3.4.4 直线与圆的位置关系 课件 （19张PPT）2025-2026学年青岛版九年级数学上册

(共19张PPT)
３.４直线与圆的位置关系(4)
——切线长
复习回顾
1.切线的判定定理
2.切线的判定方法：
（１）定义
（３）切线的判定定理.
( 2 ) d=r
直线与圆相切
已知直线过圆上一点：
(连半径，证垂直）
不明确直线是否过圆上一点：
(作垂直，证半径）
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。
学习目标
1.了解切线长的概念
2.能证明切线长定理，并能用切线长定理进行计算和证明
自主学习
请同学们用五分钟时间阅读课本96-98页内容，完成下列问题
（1）经过⊙O上一点P能画⊙O的几条切线？
（2）经过⊙O外一点P能画⊙O的几条切线？
（3）什么是切线长？切线长定理是什么？
O
。
A
B
P
过圆外一点可以引圆的几条切线？
切线长
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
·
O
P
A
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
切线长概念
·
·
切线:不可以度量。切线长：可以度量。
B
自学检测1：
判断：
1. 圆的切线长就是圆的切线的长度.（ ）
2. 过任意一点总可以作圆的两条切线.（ ）
注意：
圆的切线是一条直线，切线长是一条线段的长
如图,已知:P是⊙O外一点,PA、PB都是⊙O的切线,
A、B是切点.求证：PA=PB
命题证明
● O
A
B
P ●
证明:连接OA,OB,OP
┓
┓
∵PA,PB是⊙O的切线
OA,OB是半径
∴OA⊥PA,OB⊥PB
∴∠OAP=∠OBP=90°
在Rt△OAP和Rt△OBP中
∵OA=OB,OP=OP
∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)
∴PA=PB
切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
● O
A
B
P ●
几何语言：
∵PA、PB是⊙O的切线,
A、B是切点,
∴PA=PB
议一议：
● O
A
B
P ●
┓
┓
经过⊙O外一点P能画⊙O的两条切线，切点分别为A、B。
（1）连接PO，PO平分∠APB吗？OP平分∠AOB吗？
（2）再连接AB，线段PO与AB有什么关系？
(1)过圆外一点引圆的两条切线时，该点与圆心的连线平分这两切线的夹角，并且平分两切点与圆心连线的夹角。
新授知识小结2
● O
A
B
P ●
┓
┓
3、切线长定理的推论：
(2)过圆外一点引圆的两条切线时，该点与圆心的连线垂直平分两切点连线。
注意:
切线长定理的推论适用于解小题.
注：切线长定理及推论为证明线段相等、角相等提供新的方法
例题讲解
例4、如图,已知:P为⊙O外一点，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，BC是⊙O的直径。
（1）求证：AC∥OP；
（2）如果∠APB=70°,求: 的度数。
AC
A
B
P
●O
C
D
提示:
（1）已知圆的切线时，作过切点的半径是常用辅助线之一.
（2）已知直径时，往往构造直径所对的圆周角，这也是常用辅助线之一.
A
B
P
●O
C
D
证明:(1)连接OA、AB, 且AB交PO于点D
∵PA、PB是⊙O的切线A,B是切点
∴PA=PB
∵OA=OB,OP=OP
∴△OAP≌△OBP(SSS)
∴∠OPA=∠OPB
∴OP平分∠APB
∴PD⊥AB
∴∠PDA=90°
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90°
∴∠PDA=∠BAC
∴AC//OP
A
B
P
●O
C
D
(2)∵PA=PB,∠APB=70°
∴∠PBA=55°
∵PB是⊙O的切线BC是直径
∴∠PBC=90°
∴∠ABC=90o-55°
=35°
∴AC的度数=2∠ABC
=70°
2、如图，PA切⊙O于A，切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（　 ）
A．∠1=∠2 B．PA=PB
C．AB⊥OP D．PA=P0
1、如图,已知:以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与
梯形上底AD,下底BC,腰AB均相切,切点分别为D,C,E.若
半圆O的半径为2，腰AB=5.则梯形ABCD的周长为____.
14
D
自学检测2：
3、如下图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，如果∠P=60°，PA=2，那么AB的长为 .
2
4、 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°。则∠P=________。
40°
5.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA=3时，求AP的长。
挑战自我
如图①,是一个用来测量球形物体直径的V型架,图②是它抽象出来的几何图形,其中PA与PB是经过圆外一点P的⊙O的两条切线,A,B是切点,∠P=60°,如果一个乒乓球放入V型架，测得PA=4.5cm,则该乒乓球的直径为__。
知识总结
● O
A
B
P ●
┓
┓
1、什么叫做切线长？
2、切线长定理：
过圆外一点引圆的切线，该点与切点之
间的线段的长度叫做这点到圆的切线长。
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
(1)过圆外一点引圆的两条切线时，该点与圆心的连线平分这两切线的夹角，并且平分两切点与圆心连线的夹角。
3、切线长定理的推论：
(2)过圆外一点引圆的两条切线时，该点与圆心的连线垂直平分两切点连线。