2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学试卷评价报告
2015年高考是湖南实施新课改实验之后的第六次高考。今年的高考数学试卷，借鉴了我省历年高考数学命题的经验，以《考试大纲》、《考试说明》为基础，从“继承经验、稳定发展、改革创新、突出选拔”等方面来体现课程标准的内涵、要求与理念。试卷在整体上体现了“知能并重、深化能力立意；突出作为数学核心的思维能力的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。
1．试题评价
1.1 题型稳定 试题所考主体内容稳定
2015年的文、理试卷增加选择题，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。在三大题型的分值分布中，解答题保持了6题75分的格局，在理科解答题中理16题设置了3题选做2题的方式。选择题10题50分，填空题5题25分。近四年题型、题量和分值分布如表1.1。
表1.1 近四年题型、题量及分值分布
年 份
选择题
填空题
解答题
2012
理8题：40分
文9题：45分
理7题：35分
文6题：30分
6题：75分
2013
理8题：40分
文9题：45分
理7题：35分
文6题：30分
6题：75分
2014
理10题：50分
文10题：50分
理5题：25分
文5题：25分
6题：75分
2015
理10题：50分
文10题：50分
理5题：25分
文5题：25分
6题：75分
近四年试题主要考查的内容载体所占分值情况如表1.2。
表1.2 近四年考查主要内容载体所占分值统计表
年份
2012
2013
2014
2015
集合、
文5
理5
文10
理2
文5
文5
函数、
文15
理23
文17
理25
文18
理20
文14
理14
立体几何与空间向量
文17
理17
文17
理17
文17
理17
文17
理18
解析几何
文18
理18
文16
理18
文28
理23
文23
理18
算法与框图
文5
理5
文5
理5
文5
理5
文5
理5
统计与概率
文22
理17
文22
理15
文22
理17
文17
理22
三角函数与解三角形
文17
理10
文12+5
理12+5
文15
理12
文19
理19
平面向量
文5
理5
文5
理7
文5
理5
文5
理5
数列
文13
理10
文13
理5
文14
理13
文15
理7
不等式
文7
理2
文11
理15
文2
理3
文7
理3
逻辑用语
文5
理7
文5
文5
理5
文5
理5
导数及其应用
文6
理6
文2
理7
文4
理10
文3
理7
推理证明
文5
理5
复数
文5
理5
文5
理5
文5
理5
文5
理5
计算原理
理5
理2
理5
理5
几何证明选讲
理5
理5
理5
理6
坐标系与参数方程
文5
理5
文5
理5
理5
文5
理6
不等式选讲
理5
理5
理5
理6
优选法与实验设计初步
文5
对于选修系列四的内容，理科采取选做的形式来处理，在几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程中各命一道解答题（占6分），考生三选二解答；文科在坐标系与参数方程中命一题，作为必答。
2015年数学高考试题，在解答题的排序上，改变了以往的排列模式化倾向，理科卷用一道选做题放在16题的位置上；立体几何题放在20题位置上，退后后三题。文科卷则在19题位置上放了一道数列题。
1.2 稳妥地把握好文、理科试卷的差异
文科、理科考生在数学思维方面的水平有整体性的差异，对数学学习的层次要求也有很多的不同。2015年的试题仍然很好的把握了这种差异性，在考查主干知识大致相同的情况下，在考查方式、考查能力层次方面进行了很好的区分。理科试题在数学知识的综合运用、数学思维量与思维深刻性、数学证明、分类整合的思想方法等方面，显著高于文科试题。如文科第10题和理科第10题均考查的三视图，虽然问题情境基本相同，但理科试卷中对学生把握由三视图到空间图形的能力要求更高。理12和文2考查茎叶图知识点，题干完全相同，但理科是填空题，文科是选择题。从理论上看，文科试卷中条件给出得更加直接，理科却还需要考生对条件进行分析和进一步推导，思维量也就增大了。文理全卷仅理科第1题与文科第1题、理科第3题与文科第5题、理科第5题与文科第8题、理科8与文科9完全一致，其他题则基本不同。
1.3 注重对重要数学思想方法和基本数学能力的考查
2015年湖南省数学高考题注重对考生以基础知识为载体的转化与化归、分类与整合的数学思想方法的重点考查，较好的考查了学生的数学思维能力，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的机会。数学思想方法的掌握是解决数学问题的关键，试题对课标中强调转化与化归，分类与整合的的数学思想方法的考查突出体现在：
(1) 分类与整合的思想方法，如理21，文19、21等题；
(2) 转化与化归的思想，如理20，文20等题；
2015年较好地体现了“深化能力立意”命题指导思想的重要命题思路。全面地考查了课标中提出的空间想象能力（如理10、19，文10、18）、抽象概括能力（如理20，文20）、推理论证能力（如理17、19、21，文17、18、21）、运算求解能力（如理17、18、21，文17、18、21）、数据处理能力（如理12、18，文2、16）五大基本能力。注重考查学生的综合素质，考查考生综合运用知识的能力以及个性品质（如理17、20、21，文17、20、21）。
1.4 体现了“在知识网络的交汇点命题”的命题思想
在知识网络的交汇点命题较好地考查了考生对数学知识之间联系及转化的掌握情况与解决问题的能力。2015湖南高考卷中的选择、填空题中的部分较难题与解答题通过对知识的交叉、渗透和综合，深刻考查考生的数学思维能力与数学素养。2015年试卷中的6道解答题，除理16作为选答题外，其余题分别侧重于三角函数、统计与概率、立体几何、数列、解析几何、函数综合（综合函数、导数、不等式），既体现了知识网络的交汇，又很好地展现了重要的数学思想方法。如理科20题将直线、椭圆、抛物等知识点融合在一起，较为全面地考查了学生解析几何的基础知识与基本方法，体现了将几种圆锥曲线综合命题的一种趋势。理科21题将导数、函数、三角函数、不等式、数列等知识结合在一起；文科20题则将直线、抛物、椭圆等知识结合在一起。文科21题，将函数，三角函数，导数，不等式，数列等基础知识结合在一起。
明显的，理科试题的知识综合性远高于文科试题。
1.5 试题源于教材，关注本质
教材是数学教学的根本，是学生学习的载体，而本试题源于教材，又不拘泥于教材，如2015年湖南省高考理科数学卷中，选择题中第1～7题，填空题第11～14题、，解答题第18题等，都可以从教材中找到原型。文科试卷中这一特点更明显，不仅小题，解答题中第16题、17题均源自教材，却又高于教材。
1.6 整体难度下降 起点放低
在整套试卷中，文理科的整体难度与去年相比略有下降。选择、填空题以及概率题的整体难度较去年较大的下降；最后的压轴题难度稍有上升。试卷从整体上看与去年相比作了些改变，不再完全按照由易到难的传统格局排列。理科试卷16三选二，本次试题安排打破了以往的常规，将本题放在第16题，这考查了考生良好的心理素质和应变能力。
1.7 放弃两个意思的考查 强调对数学思维严谨性的考查
2015年湖南高考数学卷放弃了前几年特别注重对学生学习能力与数学应用意识和创新意识的考查，取消了之前的综合应用题和新概念题。试题中已见不到应用题和创新题的踪影。
在解答题中，特别强调了对“推理证明”能力的考查，在理数的六道解答题中，仅理18概率题没有明确提出“证明”，其余五道题中都明确有“证明”的要求，在文数的六道解答题中，仅文20解析几何没有明确提出“证明”，其余五道题中都明确有“证明”或“说明理由”的要求。在理17三角函数题中，讨论SinA+SinC的取值范围时，角A的取值范围，在文19数列题中，讨论与的关系时，需考生特别注意是否满足相应关系，在文20、理20函数综合题中，在中需考生对取等号的情形加以特别考虑。这些体现了考题在思维严谨性上对考生提出了较高的要求。
2．理科考生答题情况分析
2.1 考生整体成绩统计
对于人工评卷部分(包括填空题25分和解答题75分)，考生的平均分、难度、0分率及满分率见表2.1.
表2.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数194388)
题号
11-15
16
17
18
19
20
21
合计
平均分
13.65
8.22
6.17
8.52
4.92
1.88
0.65
44.01
难度
0.546
0.685
0.514
0.74
0.378
0.145
0.05
0分率
6.19
7.5
13.89
8.69
18.89
32.3
68.09
满分率
4.8
26.19
4.3
52.6
10.1
0.2
1人
标准差
6.32
3.84
3.8
4.38
4.13
2.46
1.22
2.2 理科填空题:
2.2.1 得分情况:
11-15题满分25分，平均分13.65分，得分分布见表2.2。
表2.2 理科11-15题分值分布
分值
0
5
10
15
20
25
百分比
6.19
11.69
20.2
31.6
25.5
4.8
2.2.2 试题分析
总体来看，题目难度不大，主要考查考生对基本概念，基础知识，基本方法的理解与运用侧重于对通性通法的考察，避免了难题，怪题，偏题的出现尤其是第15题，虽然灵活，综合性强，但考查的都是常见的基本思想方法、重要是思想理论。5个小题，先易后难，梯度明显，很大程度上有利于考试的发挥，容易题简单、基础，灵活题难而不怪，难而不偏。
2.2.3 考生失分主要原因
审题不清，概念模糊
例如，①第11题，没有理解定积分的概念导致不会求解
②第12题，误以为求区间段总人数
③第13题，对离心率的定义理解不清
④第14题，对等比数列的概念理解不到位，忽略了公比不能为0的情形；误把前n项和S1,S2,S3看成a1,a2,a3 ； 把等比数列看成等差数列；
公式错误
①第11题，
②第13题，把a,b,c间的关系与椭圆混淆
③第14题，通项公式记忆错误，记为an=a1qn
（3）运算能力不强，计算错误
①第11题，将定积分计算结果算为4,2，或1等
②第12题，20× =5
③第13题，移向错误的很多
书写不规范
①第13题，计算出e2=5后为开方
②第14题，写为an=a1qn-1
（5）灵活运用知识解决问题的能力不强
如：在第15题中，不会讲零点个数问题转化为求交点个数或方程解的问题；考虑问题不全面，答案不完整；对区间端点的开闭情况分析不严谨。
2.3 理科16题
本题满分12分，平均分8.22分，得分分布见表2.3。
表2.3 理科16题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
7.5
1.79
0.7
6.4
3.7
3
7.4
5.9
4.3
8.6
10.5
13.89
26.19
2.3.2 试题分析
本题是“三选二”，突破以往填空题的模式，更有利于考生的得分。第一小题，主要考查垂径定理，四点共圆，割线定理，三角形相似。第二小题，主要考查极坐标与普通方程互化，参数方程与普通方程互化，直线参数方程的几何意义，切割线定理，解方程组，两点间的距离公式。第三小题，主要考查反证法，均值不等式。总体来说，涵盖的知识点都是高中数学必须掌握的知识要点，知识点虽小但丰富，方法灵活多样，对学生的考查全面，解法多样化，更能让考生展现运用知识的能力，分析问题和解决实际问题的能力。“三选二”的模式又让考生能根据自身实际有选择的展现所长。
2.3.3 考生失分主要原因
考生基本上都能动笔，选择自己擅长的题目作答，是本题的一个特色。考生对涉及到的知识点方向感强，能合理运用对应的定理进行分析，方法灵活多样，关键步骤清晰准确，表现出方法掌握得当；但其中出现的问题也层出不穷。
常见的典型失误；
书写不规范，表述不当
例如：(反证法的格式书写不当，很多考生在用反证法，书写时无“”,无“”。
(逻辑混乱，在证明时“因为”，“所以”之间的必然因果关系不显然。
（2）计算能力不强
例如，第二小题最后一步计算错误，；得到圆与直线的普通方程(x-1)2+y2=1,x-y-2=0,联立方程只能求得点（2,0）另一个点的坐标求不出，无法继续计算。
概念不清
如：(在证明过程中，有考生写“由梯形内角和定理”可得；(对切割线概念模糊，“FN,FO为圆O的两条弦，由割线定理，FE·FN=FM·FO”(不等式性质不清，如“”放缩后相等，对不等式性质把握不清。
思维品质欠佳，思路不清晰
如(反果为因，由结论证明结论，证明时，证明过程中已用到改结论。(目标不明确，证法不当。(舍近求远，绕来绕去，将简单问题复杂化。
2.3.4 本题除“国标”之外的优秀解法
第一小题
（该解法同时解法两小题的证明结论，解法干净简洁，一气呵成）
第二小题（ii）解法一：
直线方程为x-y-2=0
解法二：
代入，得
解法三：
由切割线定理：,
又
第三小题
解法一：
得0
不能同时成立。
2.4 理科17题
2.4.1 得分情况
本题满分12分，平均分6.17分，得分分布见表2.4。
表2.4 理科17题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
13.89
3.59
1.6
4.4
5.69
20.6
6.4
2.5
6.09
8.5
8.19
14.3
4.3
2.4.2 试题分析
本题主要考查三角函数中的正弦定理，三角形的内角和定理及三角函数的公式的运用，角的范围讨论。对三角函数的考查较全面。第一问是A,B关系的考查，第二问角的范围的讨论，对学生能力的考查实现了提高，体现了梯度，难易程度适中，解法常规，在第一问中又不失灵活，是一个很好的考查学生三角函数水平的考题。
2.4.3 考生失分主要原因
答题中考生采用的是常规性思维，第一问的证明利用正弦定理得出，再利用三角形中是钝角得出结论。但也有不少考生运用三角函数的定义，根据正弦线和余弦线，找的关系。总体来说，体现了考生对边，角关系的理解透彻，把握准确。但也从大部分考生身上体现了思维逻辑混乱，运算能力不强，公式记忆错误等表现。
逻辑混乱，部分考生由已知得到,不知如何说明A,B的关系，采用分析法，设B-A= 从而得证，忽视了等价性
公式记忆错误，如
运算能力不强：如,
配方错误出现的频率很高
考虑问题不全面，思维品质欠佳：在第二问中对范围的求取只考虑了是钝角，而忽视了第一问结论对角度范围的影响，造成角的范围错误。
书写错误：很多考生求出了的最大值为 ，结果书写时却写出
2.4.4 本题除“国标”之外的优秀解法
（1）,由正弦定理
解法一：为钝角，+
解法二：为钝角，构造单位圆如图
令
解法三：过C点作交的延长线于点，在中，
,
又
2.5 理科18题
2.5.1 得分情况
本题满分12分，平均分8.52分，得分分布见表。
表2.5 理科18题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
8.69
5
4.19
1.5
0.7
2.4
8.69
7.59
2.6
1.3
0.8
3.9
52.6
2.5.2 试题分析
本题考查古典概型，相互独立事件，互斥事件的概率，二项分布及离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识及分析问题解决问题的能力，属于基础题，中等难度偏易题，所考查的知识点十分清晰明了。只有基础知识扎实，得满分比较容易，且问题的背景比较常规，在教材上及许多教辅资料上可以找到熟悉的身影，比2013年湖南理科数学的第18题概率题更容易理解。
2.5.3 考生失分主要原因
大部分考生能动笔，且得满分的考生很多，也有部分考生是空白卷，也有考生动了笔但不能得分。该题主要考查了古典概型，，相互独立事件，互斥事件的概率，二项分布及离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识及分析问题解决问题的能力，数学应用意识及阅读理解能力，运算能力和数据处理能力。但部分考生也体现了对概念把握不准，公式记忆不牢，审题不清等情况。
公式记忆不牢
(互斥事件与相互独立事件的概率计算公式混淆，如（I）中求出获一等奖的概率 ，获二等奖的概率，则获奖概率
(二项分布概率计算公式记错
审题不清，思维品质欠佳
(甲箱中摸到红球的概率 ,乙箱中摸到红球的概率 ,所以获奖概率= ,还有同学则错成
(第（II）题中，求获一等奖的概率分布列理解成求获奖的概率分布列而导致失分
(二项分布的概率求错，抽奖一次获一等奖的概率求错。如
④应用二项分布的期望公式计算期望是，的可能取值为0,1,2,3,四个，理解成 而出错
计算能力不强，出现低级运算错误
( ，( ,(
④ ⑤ 等
计算不彻底
如的分布列
X
0
1
2
3
P
（5）基本概念不清
有的考生不会用二项分布的概率计算公式求概率；有的考生只会用列举法求古典概型的概率，使问题复杂化
2.5.4 本题除“国标”之外的优秀解法
2.6 理科19题
2.6.1 得分情况
本题满分13分，平均分4.92分，得分分布见表。
表2.6 理科19题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
百分比
18.89
10
7.1
7.19
4.19
12
7.8
7.9
7.19
2.89
1.1
2
1.5
10.1
2.6.2 试题分析
本题主要考查了空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的分析与证明，以及二面角求解的知识，同时考查了学生的空间想象能力，空间向量关系的推理与转化能力及计算变形的能力。本题设计为一题两法：综合法与向量法，整体难度中等偏难。若用综合法解，则突出考查考生空间向量垂直关系的转化。辅助线的应用，二面角的定义，作图，求解，思维空间较大，若用空间向量法求解，则着重考查了合理建立空间直角坐标系，以及利用向量的坐标进行空间线面关系的推理论证和计算能力。两种方法对比，综合法难度较大。
2.6.3 考生失分主要原因
空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系的性质与判定掌握欠佳；
(第一问中，证明线线垂直，要先证什么，部分学生思路不清，有点由面面垂直直接得到线线垂直的结论；有点错误地证明了直线垂直于平面;(第二问平行于平面,从几何角度没有很好的进行线线平行的转化；(
与垂直的证明有困难时，一笔代过；④写证明过程中，一些关键点体现不足，比如证线面垂直时，证了两组直线垂直后，不写明两直线相交；线面垂直时，不写线在面内，就得到线线垂直，也有在第一问直接运用三垂线定理，没有证明线面垂直的情况。
对点的位置判断不准确
(点是中点是第一问的条件，部分考生直接用到第二问；
(中点坐标公式运用不当，相关点也不写明，如将误写成的情况较多
(点是个动点，有任意性，有考生理解不到位，把它特殊化，当作中点解题，导致错误
变量的转化与设置不合理
(点个动点，有任意性，需要引入一个变量，有考生直接设
(第二问中，点纵、竖坐标不明，点竖坐标不明，如何设置变量是个关键性问题，有考生设置不合理，导致计算难度变大，难以继续计算下去。
计算能力欠缺
平面的法向量计算正确率不高，虽然变量设置不当会增加解相应方程组的难度，但也不可否认计算能力欠缺的事实
解题过程不规范，公式书写不到位
(法向量的求解过程未写方程组；(向量角公式，三棱锥体积公式记忆不准确，解题过程中未写原式公式；(建系时，未用文字说明是如何建系的，不把相关点坐标标出或在图中标出
2.6.4 本题除“国标”之外的优秀解法
第一问
解法一：是的中点， ，又
,
平面，又平面,
解法二：
,又易知
平面，又平面
第二问：
解法3：由题设知,AA1 ,AB,AD两两垂直。以A为坐标原点，AB，AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，其中m=BQ，。
（II）设 （6，，-），
PQ//平面ABB1A1，平面ABB1A1的法向量
,
设平面PQD的法向量
即
取
因二面角的余弦值为，
，
，
解法4：
由题设知，，，两两垂直。以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，，，，，其中，。
（Ⅱ），，，
设，，，
∥ ，
，，，
取平面的法向量，设平面的法向量为，
由得，，
令，则，，，
，
或（舍去），，，
取平面的法向量，由，得，
，，
解法5：
由题设知，，，两两垂直。以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，，，，，其中，。
（Ⅱ）设，，，又
，，
设平面的一个法向量，则 ，
取得，
显然为平面的一个法向量。
又二面角的余法值为，，
或（舍去），，
∥平面，平面的一个法向量，
，即，，，
解法6：
由题设知，，，两两垂直。以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为，，，，，其中，。
（Ⅱ）设
∥平面，，
又，
设为平面的一个法向量，则，
，
显然为平面的一个法向量，
，，
，，或（舍去），
，
2.7 理科20题
2.7.1 得分情况
本题满分13分，平均分1.88分，得分分布见表2.7。
表2.7 理科20题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
百分比
32.3
35.1
9.3
1.1
7.8
4.4
4.4
1.5
1.2
0.6
1
1
0.2
0.2
2.7.2 试题分析
本题考查的知识点有抛物线、椭圆的定义，几何性质与图像，直线方程的形式，向量的概念，向量相等的条件，数量积公式，弦长公式，根与系数的关系，导数的概念，切线方程的求法，三角形性质的判定等基础知识。考查的能力有数形结合的能力，综合运用各知识的能力，等价转化的能力。本题并不是特别难，不过运用知识点多，计算量较大，并需要运用数形结合，对考生要求较高。该题三问，设置有层次感，能充分发挥学生的主观能动性，区分度好，信度，效度高。
2.7.3 考生失分主要原因
该题在理科数学中属于思维能力要求高，运算能力要求高的难题。本题概念性强，解题方法多，知识的灵活运用，分析问题的能力要求高，有小部分考生是空白卷，也有一部分考生胡乱编凑几个公式套上去，从而得零分。
概念理解不清
(抛物线、椭圆的焦点在轴上，有部分同学误认为其在轴上；
(对公共弦长理解不清楚
公式记忆不牢
(椭圆中的关系与双曲线中的关系混淆；
(韦达定理记忆错误，很多考生两根之间关系的正负号弄错，导致失分
(在使用弦长公式时，却用了
④焦点在轴的抛物线中，求过焦点的弦长公式时，错误的认为
运算能力不强
(很多考生将抛物线与椭圆的交点求错
(求解椭圆方程时，将的值计算错误
(求弦长时，没有进行化简，从而产生计算错误等等
思维品质欠佳
(很多考生不能将与同向且=转化为=，更无法利用向量的坐标运算转化成；很多考生也不能将与同向且=转化为；(证明钝角三角形，很多考生为了凑结论而凑结论
2.7.4 本题除“国标”之外的优秀解法
设
第二小问
解法一：用焦半径公式求弦长
，
，求出值
解法二：求根公式法
由直线与抛物线联立，消去得到求出，
由直线与椭圆联立，消去得到 求出
由，求出值
第三小问:
解法一： 又得
由
解法二：
2.8 理科21题
2.8.1 得分情况
本题满分13分，平均分0.65分，得分分布见表2.8。
表2.8 理科21题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
百分比
68.09
14.9
9.3
3.2
2
1.89
0.3
0.1
0.1
103人
70人
31人
6人
1人
2.8.2 试题分析
本题考查了函数，三角函数，导数，不等式，数列等基础知识，分析问题，解决问题的能力。对学生的概念把握要求高，计算能力要求强，思维的严密性要求高，运用基本理论解决问题的能力要求高，同时渗透了分类与转化的思想。
题干不长，考查的知识点十分清晰，入手容易，逐步提高要求，得满分极为困难。第一问求极值点只有两种方法，证明等比数列娿只有简单的两到三种方法，并且这些方法较容易想到，大同小异，但第二问的证明方法就异彩纷呈，且对考生的能力要求高。该题区分度较好，低分在0到1分，高分很少，得满分的极少。作为最后一个压轴题，能很好的区分不同层次的考生，有效考查不同层次的能力。
2.8.3 考生失分主要原因
基本概念理解不清
(证明等比数列的目的不清，个别同学等比，等差数列也分不清
(求导数，导数为0时，不加任何证明或说明，就认为导数为0的点，就认定为极值点
(把数列的变量n与函数变量实数等同
公式记忆不牢
(第一步,求导有以下几种错误 ；
；；；
；等等
(辅助角公式出现错误。如=
= ；=
；=
等等
(，误认为是以2为周期的值，从而
解题方法不当
(为极值点，求证为等比，不少学生不考虑是否为极值点，直接用
(等比数列的证明过程中，公比应为常数，而很多考生在证明结果中还含有变量n.
(运用等比中项证明，却不能证出
运用知识分析问题的能力不足
(第二问的证明 恒成立，关键在于构建等价式：
令 ，而很多考生采用求 ，
，然后求这两个函数的极值
(虽然知道把转化成一个常数与一个函数的极值进行比较，但函数的自变量式子太复杂，导致计算量太大，从而错误
（5）思维严谨性不够
在求证 时，未考虑 和 对极值的影响
计算能力不强
大部分考生此题空白，说明时间不够，是计算能力不强的体现。其次，对函数的构建不恰当，导致计算量加大，产生错误
2.8.4 本题除“国标”之外的优秀解法
3 文科考生答题情况分析
3.1 考生整体成绩统计
对于人工评卷部分(包括填空题25分和解答题75分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表3.1。
表3.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数130124)
题号
11-15
16
17
18
19
20
21
合计
平均分
10.03
10.4
6.02
5.13
1.99
1.41
0.61
35.59
难度
0.4
0.87
0.50
0.43
0.15
0.11
0.05
0分率
14
4.19
30
17.7
40.8
48.9
75.2
满分率
1.4
68.4
29
17.5
0.7
0.6
0
标准差
6.39
3.21
5.05
4.38
2.76
2.17
1.33
3.2 文科填空题
3.2.1 得分情况
11-15题满分25分，平均分10.03分，得分分布见表3.2。
表3.2 文科11-15题分值分布
分值
0
5
10
15
20
25
百分比
14
24
23.7
25.6
11.39
1.4
3.2.2 试题分析
对比2014年，今年填空题的难度与2014年相当，总体难度适中，梯度较为合理，层次性较强，区分度明显，第11小题考查集合的基本运算；第12小题考查极坐标与直角坐标系的相互转化；第13小题考查点到直线的距离公式，解直角三角形及圆中弦的基本性质；第14小题考查函数零点的基本概念，考查利用数形结合的思想解决函数零点问题以及参数的取值范围问题；第15小题考查三角函数的图像与性质，着重考查学生的逆向思维能力与运用数形结合的思想分析问题与解决问题的能力。11、12、13小题为熟悉题目，注重基础知识的考察，14、15小题为创新题，其中14小题有关函数零点问题改变了以往的考查形式，不再是以填空题为主的找出零点存在区间，而是采取与参数的范围相结合的方式；15小题有关三角函数图像的问题具有创新性，突破了以往根据横向距离求的形式。这两道小题注重考察学生的逆向思维能力与创新意识，用方程思想、数形结合思想、转化思想来求解实际问题。
从整体情况来看，填空题考查的知识点较多，函数的性质及几何能力的考查具有突出的地位，很好地考查了学生的数学基本技能及基本思想，体现了文理生的不同学习要求，既能考查学生的基本功，又具有较好的区分度和选拔功能，第11-13题属于基本分数题，第14和15题有较好的筛选功能。
3.2.3 考生失分主要原因
（1）数学基础知识不扎实，表达方式不规范，如第11小题，对集合的表示法及表示符号不明确，有的用中括号，有的用小括号，有的还用描述法，更有甚的就写1,2,3；如第12题的结果花样百出，与正确答案相似的结果就有20多种。
对知识点的理解不够，审题不清，如第12题，极坐标与直角坐标相互转化，结果中仍然含有与的关系；如第13题，审题不仔细，把求半径看成求弦长，导致结果错误；如第15题把两函数图像的交点距离理解成了横向距离，导致这样错误的结果。
（3）计算能力不强，如第12题，化直角坐标方程后再化标准方程时出错，产生诸如等多种错误的结果；如第13题，点到直线的距离计算失误，导致结果错误。
（4）思维品质欠佳，本卷的填空题不仅考查考生的基础知识和基本能力，还考查了学生的逻辑思维与创新思维，但部分考生由于思维品质欠佳，有畏难情绪而放弃作答。因此不少学生直接放弃14、15小题，甚至有些空白卷。
（5）创新意识以及解决问题的能力不够 ，如第15题，对于综合运用学过的基础知识进行转化结合的创新题不作深入分析，不能正确理解题意，不能与相关的常规题型建立联系，解答计算起来很困难。
3.3 文科16题
3.3.1 得分情况
本题满分12分，平均分10.4分，得分分布见表3.3。
表3.3 文科16题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
4.19
1.2
0.1
0.2
1
5.69
1.4
3.5
0.7
0.5
2.6
10.5
68.4
3.3.2 试题分析
本题主要考查古典概型的概念与概率计算公式，对立事件的概率计算公式，分类讨论思想及逻辑推理能力。本题作为文科数学的第一道解答题，严格遵循了高考命题“低起点”的原则，题目情景简单、熟悉，思维几乎符合所有考生的认知水平。
3.3.3 考生失分主要原因
（1）题意理解错误。如将从甲、乙两箱中“各随机摸出一个球”理解为“在两箱中随机摸两个球或依次摸两个球”；将第2小问中“两个箱中的红球比白球多”理解为“甲、乙两箱中的红球均比白球多”。从而在解题时，不少考生都假设在乙箱中增加一个红球再进行相应地计算与说明。
（2）列摸出结果时出错，如分类时没有明确的标准；考虑了与顺序有关；重新对球编号，但又不明确，甚至编号后两箱中的球数都发生了变化。
（3）在计算概率时出错，如仅列一个分数，也不指明是什么事件的概率；不化简或用近似值表示；约分化简出错，比较大小出错，加减运算出错，结果个数算错，运算能力差。
（4）思维品质欠佳，有些考生在第问仅根据相关事件包含的基本事件个数的多少说明结论正确与否，解题过程中缺少必要的文字说明，只是算式与字母的陈列。
3.3.4 优秀解法
解法一：所有可能的摸出结果是：
由以上树形图可知共12种;
（Ⅱ）不正确。理由如下：
由知，中奖的概率==， 不中奖的概率==，
则 <，故这种说法不正确。
解法二：所有可能的摸出结果是：
由表格可知共12种；
（Ⅱ）不正确。理由如下：
从甲箱中摸出一个球为红球的概率为，从乙箱中摸出一个球为红球的概率为，由相互独立事件同时发生的概率计算公式可知：从甲、乙两箱中随机摸一个球均为红球的概率即中奖的概率=，故不中奖的概率为，则 <，故这种说法不正确。
3.4 文科17题
3.4.1 得分情况
本题满分12分，平均分6.02分，得分分布见表3.4。
表3.4 文科17题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
30
3.09
4.3
2.2
1.1
11.59
1.3
3.2
1.4
2.5
4.9
5.4
29
3.4.2 试题分析
本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理，诱导公式，三角恒等变换及解三角形等基础知识。考查了学生化归与转化的能力，归纳与推理能力，运算能力，设问与求解能力。解法特点是基本公式应用，学生容易入题、出题多样、结果唯一。由于三角函数部分公式较多，部分学生公式不熟，本题有部分空白卷，属中档难度题。有较好的区分度，信度和效度。
3.4.3 考生失分主要原因
概念理解不够，不清楚正弦定理的边角对应关系以及错误地运用正余弦定理，导致解答错误。有些考生在应用正弦定理上出错，如有的直接由正弦定理可得；有的直接由正弦定理可以将转化为,导致结果错误,或者将直接转化为进而得到结论,虽然得到了我们想证明的结论，但是解法是错误的；有的根据正余弦定理可以将转化为，虽然最后也得到了正确的答案，但是解法完全错误，没有真正理解正余弦定理得概念。
公式不熟，运算能力不强。考生出现如下错误：第小问中，考生写出的错误正弦定理形式有，，，等；还有的写出，的错误形式；有的运算出错变形不恒等，如由得到；由，，得到。
方法掌握不牢，第一小问考查三角恒等式的证明方法，第二问考查三角形内角和差化积与消元的方法，但是有的考生没有想到这些常见、便捷的方法，而是选择了其他错误的方法。如有的考生在第一小问中由，得到，根据边角的对应关系，得到为直角三角形，因此，则，为直角三角形只是满足题意的一种特殊情况，当不是直角三角形时，这一数值与代表的数值也可以相等；有的考生在第二小问中，由，得到,(考生易忽略为钝角，所以这里出现错误，应该是)，然后代入中，解法复杂，容易出现错误。
部分考生在解题过程中省略了关键的过程和步骤，解题过程不够全面，比如，=,省略了，这两步关键步骤。
思维品质欠佳，有的考生只是将题目中的条件抄了一遍；有的为了得到结论去拼凑条件，随意改变式子中的边角关系，并不进行恒等变换；有的考生繁琐地书写解答过程，不简捷，逻辑顺序不清；有的有畏难情绪而放弃作答，造成不少空白卷。
3.4.4 除“国标”外的优秀解法
第问的其他解法：
解：因为为的三个内角，且为钝角，则为锐角
由可知,
又,
所以=
==,
(因为为锐角，舍负)，
所以=,从而，.
3.5 文科18题
3.5.1 得分情况
本题满分12分，平均分5.13分，得分分布见表3.5。
表3.5 文科18题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
17.7
14.39
8.6
5.4
4.19
3.59
8.69
9.6
1.2
2.29
4.19
2.6
17.5
3.5.2 试题分析
本题是以棱柱为载体的立体几何题，考查了点、线、面之间的位置关系，主要考查了线线垂直、线面垂直、面面垂直，同时考查了空间线面角及体积的计算，基本覆盖了高中对空间几何学习能力的要求。
题目对思维过程考查的设置，符合学生的思维常规，由易入难，第1问考查面面垂直，第2问考查了线面角的概念和棱锥的体积公式，同时也考查了运算求解能力、推理论证能力和空间想象能力等。
本题贴近课标的要求，难易适中区分设置合理，具备文科数学的选拔效度。
3.5.3 考生失分主要原因
逻辑推理能力较差，考生对线面垂直、面面垂直的性质及判定方法掌握较差，相关的结论不通过证明就直接使用，如考生不知道证明线面垂直需要三个条件，许多考生由,直接得到了平面,而后直接推出结论；有的考生虽然知道要有三个条件，但是不知道怎样证明垂直平面内除以外的其他直线。
概念模糊，对直棱柱的性质掌握不扎实，相当一部分考生由直三棱柱直接得到侧面垂直于底面，或由棱柱直接得到平面.求线面角时，很多考生不知道怎样作辅助线，或正确作出辅助线却误将、为直线与平面所成角。
公式记忆有误，如棱锥的体积公式记为或。
运算能力欠佳，典型的错误如得；又如将的面积计算为等。
思路混乱，如本可以直接由直棱柱推出来侧棱底面,得到，有些考生会绕来绕去，抓不住要点；又如由平面可直接根据面面垂直的判定得到平面平面，而又些考生绕很大一圈通过各种线线垂直和线面垂直来证明，让人不知所云。
3.5.4 除“国标”外的优秀解法
第一问另解
证明：三棱柱为直三棱柱， 平面，
又面, 面面，
是正三角形的边 的中点， ,
又面与面相交于， 面，
而 面，所以面面.
3.6 文科19题
3.6.1 得分情况
本题满分13分，平均分1.99分，得分分布见表3.6。
表3.6 文科19题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
百分比
40.79
22.5
12.39
1.4
0.6
11.8
4.5
1.3
0.89
0.7
0.6
0.7
1.1
0.7
3.6.2 试题分析
本题属于中档偏难的题目，旨在考查学生对数列中通项与前项和之间递推关系的掌握和应用能力，以及分奇偶两种情况下求通项与前项和的能力，试题设立了两个独立的问题，但他们又有密切的联系，能启发中学师生进一步去探索这类数列问题的本质。这道题的特色：
入手宽，入手易，如本题的第问以证明题形式出现，使得学生解题目标明确，同时给出的条件也是考生平时训练的常见题目，容易上手。
（2）思维广，解法多，如本题第既可以对进行递推，又可以转化成的关系进行递推，既可以加减消元，又可以代入消元；如第的数列求和，可以公式求和、分组求和，并项求和，综合考查了学生分析问题与解决问题的能力和运算能力。
（3）具有一定的区分度、信度和效度，第能使大部分考生得分，而第数列分奇偶求和则是对考生思维的缜密程度与计算能力的考查，对于考生有明显的区分度，有助于选拔和指挥棒作用的发挥。
3.6.3 考生失分主要原因
递推关系掌握不牢，如与、与、与之间的递推关系不明确。
（2）运算能力差，如由推出后，两式作差的过程中或代入消元的过程中失误较多，如两式作差中左边。
（3）概念不清楚，如在第的解答过程中较多的考生由第的结论直接得到，进而直接求，没有分“为奇数”和“为偶数”两种情况来讨论，导致解答错误；还有的考生对前项和与项数的关系不明确，如知道如何求解数列前2n项和，却不能根据前项和与项数的关系，求出的和。
思维混乱，没有逻辑性和条理性,如对证明题目的结论不明确，转换过程较复杂的现象很多。
解题不规范，板书不清晰，如把写成或把写成，造成解题失误。
（6）思维品质欠佳，文科考生畏慎考试，不愿动手动脑去分析研究解决问题，因此出现很多空白卷。
3.6.4 本题除“国标”外的优秀解法
解：由条件，对任意，有
，则，
即
，
因而对任意，，有
，
两式相减，得 .
求得的方法同“国标”法，则.
，其他的解法同国标法.
3.7 文科20题
3.7.1 得分情况
本题满分13分，平均分1.41分，得分分布见下表表3.7。
表3.7 文科20题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
百分比
48.89
18.7
15.89
2.2
4
4.4
1.7
2.2
0.6
0.3
0.2
0.3
0.1
0.6
3.7.2 试题分析
本题综合考查圆锥曲线中椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线中椭圆与抛物线相交的位置关系以及求直线斜率的运算。要求学生熟练掌握联立消元、分类讨论、数形结合、等价转化整体代入等高中数学重要思想方法。本题很好地考查了学生运算能力与不畏困难的品质，淡化技能技巧，关注通性通法，区分度明显。然因涉及多个字母导致学生望而生畏，降低了得分的机会。
3.7.3 考生失分主要原因
概念不清，如有的考生将椭圆的焦点误认为在轴上；有的考生将椭圆关系式误记为或；将写成了或；第1问中考生大多数是运用了直线被圆锥曲线截得的弦长公式，忽视了弦长公式的概念。
（2）计算能力薄弱，如第1问中很多考生能够列出方程组但是解错了；第2问联立方程消元后得到的新方程出错，如；韦达定理中符号出错，如；最后得出了的方程，却有很多解不出或解错的。
方法掌握不牢，如第1问根据图像由弦长为易知交点，但是不少考生联立两曲线方程求交点坐标或用韦达定理得到，，而此时中有一个负曾根，出现矛盾；第2问由易知，再求出弦长即可，但是考生得不到这一转化。
（4）没有正确理解题意，如第2问中设直线方程为或，从而算不出结果。
（5）思维品质欠佳，容易出现望而生畏，出现不少空白卷。
（6）答题欠规范，考生答题乱涂乱画现象时有发生，有考生答题位置错误。
3.7.4 除“国标”外的优秀解法
（II）解法一：
再求出弦长，此法最多、最普遍。
解法二：
由于均为焦点弦，对于可用求出。
3.8 文科21题
3.8.1 得分情况
本题满分13分，平均分0.61分，得分分布见表3.8。
表3.8 文科21题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
百分比
75.19
8.6
5.69
5.69
2
1.7
0.4
0.2
0.1
0.1
0.1
49人
67人
0人
3.8.2 试题分析
本题主要考查考生综合运用函数、三角函数、导数、不等式、数列等基础知识分析和解决问题的能力，以及分类与整合、化归与转化的数学思想，是一道综合性比较强的大题。
本题比较新颖，但是解法不常规，属于对创新意识的考查题。其中第1问考查了函数极值点的概念以及导函数与数列的综合运用，对解题技巧、思维等有较高的要求，难度有些大，区分度、信度、效度不太好，第1问的门槛设置可以低一点；第2问虽然解法常规，但是对文科生来说也有一定的难度，尤其是需要在第1问答对的前提下解答第2问，加之处于试卷最后，时间紧迫，故区分度不算太好。
3.8.3 考生失分主要原因
（1）求导法则掌握不牢，求导公式、三角函数辅助角公式记忆错误。如：；或者；.
（2）概念理解不清，如有的考生认为导数的零点就是极值点，并且忽视了作为一个数列，，，则，从而，所以.
（3）运算能力不强。如考生不能正确写出或者的零点；如计算等比数列公比出错。
（4）答题不规范，表述不清楚。
（5）思维品质欠佳，很多考生总认为最后一题为压轴题，难度很大，不敢动笔而得零分，当然也有部分考生是因为时间把握得不太好，做到这题已经没有时间了。
3.7.4 本题除“国标”外的优秀解法
本题第问的解法相对比较固定，除了忘记依据极值点概念，对导数零点的讨论外，其他和“国际”做法基本一致。但是第（2）问有一些比较优秀的作法。
解法一：
由（1）可知：
依题意，对恒成立，
即对恒成立
令，，考查函数
当时，单调递增；
当时，单调递减；
又，
而
所以的取值范围为
解法二：由（1）可知：
依题意，对恒成立
即对恒成立
定义，，显然，
关于单调递减。
时，有最大值
，从而
所以的取值范围为
4．对教学的启示
4.1 夯实基础，循序渐进
基础知识和基本技能是学习数学的基础和必要条件，对它们的掌握情况直接影响学生数学能力的发展，从我省今年的高考题来看，也体现了对学生“双基”的考查，但是从阅卷情况来看，学生的基础普遍比较薄弱。如在理科19题中很多学生由P、Q坐标都写不对两点的向量，说明对基本公式不熟练。同样，文科18题许多学生对面面垂直的判定不熟练。
在平时教学中，有些教师常常认为内容简单，就不进行基础练习，直接跳跃到难度大的题目，导致学生也不愿意再做容易的题目，结果容易的没掌握，难题目也做不出。这些问题启发我们应该夯实基础，上新课时，让学生弄清概念、定理、公式的来龙去脉，扎实掌握解题的通法；练习题时，从基本的题目出发，循序渐进，在高一、高二讲授新课时不宜过多与高考接轨，容易导致学生畏难，失去信心和兴趣，影响后续学习。
4.2 重视数学思想方法的教学
数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是数学学习的根本目的。历年高考小题和大题的压轴注重的都是数学思想方法的考查，今年高考对这方面的考查力度更大，所以许多考生和教师都认为试题偏难。在压轴小题上，如理第9、15题和文科14、15题都是考查数形结合的思想方法；在压轴大题上，如文科和理科的最后一道题考查的都是转换化归的思想。除了压轴题，理科17题的证明也考查转化思想，文科19题的数列考查的是分类讨论的思想。所有这些涉及思想方法考查的题目，学生的得分率都非常低，说明学生对数学思想方法应用存在很大问题。
由于数学思想方法是基于数学知识而高于数学知识的一种隐性知识，要在学生的反复实践和体验中才能被逐渐认识，是是教学中最难的部分，需要教师长期渗透。我们可以通过以下途径实现数学思想方法教学：在教材中充分挖掘数学思想方法，如讲数列通项时，结合归纳法、方程思想和转化思想；在概念形成过程中渗透数学思想方法；在问题解决过程不能只是就题论题，要揭示数学思想方法，；在知识整理总结中概括和提炼数学思想方法，如解析几何中强调的是把几何问题转化为代数问题。
4.3 注重数学表达能力的培养
新课程标准提出高中数学课程要注意提高学生数学表达和交流的能力。但从今年的阅卷情况来看，我们发现有相当一部分学生的数学表达能力很弱，书写很不规范。如理科16题的不等式证明，有些学生的解题方向明确，但写法不到位，啰嗦、词不达意和绕弯子；如文科18题的立体几何，甚至出现了。
数学语言是数学思维的外壳，数学的交流和表达离不开简明、正确、灵活、完整、逻辑性强的语言。由此可见，培养学生的数学语言表达能力是高中教学的一项极其重要的任务。教师在教学过程中首先要保证自己表达、书写的准确性、逻辑的严密性，板书工整，并重视学生的书写和表达能力，使学生养成言之有据、解题规范的习惯。
4.4 加强运算能力的培养
计算能力也是数学能力中非常重要的一种能力，是中学数学学习中必须掌握的能力。在阅卷过程中，我们发现很多学生思路明确，但是计算错误，导致得分率低。有的学生是算的太少，如在文科和理科的20题能把方程联立却求解不出答案；有的学生缺乏运算技巧，如理科19题没有注意到题中几何关系，设的参量太多，大大增加运算难度。
教师在课堂上给予学生运用的时间太少，为了避免学生运算花费过多的课堂时间，有时直接省略计算过程写答案。或是老师自己在黑板上演示，展示运用技巧。有时，教师的方法的确精彩，但多数同学仅限于听懂，离自己独立的准确运算相差甚远。教师不妨多给学生参与运算的机会，即使一开始速度慢也无妨，至少知道在运算方面自己的不足在哪里，是粗心还是知识掌握不扎实，或是没有掌握运算技巧，这是非常有价值的。尤其是几何的题目，有些学生常常抱怨自己运算能力不行，其实很多时候是没有注意到几何关系，设的参量太多才使运算复杂。
4.5 实施分层教学
在阅卷过程中，我们发现有很多学生基础知识非常薄弱，基本的概念都不清楚，很多题目都有许多打零分的，在文科18题中基本线线垂直也有明显的错误，对于这部分学生应该给予个别的指导和交流。教师在教学过程中应充分了解学生，只有切合学生实际情况的教学才会是最有效的。这要求教师多与学生沟通，及时了解学生的学习情况并及时调整教学。在教学中还应根据学生情况因材施教，人人学有用的数学，使不同的学生得到不同的发展。根据学校情况，实施分层教学是解决学生差异性的途径。
5．对高考命题的建议
2015年湖南高考数学试题，贯彻了“继承经验、稳定发展、改革创新、突出选拔”的思想，稳中求变、求新，突出能力考查。试题符合《湖南省考试说明》的各项规定，考试内容与能力要求恰当合理。试题和试卷的结构严谨科学，达到了选拔性考试的要求，题型设计继承和发扬了多年高考试题所形成的“立意鲜明、取材讲究、形式多样、难点分散、层次分明”等优点，并且有所创新和发展，解答题中证明问题增多，更好的考查学生的推理论证能力，让学生的思维得到提升。
2015年湖南高考数学试题优点明显，但仍存在一些值得思考的问题，以下仅针对本试卷提出几点建议：
5.1理科卷选做题型变化太大，应明确稳定，选修的考查形式让学生知情，以便考生解答此类问题有所心理准备，这种模式可进一步实施，对知识的覆盖面起到了良好的作用。
5.2适度增加创新题。建议文理科卷可适当增加创新题，且创新点可置于填空题和选择题的最后一题，用以考查较高水平的考生，利于培养学生的创新能力。
5.3文科21题难度是难于去年，是近五年来难度较大的一次，对学生的区分度可能不大，能拿下该题的考生也很少，19、20题难度也偏大。
5.4 理科卷20题可适度增加难度，可以命更有思维的题，利于选拔考生。
5.5理科21函数综合题区分度小，建议保持“好入手”这一特点，降低第一问的难度，保持第二问思维步骤和难度。
5.6理科高考数学试题与过去比，隐性题量和计算量都有所加大，与现在学生计算水平下降的实际不符。
5.7注意试题与新教材的同步更新，文科卷立体几何中出现的“直棱柱”这一概念在教材中并未明确定义，建议在考查时做出附加解释，避免学生走弯路。
湖南省高考数学评卷组
二○一五年六月十八日
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学试卷评价报告
2016年高考是湖南实施自主命题12年后再次启用全国卷的第一年。今年的高考数学试卷，以《考试大纲》、《考试说明》为基础，从“继承经验、稳定发展、改革创新、突出选拔”等方面来体现课程标准的内涵、要求与理念。试卷在整体上体现了“知能并重、深化能力立意；突出作为数学核心的思维能力的考查；合理区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。
1．试题评价
2016年的全国卷数学试题与2015年以前的湖南数学试题相比，既有体现相同特色的地方，也有些不同的特点。
1.1 题型稳定 试题所考主体内容稳定
2016年的文、理试卷相对于2015年的湖南卷增加了两道选择题，力求试题设计的创新而不刻意追求知识点的覆盖面。在三大题型的分值分布中，解答题保持了6题70分的格局，原湖南卷理科解答题中理16题设置的3题选做2题的方式，改为三选一的方式，且文理同题。选择题12题60分，填空题4题20分。近五年题型、题量和分值分布如表1.1。
表1.1 近五年题型、题量及分值分布
年 份
选择题
填空题
解答题
2012
理8题：40分
文9题：45分
理7题：35分
文6题：30分
6题：75分
2013
理8题：40分
文9题：45分
理7题：35分
文6题：30分
6题：75分
2014
理10题：50分
文10题：50分
理5题：25分
文5题：25分
6题：75分
2015
理10题：50分
文10题：50分
理5题：25分
文5题：25分
6题：75分
2016
理12题：60分
文12题：60分
理4题：20分
文4题：20分
6题：70分
近五年试题主要考查的内容载体所占分值情况如表1.2。
表1.2 近五年考查主要内容载体所占分值统计表
年份
2012
2013
2014
2015
2016
集合、
文5
理5
文10
理2
文5
文5
文5
理5
函数、
文15
理23
文17
理25
文18
理20
文14
理14
文19
理13
立体几何与空间向量
文17
理17
文17
理17
文17
理17
文17
理18
文22
理22
解析几何
文18
理18
文16
理18
文28
理23
文23
理18
文22
理22
算法与框图
文5
理5
文5
理5
文5
理5
文5
理5
文5
理5
统计与概率
文22
理17
文22
理15
文22
理17
文17
理22
文17
理17
三角函数与解三角形
文17
理10
文12+5
理12+5
文15
理12
文19
理19
文15
理17
平面向量
文5
理5
文5
理7
文5
理5
文5
理5
文5
理5
数列
文13
理10
文13
理5
文14
理13
文15
理7
文12
理10
不等式
文7
理2
文11
理15
文2
理3
文7
理3
文11
理12
逻辑用语
文5
理7
文5
文5
理5
文5
理5
导数及其应用
文6
理6
文2
理7
文4
理10
文3
理7
文2
理2
推理证明
文5
理5
复数
文5
理5
文5
理5
文5
理5
文5
理5
文5
理5
计算原理
理5
理2
理5
理5
理5
几何证明选讲
理5
理5
理5
理6
文10
理10
坐标系与参数方程
文5
理5
文5
理5
理5
文5
理6
文10
理10
不等式选讲
理5
理5
理5
理6
文10
理10
优选法与实验设计初步
文5
对于选修系列四的内容，文理科同题采取选做的形式来处理，在几何证明选讲、不等式选讲、坐标系与参数方程中各命一道解答题（占10分），考生三选一解答。
2016年的试卷，在解答题排序上沿用了原全国卷的做法，三选一的选考题（占10分）放在最后。理科试卷中，三角函数、立体几何、统计与概率、解析几何、函数综合（各占12分）由易到难排列，分别放在17-21题的位置。文科试卷中，数列、立体几何、统计与概率、解析几何、函数综合（各占12分）由易到难排列，分别放在17-21题的位置。只是立体几何题的难度控制失误，使其相对难度达到了试卷中最难的水平，得分率处于最低水平。
1.2 文、理科试卷探索文理同题的方向
文科、理科考生在数学思维方面的水平有整体性的差异，对数学学习的层次要求也有很多的不同。原湖南卷的试题很好的把握了这种差异性，在考查主干知识大致相同的情况下，在考查方式、考查能力层次方面进行了很好的区分。2016年的试题有意减小文理卷的差别，探索文理同卷的方向，似有文科卷向理科靠扰的趋势。如文科18题，立体几何题虽图形背景直顶角正三棱锥比理科题的五面体更为学生熟知，但其图形识别能力的要求却高于理科18题，而在推理论证方面的要求，二者不相上下。文科19题统计与概率题与理科19题相比，除分布列知识点换成了求解析式外，其余知识点和能力要求基本相当。全卷中共有理6与文7、理7与文9、理9与文10、理11与文11、理16与文16和选考题共计8道35分题完全相同。而在对数学理解层次、计算能力、数学思维层次的要求方面。整体上，理科卷要求高于文科卷。
1.3 注重对重要数学思想方法和基本数学能力的考查
2016年的试题与原湖南卷一样，注意对重要数学思想方法和基本数学能力的考查。
2016年数学高考题注重对考生以基础知识为载体的转化与化归、分类与整合的数学思想方法的重点考查，较好的考查了学生的数学思维能力，为数学高水平层次考生提供了展示数学能力的机会。数学思想方法的掌握是解决数学问题的关键，试题对课标中强调转化与化归，分类与整合等数学思想方法的考查突出体现在：
(1) 分类与整合的思想方法，如理21、23、24，文19、21等题；
(2) 转化与化归的思想，如理20，文20等题；
2016年较好地体现了“深化能力立意”命题指导思想的重要命题思路。全面地考查了课标中提出的空间想象能力（如理6文7，文理18）、抽象概括能力（如理20，文19）、推理论证能力（如理20、21，文20、21）、运算求解能力（如理19、20，文19、20）、数据处理能力（如理19，文19）五大基本能力。注重考查学生的综合素质，考查考生综合运用知识的能力以及个性品质（如理17、19、20、21，文17、19、20、21）。
1.4 体现了“在知识网络的交汇点命题”的命题思想
2016年试题与原湖南卷一样，体现了在知识网络的交汇点命题的思想。在知识综合性上较湖南卷弱有下降。
在知识网络的交汇点命题较好地考查了考生对数学知识之间联系及转化的掌握情况与解决问题的能力。2016考卷中的选择、填空题中的部分较难题与解答题通过对知识的交叉、渗透和综合，深刻考查考生的数学思维能力与数学素养。2016年试卷中的6道解答题，除选考题外，其余题分别侧重于三角函数、统计与概率、立体几何、数列、解析几何、函数综合（综合函数、导数、不等式），既体现了知识网络的交汇，又很好地展现了重要的数学思想方法。如理科20题将直线、椭圆、圆等知识点融合在一起，较为全面地考查了学生解析几何的基础知识与基本方法，体现了将几种圆锥曲线综合命题的一种趋势。理科21题将导数、函数、不等式、结合在一起；文科20题则将直线、抛物等知识结合在一起。文科21题，将函数，导数，不等式，等基础知识结合在一起。
明显的，理科试题的知识综合性稍高于文科试题。
1.5 理科试题难度分布合理，文科试题高难度题偏多
2016年试题在难度坡度设计上，减少了原湖南卷过易和过难的试题，增加了中等难度的题。理科卷难度分布合理，文科卷由于立体几何题和统计与概率题的难度把握不准导致高难度题偏多，从而使文科卷的整体难度有了较大幅度的上升。
1.6 突出对数学概念理解水平的考查
2015年的湖南卷强调了对数学思维严谨性的考查，在解答题中，特别强调了对“推理证明”能力的考查，在理数的六道解答题中，仅理18概率题没有明确提出“证明”，其余五道题中都明确有“证明”的要求，在文数的六道解答题中，仅文20解析几何没有明确提出“证明”，其余五道题中都明确有“证明”或“说明理由”的要求。在理17三角函数题中，讨论SinA+SinC的取值范围时，需考虑角A的取值范围，在文19数列题中，讨论与的关系时，需考生特别注意是否满足相应关系，在文20、理20函数综合题中，在中需考生对取等号的情形加以特别考虑。这些体现了考题在思维严谨性上对考生提出了较高的要求。
2016年全国卷试题则突出了对数学概念理解层次水平的考查，具有鲜明的特色。以理科卷为例，理2题对复数概念的考查，理3题对等差数到概念及前几项和的概念的考查，理5题对双曲线概念的考查，理13题对向量垂直概念的考查，理15题对等比数列概念的考查，理20题对椭圆概念的考查,理21题对函数零点概念的考查。解答这些题，深刻理解相应概念是关键或是直接得分的重要手段。
试题解答强调通性通法的运用，试题不偏不怪（除文科立体几何题所给出的题图外）不强调特殊的解放技巧，这与2015年湖南卷的几道难题强调解题技巧形成鲜明的对照。
2．理科考生答题情况分析
2.1 考生整体成绩统计
对于人工评卷部分(包括填空题20分和解答题70分)，考生的平均分、难度、0分率及满分率见表2.1.其中选考题通过22,23,24题加权计算得出平均分.
表2.1 理科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数200859)
题号
13-16
17
18
19
20
21
选考题
合计
平均分
11.19
9.44
6.29
4.18
1.64
0.71
6.22
39.61
难度
0.56
0.79
0.52
0.35
0.14
0.06
0.62
0分率
11.3
11.3
7.29
19.89
36
46.9
满分率
12.8
62.5
62.5
2.6
0.1
7人
标准差
5.87
4.19
3.56
0.1
2.22
0.88
2.2 理科填空题
2.2.1 得分情况:
13-16题满分20分，平均分11.19分，得分分布见表2.2。
表2.2 理科13-16题分值分布
分值
0
5
10
15
20
百分比
11.3
13.09
28.89
33.79
12.89
2.2.2 试题分析
填空题共4小题，第1小题考察平面向量的坐标运算，第2小题考察二项式定理，第3小题主要考察算比数列、等差数列的通项公式与求和公式，第4小题是线性规则在实际问题中的应用，各小题都属于常规题型，是学生平时训练中常见的类型，与往年的命题相比较变化不大，难度略有降低，最后一个小题突出考察了考生运用数学知识解决实际问题的能力，是本次命题中的亮点和新意，从阅卷情况来看，考生完成并不理想，也体现了该题设置的必要性。
从整体上看, 填空题难度适中,有较好的区分度.
2.2.3 考生失分主要原因
13题、14题运算中出现符号错误，14题部分考生把答案填在15题的位置上。15题部分考生不理解题意，处理等比数列问题的能力不强，16题处理大数据出错，导致结果数末尾多一个零或少一个零。
2.3 理科17题
2.3.1 得分情况
本题满分12分，平均分9.44分，得分分布见表2.3。
表2.3 理科17题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
11.3
1.79
1.1
0.89
0.7
0.89
2.89
2.5
5.5
2.2
3.59
4.09
62.5
2.3.2 试题分析
本题考查了正余弦定理、两角和与差的正弦公式，诱导公式等，学生只要熟记这些公式基本上能做出来，所以本题难度不大。但本题对基础知识考查比较全面，要求学生系统掌握三角函数的基础知识及相应基本方法基本技能。
2.3.3 考生失分主要原因
第一问得满分居多，只有极个别学生不能得分。
第二问相对第一问得分较低，很多学生只能拿到4分，大部分学生对三角部分知识掌握较好，分析问题的能力较强，能够熟练应用正余弦定理合理解决问题。
主要失误分析：部分学生概念不清，相应公式记忆错，推理出错。如：直接将a、b用SinA、SinB替换，而C不变；等。部分学生运算能力不强，如对于不能求出正确结果。
2.3.4 本题除“国标”之外的优秀解法
（I）法二：
故。所以
法三：
故，所以
法四：利用射影定理后面同法三
法五：（以下同法四）
（II）法二：由已知得，又，所以 ①
又 得 ②
联合①②解得或
所以周长为
法三：如图，设的内切周心为O，的周长为x，
则，
又，所以
则
所以
解得：
2.4 理科18题
2.4.1 得分情况
本题满分12分，平均分6.29分，得分分布见表2.4。
表2.4 理科18题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
7.29
6.5
5.09
4.59
12.39
7.19
6.7
7
6.8
7.1
18.29
10.5
0.6
2.4.2 试题分析
本题主要考查空间线面关系等基础知识，涉及到垂直关系的证明以及面面角的求法等知识点，同时考查空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力。问题求解思维开阔，解题方法多，是一道考查基础知识的同时，又注重考查学生空间思维能力与逻辑推理的好题。第（Ⅰ）问用传统几何方法论证，第（Ⅱ）问计算二面角的余弦值可用传统几何方法,也可以用空间向量方法，只要空间直角坐标系选择适当，空间向量方法优于传统方法。
本题的难度系数为0.52, 有较好的区分度。
2.4.3 考生失分主要原因
考生基本能准确应用线线垂直、线面垂直、面面垂直的性质与判定，能利用定理进行合理的推理论证，能恰当地应用空间直角坐标系研究空间角。但也有部分考生对线线平行的性质与判定掌握不好，不能灵活运用，同时有部分考生表现出问题分析能力较弱、数学语言表达不到位、计算能力欠缺等问题。
几种典型失误如下：
(1)基础不扎实,没有理解和掌握直线与平面垂直的判定定理.
如:出现了“”的错误.还有的直接摆出已知条件“四边形为正方形，”,不加推理就得出结论:面底面；
(2)逻辑混乱,条理不清. 如，在第（I）问的论证中，已知条件根本没有运用，而得出许多与问题有关的结论，即表现出没有“因为”、只有“所以”的推理过程；
(3) 推理论证目标不明确。
例如，第（I）问的论证过程中，许多考生将题设中的所有条件可能得到的结论全部表述后，推导出与之相关的所有结果，从而不能实现题设结论的合理推理论证。还有学生由已知条件得出再的出
(4)错误地自造条件。
例如，题设条件是：“五面体………”，而许多考生直接由“五面体………”，直接得出CD∥EF,题设条件是“二面角与二面角都是”学生不证明直接得出与
(5) 错误或不恰当地建立空间直角坐标系。
例如，以A为原点，AB、AF、AD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；以F为原点，FA、FE、FD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系等。
（6）不能以最佳方式建立空间直角坐标系，导致相关点的坐标表示全错误（如横纵坐标错位），使得后续平面法向量的计算复杂而出现错误。
（7）在没有通过论证的前提下，使用一些事实性结论。
例如，设二面角C—EB—A的大小为θ，直接应用公式计算二面角C—EB—A的余弦值。
2.4.4除国标以外的一些解法:主要是第(2) 问
法(一)过C作,垂足为G, 由(1)知, ，以G为坐标原点,的方向为轴正方向, 为单位长度,建立如图的直角坐标系, 由(1)知为二面角的平面角,故,
则,可得,,,，由已知,∥,所以∥平面,又，故∥,∥,由∥,可得,所以为二面角的平面角，故，从而可得所以，，，，设是平面的法向量，则，即， 所以可取，-
设是平面的法向量，则，同理可取，
则，故二面角的余弦值为.
法(二) 易知，如图建系
则， ，，
因为面ABCD交面EFDC于CD，故，， 由可得，所以，
故 所以，
设面，则，
所以，所以
设面BCA的法向量为，则，同理可得
所以 ，所以两个平面所成角的余弦为
法（三）
过DC中点G作，垂足为H， 由(1)知， 以H为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图的直角坐标系， 由(1)知为二面角的平面角，故，则，可得，，，由已知，∥，所以∥平面，又。故∥，∥，由∥，可得，所以为二面角的平面角，故，从而可得。所以， ， ， ，设是平面的法向量，
则，即，
所以可取，设是平面的法向量，则，
同理可取，---10分
则，故二面角的余弦值为.
解法（四）由题意，知又，故，
又，故，，由，所以，故是二面角的平面角，所以。令，则，，过点作于G点，则。
等腰梯形中，，，过A作于点H，则 由，则因为，
所以
所以得，记二面角为，则所以，得二面角的余弦值为。
2.5 理科19题
2.5.1 得分情况
本题满分12分，平均分4.18分，得分分布见表2.5。
表2.5 理科19题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
19.89
13.3
13.4
6.4
4.19
6.89
3.7
1.5
11.5
15.29
0.6
0.8
2.6
2.5.2 试题分析
本题具体考查统计与概率的知识，体现了用频率来估计概率的基本思想，考查了概率的加法公式和乘法公式，随机变量的分布列和数学期望值的计算等知识；
本题体现了高考的选拔功能，注意理解能力、逻辑推理能力的考查，对思维的严密性、严格推理能力提出了要求，同时对学生的计算能力也有相应的要求；
本题重视实际应用能力的考查，对日常生活语言、情景考查提出了要求，贯彻了新课标的学习理念：体现了数学来源实际，又为实际生活服务。兼顾了学生未来学习与发展的需要；
2.5.3 考生失分主要原因
从考生答题情况分析，我们认为：考生从实际问题中提取信息的能力不强，不能正确理解题意；数学建模能力薄弱，将实际问题转化为数学模型需要加强；对基本概念和公式掌握较为呆板，达不到灵活运用的层次；数学思维的能力，数学的计算能力，书写表达能力，答题的规范性都有待进一步提高。
解题过程中，考生的典型失误主要体现在以下几个方面：
（1）不能正确审题，理解题意；如第一问变量X的取值，有很多的同学答题时都当成了一台机器需要的零件数；
（2）基本概念和公式掌握不到位；如在进行概率计算时，不能正确写出各个概率的表达式，不能正确理解的含义。
（3）数学建模能力不强，生搬硬套；如：用古典概型或超几何分布的公式来进行本题的概率计算，第三小问中通过计算X的均值来估计的取值等；
（4）计算能力薄弱，计算过程中错误百出；本题的第一小问求概率，第三小问的两个期望值计算整体都不理想，有部分同学写出了准确的算式，却不能正确求出结果；
（5）解题习惯欠佳，答题不规范；相当多的试卷卷面不整洁，字迹潦草不清，结构杂乱无章，笔误较多。
（6）典型错误
第三问，用来判断应选择哪种购买方式；
第三问，直接计算购买零件的期望值为3760，而时费用为3800，更接近3760，从而选择19个
2.5.4 本题除“国标”之外的优秀解法
本题分三小问，第一、二小问解法较为单一，与国标解法大同小异；第三问的解法除国标解法外，有以下几种情况：
【解析】（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需要更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为.变量的可能取值为.
从而
所以的分布列表为
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.24
0.24
0.20
0.08
0.04
（II）由（I）知，，故的最小值为19.
（III）
解法一：
记表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
当时，
可知当时所需费用的期望值小于所需费用的期望值，故应选.
解法二：
记表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当时，
即有：
当时，
即有：
可知当时所需费用的期望值小于所需费用的期望值，故应选.
解法三：
记表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
所以当时，的分布列表为
3800
4300
4800
5300
0.68
0.20
0.08
0.04
当时，
4000
4500
5000
0.88
0.08
0.04
可知当时所需费用的期望值小于所需费用的期望值，故应选.
解法四：
记表示易损零件不足时还需要购买的零件个数，表示两台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
所以当时，的分布列表为
0
1
2
3
0.68
0.20
0.08
0.04
当时，
0
1
2
0.88
0.08
0.04
，
可知当时所需费用的期望值小于所需费用的期望值，故应选.
2.6 理科20题
2.6.1 得分情况
本题满分12分，平均分1.64分，得分分布见表2.6。
表2.6 理科20题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
36
33.39
10.8
3.9
3.2
4.19
2.4
2.7
1.89
0.7
0.4
0.3
0.1
2.6.2 试题分析
该题为解析几何压轴题，考查了直线方程、圆方程、椭圆方程、弦长问题面积的取值范围问题。第一问涉及动点轨迹方程的求法，第二问涉及变量的取值范围的求法。着力点为直线和同锥曲线的位置关系，考查的是分类讨论的思想、数形结合的思想和函数的思想，命题平实却不平凡，对基础较好，做题速度较快的学生没有太大的难度，具有很好的选拔功能。69%的学生得分在1分（含1分）以下，整体得分不高的的一个重要原因是考生做到此题时时间严重不足，而本题计算量较大，很多中等程度学生在匆忙中第一问都没做好，没算对。会而不对，对而不全现象普遍存在。
2.6.3 考生失分主要原因
（1）考试时间不够，相当一部分考生没做或没做完；
（2）审题失误：如考生没能准确给出示意图，没注意到直线L不与X轴重合；第二问中错看成PQ为直线和椭圆相交时的弦长等。
（3）计算失误：计算弦长错误特别多，基本运算不过关，第1)问计算椭圆中a、b、c出错，第2)问计算弦长求函数值域出错。
（4）书写不规范：必要的推理过程不完整，必要的讨论缺失或不全面。
（5）转化问题能力弱：第1)问部分考生没有抓住等腰三角形的性质，所选方法费时费力，第2)问中求弦长，PQ没有充分运用勾股定理，解题方法选择不当。
2.7 理科21题
2.7.1 得分情况
本题满分12分，平均分0.71分，得分分布见表2.7。
表2.7 理科21题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
46.9
42.6
7.59
2.2
0.7
0.2
0.1
0.1
65人
48人
23人
22人
7人
2.7.2 试题分析
2016年全国卷21题给人温和亲切感，起点不高，难度也不是很大，考生面对试题不会立即排斥放弃，大多考生都会尝试去动笔，这是与2015年湖南卷21题的最大区别。反映至全国卷重视考生参与，给考生自信与鼓励，而且这种由易到难，由浅入深的考察方式，并没有缺失对考生思维品质的考察，思维能力强的考生同样能脱颖而出。
2.7.3 考生失分主要原因
1)、公式记忆错误，如对函数的求导，以及对参数a分离后构造的函数求导，有相当一部分考生求导错误，导致做法不对。
2)、考虑问题不全面，如对分析时，漏掉情形，以及分离参数时，漏掉情形，反映出思维严谨性不够。
3)、以图代证，关键得分点论证缺失。
例如（I）问中和情形中，以下图代替使，。
4)、运算能力不强，计算能力不过关
例如把写成，丢掉负号等。
5)、方法掌握不牢
如（I）问中分类讨论思想，有很大一部分考生面对已知函数求导后，不能合理对参数a进行有效讨论。
6)、思维品质欠佳
例如数学中的观察能力、化归能力、分析能力所需要的思维品质——灵活性、敏捷性、深刻性，考生普遍缺失，例如（I）问中对情形分析，只需简单分析观察已知函数，得到其零点个数，压根不需通过求导判断。
（I）问中情形中，不能借助已知函数观察分析出函数零点（时，）反映出考生思维僵化。
2.8 理科22题
2.8.1 得分情况
本题满分10分，平均分3.32分，得分分布见表2.8。
表2.8 理科22题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
百分比
11.8
6.5
15.39
18.79
11.5
26.6
8.39
0.3
0.8
0.2
0.2
2.8.2 试题分析
第22题是平面几何选做题。第（1）问主要考查等腰三解形、直角三角形与圆的切线；第（2）问主要考查四点共圆，垂径定理与平行关系的证明，难度相对较大。总体而言，选做此题的考生基本上都能动笔，是本题的一个特点。
2.8.3 考生失分主要原因
1）证明思路方面存在的问题
（1）很多考生在证明第（1）问时，把线段AB的中点直接看作AB与圆O的交点，没有通过含30°角的的边长关系给出证明。
（2）要证明直线AB与圆O相切，需得出AOB的中线OE⊥AB，且，很多考生只证明了其中一个条件。
（3）考生对“垂径分弦”及“弦的中垂线必过圆心”结论掌握不熟练，导致不能找到解决第（2）问的突破口，导致第（2）问的得分很低。
2）证明过程中逻辑推理方面存在的问题：
（1）“因为”与“所以”之间的因果逻辑不显然，甚至不成立，如：因为AE⊥AB，所以AOE=60°。
（2）很多考生在第（2）问中出现循环论证，用结论来证明结论成立，主要体现在用圆内接四边形对角互补，再用同旁内角互补来证明平行。
3）证明语言的表达与书写方面的问题
（1）三角形“全等”与“相似”的符号不能正确使用，AOE=BOE；AOE=BOE=60°；EF⊥AB⊥CD。
（2）作辅助线时，不用语言描述作法，重复使用同一字母标注点。
（3）作法描述不规范：如连接OE⊥AB于点E；连接AB中点于圆O；延长O点至AB的中点等。
2.8.4 本题除“国标”之外的优秀解法
法一：（反论法）假设AB与CD不平行，则AB、CD的中线垂线交于点O。
由圆的性质，弦的中垂线必过圆心，可得过A、B、C、D的圆的圆心是点O，又OA=2OD，得出矛盾，故AB∥CD成立。
法二：（解析法）以O点为原点，过点O且与AB平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设圆O的半径为r，则圆O方程为：…… ①
又由于A、B、C、D四点艺圆，由此圆圆心必在y轴上，设M为（O、b）其中。则圆M方程可设为……②
所以CD为圆O与圆M的公共弦，由①-②得：
即……③
所以C、D两点的纵坐标相同，故AB∥CD。
法三（反证法）假设CD与AB不平行，没CD与AB交于点F，则……①
因为A、B、C、D四点共圆。
所以FC·FD=FA·FB=(FE-AE)(FE+BE)
又因为AE=BE
所以FC·FD=(FE-AE)（FE+BE）=FE2-AE2……②
由①②可知矛盾，所以假设不成立，故AB∥CD。
法四：（同一法）由（1）知OE⊥AB，设D关于直线OE的对称点为D′，则D′必在圆O上。
所以OE为线段AB与线段D D′的中垂线。
所以A、B、D、D′四点共圆。
又因为A、B、C、D四点共圆。
所以点A、B、D、D′在同一圆上。
所以该圆与圆O有三个公共点C、D、D′。
所以点C、D′重合，即CD⊥OE。
所以AB∥CD。
2.9 理科23题
2.9.1 得分情况
本题满分10分，平均分6.86分，得分分布见表2.9。
表2.9 理科23题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
百分比
6.4
3.29
2.2
4.3
4.59
9.3
10.19
10.19
8.29
9.6
31.5
2.9.2 试题分析
本题主要考查的知识点是参数方程与极坐标，以及三者之间的相互转化，考生选择此题的比例较大，基本上都能得到部分分数，对此题涉及到的知识点和考点方向感较强，并且方法灵活多样，计算也不复杂。大部分同学对于第一问参数方程化成普通方程掌握较好，少数同学由于对公式记忆不准确和计算能力欠佳，不会转化或者化错。第二问主要是两种解题思路，一种是极坐标法，一种是普通方程法，前者较容易，但学生用此法的较少，后者选用的较多，但是解答过程不够完善，忘记检验。总之，此题的总体难度一般，有一定的区分度。
2.9.3 考生失分主要原因
（1）概念理解不清：
例如：①对圆的标准方程与椭圆标准方程理解不清，有考生把方程写成直接判断成椭圆；
②对圆的参数方程与直线的参数方程理解不清，把的参数方程（为参数）误记成过定点的直线方程；
（2）公式记忆错误：
例如：转化为极坐标方程时误记成，从而把极坐标方程写成了；
（3）运算能力不强：
例如：①转化为极坐标方程时写成了和，以及半径a没有平方从而导致半径为
②极坐标方程在化简的过程中写成了
（4）思维品质欠佳：
例如：①利用国标解法时，对没有进行检验以及利用，的交点在上，均只代入一个交点坐标就得出结果；
②有学生利用相交弦的方法来处理时，直接表示成得出结果，即从而得到。
2.9.4 本题除“国标”之外的优秀解法
解法一：由（1）知的普通方程为 …………………①
由的极坐标方程可得其直角坐标方程为………………②
①②可得公共弦所在直线方程为
由题意可得的直角坐标方程为
因为，的公共点都在上
所以，解得（舍去），
经检验，当时，与相交
解法二：由的极坐标方程可得其直角坐标方程为 ①
由题意可得的直角坐标方程为 ②
联立①②可得其交点坐标为和
因为，的公共点都在上，即和为，，的公共点
所以把和分别代入： 中
均可得，解得（舍去），
解法三：由的极坐标方程可得其直角坐标方程为
由题意可得的直角坐标方程为
因为，的公共点都在上，设，，的公共点坐标为
把代入，中可得
计算可得，解得（舍去），
2.10 理科24题
2.10.1 得分情况
本题满分10分，平均分6.72分，得分分布见表2.10。
表2.10 理科24题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
百分比
9.6
3.5
4.8
3.5
4.09
5.69
5.5
8.19
11.8
12.19
31.2
2.10.2 试题分析
本题是“三选一”，不等式选讲专题.主要考查
（1）分段函数（含绝对值）图像画法；
（2）含绝对值不等式解法。
（3）分美讨论，数形结合和转化与化归思想。
2.10.3 考生失分主要原因
选做本题理科考生总人数56468人。只要选做本题的考生基本上能动笔，难度较易。相当部分的考生能准确画出函数的图像，能很好把握本题函数的图像特点，利用图像解决本题的第二小问的不等式问题，能抓住关键点。但还有大部分的考生出现的问题也是层出不穷。
常见的典型失误有：
在第一小问中（1）关键点（，），相当部分考生画在点（2，2）
（2）不会去绝对值化成分段函数，从而导致所画的图像千奇百怪。
（例如有的考生直接取点，；，；，……来做题）
（3）画图不规范，如直线画成曲线
在第二小问中, (1)解成或者根本不会解;
（2）不会借助函数图像，数形结合求解不等式，能利用图像的又有部分考生求不出或求不全x的四个值，求正确了，又不会取范围。（例如，取成）;
( 3）因为第1问的图像不对，导自第二问的解出错;有部分考生分区间讨论解不等式、讨论不全，思维不严谨，（如解）的解集，直接求的解集;
（4）计算能力不强，导致错误层出不穷。
2.10.4 本题除“国标”之外的优秀解法
方法一：由的图像作出的图像
当可得或或或
由图像可得的解集为
方法二，由不等可得
(1)得
(2)得或
(3)得或
得的解集为
3 文科考生答题情况分析
3.1 考生整体成绩统计
对于人工评卷部分(包括填空题20分和解答题70分)，考生的平均分、标准差、难度、0分率及满分率见表3.1。其中选考题通过22,23,24题加权计算得出平均分.
表3.1 文科各题平均分、标准差、难度、0分及满分情况 (样本数 127431)
题号
13-16
17
18
19
20
21
选考题
合计
平均分
5.78
6.77
0.99
1.95
1.1
1.15
3.8
21.54
难度
0.29
0.56
0.08
0.16
0.09
0.10
0.38
0分率
33.19
22
51.59
46.59
70.09
48.69
满分率
2.5
29.49
0.1
1.6
1.3
4人
标准差
5.38
4.88
1.61
2.87
2.5
1.44
3.2 文科填空题
3.2.1 得分情况
13-16题满分20分，平均分5.78分，得分分布见表3.2。
表3.2 文科13-16题分值分布
分值
0
5
10
15
20
百分比
33.19
33.89
19.69
10.8
2.5
3.2.2 试题分析
与湖南卷比较，填空题单一，答案简单，好入手，无难题。
第13题考查向量垂直的坐标表示，这个知识点要求考生正确理解公式的应用，是容易题，区分度低。
第14题考查诱导公式，同角三角函数关系式，需要考生能利用公式、准确运算，或借助与的差为这个关系求解。
第15题考查直线与圆的位置关系，可用代数法与几何法求解，主要检验学生的数形结合思想及基本的代数运算能力。
第16题的关键在于能否运用线性规划知识，设产品A、B分别为x、y件，利润之和为z，列出约束条件
目标函数
为，求解问题因此而解决。
3.2.3 考生失分主要原因
考生在13题（向量数量积及坐标运算）做得较好，得分较高，而16题为高科技产品利润，考查了线性规划的应用得分率低。在第14题中，部分学生不能正确建立与的联系，从而失分，第16题由于文字性的叙述较长，纵横关系稍显复杂，导致考生不能理清思路，不能抓住关键信息，算不出答案。
部分学生书写不规范，号写成了n、a;3写得很像2.
3.3 文科17题
3.3.1 得分情况
本题满分12分，平均分6.77分，得分分布见表3.3。
表3.3 文科17题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
22
2.8
7.59
2.7
1.5
1.2
7.29
3.09
3.9
4.5
5.29
8.69
29.49
3.3.2 试题分析
本题主要考查数列的基本定义，特别是等差数列，等比数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题。
今年全国卷数列题具有典型的特点，主要体现对公式的基本运用，以往湖南卷数列题属于中档题，主要考查裂项相消，分组求和，错位相减求和以及数列不等式，对考生要求较高。
3.3.3 考生失分主要原因
大部分考生能够掌握等差，等比数列的基本概念，通项、首项、公差、公比，前n项和等基本知识点，能够完整表达出，的形式，求出其中关键数据a1及q。
部分考生概念混淆不清，特别是（1）由已知得出变形，就得出以为公比的等比数列，直接得（此结论正确）。
（2），故为的等比数列
得再由（I）进一步得（II）结论
（3）习惯性将公式写成
（4）将记成
（5）将代入得错误，正确结论，但是后面改变结论，即发现了的正确结论，但是没有回头将改过来。
（6）（I）中算错了，代入（II）中得出，但是直接设是以为公比的等比数列（猜想），但实际上得不到该结论。
3.4 文科18题
3.4.1 得分情况
本题满分12分，平均分0.99分，得分分布见表3.4。
表3.4 文科18题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
51.59
29.6
8.6
2.29
1.1
1.3
5.09
0.3
0.1
0.1
0
0
0.1
3.4.2 试题分析
文科第18题是一个以锥体为背景，考查重点关系，由线面垂直性质PD⊥面ABCAB⊥PD，DE⊥面PABAB⊥DE，导出线线垂直，又由线线垂直，根据线面垂直判定，推出AB⊥面PED再进一步得出AB⊥PG，最后由等腰三角形PAB三线合一得出，G为AB中点，第一问主要考查基础知识和考生分析推理能力，更多的是在知识层面立意，第二问作图与证明，形式上考查考生动手作图能力，更注重性质转化及分析能力，考生要指出面CAP⊥面BAP这个概念前提下才能定好F点位置，在两个平面BAP与CAP交线上，又注意到BP⊥面CAP，EF∥BP，具备这两个条件，问题就迎刃而解了，第三问，考生若联系到第2问，找出三棱锥P-DEF的高为DF，先定好高，问题就容易解决了。
3.4.3 考生失分主要原因
（1）概念理解不清，如证明（1）时出现PC⊥PG，DE⊥PGPC∥DE的结论。
（2）循环论证：题目中要证明G为AB中点，用C、D、G三点共线，证明AB为中点G。
（3）公式记忆不牢，某些考生要么丢了，要么丢了。
（4）运算能力不强，求四面体PDEF体积时，有些考生每条棱长计算对了，但最后运算体积时结果错了，有些考生将DE算成等出现不该出现的错误。
（5）思维品质欠佳，第2问找F位置时，由于考生不能分析得出，面BAP⊥面CAP，故不能发现F点在面BAP与面CAP交线点，或求DPFE体积时，将高求错等。
3.4.4 除“国标”外的优秀解法
在文科答题中，第18题也出现了“图标”外的优秀解法在此例举两例。
如1，将三校锥置于整体背景之下，即补体法，能化繁为简，优化思维简化了计算。（1）如图三校锥P-ABC为正方体PBHC-AQMN的一个角，由等积公式有
则D为体对解线PM的一个三等分点
因为M在侧面PAQB投影为PQ，即D在平面PAQB内投影E在PQ上，故G点为PQ与AB交点，所以G为AB中点。
（2）作EF∥AQ交PA于F，则EF∥PB。所以PB⊥面 PAC。所以EF⊥面PAC，即点F为E在面PAC内正投影，由（1）知E为PQ三等分点，D为PM三等分点，DE∥MQ，EF∥AQ，且EF=AQ，PEF=PAQ，又DG=GC。
如2：将图形倒置过来
第2问BP⊥PA，BP⊥PC所以PB⊥面PAC
所以P为点B在平面PAC上正投影过点E作PB平行线交PA于点F。
所以EF⊥面PAC，即点F为E在面PAC内正投影
D为三角形ABC中心，所以GD：GC=1：3
又DE⊥面PAB，PC⊥面PAB故DE∥PC
DE：PC=GE：GP=1：3又PC=6故DE=2
又EF∥PB，故EF=PB=2
在等腰直角三角形PFE中，可得PEF=2
又DE⊥面PAB，故三校锥D-PFE高为DE
所以四面体PDEF体积。
3.5 文科19题
3.5.1 得分情况
本题满分12分，平均分1.95分，得分分布见表3.5。
表3.5 文科19题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
46.59
20
6.09
4.8
5.69
4.59
2.6
1.79
2.7
2.09
0.89
0.6
1.6
3.5.2 试题分析
本题是一道函数和统计知识交汇的综合应用题、考察的知识点是分段函数的求法，频数和频率的联系，利用分段函数条件求样本数据的平均数，并利用平均数分析优化决策的问题，考察了学生理解题意、分析柱状图的数据特征，考察学生的观察能力和思维能力，要求学生从样本频数分布条形图中抽象出分段函数关系，利用所得函数解析式求值分析决策的能力，也考察了考生利用统计学知识对样本数据科学分析处理问题的能力。能考察考生数学建模（函数模型）的思想；难易程度对文科考生是中等难度题，区分度好，可信度高，有助于选拔人才，选拔的有效度高，需要思维品质好，数学底蕴扎实，解题能力强的考生才做得到满分，试题考察了适当的知识深度和广度，是一道好的文科数学选拔题。
就本题而言，全国卷在考察统计概率知识点时，出题注重和其它知识（如函数）的交汇综合，考察时有适当的深度和广度，出题特别注重以解决实际问题为背景，考察考生的读题能力，分析和读图的能力，处理数据的能力，理解和解决实际问题的能力，在本卷中是中难题。
而以往湖南卷的概率统计题考察知识点比较单一，对考生而言是易做的基础题，属考生的保底得分题。
3.5.3 考生失分主要原因
（1）许多考生没有理解题意，不能按题意和条件做题，对题中柱状图所提供的数字特征不能准确把握，将实际问题转化成数学问题的能力欠缺，不能很好地利用条件中的特征值作为分段条件的分界点，写出了分段函数解析式、理解问题，用数学知识分析问题和解决问题的能力还不够。
（2）许多考生对统计样本中的中位数、平均数、众数、频数的关系与作用分辨不清，解题思路不中题意，错误形式多种多样，列式和计算能力缺乏，对结果不能正确分析和优化。
（3）大部分考生不能完整解题得分不多；但也有少部分考生基本功扎实，求新思维灵活，对新题能理解题意，准确把握条件，用所学知识解决实际问题，解题能力强得了满分。
（4）少部分考生可能是读不懂题意，找不出解题方法，思维不活跃，缺乏对知识的联想能力，没有动笔或下笔离题，得零分。
（5）部分考生没有认真分析所给条件在统计样本中的意义（实际上是是这组数据中的一个众数），不能依题意正确简便 的写出函数解析式，对分段函数的分段条件把握不清，没有写对分段条件，解题欠规范。
（6）部分考生对样本中频数和频率的关系理解不到位，因而求不准n的最小值，对数学答号语言的运用和书写不规范，表示不清。
（7）部分考生不能准确利用条件和分段情况正确写出所求平均数的表达式，有的考生运算能力欠缺，结果算不准，也有考生不按要求不扣题，误求本题的方差。
3.5.4 除“国标”外的优秀解法
（1）求分段函数解析式时，有的考生先用分段函数的一般形式表示，再将条件值代入上式化简解析式，得
（2）求n的最小值时，有的考生分析样本中的中位数，用一组数据从小到大排列到中位数时累计所对应频率恰好是0.5，再观察中位数落在哪一组，从而确定n的最小值为19；有的考生直接利用样本中频数和频率的关系，100个数据中频数数到50时，所对频率是0.50，从而确定n的最小值为19，也有考生逐但算频率后累加分析的，从而求出n的最小值，都是较好的方法。
（3）本题第3问是求平均数后进行优化分析决策的，有的考生也列出了和国标不同的式子，但结果是正确的，只是式子的意义不易理解，可能不是最简便 的算法。
3.6 文科20题
3.6.1 得分情况
本题满分12分，平均分1.1分，得分分布见表3.6。
表3.6 文科20题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
36
33.39
10.8
3.9
3.2
4.19
2.4
2.7
1.89
0.7
0.4
0.3
0.1
3.6.2 试题分析
本题考查的知识及能力要求：
1）、本题为直线与抛物线的位置关系综合题，第一问主要考查了抛物线的概念及性质、中点坐标性质、直线方程、二元二次方程组的解法；第二问主要考查了直线与抛物线的位置关系及存在性问题探究。
2）、要求学生能根据题目文字表达充分理解题意，明白出题者的意图。
3）、本题为全字母运算，对学生计算能力要求比较高，同时要求学生在计算中要细心严谨。
4）、要求学生根据已知条件写出直线方程相当熟悉，对联立方程组消元，解一元二次方程相当熟练。
本题与以往湖南卷考题的对比：
1）、在湖南前几年高考中，圆锥曲线内容一般都是主要考椭圆，因此很多老师和学生都认为抛物线内容很简单而忽略了对抛物线的复习，从而相当部分学生对抛物线的性质不熟悉。
2）、在以往高考中，圆锥曲线第一问一般是根据条件直接求圆锥曲线的方程，而本次考试中却全为字母运算，让很多学生不知所从。
3）、本题难度不是很大，考查知识也就是抛物线的概念和性质，直线方程，中点坐标等基本知识点。但因本次出题出乎了很多学生的意料，从而让很多学生直接选择放弃。即使学生选择来做，也有相当多的学生落入了以往的定势思维误区。
4）、学生的计算能力本就欠缺，而本题为全字母的计算，加大了计算难度，进一步降低了本题的得分。
3.6.3 考生失分主要原因
在考生的答题中，存在学生表达书写不规范、逻辑思维混乱。如叙述文字欠缺，表达不完整，不知哪些该表达，又该如何表达；演算过程中详、略把握不当；很多学生没有调用已知就直接跳跃式写出一些结论，如第一问中，应由条件先写出M点坐标，再由抛物线的性质得到P点坐标，从而可根据对称点的性质得到N点的坐标。再得到直线ON方程，根据直线与抛物线的性质求出交点H的坐标，最后得到的值。①、很多学生没有读懂题意的条件下，就根据以往的定势性思维直接设点M、 P、N的坐标，然后又回头来求未知数，甚至不求就直接用所设的未知数进行计算，从而很简单的问题被复杂化了。②、相当部分学生直接无理由就得到了点N坐标，后面又反过头来求点P、M的坐标。③、学生理解P、M、N三点之间的关系出错（很多学生把P点当作了中点），从而N点的坐标出错，导致后面的解题过程中虽然思想方法完全正确，但全都是无用功，浪费了时间却得不到分。学生在求直线ON的方程时，写法多种多样，却没有化成最简形式，在与抛物线方程联立方程组时从而求解出错。或省略消元得到一元二次方程步骤相接得出结果，但结果却又出错。⑤、在求的值时大部分同学是直接用距离公式求出距离来进行运算，一部分学生忘记开平方而出错，还有部分学生的观察分析能力欠缺，从而不知约分得不到数值2。在第二问中，相当部分学生没有去画图分析，或者抛物线的性质不熟悉，错误理解题意，就直接根据以往解题的习惯性思维认为一定会存在一点，进而假设存在另一个交点设出坐标进行计算。本来计算过程完全正确，但最后却得出错误的结论。
在本题中因全部是字母进行计算，这对学生的计算能力要求比较高，有一部分学生会望而止步；还有一部分学生思路完全正确，但在第开始求H点坐标时计算出错，导致后面全错。
3.7 文科21题
3.7.1 得分情况
本题满分12分，平均分1.15分，得分分布见下表表3.7。
表3.7 文科21题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
百分比
48.69
13.3
25
7.4
1.79
2.29
1
0.3
0.2
0.1
36人
13人
4人
3.7.2 试题分析
考查导数，导数乘法公式，基本初等孙数的导权公式，利用导数研究函数的单调性；考查能力，综合分析问题，分类讨证解决问题能力；难易程度：难。区分度：除顶尖学生外，对大部分学生区分度不太高。
2016年的全国卷与2015年的湖南卷相比较，总体上，难度加大，特别是今年的考题虽然注重了基础，但是起点还是偏高。对于中等基础但综合分析能力一般的学生，得分偏低，会让这部分学生害怕数学。
3.7.3 考生失分主要原因
本题是文科第21题，是全卷中难度最大的的大题。
（1）第1问讨论函数的单调性，首先考查学生基本初等函数的导数公式，导数乘法公式及复合函数求导（也可展开完全平方，再用幂函数的导数）。从阅卷过程获知，相当一部分学生得分止于求出的导数。大部分学生的导数不能完全求对，导致后续解题无法完成或出错。
（2）第1问考查学生的分类讨论的数学思想方法。求导并化为乘积形式以后，部分学生利用求可能的极值点，未注意形式中的条件，因而不能准确找出分类讨论的突破点。
（3）分类讨论过程中，部分学生思路不清楚，考虑问题不严谨，导致分类不完整，例如：分出，，三类，都未考虑未这个情况。
（4）计算能力差。基础知识不扎实，体现在分类讨论时，解求a的范围时由得出的结论，即不等式两边同时除以-2时，不等号的方向未改变；其二，解时，不会将不等式右边代为，导致错误给出。
3.8 文科22题
3.8.1 得分情况
本题满分10分，平均分2.02分，得分分布见表3.8。
表3.8 文科22题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
百分比
31.5
18.29
11.3
13.4
9.5
13.4
2.6
0
2人
2人
1人
3.8.2 试题分析
（以下部分同理22题）
3.9 文科23题
3.9.1 得分情况
本题满分10分，平均分4.62分，得分分布见表3.8。
表3.9 文科23题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
百分比
18.5
9
4.9
7.1
6
12.3
11.2
9.39
4.09
4.8
12.7
3.9.2 试题分析
（以下部分同理23题）
3.10文科24题
3.10.1 得分情况
本题满分10分，平均分3.44分，得分分布见表3.8。
表3.8 文科24题分值分布
分值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
百分比
35.7
9
10.4
4.9
4.69
4.9
4.09
5.5
4.5
5.5
10.69
3.10.2 试题分析
（本部分同理24题）
3.10.3 考生失分主要原因
选做本题的考生大部分不能准确画出函数的图像，不会利用公式或图像解含绝对值不等式，属中档题，出现的问题层出不穷。
第1小问：（1）没将解析式化简为发段函数导致图像不准确。
（2）函数解析式去绝对值有误：分类不全，漏端点。
（3）分段函数画图：分界点坐标计算有误
如将（）算成（2，2），将（-1，5）算成（-1，-4）画图不规范，直线画成曲线。
第2小问：（1）不会使用公式或
（2）不会借助函数图像，数形结合思想求解不等式问题。
（3）计算能力有待提高，方法用对、答案算错。
（4）大部分考生分区间讨论解不等式：讨论不全，思维不严谨。
4．对教学的启示
4.1 夯实基础，循序渐进
基础知识和基本技能是学习数学的基础和必要条件，对它们的掌握情况直接影响学生数学能力的发展，从今年的高考题来看，也体现了对学生“双基”的考查，但是从阅卷情况来看，学生的基础普遍比较薄弱对数学概念的理解不准确不深刻。如在理科20题中很多学生对椭圆的定义不熟练，判断不出满足条件的曲线为椭圆。同样，文科17题许多学生对等比数列知识不熟练，认错用错通项求和公式。
在平时教学中，有些教师常常认为内容简单，就不进行基础练习，直接跳跃到难度大的题目，导致学生也不愿意再做容易的题目，结果容易的没掌握，难题目也做不出。这些问题启发我们应该夯实基础，上新课时，让学生弄清概念、定理、公式的来龙去脉，扎实掌握解题的通法；练习题时，从基本的题目出发，循序渐进，在高一、高二讲授新课时不宜过多与高考难题接轨，容易导致学生畏难，失去信心和兴趣，影响后续学习。
4.2 重视数学思想方法的教学
数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是数学学习的根本目的。历年高考小题和大题的压轴题注重的都是数学思想方法的考查，今年高考对这方面的考查力度较大，所以许多考生和教师都认为试题偏难。如理科7、18题和文科9、18题都是考查数形结合的思想方法；在压轴大题上，如文科和理科的21题考查的都是转换化归的思想。除了压轴题，大多数题都考查转化思想。分类讨论的思想的运用是每年的难点。所有这些涉及思想方法考查的题目，学生的得分率都非常低，说明学生对数学思想方法应用存在较大问题。
由于数学思想方法是基于数学知识而高于数学知识的一种隐性知识，要在学生的反复实践和体验中才能被逐渐认识，需要教师长期渗透，这是教学中最难的部分。我们可以通过以下途径实现数学思想方法教学：在教材中充分挖掘数学思想方法，如讲数列通项时，结合归纳法、方程思想和转化思想；在概念形成过程中渗透数学思想方法；在问题解决过程不能只是就题论题，要揭示数学思想方法，在知识整理总结中概括和提炼数学思想方法，如解析几何中强调的是把几何问题转化为代数问题。
4.3 注重数学表达能力的培养
新课程标准提出高中数学课程要注意提高学生数学表达和交流的能力。但从今年的阅卷情况来看，我们发现有相当一部分学生的数学表达能力很弱，书写很不规范。如立体几何题的证明，有些学生的解题方向明确，但写法不到位，啰嗦、词不达意和绕弯子。
数学语言是数学思维的外壳，数学的交流和表达离不开简明、正确、灵活、完整、逻辑性强的语言。由此可见，培养学生的数学语言表达能力是高中教学的一项极其重要的任务。教师在教学过程中首先要保证自己表达、书写的准确性、逻辑的严密性，板书工整，并重视学生的书写和表达能力，使学生养成言之有据、解题规范的习惯。
4.4 加强运算能力的培养
运算能力也是数学能力中非常重要的一种能力，是中学数学学习中必须掌握的能力。今年的考题，对运算能力提出了较高要求，在阅卷过程中，我们发现很多学生思路明确，但是计算错误，导致会而不对，得分率低。有的学生是算的太少，如在文科和理科的20题能把方程联立后却求解不出答案；有的学生缺乏运算技巧，如文理科19题概率计算花时较多，算出来的都是错误结果。
教师在课堂上给予学生运算的时间太少，为了避免学生运算花费过多的课堂时间，有时直接省略计算过程写答案。或是老师自己在黑板上演示，展示运用技巧。有时，教师的方法的确精彩，但多数同学仅限于听懂，离自己独立的准确运算相差甚远。教师不妨多给学生参与运算的机会，即使一开始速度慢也无妨，至少知道在运算方面自己的不足在哪里，是粗心还是知识掌握不扎实，或是没有掌握运算技巧，这是非常有价值的。尤其是几何的题目，有些学生常常抱怨自己运算能力不行，其实很多时候是没有注意到几何关系，设的参量太多才使运算复杂。
4.5 实施分层教学
在阅卷过程中，我们发现有很多学生基础知识非常薄弱，基本的概念都不清楚，很多题目都有许多打零分的，对于这部分学生应该给予个别的指导和交流。教师在教学过程中应充分了解学生，只有切合学生实际情况的教学才会是最有效的。这要求教师多与学生沟通，及时了解学生的学习情况并及时调整教学。在教学中还应根据学生情况因材施教，人人学有用的数学，使不同的学生得到不同的发展。根据学校情况，实施分层教学是解决学生差异性的途径。
5．对高考命题的建议
高考改革是当今教育改革的头等大事，高考命题是否也应有些改革的动作，考试中心应对此作些专项研究。
2016年高考数学试题存在一些值得思考的问题，以下仅针对本试卷提出几点建议：
5.1在题型设置上，应逐步淘汰单选题，至少应取消单选题中的难题。单选题的优势功能已基本不再，而选拔功能上的问题，却十分明显，如11、12题，其通过率为百分之二十几，与猜中答案的概率相当，较优秀的考生花大量时间解答这些题还不如较差考生胡乱猜几个答案的得分高，区分度有些已为负值,这极大地妨碍了数学优生的选抜。
5.2适度增加创新题。建议文理科卷可适当增加创新题，且创新点可置于填空题和解答题的最后一题，用以考查较高水平的考生，利于培养学生的创新能力。
5.3文科18题难度难于去年，是近五年来难度较大的一次，对学生的区分度可能不大，能拿下该题的考生也很少。特别是所给图形，对学生识图能力要求高，对解题产生较多负面影响。
5.4理科21函数综合题区分度小，建议保持“好入手”这一特点，降低第一问的难度，保持第二问思维步骤和难度。
5.5建议将填空题的答题位置放在同一横排（不用排成两行），以减少考生答案写错位置的情况的发生。
5.6建议在高考试题中，尽量避免使用陈旧试题。
湖南省高考数学评卷组
二○一六年六月十八日
课件54张PPT。从考生高考答题看 高三备考策略 4
知晓高考要求 明确前行方向
面对学生现实 找准教学对策
洞析考场风云 保住高考分数4 一.高考评卷得分信息 1.得分情况 2016理科各题平均分、相对难度、0分及满分情况（样本数：200859 ）4 2016文科各题平均分、相对难度、0分及满分情况（样本数：127431 ）4 1) 文理同卷的趋势 2) 注重知识综合思想方法数学能力的趋势不变 3) 更多地关注对数学基础素养的考查 对计算量速度准确性的要求提升 突出对数学概念理解水平的考查 2.试卷整体特点41) 文理同卷的趋势(1)文理难度向中间靠近
如文科18题，立体几何题虽图形背景直顶角正三棱锥比理科题的五面体更为学生熟知，但其图形识别能力的要求却高于理科18题，而在推理论证方面的要求，二者不相上下。文科19题统计与概率题与理科19题相比，除分布列知识点换成了求解析式外，其余知识点和计算能力要求基本相当。
而在对数学理解层次、计算能力、数学思维层次的要求方面，整体上，理科卷要求还是高于文科卷。4(2)文理同题增多
全卷中共有理6与文7、理7与文9、理9与文10、理11与文11、理16与文16和选考题共计8道35分题完全相同。4数学基础知识理科24块:
1.集合；2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)；3.立体几何初步；4.平面解析几何初步；5.算法初步；6.统计；7.概率；8.基本初等函数Ⅱ(三角函数)；9.平面向量；10.三角恒等变换；11.解三角形；12.数列；13.不等式；14.常用逻辑用语；15.圆锥曲线与方程；
16.空间向量与立体几何；17.导数及其应用；18.推理与证明；19.数系的扩充与复数的引入；20.计数原理；21.概率与统计；
22.几何证明选讲；23.坐标系与参数方程;24.不等式选讲；2) 注重知识综合思想方法数学能力的趋势不变4数学基础知识文科23块:
1.集合；2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)；3.立体几何初步；4.平面解析几何初步；5.算法初步；6.统计；7.概率；8.基本初等函数Ⅱ(三角函数)；9.平面向量；10.三角恒等变换；11.解三角形；12.数列；13.不等式；14.常用逻辑用语；15.圆锥曲线与方程；
16.导数及其应用； 17.统计案例;18.推理与证明；19.数系的扩充与复数的引入；20.框图；
21.几何证明选讲；22.坐标系与参数方程;23.不等式选讲；
4近五年考查主要载体内容所占分值统计表2016数学试卷评价报告.doc
不强调知识点的覆盖率
4数学思想和方法7类:
1.函数与方程的思想；2.数形结合的思想；
3.分类与整合的思想；4.化归与转化的思想；
5.特殊与一般的思想；6.有限与无限的思想；
7.或然与必然的思想。
数学能力7种(5+2):
1.空间想象能力;2.抽象慨括能力;3.推理论证能力;
4.运算求解能力;5.数据处理能力;
6.应用意识;7.创新意识.
(数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析----六大核心素养)43)更多地关注对数学基础素养的考查(1) 最基础的计算对计算量、速度、准确性的要求提升 如统计、解析几何
(2)突出对数学概念理解水平的考查
以理科卷为例，理2题对复数概念的考查，理3题对等差数到概念及前几项和的概念的考查，理5题对双曲线概念的考查，理13题对向量垂直概念的考查，理15题对等比数列概念的考查，理20题对椭圆概念的考查,理21题对函数零点概念的考查。解答这些题，深刻理解相应概念是关键或是直接得分的重要手段。 41）在数学基础素养方面
读题理解 题目、概念、图象 统计第一问变量X的取值，有很
多的同学答题时都当成了一台机器需要的零件数；概率题不能
正确写出各个概率的表达式，不能正确理解 的含义。 24题画图不规范，如直线画成曲线，不会借助函数图像，数形结合求解不等式 。
准确计算 统计概率有部分同学写出了准确的算式，却不能正确
求出结果，有的算两遍；解几第1)问计算椭圆中a、b、c出错 .
推理证明 立几不能实现题设到结论的合理推理论证 ，已知条
件根本没有运用，而得出许多与问题有关的结论，即表现出没
有“因为”、只有“所以”的推理过程；没掌握一步推理。
清楚表达 过程书写不通顺，写不出一句完整的话。
知识记述 三角函数部分学生概念不清，正余弦定理公式记错 3.考生答题中的问题4不少考生由于运算求解、推理论证等基本技能没过关，加上考场上的紧张情绪，导致频频出错。42）在知识结构方面
知识的漏洞较多；留空白题, 文科后四题.选考题.
知识的准确性不够；三角函数、正余弦定理、和角公式.棱锥体积公式的记忆出错。曲线方程中a、b、c的关系记错;韦达定理记错。文理21题中导数为0的点与极值点零点不加区分。
知识的综合性不强；如知识打混.
策略性知识严重不够；如文理21、20 、24解题套路不清.
知识不会运用—不知何处用何知识解决问题(理解上的深入不够，人在紧张状况下知识联想不起来) 如填空题和解答题。4
高考中，基础知识的漏洞正是低分考生失分的主因!
不少考生数学概念不清，定理、公式记忆有误，方法掌握不牢，解题一开始便出错。
4 3）在考试行为能力方面
读 阅读理解---表现为冲动的期望解题，错误理解题意、找不到最佳（简）解法。新情境题、应用题、开放题等(理13、14、15)
写 思想表达---颠三倒四说不清，抓不到关键步骤。
立几证明题目标不明确、自造条件、没有“因为”、“所以”。后三题等（不留空策略与解题习惯）
算 技能能力---运算出错、不会动手。如三角、概率、求导运算，解析几何中式的变形.
想 分类讨论---分不清对什么分类、如何分类。思维不严谨，
发挥 考场上心理过度紧张造成遗忘与笔误（低级错误比比皆是）4阅读理解不到位成了中等考生最大的失分点，绝大多数考生怕长题、新题、把关题，怕在理解题意上多花时间。
面对以能力立意的高考试题，考生的数学思维水平决定了得分的高低，推理证明题具有极高的区分功能。（中等水平考生上本科的关键得分处！）
4 4）在难度适应性方面
从宏观上看：
(1)基础知识的综合应用题得分低；
(2)数学思想方法（特别是分类讨论题）的综合运用得分低；
(3)在新情境中（尤其是新概念题、应用题）解决问题得分低；
(4)高水平数学思维品质应用的题（把关题）得分低；
(5)应试时间配置把握不好。（题目做不完，放弃后两题）4 5） 在考场习惯方面
(1)面对心理压力缺乏减压的办法
过度紧张和过早得意导致笔误（评卷中发现低级错误不少）
(2)答题策略失当
处理问题过于老套死板,缺乏灵活性,浪费时间,错失得分良机，如选择、填空题.选考题选的策略（超半数的人选了难做的23题、文科超25﹪的人选择放弃）
(3)解题习惯不好 导致到处出错丢分（解答题满分率低）
审题不细致;
解题表述不讲究;马虎从事不严谨;
(4) 答题时间安排缺乏计划性，选考题无时间做，数以万计的人放弃。4课堂教学效率低下的根源在于教师包办
为了节约时间，教师的讲解代替了学生的阅读与分析；（以讲代学）
为了多讲几道题，教师免掉了计算过程；（以讲代练）
为了多做几道练习，教师免掉了解题后的反思环节。 （以讲代思）
这些看似高效的教学措施，却实实在在地剥夺了
学生亲历学习过程的机会，使学生的学习变为被动
式、记忆式的机械学习，学生只能寄希望于教师的题
型训练和猜中题。4二.高三数学备考策略四教策略
知识与技能---教结构
能力与方法---教过程
把握难度----据实教
情感态度---教习惯
关注学生最基本的数学素养，发现问题及时帮助、引导41.建构好知识网络结构
2.体验准确快速解题过程
(1) 学会理解题意 找寻快速解题过程
(2) 解答题要有适当的过程 特别是关键性步骤
(3) 书写答案要快 计算要准
3.明确前行目标 找准突破点
（1）正确把握高考试卷的难度 认清试题的难点所在
（2）教学中应依据学生的实际情况把握好难度
（3）专题过关
（4）尊重学生的个性差异，把握好训练的难度。
4.形成良好的学习习惯
5 .给学生的应答建议41.建构好知识网络结构
学生的知识为什么会漏洞百出?
加强对课标、教材、考试说明的钻研。教师应熟悉高中数学的每一知识点，弄清其教学地位、考试要求,以减少教学的盲目性，提高针对性和教学效率(双曲线的教学要求问题)。
（新知课教学到位！）
一轮复习建构纵向知识网络体系.建立起良好的数学认知结构！查漏补缺 (不应急于攻难题)
每章让学生先画知识网络图，以章节知识点为线索把相关知识串起来,包括解题的基本套路和思想方法.如圆锥曲线,知识点 ---定义、方程(参数)、图形(形状位置)、性质；解题基本套路---建系、写坐标、列方程写等式、画图、作结论等；思想方法---数形结合（方程形式与图形位置配对的一致性，）、函数与方程（在多个字母中确定自变量与因变量，利用各自优势解决问题）。再通过典型习题进行巩固4二轮复习整理建构专题知识网络体系。 (结合学生实际攻难题)
知识网络体系中应包括解题基本策略知识。
如解三角形问题：包括正、余弦定理，勾股定理，和、差角的三角函数公式，最值问题，不等式知识，函数与方程思想（正、余弦定理的变形）等。
解题教学揭示策略性知识；示范提炼思想方法(反思)
给予学生理解的机会； 实践体会知识运用(动手)
练好基本技能基本方法; 提高解题速度。
达到目标：八方联系、浑然一体、
漫江碧透、鱼翔浅底.4在专题训练中,以专题内容为核心，以典型试题为载体，运用反思的方式构建综合知识结构体系.
如:数列专题的教学：—通项（求通项）—等差等比(定义与判定、求和)—函数（定义域、单调、奇偶、有界） —策略（归纳、概括、相消转化、数形结合等思想方法） —相关联知识（绝对值、三角等）4又如选修专题不等式证明中，要注意绝对值不等式（作为工具！）、距离、绝对值的意义等的联系。
（2012理10）不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. （2013理20）（2014理20）（2016理24）
4考查综合知识的典型问题：
如图4，在平面四边形ABCD中， ,
（I）求 的值；
（II）求BE的长4本题利用平面四边形为载体,主要考查运用同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换及解三角形等基础知识分析和解决问题的能力。这道题只要能正确理解题意和基本概念，公式记牢，灵活运用正弦定理和余弦定理及三角恒等变换，加上简单的计算就能解答出此题。42.体验准确快速解题过程
教师:（1） 重视对考纲及说明和考题(整体研究近几年试题的命题意图、背景)的研究, 先研后教、优化过程
（2）重视对学生的学情分析,采用切合学生实际的教学策略（以教代学、以练代学不可取！）
（3）搞好常规教学 找准教学的着力点
不断反思，按思维发展规律来教学。首先抓基础，形成好习惯；复习课在良好的基础上抓提升。
（4）充分挖掘优质题的教育价值(理解编者的意图)并加以实现。
让学生由看课听课走向自己行动，亲历解题的思维过程！
（改变学生自己行动总在课后，总是课堂机械吸收、课后模仿消化的现状！ ）
一轮复习加强基本素养的过关训练.4二轮复习提升难度，把握住数学思维训练的核心。解题训练应注重通性通法，倡导一题多解、多解归一、举一反三、反思整理，注重数学思维的深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性的训练，切实提升五个基本能力和两个意识，最终达到解决实际问题的目的。
创设机会让学生亲身经历阅读理解、观察分析、概括整理、探究发现等基本学习过程。使学生养成良好的学习习惯，逐步提升其学习水平层次。
4*要重视计算能力、数学阅读理解能力、数学表达交流能力等“基础性能力”的培养；
*要重视培养学生思维的严谨性，规范数学表达、规范作答；
*重视培养学生面对新情境处理问题的能力；
*把数学思想方法渗透到教学过程中，培养学生的创新能力；
*重视学生良好学习习惯（解题习惯）的养成，引导学生积极动脑动手、由冲动的解题期望走向分析的期望，提高思维和操作水平。
4 学生： (1)学会理解题意 找寻快速解题过程
“少考一点算，多考一点想”
例如.在极坐标系中，曲线C1：
与曲线C2：ρ=a（a>0）
的一个焦点在极轴上，则a=_______.
解答此题有两个道径，一是采用转化策略将极坐标方程化成一般方程，然后画图求出a的值，这种方法计算复杂，花时较多，容易出错，而较好的策略是直接求解，因为C1与C2有交点，可把C2代入C1的方程，又因交点在极轴上，所以θ=0，于是可看出答案a＝ 。4又如：用min{a，b}表示a，b两数中的最小值。若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-1/2对称，则t的值为
A．－2 B. 2 C. －1 D.1
解答本题的关键是理解题意，对于任何x，
f（x）都取|x+t|和|x|中的最小者。根据数形结合思想，由f（x）的图象的对称性可知，当x=-1/2时，有|x+t|=|x|，即|-1/2+t|=|-1/2|，得t=1。4 例 若 则S1 ，S2，S3的大小关系为 A. S1 有过程结果出错（笔误）可得中间分；无过程结果出错，无任何分，结果正确，只有结果分1分。
表达要清楚，不要跳过关键性步骤，大的记分点所在的结论一定要明确写出来。要做到“说得清、写得清、能力所及不丢一分”。
教材中没有而自学得到的公式定理最好不直接用!
如，判断 （记得结果）没有求和过
程少得4分。
4 (3)．书写答案要快 计算要准 试卷中有很多题，想清楚后，算就容易了。
找到解题方法后书写应简明扼要，快速规范，写出“得分点”，关键性步骤，过渡性知识与初中知识可省一点，不要太细，以节省书写时间。
一填空题答案为 ，部分考生算出0.866;一填空题(1)答案为-1/16，部分考生算出-0.0625都是不必要的画蛇添足。.证明题（如立体几何题第（1）问）的推理过程要写清楚,表达要明白。4例如: 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。
证线面垂直←线线垂直（2）
←线面垂直、等腰三角形
4 又如:
如图3，已知二面角 的大小为 ，菱形ABCD在面 内，A、B两点在棱MN上， ， ,E是AB的中点， 面 ，垂足为O.
（I） 证明： 平面ODE；
（II）求异面直线BC与OD
所成角的余弦值.
证线面垂直←线线垂直（2）4 3.明确前行目标 找准突破点
（1）正确把握高考试卷的难度 认清试题的难点所在
一般认为题目能力要求的层次与题目绝对难度成正比，即只需要单独记忆内容的题目较易，需要理解掌握的较难，需要灵活应用的更难。
考虑到全国教育发展不平衡的现状及不同地区考生差别较大的事实，试卷在每种题型中都设有一些较易试题，使大部分考生都能得到一定的基本分，并在每种题型中设有一些有一定难度的试题，从而实现选拔的目的．
为不同考生设计不同考题 ！让不同考生得到应得的分数！4（2）教学中应依据学生的实际情况把握好难度
(教师应明确:自己的学生哪里能拿分,哪里拿不到分,帮助学生拿到该拿的分.)
盲目刷题效率低下,费力不讨好.
①了解学生后再针对性施教—最近发展区理论
②难度上循序渐进，不宜一步到位—思维水平发展有一个过程（上新课与一轮复习课、二轮复习课在难度上应有不同要求！）
③向外学习取经不能照搬，应立足本班实际。他人的优秀资料经自己消化后再教学生.
④学生各有自身的优势，学生的难题也各有不同，让学生自己在攻克难题中不断反思提升水平.
4
(3) 专题过关抓落实（一般学生很难在一道题中得满分，为什么？）
（4）尊重学生的个性差异，把握好训练的难度。学生的数学领悟能力和思维水平是逐步提升的，解题训练的难度应该循序渐进。
解难题训练不宜过早进行、不宜在松散的基础上进行，没学会走就学习跑是不妥当的
4不同学生对数学学习的目标不一样，学习数学的能力不一样，所以对数学学习的要求应不一样.
不宜对每一个学生都以高考150分的标准来做要求.
那种绝大多数人陪少数几个人攻难题学数学的做法，效率实在太低；
那种以名校考优秀学生的试卷标准来要求普通学校学生的做法也非明智之举。
对学生而言，只有那种“跳一跳，摘得到”的难度，才是最适合其发展和提升的。
经历日常教学的逐步提升，待到高考时，学生定能拿到那些为他而设计的分数，达到一个较为理想的高度。44.形成良好的学习习惯
良好学习习惯的养成也是数学学习的目标之一,也是高考考
查的一个实实在在的方面
教学中应高度重视学生良好学习习惯（特别是解题习惯）的养成，引导学生积极动脑动手、由冲动的期望走向分析期望，提高思维和操作水平。
审题习惯、表达书写习惯、快速答题习惯……
教学生掌握一些基本的表达解题过程的套路
（如解几、函数综合等解答题）
对学生进行针对性的具体指导,平常严格要求.
4用思维习惯找解题思路的例：
已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。
（2）在函数f(x)的图像上取定两点A（x1，f(x1)），B（x2，f(x2) ）（ｘ1＜ｘ2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，ｘ2 ），使f′( x0 )＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由。
4 本题第（1）问容易上手，求f(x)的最小值，其中含有参数a，再解这个最小值不小于1的关于a的不等式，只是解这个不等式又要用到求关于a的函数的最大值。
第（2）问要讨论f′(x0)＞k，一般想到讨论f′(xo)－k是否大于0，斜率k可用A、B两点的坐标表示，可先找到f′(xo)－k在（x1 , x2）上的零点。据零点存在定理需先判断f′(x1)－k，f′(x2)－k的符号，（这是本题的难点所在），若二者异号，则自然找到了使f′(xo)－k＞0的xo的取值范围。4通过模拟考试训练学生的答题习惯.
模考冲刺阶段应抓住两件事:
利用模考自我反思,查漏补缺(在读、算、写、思方面)，发现优势，找到提高分数的突破点。
利用模考训练应答技巧和习惯（答题方式、时间安排、在难题中找分数、读、算、写、思的突破等）
练好三种功：快速读懂题、准确算出结果、流畅写出过程。45.给学生的应答建议（根据高考的特点、和近3年考生的答题情况，提出十点应答建议,以供参考。）
（1） 保持积极应答心态 正确对待试卷难易
（2） 合理分配答题时间 获取最高得分机会
（3） 仔细审题理解题意 理清思路
（4） 选好解题策略，用好解题工具
（5） 解答题要有适当的过程，特别是关键性步骤
（6） 能直接解出的中间结果应尽量写在前面。
（7） 书写答案要快，计算要准。
（8） 主动展示自我素养 争取一切得分机会
（9） 做了不要轻易划掉
（10）尊重试卷作答要求 各题写在规定位置4 谢 谢 !4分析考生高考答题 探究数学夺分策略
高考评卷信息反馈
得分情况 2015理科各题平均分、相对难度、0分及满分情况（样本数：194388 ）
题号
11-15
16
17
18
19
20
21
合计
平均分
13.65
8.22
6.17
8.52
4.92
1.88
0.65
44.01
79
难度
0.546
0.685
0.514
0.74
0.378
0.145
0.05
?
0分率
6.19
7.5
13.89
8.69
18.89
32.3
68.09
满分率
4.8
26.19
4.3
52.6
10.1
0.2
1人
标准差
6.32
3.84
3.8
4.38
4.13
2.46
1.22
2015文科各题平均分、相对难度、0分及满分情况（样本数：130124 ）
题号
11-15
16
17
18
19
20
21
合计
平均分
10.03
10.4
6.02
5.13
1.99
1.41
0.61
35.59
69
难度
0.4
0.87
0.50
0.43
0.15
0.11
0.05
0分率
14
4.19
30
17.7
40.8
48.9
75.2
满分率
1.4
68.4
29
17.5
0.7
0.6
0
标准差
6.39
3.21
5.05
4.38
2.76
2.17
1.33
试卷的变化
全国卷,增加选择题, 难度定位于考纲要求，湖南卷难度定位于平均分的提升(保持一本线不降)，照顾艺体类低分考生。
2.试卷考到了什么
（1）关于考查到的知识范围
1).课标的规定
2).考纲的说明
命题指导思想和命题原则 之一是 强化主干知识，从学科整体意义上设计试题;
(在知识网络交汇点设计试题—强调综合性) 注重整体设计，发挥结构效应(在设计好试题的基础上,设计好试卷.)
原则之二是 注重通性通法，强调数学思想方法 ;
(不偏不怪,多考想少考算---强调策略性知识的运用， 解题思维定向问题
原则之三:深化以能力立意，突出考查能力与素质的导向 (课标修订明确6大核心素养) (题目新颖---强调在新情境中解决问题)
原则之四:坚持数学应用，考查应用意识(综合应用问题---强调应用意识，建模)
原则之五:开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间(适量开放题、创新题--强调创新意识)
原则之六: 体现要求层次，控制试卷难度(分散把关、分层设问---强调区分)解答题易入口，难深入
具体知识内容：以2016考纲为准，数学基础知识理科24块， 数学基础知识文科21块。
近五年考查主要载体内容所占分值统计表明 不强调知识点的覆盖率
关于考查到的能力与方法的范围
数学思想和方法7类: ①.函数与方程的思想；②.数形结合的思想；③.分类与整合的思想；④.化归与转化的思想；⑤.特殊与一般的思想；⑥.有限与无限的思想；⑦.或然与必然的思想。
数学能力7种(5+2): ①.空间想象能力; ②.抽象慨括能力; ③.推理论证能力; ④.运算求解能力; ⑤.数据处理能力; ⑥.应用意识; ⑦.创新意识.
(数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析)
关于考查到的难(把关) 点的设置
方案一:创新与应用---04-13年的湖南卷、03全国卷.13年填空、概率、应用。
创新题对考生的理解能力、领悟水平、学习能力、创新意识、应用能力等有较高要求.
方案二:严谨与技巧---14-15年的湖南卷、近几年的全国Ⅱ卷。14年理19数列、15年理17三角、文19数列和文理21函数综合。
传统题对考生的理解能力、思维严谨性、解题技巧等有较高要求.
概率题得分情况13年与14、15年的比较。倒数第三题得分情况13年与14、15年（文）的比较，函数综合题得分情况14年与15年的比较。
特色难题：13年概率题、应用题；添空题最后一空
14年数列题；15年三角题、函数综合题、文科数列题。
2013年理20题。在平面直角坐标系xoy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图1所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区，分别位于平面xoy内三点A(3,20），B(-10，0), C(14，0) 处. 现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心.
（Ⅰ）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）：
（Ⅱ）若以原点o为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区.请确定P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小。
解答时只要看懂了“L路径”就是沿折线求距离（水平距离加上垂直距离）就很容易列式了。这里，通过阅读获取的新知识并不多，但可以有效地考查考生理解题意，识别关键词、理解术语和数学符号的含义，然后进行理性思考的水平。
还有13年概率题中对“邻近”的理解,决定了得分的多少.
15年理科第21题
已知 ，函数 记 为 的从小到大的第 n 个极值点.证明：
(Ⅰ)数列 是等比数列；
(Ⅱ)若 ,则对一切 , 恒成立.
本题涉及三个知识点
的极值点(4分),其导数为正弦型函数,0点为mπ,x轴上下两个象限异号,故为极值点.
等比数列(2分),据定义证.
证不等式恒成立(7分),利用极值来证,当所给函数较复杂时可构造新函数.极值问题往往要注意特殊点.
第一问中部分考生以0点代极值点，失一分。
第二问中部分考生没考虑a取等号的情况，失一分。在命题时这叫设陷阱!
3．考生答题中的问题
在知识结构方面
(1) 知识的漏洞较多；留空白题,如13年理20(L路经).
(2) 知识的准确性不够；如理18正余弦定理、和角公式.
(3) 知识的综合性不强；如理21、22解题套路不清.
(4) 策略性知识严重不够；如理20求数列通项.
(5) 知识不会运用—不知何处用何知识解决问题(理解上的深入不够，人在紧张状况下知识联想不起来) 如填空题和解答题。
高考中，基础知识的漏洞正是低分考生失分的主因，不少考生数学概念不清，定理、公式记忆有误，方法掌握不牢，解题一开始便出错。不少考生由于运算求解、推理论证等基本技能没过关，加上考场上的紧张情绪，导致频频出错。部分考生三角函数题看不懂题意，弄不清正弦型函数，记不准公式与特殊角的三角函数值，导致求值出错.在求概率时不知从何下手，不少考生求出的概率大于1也不在意.
在考试行为能力方面
(1)读 阅读理解---表现为冲动的期望解题，错误理解题意、找不到最佳（简）解法。如13年文17三角求值、13年理21抛物线焦点、 新情境题、应用题、开放题等（特别是13年理科两道新概念题）
(2)写 思想表达---颠三倒四说不清，抓不到关键步骤。立几证明题目标不明确、自造条件、没有“因为”只有“所以”。后三题等（不留空策略与解题习惯）
(3)算 技能能力---运算出错、不会动手。如三角、概率、求导运算，解几中式的变形.
(4) 想 分类讨论---分不清对什么分类、如何分类。如文21、理20、22等（13年分类讨论题特多）
(5) 发挥 考场上心理过度紧张造成遗忘与笔误（低级错误比比皆是）。
面对以能力立意的高考试题，考生的数学思维水平决定了得分的高低，推理证明题具有极高的区分功能。（中等水平考生上本科的关键得分处！）
在理科立体几何题中，部分考生证明线线垂直，线面垂直的思维方向不清，逻辑混乱，乱写一堆不知对错的式子，失去了难道不大的几分;解析几何题中，思维不够灵活的考生，不会选用合适的直线方程形式，导致运算复杂，失去得高分的机会。函数综合题中不知道基本的解题套路.
教学效率低下的根源在于教师包办。为了节约时间，教师的讲解代替了学生的阅读与分析；为了多讲几道题，教师免掉了计算过程；为了多做几道练习，教师免掉了解题后的反思环节。这些看似高效的教学措施，却实实在在地剥夺了学生亲历学习过程的机会，使学生的学习变为被动式、记忆式的机械学习，学生只能寄希望于教师的题型训练和猜题。在强调考查数学学习能力的今天，阅读理解不到位成了中等考生最大的失分点，绝大多数考生怕长题、新题、把关题，怕在理解题意上多花时间。
在难度适应性方面
从宏观上看：
(1)基础知识的综合应用题得分低；
(2)数学思想方法（特别是分类讨论题）的综合运用得分低；
(3)在新情境中（尤其是新概念题、应用题）解决问题得分低；
(4)高水平数学思维品质应用的题（把关题）得分低；
(5)应试时间配置把握不好。（题目做不完）
从大题内容看：
三角题中式的变形；立几题中的证明表述与线面（线线、面面）角的确定；应用题中的列式；分类题中的分类；开放题中的表述；解几题中式的变形等都是考生表露出来的有较多的问题的地方。
低分考生 知识性错误较多，运算性错误较多，没动手的题较多。
选择题得分75%左右（2014年偏低）；填空题得分60%左右，（2014年过低）；解答题前三道没拿下第一问的占30%，18题都有25%；后三道的没拿下第一问占50%，最后一题达90%以上。
在考场习惯方面
(1)心理压力过度紧张和过早得意导致笔误（评卷中发现低级错位不少）
(2)答题策略失当,处理问题过于老套死板,缺乏灵活性,错失得分良机
(3)解题习惯不好 导致到处出错丢分. 审题不细致; 解题表述不讲究; 有部分考生没看清题号把理科选做填空题第10、11题的答案，写在了9、10题的位置上，丢掉了10分; 不愿多动手,马虎从事不严谨;
(4) 时间安排缺乏计划性。
二.数学夺分策略
1.建构好知识网络结构
学生的知识为什么会漏洞百出?
加强对课标、教材、考试说明的钻研。教师应熟悉高中数学的每一知识点，弄清其教学地位、考试要求,以减少教学的盲目性，提高针对性和教学效率(双曲线的教学要求问题)。
（新知课教学到位！）
一轮复习建构纵向知识网络体系.建立起良好的数学认知结构！查漏补缺
以章节知识点为线索把相关知识串起来,包括解题的基本套路和思想方法.如圆锥曲线,知识点 ---定义、方程(参数)、图形(形状位置)、性质；解题基本套路---建系、写坐标、列方程写等式、画图、作结论等；思想方法---数形结合（方程形式与图形位置配对的一致性，）、函数与方程（在多个字母中确定自变量与因变量，利用各自优势解决问题）
二轮复习整理建构专题知识网络体系。
知识网络体系中应包括解题基本策略知识。
如解三角形问题：包括正、余弦定理，勾股定理，和、差角的三角函数公式，最值问题，不等式知识，函数与方程思想（正、余弦定理的变形）等。
解题教学揭示策略性知识；示范提炼思想方法(反思)
给予学生理解的机会； 实践体会知识运用(动手)
练好基本技能基本方法; 提高解题速度。
达到目标：八方联系、浑然一体、漫江碧透、鱼翔浅底
在专题训练中,以专题内容为核心，以典型试题为载体，运用反思的方式构建综合知识结构体系.
如:数列专题的教学：—通项（求通项）—等差等比(定义与判定、求和)—函数（定义域、单调、奇偶、有界） —策略（归纳、概括、相消转化、数形结合等思想方法） —相关联知识（绝对值、三角等）
又如选修专题不等式证明中，要注意绝对值不等式、距离、绝对值的意义等的联系。
（2012理10）不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. （2013理20）（2014理20）
考查综合知识的典型问题：
如图4，在平面四边形中，,
（I）求的值；
（II）求的长
.
.
本题利用平面四边形为载体,主要考查运用同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换及解三角形等基础知识分析和解决问题的能力。这道题只要能正确理解题意和基本概念，公式记牢，灵活运用正弦定理和余弦定理及三角恒等变换，加上简单的计算就能解答出此题。
2.体验准确快速解题过程
教师:
（1） 重视对考纲及说明和考题(整体研究近几年试题的命题意图、背景)的研究, 先研后教、优化过程
（2）重视对学生的学情分析,采用切合学生实际的教学策略（以教代学、以练代学不可取！）
（3）搞好常规教学 找准教学的着力点
不断反思，按思维发展规律来教学。新课抓基础，形成好习惯；复习课抓提升。
（4）充分挖掘优质题的教育价值(理解编者的意图)并加以实现。
让学生由看课听课走向自己行动，亲历解题的思维过程！（学生自己行动总在课后！）
把握住数学思维训练的核心。解题训练应注重通性通法，倡导一题多解、多解归一、举一反三、反思整理，注重数学思维的深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性的训练，切实提升五个基本能力和两个意识，最终达到解决实际问题的目的。
创设机会让学生亲身经历阅读理解、观察分析、概括整理、探究发现等基本学习过程。使学生养成良好的学习习惯，逐步提升其学习水平层次。
要重视计算能力、数学阅读理解能力、数学表达交流能力等“基础性能力”的培养；
要重视培养学生思维严密，规范数学表达规范作答；
重视培养学生面对新情境处理问题的能力；
把数学思想方法渗透到教学过程中，培养学生的创新能力；
重视学生良好学习习惯（解题习惯）的养成，引导学生积极动脑动手、由冲动的期望走向分析的期望，提高思维和操作水平。
学生： (1)学会理解题意,找寻快速解题过程
“少考一点算，多考一点想”
例如.在极坐标系中，曲线C1：
与曲线C2：ρ=a（a>0）的一个焦点在极轴上，则a=_______.
解答此题有两个道径，一是采用转化策略将极坐标方程化成一般方程，然后画图求出a的值，这种方法计算复杂，花时较多，容易出错，而较好的策略是直接求解，因为C1与C2有交点，可把C2代入C1的方程，又因交点在极轴上，所以θ=0，于是可看出答案a＝ 。
又如：用min{a，b}表示a，b两数中的最小值。若函数f（x）=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-1/2对称，则t的值为
A．－2 B. 2 C. －1 D.1
解答本题的关键是理解题意，对于任何x，f（x）都取|x+t|和|x|中的最小者。根据数形结合思想，由f（x）的图象的对称性可知，当x=-1/2时，有|x+t|=|x|，即|-1/2+t|=|-1/2|，得t=1。
例 若 则S1 ，S2，S3的大小关系为 A. S1 解
若计算：
例 已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R, 恒有|a－te|≥|a－e|，则 A. a⊥e B.a⊥(a－e) C. e⊥(a－e) D. (a＋e)⊥(a－e)
|a－te|=|AT|，|a－e|=|AE|，恒有|a－te|≥|a－e|的 几何意义是|AE|是连接直线l外一点A与直线l上各 点的距离的最小值，故 AE(l，即e⊥(a－e).
(2)解答题要有适当的过程 特别是关键性步骤
评分看记分点，（一道题3—4个记分点）.
有过程结果出错（笔误）可得中间分；无过程结果出错，无任何分，结果正确，只有结果分1分。
表达要清楚，不要跳过关键性步骤，大的记分点所在的结论一定
要明确写出来。要做到“说得清、写得清、能力所及不丢一分”。
教材中没有而自学得到的公式定理最好不直接用!
如，判断 （记得结果）没有求和过程少得4分。
如概率计算题，一定要有列式(或文字说明)的过程！有的考生一眼看出结果，没写适当过程只写出答案，则只能得1分。
例如:某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件) 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（I）求当天商店不进货的概率；
（II）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。
第一问只有结果3/10得1分,有式子1/20+5/20= 3/10(或说一句话)得6分.
又如: 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5，已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
（I）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 70 110 140 160 200 220
频率 1/20 4/20 2/20
（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率。
第二问只有结果3/10得1分,有式子1/20+3/20+2/20= 3/10(或说一句话)得6分.
(3)．书写答案要快，计算要准
试卷中有很多题，想清楚后，算就容易了。
找到解题方法后书写应简明扼要，快速规范，写出“得分点”，关键性步骤，过渡性知识与初中知识可省一点，不要太细，以节省书写时间。
证明题（如立体几何题第（1）问）的推理过程要清楚明白。一填空题答案为 ，部分考生算出0.866;一填空题(1)答案为-1/16，部分考生算出-0.0625都是不必要的画蛇添足。.
例如: 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点。
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积。
证线面垂直←线线垂直（2）
←线面垂直、等腰三角形
3.明确前行目标找准突破点
（1）正确把握高考试卷的难度 认清试题的难点所在
一般认为题目能力要求的层次与题目绝对难度成正比，即只需要单独记忆内容的题目较易，需要理解掌握的较难，需要灵活应用的更难。
考虑到湖南省教育发展不平衡的现状及不同地区考生差别较大的事实，试卷在每种题型中都设有一些较易试题，使大部分考生都能得到一定的基本分，并在每种题型中设有一些有一定难度的试题，从而实现选拔的目的．
在文、理科的选择题中,8题的难度明显高于其它选择题；填空题中,最后一题的难度明显高于其它填空题；解答题中最后二题的难度明显高于其它解答题。
（2）教学中应依据学生的实际情况把握好难度
(教师应明确:自己的学生哪里能拿分,哪里拿不到分,帮助学生拿到该拿的分.)
①了解学生后再针对性施教—最近发展区理论
②难度上循序渐进，不宜一步到位—思维水平发展有一个过程（上新课与一轮复习课、二轮复习课的不同要求）
③向外学习取经但立足本班，不能照搬，他人的优秀资料经自己消化后再教学生
④学生的难题各有不同，让学生自己在攻克难题中不断反思提升水平
(3) 专题过关（一般学生很难在一道题中得满分，为什么？）
（4）尊重学生的个性差异，把握好训练的难度 学生的数学领悟能力和思维水平是逐步提升的，解题训练的难度应该循序渐进。
解难题训练不宜过早进行、不宜在松散的基础上进行，没学会走就学习跑是不妥当的
不同学生对数学学习的目标不一样，学习数学的能力不一样，所以对数学学习的要求应不一样，不宜对每一个学生都以高考150分的标准来做要求。那种绝大多数人陪少数几个人攻难题学数学的做法，效率实在太低；那种以名校考优秀学生的试卷标准来要求普通学校学生的做法也非明智之举。对于学生而言，只有那种“跳一跳，摘得到”的难度，才是最适合其发展和提升的。经历日常教学的逐步提升，待到高考时，学生定能拿到那些为他而设计的分数，达到一个较为理想的高度。
4.形成良好的学习习惯
良好学习习惯的养成也是数学学习的目标之一,也是高考考查的一个实实在在的方面
教学中应高度重视学生良好学习习惯（特别是解题习惯）的养成，引导学生积极动脑动手、由冲动的期望走向分析期望，提高思维和操作水平。
审题习惯、表达书写习惯、快速答题习惯……（如13年文理概率题、L路经题、解析几何题等）
教学生掌握一些基本的表达解题过程的套路（如解几、函数综合等解答题）
对学生进行针对性的具体指导,平常严格要求.
用思维习惯找解题思路的例：
已知函数f（x）=eax-x，其中a≠0。
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。
（2）在函数f(x)的图像上取定两点A（x1，f(x1)），B（x2，f(x2) ）（ｘ1＜ｘ2），记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈（x1，ｘ2 ），使f′( x0 )＞k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由。
本题第（1）问容易上手，求f(x)的最小值，其中含有参数a，再解这个最小值不小于1的关于a的不等式，只是解这个不等式又要用到求关于a的函数的最大值。
第（2）问要讨论f′(x0)＞k，一般想到讨论f′(xo)－k是否大于0，斜率k可用A、B两点的坐标表示，可先找到f′(xo)－k在（x1 , x2）上的零点。据零点存在定理需先判断f′(x1)－k，f′(x2)－k的符号，（这是本题的难点所在），若二者异号，则自然找到了使f′(xo)－k＞0的xo的取值范围。
通过模拟考试训练学生的答题习惯.
模考冲刺阶段应抓住两件事:
利用模考自我反思,查漏补缺(在读、算、写、思方面)，发现优势，找到提高分数的突破点。
利用模考训练应答技巧和习惯（答题方式、时间安排、在难题中找分数、读、算、写、思的突破等）
练好三种功：快速读懂题、准确算出结果、流畅写出过程。
考生应进入状态，不同水平考生，解答不同小问，各得其所．
考生需要调动头脑中的全部与其相关的知识方法，分析与综合，归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等思想理解、思考、创造性地分析与解决问题．
对于考生而言，平日的基础；数学思想方法掌握的程度；综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，找到解决问题的思路的习惯的养成；平日的积累是考场高水平发挥、解答这类考题的前提．
5、给学生的应答建议
（根据高考的特点、和近3年考生的答题情况，提出十点应答建议,以供参考。）
（1） 保持积极应答心态 正确对待试卷难易
（2） 合理分配答题时间 获取最高得分机会
（3） 仔细审题理解题意 理清思路
（4） 选好解题策略，用好解题工具
（5） 解答题要有适当的过程，特别是关键性步骤
（6） 能直接解出的中间结果应尽量写在前面。
（7） 书写答案要快，计算要准。
（8） 主动展示自我素养 争取一切得分机会
（9） 做了不要轻易划掉
(10) 尊重试卷作答要求 各题写在规定位置
