第23章图形的相似导学案
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文档简介
华东师大版九年级上册“五环四互”教学模式数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第23章
图形的相似
§
23.1.1
成比例线段
第一课时
【学习目标】1.理解相似图形，线段的比以及成比例线段的基本概念.
2.能够通过计算判断四条线段是否成比例，并会求出未知线段.
【学习重难点】灵活理解并运用成比例线段解题
【学法指导】仔细阅读教材48--49页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.具有
的图形称为相似图形.
2.两条线段的长度的比值叫线段的比.
线段a=5㎝
,
b=25cm
，则a:b=
,
若线段a=3m
,
b=10㎝
，则=
，求线段的比时两条线段的长度单位
.
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做
，简称
，此时也称这四条线段____________.其中a、b、c、d叫做组成比例的
，线段a、d叫做比例
，线段b、c叫做比例
，线段
叫做a、b、c第四比例项.
4.比例线段的有序性
如叫做线段a、b、c、d成比例，线段d叫做
的第四比例项；
如果=则叫线段
成比例，线段
叫做
的第四比例项；反之，若a,d,c,b四条线段成比例，则
.
5.若a,b,c,d是成比例线段，且a=2㎝,b=0.6㎝,c=4㎝,则d=
.
6.判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(明确顺序）
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
7.判断下列线段是否是成比例线段：
①a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；②a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
【展示互导】如何判断四条线段是否成比例:
已经明确顺序的四条线段，则分别算出前两条和后两条线段线段的比，再判断即可.
没明确顺序的四条线段，一排：先统一四条线段的长度单位，再按大小顺序排好；
二算：分别计算出前两条线段的比和后两条线段的比，三判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段，反之，这四条线段不成比例.
【质疑互究】
已知三条线段的长分别为1㎝，㎝，2㎝，请你给出一条线段，使得这四条线段成比例.
【检测互评】
1.已知点P是线段AB上一点，且AP=20㎝,PB=O.5m,则AB:PB=
.
2.正方形的对角线与它的边长之比是（
）
A
2:1
B
1:2
C
1:
D
:1
3.已知m、n、p、q是成比例线段，其中m=2cm，n=6cm，q=27cm，则p=_______cm.
4.如果线段d线段a,b,c,的第四比例项，其中a=2㎝,b=4㎝,c=5㎝,则d=
.
5.已知，，c，则,,的第四比例项d为____.
6.下列各组线段的长度成比例的是（
）
A
2cm
,3cm,4cm
,1cm
B
1cm
,2cm
,2cm
,4cm
C
1.5cm
,2.5cm
,4.5cm
,5.5cm
D
1.1cm,
2.2cm,
3.3cm,
4.4cm
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.1.1
成比例线段
第二课时
【学习目标】1.掌握并会推导比例的性质.
2.会用比例的性质进行解题.
【学习重难点】比例性质的灵活运用
【学法指导】仔细阅读教材50页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.比例的基本性质
①
对于四条线段a、b、c、d，如果(比例式），那么（等积式），即两外项之积等于两内相之积).反之，如果，那么.(即比例式与等积式可以互化).
②如果作为比例线段的两个内项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，那么线段b叫做线段
a、
c的比例中项.
③已知2a=3b,则a:b=
.
=,则a:b=
，，则a:b=
2.合比性质
在比例式的两边都加上1,通分后可得
,
两边同时都减去1，通分后可得
.
所以，比例的合比性质：如果，那么.
①已知，则__________
,
__________.
②已知，则_________.__________.
3.等比性质
如果(b+d+f+……+n≠0)，那么.
①若=2，则__________;______________.
②已知则
=
.
【展示互导】1.由乘积式，可以得到
个不同的比例式.
2.比例的基本性质，可以用来检验比例变形是否正确.
已知四条线段满足=，则下列式子中正确的是：（
）
A
a:b=c2:d2
B
a:d=
c:b
C
a:b=(a+c):(b+d)
D
a:b=(a-d):(b-d)
【质疑互究】
已知
，求的值.
【检测互评】
1.已知，则
_________
，_________.
2.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝
.
3．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a=
；
b=
；
c=
.
已知(b+d+f≠0).b+2d-3f≠0，则=_______，=________
5.已知△ABC的三边长a、b、c满足==且a+b+c=12，则这个三角形的面积是
.
6.已知，求的值.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.1.2
平行线分线段成比例
第三课时
【学习目标】1.知道平行线等分线段，平行线分线段成比例定理及其推论的内容.
2.能够用平行线分线段成比例定理及其推论解决问题.
【学习重难点】平行线分线段成比例定理和推论的应用．
【学法指导】仔细阅读教材51--54页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.观察图23.1.2和图23.1.3，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也
，简称平行线等分线段定理.
2.（平行线分线段成比例定理）观察图23.1.4和图23.1.5，三条平行线截直线m得两条线段AD(上）和DB(下），截直线n也得两条线段
（
）和
（
）,这四条线段得比例关系是
.所以，两条直线被一组
所截，所得的
成比例.
如图：KN∥LP∥MQ，
定理中的“对应线段”为便于理解这里给出一些简单的形象化的语言
表示
表示
表示
表示
表示
表示
3.（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如左图：△ABC中，DE∥BC，则
.
如右图：AB∥CD，则
.
=
.
4.
如图：已知AD∥EF∥BC，AE=4，DF=3，FC=6,求BE的长
【展示互导】
利用平行线分线段成比例求线段长度的方法：一般先确定图中的平行线，由此确定线段间的比例关系，结合所求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系，然后带入数据计算。
【质疑互究】
如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N．求证：．
【检测互评】
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=
．
2.已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=1：2：3，若EG=3，则AC=
．
3.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于（ ）
A．
7：11
B．
4：8
C．
4：7
D．
3：7
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.2.
相似图形
第四课时
【学习目标】1.知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.
2.识别两个多边形是否相似的方法.
【学习重难点】相似多边形的性质和判定
【学法指导】仔细阅读教材57—59页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.形状__________（大小
）的平面图形叫相似图形.
2.相似多边形的对应角_________，对应边
.
3.如图，四边形ABCD与A‘B‘C‘D‘是相似的，根据图中的条件，求出未知的x,y及角α。
4.相似多边形的判定：两个边数相等的多边形，如果
，
，则这两个多边形相似.
5.以下五个命题，①所有的正方形都相似，②所有的矩形都相似，③所有的三角形都相似，④所有的等腰直角三角形都相似，⑤所有的正方形都相似.其中正确的命题有
.
6.如图2，DE∥BC，根据图中数据，能判定△ABC与△ADE
相似吗？为什么？
【展示互导】
判断两个边数相同的多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比例，书写时要把对应顶点的字母写在对应的位置上.
【质疑互究】
如图,四边形AEFD与EBCF是相似梯形，AE：EB=2：3，
EF=12cm
求AD、BC的长.
【检测互评】
1.如果多边形ABCDEF与多边形ABCDEF相似，且∠A=68,则∠A=_______.
2.两个相似多边形的最长边分别是10cm
和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm
,则另一个多边形的最短边长为__________.
3.下列所给的条件中，能确定相似的有（
）
（1）两个半径不相等的圆；
（2）所有的正方形；
（3）所有的等腰三角形；
（4）所有的等边三角形；
（5）所有的等腰梯形；
（6）所有的正六边形．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4.做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm,80cm，三角形框架乙的一边长为20cm,符合条件的三角形框架共有（
）种.
A:
1
B:
2
C:
3
D:
4
5.如图所示的相似四边形中，求未知边x,y的长度和角ａ的大小.
6.如图，一个矩形ABCD的长AD=
6
cm，宽AB=
4
cm，E、F分别是AD、BC的中点，
连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似吗？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.1
相似三角形
第五课时
【学习目标】1.知道相似三角形的概念及表示方法；
2.会根据概念判断两个三角形相似.
3.能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长.
【学习重难点】相似三角形的判定定理的预备定理.
【学法指导】仔细阅读教材61--63页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.在相似多边形中，最为简单的就是________________________.相似用符号“___________”来表示，读作“___________．如图23．3．1所示的两个三角形中，
∠__＝∠__，
∠__＝∠___，
∠___＝∠____，．即△ABC与△A′B′C′相似，记作__________________，读作____________________________.
在书写两个三角形相似时，和全等一样，要求对应的顶点应写在
.
3.如果＝k，那么这个比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比，而△A′B′C′与△ABC的相似比就为
.
当k=
时，这两个三角形全等.
故全等三角形是相似三角形的特例.
4.预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与
相似
.
如图1中，DE∥BC，则△ADE∽
,=
=
.
如右图，AB∥DE,则△ABC∽
,=
=
.
5.如图4，△ABC与△ACD都是直角三角形，∠ACB=∠ADC=90°，
已知△ABC∽△ACD,AB=20,BC=12,
求AD的长.
【展示互导】
在寻找由平行线构造的相似三角形中的对应线段时，一般从“A”型或“X”型中寻找得出对应线段.
【质疑互究】
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE与△DEF相似，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
【检测互评】
1.全等三角形是相似比为__________的相似三角形.
2.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3,B′C′=1.8,那么△A′B′C与△ABC的相似比为
.
3.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于
________
4.如图1，△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中共有相似三角形_______对.
5.如图2，直线AB与CD相交于点O，连接AC、BD，AC∥BD；
已知AC=4,BD=8,AB=9；则BO的长是______
6.如图3，△ABC中，DE
∥BC，则
A、
B、
C、
D、
7.点E是平行四边形ABCD的边AD上的点，F是对角线BD上的点，EF∥AB；DC=15,CB=12,DE=3；求EF的长.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第六课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（1）.
2.能运用相似三角形判定定理（1）解决角或边的计算、证明问题.
【学习重难点】相似三角形判定定理（1）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材64—66页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.全等三角形的判定方法有
，
，
，
，对于直角
三角形
还有
.
相似三角形的判定方法：
①
定义法
如果两个三角形三个角
，三条边
,那么
这两个
三角形相似.
②
相似三角形的判定定理（1）：如果两个三角形有两个角
,那么
这两个三角形相似.
简称为“两角
，两三角形相似”。（推理过程见教材65-66页）
能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
.
图24.3.3
③几何语言：如上图，在三角形△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A=∠A′,∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.两个直角三角形，若有
对应相等，则它们一定相似.
4如上右图，D,E分别是△ABC中AB,AC边上的点，请添一个条件
使得△ABC和△ADE相似.
5.如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D．（1）求证：△ABC∽△ADE.
（2）如果AB=2AD，BC=4，求DE的长。
【展示互导】判定定理（1）是两个三角形相似最常用的方法，运用这种方法时，应特别
注意公共角，对顶角，同角的补（余）角相等等知识。
【质疑互究】
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
(1)与∠A相等的角有
,
与∠B相等的角有
.
（2）请指出图中所有的相似三角形；并选择一组进行证明.
（3）求证：CD2=AD DB
（4）写出其他类似（3)的结论.
归纳：直角三角形被
分成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
【检测互评】1.判断题.
（1）有一对角相等的三角形一定相似.
（
）
（2）有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.（
）
（3）有一个角等于100°的两个等腰三角形相似.（
）
（4）有一个角等于30°的两个等腰三角形相似.
（
）
（5）有一对角相等的两个等腰三角形一定相似.（
）
2.如图，点D,E分别在△ABC中A,CBC边上,
如果∠1=∠2，则
∽
.
如果∠1=∠B，则
∽
.
在△ABC中，∠ACB=90度，CD┴AB于点D,CD=2,
BD=4,则AD=
,AC=
4.如图2，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P作
直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的
直线共有_______条.
A、1
B、2
C、3
D、4
5.如图4,点E、C分别在AB、AD上，BC与DE相交于点O，如果BC┴AD，DE┴AB,则图中有几对相似三角形？分别写出来.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第七课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（2）；
2.能根据条件，灵活运用相似三角形判定定理（2）解决角，边以及
比例式，乘积式的计算，证明问题.
【学习重难点】相似三角形的判定定理（2）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材67—69页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1．已经学习过的判断两个三角形相似的方法：
①定义法：对应边_________，____________相等的两个三角形______________.
②
判定定理（1）如果一个三角形的
分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形
.简称为两角对应
，两三角形相似.
2.相似三角形的判定定理（2）
.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
，且
，那么这两个三角形
.简单地说；
且
，两三角形相似.（定理证明过程详见教材68页）
图24.3.3
几何语言：如上图，在三角形△ABC和△A′B′C′中，
∵，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？说明理由。（注意结合教材69页例4的解题过程）
4.如图，点D,E分别在△ABC的边AB、AC上,AD AB=AE AC,
求证：△ADE∽△ACB.
【展示互导】当题目中给出两条边的长度时，通常考虑判定定理（2），也要注意公共角，对顶角等隐含条件，特别注意相等的角是对应成比例的两条边的夹角.
【质疑互究】在△ABC中，BD、CE分别是AC与AB边上的高，
求证：①△AEC∽△ADB
②△ADE∽△ABC
③如果∠A=60度，求证：BC=2DE．
【检测互评】
1．在△ABC与△A B C中，AB:AC=
A B :
A C ,
∠B
=∠B ,则这两个三角形
A
相似且不全等
B
全等或相似
C
不一定相似
D
一定不相似
2.如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.如图，AB AD=AC AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE。
4.△AOB∽△DOC,点E、F分别是OB、OC的中点，求证：△AOE∽△DOF.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第八课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（3）.
2.能根据条件，灵活运用相似三角形判定定理解决角、边以及
比例式、乘积式的计算、证明问题.
【学习重难点】相似三角形的判定定理（3）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材69—70页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.已经学习过的判断两个三角形相似的方法：
①定义法：对应边_________，____________相等的两个三角形______________.（不常用）
②判定定理（1）：如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______。简称为两角对应
，两三角形相似.
③判定定理（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
，
并且_______，那么这两个三角形______
.简单地说；_____________且
，
两三角形相似.
2.相似三角形的判定定理（3）：如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边________________，那么这两个三角形_________，简单的说：________________________，两三角形相似。完成此定理的证明过程.
已知：在△ABC与△A′B′C′中，
，
求证：△ABC∽△A′B′C′。
证明：在AB上取AD=A′B′,在AC上取AE=A′C′,连接DE.
几何语言：几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，
∵
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.在△ABC和△DEF中，AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm;
DE=6cm,EF=8cm,DF=10cm..
求证：△ABC与△DEF相似.
4.如图4，△ABC中，∠B=48°，∠ADC=77°；.
求∠C的度数.
【展示互导】当题目中出现三角形三边的长时，一般考虑此判定定理，通过计算对应三边的比值是否相等，来判断相似。
【质疑互究】
如图6，E是△ABC外一点，D在
BE上；且∠BAD=20°，
；求∠EBC的度数.
【检测互评】
1.(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或
___________=____________时，△
AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽
.
△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，
因此△ABC∽_________∽_____________．
3.点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；
(2)若∠2=∠B，则__________∽___________
4.已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°.求证：△PAQ∽△BPR．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.3相似三角形的性质
第九课时
【学习目标】1.知道相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应中线、角平分
线、高的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
2.灵活运用相似三角形的性质解决实际问题.
【学习重难点】相似三角形的性质及应用.
【学法指导】仔细阅读教材71—72页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似三角形的对应角
，对应边
.
2.相似三角形的对应边的比值称为
.
3.相似三角形对应边上高的比等于_________，
相似三角形对应边上的中线的比等于
;
相似三角形对应角的角平分线的比等于
;
相似三角形的周长比等于
;
4.相似三角形的面积比等于____________________.
5.两个相似三角形对应边的比为1:3，那么相似比为_____，对应边上高的比为
，对应边上的中线的比等于______；对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
6.两个相似三角形的面积之比为2:1，则它们的周长之比为
.
7.已知△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'=16：9，若AB=2，则A'B'=________
8.如上图，D、E分别是AB,AC的中点，并且DE∥BC,则△ADE与△ABC
的面积的比为
，△ADE与四边形BDEC的面积的比为
。
【展示互导】在运用相似三角形的性质时，1.要注意“对应”两字，应找准对应线段，同时注意相似比是有顺序的.2.把一般的线段之比转化为对应边之比.
【质疑互究】如图，在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AM=8cm，求矩形的各边长．
【检测互评】1.△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么
△ABC的面积为
.
如果两个相似三角形的相似比是3：5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为
cm.
梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，△AOD与△BOC的面积比等于1:9.则=
,，△AOB与△BOC的面积之比为
4.在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．
3：4
B．
9：16
C．
9：1
D．
3：1
5.在△ABC中，DE∥BC,AH┴BC,于点H,，且AD=5，BD=10，AG=3，求HG的长．
6.有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.4相似三角形的应用
第十课时
【学习目标】1.能够应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度.
2.
能够将实际问题转化为数学问题.
【学习重难点】利用相似三角形的性质解决实际问题.
【学法指导】仔细阅读教材72—73页中的例6，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似三角形的对应角
，对应边
.
2.常见的相似三角形的判定方法：
判定定理1
.
判定定理2
.
判定定理3
.
3.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
4.小玉用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图所示，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，且已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小玉计算出教学大楼的高度AB是多少米？
【展示互导】常见的测量物体高度的方法有：利用同一时刻阳光下的影子，，利用镜子反射.
【质疑互究】★
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
【检测互评】
1.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为
(
)
A.7.5米
B.8米
C.14.7米
D.15.75米
2.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是
（
）
A.变长
B.变短
C.先变长后变短
D.先变短后变长
3.如下图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度为
．
4.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
5.龙龙和泉泉两人来到了一座古塔前，龙龙站在古塔前从一小块积水处看到塔顶的倒影,这时泉泉测得积水处C距龙龙CE为2米，龙龙的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§24.3.4相似三角形的应用
第十一课时
【学习目标】1.能够应用相似三角形的有关性质，测量简单的河流的高宽度；
2.
能够将实际问题转化为数学问题.
【学习重难点】能够运用三角形相似的知识，把实际问题抽象为数学问题，
解决不能直接测量物体的度宽问题.
【学法指导】仔细阅读教材72—73页中的例7，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
【展示互导】
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE
=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗
【质疑互究】
小明和小亮两人来到一条河边准备估算河的宽度，她们发现一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小明站在离南岸边一定距离的地方看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，她们测量了一个数据就能估算河宽，你知道她们是怎么做的吗？
【检测互评】
1.如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,则河宽DE为
(
).
(A).5m
(B).4m
(c).6m
(D).8m
2.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，
AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为
.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§24.3.4相似三角形的应用
第十二课时
【学习目标】利用比例的性质和相似三角形的性质证明比例式或等积式.
【学习重难点】通过构建相似三角形或转换等量关系，证明比例式或等积式.
【学法指导】仔细阅读教材74页例8，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.比例的基本性质：如果(比例式），那么
（乘积式），
反之，如果，那么
.即比例式与乘积式可以互化.
2.四条线段能直接构成两个相似三角形.
如图,在平行四边形ABCD中,
E是AD上的一点。求证：AE·OB=OE·CB
3.四条线段不能直接构成两个三角形
已知，如图，F为平行四边形
ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明AE2=EG·EF
【展示互导】
证明等积式，通常通过证明三角形相似，对应边成比例得到。所以证明等积式，关键要找证明哪两个三角形相似，找相似的三角形的方法是“三点定形法”，通过对比例式“横看”或“竖看”所得出的两组”三个不同点”确定两个三角形.
【质疑互究】
D是AC上一点，BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于F、G,且∠CAE=∠DBC,求证：BF2=FG·EF
【检测互评】
1.如图，已知，说明：·
2.如图，DE
⊥AB于点E，BC
⊥AD于点C，试说明：
3.在⊿ABC中,AB=AC,
∠DAE=∠B,求证：AB2=CD·BE
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.4中位线
第十三课
【学习目标】1.知道三角形中位线的概念.
2.经历三角形中位线的性质定理的形成过程，掌握定理，并能熟练利用它们
解决简单的问题.
3.知道三角形的重心的概念和重心的性质.
【学习重难点】三角形中位线定理的证明及应用
【学法指导】仔细阅读教材77—79页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.中线：连接三角形一条边的
与所对的顶点的线段，
叫三角形的
.
2.中位线：我们把连结三角形两边
的线段叫做三角形的_____________，
每个三角形都有
条中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线
第三边，并且
等于
.（证明过程详见教材77页）
几何语言：如图：△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC．（
）
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是
DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的_________，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____.
如上中图：△ABC的三条中线相交于点O，则=
.
=
.
6.
三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
7.梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF
并延长并BC延长线于点G．求证：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
归纳：梯形的中位线平行于
,并且等于
.
【展示互导】
中位线定理体现了中位线与第三边的位置关系和数量关系，在运用时可选择使用，
重心定理中线被重心所分得的两条线段，长线段（重心与顶点）是短线段（重心与对边
中点）的2倍.
【质疑互究】
1.三角形的三条中位线将原三角形分得的4个小三角形
.
三角形的三条中位线组成的三角形的面积是原三角形面积的
.
三角形的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形周长的
.
2.顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为原四边形的“中点四边形”.
①任意四边形的中点四边形是
.②矩形的中点四边形是
.
③菱形各边中点四边形是
.
④正方形中点四边形是
.
归纳：中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的关系.
⑤若中点四边形是矩形，则原四边形的对角线
.
⑥若中点四边形是菱形，则原四边形的对角线
.
⑦若中点四边形是正方形，则原四边形的对角线
.
【检测互评】
已知三角形的三条中位线分别为5厘米、8厘米、7厘米，则这个三角形的
周长为
.
2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG的长为
3.如下图，已知在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，则BF与DE的关系是（
）.
A.相等
B。互相垂直
C.垂直平分
D.互相平分
4.如右上图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，O在AD上，且为△ABC的重心，EF过点O平行于AC,则DF与BC的数量关系是（
）.
A.
B.
C.
D.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
专题
相似三角形中的辅助线(选用）
第十四课时
【学习目标】1.提高相似三角形的性质和判定的综合运用.
2.掌握相似三角形中常见的辅助线的作法.
【学习重难点】通过做平行线构造相似.
【自学互助】1.两条直线被一组
所截，所得的
成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段
．
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形
.
△ABC中，D为BC上一点，BD:DC=3:1，G为AD的中点，BG交AC于E点.
求EG:GB的值。
【展示互导】
已知,如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AB=3DC,F是对角线的中点,BE交AD于F点.求AF:FD的值.
【质疑互究】
△ABC中，AB＜AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE、BC的延长线相交于点F，证明：AB DF=AC EF．
【检测互评】
1.如图,△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的点,BD:DC=1:3,AE:AC=1:4.求AF:FD的值.
2.ɑABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.5
位似图形
第十五课
【学习目标】1.知道位似图形，位似中心的定义、性质，能按要求放大或缩小一个图形；
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形.
【学习重难点】运用位似变化放大或缩小一个图形.
【学法指导】仔细阅读教材80—81页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似与
、
、
一样，
也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形
或
，
保持
不变．
2.位似的有关概念：两个相似多边形的对应点的连线相交于
，像这样的相似叫做
，这两个图形叫
，这个交点叫做
.
放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种_______关系．利用位似的方法，可以把一个多边形
或
．
3.画五边形ABCDE的相似形，以点O为位似中心，使它与原图的相似比为1∶2，
（1）使两个图形在点O同侧；
（2）使两个图形在点O的两侧.
4.画出所给图中的位似中心．
【展示互导】
画位似图形的步骤：
1.确定位似中心.位似图形的位似中心可以在两个位似图形的内部，也可以在两个位似图形的外部或在图形的顶点处（或边上).
以图形各顶点与位似中心作射线,并按照相似比取点.
顺次连接各点，得到的图形就是所求的图形.
【质疑互究】
已知形如木屋架的五边形ABCDE，点O在BC上，以O点为位似中心把五边形ABCDE缩小到原来的1∶2。
【检测互评】
1.下列命题正确的是（
）
A.全等图形一定是位似图形
B.相似图形一定是位似图形
C.相似图.形一定是全等图形
D.位似图形是具有某种特殊位置的相似图形
2.由位似变换得到的图形与原图形是（
）
A．全等
B．相似
C．不一定相似
D．肯定不全等
3.将△DEF按照如下方法作图，任取一点P，连接PD,PE,PF,并取它们的中点A,B,C,连接AC,BC,AB,下列说法正确的是
.
①△DEF
与
△ABC是位似图形，②△DEF
与
△ABC是相似图形；
③△DEF
与
△ABC的周长之比是2:1，④△DEF
与
△ABC的面积之比是4:1.
4.任意画一个五边形，再把它放大到原来的1.5倍．（选两个不同的点做位似中心画）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.6.1
用坐标确定位置
第十六课时
【学习目标】1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，
描述物体的位置.
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置.
【学习重难点】用建立恰当的直角坐标和方位坐标确定物体的位置.
【学法指导】仔细阅读教材84—87页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
确定物体的位置用一对 .
平面上画两条____________具有
的数轴，就组成了_____________________；坐标平面上的点用____________来描述它的位置.（完成教材85页试一试）
2．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角
坐标系，用点的坐标来表示各点的位置.
A:_______________B:________________
C:________________D:________________
3.地球仪上是通过
，
来确定位置的.
4.右图是国际象棋的棋盘，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示.E2在什么位置 A、B、C的位置分别描述为
，
，
.
5.用角度（方向）和距离确定点的位置
选择一个观测点，按照“上北，下南，左西，右东”建立方位坐标系，，再由已知的角度确定被观测点所在的方向，由距离确定其点的位置，这种方法在军事和地理中经常用到。方向角是以南北方向为准向两边偏，即“北偏东××度”，“北偏西××度”，“南偏东××度”，“南偏西××度”。方向角的取值范围是“0≤≤90”。常说的东北方向是指
（完成教材86页做一做）
【展示互导】
1.注意平面直角坐标系中，点的坐标的有序性.
2.原点的位置不同则某地的坐标也会不同，选择的单位长度不同，某地的坐标也会不同.
【质疑互究】
李亮家在学校北偏东60°距学校1000米的A处，张明家在学校北偏西30°距学校2000米的B处，王强家在学校的西南方向距学校2500米的C处，请你绘制一张表示这三个同学的家及学校位置的简图.
【检测互评】
1.已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
（第1题）
2.对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.6.2
图形的变换与坐标
第十七课时
【学习目标】1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、相似的变
换之后，点的坐标相应发生变化.
2．探索图形在平移、轴对称、相似的变换，它们点的坐标的变化规律.
【学习重难点】运用图形坐标变化与图形变换规律解题.
【学法指导】仔细阅读教材88—92页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.我们知道，图形变换包括：__________、_________、_________、_________
.
2.在平面直角坐标系中关于x轴对称的两个点的坐标特征为
；
关于y轴对称的两个点的坐标特征为
；
关于原点对称的两个点的坐标特征为
.
3.点A（3，－2）关于
x
轴对称的点是_________，点A（3，4）关于
y
轴对称的点是__________，
P（2，3）关于原点对称的点是____________.
4.图形的平移：
左右平移
向右平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
向左平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
上下平移
向上平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
向下平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
归纳：图形沿着X轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标
，横坐标
右
左
.
图形沿着Y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标
，纵坐标
上
下
.
5.在平面直角坐标系中A(2,3);
B(7,4);C(8,5)将△ABC先向左平移1个单位，再向上平移3个单位长度得△ABC，直接写出△ABC各顶点的坐标；
【展示互导】图形位似变换后对应点的坐标变化取决于位似中心的位置及位似比的大小.
【质疑互究】
将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出变化后三个顶点的坐标。
①沿y轴向上平移2个单位；
② 关于y轴对称；
③ 以点B为位似中心，放大到2倍。
【检测互评】
1、已知△ABC各顶点的坐标为A（2,1），
B（0,3），C（4,0）
（1）把△ABC向上平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
____
（2）把△ABC向右平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
___
（3）把△ABC先向下平移一个单位，再向左平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为
.
关于X轴对称的三角形三个顶点坐标为
关于原点对称的三角形三个顶点坐标为
2.如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为
.
3将点A
(3
,
l)绕原点O按顺时针方向旋转90°到点B，则点B的坐标是
.
若若已知点M(-1,0),点N(0,1)，则直线MN与y轴对称的直线解析式是__________,与x轴对称的直线解析式是__________,关于原点成中心对称的直线的解析式是：
将直线MN向右平移1个单位，然后向下平移一个单位，所得到的直线的解析式是：
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
回顾与思考
第十八、十九课时(2课时）
【学习目标】1．能理清本章的知识及其联系，填出知识结构图.
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，
提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识.
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也
发生变化，让学生体会到数与形之间的关系.
【学习重难点】相似三角形的判定和性质的运用
【学法指导】仔细阅读教材94页本章知识结构，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】知识系统：
三个概念：①成比例线段：线段a,b,c,d,满足
，
则称线段a,b,c,d是成比例的线段.
②三角形的中位线：连结三角形两边
的线段叫做三角形
的______________，每个三角形都有
条中位线.
③三角形的重心：三角形三条边上的
交于一点，这个点就是三角形的
.
五个性质：①比例的性质：
基本性质：如果(比例式），那么（乘积式），
反之，如果，那么。
合比性质：如果
那么
等比性质:如果(b+d+f+……+n≠0)，那么，
②平行线分线段成比例的基本事实及其推论：
两条直线被一组
所截，所得得
成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
③相似三角形的性质：
相似三角形的对应角
，对应边
.
相似三角形对应边上高的比，
对应边上的中线的比，对应角的角平分线的比都等于
相似三角形的周长之比等于______。面积之比等于____________________.
④相似多边形的性质：
相似多边形的对应角
，对应边
.
⑤三角形中位线的性质：
三角形的中位线
第三边，并且等于
,
一个判定：相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的两个三角形相似.
②两角
，两三角形相似.
③两边
，且
，两三角形相似.
④三边
，两三角形相似.
一个应用：相似三角形的应用
应用相似三角形可以物体的高度，河流的宽度，以及证明比例式和等积式.
一个作图：作一个图形的位似图形.
【展示互导】小组内和全班展示以上内容
【质疑互究】
本章常用的数学思想方法：
方程的思想：在本章有关推理，求值问题中，常常用对应边成比例，周长之比等于相似比等来建立方程求解.
例1.
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长.
分类的思想：相似三角形的对应边，对应角或其他条件不确定时，需要进行分类.
例2
一个钢筋三角架边长分别是20㎝，50㎝，60㎝，现要做一个与它相似的三角架，而只有30㎝和50㎝的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作另两边，共有几种截法？余料最少的截法截出的三角架三边长分别是多少？
转化思想：在证明有关比例式和等积式的问题时，要适当将其进行等价转化.
例
3
已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF//BC，DE交CB延长线于M，
AF交BC延长线于N，求证：MC＝BN
【检测互评】
1.已知求m的值。
2.如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．求证：．
3.（选用）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
4.如图5，AC⊥BD,垂足为C,过D作DF⊥AB，垂足为F，交AC于E,求证：EDBF=BDCE.
5.如图6，四边形ABCD是平行四边形，E是DC延长线上的一点，AE交BD于G，交BC于F，求证：AG2=FGGE
6.
如图已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
7.如图所示，在△ABC中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点.求证：四边形DEFG为平行四边形.
8.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
L
K
M
N
P
Q
C
B
B
A
C
D
E
A
D
E
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
2
1
A
B
C
D
E
A
D
C
E
B
A
D
E
B
C
M
A
B
C
D
E
N
M
D
B
A
P
C
E
B
C
A
D
A
B
D
C
E
A
B
C
F
G
E
D
A
D
C
B
E
F
A
B
C
D
E
F
O
A
C
D
E
G
C
D
A
B
E
F
B
A
C
D
E
F
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第23章
图形的相似
§
23.1.1
成比例线段
第一课时
【学习目标】1.理解相似图形，线段的比以及成比例线段的基本概念.
2.能够通过计算判断四条线段是否成比例，并会求出未知线段.
【学习重难点】灵活理解并运用成比例线段解题
【学法指导】仔细阅读教材48--49页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.具有
的图形称为相似图形.
2.两条线段的长度的比值叫线段的比.
线段a=5㎝
,
b=25cm
，则a:b=
,
若线段a=3m
,
b=10㎝
，则=
，求线段的比时两条线段的长度单位
.
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比，如（或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做
，简称
，此时也称这四条线段____________.其中a、b、c、d叫做组成比例的
，线段a、d叫做比例
，线段b、c叫做比例
，线段
叫做a、b、c第四比例项.
4.比例线段的有序性
如叫做线段a、b、c、d成比例，线段d叫做
的第四比例项；
如果=则叫线段
成比例，线段
叫做
的第四比例项；反之，若a,d,c,b四条线段成比例，则
.
5.若a,b,c,d是成比例线段，且a=2㎝,b=0.6㎝,c=4㎝,则d=
.
6.判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(明确顺序）
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．
7.判断下列线段是否是成比例线段：
①a＝2cm，b＝4cm，c＝3m，d＝6m；②a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝2.4．
【展示互导】如何判断四条线段是否成比例:
已经明确顺序的四条线段，则分别算出前两条和后两条线段线段的比，再判断即可.
没明确顺序的四条线段，一排：先统一四条线段的长度单位，再按大小顺序排好；
二算：分别计算出前两条线段的比和后两条线段的比，三判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段，反之，这四条线段不成比例.
【质疑互究】
已知三条线段的长分别为1㎝，㎝，2㎝，请你给出一条线段，使得这四条线段成比例.
【检测互评】
1.已知点P是线段AB上一点，且AP=20㎝,PB=O.5m,则AB:PB=
.
2.正方形的对角线与它的边长之比是（
）
A
2:1
B
1:2
C
1:
D
:1
3.已知m、n、p、q是成比例线段，其中m=2cm，n=6cm，q=27cm，则p=_______cm.
4.如果线段d线段a,b,c,的第四比例项，其中a=2㎝,b=4㎝,c=5㎝,则d=
.
5.已知，，c，则,,的第四比例项d为____.
6.下列各组线段的长度成比例的是（
）
A
2cm
,3cm,4cm
,1cm
B
1cm
,2cm
,2cm
,4cm
C
1.5cm
,2.5cm
,4.5cm
,5.5cm
D
1.1cm,
2.2cm,
3.3cm,
4.4cm
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.1.1
成比例线段
第二课时
【学习目标】1.掌握并会推导比例的性质.
2.会用比例的性质进行解题.
【学习重难点】比例性质的灵活运用
【学法指导】仔细阅读教材50页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.比例的基本性质
①
对于四条线段a、b、c、d，如果(比例式），那么（等积式），即两外项之积等于两内相之积).反之，如果，那么.(即比例式与等积式可以互化).
②如果作为比例线段的两个内项是两条相同的线段，即a：b＝b：c，那么线段b叫做线段
a、
c的比例中项.
③已知2a=3b,则a:b=
.
=,则a:b=
，，则a:b=
2.合比性质
在比例式的两边都加上1,通分后可得
,
两边同时都减去1，通分后可得
.
所以，比例的合比性质：如果，那么.
①已知，则__________
,
__________.
②已知，则_________.__________.
3.等比性质
如果(b+d+f+……+n≠0)，那么.
①若=2，则__________;______________.
②已知则
=
.
【展示互导】1.由乘积式，可以得到
个不同的比例式.
2.比例的基本性质，可以用来检验比例变形是否正确.
已知四条线段满足=，则下列式子中正确的是：（
）
A
a:b=c2:d2
B
a:d=
c:b
C
a:b=(a+c):(b+d)
D
a:b=(a-d):(b-d)
【质疑互究】
已知
，求的值.
【检测互评】
1.已知，则
_________
，_________.
2.若(x+y)∶y＝8∶3，则x∶y＝
.
3．若x是a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若线段x是线段a、b的比例中项，且a＝3，b＝27，则x＝
；
若a:b:c=2:3:7,且a＋b＋c=36,则a=
；
b=
；
c=
.
已知(b+d+f≠0).b+2d-3f≠0，则=_______，=________
5.已知△ABC的三边长a、b、c满足==且a+b+c=12，则这个三角形的面积是
.
6.已知，求的值.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.1.2
平行线分线段成比例
第三课时
【学习目标】1.知道平行线等分线段，平行线分线段成比例定理及其推论的内容.
2.能够用平行线分线段成比例定理及其推论解决问题.
【学习重难点】平行线分线段成比例定理和推论的应用．
【学法指导】仔细阅读教材51--54页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.观察图23.1.2和图23.1.3，如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也
，简称平行线等分线段定理.
2.（平行线分线段成比例定理）观察图23.1.4和图23.1.5，三条平行线截直线m得两条线段AD(上）和DB(下），截直线n也得两条线段
（
）和
（
）,这四条线段得比例关系是
.所以，两条直线被一组
所截，所得的
成比例.
如图：KN∥LP∥MQ，
定理中的“对应线段”为便于理解这里给出一些简单的形象化的语言
表示
表示
表示
表示
表示
表示
3.（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
如左图：△ABC中，DE∥BC，则
.
如右图：AB∥CD，则
.
=
.
4.
如图：已知AD∥EF∥BC，AE=4，DF=3，FC=6,求BE的长
【展示互导】
利用平行线分线段成比例求线段长度的方法：一般先确定图中的平行线，由此确定线段间的比例关系，结合所求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系，然后带入数据计算。
【质疑互究】
如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM，交AB于点D，交CA的延长线于点E，交BC于点N．求证：．
【检测互评】
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=3，BD=4，AE=2，那么AC=
．
2.已知，如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB=1：2：3，若EG=3，则AC=
．
3.如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=4：7，那么CF：CB等于（ ）
A．
7：11
B．
4：8
C．
4：7
D．
3：7
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.2.
相似图形
第四课时
【学习目标】1.知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.
2.识别两个多边形是否相似的方法.
【学习重难点】相似多边形的性质和判定
【学法指导】仔细阅读教材57—59页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.形状__________（大小
）的平面图形叫相似图形.
2.相似多边形的对应角_________，对应边
.
3.如图，四边形ABCD与A‘B‘C‘D‘是相似的，根据图中的条件，求出未知的x,y及角α。
4.相似多边形的判定：两个边数相等的多边形，如果
，
，则这两个多边形相似.
5.以下五个命题，①所有的正方形都相似，②所有的矩形都相似，③所有的三角形都相似，④所有的等腰直角三角形都相似，⑤所有的正方形都相似.其中正确的命题有
.
6.如图2，DE∥BC，根据图中数据，能判定△ABC与△ADE
相似吗？为什么？
【展示互导】
判断两个边数相同的多边形相似时，一要看各个角是否对应相等，二要看各条边是否对应成比例，书写时要把对应顶点的字母写在对应的位置上.
【质疑互究】
如图,四边形AEFD与EBCF是相似梯形，AE：EB=2：3，
EF=12cm
求AD、BC的长.
【检测互评】
1.如果多边形ABCDEF与多边形ABCDEF相似，且∠A=68,则∠A=_______.
2.两个相似多边形的最长边分别是10cm
和20cm，其中一个多边形的最短边为5cm
,则另一个多边形的最短边长为__________.
3.下列所给的条件中，能确定相似的有（
）
（1）两个半径不相等的圆；
（2）所有的正方形；
（3）所有的等腰三角形；
（4）所有的等边三角形；
（5）所有的等腰梯形；
（6）所有的正六边形．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4.做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm,80cm，三角形框架乙的一边长为20cm,符合条件的三角形框架共有（
）种.
A:
1
B:
2
C:
3
D:
4
5.如图所示的相似四边形中，求未知边x,y的长度和角ａ的大小.
6.如图，一个矩形ABCD的长AD=
6
cm，宽AB=
4
cm，E、F分别是AD、BC的中点，
连接E、F，所得新矩形ABFE与原矩形ABCD相似吗？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.1
相似三角形
第五课时
【学习目标】1.知道相似三角形的概念及表示方法；
2.会根据概念判断两个三角形相似.
3.能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长.
【学习重难点】相似三角形的判定定理的预备定理.
【学法指导】仔细阅读教材61--63页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.在相似多边形中，最为简单的就是________________________.相似用符号“___________”来表示，读作“___________．如图23．3．1所示的两个三角形中，
∠__＝∠__，
∠__＝∠___，
∠___＝∠____，．即△ABC与△A′B′C′相似，记作__________________，读作____________________________.
在书写两个三角形相似时，和全等一样，要求对应的顶点应写在
.
3.如果＝k，那么这个比值k就表示△ABC与△A′B′C′的相似比，而△A′B′C′与△ABC的相似比就为
.
当k=
时，这两个三角形全等.
故全等三角形是相似三角形的特例.
4.预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与
相似
.
如图1中，DE∥BC，则△ADE∽
,=
=
.
如右图，AB∥DE,则△ABC∽
,=
=
.
5.如图4，△ABC与△ACD都是直角三角形，∠ACB=∠ADC=90°，
已知△ABC∽△ACD,AB=20,BC=12,
求AD的长.
【展示互导】
在寻找由平行线构造的相似三角形中的对应线段时，一般从“A”型或“X”型中寻找得出对应线段.
【质疑互究】
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE与△DEF相似，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．
【检测互评】
1.全等三角形是相似比为__________的相似三角形.
2.如果△ABC∽△A′B′C′，BC=3,B′C′=1.8,那么△A′B′C与△ABC的相似比为
.
3.若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于
________
4.如图1，△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中共有相似三角形_______对.
5.如图2，直线AB与CD相交于点O，连接AC、BD，AC∥BD；
已知AC=4,BD=8,AB=9；则BO的长是______
6.如图3，△ABC中，DE
∥BC，则
A、
B、
C、
D、
7.点E是平行四边形ABCD的边AD上的点，F是对角线BD上的点，EF∥AB；DC=15,CB=12,DE=3；求EF的长.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第六课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（1）.
2.能运用相似三角形判定定理（1）解决角或边的计算、证明问题.
【学习重难点】相似三角形判定定理（1）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材64—66页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.全等三角形的判定方法有
，
，
，
，对于直角
三角形
还有
.
相似三角形的判定方法：
①
定义法
如果两个三角形三个角
，三条边
,那么
这两个
三角形相似.
②
相似三角形的判定定理（1）：如果两个三角形有两个角
,那么
这两个三角形相似.
简称为“两角
，两三角形相似”。（推理过程见教材65-66页）
能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢
.
图24.3.3
③几何语言：如上图，在三角形△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A=∠A′,∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.两个直角三角形，若有
对应相等，则它们一定相似.
4如上右图，D,E分别是△ABC中AB,AC边上的点，请添一个条件
使得△ABC和△ADE相似.
5.如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D．（1）求证：△ABC∽△ADE.
（2）如果AB=2AD，BC=4，求DE的长。
【展示互导】判定定理（1）是两个三角形相似最常用的方法，运用这种方法时，应特别
注意公共角，对顶角，同角的补（余）角相等等知识。
【质疑互究】
如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
(1)与∠A相等的角有
,
与∠B相等的角有
.
（2）请指出图中所有的相似三角形；并选择一组进行证明.
（3）求证：CD2=AD DB
（4）写出其他类似（3)的结论.
归纳：直角三角形被
分成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
【检测互评】1.判断题.
（1）有一对角相等的三角形一定相似.
（
）
（2）有一对锐角相等的两个直角三角形一定相似.（
）
（3）有一个角等于100°的两个等腰三角形相似.（
）
（4）有一个角等于30°的两个等腰三角形相似.
（
）
（5）有一对角相等的两个等腰三角形一定相似.（
）
2.如图，点D,E分别在△ABC中A,CBC边上,
如果∠1=∠2，则
∽
.
如果∠1=∠B，则
∽
.
在△ABC中，∠ACB=90度，CD┴AB于点D,CD=2,
BD=4,则AD=
,AC=
4.如图2，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P作
直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的
直线共有_______条.
A、1
B、2
C、3
D、4
5.如图4,点E、C分别在AB、AD上，BC与DE相交于点O，如果BC┴AD，DE┴AB,则图中有几对相似三角形？分别写出来.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第七课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（2）；
2.能根据条件，灵活运用相似三角形判定定理（2）解决角，边以及
比例式，乘积式的计算，证明问题.
【学习重难点】相似三角形的判定定理（2）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材67—69页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1．已经学习过的判断两个三角形相似的方法：
①定义法：对应边_________，____________相等的两个三角形______________.
②
判定定理（1）如果一个三角形的
分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形
.简称为两角对应
，两三角形相似.
2.相似三角形的判定定理（2）
.如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
，且
，那么这两个三角形
.简单地说；
且
，两三角形相似.（定理证明过程详见教材68页）
图24.3.3
几何语言：如上图，在三角形△ABC和△A′B′C′中，
∵，∠A=∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP是否相似？说明理由。（注意结合教材69页例4的解题过程）
4.如图，点D,E分别在△ABC的边AB、AC上,AD AB=AE AC,
求证：△ADE∽△ACB.
【展示互导】当题目中给出两条边的长度时，通常考虑判定定理（2），也要注意公共角，对顶角等隐含条件，特别注意相等的角是对应成比例的两条边的夹角.
【质疑互究】在△ABC中，BD、CE分别是AC与AB边上的高，
求证：①△AEC∽△ADB
②△ADE∽△ABC
③如果∠A=60度，求证：BC=2DE．
【检测互评】
1．在△ABC与△A B C中，AB:AC=
A B :
A C ,
∠B
=∠B ,则这两个三角形
A
相似且不全等
B
全等或相似
C
不一定相似
D
一定不相似
2.如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中单独能够判定的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3.如图，AB AD=AC AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE。
4.△AOB∽△DOC,点E、F分别是OB、OC的中点，求证：△AOE∽△DOF.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.2相似三角形的判定
第八课时
【学习目标】1.知道相似三角形的判定定理（3）.
2.能根据条件，灵活运用相似三角形判定定理解决角、边以及
比例式、乘积式的计算、证明问题.
【学习重难点】相似三角形的判定定理（3）的灵活运用.
【学法指导】仔细阅读教材69—70页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.已经学习过的判断两个三角形相似的方法：
①定义法：对应边_________，____________相等的两个三角形______________.（不常用）
②判定定理（1）：如果一个三角形的______分别与另一个三角形的_________相等，那么这两个三角形_______。简称为两角对应
，两三角形相似.
③判定定理（2）：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边
，
并且_______，那么这两个三角形______
.简单地说；_____________且
，
两三角形相似.
2.相似三角形的判定定理（3）：如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边________________，那么这两个三角形_________，简单的说：________________________，两三角形相似。完成此定理的证明过程.
已知：在△ABC与△A′B′C′中，
，
求证：△ABC∽△A′B′C′。
证明：在AB上取AD=A′B′,在AC上取AE=A′C′,连接DE.
几何语言：几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，
∵
∴△ABC∽△A′B′C′
.（
）
3.在△ABC和△DEF中，AB=15cm,BC=20cm,AC=25cm;
DE=6cm,EF=8cm,DF=10cm..
求证：△ABC与△DEF相似.
4.如图4，△ABC中，∠B=48°，∠ADC=77°；.
求∠C的度数.
【展示互导】当题目中出现三角形三边的长时，一般考虑此判定定理，通过计算对应三边的比值是否相等，来判断相似。
【质疑互究】
如图6，E是△ABC外一点，D在
BE上；且∠BAD=20°，
；求∠EBC的度数.
【检测互评】
1.(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或
___________=____________时，△
AOC∽△DOB；
(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽
.
△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_________，∠A=________，
因此△ABC∽_________∽_____________．
3.点D、E在△ABC的边AB、AC上．
(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；
(2)若∠2=∠B，则__________∽___________
4.已知：如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°.求证：△PAQ∽△BPR．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.3相似三角形的性质
第九课时
【学习目标】1.知道相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应中线、角平分
线、高的比等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方.
2.灵活运用相似三角形的性质解决实际问题.
【学习重难点】相似三角形的性质及应用.
【学法指导】仔细阅读教材71—72页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似三角形的对应角
，对应边
.
2.相似三角形的对应边的比值称为
.
3.相似三角形对应边上高的比等于_________，
相似三角形对应边上的中线的比等于
;
相似三角形对应角的角平分线的比等于
;
相似三角形的周长比等于
;
4.相似三角形的面积比等于____________________.
5.两个相似三角形对应边的比为1:3，那么相似比为_____，对应边上高的比为
，对应边上的中线的比等于______；对应角的角平分线的比为______，周长的比为______，面积的比为______．
6.两个相似三角形的面积之比为2:1，则它们的周长之比为
.
7.已知△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'=16：9，若AB=2，则A'B'=________
8.如上图，D、E分别是AB,AC的中点，并且DE∥BC,则△ADE与△ABC
的面积的比为
，△ADE与四边形BDEC的面积的比为
。
【展示互导】在运用相似三角形的性质时，1.要注意“对应”两字，应找准对应线段，同时注意相似比是有顺序的.2.把一般的线段之比转化为对应边之比.
【质疑互究】如图，在△ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AH⊥BC交DE于M，DG：DE=1：2，BC=12cm，AM=8cm，求矩形的各边长．
【检测互评】1.△ABC∽△A′B′c′，相似比为，已知△A′B′C′的面积为18cm2，那么
△ABC的面积为
.
如果两个相似三角形的相似比是3：5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为
cm.
梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，△AOD与△BOC的面积比等于1:9.则=
,，△AOB与△BOC的面积之比为
4.在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．
3：4
B．
9：16
C．
9：1
D．
3：1
5.在△ABC中，DE∥BC,AH┴BC,于点H,，且AD=5，BD=10，AG=3，求HG的长．
6.有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下面一、二两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断一、二两种设计方案哪个更好？
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.3.4相似三角形的应用
第十课时
【学习目标】1.能够应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度.
2.
能够将实际问题转化为数学问题.
【学习重难点】利用相似三角形的性质解决实际问题.
【学法指导】仔细阅读教材72—73页中的例6，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似三角形的对应角
，对应边
.
2.常见的相似三角形的判定方法：
判定定理1
.
判定定理2
.
判定定理3
.
3.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1．8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？
4.小玉用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图所示，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米，当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，且已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小玉计算出教学大楼的高度AB是多少米？
【展示互导】常见的测量物体高度的方法有：利用同一时刻阳光下的影子，，利用镜子反射.
【质疑互究】★
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？
【检测互评】
1.一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为
(
)
A.7.5米
B.8米
C.14.7米
D.15.75米
2.晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是
（
）
A.变长
B.变短
C.先变长后变短
D.先变短后变长
3.如下图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度为
．
4.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m.（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长.
5.龙龙和泉泉两人来到了一座古塔前，龙龙站在古塔前从一小块积水处看到塔顶的倒影,这时泉泉测得积水处C距龙龙CE为2米，龙龙的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§24.3.4相似三角形的应用
第十一课时
【学习目标】1.能够应用相似三角形的有关性质，测量简单的河流的高宽度；
2.
能够将实际问题转化为数学问题.
【学习重难点】能够运用三角形相似的知识，把实际问题抽象为数学问题，
解决不能直接测量物体的度宽问题.
【学法指导】仔细阅读教材72—73页中的例7，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
【展示互导】
为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE
=30m,那么你能算出池塘的宽AB吗
【质疑互究】
小明和小亮两人来到一条河边准备估算河的宽度，她们发现一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小明站在离南岸边一定距离的地方看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，她们测量了一个数据就能估算河宽，你知道她们是怎么做的吗？
【检测互评】
1.如图,小东设计两个直角来测量河宽DE,他量得AD=2m,BD=3m,CE=9m,则河宽DE为
(
).
(A).5m
(B).4m
(c).6m
(D).8m
2.如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，
AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为
.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§24.3.4相似三角形的应用
第十二课时
【学习目标】利用比例的性质和相似三角形的性质证明比例式或等积式.
【学习重难点】通过构建相似三角形或转换等量关系，证明比例式或等积式.
【学法指导】仔细阅读教材74页例8，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.比例的基本性质：如果(比例式），那么
（乘积式），
反之，如果，那么
.即比例式与乘积式可以互化.
2.四条线段能直接构成两个相似三角形.
如图,在平行四边形ABCD中,
E是AD上的一点。求证：AE·OB=OE·CB
3.四条线段不能直接构成两个三角形
已知，如图，F为平行四边形
ABCD边DC延长线上一点，连结AF，交BC于G，交BD于E，试说明AE2=EG·EF
【展示互导】
证明等积式，通常通过证明三角形相似，对应边成比例得到。所以证明等积式，关键要找证明哪两个三角形相似，找相似的三角形的方法是“三点定形法”，通过对比例式“横看”或“竖看”所得出的两组”三个不同点”确定两个三角形.
【质疑互究】
D是AC上一点，BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于F、G,且∠CAE=∠DBC,求证：BF2=FG·EF
【检测互评】
1.如图，已知，说明：·
2.如图，DE
⊥AB于点E，BC
⊥AD于点C，试说明：
3.在⊿ABC中,AB=AC,
∠DAE=∠B,求证：AB2=CD·BE
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.4中位线
第十三课
【学习目标】1.知道三角形中位线的概念.
2.经历三角形中位线的性质定理的形成过程，掌握定理，并能熟练利用它们
解决简单的问题.
3.知道三角形的重心的概念和重心的性质.
【学习重难点】三角形中位线定理的证明及应用
【学法指导】仔细阅读教材77—79页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
1.中线：连接三角形一条边的
与所对的顶点的线段，
叫三角形的
.
2.中位线：我们把连结三角形两边
的线段叫做三角形的_____________，
每个三角形都有
条中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线
第三边，并且
等于
.（证明过程详见教材77页）
几何语言：如图：△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC．（
）
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是
DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝∠PNM．
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的_________，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____.
如上中图：△ABC的三条中线相交于点O，则=
.
=
.
6.
三角形的周长为56cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是__________cm．
7.梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF
并延长并BC延长线于点G．求证：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．
归纳：梯形的中位线平行于
,并且等于
.
【展示互导】
中位线定理体现了中位线与第三边的位置关系和数量关系，在运用时可选择使用，
重心定理中线被重心所分得的两条线段，长线段（重心与顶点）是短线段（重心与对边
中点）的2倍.
【质疑互究】
1.三角形的三条中位线将原三角形分得的4个小三角形
.
三角形的三条中位线组成的三角形的面积是原三角形面积的
.
三角形的三条中位线组成的三角形的周长是原三角形周长的
.
2.顺次连接一个四边形各边中点所得到的四边形称为原四边形的“中点四边形”.
①任意四边形的中点四边形是
.②矩形的中点四边形是
.
③菱形各边中点四边形是
.
④正方形中点四边形是
.
归纳：中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的关系.
⑤若中点四边形是矩形，则原四边形的对角线
.
⑥若中点四边形是菱形，则原四边形的对角线
.
⑦若中点四边形是正方形，则原四边形的对角线
.
【检测互评】
已知三角形的三条中位线分别为5厘米、8厘米、7厘米，则这个三角形的
周长为
.
2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG的长为
3.如下图，已知在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，则BF与DE的关系是（
）.
A.相等
B。互相垂直
C.垂直平分
D.互相平分
4.如右上图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，O在AD上，且为△ABC的重心，EF过点O平行于AC,则DF与BC的数量关系是（
）.
A.
B.
C.
D.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
专题
相似三角形中的辅助线(选用）
第十四课时
【学习目标】1.提高相似三角形的性质和判定的综合运用.
2.掌握相似三角形中常见的辅助线的作法.
【学习重难点】通过做平行线构造相似.
【自学互助】1.两条直线被一组
所截，所得的
成比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段
．
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形
.
△ABC中，D为BC上一点，BD:DC=3:1，G为AD的中点，BG交AC于E点.
求EG:GB的值。
【展示互导】
已知,如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AB=3DC,F是对角线的中点,BE交AD于F点.求AF:FD的值.
【质疑互究】
△ABC中，AB＜AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE、BC的延长线相交于点F，证明：AB DF=AC EF．
【检测互评】
1.如图,△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的点,BD:DC=1:3,AE:AC=1:4.求AF:FD的值.
2.ɑABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§23.5
位似图形
第十五课
【学习目标】1.知道位似图形，位似中心的定义、性质，能按要求放大或缩小一个图形；
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似的图形.
【学习重难点】运用位似变化放大或缩小一个图形.
【学法指导】仔细阅读教材80—81页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.相似与
、
、
一样，
也是图形之间的一个基本变换，可以将一个图形
或
，
保持
不变．
2.位似的有关概念：两个相似多边形的对应点的连线相交于
，像这样的相似叫做
，这两个图形叫
，这个交点叫做
.
放电影时，胶片和屏幕上的画面就形成了一种_______关系．利用位似的方法，可以把一个多边形
或
．
3.画五边形ABCDE的相似形，以点O为位似中心，使它与原图的相似比为1∶2，
（1）使两个图形在点O同侧；
（2）使两个图形在点O的两侧.
4.画出所给图中的位似中心．
【展示互导】
画位似图形的步骤：
1.确定位似中心.位似图形的位似中心可以在两个位似图形的内部，也可以在两个位似图形的外部或在图形的顶点处（或边上).
以图形各顶点与位似中心作射线,并按照相似比取点.
顺次连接各点，得到的图形就是所求的图形.
【质疑互究】
已知形如木屋架的五边形ABCDE，点O在BC上，以O点为位似中心把五边形ABCDE缩小到原来的1∶2。
【检测互评】
1.下列命题正确的是（
）
A.全等图形一定是位似图形
B.相似图形一定是位似图形
C.相似图.形一定是全等图形
D.位似图形是具有某种特殊位置的相似图形
2.由位似变换得到的图形与原图形是（
）
A．全等
B．相似
C．不一定相似
D．肯定不全等
3.将△DEF按照如下方法作图，任取一点P，连接PD,PE,PF,并取它们的中点A,B,C,连接AC,BC,AB,下列说法正确的是
.
①△DEF
与
△ABC是位似图形，②△DEF
与
△ABC是相似图形；
③△DEF
与
△ABC的周长之比是2:1，④△DEF
与
△ABC的面积之比是4:1.
4.任意画一个五边形，再把它放大到原来的1.5倍．（选两个不同的点做位似中心画）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.6.1
用坐标确定位置
第十六课时
【学习目标】1．认识并能画出平面直角坐标系，能在方格纸上建立适当的直角坐标系，
描述物体的位置.
2．能在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标.
3．理解平面上表示一个点的位置有不同的方式，灵活运用不同的方式确定物体的位置.
【学习重难点】用建立恰当的直角坐标和方位坐标确定物体的位置.
【学法指导】仔细阅读教材84—87页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】
确定物体的位置用一对 .
平面上画两条____________具有
的数轴，就组成了_____________________；坐标平面上的点用____________来描述它的位置.（完成教材85页试一试）
2．如图四边形ABCD，在方格图中建立适当的直角
坐标系，用点的坐标来表示各点的位置.
A:_______________B:________________
C:________________D:________________
3.地球仪上是通过
，
来确定位置的.
4.右图是国际象棋的棋盘，国际象棋中竖条用字母表示、横条用数字表示.E2在什么位置 A、B、C的位置分别描述为
，
，
.
5.用角度（方向）和距离确定点的位置
选择一个观测点，按照“上北，下南，左西，右东”建立方位坐标系，，再由已知的角度确定被观测点所在的方向，由距离确定其点的位置，这种方法在军事和地理中经常用到。方向角是以南北方向为准向两边偏，即“北偏东××度”，“北偏西××度”，“南偏东××度”，“南偏西××度”。方向角的取值范围是“0≤≤90”。常说的东北方向是指
（完成教材86页做一做）
【展示互导】
1.注意平面直角坐标系中，点的坐标的有序性.
2.原点的位置不同则某地的坐标也会不同，选择的单位长度不同，某地的坐标也会不同.
【质疑互究】
李亮家在学校北偏东60°距学校1000米的A处，张明家在学校北偏西30°距学校2000米的B处，王强家在学校的西南方向距学校2500米的C处，请你绘制一张表示这三个同学的家及学校位置的简图.
【检测互评】
1.已知下列点的坐标，在平面直角坐标系中正确标出这些点并且依次把它们连结起来，观察得到的图形，你觉得它像什么？
（0，2），（0，0），（1，3），（2，3），（3，2），（3，0），（1，－1），（2，－1），（1，－3），（0，－1），（－1，－3），（－2，－1），（－1，－1），（－3，0），
（－3，2），（－2，3），（－1，3），（0，0）．
（第1题）
2.对于边长为4的正三角形ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
§
23.6.2
图形的变换与坐标
第十七课时
【学习目标】1．在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、相似的变
换之后，点的坐标相应发生变化.
2．探索图形在平移、轴对称、相似的变换，它们点的坐标的变化规律.
【学习重难点】运用图形坐标变化与图形变换规律解题.
【学法指导】仔细阅读教材88—92页，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】1.我们知道，图形变换包括：__________、_________、_________、_________
.
2.在平面直角坐标系中关于x轴对称的两个点的坐标特征为
；
关于y轴对称的两个点的坐标特征为
；
关于原点对称的两个点的坐标特征为
.
3.点A（3，－2）关于
x
轴对称的点是_________，点A（3，4）关于
y
轴对称的点是__________，
P（2，3）关于原点对称的点是____________.
4.图形的平移：
左右平移
向右平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
向左平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
上下平移
向上平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
向下平移a(a>0)个单位后坐标为
点A（x，y）
（
）
归纳：图形沿着X轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标
，横坐标
右
左
.
图形沿着Y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标
，纵坐标
上
下
.
5.在平面直角坐标系中A(2,3);
B(7,4);C(8,5)将△ABC先向左平移1个单位，再向上平移3个单位长度得△ABC，直接写出△ABC各顶点的坐标；
【展示互导】图形位似变换后对应点的坐标变化取决于位似中心的位置及位似比的大小.
【质疑互究】
将图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出变化后三个顶点的坐标。
①沿y轴向上平移2个单位；
② 关于y轴对称；
③ 以点B为位似中心，放大到2倍。
【检测互评】
1、已知△ABC各顶点的坐标为A（2,1），
B（0,3），C（4,0）
（1）把△ABC向上平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
____
（2）把△ABC向右平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为___________
___
（3）把△ABC先向下平移一个单位，再向左平移一个单位，所得三角形三个顶点坐标为
.
关于X轴对称的三角形三个顶点坐标为
关于原点对称的三角形三个顶点坐标为
2.如图，的顶点的坐标为（4，0），把沿轴向右平移得到如果那么的长为
.
3将点A
(3
,
l)绕原点O按顺时针方向旋转90°到点B，则点B的坐标是
.
若若已知点M(-1,0),点N(0,1)，则直线MN与y轴对称的直线解析式是__________,与x轴对称的直线解析式是__________,关于原点成中心对称的直线的解析式是：
将直线MN向右平移1个单位，然后向下平移一个单位，所得到的直线的解析式是：
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
回顾与思考
第十八、十九课时(2课时）
【学习目标】1．能理清本章的知识及其联系，填出知识结构图.
2．会运用相似三角形的识别方法、性质进行有关问题的简单的说理或计算，
提高解决实际问题的能力，培养应用数学知识的意识.
3．能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地也
发生变化，让学生体会到数与形之间的关系.
【学习重难点】相似三角形的判定和性质的运用
【学法指导】仔细阅读教材94页本章知识结构，独立思考完成【自学互助】的内容，小组交流订正，将自己的疑问写疑惑栏里.
【自学互助】知识系统：
三个概念：①成比例线段：线段a,b,c,d,满足
，
则称线段a,b,c,d是成比例的线段.
②三角形的中位线：连结三角形两边
的线段叫做三角形
的______________，每个三角形都有
条中位线.
③三角形的重心：三角形三条边上的
交于一点，这个点就是三角形的
.
五个性质：①比例的性质：
基本性质：如果(比例式），那么（乘积式），
反之，如果，那么。
合比性质：如果
那么
等比性质:如果(b+d+f+……+n≠0)，那么，
②平行线分线段成比例的基本事实及其推论：
两条直线被一组
所截，所得得
成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
③相似三角形的性质：
相似三角形的对应角
，对应边
.
相似三角形对应边上高的比，
对应边上的中线的比，对应角的角平分线的比都等于
相似三角形的周长之比等于______。面积之比等于____________________.
④相似多边形的性质：
相似多边形的对应角
，对应边
.
⑤三角形中位线的性质：
三角形的中位线
第三边，并且等于
,
一个判定：相似三角形的判定
①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的两个三角形相似.
②两角
，两三角形相似.
③两边
，且
，两三角形相似.
④三边
，两三角形相似.
一个应用：相似三角形的应用
应用相似三角形可以物体的高度，河流的宽度，以及证明比例式和等积式.
一个作图：作一个图形的位似图形.
【展示互导】小组内和全班展示以上内容
【质疑互究】
本章常用的数学思想方法：
方程的思想：在本章有关推理，求值问题中，常常用对应边成比例，周长之比等于相似比等来建立方程求解.
例1.
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长.
分类的思想：相似三角形的对应边，对应角或其他条件不确定时，需要进行分类.
例2
一个钢筋三角架边长分别是20㎝，50㎝，60㎝，现要做一个与它相似的三角架，而只有30㎝和50㎝的两根钢筋，要求以其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作另两边，共有几种截法？余料最少的截法截出的三角架三边长分别是多少？
转化思想：在证明有关比例式和等积式的问题时，要适当将其进行等价转化.
例
3
已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，EF//BC，DE交CB延长线于M，
AF交BC延长线于N，求证：MC＝BN
【检测互评】
1.已知求m的值。
2.如图，已知△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，点M在BC边上，AM交DE于点F．求证：．
3.（选用）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
4.如图5，AC⊥BD,垂足为C,过D作DF⊥AB，垂足为F，交AC于E,求证：EDBF=BDCE.
5.如图6，四边形ABCD是平行四边形，E是DC延长线上的一点，AE交BD于G，交BC于F，求证：AG2=FGGE
6.
如图已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
7.如图所示，在△ABC中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点.求证：四边形DEFG为平行四边形.
8.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
L
K
M
N
P
Q
C
B
B
A
C
D
E
A
D
E
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
2
1
A
B
C
D
E
A
D
C
E
B
A
D
E
B
C
M
A
B
C
D
E
N
M
D
B
A
P
C
E
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C
A
D
A
B
D
C
E
A
B
C
F
G
E
D
A
D
C
B
E
F
A
B
C
D
E
F
O
A
C
D
E
G
C
D
A
B
E
F
B
A
C
D
E
F