人教版九年级数学上册 第二十三章《旋转》单元检测卷（含答案）

第二十三章《旋转》单元检测卷
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点和关于原点对称，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2025
3．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由 AOB旋转得到，则正确的旋转方式是（ ）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
4．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转后，得到对应点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
7．如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
9．将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．在如图所示的单位正方形网格中， ABC经过平移后得到，已知在AC上一点平移后的对应点为，点绕点O逆时针旋转180°，得到对应点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ．
12．已知抛物线，将此抛物线绕原点旋转后，得到新抛物线的函数表达式为 ．
13．如图，将 ABC逆时针旋转得到 ADE，若，，，则旋转角度是 °．
14．如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °．
15．某AI（生成式人工智能）图像识别系统对平面直角坐标系中的图形进行分析，将边长为2的正方形（其中点A与原点O重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上），按照特定算法进行变换：先将各点的横、纵坐标都乘以2，再将所得图形绕原点顺时针旋转．那么点C在经过两次变换后的对应点的坐标为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，，，直线轴，垂足为点，点P为直线上一动点，当时，则点P坐标 ．
17．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、，则的直角顶点的坐标为 ．
18．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（1）把如图每一个方格的边长看成，求图中四边形的面积；
（2）在图中画出把四边形绕点顺时针方向旋转的图形．
20．在单位长度为1的直角坐标系中，A点的坐标为，B点的坐标为，C点的坐标为，D点的坐标为．小成发现，线段AB与线段CD存在一种特殊为系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度（旋转的角度小于平角）可以得到另一条线段．
（1）请写出旋转中心的坐标：________．
（2）在（1）的结论下，计算线段AB绕着旋转中心转到CD时扫过图形的图象．
21．在平面直角坐标系中，点，点，把 AOB绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为．
(1)如图，当时，求点的坐标；
(2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
22．在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出 ABC关于原点 O 成中心对称的；
(2)画出将 ABC 绕点 O 顺时针旋转 后得到的，并写出点 的坐标．
23．【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形．
【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及 ABC的面积；
【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？
24．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为．
观察应用：

(1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　．
(2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　．
25．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．
(1)直接写出AC与y轴交点的坐标 　 　．
(2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为（a+3，4﹣b），点M经过上述变换后得到点N的坐标为（2a，2b﹣3），则a﹣b的值为 　 　．
(3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形并求三角形的面积．
26．某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？

探究一：
(1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为
探究二：
(2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ．
由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？
探究三：
(3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点．
①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即．
②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
【详解】
解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合；
不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合；
既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故选：C．
2．B
【详解】解：由题意，
∴，
∴；
故选B．
3．C
【详解】解：观察图形，由 AOB旋转得到，对应点，，旋转中心为；
绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，
故旋转方式是绕点逆时针旋转．
故选：C．
4．B
【详解】解：如图所示，
点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q坐标为，
故选：B．
5．B
【详解】解：如图，连接，
正方形的边长为，
，，，
，
将正方形绕原点顺时针旋转后点旋转到的位置，
在轴正半轴上，且，
点的坐标为．
故选：B．
6．C
【详解】解：∵，的面积为，
∴，即，
解得：，
当点在左侧时，，
当点在右侧时，，
∵动点在轴上，
∴，
综上可得点坐标为或，
故选：C．
7．C
【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，
，，
，
，
而，
，
，
即．
故选：C．
8．B
【详解】解：如图，连接，
∵矩形中，，矩形的周长为12，
∴，
∴，，
∵的中点为坐标原点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合，
将绕着点逆时针旋转得到，
又∵，
∴，
∴点的坐标为，
故选：B．
9．C
【详解】解：∵ ABC和是等腰直角三角形，且斜边相等，
∴，
∴(ASA) ，
故选项A正确；
根据旋转的性质可得，
故选项B正确；
∵，，并不一定相等，
∴不一定全等，
故选项C错误；
∵，
∴,
∵,
∴，
∴，
∴,
∵ ，
∴，
故选项D正确；
故选C．
10．C
【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．
【详解】解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），
∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，
∴P2点的坐标为：（1.6，1）．
故选：C．
二、填空题
11．
【详解】解：点和点关于原点对称，
，
解得：，
．
故答案为：．
12．
【详解】解：由二次函数可知：顶点坐标为，开口向下，
所以将此抛物线绕原点旋转后，得到新抛物线的函数开口向上，顶点坐标为，
∴新抛物线的函数表达式为；
故答案为．
13．
【详解】解：根据旋转的性质及可知，≌，旋转角为，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为： ．
14．30
【详解】解：是 AOB绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：30．
15．
【详解】解：由题意得点C的坐标为，且，
将各点的横、纵坐标都乘以2后，得到点的坐标为，即，且，，
将所得图形绕原点顺时针旋转，得到点的坐标为，
故答案为：．
16．或
【详解】解：设点P的坐标为，
∵，，，
∴，，，
如图所示，当点P在点B上方时，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在点B下方，且在x轴上方时，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
如图所示，当点P在x轴下方时，
∵，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，点P的坐标为或，
故答案为：或．
17．
【详解】解：∵，，
∴，
由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：，
∵，
∴的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点，
∵，
∴的直角顶点的坐标为，
故答案为：．
18．
【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，，
∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，
∴必过点A，必过点B，且，
∴，
由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为，
故答案为：
三、解答题
19．解：（1）图中四边形的面积是．
（2）如图，图①即为所求．
20．（1）当点A的对应点为点D，B的对应点为C时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点E，如图所示，
∵A点的坐标为（ 1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（4，4）．
当点A的对应点为点C，B的对应点为D时，同法可得E′（1，1），
故答案为（4，4）或（1，1）；
（2）如图，由题意旋转中心是点E（4，4）．
DE==，EC==
线段AB绕着旋转中心逆时针转到CD时扫过图形的面积＝S扇形EAD＋S△ECD （S△EAB＋S扇形EBC）＝S扇形EAD S扇形EBC＝-=．
21．（1）解：如图，过点作于．
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．
轴，
，
，，
，
∵，
，
，
，
当在轴下方时，同法可得．
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
22．（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求，
∴．
23．解：
[阅读材料]能，作于，作于，如图，
，
，
，
，
；
[解决问题]
作轴于，
，
，
，
在 AOB和中，
，
，
，
，，
，
，
，
；
；
[拓展延伸]
作轴于，
，
，
，
在和中，
，
，
，
轴， 轴，
，
轴，
，
点为y轴负半轴上一动点，
，
．
24．（1）设，
点、的对称中心是点，
，，
点坐标为，
故答案为：；
（2）点、的坐标分别为，．

故答案为：，．
25．（1）设直线AC 的解析式为y＝kx+b，
将A（4，3），C（1，2）代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝，
令x＝0，得y＝，
∴直线AC与y轴交点的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
（2）由图可知，△ABC 与△PQR是关于原点成中心对称，
∴可列方程，
解得，
∴a﹣b＝0，
故答案为：0．
（3）如图，即为所求．
的面积为．
26．（1）解：由题意“等补四边形”的面积．
故答案为：9．
（2）解：过点作交于点，如图：

根据题意可得，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
则，
故“等补四边形”的面积．
故答案为：．
（3）解：①由旋转的性质可知，，
故答案为：．
②：由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积的面积．