第二十二章 二次函数 专题---铅锤法求最大值 （含答案）2025-2026学年人教版九年级上册

二次函数最值之铅锤法
知识解读
最大值问题
在二次函数中用铅锤法求面积最值问题
将面积最值问题转化为竖直线段的最值问题（铅锤法）；
铅锤法：如图A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”;
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅锤高”.
如图：S （三角形的面积等于水平宽和铅锤高乘积的 ）
用铅锤法解题步骤：
求出A、B两点的 距离，即为水平宽；
过C点作x轴垂线与AB相交于点D，可得点D的 与C点是相同的；
求出直线AB的解析式并代入点D的横坐标，可得点D的 ；
根据C、D的纵坐标求得 ；
利用公式 求得面积。
总结：在三角形中有两个点为 点，另一个点为 点，求三角形面积最大值时，优先选用 法求面积最大值。
底层逻辑-函数铅锤法求面积问题
一、铅锤法:如图A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”;
过点C作工轴的垂线与AB交点为D,线段CD即为AB边的“铅垂高”；
S
二、理论依据:铅锤法求三角形的面积本质是割补法,下面我们用割补法去证明铅锤法的正确性,通常情况
下分为两种情况:
类型一:铅锤高在三角形内部 类型二:铅锤高在三角形外部
三、解题方法及步骤
(1)求A、B两点水平距离,即水平宽;(2)过点C作亚轴垂线与AB交于点D,可得点D横坐标同点C;
(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标,得点D纵坐标;
(4)根据C、D坐标求得铅垂高;
(5)利用公式求得三角形面积.
铅锤法常见的几种图形，如何作出铅锤高和水平宽
如图，已知二次函数的图象交轴于、两点（在左边），交轴于点．
求、、三点的坐标和直线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上一动点（不与，重合），过点作轴平行线交直线于点，求线段的最大值；
（3）点是直线上方抛物线上一动点（不与，重合），连接，，求面积的最大值．
（四川中考真题）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限抛物线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
（广东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（辽宁中考模拟题）如图，已知抛物线的图像经过点，，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点在直线下方的抛物线上，连结、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值．
答案解析
最大值问题
在二次函数中用铅锤法求面积最值问题
将面积最值问题转化为竖直线段的最值问题（铅锤法）；
铅锤法：如图A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”;
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅锤高”.
如图：S （三角形的面积等于水平宽和铅锤高乘积的 ）
用铅锤法解题步骤：
求出A、B两点的 水平距离 距离，即为水平宽；
过C点作x轴垂线与AB相交于点D，可得点D的 横坐标 与C点是相同的；
求出直线AB的解析式并代入点D的横坐标，可得点D的 纵坐标 ；
根据C、D的纵坐标求得 铅锤高 ；
利用公式 S 求得面积。
总结：在三角形中有两个点为 定 点，另一个点为 动 点，求三角形面积最大值时，优先选用 铅锤法 法求面积最大值。
如图，已知二次函数的图象交轴于、两点（在左边），交轴于点．
求、、三点的坐标和直线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上一动点（不与，重合），过点作轴平行线交直线于点，求线段的最大值；
（3）点是直线上方抛物线上一动点（不与，重合），连接，，求面积的最大值．
(1)点A(-3,0),点B(1,0);点C(0,3);
直线AC的解析式为：y=x+3.
(2)设点P的坐标为(m,-m -2m+3),
由PM//y轴，可知点Q的坐标为(m,m+3),
∴PQ=-m -2m+3-m-3
=-m -3m
--(m+)2+，
又∵-3当m=-
PQ最大=
（3）设点P的坐标为(t,-t -2t+3),-3作PN//y轴（或作PN⊥于x轴）交AC于点N，可知点N的坐标为(t,t+3),
∴PN=-t -2t+3-t-3=-t -3t
所以S△PAC=（-t -3t）=-（t+）2+
又∵-3当t=-
S△PAC最大=
（四川中考真题）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点为第二象限抛物线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(1)将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出二次函数的解析式y=-x -2x+3;
(2)过E作EF⊥x轴交BC于点F,设E(a,-a -2a+3)，-3则EF=-a -2a+3,BF=a+3,OF=-a,
因为S四边形BOCE
=S△BEF+S梯形FOCE
=BF·EF+(OC+EF)·OF=-a -a+
配方即可得出结论，当a=-时，-a -2a+3=
即可得到点E的坐标(-,)，面积最大为 。
（广东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在其抛物线的对称轴上，是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接，在直线的下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解： (1)
抛物线的对称轴是：x=3;
(2)P点坐标为(3,）
理由如下：∵点A(0,4),抛物线的对称轴是x=3,
∴点A关于对称轴的对称点A'的坐标为(6,4)
如图1,连接BA'交对称轴于点P,连接AP,此时△PAB的周长最小.
易得直线BA'的解析式为y=
P(3,）
(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.
设N点的横坐标为0,此时点N（t,）(0<1<5)
过点N作NGlly轴交AC于G;作AD⊥NG于D,
由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为：y=
则G（t,）
此时：NG=
∵AD+CF=CO=5,
S△ACN=S△ANG+S△CGN=
当t=时，△CAN面积的最大值为
∴N（，-3）
（辽宁中考模拟题）如图，已知抛物线的图像经过点，，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点在直线下方的抛物线上，连结、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值．
解：(1)抛物线的解析式为y=x -4x+3.
(2)如图所示，∵△AOE的面积是定值，所以当
△OEP的面积最大时，四边形AOPE的面积最大，
设P(m,m -4m+3),
∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,
∴∠AOE=45°,
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3,∴E(3,3),
易得OE的解析式为y=x,
过P作PG//y轴，交OE于点G,
∴G(m,m),
∴PG=m-(m -4m+3)=-m +5m-3,
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE,
∴当m=时，S有最大值，最大值为