5.1.2 弧度制 教学设计

弧度制 教学设计
弧度制是度量角的单位制，是学习三角函数的基础.本节课通过学生喜欢的电影人物却出乎意料的情境，激发学生的学习兴趣，感受角的大小可以由长度度量.由生活实例入手，将感性经验升华为理性经验.经历1弧度到弧度的变化过程，由任意角到全体实数的一一对应，角度与弧度的转化过程，证明扇形相关公式，环环相扣，理解弧度制，体会弧度制的便捷性,为后续学习三角函数打下坚实的基础.
一、课标要求
三角函数：借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题.
弧度制：了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
二、教学分析
（一）三角函数教材分析
三角函数在高中数学中占据重要地位，是连接初等数学与高等数学的重要桥梁.学习三角函数，学生需要运用代数知识来解决三角问题，同时也要利用几何直观理解三角函数的性质和图象.通过学习三角函数，学生可以进一步理解函数的概念，掌握函数的性质，提高数学运算能力和思维能力，培养实际应用能力和创新精神.三角函数在数学内部有着广泛的应用，如解析几何、微积分等，还在物理、工程等领域中发挥着重要作用,是解决许多实际问题的重要工具.
三角函数知识结构图：
三角函数学习路径：
（二）弧度制教材分析
弧度制选自人教A版（2019）必修一第五章三角函数第一单元第2课时，是研究三角函数的起始课，是将角推广到任意角后进一步学习弧度制，主要内容是了解弧度制、会弧度与角度的换算，学生已经学过角度制和任意角，弧度制是后续学习三角函数相关知识的理论基础.弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，建立了角与实数的对应，统一了三角函数自变量和函数值的单位，为三角函数的概念奠定了基础.在弧度制下，弧长公式与扇形面积公式有了更为简单的形式.三角函数模型在解决实际问题时，很多自变量的意义并不一定是角.这都说明弧度制的学习对三角函数是非常必要的.
通过学习弧度制，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的单位制，二者虽单位不同，但可互相转化，加强学生对辩证统一思想的认识.通过本节课，了解三角函数的重要背景，激发学生的学习三角函数的兴趣，我们可以对同一事物用不同方式刻画，通过探究弧度制，体会数学的简洁美，也体现我们对事物本源的探索与思考，体会大道至简的道理.
本章教学课时安排.
5.1 任意角和弧度制 约2课时；
5.2 三角函数的概念 约3课时；
5.3 诱导公式 约2课时；
5.4 三角函数的图象与性质 约4课时；
5.5 三角恒等变换 约6课时；
5.6 函数 约2课时；
5.7 三角函数的应用 约2课时；
小结 约3课时.
（三）学情分析
1.认知准备：学生已经学习过用角度度量角的大小和用角度求弧长的方法，存在弧度制的萌芽；学生具有一定的生活经验，有助于理解弧度制，但需经过逻辑推理进行论证，化感性经验为理性经验.
2.心理准备：学生已经习惯使用角度制，需要理解引入弧度制的必要性及合理性，接受并习惯用弧度表示角的大小进而解决问题.
3.能力培养：学生思维较活跃，学习积极性较高，学习方法、思想方法需要悉心引导培养.个体差异较大，需注意不同层次学生的学习需要，由浅入深，循序渐进.
三、教学目标
1.理解1弧度，理解角的弧度数与弧长、半径的关系，落实数学抽象、直观想象核心素养.
2.掌握弧度与角度的换算，提升数学运算素养.
3.会运用弧度制解决简单的问题，掌握弧长公式、扇形面积公式，提升逻辑推理核心素养.
4.理解并认识角度制与弧度制都是度量角的单位制，二者是辩证统一的关系.
本节为新授课，侧重于概念教学.
教学重点：弧度制的定义，弧度与角度的互化.
教学难点：1弧度，弧度制的应用.
四、教学过程
（一）创设情境，引入课题
情境1：（AI视频动画让灭霸说话）我们的宇宙中有着7种神秘的力量，我们不是在说灭霸和原石，也不是星际大战里的原力，而是构成世界的7种度量单位：长度、时间、质量、热力学温度、物质的量、电流、发光强度.这7种独立的基本度量，基本度量相互交织，让我们可以从各种角度理解我们身边的宇宙.我们发现角的度量不在其中，说明角的大小可由其他度量得出，你能猜猜是什么吗？同学们可以保留自己的猜想，我们将在后面揭秘.
【说明】本节课的内容虽相对简单，但学生并不习惯弧度，如何激发学生的学习兴趣、主动参与课堂，是教学的一大难点．通过学生喜欢的电影人物却出乎意料的情境，激发学生的学习兴趣，感受角的大小可以由长度度量.
情境2：我们发现放大镜放大圆周时，不能放大角的大小，这说明什么？你能从初中学过的角度与弧长关系上做出推理吗？
圆心角n°与弧长的公式:，
即，
当圆心角n确定时，为定值.
圆心角的大小与与弧长和半径比值有关，我们可以通过长度来度量角.同学们，你猜对了吗？ 图1
怎样度量，需要我们引入新的单位制——弧度制.
【说明】联系生活实际生成直观经验，联系已有知识，将感性经验升华为理性经验.体会数学源于生活并用于生活，由生活实例引入问题探索知识，再应用知识解决实际问题.引入新课的同时，揭秘情境1.
（二）问题探究，生成概念
1.角怎么规定？有多大？如图2
图2 图3
2.又怎么规定？有多大？如图3
规定：长度等于半径的弧长所对的圆心角的叫做1弧度的角，单位为“rad”，读作弧度.
3.弧度数与弧长、半径有怎样的关系？
半径为的圆中，弧长时，弧度数为1；弧长时，弧度数为2；弧长时，弧度数为3，弧长时，弧度数为，以此类推……
将上述过程运用Deepseek做的动图截图如下：
半径为r的圆中，弧长所对的圆心角的弧度数为rad，则.注：①“||”；
②为实数，是弧度制，可以用十进制表示，较六十进制的角度制而言更加的便捷；
③关于弧度，数学史上还有一些有趣的事情，留作同学们课后拓展与分享.
【说明】1弧度的理解是本节课的难点，区别于，学生发现1弧度借助圆给出定义，并规范符号、读法.借助图象直观，理解弧度数与弧长、半径的关系.
4.任意角与实数
学习弧度制的必要性：弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，为三角函数奠定基础.在弧度制下，扇形相关公式有了更为简单的形式.三角函数模型在解决实际问题时，很多自变量并非是角.
【说明】学生联系任意角，构建弧度与实数的一一对应.此处说明学习弧度制的必要性，为后续学习三角函数做铺垫，让学生真实感受理解弧度制的有用性，用联系的眼光看待弧度制，体会大单元视角下学习弧度制更具引领性、本源性和有效性.
5.角度与弧度的互化
思考：圆的周长所对的圆心角为1周角，在弧度值与角度制下分别是多少？
，则
【说明】由周角的弧度数与角度数对应相等，得到二者的等量转化原理，引出弧度角度的转化关系.体会数学知识的本源性和灵活性,且二者是辩证统一的.
（三）运用知识，加深理解
例1.将下列角度化成弧度，将弧度化成角度，说说你是怎么化简的？
原理，规律：
【说明】通过例题践行所学知识，学生说出自己的做法，一题多解，对比哪种方法更简洁且准确，积累灵活解题经验.体会弧度角度转化的本质是π=180°，可按比例关系运算不死记硬背1rad或1°.
例2.以学生接龙的形式完成以下特殊角的角度数与弧度数的表格：
若把以上表格中的数据加上负号，转化所得结果如何呢？
【说明】接力快答活跃课堂气氛，学生活学活用，积极思考.在准确性的前提下，提升速度，培养数感，错误的结果要进行归因，由学生相互指导与改正，体现学习的过程性与评价的多样性.
学生活动：通过Deepseek输入指令，生成特殊角的度数与弧度数直观验证.
【说明】人工智能直观验证的优点：直观易懂，化抽象为形象，快速把握信息；形式丰富，传递更多细节与情感；高效便捷，节省绘图时间，提升效率；启发创新，带来新视角，激发思维；体验良好，交互生动有趣，增强参与和成就感.学生通过操作体会人工智能的便捷性和实用性，习惯弧度制下认识角，包含角的大小、位置，为后续学习三角函数做准备，这亦是大单元教学的体现.
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式.
；；.
其中，R为圆半径，（）为圆心角，为扇形弧长，S是扇形面积.
思考：
①这里为什么不加“||”？
扇形中角是正数.
②证明公式（2）运用了本节的什么知识？
角度与弧度的互化.
③公式（3）的形式是否眼熟？能否类比和联想？
类比，这里运用了微积分的思想，微积分是一种研究变化率（微分）和累积量（积分）的数学分支.将扇形分割成很多小的部分，每一部分都近似为一个小的三角形，这些三角形的底边是扇形的弧长的一小部分（以直代曲，在极限情况下可以看作是无穷小），高近似为扇形的半径 R.并通过积分的方法求出这些小的三角形面积的和，从而得到扇形的面积.这种方法还可以推广到更复杂的曲线图形的面积计算中.
【说明】学生合作探究，对所学的弧度制相关知识进行应用.通过思考，注意关键点的理解和细节的处理，渗透微积分思想.通过角度制与弧度制对同一公式的不同表达，发现事物间的联系，体会等量可代换以及弧度制带来的简洁美.
（四）课堂小结
【说明】学生通过流程图回顾反思本节内容，总结弧度制的研究路径，形成完整的知识结构体系，感受数学思想方法核心素养，升华学习效果和学习热情.
（五）课后作业
1.基础：教材175页1、2
2.提升：
(1)将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是多少？
(2)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角.
(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
3.开放：类比本节对弧度制的定义，创造另一种度量角的大小的方法.
4.拓展：用AI搜索“弧度制的来由”、“弧度制的重要性”、“弧度制与三角函数”以及你感兴趣的问题，并和同学分享.
【说明】基础作业加强对知识理解与运用,进一步适应和熟悉弧度制.提升作业联系生活实际，让学生真切感受数学来源于生活应用于生活.开放作业类比与联想，培养学生的创造性思维、自主探究和独立思考能力.拓展作业，开拓眼界提高综合素养，了解更多知识的本源、单元联系、相关拓展及与生活的联系等，同时能够帮助学生更好的认识自己、了解社会、促进全面发展.这亦是对大单元教学的体现.
（六）教学反思
优点：教学中注重引导学生从直观到理性的转变，能依据学生反馈灵活调整问题，促使学生积极思考，展现了一定应变能力；关注到三角函数与几何的联系，将“见值想形”设为隐性目标并引导学生思考，有助于培养学生数形结合思维.
不足：在促进学生“见值想形”方面，虽然采取了一些措施，但对学生思维的引导还不够深入.部分学生在学习过程中仍然停留在表面的理解，不能很好地将数与形结合起来.
【说明】审视教学得失,客观地评价自己的教学活动，发现教学中的优点和不足，从而调整和改进教学方法.积累教学经验，提升教学水平，形成自己的教学风格,促成个人专业成长.总结教学经验,不断优化教学方法，追求教学艺术，形成自己的教学理念，为今后的教学工作提供参考.发现教学中存在的问题，及时调整教学策略，提高教学质量，促进学生的发展.
五、教学启示
章建跃教授说：“因为数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、 方法的普适性以及思维的系统性，所以数学教学要避免知识碎片化。”因此本节注重在大单元角度下引导学生学习，让学生知道知识的来源亦知道知识的去处，能够站在较高的角度用联系的眼光看待本节的知识与问题，了解学习本节的必要性.从直观到理性的转变，能依据学生反馈灵活调整问题，促使学生积极思考.关注到三角函数与几何的联系，将“见值想形”设为隐性目标并引导学生思考，有助于培养学生数形结合思想，并借助信息技术对学生思维进行深入，从而进入深度学习.
章建跃教授指出要理解数学、理解学生、理解教学.独立教育学者钱志龙博士说:“好奇心跟吃喝拉撒一样，是人类的本能.”每个孩子对自己的未来都是有期待的，只要顺着他们多变的兴趣与角度，做适度的引导，孩子往往会产生高度的行动力.在概念教学中，我们重视知识的生成、发展、联结与内化，注重学习知识的过程性，强调理解概念的本质.若想达到此目的，需要激发学生的好奇心，并且真正以学生为中心的教学，需通过目标转化，做到教师的教为了学生的学.通过大单元教学对教学有更深入的理解，以目标为导向，由大目标到小目标，遵循知识和认知的发展，进行知识结构优化.在学生已有的旧知基础上，通过问题串的解决顺利进入学习区，不断拓展安全区的范围，便可以充分调动学生的主观能动性.
史宁中教授说：“信息技术正在通过与学科的融合来改造我们的教学，形成一种全新的教学模式.”信息技术的发展有助于课堂生态的改变，为教师因材施教提供了新的支持与思路.为了有针对性的帮助学生，使学生更加高效的理解问题并逐步提升数学思想方法，适时适度辅以信息技术，本节课学生通过人工智能操作进行直观验证，增强参与感和成就感，在动手操作的过程中积累数学基本活动经验，加深对知识的理解并表征.促使教师主导的系统性与学生主导的探究性深度融合，为学生建构深度学习的通道，实现从表层知识到深入理解再逐步到数学思想与核心素养的跨越.正如《数学家谈数学本质》中阐述，“尽管数学的系谱是悠久而又朦胧的，但是数学思想是起源于经验的.”如此便不谋而合了.
参考文献:
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[2]梅拾璎.唤醒孩子的内驱力[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社,2020.1.
[3]祝元志,牟艳娜．深度融合信息技术,提升小学数学教学魅力[J]．中小学数字化教学，2019(11)．
[4]邓翰香，吴立宝.指向“四个理解”的函数单调性教学设计研究[J]．中学数学教育(下半月高中版)，2020年第12期.