苏科版数学七年级上册有理数的混合运算（简便巧算）
一、添项拆项法
1．（2024七上·宁明期中）阅读下题的计算方法
计算：
解：原式
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加法运算律
【解析】【分析】参照题干中的定义及计算方法将原式变形为，再计算即可.
二、裂项相消法
2．（2023七上·慈溪月考）观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
第一个等式
第二个等式
第三个等式
第四个等式
（1）请写出第7个等式______；请写出第n个等式______；
（2）计算．
【答案】（1），
（2）解：
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】
（1）
解：由题可知，第7个等式为：；
通过观察可知，第个等式为：，
左边右边，
∴等式成立，
故答案为：，．
【分析】
（1）通过观察所给的等式可得规律；
（2）根据（1）中结论对原算式进行拆项，再提公因数并对括号内的算式错位相加，最后再相乘即可．
（1）解：由题可知，第7个等式为：；
通过观察可知，第个等式为：，
左边右边，
∴等式成立，
故答案为：，．
（2）解：
3．（2025七上·诸暨月考）根据规律求值。
，，，……
则
.
（1）求值：；
（2）求值：；
（3）求值：.
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：. )]
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】根据题目所给规律，利用裂项相消法计算解答即可.
4．（2023七上·长沙月考）观察下列等式
，，；
（1）猜想并写出：___________；
（2）求下列式子的计算结果：
（3）探究并计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
5．（2023七上·竞秀月考）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
________；
_______．
（2）根据规律计算：
．
【答案】（1），．
（2）
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
6．（2024七上·郫都期中）我们知道：，，．
根据规律填空：__________，__________．
根据以上规律计算：
（1）；
（2）若与互为相反数，求
【答案】，；
解：（1）；
．
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
解得，
∴
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；绝对值的非负性；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，，
故答案为：，；
【分析】根据规律填空，通过观察题干给出的等式发现等式左边的分数分子是1，分母是两个连续正整数的乘积，等式右边是这两个连续正整数倒数差，据此可得出答案；
（1）先将算式中每一个带分数加数写成一个正整数与一个分子为1的真分数得和的形式，然后运用加法交换律与结合律将整数加数与分数加数分别结合，进而将分数加数分母写成两个连续整数的乘积形式，接着利用题干给出的方法分别拆项，然后再进行计算即可解答；
（2）根据互为相反数的两个数的和为零，列出式子，然后根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个加数都等于零求出a、b的值；然后将a、b的值代入待求式子，发现各个加数分子都是1，分母是两个连线奇数的乘积，进而模仿题干进行拆项后发现各个加数扩大了2倍，根据等式性质，再在每一个加数上乘，最后逆用乘法分配律计算可得答案.
三、换元法
7．计算：
【答案】解：设
则 a-b=1，
∴原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】认真观察数据特征，利用“换元”思想进行计算.
8．计算：
【答案】解：令 则a+b=1.
∴原式
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】观察数据特征，利用“换元思想”进行计算.
9．计算：
【答案】解：方法一：设 则原式
方法二：设 则b-a=1，
原式
【知识点】含括号的有理数混合运算；有理数的巧算
【解析】【分析】观察算式可以发现括号内有几个固定的分数相加，可以将其整体设元，可简化算式，再进行计算.
四、倒除法
10．（2024七上·吉林月考）用简便方法计算：．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的除法法则
11．（2025七上·鼓楼月考）阅读下列材料：
计算：．
解法：原式．
解法：原式的倒数为
，所以原式．
（1）上述解法中，你认为解法 是错误的；
（2）计算：．
【答案】（1）①
（2）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
12．（2025七上·兴宁期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算：
解法1：按常规方法计算
原式
解法2：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
故原式
根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：．
（2）阅读下题的计算方法：
计算．
解：原式
上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：．
【答案】（1）解：原式的倒数为：
，
∴；
（2）解：
．
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】
（1）通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值，计算即可解答；
（2）根据有理数的加减混合运算中的拆项法将一个分数拆成一个整数与一个分数的和，再分类计算即可解答．
13．（2024七上·杭州月考）阅读下面的材料．计算：．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为，
其值，
∴原式．
上述解法的结果不同，肯定有错误的解法你认为解法________是错误的．在正确的解法中，你认为解法_______较简捷．用你认为简便的方法计算：．
【答案】一；三；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
五、倒序相加法
14．（2024七上·南宁月考）阅读理解 “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下：
令，①
又，②
①②，得，
解得．
知识应用
（1）填空：计算：________；
（2）填空：计算：________；
（3）请你使用阅读材料归纳得的方法计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
15．（2024七上·南康月考）阅读材料：
德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）
（2）10000
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
六、其他简便计算
16．（2024七上·路北月考）利用运算律进行简便计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
17．（2024七上·榕江期中）观察下列各式：
；；；；…．
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：；
（2）用你发现的规律计算：．
【答案】（1）解：；
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据题设中给定等式的运算规律，进而写出分数相乘的形式，得出计算结果．
（2）根据题设中给定等式的运算规律，写出分数相乘形式，结合分数乘法，进行约分计算求值，即可求解．
（1）解：；
（2）解：
．
18．（2024七上·南宁期中）观察下列各式：；；；；…
（1）根据你发现的规律，计算算式的值： ___________；
（2）请用一个含n的算式表示这个规律： ___________；
（3）根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）．
【答案】（1）
（2）
（3）解：依题意，
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）依题意，；解：（2）依题意，；
【分析】（1）根据所给的4个算式的规律，得到的分母是6，分子是的分数的大小，结合有理数的运算法则，即可求解．
（2）根据所给的4个算式的规律，得到等于分母是6，分子是的分数的大小，即可求解；
（3）根据题意，用的值减去的值，求出算式的值，即可求解．
（1）解：依题意，；
（2）解：依题意，；
（3）解：依题意，
．
1 / 1苏科版数学七年级上册有理数的混合运算（简便巧算）
一、添项拆项法
1．（2024七上·宁明期中）阅读下题的计算方法
计算：
解：原式
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
二、裂项相消法
2．（2023七上·慈溪月考）观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
第一个等式
第二个等式
第三个等式
第四个等式
（1）请写出第7个等式______；请写出第n个等式______；
（2）计算．
3．（2025七上·诸暨月考）根据规律求值。
，，，……
则
.
（1）求值：；
（2）求值：；
（3）求值：.
4．（2023七上·长沙月考）观察下列等式
，，；
（1）猜想并写出：___________；
（2）求下列式子的计算结果：
（3）探究并计算：．
5．（2023七上·竞秀月考）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
________；
_______．
（2）根据规律计算：
．
6．（2024七上·郫都期中）我们知道：，，．
根据规律填空：__________，__________．
根据以上规律计算：
（1）；
（2）若与互为相反数，求
三、换元法
7．计算：
8．计算：
9．计算：
四、倒除法
10．（2024七上·吉林月考）用简便方法计算：．
11．（2025七上·鼓楼月考）阅读下列材料：
计算：．
解法：原式．
解法：原式的倒数为
，所以原式．
（1）上述解法中，你认为解法 是错误的；
（2）计算：．
12．（2025七上·兴宁期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算：
解法1：按常规方法计算
原式
解法2：简便计算，先求其倒数
原式的倒数为：
故原式
根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：．
（2）阅读下题的计算方法：
计算．
解：原式
上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：．
13．（2024七上·杭州月考）阅读下面的材料．计算：．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为，
其值，
∴原式．
上述解法的结果不同，肯定有错误的解法你认为解法________是错误的．在正确的解法中，你认为解法_______较简捷．用你认为简便的方法计算：．
五、倒序相加法
14．（2024七上·南宁月考）阅读理解 “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下：
令，①
又，②
①②，得，
解得．
知识应用
（1）填空：计算：________；
（2）填空：计算：________；
（3）请你使用阅读材料归纳得的方法计算：．
15．（2024七上·南康月考）阅读材料：
德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）计算：；
（2）计算：．
六、其他简便计算
16．（2024七上·路北月考）利用运算律进行简便计算：
（1）；
（2）．
17．（2024七上·榕江期中）观察下列各式：
；；；；…．
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：；
（2）用你发现的规律计算：．
18．（2024七上·南宁期中）观察下列各式：；；；；…
（1）根据你发现的规律，计算算式的值： ___________；
（2）请用一个含n的算式表示这个规律： ___________；
（3）根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）．
答案解析部分
1．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的加法运算律
【解析】【分析】参照题干中的定义及计算方法将原式变形为，再计算即可.
2．【答案】（1），
（2）解：
【知识点】有理数混合运算的实际应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】
（1）
解：由题可知，第7个等式为：；
通过观察可知，第个等式为：，
左边右边，
∴等式成立，
故答案为：，．
【分析】
（1）通过观察所给的等式可得规律；
（2）根据（1）中结论对原算式进行拆项，再提公因数并对括号内的算式错位相加，最后再相乘即可．
（1）解：由题可知，第7个等式为：；
通过观察可知，第个等式为：，
左边右边，
∴等式成立，
故答案为：，．
（2）解：
3．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：. )]
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】根据题目所给规律，利用裂项相消法计算解答即可.
4．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
5．【答案】（1），．
（2）
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
6．【答案】，；
解：（1）；
．
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
解得，
∴
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；绝对值的非负性；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，，
故答案为：，；
【分析】根据规律填空，通过观察题干给出的等式发现等式左边的分数分子是1，分母是两个连续正整数的乘积，等式右边是这两个连续正整数倒数差，据此可得出答案；
（1）先将算式中每一个带分数加数写成一个正整数与一个分子为1的真分数得和的形式，然后运用加法交换律与结合律将整数加数与分数加数分别结合，进而将分数加数分母写成两个连续整数的乘积形式，接着利用题干给出的方法分别拆项，然后再进行计算即可解答；
（2）根据互为相反数的两个数的和为零，列出式子，然后根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个加数都等于零求出a、b的值；然后将a、b的值代入待求式子，发现各个加数分子都是1，分母是两个连线奇数的乘积，进而模仿题干进行拆项后发现各个加数扩大了2倍，根据等式性质，再在每一个加数上乘，最后逆用乘法分配律计算可得答案.
7．【答案】解：设
则 a-b=1，
∴原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】认真观察数据特征，利用“换元”思想进行计算.
8．【答案】解：令 则a+b=1.
∴原式
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】观察数据特征，利用“换元思想”进行计算.
9．【答案】解：方法一：设 则原式
方法二：设 则b-a=1，
原式
【知识点】含括号的有理数混合运算；有理数的巧算
【解析】【分析】观察算式可以发现括号内有几个固定的分数相加，可以将其整体设元，可简化算式，再进行计算.
10．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的除法法则
11．【答案】（1）①
（2）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
12．【答案】（1）解：原式的倒数为：
，
∴；
（2）解：
．
【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】
（1）通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值，计算即可解答；
（2）根据有理数的加减混合运算中的拆项法将一个分数拆成一个整数与一个分数的和，再分类计算即可解答．
13．【答案】一；三；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
14．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
15．【答案】（1）
（2）10000
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则
17．【答案】（1）解：；
（2）解：
．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据题设中给定等式的运算规律，进而写出分数相乘的形式，得出计算结果．
（2）根据题设中给定等式的运算规律，写出分数相乘形式，结合分数乘法，进行约分计算求值，即可求解．
（1）解：；
（2）解：
．
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：依题意，
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【解答】解：（1）依题意，；解：（2）依题意，；
【分析】（1）根据所给的4个算式的规律，得到的分母是6，分子是的分数的大小，结合有理数的运算法则，即可求解．
（2）根据所给的4个算式的规律，得到等于分母是6，分子是的分数的大小，即可求解；
（3）根据题意，用的值减去的值，求出算式的值，即可求解．
（1）解：依题意，；
（2）解：依题意，；
（3）解：依题意，
．
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