吉林省吉林市普通高中2025-2026学年高二上学期期中数学考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省吉林市普通高中2025-2026学年高二上学期期中数学考试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-05 10:52:47 | ||
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文档简介
吉林市普通高中2025—2026学年度高二年级阶段性调研测试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．圆的圆心坐标为
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
4．已知直线与直线垂直，则实数的值为
A． B． C．或 D．
5．圆与圆的公切线的条数是
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于，
两点，则的周长为
A． B． C． D．
7．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
A． B． C． D．
8．已知，，若直线，相交于点，且它们的斜率之积是，
则点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 已知直线，则
A．过点与直线平行的直线方程为
B．过点与直线平行的直线方程为
C．与直线关于原点对称的直线方程为
D．与直线关于原点对称的直线方程为
10．如图，在平行六面体中，设，，，则
A．
B．
C．
D．
11．已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则
A．曲线的方程为
B．曲线上的点到直线的最小距离为
C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则
D．若点坐标为，则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。
12．若，，且与共线，则 .
13．过点作圆的切线，则切线方程为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、
右顶点的一点，且．若，则的面积为 ；设的内心为，其外接圆的半径为，记，的面积分别为，，
若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知圆经过点，，且 ．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆相交于，两点，求．
要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点．
（Ⅰ）求证: 平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，且的面积为
，求直线的方程.
18．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，平面平面，为中点，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，
请求出四面体的体积；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为，椭圆
，且是椭圆的相似椭圆．
（Ⅰ）求椭圆及椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于，两点，为坐标原
点，求证：的面积为定值；
（Ⅲ）如图，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，，，点在线段上运动，点．如图，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长．
图 图
命题、校对：高二数学命题组
吉林市普通高中2025—2026学年度高二年级阶段性调研测试
数学试题参考答案
试题题源：人教版、版选择性必修一的教材与教参，以下教材、教参均指人教版选择性必修一.
教材 教参 真题
版
版练习
版例
版和
版习题
版例，习题 年新高考Ⅰ卷题
版例
版例，和
年新高考Ⅱ卷题
教学建议：基础年级教师在教学时关注课标+教材+教参+真题.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B B A D D C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABD ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．
13． （写成也给分)
14． ；
14题教学提示：此题用到如下知识：
1．正弦定理
2．焦点三角形面积
3．三角形面积用周长和内切圆半径表示（分割法）
四 、解答题
15．【解析】
解：（Ⅰ）选①（法一）
设圆的标准方程为. 2分
由题意可得 解得 5分
圆的标准方程为. 7分
（Ⅰ）选①（法二）
设圆的一般方程为. 2分
由题意可得解得 5分
圆的一般方程为，
即圆的标准方程为. 7分
(注：圆的方程未写成标准方程形式扣1分. )
（Ⅰ）选②（法一）
由题意可得，中点为，
线段的垂直平分线为，即． 2分
圆心在直线上，联立 解得 即圆心．
圆的半径， 5分
圆的标准方程为. 7分
（Ⅰ）选②（法二）
设圆心，， 2分
整理得，圆心，. 5分
圆的标准方程为. 7分
（Ⅱ）（法一）由（Ⅰ）知，圆心到直线的距离．
10分
圆的半径，. 13分
（法二）联立直线方程与圆的方程，解得和， 10分
所以，，由两点间距离公式得. 13分
(注：利用弦长公式求正确给满分. )
16．【解析】
（Ⅰ）证明：取中点，连接．
分别为中点， ，且．
，且 ．
四边形为平行四边形，． 4分
平面平面
平面． 6分
（Ⅱ）
又平面
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
依题意，是平面的一个法向量， 8分
，，
设平面的一个法向量为，则，．
则 取，则，
平面的一个法向量为. 12分
设平面与平面的夹角为，则
即平面与平面夹角的余弦值为. 15分
（注：若在第一问建系，求出平面法向量给8分，证明平面给2分，但不强调平面扣1分；第二问求出平面法向量给2分，计算平面与平面夹角余弦值给2分，结论1分．）
注：立体几何解答题答题规范说明：
1. 建系规则：建系默认用右手直角坐标系．若用左手直角坐标系，解题全程正确、答案无误，可获满分；若有错误，则不得分．
2. 呈现要求：须在答题卡答题区清晰展示建系过程，明确标注坐标轴方向与原点位置．
【解析】
解：（Ⅰ）由题知，，，则，又， 2分
所以椭圆的标准方程为. 4分
（Ⅱ）（法一）由题可知，直线斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立 消去，得，
因为恒成立，所以，， 8分
，
所以的面积， 12分
化简得，
解得（负值舍去），所以或， 14分
所以直线的方程为或. 15分
（法二）设直线方程为，
联立直线方程与椭圆方程，消去，得，
点到直线的距离，，
的面积， 12分
解得或． 14分
所以直线的方程为或. 15分
（注：若设直线方程为，需讨论斜率不存在的情况，不讨论扣分.）
18．【解析】
（Ⅰ）证明：取中点，连接，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面． 4分
又平面，．
又与相交，且平面，
平面. 7分
（Ⅱ）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为．取中点，连接．
由（Ⅰ）知，平面平面，．
又分别为中点，．
平面． 9分
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，
，，
，，．
设． 11分
设平面的一个法向量为，则，.
则 取，则，
． 13分
设点到平面的距离
，又．
即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 15分
点到平面的距离为
点到平面的距离为．
四面体的体积为. 17分
（法二）平面，，取中点．
又，，四边形是平行四边形，．
又由（Ⅰ）知，平面，则平面． 9分
以为原点，，，所在直线分别为轴、
轴，轴，如图建系．
，，，，
，，，
，，．
设，
． 11分
设平面的一个法向量为，则，.
则 取，则， ． 13分
设点到平面的距离，，
即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 15分
四面体的体积为. 17分
（法三）解题思路：
设点，，到平面的距离为，，，，
利用等积法可求得，又，则，，以下思路同法一．
19．【解析】
解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为.
椭圆离心率为，．又，．
，.
椭圆的标准方程为. 3分
当时，椭圆的标准方程为. 4分
(注：椭圆方程未写成标准方程形式扣1分. )
（Ⅱ）（法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为，
当时，代入椭圆，得，，则.
. 5分
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，
联立 消去，得.
则，化简得. 7分
联立 消去，得.
因为，由韦达定理得，． 9分
.
综上，的面积为定值. 11分
（法二）证明：当直线斜率为时，直线方程为，
当时，代入椭圆，得，，则.
. 5分
当直线斜率不为时，设直线方程为，，，
联立 消去，得.
则，化简得. 7分
联立 消去，得.
因为，由韦达定理得，，． 9分
.
综上，的面积为定值. 11分
（法三）利用化简得，， 9分
则，点到直线的距离，
所以. 11分
(注：利用其他方法求面积正确给满分. )
（Ⅲ）折叠后，以为原点，，，所在直线分别为轴、
轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，．
点在线段上运动，设.
，，
，.
设平面的一个法向量为，则，.
则 取，则，．
平面的一个法向量为． 14分
设直线与平面所成角为，
则,
，解得 或（舍）.
，即点是线段的中点．.
即的长为. 17分
★ 保密·启用前 ★
高二数学试题 第 1 页 （共 6 页）
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案写在答题卡上。字体工整，笔迹清楚。
3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1．直线的倾斜角为
A． B． C． D．
2．圆的圆心坐标为
A． B． C． D．
3．椭圆的焦点坐标是
A．， B．，
C．， D．，
4．已知直线与直线垂直，则实数的值为
A． B． C．或 D．
5．圆与圆的公切线的条数是
A． B． C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与椭圆交于，
两点，则的周长为
A． B． C． D．
7．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是
A． B． C． D．
8．已知，，若直线，相交于点，且它们的斜率之积是，
则点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9． 已知直线，则
A．过点与直线平行的直线方程为
B．过点与直线平行的直线方程为
C．与直线关于原点对称的直线方程为
D．与直线关于原点对称的直线方程为
10．如图，在平行六面体中，设，，，则
A．
B．
C．
D．
11．已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则
A．曲线的方程为
B．曲线上的点到直线的最小距离为
C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则
D．若点坐标为，则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。其中第14题的第一个空填对得2分， 第二个空填对得3分。
12．若，，且与共线，则 .
13．过点作圆的切线，则切线方程为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上异于左、
右顶点的一点，且．若，则的面积为 ；设的内心为，其外接圆的半径为，记，的面积分别为，，
若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知圆经过点，，且 ．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆相交于，两点，求．
要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16．（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点．
（Ⅰ）求证: 平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于，两点，且的面积为
，求直线的方程.
18．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，平面平面，为中点，，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，
请求出四面体的体积；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，短轴长为，椭圆
，且是椭圆的相似椭圆．
（Ⅰ）求椭圆及椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆上一点作椭圆的切线与椭圆相交于，两点，为坐标原
点，求证：的面积为定值；
（Ⅲ）如图，为坐标原点，椭圆的右顶点、上顶点、下顶点分别为，，，点在线段上运动，点．如图，将所在平面沿直线折成直二面角，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长．
图 图
命题、校对：高二数学命题组
吉林市普通高中2025—2026学年度高二年级阶段性调研测试
数学试题参考答案
试题题源：人教版、版选择性必修一的教材与教参，以下教材、教参均指人教版选择性必修一.
教材 教参 真题
版
版练习
版例
版和
版习题
版例，习题 年新高考Ⅰ卷题
版例
版例，和
年新高考Ⅱ卷题
教学建议：基础年级教师在教学时关注课标+教材+教参+真题.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B B A D D C
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC ABD ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12．
13． （写成也给分)
14． ；
14题教学提示：此题用到如下知识：
1．正弦定理
2．焦点三角形面积
3．三角形面积用周长和内切圆半径表示（分割法）
四 、解答题
15．【解析】
解：（Ⅰ）选①（法一）
设圆的标准方程为. 2分
由题意可得 解得 5分
圆的标准方程为. 7分
（Ⅰ）选①（法二）
设圆的一般方程为. 2分
由题意可得解得 5分
圆的一般方程为，
即圆的标准方程为. 7分
(注：圆的方程未写成标准方程形式扣1分. )
（Ⅰ）选②（法一）
由题意可得，中点为，
线段的垂直平分线为，即． 2分
圆心在直线上，联立 解得 即圆心．
圆的半径， 5分
圆的标准方程为. 7分
（Ⅰ）选②（法二）
设圆心，， 2分
整理得，圆心，. 5分
圆的标准方程为. 7分
（Ⅱ）（法一）由（Ⅰ）知，圆心到直线的距离．
10分
圆的半径，. 13分
（法二）联立直线方程与圆的方程，解得和， 10分
所以，，由两点间距离公式得. 13分
(注：利用弦长公式求正确给满分. )
16．【解析】
（Ⅰ）证明：取中点，连接．
分别为中点， ，且．
，且 ．
四边形为平行四边形，． 4分
平面平面
平面． 6分
（Ⅱ）
又平面
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
依题意，是平面的一个法向量， 8分
，，
设平面的一个法向量为，则，．
则 取，则，
平面的一个法向量为. 12分
设平面与平面的夹角为，则
即平面与平面夹角的余弦值为. 15分
（注：若在第一问建系，求出平面法向量给8分，证明平面给2分，但不强调平面扣1分；第二问求出平面法向量给2分，计算平面与平面夹角余弦值给2分，结论1分．）
注：立体几何解答题答题规范说明：
1. 建系规则：建系默认用右手直角坐标系．若用左手直角坐标系，解题全程正确、答案无误，可获满分；若有错误，则不得分．
2. 呈现要求：须在答题卡答题区清晰展示建系过程，明确标注坐标轴方向与原点位置．
【解析】
解：（Ⅰ）由题知，，，则，又， 2分
所以椭圆的标准方程为. 4分
（Ⅱ）（法一）由题可知，直线斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立 消去，得，
因为恒成立，所以，， 8分
，
所以的面积， 12分
化简得，
解得（负值舍去），所以或， 14分
所以直线的方程为或. 15分
（法二）设直线方程为，
联立直线方程与椭圆方程，消去，得，
点到直线的距离，，
的面积， 12分
解得或． 14分
所以直线的方程为或. 15分
（注：若设直线方程为，需讨论斜率不存在的情况，不讨论扣分.）
18．【解析】
（Ⅰ）证明：取中点，连接，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面． 4分
又平面，．
又与相交，且平面，
平面. 7分
（Ⅱ）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为．取中点，连接．
由（Ⅰ）知，平面平面，．
又分别为中点，．
平面． 9分
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，
，，
，，．
设． 11分
设平面的一个法向量为，则，.
则 取，则，
． 13分
设点到平面的距离
，又．
即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 15分
点到平面的距离为
点到平面的距离为．
四面体的体积为. 17分
（法二）平面，，取中点．
又，，四边形是平行四边形，．
又由（Ⅰ）知，平面，则平面． 9分
以为原点，，，所在直线分别为轴、
轴，轴，如图建系．
，，，，
，，，
，，．
设，
． 11分
设平面的一个法向量为，则，.
则 取，则， ． 13分
设点到平面的距离，，
即线段上存在点，当时，点到平面的距离为． 15分
四面体的体积为. 17分
（法三）解题思路：
设点，，到平面的距离为，，，，
利用等积法可求得，又，则，，以下思路同法一．
19．【解析】
解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为.
椭圆离心率为，．又，．
，.
椭圆的标准方程为. 3分
当时，椭圆的标准方程为. 4分
(注：椭圆方程未写成标准方程形式扣1分. )
（Ⅱ）（法一）证明：当直线斜率不存在时，直线方程为，
当时，代入椭圆，得，，则.
. 5分
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，，
联立 消去，得.
则，化简得. 7分
联立 消去，得.
因为，由韦达定理得，． 9分
.
综上，的面积为定值. 11分
（法二）证明：当直线斜率为时，直线方程为，
当时，代入椭圆，得，，则.
. 5分
当直线斜率不为时，设直线方程为，，，
联立 消去，得.
则，化简得. 7分
联立 消去，得.
因为，由韦达定理得，，． 9分
.
综上，的面积为定值. 11分
（法三）利用化简得，， 9分
则，点到直线的距离，
所以. 11分
(注：利用其他方法求面积正确给满分. )
（Ⅲ）折叠后，以为原点，，，所在直线分别为轴、
轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，．
点在线段上运动，设.
，，
，.
设平面的一个法向量为，则，.
则 取，则，．
平面的一个法向量为． 14分
设直线与平面所成角为，
则,
，解得 或（舍）.
，即点是线段的中点．.
即的长为. 17分
★ 保密·启用前 ★
高二数学试题 第 1 页 （共 6 页）
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