湖南省邵阳市2026届高三数学一轮复习综合强化训练练习试卷（六）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]“且复数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．[5分]设集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]已知正实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．[5分]已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．[5分]已知函数的定义域为，且满足，当时，，则当时，函数的最大值为（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．0
7．[5分]已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．[5分]在中，角所对的边分别为，已知 ,，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆心坐标为
B．当时，半径
C．圆心到直线的距离为
D．当时，圆面积为
10．[5分]关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面
B．已知两个向量，，且，则
C．若，且，，则
D．，，则在上的投影向量为
11．[5分]已知正三棱柱的底面边长为1，，点满足，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，的最小值为
D．当时，的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知点在圆上，点，若的最小值为1，则过点且与圆相切的直线方程为 .
13．[5分]记为公比大于1的等比数列的前项和，若，，则 .
14．[5分]有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望 ．
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[12分]某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理
（2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差；
（3）从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率.
16．[14分]已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．[18分]如图1，在平面五边形中，，，，，将三角形沿着向上翻折至三角形，得到四棱锥，如图2所示.
（1）求证：；
（2）若平面平面，
（i）求平面与平面所成角的余弦值；
（ii）点在线段上，设平面将四棱锥分为两个多面体，其中点所在的多面体体积为，另一个多面体体积为，若，求点到平面的距离.
18．[18分]已知双曲线的渐近线的斜率为，且实轴长为2．
（1）求的标准方程；
（2）若与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点．当点运动时，点的轨迹为曲线．
（i）求曲线的方程；
（ii）过点的直线与曲线交于两点，且点分别位于轴两侧，设在点处的切线交于点，求面积的最小值．
附：双曲线上任一点处的切线方程为；椭圆上任一点处的切线方程为.
19．[18分]已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的值；
（3）若，证明：．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】A
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】BC
10．【答案】BC
11．【答案】ABD
12．【答案】或
13．【答案】
14．【答案】//
15．【答案】（1）78
（2）8个分数的平均数是90，方差是
（3）
【详解】（1）第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，所以，
设晋级分数线为分，则，
得，
所以晋级分数划为78分合理；
（2）由条件可知，这10个数据的，，
设剩下8个数据的平均数为，
剩下8个数的方差为
（3）因为分数在，这两组的频率比为，
所以抽取的6人中，抽取2人，抽取4人，
这组的2人编号为，这组 4人编号为，
6人中所有抽取2人的组合包含，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况
其中2人恰来自同一组包含，，，，，，，共7种情况，
所以两人恰好来自于同一小组的概率.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由条件，当时，，
所以累加得
又，所以，
取也成立，所以．
（2）由，
相减，得，
所以．
17．【答案】（1）见详解
（2）（i）（ii）
【详解】（1）如图，连接，，因为且，，
故四边形为矩形，
因为，，由勾股定理得，且，
又，由余弦定理得，
所以，，所以，
连接交于点，
则等腰三角形中，为角平分线，也是垂线，所以.
折叠之后有，，，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）（i）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，故，
又，所以两两垂直，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由于，，，
，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，
设平面与平面所成角为，
，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（ii）设平面交直线于点，连接，，，，
因为，平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，
设，，则由∽得，，
由（1）知平面，平面，所以，
在平面内过点作于点，则平面，所以，
因为，平面，所以⊥平面，
因为平面将四棱锥分成的含有点的部分为四棱锥，
设梯形的面积为，
故，
因为，所以，所以，
设梯形的面积为，
四棱锥的体积为，
由题意，，整理得，
因为，所以，
所以到平面的距离.
18．【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）依条件知，且，
所以，所以的标准方程为.
（2）（i）联立方程，得．
因为双曲线与直线有唯一的公共点，
所以，即．
此时.
当时，，即，其中．
所以过点且与垂直的直线为.
可得，即.
消去，可得，即，其中．
所以曲线的方程是.
（ii）由（i）知曲线是焦点在轴上，实轴长为4，虚轴长为4的双曲线（去掉两个顶点）．
显然，直线的斜率存在，设，
代入，得．
由题知与的左、右两支相交，则，解得且．
设，则.
又曲线在点处的切线方程分别为，
联立解得点的坐标为．
过点作轴的垂线交直线于点，则.
从而，
所以
.
令且，则（且）.
因为，由得，且；由得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，即面积的最小值为.
19．【答案】（1）见详解
（2）1
（3）见详解
【详解】（1）（ⅰ）当时，恒成立，所以在上单调递增；
（ⅱ）当时，由解得，所以在上单调递增；
由解得，所以在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）知：（ⅰ）当时，在上单调递增且，
所以时，不符合题意．
（ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增．
故．令，依题意．①
又由得，由得．
所以在上单调递增，在单调递减，
因此在处取得最大值，即，故．②
由①②得，．
又因为在上单调递增，在单调递减，且．
所以有且仅有一个解，即．
（3）要证，即证，
令．
．
令．
又，
所以，使得，即，
所以，
所以当单调递减；当单调递增．
所以
又（2）知当时，恒成立，，
又，所以
故．
即：
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知复数满足，为虚数单位，则（ ）
A． B．10 C． D．5
2．[5分]已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．[5分]已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]已知函数（，且）在上为单调函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]已知函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．[5分]已知直线与圆交于A，B两点，当的面积最大时，（ ）
A． B． C．0或 D．0或
8．[5分]已知是定义在上的偶函数，且对，都有，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．是以2为周期的函数
B．
C．函数有4个零点
D．当时，
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]下列说法正确的有（ ）
A．当时，函数的值域为
B．在中，
C．“”的充要条件是“”
D．若，则
10．[5分]下列不等关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．[5分]已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（ ）
A．的准线方程为 B．直线与相切
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]一批排球共有30个，其中有7个不合格．从这批排球中随机抽取8个，记抽到的不合格的排球个数为，则 ．
13．[5分]已知圆，点，为圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 ．
14．[5分]在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， .
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[14分]甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响，现每人分别投篮2次.
（1）记甲投篮命中的次数为X，求随机变量X的概率分布和期望；
（2）求甲比乙进球数多的概率.
16．[16分]已知数列的前项和为．
（1）若为等比数列，求；
（2）若，求数列的前项和．
17．[16分]如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若是线段的中点，求与平面所成的角；
（3）若平面，求的值.
18．[16分]已知抛物线的顶点为，焦点为，直线与相交于，两点，当时，.
（1）求的方程.
（2）若，试问是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
（3）若经过点，直线与相切于点，且，求面积的最小值.
19．[18分]已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】AD
10．【答案】ABD
11．【答案】BC
12．【答案】25
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）概率分布见详解，
（2）
【详解】（1）甲投篮命中率为，现投篮2次，命中次数X可能的取值为0，1，2，
，，，
X的概率分布为：
X 0 1 2
P
.
（2）甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响，
现每人分别投篮2次，甲比乙进球数多包含以下三种情况：
①甲进1球，乙进0球，概率为，
②甲进2球，乙进1球，概率为，
③甲进2球，乙进0球，概率为，
∴甲比乙进球数多的概率.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由，①
当时，，②
①②得，数列从第二项起是等比数列，
若为等比数列，则公比为3，且，
当时，，则，解得.
（2）先求：
方法一：由，则，而，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，即；
方法二：当时，，而，则，
由（1）可知，数列从第二项起，是公比是3的等比数列，
所以，
则，
时，也符合，所以.
再求：可得，
方法一：因为，
所以
方法二：，
所以
两式相减得
，
所以.
17．【答案】（1）见详解；
（2）与平面所成的角为；
（3）
【详解】（1）证明：直角梯形中，，，，A是的中点，
故，四边形为矩形，所以，
因为，，平面，
所以平面．
又为边的中点，所以，
故为等腰直角三角形，，
故，．
又由平面，平面，得，
且，平面
所以平面，
而平面，故平面平面．
（2）因为为的中点，为的中点，
所以，
所以与平面所成的角与与平面所成的角相等，
连接，点为线段的中点，交与点，
因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点，
所以四边形为正方形，所以，即，
由（1）平面，平面，
所以，因为，平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
设，则，，，
在中，，，，
所以，又，
所以，
所以与平面所成的角为；
（3）延长，交的延长线于点，
因为平面，又平面，平面平面，
所以，所以，
因为，故，又为线段的中点，
所以，又，为线段的中点，
所以，
所以，
18．【答案】（1）；
（2）恒过；
（3）.
【详解】（1）当时，可知过焦点，且与抛物线对称轴垂直，
所以，所以，
所以的方程为：.
（2）由题意，直线斜率可以不存在，但不能为，
故可设的方程为：，设，
联立，消去并整理得，
所以，
所以，
由得，
所以，
所以，
所以，
所以，解得
故，因此恒过．
（3）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线的方程为，且切点为，
将代入中，解得，所以；
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，即，
联立，整理得，
则，，
故，
化简得，
因为且，所以设方程为，
联立得，，
因为直线与抛物线相切，所以令，解得，
因此直线与直线的距离，
则三角形的面积为
，
当时，，求导得
，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得最小值.
当时，，求导得
，所以单调递增，此时无最值.
综上， 面积的最小值为.
19．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）由题设的定义域是，
则，所以，即，
即在处的切线方程为.
（2）因为，得恒成立.
即，在上恒成立，
设，则，
令，得（舍去），
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
当时，取得极大值，也是最大值，且，
若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是.
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知，为虚数，则的值可能为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．[5分]已知集合，，则
A． B． C． D．
3．[5分]已知双曲线的左 右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
5．[5分]在长方体中，，点是平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]已知正实数满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．平面
C．点到平面的距离为
D．四棱锥的体积为
10．[5分]已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为钝角
C．边上的中线所在的直线方程为
D．边所在的直线方程为
11．[5分]已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为1的直角三角形，则（ ）
A．该圆锥的母线长为 B．该圆锥的体积为
C．该圆锥的侧面积为 D．该圆锥的侧面展开图的圆心角为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为 .
13．[5分]设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数 .
14．[5分]现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张.1张彩票中奖金额的均值是 元.
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[12分]端午节吃粽子是我国的传统习俗之一．设一个盘子中装有10个粽子，其中豆沙粽2个、肉粽3个、白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的期望．
16．[14分]已知数列的前项和为，且，，成等差数列.已知数列首项，且.
（1）求数列的通项公式，并求数列的前项和.
（2）若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.
（3）是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由.
17．[18分]过空间四面体的顶点分别作垂线平面平面平面平面，求证：若且，则直线相交于一点
18．[18分]已知椭圆的上顶点为，右焦点为，点满足.
（1）证明：点在椭圆上；
（2）若直线与椭圆有两个不同的交点P Q，O是坐标原点，求面积的最大值.
19．[18分]已知函数.
（1）证明关于成中心对称；
（2）讨论在区间的单调性；
（3）证明：；
（4）设，证明：.
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】AD
10．【答案】ABD
11．【答案】BC
12．【答案】25
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）．
【详解】（1）令事件表示“三种粽子各取到1个”，则有；
（2）的所有可能值为0、1、2，且，，．
综上知，的分布为，故．
16．【答案】（1），；
（2）；
（3）不存在，理由见详解.
【详解】（1）因为，，成等差数列，所以，①
所以，②
由①②，得，于是.
又，所以，所以，
因此，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，即.
又，
所以.
（2）因为，所以，
所以数列是各项均为0的常数数列，所以，
所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列.
又，，，，，，，，
所以
.
（3）假设存在不同的，，
不妨假设使得，，成等差数列，
则，即，
两边除以16，得.
因为，所以，所以，所以.
当时，；当时，，这与题设矛盾，
所以不存在不同的，使得，，成等差数列.
17．【答案】见详解
【详解】证明：设，其中为原点．
由已知得，，
联立得
综上知四面体的三组对边均互相垂直，这样的四面体为垂心四面体．
在垂心四面体中，从各顶点向对面所作的垂线共点．下证：
上取点，因，平面，
所以平面，
平面，平面，且平面平面，平面平面,
故则过分别作,则平面，平面，
故在平面内，设这两条高线交于点，
连接，因平面，
故平面，平面
故①
又平面，故平面，
平面，②，
由①②以及平面，得平面，
同理可得平面
综上，垂心四面体从各顶点向对面所作的垂线相交于一点．
18．【答案】（1）见详解
（2）最大值为
【详解】（1）证明：椭圆的上顶点，
右焦点，，，，
根据，得，所以，，
，所以椭圆的方程为，
因为，所以点在椭圆上.
（2）设，，把代入，
得，
由，
得，，，
，
点到直线的距离，所以的面积为
，
令，则
，
当，即，时，等号成立，此时满足，
因此的面积的最大值为.
19．【答案】（1）见详解；
（2）见详解；
（3）见详解；
（4）见详解.
【详解】（1）函数，定义域为R，
有，
，
可得
所以关于成中心对称.
（2）由函数的解析式可得：，
则，
其在上的根为：，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
（3）证明：注意到，
故函数是周期为的函数，
计算可得 ，，，
结合（2）中在区间的单调性，可得，，
即；
（4）证明：结合（3）的结论有：
.
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．[5分]“且复数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．[5分]若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]已知函数的最大值为，最小正周期为. 设，则（ ）
A． B．
C． D．
5．[5分]若向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．－1
6．[5分]在正三棱锥中，分别是棱的中点，则点P到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
7．[5分]已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．[5分]在中，为的中点，为平面内一点，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最大值为
C．的最大值为
D．的最大值为
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
10．[5分]已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象向左平移个单位长度后关于原点对称
D．的图象的对称轴方程为
11．[5分]已知四棱锥，平面平面，侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，点是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，三棱锥的体积为2
C．若为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为
D．若为的中点，当平面时，
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知直线，直线．若，则实数的值为 ．
13．[5分]各项均为正数的等比数列中，且，，则等于 .
14．[5分]设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为 .
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[12分]某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图，
（1）求图中的值和样本成绩的中位数；
（2）已知学校用分层抽样的方法，从，两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在内的有人，求的分布列和数学期望．
16．[14分]已知正项数列，其前项和满足，
（1）求的通项公式.
（2）证明：.
17．[18分]已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知圆交抛物线与，两点，过劣弧上一点作圆的切线交抛物线与，两点，求的取值范围．
18．[18分]已知函数，为的导函数，
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
19．[18分]已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，
为线段上一点，．
（1）求的长；
（2）若为的中点，求二面角的正弦值；
（3）若为线段上一点，且满足，求．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】BC
10．【答案】ACD
11．【答案】ABD
12．【答案】或
13．【答案】27
14．【答案】3
15．【答案】（1），中位数为75
（2）分布列见详解，
【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1，
∴，
∴
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
∴中位数落在内，
设中位数为，则，解得，即中位数为75．
（2）由分层抽样可知，成绩在的人数为人，成绩在的人数为2人，
故的可能取值为0，1，2，
且
0 1 2
故．
16．【答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）当时，，解得，
当时，，则，
由累加法得，
，故，也满足该式
综上，
（2）
17．【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）设抛物线的方程为，将坐标代入方程得，①
又，②
由①，②解得，所以抛物线的方程为．
（2）由题意可得、两点坐标分别为，
当直线斜率不存在时，，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，，，
由直线与圆相切，得，即，且，
所以，
在劣弧上，所以，由图象的对称性不妨研究，
联立，化简得，
有韦达定理得，
由抛物线的定义可得
，
设，，，
，
对称轴为，在上单调递增，
所以，
综上，．
18．【答案】（1）在上单调递减，在单调递增；
（2）（i）；（ii）见详解.
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
19．【答案】（1）2
（2）
（3）
【详解】（1）由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由已知，
则,
则，
则，
且.
由题意知,
所以有，
则，解得（舍去），
故的长为.
（2）由（1）知，,
又为的中点，则，，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则.
故平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，且，
则，
故.
故二面角的正弦值为.
（3）由（1）可得，
由题意，设，，
则
则，
由可知，，
且，由，
则，解得；
则，
则解得，，
则，
又，解得.
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第 page number 页，共 number of pages 页湖南省邵阳市2026届高三数学一轮复习综合强化训练练习试卷（七）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]设复数，则复数（其中表示的共轭复数）表示的点在（ ）上
A．x轴 B．y轴 C． D．
2．[5分]已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或 D．1或
3．[5分]下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．[5分]“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．[5分]设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．[5分]已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．[5分]下列函数中，以为最小正周期的是（ ）
A． B． C． D．
8．[5分]已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]下列命题中正确的是（ ）
A．命题". sinx"的否定是“ x∈R，sinx>1"
B．“a>1"是<1”的充分不必要条件
C．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+>，则△ABC为锐角三角形
D．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A= sin2B，则A=B
10．[5分]已知将函数的图象向左平移得函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．的对称轴为
D．若函数，则在上有6个零点
11．[5分]下列给出的命题正确的是（ ）
A．点为平面上的一点，且，则
B．若为空间的一组基底，则不能作为空间的一组基底
C．若平面内直线的方程为，则该直线一个方向向量
D．两个不重合的平面，的法向量分别是，，则
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知两圆和相交于两点，则直线的方程是 ．
13．[5分]在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则 .
14．[5分]已知数列是公比不为的等比数列，且，则 ．（写出满足上述条件的一个值即可）
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[12分]为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的值.
（2）求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，中位数和平均数.
16．[14分]已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-30n．
(1)求出它的通项公式;
(2)求使得Sn最小的序号n的值．
17．[18分]在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，平面，若，E为的中点，M，N分别为的中点，
（1）证明：平面；
（2）求与所成的角的正切值；
（3）若为线段上的动点，平面与平面是否垂直？ 如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
18．[18分]已知双曲线的左顶点在直线上，的左焦点为，点.为的右支上一动点.
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）过点且斜率为的直线与的左支交于D，E两点，求的面积的最小值；
（3）设为的左支上与不重合的一动点，若直线平分，证明：直线MN恒过定点.
19．[18分]已知函数，．
（1）求在点处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）求的零点个数．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】AB
10．【答案】ACD
11．【答案】BD
12．【答案】
13．【答案】32
14．【答案】或或或（以上个答案任写对一个就可以）
15．【答案】（1）
（2）60，62.5，64
【详解】（1）解：由频率分别直方图的性质，可得，
解得.
（2）解：由频率分布直方图，可得众数为，
设中位数为，则，解得，所以中位数为，
这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为：，
所以这40名工人一天生产该产品的数量的平均数为.
16．【答案】见解析
【详解】(1)当n=1时,a1=S1=2-30=-28;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32．当n=1时,上式成立,∴an=4n-32．
(2)方法一:∵an=4n-32,当n=8时,a8=0,即当1≤n≤7时,an<0;当n≥9时,an>0,∴当n=7或8时,Sn取得最小值．
方法二:Sn=2n2-30n=2n-2-,∴当n=7或8时,Sn取得最小值．
17．【答案】（1）见详解；
（2）5；
（3）垂直，见详解.
【详解】（1）方法一：如图，连接，
因为分别是的中点，所以.
又平面平面，
所以平面.
方法二：如图，取的中点为，连接，则.
又平面平面，
所以平面.
同理可证平面，
因为平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）因为底面，平面，所以，
过M点作，交于H点，则，所以和所成的角是，
在中，，E为中点，M为中点，所以，
连接，在中，，，所以，
所以；
（3）平面与平面垂直.
证明如下：因为底面底面，所以.
由题意知为直角三角形且，所以.
又平面，
所以平面
又平面，所以.
因为为的中点，所以.
又平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
18．【答案】（1）；
（2）；
（3）见详解.
【详解】（1）依题意，点，设，由，得，
解得，而，因此，双曲线的方程为，
所以双曲线的渐近线方程为.
（2）由（1）知，，直线的方程为，
由消去得，解得，
则，
的面积最小，当且仅当点到直线的距离最小，
平移直线与双曲线的右支相切的切点到直线的距离最小，
设切线方程为，由消去得，
，解得，
当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意，因此，
因此点到直线的距离为点到直线的距离，
所以求的面积的最小值为.
（3）依题意，直线斜率存在，设其方程为，，
由为双曲线的左支上与不重合的点，得，
设点关于直线对称点为，则，
解得，由直线平分，得在直线上，
而，则，
即，整理得，
由消去得，，
，因此，
整理得，而，解得，直线：过定点，
所以直线MN恒过定点.
19．【答案】（1）
（2）见详细解析
（3）2
【详解】（1）将代入可得，又，
，所以切线方程为，即．
（2）当时，，即证明当时，，
令，，则，
因为，有，所以当时，在上单调递减，
所以当时，，也即．
（3），令，再求导得，
因为，有，且，故，即在上单调递减，
又因为时，，，且单调递减，
可知在上有且仅有一个零点，其中，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
又因为，则，且时，，时，，
所以有2个零点，
综上，的零点个数为2．
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