2025-2026学年数学九年级上册期中测试试题（人教版）提升卷一（含解析）

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2025-2026学年数学九年级上册期中测试试题（人教版）提升卷一（含解析）
一、单选题
1．下列事件中，是随机事件的为（　　）
A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．水中捞月 D．刻舟求剑
2．下面图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
4．边长为2的正三角形的外接圆的半径是（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，内接于，是的直径，，点是劣弧的中点，连接交于点，，则弦的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．若二次函数的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A． B． C．或 D．
7．二次函数的自变量与函数的对应值如表．
… 5 …
… …
则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．时或 D．方程的两个根分别是，
8．若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值分别为（ ）
A． ， B．，
C． ， D．，
9．2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，……，依次类推．抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，……，依次类推．小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于两点，下列结论：
①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程
有两个相等的实数根；⑤当时，有，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤
11．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ）

A． B． C． D．
12．如图，的三边的长度分别用表示，且满足，点在边上，将沿折叠，使点落在点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．二次函数的顶点坐标是 ．
14．如图，中，，，以为直径作半圆，交，于点D，E．若，则的长为 （结果保留）
15．如图，在扇形纸片中，，，把它沿虚线分割成一个扇形和扇环，在扇环上裁出半径最大的圆，恰好能与扇形与圆围成一个圆锥，则的长为 ．
16．若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．解一元二次方程：．
18．2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种．
(1)乙同学恰好选中B的概率是______；
(2)求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法）
19．随着国家乡村振兴政策的推进，凤凰村农副产品越来越丰富．为增加该村村民收入，计划定价销售某土特产，他们把该土特产（每袋成本10元）进行4天试销售，日销量y（袋）和每袋售价x（元）记录如下：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天
x/元 15 20 25 30
y/袋 25 20 15 10
若试销售和正常销售期间，日销量y与每袋售价x的一次函数关系相同，解决下列问题：
(1)求日销量y关于每袋售价x的函数关系式；
(2)请你帮村民设计，每袋售价定为多少元，才能使这种土特产每日销售的利润最大？并求出最大利润.（利润销售额成本）
20．某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．如果每件的售价每涨价元售价不可以高于元，那么每星期少卖出件．设每件涨价元为非负整数，每星期销量为件．
(1)求与的函数关系式；
(2)如何定价才能使每星期的利润为元？
21．随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种，用，，，表示四种不同的沟通方式），在全校范围内随机抽查了部分学生，将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，表示的扇形对应的圆心角的度数为____，并将条形统计图补充完整．
(2)该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用种方式进行沟通的学生有____名．
(3)某天甲、乙两名学生都想从，，三种沟通方式中随机选一种方式与对方联系．请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的概率．
22．【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．
【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ___________．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点，m为正整数，以为直径画，是否存在所描的点在上，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
23．如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处．假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为．
问题解决：
(1)求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由．
(3)若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围．
《2025-2026学年数学九年级上册期中测试试题（人教版）提升卷一（含解析）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C D D D D C B
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查了事件的分类；
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【详解】解：A.瓮中捉鳖是必然事件；
B.守株待兔是随机事件；
C.水中捞月是不可能事件；
D.刻舟求剑是不可能事件；
故选：B．
2．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后能够完全重合，中心对称图形是要寻找对称中心，绕中心旋转180度后能够与原图重合．
【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为，
∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合，
∴角的大小可以为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查勾股定理，正三角形外接圆性质等．根据题意可知正三角形外接圆的圆心为三边垂直平分线交点，圆心位置也是三边中线交点，再利用勾股定理即可求出本题答案．
【详解】解：∵边长为2的正三角形的外接圆，如下图所示：点是的外心，连接，，延长并延长交于点，
，
∵为正三角形，
∴正三角形的外接圆圆心为三边垂直平分线交点，也为三边角平分线交点，
∴，
∵，
∵，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】该题考查了垂径定理，三角形中位线定理，根据垂径定理得出，从而得是的中位线，， ．
【详解】解：∵点是劣弧的中点，是半径，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】根据抛物线只经过第一、二、三象限，可得抛物线与轴有两个交点，且与轴的交点的纵坐标大于等于0，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，当时，，
∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限，
∴抛物线与轴有两个交点，，
∴，，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．观察表格，可以得出抛物线的对称轴位置，开口方向，增减性、对称性以及与轴的交点，再利用二次函数的性质分别判断即可求得答案．
【详解】解：抛物线过点，，
抛物线的对称轴为直线，
顶点为，
抛物线开口向下，则，故A错误；
，
，故B错误；
抛物线开口向下，且过点，，
时，，故C错误；
抛物线的对称轴是直线，
点与关于直线对称，
抛物线过点，，
方程的两个根分别是，，故D正确，
故选：D．
8．D
【分析】首先可分别求得抛物线M及的对称轴，再根据轴对称图形的性质，即可求得m的值；根据抛物线M与y轴的交点坐标，即可求得交点关于直线对称的点的坐标，再根据该点在抛物线上，据此即可求解．
【详解】解：由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线，交y轴于点，
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与抛物线关于直线对称，，
解得，
∴点关于直线对称的点在抛物线上，
∴把点代入得，
解得：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，坐标与图形，轴对称图形的性质，熟练掌握和运用轴对称图形的性质是解决本题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
10 15 20 谢谢惠顾
10 20 25 30 10
15 25 30 35 15
20 30 35 40 20
谢谢惠顾 10 15 20 0
由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的情况有种，
小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率，
故选：C．
10．B
【分析】根据抛物线解析式图象、顶点坐标及直线的解析式可得到正确的选项．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∴，
故②不正确；
∵抛物线与轴的一个交点为，抛物线的对称轴为，
∴抛物线与轴的一个交点为，
故③不正确；
∵抛物线的顶点坐标，
∴抛物线的最大值为，且当方程有两个相等的实数根，
故④正确；
∵抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，
∴当时，，
故⑤正确．
∴①④⑤正确；
故选．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象的性质和从函数的观点看待方程和不等式，数形结合是解题的关键．
11．A
【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】将绕点逆时针旋转至，

∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转性质可知：，，，
∴，
∴点三点共线，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．
12．D
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，三角形的三边关系，由非负数的性质可得，，进而由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，又由折叠可得，，由此判断出点在以点为圆心，为半径的圆上，由三角形三边关系可得，即可求解，判断出点在以点为圆心，为半径的圆上是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴为直角三角形，，
由折叠可得，，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故选：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：把二次函数化为顶点式为：；
顶点坐标为：．
故答案为：．
14．
【分析】连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理求出，由等弧所对的圆周角相等得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，得出半径等于9，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴则的长为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角等于90度，等弧所对的圆周角相等，求弧长，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查弧长公式和圆锥的概念，设，则，根据弧长公式和圆锥的概念列出方程式求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，解得，
故答案为：．
16． 或
【分析】本题考查二次函数图象及性质，依据题意结合函数增减性及最值思考是解决本题的关键．根据题意把和代入相减得到，求出结果即可；把和代入求出解析式为，继而得到对称轴为，再分为和，根据题意分情况讨论即可得到本题答案．
【详解】解：把和代入可得：，
两式相减得，
即，
∵，
∴；
把和代入得，
解得：，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线，
当时，则，
若时，即，
在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为；
当时，y取最小值，最小值为；
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义；
当，即，
最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义；
当时，则，
若时，即，
在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，取最大值，最大值为；
当时，y取最小值，最小值为；
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义；
当，即，
最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义；
综上所述，a的取值范围为或．
17．，
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
∴，
∴或，
解得，；
【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是概率．
（1）直接运用概率公式解答即可．
（2）画树状图共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种，则乙同学恰好选中B的概率是，
故答案为：．
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
19．(1)日销量y关于每袋售价x的函数关系式为
(2)每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设日销售量y（袋）和每袋售价x（元）的函数关系式为（）代入数据，利用待定系数法即可求解；
（2）设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，根据销售利润销售每袋土特产的利润每日的销售量，得到与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设（）
将，代入，
得
解得，
∴日销量y关于每袋售价x的函数关系式为；
（2）解：设每袋土特产的售价定为x元，则日销量为袋，成本为，总利润为W元，
（）
，
当时，W最大，最大值为225
答：每袋售价定为25元时，这种土特产日销售的利润最大，最大利润为225元．
20．(1)
(2)当定价为元或元时，每星期的利润为元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据题意可以得到关于的函数关系式；
（2）由题意可以得到利润和定价之间的关系式，从而可以解答本题．
【详解】（1）由题意可得，
，
答：与的函数关系式是；
（2）设当定价为元时，每星期的利润为元，
解得，
答：当定价为元或元时，每星期的利润为元．
21．(1)，图见解析
(2)600名
(3)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用的人数除以所占的比例求出调查总人数，进而求出的人数，用360度乘以的人数所占的比例求出圆心角的度数，根据的人数，补全条形图即可；
（2）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（3）列表法求概率即可．
【详解】（1）解：调查总人数为（人）；
∴表示的扇形对应的圆心角的度数为；
的人数为：（人）；
补全条形图如图：
（2）解：（名）；
答：估计该校最喜欢用C种方式进行沟通的学生有600名；
（3）解：由题意，列表如下：
A C D
A A，A A，C A，D
C C，A C，C C，D
D D，A D，C D，D
共9种等可能的结果，其中甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的结果有3种；
∴恰好选中同一种沟通方式的概率．
22．【分析问题】或，【解决问题】见解析，【深度思考】4
【分析】分析问题：利用垂径定理与勾股定理解答即可；
解决问题：设所描的点在半径为为正整数的同心圆上，则该点的纵坐标为，再进一步求解横坐标即可；
深度思考：设该点的坐标为结合的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含的代数式表示出的值，再结合，均为正整数，即可得出，的值．
【详解】解：分析问题：根据题意，可知：所描的点在半径为的同心圆上时，其纵坐标

∵横坐标，
∴点的坐标为)或；
解决问题：证明：设所描的点在半径为为正整数的同心圆上，则该点的纵坐标为，
∴该点的横坐标为，
∴该点的坐标为 或 ，
，
∴该点在二次函数的图象上，
∴小明的猜想正确；
深度思考：设该点的坐标为，的圆心坐标为，
，
，
又∵， 均为正整数，
，
，
∴存在所描的点在上，的值为．
【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是找出点在二次函数 的图象上．
23．(1)
(2)不能实现，理由见解析；
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现；
（3）求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最大高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：
设抛物线的解析式为，
将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：不能实现，理由如下：
由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，
则设直线解析式为：，
则
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
所以不能实现；
（3）解：设弹起后抛物线的表达式为：，
对于，
当时，，
解得：或，
∴，
将代入得：，
解得：，
∴弹起后抛物线的表达式为：，
∵，
∴弹起时最大高度为，
∴弹起高度范围为，
当时，，
解得：，
∵时，，，
∴击球点与发球机水平距离的取值范围为．
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