天津市宝坻区王卜庄高级中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷（含解析）

2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．点位于（ ）
A．y轴上 B．z轴上 C．平面内 D．平面内
2．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．若直线与直线平行，则它们之间的距离为
A． B． C． D．
4．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A． B．20 C． D．
5．点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，，且，则x的值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是 （ ）
A． B．
C． D．
8．过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3＝0 C．y＝2x或x+y-3＝0 D．y＝2x或x-y+1＝0
9．在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E，F分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
10．已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
二、填空题
11．经过直线和的交点且与直线平行的直线方程为 .
12．已知，，．若、、三向量共面，则实数 ．
13．已知直线，直线，若，则实数的值为 ．
14．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为 .
15．已知，，则 .
16．下列说法正确的是 ．
①直线恒过定点
②直线在y轴上的截距为1
③直线的倾斜角为
④已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为
三、解答题
17．已知向量，.
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值.
18．已知直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0．
(1)若l1⊥l2，求m的值；
(2)求过点(1，2)且与直线l1平行的直线的方程；
(3)若l1∥l2，且直线l1与直线l2之间的距离为，求m、n的值．
19．△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)求直线BC的方程；
(3)求△BDE的面积．
20．如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成角的余弦值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D A C A A D B A
1．C
根据点的坐标的特征判断即可；
【详解】解：因为点的纵坐标为0，所以点P在平面内.
故选：C
2．C
根据直线的一般式方程可求得直线的斜截式方程，再根据斜截式方程得出直线斜率，从而求出倾斜角.
【详解】由题意得，，
即直线的斜率为，
所以直线的倾斜角的正切值为，
则直线的倾斜角为.
故选：C.
3．D
【详解】依题意可得，，解得
所以直线方程为，也即是
则两平行直线的距离为，
故选：D
4．A
【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
因为直线平面，所以，解得.
故选：A.
5．C
【详解】由题意，
在直线中，斜率为，
垂直于直线且过点的直线方程为，即，
设两直线交点为，
由，解得：，
∴,
∴点关于直线的对称点的坐标为，
即，
故选：C.
6．A
根据空间向量垂直得到方程，求出.
【详解】由题意得，解得.
故选：A
7．A
结合图形，根据空间向量的加法、减法、数乘运算，即可得解.
【详解】.
故选：A
8．D
考虑直线是否过坐标原点，设出直线方程，分别求解出直线方程.
【详解】当直线过原点时，其斜率为，故直线方程为y＝2x；
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点（1，2）可得，解得a＝－1，故直线方程为x-y+1＝0.
综上，可知所求直线方程为y＝2x或x-y+1＝0，
故选：D.
9．B
【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示，
∵E是CC1的中点，∴GC1EH，∴∠OEH为异面直线和所成的角．
在△OEH中，，HE＝，OH＝．
由余弦定理，可得cos∠OEH＝．
故选：B
10．A
画出图形，数形结合可得或，即可求出.
【详解】如图，要使直线与线段相交，则应满足或，
因为，，
所以或.
故选：A.
11．
先联立方程求出交点，设出与直线平行的直线方程，代入交点即可求出.
【详解】联立方程，求得交点为，
设与直线平行的直线方程为，
将代入可得，
所以所求直线方程为.
故答案为：.
12．
【详解】因为不平行，且、、三向量共面，
所以存在实数x，y，使，
所以，解得，
故答案为：
13．或
根据两直线垂直的充要条件求解即可.
【详解】因为，
所以，解得或，
故答案为：或
14．
由点到直线的距离公式求解.
【详解】解：因为点，点，
所以，
所以点到直线的距离为：
，
故答案为：
15．
首先求出、的坐标，再根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为，，
所以，
，
所以.
故答案为：
16．①③
求出直线过的定点判断①；求出纵截距判断②；求出倾斜角判断③；利用直线的截距式方程判断④即可得解.
【详解】对于①，直线恒过定点，①正确；
对于②，直线在y轴上的截距为，②错误；
对于③，直线的斜率为，其倾斜角为，③正确；
对于④，直线过点，在x，y轴上截距相等，直线l的方程可以为，④错误，
所以说法正确的是①③.
故答案为：①③
17．(1)
(2)
（1）求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；
（2）首先求出与的坐标，再求出，，，最后由夹角公式计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以；
（2）因为，，
则，，
所以，，
，
设向量与夹角为，所以，
所以向量与夹角的余弦值为.
18．(1)
(2)3x+y-5=0
(3)m=6，或n=24
(1)利用直线的一般式的垂直关系求解即可；(2) 利用平行关系设出直线，然后代点求解即可；(3) 根据两直线平行求出，再利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】（1）直线l1：3x+y+2=0；l2：mx+2y+n=0，l1⊥l2，
所以3m+2=0，解得.
（2）由题意，设所求直线方程为3x+y+c=0，
把点(1，2)代入，得3+2+c=0，解得c=-5，
故过点(1，2)且与直线l1平行的直线的方程为：3x+y-5=0.
（3）因为l1∥l2，所以，解得且，
从而直线的方程为：，即，
因为直线l1与直线l2之间的距离为，所以，
解得或.
19．（1） ；（2） ；（3）
【详解】试题分析：（1）由所在直线的方程求出直线的斜率，再由点斜式写出的直线方程；
（2）先求出点，点的坐标，再写出的直线方程；
（3）由点到直线的距离求出到的距离，以及到的距离，计算即可或求出到的距离，计算.
试题解析：
(1)由已知得直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
(2)由，得.
即直线AB与直线BE的交点为B(，2)．
设C(m，n)，
则由已知条件得，
解得，∴C(2,1)．
∴BC边所在直线的方程为＝，即2x＋3y－7＝0.
(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1,1)．
∴|BE|＝＝，
由，得.
∴D(，)，
∴D到BE的距离为d＝＝ ，
∴S△BDE＝·d·|BE|＝ .
20．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证.
（2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解.
（3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解.
【详解】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，
，，，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
故，即，则，
令，得，
所以，
所以，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的一个法向量，由（1）可得，，
则，故，即，
令，得，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.