2025-2026学年普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考高二上学期10月联考数学试卷（北师大版）（含答案）

2025-2026学年普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考高二上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.经过点且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.已知为实数，椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的右焦点为为的左支上一点，为线段的中点，为坐标原点，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知曲线：表示圆，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知分别为曲线包含点与直线上的点，定义曲线之间的最短距离为其中表示点与点距离的最小值已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知动点为圆上两动点，且，点为线段的三等分点，若，存在点使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线，则下列说法正确的是( )
A. 的焦点坐标为 B. 的实轴长为
C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为
10.已知圆：，直线经过，两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有( )
A. 直线的方程为 B. 与圆相离
C. 点到直线的距离的最小值为 D. 直线的斜率的最大值为
11.已知抛物线的焦点为，动点在的准线上，过点作两条斜率均存在的直线，两条不同的直线与均有且只有一个交点，交点分别为点，则下列说法正确的是( )
A. 的方程为 B. 的大小随的增大而减小
C. 三点共线 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的一个方向向量的坐标为，则直线的斜率为 ．
13.若圆：上到直线：为实数的距离为的点有且仅有个，则 ．
14.已知椭圆的左右焦点分别为，是上位于第一象限内的一点，且过原点作平行于的直线，与和的角平分线分别交于两点，且，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，顶点在直线上，的坐标为，的坐标为．
若边上的高所在的直线方程为，求顶点的坐标；
求的面积．
16.本小题分
已知圆经过，，三点．
求圆的标椎方程；
若圆与圆：相交于，两点，求直线的方程以及公共弦的长．
17.本小题分
在圆上任取一点，过作轴的垂线段为垂足，为线段的中点当点在轴上时，规定点与点重合．
求点的轨迹；
设的轨迹方程为，若直线为实数与轨迹方程有且仅有一个交点，求直线的一般式方程．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点且与轴不垂直的直线与交于两点，且点与点关于轴对称．
若，点的坐标为，求的值；
若，求的值；
证明：直线恒过定点．
19.本小题分
已知双曲线的焦距为，且双曲线过点．
求双曲线的方程；
设过的两条斜率存在且不重合的直线与的右支分别交于两点和两点，且设直线的斜率为，直线的斜率为．
证明：的值为定值；
若四边形的面积用直线的斜率表示为，求直线的斜率的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，解得
故顶点的坐标为．
又，，所以直线的方程为，即，
易知顶点所在的直线与直线平行，
则顶点到直线的距离为，
，
故的面积为．
16.解：设圆的一般方程为，
由题意可知，解得，，，
所以圆的一般方程为，
故圆的标椎方程为．
由圆与圆相减得，，
所以直线的方程为．
则圆心到直线的距离，
故．
17.解：设点的坐标为，点的坐标为，
则点的坐标为，所以，
因为点在圆上，则，
所以，即，
故点的轨迹为焦点在轴上，长轴长短轴长分别为的椭圆．
由可知的轨迹方程为．
联立方程组，整理得，
由，解得，
故直线的一般式方程为．

18.解：因抛物线，得，准线，焦点．
由点的坐标为得，点的坐标为，
由抛物线的定义可知，，解得，
因为在上，所以，所以，
故．
显然直线的斜率不为，且过焦点，设直线的方程为，．
联立整理得，
则，
因且点与点关于轴对称，得，
所以
．
又，所以，整理得，，解得．
又，
由抛物线的定义得
所以．

证明：由在抛物线上，再知．
所以，
当点在第一象限内，，，则，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点．
同理当在第四象限时，，，则，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，则，
所以也过定点，
综合，故直线恒过定点．

19.解：由题意得，
解得，
故双曲线的方程为．
证明：易知直线的斜率不为，设，
则直线的方程为，
由
消去并整理得，
则，
即且．
，
．
易知直线的斜率不为，设，则直线的方程为，
同理得，
所以，解得，
因为，所以，则，
故的值为定值．
因为直线的斜率为，设其倾斜角为，则直线的倾斜角为，
所以四边形的面积
，
．
同理得，，
因为，所以，
又，
则
，
所以，整理得，则，
当时，，解得，
当时，，解得，
由题意可知，，所以，
故直线的斜率的值为．

第1页，共8页