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级下册 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 58.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-04 08:32:20 | ||
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文档简介
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=-（x+3）2-5的顶点坐标是（ ）
A．（-3，-5） B．（3，-5） C．（-3，5） D．（3，5）
2．抛物线y=（x+1）2的对称轴是（ ）
A．直线y=-1 B．直线y=1 C．直线x=-1 D．直线x=1
3．对于二次函数y=-（x-1）2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
4．下列各图象中有可能是函数y=ax2+a（a≠0）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x+2）2-3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y=（x+3）2-1 B．y=（x+1）2-1 C．y=（x+3）2-5 D．y=（x+1）2-5
6．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
7．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -3 -2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 -8 -9 -5 0 40 …
则二次函数的对称轴是（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=4 D．x=-4
8．已知二次函数的表达式为y=x2-2ax+5（a为常数），当x=1时，y＜2，在自变量x满足2≤x≤4的取值范围时，对应函数值y的最小值为-4，则a的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．-3或
9．要得到抛物线y=4（x-2）2-3，可以将抛物线y=4x2（ ）
A．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
10．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．当满足（ ）时，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在4个不同的点M，使△AOM为直角三角形．
A．，且≠0和-6 B．，且≠0和-6
C．，且≠0和-6 D．，且≠0和-6
二．填空题（共5小题）
11．把抛物线y=x2+1向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ______．
12．已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为 ______．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-2（x-1）2+3的顶点与点O之间的距离为______．
14．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的系数满足a+c=b+1，且经过点（p,1），其中0≤p≤1．
（1）该抛物线的对称轴为直线______（用含有p的式子表示）；
（2）当a=2时，函数y=ax2+bx+c顶点纵坐标的最大值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-5，0）和点B（1，0）．点D是抛物线顶点，连接AD，BD，作DH⊥x轴于点H．把△BHD沿着射线AD方向平移，点D在射线AD上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，则m的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．
（1）求抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（t+1，y1），Q（2t-4，y2）是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．
17．已知二次函数y=ax2+（1-4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2-m,y1）、B（2+m,y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a,b-a）定义为点P（a,b）的“关联点”．
已知：点A（x,y）在函数y=x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．
（1）请在如图的基础上画出函数y=x2-2的图象，简要说明画图方法；
（2）如果点A1在函数y=x2-2的图象上，求点A1的坐标；
（3）将点P2（a,b-na）称为点P（a,b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x,y）的“待定关联点”A2在函数y=x2-n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．
19．已知，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）的对称轴为直线是抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知当-2≤x≤q时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，求q的值；
（3）若点M（c,m），N（8，n）是抛物线上的两点，且m＜n,直接写出c的取值范围．
20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，-3），B（3，0）．点P在抛物线y=x2+bx+c上，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当-2＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）当抛物线y=x2+bx+c上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求m的值；
（4）点M在抛物线y=x2+bx+c上，其横坐标为1-m.过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点M作MN⊥x轴于点N，分别连结PM，PN，QM，当△PQM与△PNM的面积相等时，直接写出m的值．
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C 7、B 8、B 9、A 10、B
二．填空题（共5小题）
11、y=（x+2）2+4； 12、2； 13、； 14、；； 15、＜m＜；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1））∵y=x2-2tx+1=（x-t）2-t2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=t；
（2）∵点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
又∵|t-（t-2）|=2，|t-（t+3）|=3，2＜3，
∴点N（t+3，n）离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，
∴n＞m；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，
∵y1≥y2，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，
解得4≤t≤5；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴2t-4＜t,t-（2t-4）≤t+1-t,
解得3≤t＜4，
综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．
∴t的最大值为5．
17、解：（1）∵当x=0时，y=3；当x=4时，y=7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2-m,y1）、B（2+m,y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
∴，，
∴
=a（-8m）+（1-4a）（-2m）
=-2m,
∵m＞0，
∴y1-y2＜0，即y1＜y2；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，
，
当a＞0时，，此时，y1＜y2，
当a＜0时，，此时，y1＜y2，
综上所述：y1＜y2；
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
当a＜0且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴或a＜．
18、解：（1）将图中的抛物线y=x2向下平移2个单位长，可得抛物线y=x2-2，
如图：
（2）由题意，得点A（x,y）的“关联点”为A1（x,y-x），
由点A（x,y）在抛物线y=x2上，可得A（x,x2），
∴，
又∵A1（x,y-x）在抛物线y=x2-2上，
∴x2-x=x2-2，
解得x=2．
将x=2代入，得A1（2，2）；
（3）点A（x,y）的“待定关联点”为，
∵在抛物线y=x2-n的图象上，
∴x2-nx=x2-n,
∴n-nx=0，n（1-x）=0．又∵n≠0，∴x=1，
当x=1时，x2-nx=1-n,
故可得A2（1，1-n）．
19、解：（1）由条件可得，
解得：，
∴．
（2）将抛物线解析式配方得，
∴对称轴为直线x=2，最小值为-4，
∵，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵当-2≤x≤q时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，
∴当-2≤q＜2时，最大值为，最小值为，
∴，
解得：（舍去），
当q≥2时，最小值为-4，最大值为，
∴，即q2-4q-32=0，
解得：q=8或q=-4（舍去），
综上所述：q的值为8．
（3）∵点M（c,m），N（8，n）是抛物线上的两点，
∴当x=8时，，
当y=5时，，
解得：x1=-4，x2=8，
∵m＜n,
∴m＜5，
∵，
∴的图象的开口向上，
∴当m＜5时，的图象在直线y=5的下方，
∴-4＜c＜8．
20、解：（1）由题意，将A（0，-3），B（3，0）代入解析式y=x2+bx+c得，
c=-3，9+3b+c=0，
∴b=-2，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）由题意，抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线y=x2-2x-3开口向上，当x=1时，y有最小值为-4，
当x=-2时，y=5；当x=3时，y=0，
∴当-2＜x＜3时，-4≤y＜5；
（3）由题意得，P（m,m2-2m-3），A（0，-3），
①当m＜0时，P、A两点之间部分的最大值为m2-2m-3，最小值为-3，
∴m2-2m-3-（-3）=，
解得：m=1-，
②当0≤m≤2时，P、A两点之间部分的最大值为-3，最小值为m2-2m-3或-4，
显然最小值是-4时不合题意，
∴最小值为m2-2m-3，
∴-3-（m2-2m-3）=，
解得：m=或m=，
m=时，P、A两点之间部分的最小值为-4，故舍去，
③当2＜m时，P、A两点之间部分的最大值为m2-2m-3，最小值为-4，
∴m2-2m-3-（-4）=，
解得：m=1+，
1+＜2，故舍去，
综上，满足题意得m的值为：1-或；
（4）由题意得，M（1-m,m2-4），N（1-m,0），Q（0，m2-2m-3），
设yPM=kx+b,代入P、M两点，
，
解得：k=-1，b=m2-m-3，
yPM=-x+m2-m-3，
∵△PQM与△PNM的面积相等，
∴Q到yPM=-x+m2-m-3的距离与N到yPM=-x+m2-m-3的距离相等，
Q到yPM=-x+m2-m-3的距离=，
N到yPM=-x+m2-m-3的距离=，
∴|-m|=|-m2+4|，
当m＜-2时，-m=m2-4，解得：m=，
当-2≤m≤0时，-m=4-m2，解得：m=，
当0＜m≤2时，m=4-m2，解得：m=，
当2＜m时，m=m2-4，解得：m=，
综上，满足题意得m的值为：或．
一．选择题（共10小题）
1．抛物线y=-（x+3）2-5的顶点坐标是（ ）
A．（-3，-5） B．（3，-5） C．（-3，5） D．（3，5）
2．抛物线y=（x+1）2的对称轴是（ ）
A．直线y=-1 B．直线y=1 C．直线x=-1 D．直线x=1
3．对于二次函数y=-（x-1）2的图象的特征，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上 B．经过原点
C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
4．下列各图象中有可能是函数y=ax2+a（a≠0）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x+2）2-3的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y=（x+3）2-1 B．y=（x+1）2-1 C．y=（x+3）2-5 D．y=（x+1）2-5
6．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，关于a、c的符号判断正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0 B．a＞0，c＜0 C．a＜0，c＞0 D．a＜0，c＜0
7．已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … -3 -2 0 1 3 4 8 …
y … 7 0 -8 -9 -5 0 40 …
则二次函数的对称轴是（ ）
A．x=-1 B．x=1 C．x=4 D．x=-4
8．已知二次函数的表达式为y=x2-2ax+5（a为常数），当x=1时，y＜2，在自变量x满足2≤x≤4的取值范围时，对应函数值y的最小值为-4，则a的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D．-3或
9．要得到抛物线y=4（x-2）2-3，可以将抛物线y=4x2（ ）
A．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
10．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．当满足（ ）时，抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在4个不同的点M，使△AOM为直角三角形．
A．，且≠0和-6 B．，且≠0和-6
C．，且≠0和-6 D．，且≠0和-6
二．填空题（共5小题）
11．把抛物线y=x2+1向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ______．
12．已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为 ______．
13．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-2（x-1）2+3的顶点与点O之间的距离为______．
14．抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的系数满足a+c=b+1，且经过点（p,1），其中0≤p≤1．
（1）该抛物线的对称轴为直线______（用含有p的式子表示）；
（2）当a=2时，函数y=ax2+bx+c顶点纵坐标的最大值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-5，0）和点B（1，0）．点D是抛物线顶点，连接AD，BD，作DH⊥x轴于点H．把△BHD沿着射线AD方向平移，点D在射线AD上移动的距离为m个单位，如果平移后的三角形恰好和抛物线有且只有两个交点，则m的取值范围是 ______．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．
（1）求抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（t+1，y1），Q（2t-4，y2）是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．
17．已知二次函数y=ax2+（1-4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2-m,y1）、B（2+m,y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a,b-a）定义为点P（a,b）的“关联点”．
已知：点A（x,y）在函数y=x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．
（1）请在如图的基础上画出函数y=x2-2的图象，简要说明画图方法；
（2）如果点A1在函数y=x2-2的图象上，求点A1的坐标；
（3）将点P2（a,b-na）称为点P（a,b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x,y）的“待定关联点”A2在函数y=x2-n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．
19．已知，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）的对称轴为直线是抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知当-2≤x≤q时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，求q的值；
（3）若点M（c,m），N（8，n）是抛物线上的两点，且m＜n,直接写出c的取值范围．
20．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（0，-3），B（3，0）．点P在抛物线y=x2+bx+c上，其横坐标为m.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当-2＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）当抛物线y=x2+bx+c上P、A两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求m的值；
（4）点M在抛物线y=x2+bx+c上，其横坐标为1-m.过点P作PQ⊥y轴于点Q，过点M作MN⊥x轴于点N，分别连结PM，PN，QM，当△PQM与△PNM的面积相等时，直接写出m的值．
华东师大版九年级下 26.2 二次函数的图象与性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、C 3、D 4、B 5、A 6、C 7、B 8、B 9、A 10、B
二．填空题（共5小题）
11、y=（x+2）2+4； 12、2； 13、； 14、；； 15、＜m＜；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1））∵y=x2-2tx+1=（x-t）2-t2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=t；
（2）∵点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
又∵|t-（t-2）|=2，|t-（t+3）|=3，2＜3，
∴点N（t+3，n）离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，
∴n＞m；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，
∵y1≥y2，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，
解得4≤t≤5；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴2t-4＜t,t-（2t-4）≤t+1-t,
解得3≤t＜4，
综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．
∴t的最大值为5．
17、解：（1）∵当x=0时，y=3；当x=4时，y=7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2-m,y1）、B（2+m,y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
∴，，
∴
=a（-8m）+（1-4a）（-2m）
=-2m,
∵m＞0，
∴y1-y2＜0，即y1＜y2；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，
，
当a＞0时，，此时，y1＜y2，
当a＜0时，，此时，y1＜y2，
综上所述：y1＜y2；
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
当a＜0且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴或a＜．
18、解：（1）将图中的抛物线y=x2向下平移2个单位长，可得抛物线y=x2-2，
如图：
（2）由题意，得点A（x,y）的“关联点”为A1（x,y-x），
由点A（x,y）在抛物线y=x2上，可得A（x,x2），
∴，
又∵A1（x,y-x）在抛物线y=x2-2上，
∴x2-x=x2-2，
解得x=2．
将x=2代入，得A1（2，2）；
（3）点A（x,y）的“待定关联点”为，
∵在抛物线y=x2-n的图象上，
∴x2-nx=x2-n,
∴n-nx=0，n（1-x）=0．又∵n≠0，∴x=1，
当x=1时，x2-nx=1-n,
故可得A2（1，1-n）．
19、解：（1）由条件可得，
解得：，
∴．
（2）将抛物线解析式配方得，
∴对称轴为直线x=2，最小值为-4，
∵，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，当x≤2时，y随x的增大而减小，
∵当-2≤x≤q时，抛物线对应函数的最小值与最大值之和为1，
∴当-2≤q＜2时，最大值为，最小值为，
∴，
解得：（舍去），
当q≥2时，最小值为-4，最大值为，
∴，即q2-4q-32=0，
解得：q=8或q=-4（舍去），
综上所述：q的值为8．
（3）∵点M（c,m），N（8，n）是抛物线上的两点，
∴当x=8时，，
当y=5时，，
解得：x1=-4，x2=8，
∵m＜n,
∴m＜5，
∵，
∴的图象的开口向上，
∴当m＜5时，的图象在直线y=5的下方，
∴-4＜c＜8．
20、解：（1）由题意，将A（0，-3），B（3，0）代入解析式y=x2+bx+c得，
c=-3，9+3b+c=0，
∴b=-2，c=-3，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）由题意，抛物线y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线y=x2-2x-3开口向上，当x=1时，y有最小值为-4，
当x=-2时，y=5；当x=3时，y=0，
∴当-2＜x＜3时，-4≤y＜5；
（3）由题意得，P（m,m2-2m-3），A（0，-3），
①当m＜0时，P、A两点之间部分的最大值为m2-2m-3，最小值为-3，
∴m2-2m-3-（-3）=，
解得：m=1-，
②当0≤m≤2时，P、A两点之间部分的最大值为-3，最小值为m2-2m-3或-4，
显然最小值是-4时不合题意，
∴最小值为m2-2m-3，
∴-3-（m2-2m-3）=，
解得：m=或m=，
m=时，P、A两点之间部分的最小值为-4，故舍去，
③当2＜m时，P、A两点之间部分的最大值为m2-2m-3，最小值为-4，
∴m2-2m-3-（-4）=，
解得：m=1+，
1+＜2，故舍去，
综上，满足题意得m的值为：1-或；
（4）由题意得，M（1-m,m2-4），N（1-m,0），Q（0，m2-2m-3），
设yPM=kx+b,代入P、M两点，
，
解得：k=-1，b=m2-m-3，
yPM=-x+m2-m-3，
∵△PQM与△PNM的面积相等，
∴Q到yPM=-x+m2-m-3的距离与N到yPM=-x+m2-m-3的距离相等，
Q到yPM=-x+m2-m-3的距离=，
N到yPM=-x+m2-m-3的距离=，
∴|-m|=|-m2+4|，
当m＜-2时，-m=m2-4，解得：m=，
当-2≤m≤0时，-m=4-m2，解得：m=，
当0＜m≤2时，m=4-m2，解得：m=，
当2＜m时，m=m2-4，解得：m=，
综上，满足题意得m的值为：或．