华师大八上13.1.1 直角三角形三边的关系 学案
文档属性
| 名称 | 华师大八上13.1.1 直角三角形三边的关系 学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-04 17:28:45 | ||
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文档简介
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分课时学案
课题 13.1.1 直角三角形三边的关系 单元 13 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过对方格图中直角三角形边长关系的观察、分析，抽象出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的一般规律。 2.经历“观察特殊直角三角形—猜想一般规律—用面积法证明”的过程，掌握勾股定理的证明思路，培养演绎推理和归纳推理能力。 3.能将实际问题（如折叠问题、测量问题）转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决问题，初步形成“实际问题—数学模型—求解验证”的建模思路。
重点 1.勾股定理的探究与证明，理解定理的本质内涵。 2.勾股定理的简单应用，能运用定理求直角三角形的未知边长。
难点 勾股定理的证明过程，尤其是“面积法”的思路构建，即通过割补图形使“大图形面积等于各小图形面积之和”，从而建立边长之间的数量关系。
教学过程
导入新课 你知道 2002 年在北京召开的国际数学家大会(ICM2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会徽. 会徽的原型即是1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系： 那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？
新知讲解 【探究】：勾股定理 如图是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？ 验证猜想 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 观察图片，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到: 正方形P的面积=____cm2 正方形Q的面积=____cm2 正方形R的面积=____cm2. 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________________________. 由此，我们得出Rt△ABC的三边长之间存在的关系是_________________________. 【做一做】作出两条直角边分别为5cm、12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立. 对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？ 观察导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标中的那个像旋转的风车的会徽. 它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图案. 记直角三角形的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c. 于是图中各个部分的面积之间有如下的等式： 化简，可得___________ 总结归纳 由上面的探索与验证，可以发现： 勾股定理： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 拓展提高 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 【例1】在 Rt△ABC中，∠B = 90°， AB = 6， BC =8，求AC的长. 【例2】如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一条直角边BC的长为6cm. 求AC的长. 【例3】如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形. 通过测量，得到AC的长为160m， BC的长为128m. 问：从点A穿过湖到点B有多远？
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则 AC2+ AB2+ BC2的值为( ). A.4 B.6 C.8 D.12 2.如图，公园内一块长方形草坪ABCD，已知 AB =20m，BC=15m，公园管理处为方便群众，沿AC修了一条近道. 一个人从A到C走 A-B-C比直接走AC多走( ) A.5 m B.10 m C.15m D.20m 3.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD =12，AD =16，BC=15，求AC，BD的长. 4.如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在A，B间建一条直水管AB，则水管的长为_______m. 5.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸，计算两圆孔圆心A和B间的距离为_______mm. 6.如图①是我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为( ). A.24 B.36 C.40 D.44 【综合拓展类作业】 7. 一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上. （1）如图①，若梯子的顶端A与地面的距离AC为8m，求梯子的底端B与墙脚C的距离BC; （2）图②，在(1)的条件下，如果梯子的顶端A下滑1m到A’,那么它的底端B到B'滑动的距离是否也为1m？
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC =7时，阴影部分的面积为（ ). A. 12 B.13 C.14 D.15 2.如图，将腰长为2的等腰直角三角形 ABC放置于数轴上，直角边 AB与数轴重合，直角顶点A与-1重合，D为AB的中点，以D为圆心，DC长为半径画弧，交数轴于点E(在D点右侧)，则点E表示的数为___________. 3.如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端距离地面的高度h是( ). A.1.8m B.2m C.2.2m D.2.4m 4.如图，学校有一块直角三角形菜地ABC，∠ABC=90°，BC=12m.为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路. 测量发现，∠ADE = ∠AED，BD=EF=1m， CF =8m，则AE的长为( ). A. 3 m B. 4 m C. 5 m D. 6m 【综合拓展类作业】 5.如图，某校八年级(1)班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为30m； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为50m； ③点B离地面的高度为1.6m. （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想将风筝沿CD方向下降24 m至M点，求他应该往回收线的长度
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课题 13.1.1 直角三角形三边的关系 单元 13 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过对方格图中直角三角形边长关系的观察、分析，抽象出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的一般规律。 2.经历“观察特殊直角三角形—猜想一般规律—用面积法证明”的过程，掌握勾股定理的证明思路，培养演绎推理和归纳推理能力。 3.能将实际问题（如折叠问题、测量问题）转化为直角三角形模型，运用勾股定理解决问题，初步形成“实际问题—数学模型—求解验证”的建模思路。
重点 1.勾股定理的探究与证明，理解定理的本质内涵。 2.勾股定理的简单应用，能运用定理求直角三角形的未知边长。
难点 勾股定理的证明过程，尤其是“面积法”的思路构建，即通过割补图形使“大图形面积等于各小图形面积之和”，从而建立边长之间的数量关系。
教学过程
导入新课 你知道 2002 年在北京召开的国际数学家大会(ICM2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会徽. 会徽的原型即是1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系： 那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢？
新知讲解 【探究】：勾股定理 如图是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？ 验证猜想 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 观察图片，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到: 正方形P的面积=____cm2 正方形Q的面积=____cm2 正方形R的面积=____cm2. 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________________________. 由此，我们得出Rt△ABC的三边长之间存在的关系是_________________________. 【做一做】作出两条直角边分别为5cm、12cm 的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立. 对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？ 观察导入语中所提到的2002年国际数学家大会的会标中的那个像旋转的风车的会徽. 它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成的图案. 记直角三角形的两条直角边长分别为a、b(b>a)，斜边长为c. 于是图中各个部分的面积之间有如下的等式： 化简，可得___________ 总结归纳 由上面的探索与验证，可以发现： 勾股定理： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 拓展提高 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 【例1】在 Rt△ABC中，∠B = 90°， AB = 6， BC =8，求AC的长. 【例2】如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一条直角边BC的长为6cm. 求AC的长. 【例3】如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形. 通过测量，得到AC的长为160m， BC的长为128m. 问：从点A穿过湖到点B有多远？
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，则 AC2+ AB2+ BC2的值为( ). A.4 B.6 C.8 D.12 2.如图，公园内一块长方形草坪ABCD，已知 AB =20m，BC=15m，公园管理处为方便群众，沿AC修了一条近道. 一个人从A到C走 A-B-C比直接走AC多走( ) A.5 m B.10 m C.15m D.20m 3.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，若CD =12，AD =16，BC=15，求AC，BD的长. 4.如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在A，B间建一条直水管AB，则水管的长为_______m. 5.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸，计算两圆孔圆心A和B间的距离为_______mm. 6.如图①是我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为( ). A.24 B.36 C.40 D.44 【综合拓展类作业】 7. 一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上. （1）如图①，若梯子的顶端A与地面的距离AC为8m，求梯子的底端B与墙脚C的距离BC; （2）图②，在(1)的条件下，如果梯子的顶端A下滑1m到A’,那么它的底端B到B'滑动的距离是否也为1m？
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC =7时，阴影部分的面积为（ ). A. 12 B.13 C.14 D.15 2.如图，将腰长为2的等腰直角三角形 ABC放置于数轴上，直角边 AB与数轴重合，直角顶点A与-1重合，D为AB的中点，以D为圆心，DC长为半径画弧，交数轴于点E(在D点右侧)，则点E表示的数为___________. 3.如图，长为2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.5m，则梯子顶端距离地面的高度h是( ). A.1.8m B.2m C.2.2m D.2.4m 4.如图，学校有一块直角三角形菜地ABC，∠ABC=90°，BC=12m.为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路. 测量发现，∠ADE = ∠AED，BD=EF=1m， CF =8m，则AE的长为( ). A. 3 m B. 4 m C. 5 m D. 6m 【综合拓展类作业】 5.如图，某校八年级(1)班的小明和小亮为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为30m； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为50m； ③点B离地面的高度为1.6m. （1）求风筝的垂直高度CE； （2）如果小明想将风筝沿CD方向下降24 m至M点，求他应该往回收线的长度
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