山东省德州市校级联考2026届高三上学期10月月考数学试卷（含答案）

山东省德州市德州市校级联考2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.如图，平行四边形中，点为的中点，点在线段上，且，记，，则( )
A. B. C. D.
4.在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，则； B. 若，则；
C. 若，则； D. 若，则
5.设，则( )
A. B. C. D.
6.宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是厘米，中间圆的直径是厘米，上底面圆的直径是厘米，高是厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，其导函数为，若函数为偶函数，函数为偶函数，则下列说法不正确的是( )
A. 函数关于轴对称
B. 函数关于中心对称
C. 若，则
D. 若当时，，则当时，
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数满足，则( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
10.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 的最小正周期为 B. 为奇函数
C. D. 在内有唯一的极小值点
11.如图，正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为定值
B. 三棱锥的外接球的表面积为
C. 存在某个位置，使得直线与直线垂直
D. 三棱锥体积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是公差不为的等差数列，，若成等比数列，则 ．
13.已知函数在恰有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
14.如图绘制有函数的部分图象，图象与轴的交点为，其中，分别为最高点和最低点，现将此图沿着轴折叠形成一个钝二面角，夹角为，其中此时之间的距离为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数为数列的前项和．
求的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
如图，是的直径．与所在的平面垂直，，是上的一动点不同于，，为线段的中点，点在线段上，且．
求证：；
当时，求直线与直线所成角的余弦值．
17.本小题分
已知某公司生产一种零件的年固定成本是万元，每生产千件，须另投入万元，设该公司年内共生产该零件千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且．
写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式；
当年产量为多少千件时，该公司在这种零件的生产中所获利润最大？注：年利润年销售收入年总成本
18.本小题分
在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且．
求角的大小；
若为边上的高，且，求的面积；
若为的角平分线，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线在轴上的截距为，求的值
若函数存在唯一极值点，求的取值范围
若函数存在极大值，记作，求证：．
参考结论：当时，这里表示从的右边逼近，表示从的左边逼近
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，的前项和，
当时，，
当时，，
经检验，满足，
的通项公式为．
，
，
，
故．

16.解：因为平面，平面，所以，
因为是的直径，所以，
又，且，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
因为，且，，平面，所以平面，
因为平面，所以．
故．
解法一：因为，所以在等腰直角三角形中，，得．
又在直角三角形中，，得．
因为为等腰直角三角形，为的中点，且，得，所以，
取的中点为，连接，则，且，
所以为异面直线与所成的角或其补角，
在中，，，所以，
在中，，，，所以，
故直线与直线所成角的余弦值为．
解法二：当时，，分别是和的中点，所以．
又与所在的平面垂直，所以平面，平面，所以．
此时，，两两垂直．
分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图：
得，，，，
故，．
则，
故直线与直线所成角的余弦值为．

17.解：当时，．
当时，，
当时，由，得，
又当时，，即在上是减函数，
当时，，即在上是增函数，
当时，．
当时，，
当且仅当时，即时，，
由知，当千件时，取最大值万元．

18.解：由，由正弦定理得，
，
，
，
，
．
因为，即，
又，所以，
由余弦定理得，
化简可得，解得，
所以的面积．
因为为的角平分线，且，
因为，
所以，
所以，又，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当且，即时取等号，
又当时，，符合题意，
故的最小值为．

19.解：且，
则，所以切线方程为，
所以，有
存在唯一极值点等价于在上有唯一解，
记，，
知，可知在上单调递减，在上单调递增，
因为当时，这里表示从的右边逼近，表示从的左边逼近
所以在上的值域为，在上的值域为，
所以，即的取值范围为：．
记，
当时，，，，
由零点存在性定理可知：，记作：，
所以在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增；
于是存在极大值，极小值，不成立
当时，只有唯一零点，知在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递增，于是只有极小值
故若函数存在极大值，则且，有，，则，
所以，，
从而
令，，，即在上单调递增，且，故，
即．
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