北京市首都师范大学二附中2025-2026学年上学期八年级数学期中试卷(图片版，含答案)

2025 北京首都师大二附中初二（上）期中
数 学
一、选择题（共 30 分，每题 3 分）第 1 - 10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 以下国产新能源电动车的车标图案不是轴对称图形的是（ ）
A. 北汽新能源 B. 长城新能源
C. 东风新能源 D. 江淮新能源
2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A. 3 ， 4 ，8 B. 3 ，4 ，7 C. 5 ，6 ，1 0 D. 5 ， 6 ，1 1
3. 如图， AOB = 40 ， ABD =110 ，则 OAB 的度数为（ ）
A. 75 B. 70 C. 65 D. 60
4. 下列计算正确的是（ ）
3
2
A. (a ) = a6 B. a2 a3 = a 6 3 C. (2 a) = 2 a3 D. a10 a2 = a 5
5. 如图，已知 AB = AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△A BC≌△ ADC 的是（ ）
A. CB =CD B. BCA = DCA
C. BAC = DAC D. B = D = 90
6. 在正方形网格中， AOB 的位置如图所示，到 AOB 两边距离相等的点应是 ( )
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A. M 点 B. N 点 C. P 点 D. Q 点
7. 已知 n10m = 3，10 = 2 ，则10m+n 的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
2
8. 若M = (x + 2)(x + 4) , N = (x +3) ，则 M，N 的大小关系为（ ）
A. M N B. M N C. M N D. 无法确定
9. 如图，在△ABC 中，∠ABC=50°，∠BAC=20°，D 为线段 AB 的垂直平分线与直线 BC 的交点，连结
AD，则∠CAD=（ ）
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°
10. 如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点 P，BE＝BC，PG∥AD 交 BC 于
F，交 AB 于 G，连接 CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP 垂直平分
CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ）
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③
二、填空题（共 24分，每题 3分）
11. 已知 P (a, 2)和Q (1,b)关于 y 轴对称，则 a + b 的值为______．
2
12. 计算： (3a + 2a) a = _____．
13. 等腰三角形的一个角等于 40 ，则它的顶角的度数是_______．
14. 如图，在 ABC 中， ACB = 90 , B = 30 ，CD 是高．若 AD = 2，则 BD = _______．
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15. 如图， AD 是等边三角形 ABC 的中线， AE = AD ，则 EDC = ___．
16. 如图，将三角形 ABC 沿平行于 BC 的直线折叠，折痕为 DE ，点 A 落在点 F 处，若 FEC = 40 ，
则 C 的度数为_____．
17. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠BAC 的平分线，点 E 到 AB 的距离等于 3cm，
则 CF=_________cm.
18. 如图，Rt ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，D 为 BC 上一动点，EF 垂直平分 AD 分别交 AC 于
E、交 AB 于 F，则 BF 的最大值为_________
三、解答题（共 46分，第 19题 6分，第 20-23题每题 5分，第 24题 6分，第 25-26题每题
7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算：
0
（1） ( π) + 28 26 ；
（2） x (x + 4y) 2x 3y ．
20. 已知 2a2 + 3a 4 = 0，求代数式 a (2a + 9)+ (2a +1)(2a 1)的值．
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21. 如图，在△ABC 中，D 是边 AB 上一点，E 是边 AC 的中点，作 CF∥AB 交 DE 的延长线于点 F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求 DB．
22. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知 A(0, 2)关于直线 l 的对称点 A 的坐标为 (2,0)，请直接写出 B (5,3)、C ( 2,5)关于
直线 l 的对称点 B 、C 的坐标： B ______、C ______；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 P (a,b)关于第一、三象限的角平分
线 l 的对称点 P 的坐标为______；
（3）已知两点 D (1, 3)、 E ( 1, 4)，试在直线 l 上确定一点Q ，使点Q 到 D 、 E 两点的距离之和最
小．（不写作法，保留作图痕迹）
23. 如图，在 ABC 中， BD 是高，点 D 是 AC 边的中点，点 E 在 BC 边的延长线上， ED 的延长线交 AB
于点 F，且 EF ⊥ AB ，若 E = 30 ．
（1）求证： ABC 是等边三角形；
（2）请判断线段 AD 与CE 的大小关系，并说明理由．
24. 将四个长为 a，宽为b 的长方形如图 1，拼成如图 2 的“回形”正方形 ABCD和正方形 EFGH ．
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2 2
观察与发现：（1）请你观察图 2 直接写出 (a + b) ， (a b) ， ab 之间的一个等量关系式；
运用与探究：（2）根据（1）的结论，解决下列问题： 2x + y =11， xy = 5，求 2x y 的值；
实践与拓展：（3）将两个正方形 ABCD， EFGH 如图 3 摆放，若两个正方形面积之和为 65， BE = 3，
求图中阴影部分面积和．
25. 如图，在等边三角形 ABC 右侧作射线 CP，∠ACP= （0°< <60°），点 A 关于射线 CP 的对称点为点
D，BD 交 CP 于点 E，连接 AD，AE.
（1）求∠DBC 的大小（用含 的代数式表示）；
（2）在 （0°< <60°）的变化过程中，∠AEB 的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的
范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB 的大小；
（3）用等式表示线段 AE，BD，CE 之间的数量关系，并证明.
26. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 为过点M (m, 0)且与 x轴垂直的直线．对某图形上的点 P(a,b) 作如
下变换：当b m 时，作出点 P 关于直线 l 的对称点 P I(m) b | m |1，称为 变换；当 时，作出点 P 关于 x轴
的对称点 P ，称为Ⅱ(m)2 变换．若某个图形上既有点作了 I(m)变换，又有点作了Ⅱ(m) 变换，我们就称该图
形为m 双变换图形．例如，已知 A(1,3) ， B(2, 1) ，如图 1 所示，当m = 2 时，点 A 应作Ⅰ（2）变换，
变换后 A (3,3) (2,1)1的坐标是 ；点 B 作Ⅱ（2）变换，变换后 B1 的坐标是 ．请解决下面的问题：
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（1）当m = 0时，
①已知点 P 的坐标是 ( 1,1) ，则点 P 作相应变换后的点的坐标是 ；
②若点 P(a,b) 作相应变换后的点的坐标为 ( 1, 2) ，求点 P 的坐标；
（2）已知点C( 1,5)， D( 4,2)，
①若线段CD是m 双变换图形，则m的取值范围是 ；
②已知点 E(m, m) 在第一象限，若 CDE 及其内部（点 E 除外）组成的图形是m 双变换图形，且变换
后所得图形记为G ，直接写出所有图形G 所覆盖的区域的面积．
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参考答案
一、选择题（共 30分，每题 3分）第 1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C C B A B A B B B B
二、填空题（共 24分，每题 3分）
11. 【答案】解： P (a, 2)和Q (1,b)关于 y 轴对称，
a = 1，b = 2
a + b = 1+ 2 =1
故答案为：1．
12. 【答案】解： (3a2 + 2a) a
= 3a2 + 2a a
= 3a2 + a ．
故答案为：3a2 + a ．
13. 【答案】当 40 是底角时，顶角的度数为180 2 40 =100 ；
当 40 是顶角时，顶角度数即为 40 ．
故答案为： 40 或100 ．
14. 【答案】解：∵CD ⊥ AB ，
∴ ADC = 90 = ACB ，
∴ ACD = B = 90 A ，
∵ B = 30 ，
∴ ACD = 30 ，
∴ AC = 2AD = 4，
∴ AB = 2AC = 8，
∴ BD = AB AD = 6．
故答案为：6．
15. 【答案】∵ AD 是等边三角形 ABC 的中线，
∴ 1 DAC = BAC = 30 ， AD ⊥ CD ，
2
∴ ADC = 90 ，
∵ AE = AD ，
∴ 1 ADE = (180 DAC ) = 75 ，
2
∴ EDC = ADC ADE = 90 75 =15 ，
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故答案为：15 ．
16.【答案】解：由折叠的性质可得： FED = AED ，
∵ FEC = FED + AED 180 ， FEC = 40 ，
∴ FED = AED =110 ，
∵ DE∥BC ，
∴ C = AED =110 ，
故答案为：110 ．
17. 【答案】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，AE 是∠BAC 的平分线，
∴CE=点 E 到 AB 的距离=3cm，∠BAE=∠CAE，
∵∠AEC+∠CAE=90°，∠AFD+∠BAE=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFD，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE=3cm．
故答案为 3．
18. 【答案】解：如图，过点 F 作 FH⊥BC，连接 DF，
设 AF=x，则 BF=4－x，
∵EF 垂直平分 AD 分别交 AC 于 E、交 AB 于 F，
∴DF=AF=x，
∵ B = 30 ，
∴ 1 1FH = BF = 2 x，
2 2
∵FD≥FH，
1
∴ x≥2 x ，
2
4
解得： x ，
3
∴ 4AF 最小值是 ，
3
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∴ 4 8BF 的最大值是 4 = ．
3 3
8
故答案为： ．
3
三、解答题（共 46分，第 19题 6分，第 20-23题每题 5分，第 24题 6分，第 25-26题每题
7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 【答案】（1）
0
( π) + 28 26
=1+ 22
=1+ 4
= 5 ；
（2）
x (x + 4y) 2x 3y
= x2 + 4xy 6xy
= x2 2xy ．
20.【答案】解：原式= 2a2 + 9a + 4a2 1
= 6a2 + 9a 1
当 2a2 + 3a 4 = 0 ，即 2a2 + 3a = 4 时，
原式= 3(2a2 +3a) 1= 3 4 1=11．
21. 【答案】解：
（1）证明：∵E 是边 AC 的中点,
∴AE=CE .
又∵CF∥AB,
∴ A = ACF ， ADF = F .
ADF = F ,

在△ADE 与△CFE 中, A = ACF ,

AE = CE,
∴△ADE≌△CFE .
（2）解：∵△ADE≌△CFE ，CF=7,
∴CF=AD=7.
又∵∠B=∠ACB,
∴AB=AC.
∵E 是边 AC 的中点，CE=5,
∴AC=2CE=10.
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∴AB=10.
∴DB=AB - AD=10 - 7=3.
22. 【答案】（1）
解：如下图所示，分别作出点 B 、C 关于直线 l 的对称点 B 、C ，
根据网格可知点 B 的坐标是 (3,5)，点C 的坐标是 (5, 2)，
故答案为： (3,5)， (5, 2)；
（2）
解：由 (1)可知，坐标平面内任一点 P (a,b)关于第一、三象限的角平分线 l 的对称点 P 的坐标为 (b, a)，
故答案为： (b, a)；
（3）
解：如下图所示，作点 D (1, 3)关于直线 l 的对称点 D ( 3,1)，连接 D E ，交直线 l 于点Q ，
由对称可知QD = QD ，
QD +QE = QD +QE ，
当点 D 、Q 、 E 三点共线时，QD +QE = QD +QE 的值最小.
23. 【答案】（1）
证明：∵ BD ⊥ AC ，点 D 是 AC 边的中点，
∴ BD 垂直平分 AC ，
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∴ AB = CB ，
∵ EF ⊥ AB ，
∴ ABC + E = 90 ，
∵ E = 30 ，
∴ ABC = 60 ，
∴ ABC 是等边三角形；
（2）
解： AD = CE ，理由如下：
∵ ABC 是等边三角形，
∴ ACB = 60 ，
∵ ACB = E + CDE ， E = 30 ，
∴ CDE = 30 = E ，
∴CD = CE ，
∵点 D 是 AC 边的中点，
∴ AD = CD ，
∴ AD = CE ．
24. 【答案】解：（1）∵ 大正方形 ABCD的面积为 (a + b)2 ，小正方形 EFGH 的面积为 (a b)2 ，四个长
方形的面积和为 4ab ，大正方形面积 = 小正方形面积 + 四个长方形面积，
∴ (a + b)2 = (a b)2 + 4ab ．
1
（2）设m = 2x ，则m + y =11， my = 5，即my =10．
2
由（1）的结论可得 (m y)2 = (m + y)2 4my ，
∵ m + y =11，my =10，
∴ (m y)2 =112 4 10 =121 40 = 81，
∴ m y = 9 ，即 2x y = 9．
（3）设正方形 ABCD的边长为 x，正方形 EFGH 的边长为 y ，则 x y = 3， x2 + y2 = 65．
由 (x y)2 = x2 2xy + y2 ，
∵ x y = 3， x2 + y2 = 65，
∴ 32 = 65 2xy ，
∴ 2xy = 65 9 = 56 ，即 xy = 28．
2
∴ (x + y) = x2 + y2 + 2xy = 65+ 2 28 =121，
∴ x + y =11或 x + y = 11（舍去），
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1 1 3 3 33
∴阴影部分面积为 x (x y)+ y (x y) = (x + y) = 11= ．
2 2 2 2 2
25. 【答案】解：（1）如图 1，连接 CD，∵点 A 关于射线 CP 的对称点为点 D，∴AC=DC，
∠DCP=∠ACP= ，
∵△ABC 是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，
∴∠BCD= 60 + 2 ，BC=DC，
180 BCD 180 (60 + 2 )
∴∠DBC=∠BDC= = = 60 ；
2 2
（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB=60°.
理由：设 AC、BD 相交于点 H，如图 2，∵点 A 关于射线 CP 的对称点为点 D，
∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE，
∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°，
即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；
（3）AE，BD，CE 之间的数量关系是：BD=2AE+CE.
证明：如图 3，在 BD 上取一点 M，使得 CM=CE，
∵∠BEC=∠BDC+∠DCE= 60 + = 60 ，
∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE，
∴ BCM = BCD MCE DCE = 60 + 2 60 = ，
∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE，
∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE，
∵AE=DE，
∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.
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26. 【答案】（1）
解：① m = 0，1 m ，
( 1,1)相应变换后的点的坐标是 (1,1) ，
故答案为： (1,1) ．
② m = 0， 直线 l 为 y 轴．
若b 0，则 P(a,b) 作 I (0) 变换，变换后的点为 ( a,b)，
a = 1,

b = 2.
a =1,
且符合题意．
b = 2.
P(1, 2) ．
若b 0，则 P(a,b) 作Ⅱ(0)变换，变换后的点为 (a, b) ，
a = 1,

b = 2.
a = 1,
且符合题意．
b = 2.
P( 1, 2)．
综上， P(1, 2)或 P( 1, 2) ．
（2）
解：① 线段CD是m 双变换图形，C( 1,5)， D( 4,2)，
5 m 2 或 2 m 5 ．
故答案为： 5 m 2或 2 m 5 ．
②∵点 E(m, m) 在第一象限，若 CDE 及其内部（点 E 除外）组成的图形是m 双变换图形，
∴ CDE 作 I(m)变换图形所覆盖的区域为四边形 ABMN ，
CDE 作Ⅱ(m)变换图形所覆盖的区域为四边形 EFGH ，
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1
∴G 所覆盖的区域的面积= S + S = (6+12) 3+ 6 3 = 45 四边形ABMN 四边形 ．EFGH
2
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