2026年高考一轮复习小题精练（八）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·北京延庆·二模）设且，“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．且 C． D．
【答案】A
【分析】求解不等式，根据不等式的解集，即可求得必要条件.
【详解】不等式，可整理得，
解得且.
故是的必要不充分条件；
而CD不满足必要性，B为充要条件.
故选：A.
2．（2025·广东广州·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【分析】先利用对已知条件化简求出，再利用复数模的计算公式求．
【详解】，，又，
，即，
．
故选：C．
3．（2025·四川德阳·模拟预测）边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】A
【分析】将圆柱展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算即可得到答案.
【详解】圆柱的侧面展开图如图所示，
展开后，
∴，即为所求最短距离．
故选：A.
4．（2025·湖南·模拟预测）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示：
由得，所以，
故选：A
5．（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．30 C．45 D．15
【答案】A
【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
【详解】的展开式中，有，
则的系数为，的系数为，
所以的展开式中，的系数为．
故选：A．
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（ ）
A．16 B．25 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是5.
故选：D
7．（2025·广西·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质和通项公式、前项和公式进行求解即可.
【详解】由题意得，
.
两式相减得，
解得.
因为，化简得
因为，所以由方程②可得，代入方程①可得，
因为，化简得，
解得.
故选：D.
8．（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】作垂直于于点，作垂直于于点，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标计算出的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案.
【详解】
如图，作垂直于于点，作垂直于于点，
又，，，
则，，，，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，又P为腰AD所在直线上任意一点，
则设，，则点P的坐标为，
所以，，
又关于的二次函数的对称轴为，
则在上单调递减，
所以当，即点P和点D重合时，取得最小值．
故的最小值是．
故选：C．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C．. D．
【答案】AC
【分析】先利用同角三角函数的基本关系可求与值，进而利用诱导公式逐项判断.
【详解】由，得，.
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：AC
10．（2025·江西·模拟预测）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用赋值法求得，，判断ABD，题干等式转化为，再赋值求解判断C.
【详解】根据题意可知，函数满足，
令，得，解得，故A错误；
令，得，即，
因为，所以，故B正确；
因为，则，
令，则，故C正确；
又，
则，故D错误.
故选：BC.
11．（2025·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ）
A．的准线方程为
B．周长的最小值为5
C．直线的倾斜角为
D．四边形不可能是平行四边形
【答案】ABD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出，求出抛物线方程，即可判断A、C，根据抛物线的定义判断B，求出点坐标，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
又点满足，所以，
即，解得或（舍去），
所以抛物线，则准线方程为，焦点为，故A正确；
过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义可知，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，
所以周长的最小值为，故B正确；
因为，所以直线的倾斜角为，故C错误；
过点作的平行线，交抛物线于点，
即，解得，即，则，
所以四边形不是平行四边形，故D正确.
故选：ABD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2025高二·全国·专题练习）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为 ．
【答案】
【分析】画出图形，设外接球的半径为，则，然后结合圆台的性质求出母线长，从而可求出圆台的侧面积，进而可求出圆台的侧面积与球的表面积之比.
【详解】如图，设圆台的外接球半径为，则由题意可得，
过点作于点，则，
所以，
因为，
所以，
所以圆台的侧面积,
因为球的表面积为，
所以圆台的侧面积与球的表面积之比为
.
故答案为：
13．（2025·河北·模拟预测）已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 .
【答案】/
【分析】通过代入值，发现数列的周期，再利用周期性即可求该数列的前2025项和.
【详解】因，则，，
，，，，
可见4是数列的一个周期，且，
故.
故答案为：.
14．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围 .
【答案】
【分析】利用导数对函数的单调性进行判断，由于存在参数，需对的取值进行分类讨论，根据函数有3个零点的条件求解.
【详解】函数的定义域为.
，化简得.
若，则恒成立.
因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增.
故此时至多有2个零点，与条件不符.
若，则.
当，即时，
和时，，单调递增；
时，，单调递减.
故当时，有极大值，
当时，有极小值，化简得.
因为趋于时，趋于，当趋于时，趋于，
所以，要使有3个零点，则极大值，极小值.
故，解得.
当，即时，
和时，，单调递增；
时，，单调递减.
故当时，有极大值，
当时，有极小值.
要使有3个零点，则极大值，极小值.
则，解得，与矛盾.
故此情况没有实数能使由3个零点.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：2026年高考一轮复习小题精练（八）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2023·北京延庆·二模）设且，“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．且 C． D．
2．（2025·广东广州·模拟预测）若复数满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
3．（2025·四川德阳·模拟预测）边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（ ）
A． B．12 C． D．
4．（2025·湖南·模拟预测）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为原点），则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2025·广东·模拟预测）的展开式中，的系数为（ ）
A．60 B．30 C．45 D．15
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）若，且，则的最小值是（ ）
A．16 B．25 C．4 D．5
7．（2025·广西·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P为腰AD所在线段上任意一点，则的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（ ）
A． B．
C．. D．
10．（2025·江西·模拟预测）对于任意的，函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为为坐标原点，动点在上，若点满足，则（ ）
A．的准线方程为
B．周长的最小值为5
C．直线的倾斜角为
D．四边形不可能是平行四边形
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2025高二·全国·专题练习）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为 ．
13．（2025·河北·模拟预测）已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 .
14．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围 .
