课件16张PPT。12．1 全等三角形1．能够完全________的两个图形叫做全等形，重合的顶点叫做________，重合的边叫做________，重合的角叫做________．
2．能够完全________的两个三角形叫做________．
3．全等三角形的________相等，对应角________．
4．经过平移、翻折、旋转后的图形与原图形________．重合 对应顶点 对应边 对应角 重合 全等三角形 对应边 相等 全等 知识点1：全等三角形的概念及表示方法
1．下列图形中与已知图形全等的是( )2．全等三角形是( )
A．三个角对应相等的两个三角形
B．面积相等的两个三角形
C．周长相等的两个三角形
D．能够完全重合的两个三角形B D3．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到△A′B′C′，则△ABC____△A′B′C′，图中∠A与________，∠B与______________，∠ACB与__________________是对应角．
4．如图，若△ABC绕点A旋转一定的角度就得到△ADE，那么△ABC________△ADE，其中AB与________，________与DE，AC与________是对应边．第3题图 第4题图 ≌ ∠A′ ∠A′B′C′ ∠A′C′B′ ≌ AD BC AE 5．如图，已知△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角．解：对应边有：AB与CD，AC与BD，BC与CB.对应角有：∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，∠ACB与∠DBC 知识点2：全等三角形的性质
6．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是( )
A．72° B．60° C．58° D．50°第6题图 第7题图 A D 8．如图，△ABC≌△EFD，那么( )
A．AB＝DE，AC＝EF，BC＝DF
B．AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF
C．AB＝EF，AC＝DF，BC＝DE
D．AB＝EF，AC＝DE，BD＝CF9．如图，△ABC≌△EFC，且CF＝3 cm，∠EFC＝64°，∠ACB＝90°，则BC＝________ cm，∠A＝________.D 3 26° 10．在讲完全等三角形后，数学老师王老师布置了一道数学题：如图所示，已知△ABC≌△ADE，其中∠CAE＝40°，∠C＝50°，则DE与AC有何位置关系？请说明理由．解：DE与AC互相垂直．理由：∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E＝50°，又∠CAE＝40°，∴∠AFE＝90°，∴DE垂直于AC 11．若△ABC与△DEF全等，A和E，B和D分别是对应点，则下列结论错误的是( )
A．BC＝EF B．∠B＝∠D
C．∠C＝∠F D．AC＝EF
12．如图，△ABC≌△DEF，则图中相等的线段有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组A D 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB＝( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
14．如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B，E，C在同一直线上，则结论：①AE＝ED；②AE⊥ED；③BC＝AB＋CD；④AB∥DC.其中成立的是( )
A．仅① B．仅①③
C．仅①③④ D．①②③④第13题图 第14题图 D D 15．如图，已知△AEB≌△DFC，AE⊥BC，∠C＝28°，则∠A的度数是________．
16．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝4 cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________ cm.第15题图 第16题图 62° 7 17．如图，若△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE＝5 cm，BE＝7 cm，∠ADB＝100°，则∠AEC＝________，AC＝________.100° 12 cm 18．如图，△ABD≌△ACE，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2.解：对应边：AB与AC，AD与AE，BD与CE；对应角：∠ABD与∠ACE，∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠1＝∠2 19．如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并加以说明．解：AD∥BC，理由如下：∵△ADF≌△CBE，∴∠F＝∠E，∠FAD＝∠ECB，∵∠ADB＝∠F＋∠FAD，∠DBC＝∠E＋∠ECB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC20．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC，DE相交于点F，BC，AD相交于点G，求∠DFB的度数．21．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
(1)BD＝DE＋CE；
(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE?解：(1)∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE，又∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE
(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.理由：∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°－90°＝90°，又∵△BAD≌△ACE，∴∠CEA＝∠ADB＝90°，∴∠CEA＝∠BDE，∴BD∥CE课件17张PPT。12．2 三角形全等的判定第1课时 SSS1．三边对应相等的两个三角形________(可简写成“________”或“________”)．
2．三角形的三边的长度确定了，这个三角形的________和________就完全确定了．全等 边边边 SSS 形状 大小 知识点1：用“SSS”判定三角形全等
1．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，则下列结论正确的是( )
A．△AEF≌△ACD B．△ADF≌△ADB
C．△ABC≌△ADE D．△AEF≌△CDFC 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以直接判定( )
A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE
C．△ABE≌△ACE D．以上都不对
3．如图，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“边边边”可证明________≌________或________≌________.C △ADC △BCD △ABD △BAC 4．如图，AF＝CD，AB＝ED，EF＝BC，那么△ABC≌△DEF的理由是________．5．如图，已知AB＝CD，若根据“SSS”证得△ABC≌△CDA，需要添加一个条件是________．SSS BC＝DA 6．如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.
(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来；
(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明．解：(1)△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△DBE≌△DCE 知识点2：“SSS”判定方法与性质的综合运用7．如图，已知AB＝AC，DB＝EC，AD＝AE，∠1＝25°，则∠2＝________.25° 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC上两点，且BD＝CE，AD＝AE.求证：∠BAE＝∠CAD.知识点3：尺规作图
9．已知∠AOB，点C是OB边上的一点．用尺规作图画出经过点C与OA平行的直线．解：作图略，提示：以点C为顶点，作一个角等于∠AOB 10．确定下列条件的两个三角形不一定全等的是( )
A．有一边相等的两个等边三角形
B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C．周长相等的两个三角形
D．斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形
11．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.可利用的是( )
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或④C A 12．如图，已知AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形的对数有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对第13题图 第12题图 D C 14．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为________．65° 15．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC.16．如图，已知AB＝CD，AC＝DB，求证：∠A＝∠D.17．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠3＝∠1＋∠2.18．如图①②中，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF.(1)若E，F运动至如图①的位置，若有AF＝CE.求证：AD∥BC；
(2)若E，F运动至如图②的位置，仍有AF＝CE，那么上述结论AD∥BC还成立吗？为什么？(2)仍然成立．∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，∴AE＝CF.以下同(1)略课件16张PPT。12．2 三角形全等的判定第2课时 SAS1．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形________(可简写成“________”或“________”)．
2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形________全等．全等 边角边 SAS 不一定 知识点1：用“SAS”判定三角形全等
1．如图，AB＝AC，∠1＝∠2，则△ABD和△ACD的关系是________．
2．如图，AC与BD相交于点O，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需条件( )
A．AB＝DC B．OB＝OC
C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC第1题图 第2题图 全等 B 3．使△ABC≌△A′B′C′的条件是( )
A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′
B．AB＝A′B′，∠A＝∠A′，BC＝B′C′
C．AC＝A′C′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′
D．AC＝A′C′，∠C＝∠C′，BC＝B′C′4．在△ABC和△A′B′C′中：①AB＝A′B′；②BC＝B′C′；③AC＝A′C′；④∠A＝∠A′；⑤∠B＝∠B′.则下列条件中，不能保证△ABC≌△A′B′C′的是( )
A．①②③ B．①②⑤
C．①③④ D．①③⑤D D 5．如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧．AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED.求证：△ABC≌△CED.知识点2：“SAS”判定方法与性质的综合运用6．如图，若AB与CD互相平分，且它们相交于O点，则下列结论：①∠C＝∠D；②AD＝BC；③AD∥BC；④AB＝CD.其中错误的结论是________．(填序号)
7．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，要证△ABD≌△ACE，需补充的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E
C．∠1＝∠2 D．∠CAD＝∠2第7题图 第6题图 ④ C 8．如图，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝( )
A．60° B．65° C．70° D．80°C 9．如图，E，F是线段AB上两点，且AE＝BF，AD＝BC，∠A＝∠B，求证：∠C＝∠D.10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )
A．BD＝CE B．∠ABD＝∠ACE
C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE第10题图 第11题图 C B 12．如图，已知点A，D，B，F在一条直线上，AC＝EF，AD＝BF，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以_______________________________________．(只需填一个即可)
13．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为________．第13题图 第12题图 ∠A＝∠F或AC∥EF或BC＝DE 30° 14．如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1 km，DC＝1 km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3 km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE＝1.2 km，BF＝0.7 km.试求建造的斜拉桥长至少有________ km.1.1 15．如图，AD是△ABC的高线，AD＝BD，DE＝DC，∠C＝75°，求∠AEB的度数．解：在△BDE和△ADC中，AD＝BD，∠ADB＝∠ADC，DC＝DE，∴△BDE≌△ADC(SAS)，∴∠BED＝∠C＝75°，∴∠AEB＝105° 16．如图，已知D，E分别为AB，AC上两点，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠B＝∠C.17．如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF；
(2)∠CBF＝∠FEC.证明：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，又∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，∴AC＝DF，∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(SAS)
(2)∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∵FC＝CF，∴△FBC≌△CEF(SAS)，∴∠CBF＝∠FEC 18．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC.
(1)请找出图②中的全等三角形，并给予证明；(结论中不得含有未标识的字母)
(2)证明：DC⊥BE.证明：(1)图②中△ABE≌△ACD，∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC＋CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD
(2)由(1)△ABE≌△ACD，∠ACD＝∠ABE＝45°，又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE课件19张PPT。12．2 三角形全等的判定第3课时 ASA和AAS1．两角和它们的________分别相等的两个三角形全等(简写成“________”或“________”)．
2．两角和其中一个角的________分别相等的两个三角形全等(简写成“________”或“________”)．
3．三角分别相等的两个三角形________全等．夹边 角边角 ASA 对边 角角边 AAS不一定知识点1：用“ASA”判定三角形全等1．如图，BD平分∠ABC和∠ADC，则△ABD≌△CBD，依据是( )
A．ASA B．SSA
C．SAS D．AAA
2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带④去A A 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若用ASA证明△ABC≌△CDA，需添加条件__________．AD∥BC或∠DAC＝∠BCA 4．如图，AC与BD相交于点O，AO＝DO，∠A＝∠D.求证：△ABO≌△DCO.5．如图，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E，求证：BC＝DC.证明：∵∠BCE＝∠DCA，∴∠BCE＋∠ACE＝∠DCA＋∠ACE，即∠BCA＝∠DCE.∵AC＝EC，∠A＝∠E，∴△BCA≌△DCE(ASA)，∴BC＝DC 知识点2：用“AAS”判定三角形全等6．如图，BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是点C和D.若要根据“AAS”判定△ABC≌△ABD，应添加的一个条件是________________．
7．如图，AE＝AD，∠B＝∠C，BE＝6，AD＝4，则AC＝________.第6题图 第7题图 ∠CAB＝∠DAB或∠ABC＝∠ABD 10 8．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是AE＝1，CF＝2，则EF的长是________．3 9．如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，求证：AB＝AC.知识点3：三角形全等的判定的综合应用10．如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，
(1)若以“SAS”为依据，还需添加的条件为________；
(2)若以“ASA”为依据，还需添加的条件为________；
(3)若以“AAS”为依据，还需添加的条件为________．BC＝EF或BE＝CF ∠A＝∠D ∠ACB＝∠DFE 11．如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD，再作BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是________．ASA 12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4A 13．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是( )
A．∠A＝∠C B．AD＝CB
C．BE＝DF D．AD∥BCB 14．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？解：△AOF≌△DOC.理由：∵AB＝DE，BF＝EC，∴AF＝DC，又∵∠A＝∠D，∠AOF＝∠DOC，∴△AOF≌△DOC(AAS) 15．如图，AD，BC分别平分∠CAB，∠DBA，且∠1＝∠2，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：(1)△BEC≌△CDA；(2)DE＝AD－BE.(2)∵△BEC≌△CDA，∴BE＝CD，CE＝AD，又∵CE－CD＝DE，∴DE＝AD－BE 17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF过AC的中点O，分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若直线EF绕点O旋转，与AD，BC分别交于点E′，F′，仍有OE′＝OF′吗？为什么？
(3)EF绕点O旋转到何处时，线段EF最小？(2)始终有OE′＝OF′，因为EF绕点O旋转时，△AE′O总与△CF′O全等(3)当EF⊥AD时，EF有最小值课件16张PPT。12．2 三角形全等的判定第4课时 HL1．斜边和______________分别相等的两个直角三角形全等，简写成____________或________．
2．两直角边对应相等的两个直角三角形________，依据是________．
3．有一个锐角和一直角边或斜边对应相等的两个直角三角形全等，依据是________或________．一条直角边 斜边直角边 HL 全等 SAS ASA AAS 知识点1：用“HL”判定直角三角形全等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，若AD⊥BC，则判定△ABD和△ACD全等的方法是( )
A．SAS B．ASA
C．SSS D．HL
2．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝( )
A．40° B．50° C．60° D．75°D B 3．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，欲证OB＝OC，可以先利用“HL”说明___________________得到AB＝DC，再利用________证明△AOB≌________得到OB＝OC.△ABC≌△DCB AAS △DOC 4．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：AD＝BD.证明：在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵CD＝FD，AC＝BF，∴Rt△ADC≌Rt△BDF，AD＝BD 5．如图，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，FB＝EC.求证：AB＝DE.知识点2：直角三角形全等的综合判定
6．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )
A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3
B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°
C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3
D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°B 7．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于O，且∠1＝∠2，则下列结论正确的个数为( )
①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个D 8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.
(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；
(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由．解：(1)△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，又∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) 9．如图，在矩形纸片ABCD中，将Rt△BCD沿BD折叠，C点落在C′点处，BC′交AD于G，则图中共有全等三角形( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对10．如图，∠B＝∠C＝90°，AB＝EC，AE＝ED，且B，E，C在一条直线上，则下列结论：①BE＝CD；②AE⊥DE；③BC＝AB＋CD；④AB∥CD.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C D 11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△QPA.12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD，若AC＝8 cm，则AE＋DE＝________ cm.CB 8 13．如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF，垂足分别为点E，F.求证：BE＝CF.证明：∵在△ABC中，AD是中线，∴BD＝CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90°，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF 14．如图，已知AB＝CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且BF＝DE，求证：AB∥CD.15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.16．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.(1)如图①，若点O在边BC上，求证：∠ABO＝∠ACO；
(2)如图②，若点O在△ABC的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.证明：(1)过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，则∠BEO＝∠CFO＝90°，OE＝OF，又∵OB＝OC，∴Rt△BOE≌Rt△COF，∴∠ABO＝∠ACO
(2)过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝90°，OE＝OF，又OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC，∴∠EBO＝∠FCO.即∠ABO＝∠ACO课件19张PPT。12．3 角的平分线的性质第1课时 角的平分线的性质角平分线上的点，到角的两边的距离________，如图，用数学语言表述为：∵∠1＝∠2，且MH⊥AP，______⊥______，∴MH______MK.相等 MK PB ＝ 知识点1：角平分线的定义及作法1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法用到三角形全等的判定方法是( )
A．SAS B．SSS
C．ASA D．HLB 2．如图，已知△ABC，AB＝AC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD交BC于点D，不写作法，但保留作图痕迹，并猜想D在BC的什么位置．作图略 知识点2：角平分线的性质
3．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1＝∠2，则________＝________；
(2)若∠3＝∠4，则________＝________.BCCDABAD4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且BC＝8 cm，BD＝5 cm，则DE＝________ cm.3 5．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，①PE＝PF，②AE＝AF，③∠APE＝∠APF.以上结论中正确的是________．(填序号)①②③ 6．如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB＝18，BC＝12，则求DE的长．知识点3：命题的证明
7．命题“全等三角形对应角的角平分线相等”的已知是
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________，
结论是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.全等三角形对应角的角平分线 对应角的角平分线相等 8．证明：全等三角形对应边上的中线相等．已知：△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的中线．求证：AD＝A′D′.9．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OPD 10．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4B 11．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为________．4 65° 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为________．15 cm2 14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE＝AC，∴△DEB的周长＝DE＋DB＋EB＝CD＋DB＋BE＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB＝10 cm 15．如图，OE平分∠AOB，在OA，OB上取OC＝OD，P是OE上一点，PM⊥CE于点M，PN⊥DE于点N.线段PM与PN有什么关系？证明你的结论．PM＝PN.证明：∵OE平分∠AOB，∴∠COE＝∠DOE，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△COE≌△DOE，∴∠MEP＝∠NEP，即OE为∠MEN的角平分线，又∵PM⊥CE，PN⊥DE，∴PM＝PN 16．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，问PC与PD相等吗？试说明理由．课件19张PPT。12．3 角的平分线的性质第2课时 角的平分线的判定1．角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上，用数学语言表示为(如图)：______________________________________________．
2．三角形的三条内角平分线相交于一点，并且这一点到____________________．相等 ∵DE＝DF，又∵DE⊥OA，DF⊥OB，∴OC平分∠AOB 三边的距离相等知识点1：角平分线的判定
1．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝3 cm，当PD＝________时，P点在∠AOB的平分线上．2．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC＝QD，则∠AOQ＝________.第1题图 第2题图 3 cm 35° 3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是( )
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2 D．不能确定B 4．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．证明：(1)连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴△AEP和△AFP都是直角三角形，又AE＝AF，AP＝AP，∴Rt△AEP≌Rt△AFP，∴PE＝PF
(2)∵PE⊥AB，PF⊥AC，且PE＝PF，∴点P在∠BAC的平分线上 知识点2：角平分线的性质与判定的综合运用
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( )
A．AF平分BC B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC D．以上结论都正确B 6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，AB＝BC，则CD____AD.(填“＞”，“＜”或“＝”)＝ 7．如图，已知∠B＝∠C＝90°，E为BC的中点，且AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.证明：过点E作EF垂直AD于点F.∵AE平分∠BAD，且∠B＝90°，∠AFE＝90°，∴BE＝EF(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，又∵E为BC的中点，∴CE＝BE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，∠DFE＝90°，∴DE平分∠ADC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上) 知识点3：三角形的角平分线
8．在△ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点P，若点P到边AB的距离等于8 cm，则它到边AC和BC的距离分别为________．
9．直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有________处．8 cm、8 cm 4 10．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E，若∠BAC＝70°，则∠CAE＝________.55° 11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是( )
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上都不对C 12．如图，OC是∠AOB内的一条射线，点D，P，E分别在OA，OC，OB上，且PD＝PE，结合下列条件，不能得出OC平分∠AOB的是( )
A．OD＝OE
B．∠DPO＝∠EPO
C．∠ODP＝∠OEP
D．PD⊥OA，PE⊥OBC 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论：①AB上一点与AC上一点到点D的距离相等；②AD上任一点到AB，AC的距离相等；③∠BDE＝∠CDF；④∠1＝∠2.正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C 14．如图，O是△ABC内的一点，且O到△ABC的三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠A＝70°，则∠BOC＝________.125° 15．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：
(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.16．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置17．如图，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F，又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF，∴DE＝DG，∴AD平分∠EAC.即AD是∠BAC的外角平分线18．如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC.课件14张PPT。专题训练 全等三角形的性质与判定一、一次全等
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一点，DM⊥AB，且DM＝AC，过M作ME∥BC交AB于E.求证：ME＝AB.2．如图，AB⊥CD于B，CF交AB于E，CE＝AD，BE＝BD，求证：CF⊥AD.3．如图，点C，E分别为△ABD的边BD，AB上两点，且AE＝AD，CE＝CD，∠D＝70°，∠ECD＝150°，求∠B的度数．二、二次全等
4．如图，AB＝AD，BC＝CD，P为AC上一点，求证：PB＝PD.5．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE，CD交于点O，求证：OB＝OC.6．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CD，AC＝BD，求证：DE＝CE.三、综合题
7．如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，若CE＝7，BF＝4，求EF的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．BE＝EC，BE⊥EC，
证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD，∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°，∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC，∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC，∴∠BEC＝∠AED＝90°，∴BE＝EC，BE⊥EC 9．将两块含45°角大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连AC，BD.图① 图② (1)求证：AC＝BD；
(2)将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度到△C1OD1的位置(如图②)，连接AC1，BD1，直线AC1与BD1存在着什么样的位置关系？请说明理由．(2)AC1⊥BD1.理由如下：延长BD1交AC1于M，∵∠AOB＝∠C1OD1＝90°，∴∠AOC1＝∠BOD1，∴△AOC1≌△BOD1(SAS)，∴∠C1AO＝∠D1BO，∵∠OAB＋∠ABD1＋∠D1BO＝90°，∴∠OAB＋∠ABD1＋∠C1AO＝90°，∴∠AMB＝90°，∴AC1⊥BD1课件13张PPT。专题训练 构造全等三角形的方法一、倍长中线构造全等三角形
1．如图，△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC＞2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．二、截长补短构造全等三角形
3．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，求证：AC＋CD＝AB.证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C，∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB，又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD5．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.
(1)求∠AOC的度数；
(2)求证：AC＝AE＋CD.解：(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°三、作垂线构造全等三角形
6．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AB与AD＋BC之间满足什么数量关系．并说明理由．解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE，∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝DE，∵DE＝CE，∴EC＝EF，∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)，∴BF＝BC，同理可证：AF＝AD，∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC8．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE交于点H，连接CH.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)求证：CH平分∠AHE；(提示：过C作CM⊥AH于M，CN⊥BE于N)
(3)求∠CHE的度数．(用含α的式子表示)证明：(1)∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)
