江苏省连云港市2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（理科）
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．命题“ x∈R，x2+x+1≤0”的否定是______．
2．“函数f（x）=x（x+a）（a为常数）为偶函数”的充要条件是______．
3．函数y=lg（x2﹣3x+2）的定义域为______．
4．渐近线方程为y=±2x，一个焦点的坐标为（，0）的双曲线标准方程为______．
5．在等差数列{an}中，若a2+a4+a9=18，则a5=______．
6．在△ABC中，若sin2A﹣sin2B﹣sin2C=sinBsinC，则∠A的大小为______．
7．若2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，则z=x+3y的最小值为______．
8．函数f（x）=sin2x﹣x（0＜x＜）的单调增区间是______．
9．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______．
10．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为______．
11．已知F1，F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF2并延长交椭圆于点B，则BF1长为______．
12．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1=1，且a1，Sn，an+1（n∈N
）成等差数列，则a2016=______．
13．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是______．
14．已知关于x的不等式x2﹣（4a+2）x+3a2+2a＜0（a＞﹣1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是______．
　
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2csinA．
（1）求C；
（2）若c=，a+b=5，求△ABC的面积．
16．公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N
），已知S5=a，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）当d≠0时，数列{}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．
17．如图，有一矩形相框，放置照片区域的上、下方要各留3cm空白，左、右两侧要各留2cm的空白．
（1）若相框周长为80cm，要使其面积不小于300cm2，求相框一边的范围；
（2）若相框的面积为400cm2，求框内可放照片的最大面积．
18．已知曲线C上任意一点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过x轴上一点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，问是否存在定点Q使+为定值，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，过坐标原点O的直线椭圆Г：
+=1（a＞b＞0）于P，A两点，其中P在第一象限，B在椭圆Г上，直线AB与x轴交于点C．
（1）若椭圆Г的焦距为2，点P坐标为（，1），求椭圆Г的标准方程；
（2）求证：kBP kBA=﹣；
（3）若BP⊥AP，PC⊥x轴，求椭圆Г的离心率．
20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，2），求该曲线在点P处的切线方程；
（2）求函数f（x）的最大值；
（3）若a=4，令g（x）=f（f（x））﹣b，其中b∈（﹣，1），求y=g（x）的零点个数．
　
2015-2016学年江苏省连云港市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．命题“ x∈R，x2+x+1≤0”的否定是　 x∈R，x2+x+1＞0．　．
【考点】命题的否定．
【分析】本题所给的是一个特称命题，对于特称命题的否定，要注意量词的变化，要注意命题中结论的变化．
【解答】解：∵命题“ x∈R，x2+x+1≤0”的否定是：
x∈R，x2+x+1＞0．
故答案为： x∈R，x2+x+1＞0
　
2．“函数f（x）=x（x+a）（a为常数）为偶函数”的充要条件是　a=0　．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
【解答】解：若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），
即﹣x（﹣x+a）=x（x+a），
即x2﹣ax=x2+ax，
即﹣a=a，则a=0，
当a=0时，f（x）=x2，是偶函数，
故答案为：a=0
　
3．函数y=lg（x2﹣3x+2）的定义域为　（﹣∞，1）∪（2，+∞）　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】要使函数有意义，则需x2﹣3x+2＞0，解出即可得到定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则需
x2﹣3x+2＞0，
解得，x＞2或x＜1．
则定义域为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
　
4．渐近线方程为y=±2x，一个焦点的坐标为（，0）的双曲线标准方程为　　．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】设双曲线方程为=λ（λ≠0），由一个焦点的坐标为（，0），利用待定系数法能求出双曲线标准方程．
【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y=±2x，
∴设双曲线方程为=λ（λ≠0），
∵一个焦点的坐标为（，0），
∴=λ+4λ，解得λ=2，
∴双曲线标准方程为=1．
故答案为：．
　
5．在等差数列{an}中，若a2+a4+a9=18，则a5=　6　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】根据等差数列的定义与通项公式，结合题意，即可求出a5的值．
【解答】解：等差数列{an}中，a2+a4+a9=18，
即（a1+d）+（a1+3d）+（a1+8d）=18，
∴3（a1+4d）=18，
∴a1+4d=6，
即a5=6．
故答案为：6．
　
6．在△ABC中，若sin2A﹣sin2B﹣sin2C=sinBsinC，则∠A的大小为　　．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到一个等式，再利用余弦定理列出关系式，将得出的等式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，即b2+c2﹣a2=﹣bc，
∴由余弦定理得：cosA==﹣，
∵∠A为三角形内角，
∴∠A=．
故答案为：．
　
7．若2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1，则z=x+3y的最小值为　﹣5　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标得答案．
【解答】解：由2x﹣y+1≥0，2x+y≥0，且x≤1作出可行域如图，
联立，解得A（1，﹣2），
化目标函数z=x+3y为y=，
由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1+3×（﹣2）=﹣5．
故答案为：﹣5．
　
8．函数f（x）=sin2x﹣x（0＜x＜）的单调增区间是　（0，）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递增区间即可．
【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣x（0＜x＜），
∴f′（x）=2cos2x﹣1，
令f′（x）＞0，解得：cos2x＞，
∴0＜2x＜，
∴0＜x＜，
故答案为：（0，）．
　
9．不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　（2，+∞）　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】先化简，再由二次函数的性质，得到解答．
【解答】解：不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，
即（a+2）x2+4x+a﹣1＞0对一切x∈R恒成立
若a+2=0，显然不成立
若a+2≠0，则解得a＞2．
综上，a＞2
　
10．已知xy=2x+y+2（x＞1），则x+y的最小值为　7　．
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得y=，整体代入变形可得x+y=x﹣1++3，由基本不等式可得．
【解答】解：∵xy=2x+y+2，∴y=，
∴x+y=x+=x﹣1++1
=x﹣1++3≥2+3=7
当且仅当x﹣1=即x=3时取等号，
故答案为：7．
　
11．已知F1，F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，A为下顶点，连接AF2并延长交椭圆于点B，则BF1长为　　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】求得椭圆的a，b，c，可得焦点坐标，以及A的坐标，求得AF2的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，解得B的坐标，再由两点的距离公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：椭圆+y2=1的a=，b=1，c=1，
即有F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，﹣1），
AF2的方程为y=x﹣1，
代入椭圆方程x2+2y2=2，
可得3x2﹣4x=0，
解得x=0或，
即有B（，），
则|BF1|==．
故答案为：．
　
12．设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1=1，且a1，Sn，an+1（n∈N
）成等差数列，则a2016=　32014　．
【考点】数列的求和．
【分析】通过a1，Sn，an+1（n∈N
）成等差数列及a1=1可知2Sn=a1+an+1=1+an+1，并与当n≥2时2Sn﹣1=1+an作差，整理可知数列{an}从第二项起是首项为1、公比为3的等比数列，进而计算即得结论．
【解答】解：∵a1，Sn，an+1（n∈N
）成等差数列，且a1=1，
∴2Sn=a1+an+1=1+an+1，
当n≥2时，2Sn﹣1=1+an，
两式相减得：2an=an+1﹣an，
即an+1=3an（n≥2），
又∵a2=2S1﹣1=1，
∴数列{an}从第二项起是首项为1、公比为3的等比数列，
∴a2016=32014，
故答案为：32014．
　
13．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的上顶点为A，右焦点为F，椭圆C上存在点P使线段OP被直线AF平分，则椭圆C的离心率的取值范围是　　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．把点M的坐标代入直线AF的方程可得：
+=1，与+=1联立，利用△≥0，及其离心率计算公式即可得出．
【解答】解：设P（x0，y0），则线段OP的中点为M．
直线AF的方程为：
=1，
把点M的坐标代入可得：
+=1，
与+=1联立可得：﹣4a2cx0+3a2c2=0，
△=16a4c2﹣12a2c2（a2+c2）≥0，
化为a2≥3c2，
解得．
∴椭圆C的离心率的取值范围是．
故答案为：．
　
14．已知关于x的不等式x2﹣（4a+2）x+3a2+2a＜0（a＞﹣1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是　≤a＜　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有3个整数解，确定解集的取值范围，即可求解．
【解答】解：由x2﹣（4a+2）x+3a2+2a＜0，得（x﹣3a﹣2）（x﹣a）＜0，
∵a＞﹣1，∴不等式的解为a＜x＜3a+2，
﹣1＜a≤0，﹣1＜3a+2＜2，整数解是0，1，不满足；
0＜a＜1，3≤3a+2＜4，即≤a＜，整数解是1，2，3，满足．
a＞1，3a+2﹣a=2a+2＞4，不满足．
综上，满足条件的a的取值范围是≤a＜．
故答案为：≤a＜．
　
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2csinA．
（1）求C；
（2）若c=，a+b=5，求△ABC的面积．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理，得到sinC=，然后求解C即可．
（2）利用a+b=5，可得a2+2ab+b2=25，然后利用余弦定理得ab，即可求解三角形的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC为锐角三角形，且a﹣2csinA=0，
∴由正弦定理，得：
sinA﹣2sinCsinA=0，…
∴sinC=．…
故C=．…
（2）∵a+b=5，∴a2+2ab+b2=25（1）…
又∵c=，C=，
∴由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7（2）…
由（1）、（2）两式得：ab=6，…
故由三角形的面积公式，得S=absin=．
…
　
16．公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N
），已知S5=a，且a2，a5，a14成等比数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）当d≠0时，数列{}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）通过等差中项的性质及S5=a可知a3=5，结合a2，a3，a14成等比数列可知d=0或d=2，进而计算可得结论；
（2）通过（1）及d≠0可知an=2n﹣1，进而裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．
【解答】解：（1）依题意，，
由①解得：a3=0（舍）或a3=5，
将a3=5代入②得d=0或d=2，
当d=0时an=5，当d=2时an=2n﹣1；
（2）由（1）及d≠0可知an=2n﹣1，
∵===（﹣），
∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）
=（1+﹣﹣）
=﹣（+）
＜．
　
17．如图，有一矩形相框，放置照片区域的上、下方要各留3cm空白，左、右两侧要各留2cm的空白．
（1）若相框周长为80cm，要使其面积不小于300cm2，求相框一边的范围；
（2）若相框的面积为400cm2，求框内可放照片的最大面积．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）设相框高为xcm，宽为ycm，由题意可得x+y=40，xy≥300，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得xy=400，则框内照片面积S=（x﹣6）（y﹣4）=xy﹣6y﹣4x+24，即S=424﹣6y﹣4x，运用基本不等式即可得到最大值．
【解答】解：（1）设相框高为xcm，宽为ycm，
由题意可得x+y=40，xy≥300，
即有x2﹣40x+300≤0，
解得10≤x≤30，
则相框一边的范围为[10，30]；
（2）由题意可得xy=400，
则框内照片面积S=（x﹣6）（y﹣4）=xy﹣6y﹣4x+24，
即S=424﹣6y﹣4x，
∵x＞0，y＞0，xy=400，
∴6y+4x≥2=80，
当且仅当6y=4x，即x=10，y=时等号成立．
则S≤424﹣80．
即有照片面积最大为424﹣80cm2．
　
18．已知曲线C上任意一点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过x轴上一点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，问是否存在定点Q使+为定值，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等，由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程．
（2）设出直线方程代入抛物线的方程，利用韦达定理，结合+为定值，求出点Q的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，P到F（1，0）距离等于它到直线x=﹣1的距离，
由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=﹣1为准线，
所以C的方程为y2=4x；
（2）设Q（a，0），直线l的方程为x=my+a，A（x1，y1），B（x2，y2），．
直线方程代入抛物线的方程，可得y2﹣4my﹣4a=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，
∴+=+
= （+）=，
∴a=2时，
+为定值，此时△＞0，
∴Q（2，0）时，
+为定值．
　
19．如图，过坐标原点O的直线椭圆Г：
+=1（a＞b＞0）于P，A两点，其中P在第一象限，B在椭圆Г上，直线AB与x轴交于点C．
（1）若椭圆Г的焦距为2，点P坐标为（，1），求椭圆Г的标准方程；
（2）求证：kBP kBA=﹣；
（3）若BP⊥AP，PC⊥x轴，求椭圆Г的离心率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可得c=，即a2﹣b2=2，将P（，1）代入椭圆方程，解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设A（x1，y1），P（﹣x1，﹣y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简即可得证；
（3）由两直线垂直的条件可得kBP kAP=﹣1，由（2）的结论，运用直线的斜率公式，化简整理，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到离心率．
【解答】解：（1）由题意可得2c=2，即为c=，
即a2﹣b2=2，
将P（，1）代入椭圆方程可得，
+=1，
解得a=2，b=，
则椭圆Г的标准方程为+=1；
（2）证明：设A（x1，y1），P（﹣x1，﹣y1），B（x2，y2），
即有+=1，
+=1，
两式相减可得，
+=0，
则kBP kBA= ==﹣；
（3）由BP⊥AP，可得kBP kAP=﹣1，
由kBP kBA=﹣，可得kAP=kBA，（
）
设P（x0，y0），则A（﹣x0，﹣y0），C（x0，0），
则kAP=，kBA=kCA=，
代入（
），可得= ，
即有a2=2b2，由a2﹣b2=c2，
可得a2=2c2，e==．
　
20．已知函数f（x）=x3﹣ax2+1（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，2），求该曲线在点P处的切线方程；
（2）求函数f（x）的最大值；
（3）若a=4，令g（x）=f（f（x））﹣b，其中b∈（﹣，1），求y=g（x）的零点个数．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出a的值，求出f′（1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的符号，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值；
（3）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的极值，通过讨论讨论b讨论的范围，结合函数的图象求出函数的零点个数即可．
【解答】解：（1）若曲线y=f（x）过点P（1，2），
则2=﹣a+1．解得：a=﹣，
于是f（x）=x2+x2+1，f′（x）=2x2+x，f′（1）=，
∴切线方程是y﹣2=（x﹣1），即8x﹣3y﹣2=0；
（2）由f′（x）=2x（x﹣）=0，解得：x=0或x=，
当a=0时，f′（x）≥0恒成立，函数f（x）无极大值，
当a＞0时，x∈（﹣∞，0），f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
∴f（x）极大值=f（0）=1，
a＜0时，x∈（﹣∞，），f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（，0），f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）极大值=f（）=1﹣，
综上，a=0时，f（x）无极大值，a＞0时，f（x）的极大值是1，
a＜0时，f（x）极大值是1﹣，
（3）a=4时，f（x）=x3﹣2x2+1，f′（x）=2x（x﹣2），
f（x）在（﹣∞，0）递增，（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
f（x）极大值=f（0）=1，f（x）极小值=f（2）=﹣，
函数f（x）的图象如图1：
令f（x）=t，∵x∈R，∴t∈R，
∴y=f（x）与y=f（t）的图象相同，g（x）=f（f（x））﹣b的零点个数
即为方程f（f（x））=b不同实数解的个数，
先讨论f（t）=b的解的情况，f（t）的图象如图2，
再讨论方程f（x）=t的解的情况，
①注意到f（1）=﹣，∴当﹣＜b＜1时，
f（t）=b有3个实数解t1（t1＞2），t2（0＜t2＜1），t3（﹣1＜t3＜0），
∵f（x）=t1有1个实数解，f（x）=t2有3个实数解，f（x）=t3有3个实数解，
故f（f（x））=b（b∈（﹣，1））共有7个实数解；
②当b=﹣时，f（t）=﹣有3个实数解t1=1+，t2=1，t3=1﹣，
∵f（x）=t1有1个实数解，f（x）=t2有2个实数解，f（x）=t3有3个实数解，
故f（f（x））=﹣（b∈（﹣，1））共有6个实数解；
③当﹣＜b＜﹣时，f（t）=b有3个实数解t1（t1＞2），t2（1＜t2＜2），t3（﹣1＜t3＜0），
∵f（x）=t1有1个实数解，f（x）=t2有1个实数解，f（x）=t3有3个实数解，
故f（f（x））=b（b∈（﹣，﹣））共有5个实数解；
综上：当﹣＜b＜﹣时，函数y=g（x）有5个零点，
当b=﹣时，函数y=g（x）有6个零点，
当﹣＜b＜1时，函数y=g（x）有7个零点．
　
2016年9月16日