上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期期终教学质量监测指标数学试卷（含答案）

上海市徐汇区2024-2025学年高三上学期期终教学质量监测指标
数学试卷
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.已知为正数，则“”是“”的 ．
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知事件和事件满足，则下列说法正确的是 ．
A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥
C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥
3.设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.数列为严格增数列，且对任意的正整数，都有，则称数列满足“性质”．
存在等差数列满足“性质”；
任意等比数列，若首项，则满足“性质”；
下列选项中正确的是( )
A. 是真命题，是真命题； B. 是真命题，是假命题；
C. 是假命题，是真命题； D. 是假命题，是假命题．
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.函数的定义域为 ．
6.直线的倾斜角为 用反三角函数表示
7.如果复数满足为虚数单位，则 ．
8.在的二项展开式中，项的系数为 ．
9.设且，则函数的图像恒过的定点坐标为 ．
10.若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为 结果保留
11.已知函数为奇函数，则 ．
12.从名数学老师中选出人安排在天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老师甲必须参加且不安排在假期第一天值班，则不同的值班安排方法种数为 ．
13.已知为虚数单位，为正整数，当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为 ．
14.若正实数满足，则的最小值是 ．
15.设为坐标原点，从集合中任取两个不同的元素、，组成、两点的坐标，则的概率为 ．
16.点、、分别位于正方体的面上，，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点．
若底面为边长为的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积；
求证：平面．
18.本小题分
设．
当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；
若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值．
19.本小题分
在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决比赛采用局胜制，最终的胜者将赢得万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为，乙队每局获胜概率为比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据甲队队员的击杀数单位：个数据如下：；乙队队员的击杀数单位：个数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止请回答以下问题：
根据目前情况甲队已连胜两局，写出甲乙两队“采用局胜制”的比赛结果的样本空间；
根据所给数据，绘制甲乙两队队员的击杀数分布的茎叶图；
在目前情况下甲队已连胜两局，估算甲乙两队获胜概率，并据此分配万元奖金．
20.本小题分
已知圆，双曲线，直线，其中．
当时，求双曲线的离心率；
若与圆相切，证明：与双曲线的左右两支各有一个公共点；
设与轴交于点，与圆交于点、，与双曲线的左右两支分别交于点、，四个点从左至右依次为、、、当时，是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
双曲余弦函数，双曲正弦函数．
求函数的单调增区间；
若函数在上的最小值是，求实数的值；
对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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17.【详解】在三棱柱中，平面平面，
由平面平面，得点在平面上的射影在直线上，
点与其在平面上的射影的距离为点到平面的距离，
直线与直线的夹角即为侧棱与底面所成的角为，
因此，而正的面积，
所以三棱柱的体积．
在三棱柱中，取的中点，连接，，
在中，由是的中点，得，且，
而且，又为棱的中点，则，且，
则四边形为平行四边形，，又平面，平面，
所以平面．

18.【详解】因为且函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
则，
由，则，
所以当，即时取得最大值．
当时，，则，
因为，所以，则，解得；
因为，所以，
由余弦定理，
得，所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为．

19.【详解】用表示甲队在第局获胜，则表示乙队第局获胜，
所以所求样本空间．
甲乙两队队员的击杀数分布的茎叶图，如图，
乙队获胜的事件为，则，，
因此甲队获胜的概率为，
由此分配万元奖金，甲队分得万元，乙队分得万元．

20.【详解】由题意，，所以，，
因此，双曲线的离心率．
由直线与圆相切，得，即，
联立得，
即，
该一元二次方程的判别式，
因此有两个不相等的实数根，
且两根之积为，因此两根一正一负，
即与双曲线的左右两支各有一个公共点．
设，
联立，得，得
由可得．
联立得，得
且分别交于左右两支可得
又，又、、、四个点在同一直线上，
，
，还可得，
，
即，化简后可得：，
代入后化简可得：，解得，由，得．
经检验，此时与两支分别有交点，
为唯一满足条件的实数．

21.【详解】由，，
则，令，解得，
当时，，则双曲余弦函数在单调递增；
当时，，则双曲余弦函数在单调递减；
所以函数的单调增区间是．
．
令，
所以在上是严格增函数，
则当时，
函数，
当时，严格增，，舍去，
当时，，解得．
综上所述，实数的值为．
证明
令
则，
所以在上单调增，则，
则当，即成立；
令
则，
所以在上单调增，则，
则当，即成立；
故，得证．
证明，
令，
令为偶函数．
令，且，
则当时，由结论可知，，
则，即当时，，
由偶函数性质得，从而单调增，又，
所以当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
从而，即有．
再证明：任意，当时，恒成立．
设，，其中，
当时，，成立；
当时，，在单调递增，
则，由已证，
故，
即任意，当时，恒成立．
再证明对任意的，都存在实数，使得．
令，
令为偶函数，
令，
则当时，，
所以单调递增，
由于，所以，且当，
由于是偶函数，由对称性以下只需要考虑时
所以存在，使得，
从而当时，，即，则在单调递减；
当时，，即，则在单调递增；
又时，，
所以存在，使得，
即有当时，，即，则在时单调递减；
当时，，即，则在时单调递增；
又时，，
所以存在，使得，当时，．
对任意的，都存在，使得，得证．
综上所述，实数的取值范围为．

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