2025-2026学年江西省景德镇市乐平三中等校高三（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年江西省景德镇市乐平三中等校高三（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题既是真命题又是存在量词命题的是( )
A. B.
C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 在到之间至少有两个质数
3.若，，则( )
A. B. C. D.
4.若函数且在上为减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.为了测量某古塔点为塔顶，点为在地平面上的射影的高度，小张遥控无人机从地平面垂直向上飞行米后，无人机悬停在古塔外面的处进行拍摄，拍到观测塔顶的仰角为，然后小张遥控无人机朝着水平方向即垂直于直线的方向沿直线飞行米到达处，且距离比距离更远四点共面，最后小张遥控无人机沿着直线朝着塔顶飞了米恰好到达塔顶若将无人机视为质点，则该古塔的高度约为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知函数，则“”是“有个极值点”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知表示不超过的最大整数，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B.
C. 当时，
D. 曲线在点处的切线方程为
10.以下关系式能构成关于的函数的是( )
A. B.
C. D.
11.若定义在上的函数的图象存在对称中心，且该函数的最大值与最小值的差不大于，则称该函数是“狭窄中心对称函数”下列结论正确的是( )
A. 是“狭窄中心对称函数”
B. 若是“狭窄中心对称函数”，则可能也是“狭窄中心对称函数”
C. 是“狭窄中心对称函数”
D. 若是“狭窄中心对称函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若定义在上的函数满足，则______．
13.若函数在上单调递增，则的取值范围是______．
14.若不等式对恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
将函数的图象向下平移个单位长度，再将所得图象每个点的横坐标变为原来的两倍纵坐标不变，得到函数的图象，且的部分图象如图所示．
求，，；
求的解析式与值域；
求曲线的对称轴方程．
16.本小题分
已知函数．
若直线与直线交于点，与的图象交于点，求的最小值；
设函数的定义域为，的定义域为，且，求的取值集合．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
讨论零点的个数；
若有个零点，，，，判断是否为定值，并说明你的理由．
18.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，，且．
求．
设是线段的中点，在线段上，且．
求面积的最小值；
求线段的长度的最小值．
19.本小题分
已知函数．
求函数的极值点，并判断与是否有相等的极小值点或相等的极大值点，说明你的理由．
设函数的图象上存在两点，满足以为直径的圆过原点，且该圆的圆心在轴上．
证明：，两点在直线的两侧．
求的取值范围．
参考答案
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14.
15.由题意得的最大值为，
函数的周期满足，解得，所以，
根据时，取得最大值，可知，
结合，可得；
由知，
结合函数的图象变换，可知，
根据，可得，
即函数的值域为；
由题意得
，
令，解得，
即曲线的对称轴方程为．
16. 由题意可得：，，
所以，
设，
则单调递增，
令，，，单调递减；，，单调递增；
所以．
因为函数，所以，
则的定义域为，因为，所以是的子集，
函数的定义域为，，则成立，
因为，在上均单调递增，则单调递增，所以成立，所以．
所以的取值集合．
17. 当即时，，二次函数开口向上，对称轴为，
在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当即或时，，二次函数开口向下，对称轴为，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以的单调递减区间为：，；单调递增区间为：，．
根据第一问知函数，
，
当即时，有个零点；
当即时，有个零点；
当即时，无零点；
当即时，有个零点；
当即时，有个零点；
当即时，有个零点；
当即时，有个零点；
综上所述：当时，无零点；
当时，有个零点；
当或时，有个零点；
当或时，有个零点；
当时，有个零点．
是定值，理由如下，
由知，当时，有个零点，，，，不妨设，
由二次函数的对称性可知
所以．
18. 解：利用正弦定理可化简为，
因为，则，即，
则由余弦定理可得：；
过点作，垂足为，则，
因为为中点，则，所以，
由正弦定理可得：，且，
则，得，
在直角三角形中，，，
所以
，当且仅当等号成立，此时，
故面积的最小值为；
由可知，，
令，
则，
令，则，
则得，即；
得，即，
则在上单调递减，上单调递增，
则，
故C的最小值为．
19.由题意可得，，令，可得或，
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则的极大值点为，极小值点为；
又，则，，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值点为和，极大值点为；
故与没有相等的极值小点，也没有相等的极大值点．
证明：设，，
因为以为直径的圆过原点，所以，即，
又以为直径的圆的圆心在轴上，所以．
显然，两点不能同在直线的右侧，且，均不能为否则与矛盾，
假设，两点同在直线的左侧，即，，
不妨设，易知，，
因为，所以，
所以，故，
则，
这与矛盾，所以假设不成立，
故，两点在直线的两侧．
由可知，，两点在直线的两侧，
不妨设，则，，
，
显然，则关于的方程在上有解．
令，，则，
所以在上单调递增，
又，当时，，
则，解得，
故的取值范围为．
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