第24章解直角三角形导学案

华东师大版九年级上册“五环四互”教学模式数学导学案
学校___________
班级_________
小组__________
姓名__________
小组评价_____
教师评价________
第24章
解直角三角形
第1课时
24.1
测量
【学习目标】利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
【学习重难点】探索测量距离的几种方法。选择适当的方法测量物体的高度或长度
【学法指导】自主预习，合作探究
【自学互助】
设疑：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你会怎么办？我们能否用学过的知识来解决这个问题呢？
1、交流讨论
2、小组发言：
探究一：利用太阳光下的影子测量旗杆高度
如图25．1．1，选一名同学与旗杆一样立于操场阳光下。
思考：（1）图中的两个三角形相似吗？为什么？
（2）根据实际情况，两个三角形中有哪些边长可以直接测量出来？你用的测量
工具是什么？
（3）本题中需要测量哪些边长就可以算出旗杆的高度？
(4)你是利用什么知识来计算旗杆高度的？
通过上面的探究，你能设计出用这种方法测量旗杆高度的方案吗？
但是如果就你一个人，又遇上阴天，这种方法还能用吗？
探究二：利用测角仪测量旗杆的高度
如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．（可让学生看99页的导图理解）
你知道计算的方法吗？（提示：先测量出教材上图25．1．2中B′C′的长度）
【展示互导】测量的关键是将实际问题转化为数学问题
【质疑互究】小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．
【检测互评】
1.某一时刻，身高1.6m的小红在阳光下的影长是0.4，同一时刻同一地点，
2.测得某旗杆的影长是5m，则该旗杆的高度是（
）
3.如图，一棵树被台风吹得从A处拦腰折断，树梢地点B距离树的
底部C的长为6米，并且测得它与地面所成的角为45°，则树高为（
）
4.如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取OA中点C，
OB中点D，测得CD=31.4m
求AB长。
(AB=62.8m)
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第2课时
24.2
直角三角形的性质
【学习目标】1.巩固掌握直角三角形边与边之间以及角与角之间的关系
2.学习掌握直角三角形性质3
【学习重难点】直角三角形性质3以及运用
【自学互助】自主学习教材102-103页，完成填空直角三角形的性质
1.
2.
3.
讨论证明：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
讨论证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°,如果∠A＝30°,那么BC与斜边AB有什么关系呢？为什么？
【展示互导】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的
角等于30°.
【质疑互究】如图所示：直角三角形ABC中，已知∠ACB=900，∠A=300,，CD=1，求S△ABC的值？
【检测互评】
1.直角三角形斜边上的高与中线分别是4和5，则它的面积是________
2.如右图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4,∠B＝15°,
那么腰上的高CD的长为
。
3.如图Rt△ABC中，ACB＝90o，AC＝5，BC
＝12，
斜边上的中线CD的长___________
4.如图所示，∠BAO＝90°,OA＝OB,点A的纵坐
标是2。求点B的坐标_________________
5.如图，将一长方形纸条ABCD按图示折叠，且已知
BC＝,∠BDC＝30°,那么DE的长
6.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，请你观察并猜想：MN与DE有什么样的位置关系并说明理由。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第3课时
24.3.1
锐角三角函数（1）
【学习目标】1.正弦、余弦、正切、余切的定义。
2.正弦、余弦、正切、余切的应用。
【学习重难点】
正弦、余弦、正切、余切的应用。
【自学互助】
自学教材105-107页。
1.了解直角三角形的角的对边，邻边，斜边。
2.锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，对于锐角A有sinA＝________，cosA＝________，tanA＝_________，
cotA＝_____________．sinA、cosA、tanA、cotA分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=8,BC=6，AB=10，
试求出sinA，tanA
，cosB
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=15,BC=8，试求出∠B的三角函数值
【展示互导】小组内讨论
（1）取值范围：
＜sinA＜
，
＜cosA＜
，tanA＞
（2）平方关系式：＝
，tanA·cotA＝
。
（3）互余关系：
，
.
（4）相除关系：，cotA＝
1、已知锐角θ满足，则θ=_________
2、已知∠A为锐角，sinA＝2m-4,则m的取值范围____________
【质疑互究】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么求sin∠ACD
注意：同角或等角的三角函数值相等：
【检测互评】
1.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，
求sinB=_______，cotB=______
2.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、
∠C的对边，则有（?
）
A．?B．?C．?D．
3.在直角三角形ABC中，∠C=90，sinA=，求cosA的值________。
4.
在中，∠C＝90°，如果cos
A=那么的值为（?）
A．?B．?C．?D．
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。
已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（
）
6．sin272°+sin218°的值是（
）．
A．1
B．0
C．
D．
eq
\f(,2)
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第4课时
24.3.1
锐角三角函数（2）
【学习目标】理解运用特殊锐角三角函数值
【学习重难点】1.掌握特殊锐角三角函数值。
2.理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法。
【自学互助】
1.知识回顾：“在一个直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半”，
2.（1）对于特殊角的三角函数值，可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计算，从而记住结果：
30°
45°
60°
siaA
cosA
tanA
（2）通过30，45，60的三角函数值，我们可以得到如下规律：
在0～90之间，一个锐角A的正弦值（正切值）随角度的增大而_________。
在0～90之间，一个锐角A的余弦值
随角度的增大而__________
【展示互导】计算：
(1)Sin60-cos45
(2)
cos60+tan60
(3)sin30+cos30
(4)tan60-tan30
（5）cos260°+sin260°
（6）-tan45°．
【质疑互究】
（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
【检测互评】
1．下列各式中不正确的是（
）．
A．sin260°+cos260°=1
B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55°
D．tan45°>sin45°
2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（
）．
A．2
B．
C．
D．1
3．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（
）
A．0°<∠A≤60°B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30°D．30°≤∠A<90°
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=
eq
\f(,2)
，则△ABC的形状是（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形C．锐角三角形
D．不能确定
5．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
6．当锐角a>60°时，cosa的值（
）．
A．小于
B．大于
C．大于
eq
\f(,2)
D．大于1
7．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC的形状（
）．
8．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=
eq
\f(,2)
，则cosA=________．
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第5课时
24.3.2锐角三角函数（3）
【学习目标】掌握用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的方法。
【学习重难点】重点:用计算器求任意一个锐角的三角函数值以及用计算器通过一个锐角
的三角函数值来求出这个锐角的度数。
难点：由角的度数求出它的相应函数值以及由函数值确定角的度数时的按
键顺序的掌握，同时应注意有“度、分、秒”的使用方法。
【自学互助】
自学课本109-110页，记住用计算器求锐角三角函数值和用锐角三角函数值求锐角的步骤，时间10分钟。
1.同桌之间讨论求一个锐角余切值的理论根据和操作方法，以及已知一个锐角的余切值求这个锐角的操作方法。
2.同桌之间互相检查课本中例题的操作过程是否准确，相互指出错误加以改正。
1.求已知锐角的三角函数值
（教材例题3）
求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001）
解
先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：　
(SETUP)
显示
再按下列顺序依次按键：　
显示结果为0．897859012．
所以sin63°52′41″≈0．8979．
【展示互导】求cot70°45′的值．（精确到0．0001）
解
在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示
），按下列顺序依次按键：
　
显示结果为
．
所以cot70°45′≈
．
2.由锐角三角函数值求锐角
【质疑互究】
已知cotx＝0．1950，求锐角x．（精确到1′）
分析：根据，可以求出tanx的值，然后根据课本中的例5的方法就可以求出锐角x的值．
【检测互评】
1.用计算器求下列各式的值
（1）sin67°38′24″;
(2)tan63°27′;
(3)cos18°59′27″.
2.根据下列条件求∠A的度数（用度分秒来表示）：
（1）cos∠A=0.6753;
(2)tan∠A=87.54;
(3)
sin∠A=0.4553.
3.一梯子斜靠在一面墙上。已知梯长4米，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5米，求梯子与地面所成的锐角。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第6课时
24.4
解直角三角形(1）
【学习目标】
1.知道“解直角三角形”的概念，理解三边之间、两锐角之间、边角之间的关系；
2.能运用三角函数解决简单的边、角计算问题；
【学习重难点】灵活运用三角函数解决实际问题。
【自学互助】
1.直角三角形中的边、角关系(看右图填空）
(1)三边之间的关系：________________
（2）两锐角之间的关系：___________；
(3)边角之间的关系：sinA=____，cosA=_______，tanA=_______，cotA＝_____________。
2.在直角三角形中，知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以运用上述关系求出其余的3个未知元素。
3.在直角三角形中由的_________元素（至少有一个边），求出________元素的过程，即解直角三角形
4.在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为
a、b、c，且b=，a=，解这个三角形
【展示互导】
解直角三角形，只有下面两种情况：　
（1）　已知两条边；
（2）　已知一条边和一个锐角．
即：除直角外的5个元素（3条边和2个锐角）只要知道其中的2个元素（至少有一个元素是边），就可以求出其余的3个元素。
【质疑互究】
等腰三角形顶角∠A=120°，高AD=3，则这个三角形的周长是_____
A、18
B、12+6
C、2
D、8
【检测互评】
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
2.Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3.在Rt△ABC中，sinA=sinB，则A与B_______
A、相等
B、互补
C、互余
D、相等或互补
4.△ABC中，∠C=90°，cosA=，a=12，则斜边上的中线长_________。
5.△ABC中，∠C=90°，a=，c=2，解这个直角三角形。
6.如图的锐角三角形△ABC中，∠A=75°，∠C=45°，
AB=6，求△ABC的面积。
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第7课时
24.4
解直角三角形（2）
【学习目标】能用“解直角三角形”的知识与方法解决与视角（俯角、仰角）有关的实际应
用问题；
【学习重难点】运用“解直角三角形”解决实际问题，抽去实际意义，建模“直角三角形”。
【自学互助】1.由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做
解直角三角形。
2.“解直角三角形”的运用：
有一些实际问题，情况复杂、叙述较多，貌似难解。如果我们忽略其实际意义，按照题目所提供的数据处理，可画出纯数学问题的图形；再用所学的知识与方法便能解决问题。
3.看教材113-114页
视线与观察点的水平线构成的夹角：
叫仰角
叫俯角。
如图，在一次数学课外实践活动，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【展示互导】左图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.
【质疑互究】
如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．
（取＝1.732，结果精确到1m）
温馨提示：有近似数要求的，要按要求取舍；没有近似数要求的，可用含根号等的代数式表示结果
【检测互评】
1.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=2，
则△ABC的周长是
_______。
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，AC=10，则S△ABC=____
A、3
B、300
C、
D、150
3.如图6，四边形MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F。已知sin,求tan
的值________
4.在一次夏令营活动中，小明同学从营地出发，要到地的北偏东60°方向的处，他先沿正东方向走了200m到达地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地(如图)，那么，由此可知，两地相距
m.
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第8课时
24.4
解直角三角形（3）
【学习目标】1.理解坡度、坡角的概念
2.继续巩固解直角三角形的知识，提高学生的应用能力。。
【学习重难点】重点:
锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
【自学互助】自学课本115-116页，理解坡度、坡角的概念，时间为8分钟。
坡度：___________________________________________________
坡角：__________________________________________________
坡度越大，坡角就______,坡面就______________
【展示互导】如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,
求此斜坡的坡度和坡角.
【质疑互究】
水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.
求坡角∠ABC的大小.（自己画图，建模）
【检测互评】
1．如图，一水库迎水坡AB的坡度︰，则该坡的坡角HYPERLINK
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。
2．小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了__________m。
3.
如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（　　）
　
A．
9m
B．
6m
C．
m
D．
m
4.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（　　）
A．
26米
B．
28米
C．
30米
D．46米
5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为
A．
B．
C．
D．
h·sina
6.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？
；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做
；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握
。
第9课时
第24章《解直角三角形》复习测试
一、填空题
1.若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为
；
2.若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积是
；
3.在△ABC中，∠C=900，a=6，b=8，则sinA=
；
4.在△ABC中，∠C=900，sinB=，则cosB=
；
5.若sinα=，则锐角α=
度；
6.在Rt△ABC中，∠C=900，a=20，b=，则∠B=
度；
7.在Rt△ABC中，∠C=900，sinA=，AB=10，则AC=
；
8.在离大楼15m的地面上看大楼顶部仰角为600，则大楼高
m；
9.在电线杆离地面8m的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成600角，则需要缆绳
m（打结部分不计）；
10.一个斜坡的坡度是1：3，高是4m，则他从坡底到坡顶部所走的路程是
m；
二、选择题
11.直角三角形的两条边长分别是3、4，则第三条边长是（
）
A、5
B、7
C、
D、5或
12.如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（
）
A、sinα=
B、cosα=
C、tanα=
D、
cotα=
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=900，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，
则cosα的值为（
）
A
、
B、
C、
D、
14.在Rt△ABC中，∠C=900，且a≠b，则下列式子中，不能表示△ABC面积的是（
）
A、
B、
C、
D、
15.如图，钓鱼竿AC长为6m，露在水面上的鱼BC长为m，某钓者
想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面
上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（
）
A、600
B、450
C、150
D、900
三、解答题
16.（1）
2cos
30°＋cot
60°－2tan
45°;（2）　
.
17.如图是直线的图象，求锐角∠OAB的四个三角函数值，并求∠OAB的大小。
18.如图，梯形ABCD中，AB⊥BC，∠BAC=600，∠ADC=1350，BC=，求梯形的面积和周长。
19.身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线长分别为300m、250m、200m，线与地面所成的角分别为300，450，600（假设风筝线是拉直的）问三人所放的风筝谁的最高？
20.如图，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，人极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东300方向往C处移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由。
（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级。
21.
如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角a和坝底宽AD．（i＝CE∶ED，单位米，结果保留根号）
22.
如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角a＝30°，测得点C的俯角b＝60°，求AB和CD两座建筑物的高．（结果保留根号）
B
B’
EMBED
Equation.KSEE3
\
MERGEFORMAT
C
C’
EMBED
Equation.KSEE3
\
MERGEFORMAT
A’
C
A
B
B
A
D
C
A
B
C
C
B
A
D
x
y
O
A
B
D
E
F
A
C
D
B
A
B
C
D
E
M
N
B
A
C
B
A
C
1
1
1
2
D
1
2
MODE
SHIFT
=
41
o’”
o’”
52
o’”
63
sin
D
=
o’”
45
o’”
70
tan
1
A
B
C
A
C
┌
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
C′
B′
x
y
O
A
B
A
B
C
D
A
.B
C