(共18张PPT)
11．2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
1．三角形的内角和等于________．
2．直角三角形的两锐角________．
3．有两个角互余的三角形是____________．
180°
互余
直角三角形
知识点1：三角形内角和定理
1．下列各组角能够成为同一个三角形的三个内角的是( )
A．95°，80°，5° B．63°，70°，67°
C．34°，36°，50° D．25°，160°，15°
2．在△ABC中，若∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
A
B
3．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝( )
A．360° B．180° C．280° D．320°
4．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，那么∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________.
C
40°
60°
80°
5．在△ABC中，∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，求△ABC各内角的度数．
解：∵∠A＝∠B＋20°，∠C＝∠A＋50°，∴∠C＝∠B＋20°＋50°＝∠B＋70°，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋20°＋∠B＋70°＋∠B＝180°，∴∠B＝30°，∴∠A＝50°，∠C＝100°
知识点2：直角三角形的性质
6．直角三角形一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数是( )
A．70° B．60° C．45° D．30°
7．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
B
8．在△ACB中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A＝________，∠B＝________.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠1＝35°，求∠2，∠B与∠A的度数．
75°
15°
解：∵∠1＋∠2＝∠ACB，∠ACB＝90°，∠1＝35°，∴∠2＝90°－35°＝55°.∵CD是高，∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴∠2＋∠B＝90°，∠1＋∠A＝90°，∴∠B＝90°－55°＝35°，∠A＝90°－35°＝55°
C
D
12．在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，试判断△ABC的形状．
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝∠C.∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形
D
B
15．一块三角形木板的残余部分如图所示，量得∠A＝100°，∠B＝42°，则这块三角形木板另外一个角的度数是________．
16．如图，直线a∥b，则∠BAC＝________，若作BH⊥AC于H，则∠ABH＝________.
第16题图
第15题图
38°
20°
70°
17．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________.
18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝158°，则∠EDF＝________.
第17题图
第18题图
360°
68°
19．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB的度数是________．
85°
20．如图，在△ABC中，D是边AB上的点，已知∠A＝40°，∠B＝30°，∠1∶∠2＝1∶2，试求∠ACB与∠ACD的度数．
解：∵∠1∶∠2＝1∶2，∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝60°，∠2＝120°，∵∠A＝40°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝110°，∴∠ACD＝180°－40°－60°＝80°
21．如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝66°，∠C＝54°.
(1)求∠ADB和∠ADC的度数；
(2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数．
解：(1)∵∠BAC＝180°－∠B－∠C，又∵∠B＝66°，∠C＝54°，∴∠BAC＝180°－66°－54°＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－66°－30°＝84°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝96°
(2)∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，由(1)知∠DAC＝30°，∴∠ADE＝90°－30°＝60°
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC的度数．
解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP.∴∠2＋∠BCP＝70°.∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝110°
23．如图①，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；
(2)如果∠BAC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？
解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2
(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4(对顶角相等)，∴∠1＝∠2(共17张PPT)
11．3 多边形及其内角和
11．3.2 多边形的内角和
1．n边形的内角和等于______________，外角和等于________，n边形每增加一条边，它的内角和就增加________，外角和________．
2．正五边形的内角和是________，它的每一个内角是________，每一个外角是________．
(n－2)·180°
360°
180°
不变
540°
108°
72°
知识点1：多边形的内角和定理
1．一个六边形的内角和等于( )
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(2014·呼伦贝尔)一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是( )
A．七边形 B．六边形
C．五边形 D．四边形
D
C
C
4．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于( )
A．60° B．75° C．90° D．120°
5．四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能( )
A．都是钝角
B．都是锐角
C．是一个锐角、一个钝角
D．是一个锐角、一个直角
C
C
6．求如图所示的图形中x的值．
解：(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50
(2)根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65
(3)根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540.解得x＝115
7．已知两个多边形的内角总和为1800°，且两多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．
解：设两个多边形的边数分别为2n，5n，∴(2n－2)·180°＋(5n－2)·180°＝1800°，解得n＝2.∴这两个多边形的边数分别是4和10
知识点2：多边形的外角和
8．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
9．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
A
A
10．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是( )
A．110° B．108°
C．105° D．100°
11．一个正十二边形的每一个内角等于________，每一个外角等于________．
D
150°
30°
12．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和是多少？
解：设它的一个外角为x°，则与它相邻的内角为(4x＋30)°，∴4x＋30＋x＝180，x＝30，360÷30＝12，∴此多边形为十二边形，∴它的内角和为150×12＝1800°
13．下列角度中能成为多边形内角和的只有( )
A．270° B．360° C．560° D．190°
14．过多边形的一个顶点可以引11条对角线，那么这个多边形的内角和是( )
A．1620° B．1800° C．1980° D．2160°
15．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么这个多边形的一个外角等于( )
A．30° B．36° C．40° D．45°
B
D
C
16．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是( )
A．10 B．11
C．12 D．以上都有可能
17．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝________.
D
720°
18．如图，小亮从点A出发前进10 m，向右转15°，再前进10 m，又向右转15°，…这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了________m.
240
19．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数．
解：设这个外角度数为x°，由题意得：(n－2)×180＋x＝1350.解得x＝1710－180n.∵0＜x＜180，∴0＜1710－180n＜180.解得8.5＜n＜9.5.又∵n为正整数，∴n＝9.故多边形的边数是9
20．四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，试求出∠C的度数；
(2)如图②，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数．
(2)∵BE∥AD，∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°.∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝60°
21．(1)如图①②，试研究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；
(2)如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题：如图，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
解：(1)∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°，∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)，∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4
(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和(共16张PPT)
11．3 多边形及其内角和
11．3.1 多边形
1．在平面内，由一些线段__________________组成的________图形叫做多边形，如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做________．
2．多边形________两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的反向延长线组成的角叫做多边形的________；连接多边形________的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
3．各个角都________，各条边都________的多边形叫做正多边形．
首尾顺次相连
封闭
n边形
相邻
外角
不相邻
相等
相等
知识点1：多边形及其有关概念
1．如图，其中是凸多边形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
2．如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB.其中正确的有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
3．下列标注的角中是五边形ABCDE的外角的是( )
A．∠1
B．∠2
C．∠3
D．∠4
B
C
4．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是( )
A．十三边形 B．十二边形
C．十一边形 D．十边形
5．七边形共有________条对角线．
6．每一个多边形都可以按如图①所示的方法分割成若干个三角形．
根据图①的方法，图②中的七边形能分割成________个三角形，那么n边形能分割成________个三角形．
A
14
5
(n－2)
7．画出如图所示的六边形ABCDEF的所有对角线．
画图略
8．已知过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求(m－k)n的值．
解：过m边形的一个顶点有7条对角线，则m＝10；n边形没有对角线，则n＝3；k边形共有k条对角线，则k＝5.故(m－k)n＝(10－5)×3＝15
知识点2：正多边形
9．一个正多边形的周长是100，边长为10，则正多边形的边数n＝________.
10．下列说法正确的是( )
A．正多边形的各内角、各边都相等
B．各内角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的多边形是正多边形
D．等腰三角形、长方形是正多边形
10
A
11．下列属于正多边形的特征的有( )
①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)个三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
12．如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？
解：小正三角形和正六边形的各边都分别相等，且每个小正三角形与正六边形均有公共边．∴AD＝DK＝KB，又∵AD＋DK＋KB＝12，∴3AD＝12，AD＝4，即剪去的小正三角形的边长为4
13．四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形内角的大小 D．四边形的内角和
14．下列说法中正确的是( )
A．五个角都相等的五边形是正五边形
B．六条边都相等的六边形是正六边形
C．四个角都是直角的四边形是正四边形
D．七个角都相等的七边形不一定是正七边形
C
D
15．一个多边形对角线的条数恰好是边数的3倍，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
16．多边形的对角线条数不可能是下列各数中的( )
A．2 B．4 C．9 D．14
17．一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形．
D
B
解：不一定，如图所示：
18．如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB＝4，则多边形ABCDEFG外围的周长是多少？
解：由题意得CD＝2，DE＝2，EF＝FG＝GA＝1，∴ABCDEFG外围的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GA＝4＋4＋2＋2＋1＋1＋1＝15
19．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边之长．
解：由题意知n＝7，设最小的边为x，则x＋x＋1＋x＋2＋x＋3＋x＋4＋x＋5＋x＋6＝56.解得x＝5.∴各边长为5，6，7，8，9，10，11
20．如图，可以看成是边长为4的小正方形的巧克力糖，请你用尽可能多的不同方法把它分成形状、大小完全相同的四块，要求不把正方形糖块划破．(至少三种方法)
21．有一根长为32 cm的铁丝，请你按下列要求，弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
(1)长为10 cm，宽为6 cm；
(2)长为9 cm，宽为7 cm；
(3)长为8 cm，宽为8 cm.
你会发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100 m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形．
解：(1)60 cm2
(2)63 cm2
(3)64 cm2.其规律为当长与宽相等时，面积最大，所以将总长为100 m的篱笆围成边长为25 m的正方形时面积最大(共16张PPT)
11．2 与三角形有关的角
11．2.2 三角形的外角
1．三角形的一边与另一边的________组成的角叫做三角形的外角．
2．三角形的任一个外角等于与它________的两内角之和．
延长线
不相邻
知识点1：三角形的外角
1．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( )
2．如图，∠BFC是△________和△________的内角，又是△________的外角．
D
GFC
BFC
ABF
知识点2：三角形内外角的数量关系
3．如图，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是( )
A．10° B．20° C．30° D．80°
4．如图，已知AB∥CD，则( )
A．∠1＝∠2＋∠3 B．∠1＝2∠2＋∠3
C．∠1＝2∠2－∠3 D．∠1＝180°－∠2－∠3
第3题图
第4题图
C
A
5．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是( )
A．120° B．135° C．150° D．165°
6．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，则这个三角形的外角不可能是( )
A．115° B．120° C．125° D．135°
第5题图
D
D
7．求出图中的x的值．
解：由图知x＋80＝x＋x＋20.解得x＝60
8．如图，AD平分∠CAE，∠B＝35°，∠DAE＝60°，试求∠ACD的度数．
解：∵AD平分∠CAE，∴∠CAE＝2∠DAE，∵∠DAE＝60°，∴∠CAE＝60°×2＝120°，∴∠BAC＝180°－120°＝60°，∵∠B＝35°，∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝35°＋60°＝95°
9．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．
解：设∠DAC＝x°，则∠1＝(63－x)°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠1＋∠2，∴∠3＝2∠1＝2(63－x)°，∵∠3＝∠4，∴在△ADC中，4(63－x)＋x＝180°，x＝24°，∴∠DAC＝24°
10．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
11．如果三角形的一个外角同与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
C
C
12．如图，AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
13．等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角为( )
A．55° B．70°
C．55°或70° D．以上都不对
第12题图
C
C
14．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的不同的三个外角，则∠1＋∠2＋∠3＝________.
15．如图，∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠DFE的度数为________．
第14题图
第15题图
360°
115°
16．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠E的度数为________．
70°
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的角平分线相交于点D，BD的延长线交AC于E.求∠ADE的度数．
18．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A＝50°，求∠D的度数．
19．如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落到点C′处，试探究∠1，∠2与∠C的关系．
解：∠1＋∠2＝2∠C.理由如下：连接CC′，则由折叠知∠ECF＝∠EC′F，∵∠1＝∠EC′C＋∠ECC′，∠2＝∠FCC′＋∠FC′C(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∴∠1＋∠2＝2∠C(共15张PPT)
11．1 与三角形有关的线段
11．1.1 三角形的边
1．由不在同一条直线上的三条线段________________组成的图形叫做三角形，三角形ABC可记作________，它的边是__________________，三个顶点是______________，三个内角是______________．
2．三角形按边的相等关系可分为____________________和_______________，等边三角形属于特殊的__________，按内角大小可分为______________、______________、______________.
3．三角形的两边之和________第三边，两边之差________第三边．
首尾顺次连接
△ABC
线段AB，BC，CA
点A，B，C
∠A，∠B，∠C
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等腰三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
大于
小于
知识点1：三角形的相关概念
1．如图，以BD为边的三角形是________；以∠DAC为一个内角的三角形是________；△AED的三个内角是________________________．
△ABD
△ADC
∠DAE，∠ADE，∠AED
2．如图，以∠C为内角的三角形共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
B
图中有8个三角形，分别为：△ABE，△ABD，△ABC，△ADE，△ADC，△BEC，△BCD，△DEC
知识点2：三角形的分类
4．根据下列三角形角的特征，写出三角形的名称．
5．下列说法正确的是( )
①等腰三角形是等边三角形；②若三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②③ B．②③
C．①③ D．③
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
D
知识点3：三角形的三边关系
6．以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( )
A．2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，5 cm
C．2 cm，5 cm，10 cm D．8 cm，4 cm，4 cm
7．已知a，b，c是△ABC的三边长，则下列不等式中错误的是( )
A．a－b＞c B．a＋b＞c
C．b－c＜a D．b＋c＞a
A
A
8．(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，该三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．10 C．11 D．12
9．如果将长度为a－2，a＋5和a＋2的三条线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是________．
B
a＞5
10．已知等腰三角形中，一边长为9 cm，另一边长为4 cm.
小伟：“这个三角形的周长为17 cm.”
小宇：“你说的不对，它的周长应该为22 cm.”
你认为谁说的对呢？说说你的理由！
解:小宇对，当4为腰时，4＋4＜9，不能组成三角形
11．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形不可能是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
12．(2014·包头)长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
D
C
13．三角形两边的长分别为3和5，则它的周长l的范围是( )
A．2＜l＜8 B．10＜l＜18
C．10＜l＜16 D．无法确定
14．已知a，b，c是△ABC的三条边，且(a＋b＋c)(a－c)＝0，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．以上答案都不对
C
A
15．△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a－b－c|－|b＋a－c|＝________.
16．△ABC的两边分别为3和8，第三边a为最长边，则a的取值范围是________．
17．等腰三角形的周长为18.
(1)若已知腰长是底边长的2倍，求各边长；
(2)若已知一边长为8，求其他两边长．
2c－2a
8＜a＜11
解：(1)设底边长为x，则腰长为2x，由题意得：x＋2x＋2x＝18，∴x＝3.6，∴各边长为3.6，7.2，7.2
(2)当底边长为8时，腰长为5，当腰长为8时，底边长为2，所以其他两边长为：5，5或8，2
18．已知a，b，c为△ABC三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|a－4|＝2的解．求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
解：由题意知b－2＝0且c－3＝0，∴b＝2，c＝3，又∵|a－4|＝2，∴a＝2或6，当a＝6，b＝2，c＝3时，∵2＋3＜6，∴不能构成三角形，所以应舍去，当a＝2，b＝2，c＝3时，C△ABC＝2＋2＋3＝7，△ABC为等腰三角形
19．已知一个等腰三角形的三边长分别为x，2x－1，5x－3.求这个三角形的周长．
20．小明准备用20 cm，90 cm，100 cm的三根木条钉成三角形架，由于不小心，将100 cm的一根折断了，怎么也钉不成三角形架．问：
(1)小明把最长的木条至少折去了多长？
(2)如果最长的木条折去了40 cm，你能通过截木条的办法，帮助小明钉成一个小三角形架吗？
解：(1)设最长的木条折去x cm，可以钉成三角形架，则90－20＜100－x＜90＋20，解得－10＜x＜30，所以最长木条至少折去30 cm时，钉不成三角形架
解：(2)设将长90 cm的木条截去y cm可以钉成三角形架，则60－20＜90－y＜60＋20得10＜y＜50，因此，将90 cm木条折去一段，使其截去长度在10 cm～50 cm之间(不包括10 cm和50 cm)，就能钉成三角形架(共16张PPT)
11．1 与三角形有关的线段
11．1.2 三角形的高、中线与角平分线
11．1.3 三角形的稳定性
1．从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，________和________之间的线段叫做三角形的高．
2．在三角形中，连接一个顶点和它对边的________的线段，叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的________．
3．三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角____________之间的线段叫做三角形的角平分线．
4．三角形具有________，四边形不具有________，它们各有优点．
顶点
垂足
中点
重心
顶点与交点
稳定性
稳定性
知识点1：三角形的高
1．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的是( )
2．如图，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是________，△BCE中BC边上的高是________，以CF为高的三角形是______________________________．
A
AD
AD
BE
△ABC、△BCF和△AFC
知识点2：三角形的中线
4．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为( )
A．19 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
第3题图
第4题图
ABE
ABC
A
5．三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )
A．形状相同的三角形
B．面积相等的三角形
C．直角三角形
D．周长相等的三角形
B
知识点3：三角形的角平分线
6．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是( )
A．20° B．30° C．45° D．60°
A
D
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACE＝40°，AD，CE是△ABC的角平分线，则∠DAC＝________，∠BCE＝________，∠ACB＝________.
30°
40°
80°
知识点4：三角形的稳定性
9．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是( )
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性
D．两直线平行，内错角相等
C
10．不一定在三角形内部的线段是( )
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上都不对
11．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝60°，那么∠EAC＝( )
A．40° B．30° C．15° D．45°
C
D
12．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条( )
A．0根 B．1根 C．2根 D．3根
13．如图，AD是△ABC中BC边上的中线，E，F分别是AD，BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于________．
第12题图
第13题图
B
48
14．如图，填空：
(1)在△ABC中，BC边上的高是________；
(2)在△AEC中，AE边上的高是________；
(3)在△FEC中，EC边上的高是________；
(4)若AB＝CD＝2 cm，AE＝3 cm，则S△AEC＝______ cm2，CE＝______ cm.
AB
CD
EF
3
3
BE
CF
=
等腰三角形两腰上的高相等
F
E
16．如图，BD是△ABC的中线，△ABD的周长比△BCD的周长多2 cm.若△ABC的周长为18 cm，且AC＝4 cm，求AB和BC的长．
解：由题意有C△ABC＝18 cm，AC＝4 cm，∴AB＋BC＝14 cm①，∵D为AC的中点，∴AD＝DC，∵C△ABD－C△BCD＝2，∴(AB＋BD＋AD)－(BC＋BD＋DC)＝AB－BC＝2 cm②，由①②，得AB＝8 cm，BC＝6 cm
17．如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
DO是∠EDF的角平分线．
证明：∵AD是∠CAB的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.∴∠EDA＝∠FDA.∴DO是∠EDF的角平分线
18．等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长．(提示：本题应分两种情况考虑)
解：设BD为中线，①若AB＋AD＝15，CD＋BC＝6，可得AB＝AC＝10，BC＝1；②若AB＋AD＝6，BC＋CD＝15，可得AB＝AC＝4，BC＝13，∵4＋4＜13，∴不合题意，故腰长为10，底边长为1(共13张PPT)
专题训练 三角形的边与角
一、利用三角形“三边”的关系巧判断
1．若a，b，c为三角形的三边长，化简：|a－b－c|＋|a－c＋b|＋|a＋b＋c|.
解：因为a，b，c是三角形的三边长，由三角形的三边关系，原式＝－(a－b－c)＋(a－c＋b)＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c＋a－c＋b＋a＋b＋c＝a＋3b＋c
2．用一条长为36 cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8 cm的等腰三角形吗？为什么？
解：分两种情况讨论．(1)如果8 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则有x＋x＋8＝36，解得x＝14 (2)如果8 cm长的边为腰，设底边为x cm，则有8＋8＋x＝36，解得x＝20.因为8＋8＜20，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是8 cm的等腰三角形．由以上讨论可知，可以围成底边长是8 cm的等腰三角形
二、三角形中“三线”的运用
3．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的周长为16 cm，BD为中线，且将△ABC分成的两个小三角形周长的差为2 cm，求△ABC各边的长．
4．如图，在△ABC中，O是高AD，BE的交点，若∠C＝75°，求∠AOB的度数．
解：∠AOB＝105°
5．如图，在△ABC中，∠B＝63°，∠C＝51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
解：6°
三、利用内外角的关系求角度
6．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于D，E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．
解：∠BDF＝87°
7．在△ABC中，已知∠A＋∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．
解：∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°
