第二十七章 相似 单元练习（含答案）人教版九年级数学下册

第二十七章 相似
一．选择题（共8小题）
1．如图，小明在打网球时，要使球恰好能过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（　　）
A．1.8m B．2.7m C．3.6m D．4.5m
2．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（　　）米．
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
3．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm，高度为20cm，书架长为40cm，则FI的长（　　）
A．5cm B． C． D．8cm
4．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，小达同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5米，同时量得BC＝2米，CD＝10米，则旗杆高度DE为（　　）
A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米
5．如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D．这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴．若DA＝15mm，DO＝24mm，DC＝10mm，则点A与点B之间的距离为（　　）
A．20mm B．30mm C．40mm D．50mm
6．如图，AC是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．蜡烛AB的像为CD，测量得到物距与像距之比为3：2，若像CD的长为6cm，则蜡烛AB的高为（　　）
A．8cm B．9cm C．10cm D．12cm
7．小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
8．小明测量旗杆AB高度，如图所示．他首先在旗杆的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米．然后小明沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里旗杆的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），则旗杆AB的高为（　　）
A．6.0米 B．6.2米 C．6.3米 D．6.4米
二．填空题（共7小题）
9．如图，铁道口的栏杆短臂长1米，长臂长16米，当短臂端点下降0.3米，长臂端点升高　 　 米．
10．长垣自古有三善之地，君子之乡的美誉．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若MN＝4cm，则BC的长为 　 　 cm（结果保留根号）．
11．如图①，舂臼（chōngjiù）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图②是该春臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O距地面15cm，且AO：OB＝4：1，在春臼使用过程中，若B端上升至距地面10cm处，则A端此时距地面 　 　 cm．
12．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO米，则汽车从A处前行的距离AB＝　 　 米时，才能发现C处的儿童．
13．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝7m，则树高PQ＝　 　 m．
14．检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长MM'＝　 　 米．
15．图1是装了液体的长方体容器（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，则图2中阴影部分的面积为 　 　 cm2．
16．桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．
如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米．当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且，求这个桔槔支架OM的高度．
17．黄河是“母亲河”，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到河某段流域进行研学旅行．两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河西岸的点A处测得河东岸的树H恰好在A的正东方向，测方案与数据如表：
课题 测量河流宽度
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
说明 点B，C在点A的正南方向 点B在点A的正南方向，点C在点A的正北方向
数据 BC＝200m ∠ABH＝74° ∠ACH＝37° BC＝311m ∠ABH＝74° ∠ACH＝37°
请选择其中一个小组及其数据求出河宽．（精确到1m）
（参考数据：sin74°≈0.96，sin37°≈0.60，tan74°≈3.49，tan37°≈0.75）
18．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG＝1.2m，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m，木板到墙的水平距离为CD＝4m．图中A，B，C，D在同一条直线上．
（1）求AB的长；
（2）求点E到地面的高度DE．
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A B B B D
1．B【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即，∴，∴h＝2.7m．
2．A【解析】设该车车身总长为x m，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．
3．B【解析】由题知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，FG＝5cm，∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，∴∠CEF＝∠GFI，∵∠ECF＝∠FIG＝90°，∴△GIF∽△FCE，∴，即，∴CE＝4FI，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，解得FI或FI＝0（舍去）．
4．A【解析】∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，，∴DE＝7.5．
5．B【解析】连接AB交直线OC于点E，得AB⊥OC，AE＝BE，∴OC26（mm），∵这个侧面图是轴对称图形，∴∠AOE＝∠COD，∵∠OEA＝∠ODC＝90°，∴△OAE∽△OCD，∴，即，∴AE＝15（ mm），∴AB＝2AE＝30 （mm）．
6．B【解析】根据题意可得：∠BAO＝∠DCO＝90°，∵∠BOA＝∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD＝OA：OC＝3：2，∵CD＝6cm，∴AB＝9cm．
7．B【解析】如图所示：AB、CD相交于点O，∵AC是烛焰的高，DB是实像的高，∴AC∥DB，∴△AOC∽△BOD，∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，AC＝4cm，∴，∴BD＝8cm．
8．D【解析】∵∠AEB＝∠CED，∠ABE＝90°＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得，AB＝6.4．
9．4.8【解析】如图，由题意知，OB＝1米，OD＝16米，AB＝0.3米，∠BAO＝∠DCO＝90°，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴，∴，∴CD＝4.8米．
10．22【解析】∵分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，四边形NMPQ为正方形，∴AB＝MN，∵MN＝4cm，∴AB＝4cm，∵，∴BC22（cm）．
11．35【解析】过B作BD⊥地面D，过A作AH⊥地面于H，过O作OC⊥地面于C，过B作BE⊥AH于E交OC于F，由题意得AO：OB＝4：1，∴，则CF＝BD＝HE＝10cm，∵OC∥AH，∴△BOF∽△BAE，∴，∵OC＝15cm，∴，∴AE＝25，∴AH＝AE+EH＝35（cm），答：A端此时距地面35cm．
12．5.75【解析】在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，∴CM3m，∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，∴△BDO∽△CMO，∴，∴，∴BD＝2.25m，在Rt△AOD中，OA米，∴AD8m，∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童．
13．14【解析】∵点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△AQP，∴，∵AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝7m＝700cm，∴，解得PQ＝1400，∴PQ＝1400cm＝14m．
14．0.32【解析】作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，∵AB∥MM′∥A′B′，∴CE⊥A′B′，∴△CMM′∽△CA′B′，∴，又∵CD＝CE﹣DE＝5﹣3＝2（米），CE＝5米，A′B′＝AB＝0.8米，∴，∴MM′＝0.32，∴镜长为0.32米．
15．53【解析】如图，过点B作BE垂直于地面，垂足为E．在Rt△BDE中，BD＝17cm，BE＝8cm，则．∵AB∥DE，AC∥BD，∴∠1＝∠DBA＝∠2．∵∠C＝∠BED＝90°，∴△CAB∽△EDB，∴，即，则AC＝7.5cm，∴阴影部分的面积为．
16．解：过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N，
∵tanB，OH＝1.6m，
∴BH＝1.2m，cosB，
∵cosB，AB＝6m，
∴BG＝3.6m，
∴HG＝BG﹣BH＝3.6﹣1.2＝2.4（m），
∴ON＝HG＝2.4m，
又∵AT＝AC﹣CT＝3﹣0.5＝2.5（m）＝MN，
∴OM＝ON+MN＝2.4+2.5＝4.9（m），
答：这个桔槔支架OM的高度为4.9m．
17．若选择方案一：
∵∠ABH是△BCH的一个外角，∠ABH＝74°，∠ACH＝37°，
∴∠CHB＝∠ABH﹣∠ACH＝37°，
∴∠ACH＝∠CHB＝37°，
∴BC＝BH＝200m，
在Rt△ABH中，AH＝BH sin74°≈200×0.96＝192（m），
∴河宽约为192m；
若选择方案二：
设AB＝x m，
在Rt△ABH中，∠ABH＝74°，
∴AH＝AB tan74°≈3.5x（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝37°，
∴ACx（m），
∵AB+AC＝BC，
∴xx＝311，
解得：x，
∴AH＝3.5x≈192（m），
∴河宽约为192m．
18．解：（1）根据题意，∠CBF＝∠ABG，∠FCB＝∠GAB，
∴△FCB∽△GAB，
∴，
∵灯泡到地面的高度AG＝1.2m，点F到地面的高度CF＝1.8m，灯泡到木板的水平距离AC＝6m，
∴，
解得AB＝2.4m，
经检验，符合题意；
（2）由题意，∠GAB＝∠EDB，∠GBA＝∠EBD，
∴△EDB∽△GAB，
∴，
∴，
∴DE＝3.8m．