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2025—2026学年九年级上学期期中真题重组卷02
数 学
（测试范围：九年级上册人教版，第21-23章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C D B B A C
1．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式．
通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案．
【详解】解：，
移项得，
，
，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根，整体代入法求代数式的值．
由一元二次方程的根的定义得，然后将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵ a是方程的根，
∴，
即 ．
∴．
故选A．
4．B
【分析】过点C作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点C作于点E，如下图：
则，
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点C的坐标为．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
5．C
【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，
两个函数图象交于轴上的同一点，排除D；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解．
【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大，
∴，
∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意；
联立得：，
则，
故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】根据题意列出y与x，z与x的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】由题意得，
∴y是x的一次函数。
，
∴z是x的二次函数．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数的定义，熟练掌握一次函数和二次函数的定义并且正确的列出函数关系式是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得或，
当时，2，2，4不能构成三角形，舍去；
当时，此三角形的周长为，
故选：B．
9．A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负且二次项系数不为零．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
其中，，，
∴，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴且．
故选：A．
10．C
【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标．
【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和，
∴抛物线为．
当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值，
即此时抛物线经过点．
将点代入抛物线解析式得：，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为．
令，即，
解得：，．
∴点的横坐标最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键．
11．2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽度为x米，根据矩形空地的总面积减去草坪面积得到道路的总面积，并考虑道路交叉部分的重叠面积，建立一元二次方程求解．
【详解】解：∵矩形空地的面积为，草坪面积为540 平方米，
∴道路的总面积为，
设道路的宽度为x米，则水平道路的面积为平方米，垂直道路的面积为平方米，道路交叉部分的面积为平方米，
，
解得，，
由于道路宽度不能超过空地的宽度（20 米）或长度（32 米），因此不符合题意，舍去，
故道路的宽度为2米．
验证：道路总面积，草坪面积，符合要求．
故答案为：2．
12．且
【分析】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
根据非负数的性质求出 a 和 b 的值，再根据一元二次方程有两个实数根的条件，即判别式非负且二次项系数不为零，求解 k 的取值范围.
【详解】解：由，得 且，
∴，
则代入方程得，
∵方程有两个实数根，
∴判别式且；
解得 且 ，
故答案为： 且 .
13．②④⑤
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握二次函数图象和性质．
根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断；②根据抛物线对称轴是直线，即，可得，进而可以判断；③根据顶点坐标和，进而可以判断；④当时，，即，根据，可得，即可判断；⑤当时，，解得或，可得，根据函数图像的开口方向即可判断．
【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：，
对称轴在y轴右侧，
，
抛物线与y轴正半轴相交，
，
，故①错误；
②抛物线对称轴是直线，即，
，
，故②正确；
③，
，
如果，
那么，
，
，
而根据抛物线与y轴的交点，可知，故③错误；
④当时，，
即，
，
，故④正确；
⑤当时，，
，
解得或，
由，可得，
抛物线开口向下，
当时，x的取值范围是，故⑤正确，
所以正确的是②④⑤，
故答案为：②④⑤．
14．16
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形，
当时，，
解得，
∴．
∵的顶点坐标为，的顶点坐标为，
∴抛物线向下平移了4个单位长度，
∴阴影部分的面积是．
故答案为：16．
15．
【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，
线段的垂直平分线为，
，
点的坐标是，
，，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
如图所示，连接、，勾股定理求出，然后由旋转得到，，证明出为等边三角形，即可得到．
【详解】如图所示，连接、，
∵四边形是正方形，
∴
∴
∵将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）运用因式分解法求解；
（2）运用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
，
∴或，
∴，．
18．(1)，；理由见解析
(2)①直线的解析式为；②点的坐标为或
【分析】本题考查的是一次函数的应用、矩形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，
（1）证明，得出，，进而证明；
（2）①先求出，，进而求出直线的解析式；②分情况：当点在下方，与重合时，或当在上方时，点在上，分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：，；
将矩形绕着坐标原点逆时针旋转得到矩形，
矩形矩形，
，，
四边形和四边形都是矩形，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：①四边形是矩形，，
，，
，
，
点在轴正半轴上，
，
点关于轴对称点的坐标为点，
，
点在轴负半轴上，
，
设直线的解析式为，
把和分别代入中，得，
解得：，
直线的解析式为；
②或，
当点在下方时，
当与重合时，如图1，，，
过点作，垂足为，
，
把代入中得：，
；
当在上方时，点在上，
如图2，，，
过点作轴，垂足为，延长交延长线于点，
则四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
点在直线上，
，解得：，
，
，
综上所述：点的坐标为或．
19．(1)
(2)存在，点坐标为或
(3)最大值为；点坐标为
【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积求解及线段差最值问题。掌握数形结合思想与代数几何知识转换是解题的关键，需灵活运用函数性质、几何定理及方程求解能力．
（1）由得出A、C两点的坐标，直接代入抛物线方程即可求解；
（2）作辅助线平行于y轴，将三角形面积转化为二次函数，解方程即可得到N点坐标；
（3）根据三角形三边关系定理，当M点位于直线与x轴交点时，取得最大值，即为线段的长度．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
将，，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：在直线下方的抛物线上，存在一点N，使得的面积为3；理由如下：
设直线的解析式为：，将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
在中，令，得出，
解得：，，
∴，
如图1，作轴交于E，
设点N坐标为，则，
，
∴，
∵，
，
即，
，
解得：，，
∴点坐标为或．
（3）解：抛物线的解析式为，顶点 D的坐标为：
，代入，，得
，点C的坐标为，
点M在x轴上，设点M的坐标为，则
，，
要求的最大值，根据三角形两边之差小于第三边的性质，当点D、M、C三点共线时，取最大值，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
当时，，因此点M的坐标为，
此时，的最大值为线段的长度，
，
因此当的值最大时，最大值为，点M的坐标为．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，据此求解即可；
（2）由根与系数的关系得到，，再根据已知条件得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：方程有两个实数根，
，
解得．
（2）由题意得：，，
，
，
，解得：，
，
．
21．(1)；
(2)点P坐标为或．
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
（1）通过待定系数法求函数解析式；
（2）求出点B坐标，由可得点P坐标，从而求解．
【详解】（1）解：将代入得
，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∵点A坐标为，
∴点B坐标为，
∴，
∵三角形的面积为9，
∴，
∴，
把代入得，
解得或；
把代入得，
整理得：，
，
方程无解；
∴点P坐标为或．
22．(1)
(2)5元
【分析】该题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意．
（1）设每次下降的百分率为，根据题意列出方程求解即可．
（2）设每盒应涨价x元，根据题意列出不等式，结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，
根据题意，得：，
解得：（舍去），，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每盒应涨价x元，
由题意，得：，
整理，得，
令，解得：或，
∵中，，与轴交点横坐标是，，
∴解得．
∵，
∴，最大为5．
答：每盒最多可以涨价5元．
23．(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元
(2)A款水杯降低了6元
【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，
根据题意，可列出方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，
B款水杯的售价为（元），
∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元．
（2）解：B款水杯的进价为（元），
九月份A款水杯销量为（只），
九月份B款水杯销量为（只），
设A款水杯降低了元，
根据题意，可列出方程：，
解得，，
因为是降价促销，所以不符合题意，舍去，
∴A款水杯降低了6元．
24．(1)
(2)最大值为；
(3)存在，的坐标为或或或
【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
（1）将、，代入即可求解析式；
（2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；
（3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过、，．
，解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，连接，，，
设，而，，
∴，，，
∴
，其中，
当时，取得最大值，
此时P的纵坐标为：，
∴，
所以当时，取得最大值．
（3）存在，由（2）知，又，
，
在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形，
①如图，以为边构成菱形，
，，且，
,即；
②如图，以为边构成菱形，
，，且，
,即；
③如图，当，且互相平分时，
此时关于轴对称，；
④如图，当，且互相平分时，，
设相交于，过作交于，
易得，
，即，
解得，
；
综上，存在，的坐标为或或或．
答案第2页，共2页
答案第1页，共1页(共6张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上册期中真题重组卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题
1 0.94 中心对称图形的识别
2 0.85 解一元二次方程——配方法
3 0.84 由一元二次方程的解求参数；已知式子的值，求代数式的值
4 0.65 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；化为最简二次根式；用勾股定理解三角形
5 0.65 一次函数、二次函数图象综合判断
6 0.74 正比例函数的性质；y=ax +k的图象和性质
7 0.75 列一次函数解析式并求值；二次函数的识别
8 0.65 因式分解法解一元二次方程；构成三角形的条件
9 0.64 根据一元二次方程根的情况求参数
10 0.4 待定系数法求二次函数解析式；y=a（x-h） +k的图象和性质；求抛物线与x轴的交点坐标
二、知识点分布
二、填空题
11 0.75 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
12 0.74 绝对值非负性；根据一元二次方程根的情况求参数；利用算术平方根的非负性解题
13 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；二次函数图象与各项系数符号
14 0.65 二次函数图象的平移；求抛物线与x轴的交点坐标；利用平行四边形的判定与性质求解
15 0.64 列二次函数关系式；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形
16 0.64 根据正方形的性质求线段长；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；根据旋转的性质求解
二、知识点分布
三、解答题
17 0.85 因式分解法解一元二次方程
18 0.75 一次函数与几何综合；根据旋转的性质求解；求一次函数解析式；根据矩形的性质求线段长
19 0.74 三角形三边关系的应用；面积问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的最值；待定系数法求二次函数解析式
20 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；一元二次方程的根与系数的关系
21 0.65 待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)
22 0.64 增长率问题(一元二次方程的应用)；其他问题(实际问题与二次函数)
23 0.4 营销问题(一元二次方程的应用)；分式方程的经济问题
24 0.4 待定系数法求二次函数解析式；面积问题(二次函数综合)；特殊四边形(二次函数综合)中小学教育资源及组卷应用平台
2025—2026学年九年级上学期期中真题重组卷02
数 学
（测试范围：九年级上册人教版，第21-23章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（25-26九年级上·广东汕头·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·山西大同·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）若是方程 的一个根，则代数式 的值是（ ）
A．2022 B．2020 C．2018 D．2016
4．（25-26九年级上·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26九年级上·四川眉山·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中大致的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
6．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系
8．（24-25九年级上·四川泸州·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为( )
A．8 B．11 C．8或10 D．8或11
9．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
10．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）某小区计划在一块长32米、宽20米的矩形空地上修建两条互相垂直且宽度相同的道路（如十字形），其余部分种草坪，要求草坪面积为540平方米，则道路的宽为 米．
12．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）若，且一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
13．（23-24九年级上·云南大理·期中）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中正确的个数是 ．（填序号）
，
，
，
当时，x的取值范围是
14．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ．
15．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为 ．
16．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）如图，将正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，若，则的长度为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）解下列一元二次方程
(1)
(2)
18．（25-26九年级上·辽宁铁岭·期中）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，将矩形绕着坐标原点逆时针旋转得到矩形，点C、B、A分别对应点F、E、D，连接、．
(1)猜想和的关系，并说明理由；
(2)若点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为点，点在x轴正半轴上，，作直线．
①求直线的解析表达式；
②点是直线上一动点，点在第一象限内，且点是直线上一点，若是以为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
19．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使的面积为3，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若点为轴上的一个动点，当的值最大时，请直接写出这个最大值及点的坐标．
20．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，．
(1)求n的取值范围；
(2)当时，求n的值．
21．（25-26九年级上·黑龙江双鸭山·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一动点P，使的面积为9，求点P的坐标．
22．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．因其成品紧密而坚固，故称为毛尖．某茶庄经销一种盒装毛尖，原价每盒64元，连续两次降价后每盒49元．
(1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2)若该毛尖每盒盈利10元，每天可售出500盒．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，茶庄决定采取适当的涨价措施，若每盒涨价1元，日销售量将减少40盒．现茶庄要保证销售该毛尖每天盈利4500元，那么每盒最多可以涨价多少元？
23．（25-26九年级上·重庆·期中）某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍．
(1)求、两款水杯的售价分别是多少元？
(2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？
24．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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