湖南省株洲五中2015-2016学年高二（下）入学数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年湖南省株洲五中高二（下）入学数学试卷（理科）
　
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知复数z=﹣i+2，则z的虚部为（　　）
A．i
B．﹣1
C．1
D．﹣i
2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a+c＞b+d”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数求导运算正确的个数为（　　）
①（3x）′=3xlog3e；
②（log2x）′=
③（ex）′=ex；
④（）′=x；
⑤（x ex）′=ex+1．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．
（2）“x=1”是“x2﹣4x+3=0”的充要条件；
（3）若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．
（4）对于命题p： x0∈R，x+2x0+2≤0，则￢p： x∈R，x2+2x+2＞0．
上面四个命题中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，若A=60°，B=45°，，则b=（　　）
A．
B．2
C．
D．
7．抛物线y2+4x=0上的点P到直线x=2的距离等于4，则P到焦点F的距离|PF|=（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=2，CC1=，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（　　）
A．0
B．
C．
D．
9．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
10．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（　　）
A．
B．
C．2
D．2
11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），并且相邻两行数之间有一定的关系，则第7行第4个数（从左往右数）为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．若函数f（x）=+2x（a＞0，b≥0）在区间[1，2]上单调递减，则a（b﹣1）的最大值为（　　）
A．4
B．
C．
D．
　
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（理）______．
14．函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=______处取得极小值．
15．若实x，y满足不等式组目标函t=x﹣2y的最大值为2，则实a的值是______．
16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为______．
　
三、解答题（共70分）
17．已知m∈R，设命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有零点．
（1）若￢p为真命题，求m的取值范围；
（2）若“p∨q”为真，求m的取值范围．
18．如图所示，△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=，P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直．
（1）求证：AD∥平面PCE；
（2）求二面角P﹣CE﹣B的余弦值．
19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（Ⅰ）若，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
20．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为Sn；数列{bn}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若，求数列{cn}的前n项和Tn．
21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
22．设椭圆C：
=1的左右焦点分别为F1，F2，直线y=x﹣1过椭圆的焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ周长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）圆C′：x2+y2=1，直线y=kx+m与圆C′相切且与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点．若 =λ，且≤λ≤，求△OAB的取值范围．
　
2015-2016学年湖南省株洲五中高二（下）入学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知复数z=﹣i+2，则z的虚部为（　　）
A．i
B．﹣1
C．1
D．﹣i
【考点】复数的基本概念．
【分析】直接利用复数的概念写出结果即可．
【解答】解：复数z=﹣i+2，则z的虚部为：﹣1．
故选：B．
　
2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a+c＞b+d”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若a＞b，∵c＞d，∴a+c＞b+d成立．
当c=3，d=2，a=b=0时，满足a+c＞b+d，但a＞b不成立．
故“a＞b”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．
故选：A．
　
3．下列函数求导运算正确的个数为（　　）
①（3x）′=3xlog3e；
②（log2x）′=
③（ex）′=ex；
④（）′=x；
⑤（x ex）′=ex+1．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】导数的运算．
【分析】根据（ax）′=axlna，（logax）′=，（lnx）'=即可作出判断．
【解答】解：①（3x）′=3xln3，故错误；
②（log2x）′=，故正确；
③（ex）'=ex，故正确；
④（）′=﹣，故错误；
⑤（x ex）′=ex+x ex，故错误．
故选：B．
　
4．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】共线向量与共面向量．
【分析】根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．
【解答】解：由共面向量定理，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
　
5．（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．
（2）“x=1”是“x2﹣4x+3=0”的充要条件；
（3）若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．
（4）对于命题p： x0∈R，x+2x0+2≤0，则￢p： x∈R，x2+2x+2＞0．
上面四个命题中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）根据逆否命题的定义进行判断，
（2）根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可
（3）根据复合命题真假之间的关系进行判断
（4）根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：（1）命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．正确，
（2）由x2﹣4x+3=0得x=1或x=3，则“x=1”是“x2﹣4x+3=0”的充分不必要条件；故（2）错误，
（3）若p∧q为假命题，则p、q至少有一个为假命题．故（3）错误，
（4）对于命题p： x0∈R，x+2x0+2≤0，则￢p： x∈R，x2+2x+2＞0．正确，
故正确的是（1）（4），
故选：B．
　
6．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，若A=60°，B=45°，，则b=（　　）
A．
B．2
C．
D．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理的式子，结合题中数据加以计算，可得b==2．
【解答】解：∵△ABC中，A=60°，B=45°，，
∴由正弦定理，得b===2．
故选：B
　
7．抛物线y2+4x=0上的点P到直线x=2的距离等于4，则P到焦点F的距离|PF|=（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的方程求出其焦点坐标和准线方程，利用已知求得P到准线的距离，则答案可求．
【解答】解：由y2+4x=0，得y2=﹣4x，
∴抛物线的焦点F（﹣1，0），准线方程为x=1．
如图：
∵P到直线x=2的距离为4，∴P到准线x=1的距离为3，
则P到焦点F的距离|PF|=3．
故选：C．
　
8．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=2，CC1=，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（　　）
A．0
B．
C．
D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】连接B1C交BC1于E，连接DE，利用四边形BCC1B1是平行四边形及其三角形的中位线定理证明DE∥AB1，可得∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，再利用余弦定理即可得出．
【解答】解：如图所示
连接B1C交BC1于E，连接DE，
∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1E=EC．
又AD=DC．
∴DE∥AB1，
∴∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，
在△DEB中，DE=，BD=，BE=．
∴cos∠DEB==0，
∴异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为0．
故选：A．
　
9．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2 … a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
　
10．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=r，整理得到a=b，再利用双曲线的简单性质及离心率公式计算即可．
【解答】解：根据题意得：圆心F（c，0），半径为a，双曲线渐近线方程为y=±x，即±bx﹣ay=0，
∵以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，且c2=a2+b2，
∴圆心F到渐近线的距离d==a，即a=b，
∴c====a，
则双曲线C的离心率e==，
故选：B．
　
11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），并且相邻两行数之间有一定的关系，则第7行第4个数（从左往右数）为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】归纳推理．
【分析】根据每个数是它下一行左右相邻两数的和，先求出第5，6，7三行的第2个数，再求出6，7两行的第3个数，求出第7行的第4个数．
【解答】解：设第n行第m个数为a（n，m），
由题意知a（6，1）=，a（7，1）=，
∴a（7，2）=a（6，1）﹣a（7，1）=﹣=，
a（6，2）=a（5，1）﹣a（6，1）=﹣=，
a（7，3）=a（6，2）﹣a（7，2）=﹣=，
a（6，3）=a（5，2）﹣a（6，2）=﹣=，
∴a（7，4）=a（6，3）﹣a（7，3）=﹣=．
故选A．
　
12．若函数f（x）=+2x（a＞0，b≥0）在区间[1，2]上单调递减，则a（b﹣1）的最大值为（　　）
A．4
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；基本不等式．
【分析】求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，可得，作出不等式组在第四象限的可行域，再由目标函数表示的双曲线，结合直线与双曲线相切，求得导数，设出切点，解方程可得切点，进而得到所求最大值．
【解答】解：函数f（x）=ax3+（b﹣8）x2+2x（a＞0，b≥0），
f′（x）=ax2+（b﹣8）x+2，
由题意可得f′（x）≤0在区间[1，2]上恒成立，
即有，即为，（
）
以（a，b）为坐标，作出不等式组（
）在第一象限的可行域，如图：
，
令t=a（b﹣1），可得b=+1，此函数的图象为双曲线，
当直线b=7﹣2a与双曲线b=+1相切时，t取得最大值，
由得：2a2﹣6a+t=0，
△=36﹣8t=0，
解得t=，
故选：C．
　
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．（理）　π+2　．
【考点】定积分．
【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．
【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，
故答案为π+2．
　
14．函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=　2　处取得极小值．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根，再判断导函数的符号即可．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0，x2=2，
且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在x=2出取得极小值．
故答案为：2．
　
15．若实x，y满足不等式组目标函t=x﹣2y的最大值为2，则实a的值是　2　．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数t=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a值．
【解答】解：由题意约束条件的可行域是图中的阴影部分，
目标函数t=x﹣2y的最大值为2，
就是直线t=x﹣2y，经过直线x=2与直线x+2y﹣a=0的交点，
也就是x=2与x﹣2y=2的交点A（2，0），
所以a=x+2y=2+2×0=2，
则实a的值是2，
故答案为：2．
　
16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC
（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c
2a﹣b2=c2﹣bc，
又因为：a=2，
所以：，
△ABC面积，
而b2+c2﹣a2=bc
b2+c2﹣bc=a2
b2+c2﹣bc=4
bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
　
三、解答题（共70分）
17．已知m∈R，设命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：函数f（x）=3x2+2mx+m+有零点．
（1）若￢p为真命题，求m的取值范围；
（2）若“p∨q”为真，求m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）p：m﹣1＞5﹣m＞0，解出m范围，由于 p为真命题，可得p为假命题，即可得出．
（2）函数有零点，可得△≥0，由于“p∨q”为真，可得m∈P∪Q．
【解答】解：（1）p：m﹣1＞5﹣m＞0，∴3＜m＜5，…
∵ p为真命题，∴p为假命题…
∴m≤3或m≥5．…
（2）函数有零点，∴△≥0，≥0，…
∴m≥4或m≤﹣1．…
设Q={m|m≥4或m≤﹣1}，P={m|3＜m＜5}．
∵“p∨q”为真，∴m∈P∪Q，即m＞3或m≤﹣1．…
　
18．如图所示，△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=，P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直．
（1）求证：AD∥平面PCE；
（2）求二面角P﹣CE﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）设BD∩CE=0，连结OP，则OP∥AD，由此能证明AD∥平面PCE；
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣CE﹣B的余弦值．
【解答】解：（1）证明：设BD∩CE=0，连结OP，
∵正方形BCDE对角线互相平分，∴O是BD中点，
∵P为AB的中点，∴OP∥AD，
∵AD 平面PCE，OP 平面PCE，
∴AD∥平面PCE；
（2）∵△ABC中，AC=1，AB=2，∠ACB=，
P为AB的中点，且△ABC与正方形BCDE所在平面互相垂直，
∴CD⊥平面ABC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴，
建立空间直角坐标系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），
P（），E（0，2，2），
=（），=（0，2，2），
设平面PCE的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，得=（2，﹣2，2），
平面BCE的法向量=（1，0，0），
设二面角P﹣CE﹣B的平面角为θ，
则cosθ===．
∴二面角P﹣CE﹣B的余弦值为．
　
19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（Ⅰ）若，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．
【解答】解：（I）在Rt△PBC中，
=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB ABcos30°==．
∴PA=．
（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得，即，
化为．∴．
　
20．已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为Sn；数列{bn}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由已知条件，利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和列出方程组，求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出an与bn；
（2）由（1）能推导出Sn=n2，两次运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵等差数列{an}的各项均为正数，a1=1，b1=2，
∴an=1+（n﹣1）d，bn=2qn﹣1，d＞0，
∵b2S2=16，b3S3=72，
∴，
解得d=q=2，
∴an=2n﹣1，bn=2n．
（2）∵a1=1，d=2，
∴Sn=n+n（n﹣1） 2=n2，
可得=，
前n项和Tn=+++…+，
Tn=+++…+，
相减可得Tn=++++…+﹣，
设An=++++…+，
An=++++…+，
两式相减可得，
An=+2（++++…+）﹣
=+2 ﹣，
化简可得An=3﹣．
即有Tn=3﹣﹣，
可得Tn=6﹣．
　
21．已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）+＜0恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求导数得f′（x）=+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=，且f（1）=，联立求得a=1，b=﹣，从而确定f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于lnx﹣+＜0，参变分离为k＜﹣xlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）=+b．
∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为，且曲线y=f（x）过点（1，﹣），
∴即解得a=1，b=﹣．
所以f（x）=lnx﹣x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当x＞1时，f（x）+＜0恒成立即lnx﹣+＜0，等价于k＜﹣xlnx．
令g（x）=﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．
令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）=1﹣．
当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0．
从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
故g（x）＞g（1）=．
因此，当x＞1时，k＜﹣xlnx恒成立，则k≤．
∴k的取值范围是（﹣∞，]．
　
22．设椭圆C：
=1的左右焦点分别为F1，F2，直线y=x﹣1过椭圆的焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，若△F1PQ周长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）圆C′：x2+y2=1，直线y=kx+m与圆C′相切且与椭圆C交于不同的两点A，B，O为坐标原点．若 =λ，且≤λ≤，求△OAB的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知F2（1，0），即c=1，△F1PQ周长为4，可得a，即可求椭圆的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由y=kx+m（b＞0）与圆x2+y2=1相切，由y=kx+m代入椭圆方程，利用 =λ，求出≤k2≤1，再由弦长公式，求出|AB|的长，用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，由此可以导出△OAB面积S的取值范围．
【解答】解：（1）由已知F2（1，0），即c=1，
△F1PQ周长为4，可得4a=4，即a=，
∴b=1，
∴椭圆的方程为；
（2）y=kx+m（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则，
即m2=k2+1，k≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由y=kx+m代入椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0
又△=8k2＞0
x1+x2=﹣，x1x2=，
=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2==λ，
∵≤λ≤，
∴≤≤，
∴≤k2≤1，
由弦长公式，得|AB|=
又点O到直线AB的距离d=1
∴S△OAB===，
∵≤k2≤1，
∴4≤（1+2k2）2≤9，
∴S△OAB∈[，]．
　
2016年9月16日