第四章 《等可能条件下的概率》单元测试卷 （含答案）初中数学苏科版九年级上册

第四章 《等可能条件下的概率》单元测试卷
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．如图，四张卡片上分别写有，，，四个实数，从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是（ ）
A．0 B． C． D．1
2．同时掷三枚质地均匀的硬币，下列说法正确的是（ ）
A．至少有两枚硬币正面朝上的概率是
B．三枚的硬币一定是两正一反
C．至少有两枚硬币正面朝上的概率是
D．三枚的硬币同一面概率是
3．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上的面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．中国传统节日，是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，形式多样、内容丰富．传统节日的形成，是一个民族或国家的历史文化长期积淀凝聚的过程，被人民誉为“民俗荟萃”．小文购买了“传统节日”主题邮票，他要将“清明”、“端午”、“中秋”、“春节”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它获得食物的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．有编号为1、2、3、4的四个人准备抽签决定谁参加公益活动，公证人制作了外表一样的四枚签，其中一枚刻着“去”，四人按编号顺序先后抽签，抽完不放回．谁抽到“去”字，即可以参加，那么这四人谁被抽中的概率最大？（ ）
A．1号 B．4号 C．一样大 D．无法确定
7．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
8．数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有5个白球、3个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．黑球 B．黄球 C．红球 D．白球
9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
C．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃
D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球是黄球
10．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在的正方形网格中，线段的端点在格点上．在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．如图①，工人师傅在地面上喷绘了一个不规则图案（图中画图部分），小颖想计算该图案的面积，她采取以下方法：用一个长，宽的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机向该矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界限上或矩形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成如图②所示的折线统计图，由此可估计此不规则图案的面积约为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是 ．
14．在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为关于x的一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为 ．
15．一个袋子中装有5个白球和若干个红球（袋中每个球除颜色外其余都相同）．某活动小组想估计袋子中红球的个数，分20个组进行摸球试验．每一组做400次试验，汇总后，摸到红球的次数为6000次．估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是 ．
16．如图，点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，．若动点在矩形内随机运动，则动点P落在内（包括边界）的概率为 ．
三．解答题（本题共8小题，共72分）
17．（8分）现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，，1，2，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)随机抽取一张卡片，求抽取的卡片上的数字为正数的概率；
(2)先从四张卡片中随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的横坐标；然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点A的纵坐标，用列表或画树状图的方法求出点A在第一象限的概率．
18．（8分）某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表：
零花钱数额/元 5 10 15 20
学生人数/名 a 15 20 5
根据表格中信息，回答下列问题：
(1)求a的值．
(2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数．
(3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？
19．（8分）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，其数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 177 198
摸到红球的频率
(1)上表中的___________，___________（小数形式）：
(2)“摸到红球”的概率估计值为___________；（精确到）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
20．（8分）如图，某教室摆放了16把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有10位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排，李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相等．
(1)李老师选择座位的概率是 ；
(2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率．
21．（10分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为．
(1)利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
(2)若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．此游戏的规则对双方公平吗？试说明理由．
22．（10分）小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小丽获胜．
(1)请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；
(2)分别求出小亮和小丽获胜的概率．
23．（10分）如图1是一枚质地均匀的正四面体骰子，它的四个面上分别标有数字1，2，3，4，如图2，正方形的四个顶点处均有一个圈．课间，李丽和王萍利用它们玩跳圈游戏，玩法如下：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针连续跳几个边长．例如：若从圈A起跳，第一掷得的数字为2，便沿正方形的边顺时针连续跳2个边长，落到圈C，第二次掷得的数字为3，便从圈C开始，沿正方形的边顺时针连续跳3个边长，落到圈B，…．设她们从圈A起跳．
(1)若李丽随机掷这枚骰子一次，求她跳回圈A的概率；
(2)若王萍随机掷这枚骰子两次，请用列表法或画树状图求她最后跳回圈A的概率．
24．（10分）2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示：
成绩x/分
七年级 4 3 5 3
八年级 0 0 5 10
平均数 中位数 众数 方差
七年级 15.4 a 16 8
八年级 18.2 18 b
说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题．
(1) ； ；
(2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由；
(3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率．
参考答案
一．单项选择题
1．C
【详解】解：是整数，属于有理数；属于无理数；是分数，属于有理数；属于无理数；
故从中任取一张卡片．取到的数是无理数的可能性大小是，
故选：C．
2．D
【详解】解：同时掷三枚质地均匀的硬币，分别用正1，反1，正2，反2，正3，反3表示，用画树状图法把所有等可能结果表示如下，
∴共有8种等可能结果，
∴有两枚正面朝上的结果有：（正1，正2），（正1，正3），（正2，正3），三枚正面朝上的结果有：（正1，正2，正3），共有4种结果，
∴至少有两枚硬币正面朝上的概率是，故A，C选项错误，不符合题意；
三枚的硬币不一定是两正一反，故B选项错误，不符合题意；
三枚的硬币同一面的有：（正1，正2，正3），（反1，反2，反3），共2种结果，
∴三枚的硬币同一面的概率是，故D选项正确，符合题意；
故选：D ．
3．D
【详解】解：由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共36种情况 且每种情况出现的可能性相同，所得结果之积为：，，，， ，，积能被整除的概率，
故选：D．
4．A
【详解】解：将“清明”、“端午”、“中秋”、“春节”四张邮票分别记为，，，， 画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的结果有：，，共种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“春节”和“端午”的概率为．
故选：A．
5．C
【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，
∴它有8种路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是：．
故选：C．
6．C
【详解】解：四人按编号顺序先后抽签，抽完不放回．都抽完后，每个人手中的签是“去”字的概率是；
∴这四人被抽中的概率一样大，
故选：C．
7．A
【详解】解：小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
从这20个球中摸出一个球，摸到红球的概率约为，
袋子里红球的个数估计是个
故选：A．
8．B
【详解】解：由题意得，该球的频率稳定在左右，即抽到该球的概率为，
∵抽到白球的概率为，抽到黄球的概率为，抽到红球的概率为，
∴该球的颜色最有可能是黄球，
故选：B．
9．A
【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，该结果出现的频率逐渐稳定在0.33左右．
选项A：在“石头、剪刀、布”游戏中，随机出“剪刀”的概率为，与频率稳定值接近．
选项B：掷正六面体骰子，向上点数是4的概率为，与频率稳定值差距较大．
选项C：随机抽一张扑克牌花色是红桃的概率为，与频率稳定值有差距．
选项D：随机摸出黄球的概率为，与频率稳定值差距较大．
故选：A．
10．B
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故选：B．
11．B
【详解】解：如图，取格点，
∴，，
∴，为等腰三角形；
∴在其它格点中任选一点，使是等腰三角形的概率为；
故选：B.
12．B
【详解】解：设不规则图案的面积大约为x，则由题意得，
矩形的面积为
由几何概率公式得小球落在不规则图形的概率为，
当事件次数足够多即样本足够大时，其频率可作为概率估计值，则有折线图可知，小球落在不规则图形的概率为，即，
，
则此不规则图案的面积约为．
故选：B．
二．填空题
13．
【详解】解：由图可知，第二个转盘中蓝色部分面积是红色部分面积的2倍．
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有3种．
∴可配成紫色的概率是．
故答案为：．
14．
【详解】解：当一元二次方程无实数解时，，
解得：，
∴在，，1，2，3，4这6个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，使得一元二次方程没有实数解的a的值为3和4，一共2个，
∴在，，1，2，3，4六个数中随机选取一个数作为一元二次方程中的a的值，则这个一元二次方程没有实数解的概率为，
故答案为：．
15．
【详解】解：由题意知，红球的概率为：，
故答案为：．
16．
【详解】解：点D、点E是直线与矩形的边、的交点，，，
∴，，矩形面积为，
当时，，
∴，
∴，
当时，则，
解得：，
∴，
∴，，
则的面积是，
∴动点P落在内（包括边界）的概率为．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：∵四张卡片完全相同，
∴随机抽取一张卡片，每张被抽中的概率均相同，总共4种可能，其中为正数的有2种，
∴随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的数字为正数的概率为．
（2）解：画树状图如图所示：
共有16个可能的结果，点A在第一象限的结果有4个，
即，，，，
∴点A在第一象限的概率为．
18．（1）解：；
（2）解：共50人，中位数应该是排序后第25人和第26人的平均数，
故中位数为元；
（3）解：∵共50人，零花钱数额不大于10元的有25人，
∴随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为：=．
19．（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为，
答：摸到黑球的概率为．
20．（1）解：由题意知，李老师选择座位的概率为；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表知，所有等可能的结果共有9种，其中两位老师选择坐同一列的所有可能结果有2种，则这两位老师刚好坐在同一列的概率为；
答：这两位老师刚好坐在同一列的概率为．
21．（1）解：树状图如下：
此游戏共有6种结果．
（2）解：不公平，理由如下：
根据树状图可知：
共有2种结果；
共有3种结果；
∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为；
小刚胜的概率大；
∴游戏的规则对双方不公平．
22．（1）解：画树状图为：
两数和的所有可能的结果为：2，3，4，5，3，4，5，6，4，5，6，7，5，6，7，8；
（2）解：因为两次数字之和大于5的结果数为6，
所以小亮获胜的概率，
因为两次数字之和小于5的结果数为6，
所以小丽获胜的概率．
23．（1）解：∵共有4种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，
∴落回到圈A的概率；
（2）解：列表得：
1 2 3 4
1
2
3
4
∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有、、、共4种情况，
∴最后落回到圈A的概率．
24．（1）解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16，
∴．
由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多，
∴．
故答案为：16，19；
（2）由图表信息可知，
∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76，
∴．
故答案为：．
八年级同学掌握有关“航天”的知识更好．
理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级，
∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好；
（3）列表如表：
男 男 男 女
男 —— (男，男) (男，男) (男，女)
男 (男，男) —— (男，男) (男，女)
男 (男，男) (男，男) —— (男，女)
女 (女，男) (女，男) (女，男) ——
共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种，
∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为．