人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元检测（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数单元检测（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-05 15:48:08 | ||
图片预览
文档简介
第二十八章 锐角三角函数
一．选择题（共6小题）
1．图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD＝90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（ ）
A．acosθ+bsinθ B．asinθ+bsinθ C．acosθ+bcosθ D．asinθ+bcosθ
2．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．8sin53° B．8cos53° C． D．8tan53°
3．如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角（∠1）与折射角（∠2）约为4：3的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度α，β斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角γ与α，β的数学关系为（ ）
A．a+β＝γ B．α+β+γ＝180°
C． D．γ
4．如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，BD⊥AC，若测得AC＝200m，则塔高BD是（ ）
A．200tanαm B． C．100tanαm D．100sinαm
5．某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为35°，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板AB的长度为1.8米，此时太阳能板顶端离地面BC的垂直高度AC为（ ）
A．1.8×sin55米 B．1.8×sin35米
C．1.8×cos55米 D．1.8×tan55米
6．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（ ）
A．2m B．4m C． D．
二．填空题（共6小题）
7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为 m（用含α的式子表示）．
8．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为60cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到120°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.73）
9．如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图，传送带和地面所成斜坡的坡度i为1：，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 米．
10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝20cm，∠AOB＝120°；若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了 cm．（保留一位小数，
11．图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后∠A'BA最大＝60°，如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是 cm（结果保留根号）．
12．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，长阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为 米．
三．解答题（共5小题）
13．综合与实践：某学校数学兴趣小组测量田径场看台对面教学楼的高度．
活动主题 测量田径场看台对面教学楼的高度
测量工具 测角仪，皮尺、计算器等
模型抽象
测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台CD的长为12米，看台最低点C到地面BF的距离CE为2米； ②用测角仪在看台最高点D处测得教学楼最高点A的仰角为25°，在看台最低点C处测得教学楼最高点A的仰角为55°，看台的坡角α为20°； ③参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，．
请你根据测量结果，帮助数学兴趣小组求出教学楼AB的高度（结果精确到0.1米）．
14．综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处．
【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，MN是法线，点N在BE上．记入射角为α，折射角为β．测得点A到水面的距离AD＝1m，水深 DE＝1.2m，入射角α＝51°16′．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求CD的长；
（2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知，从而可求得．
①由上可在Rt△BCN中推理求得tanβ＝ ；
②求B，E之间的距离．（参考数据：sin51°16′≈0.78，cos51°16′≈0.63，tan51°16′≈1.25）
15．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为20°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为100°，如图1所示．
（1）如图2，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”α为20°，BC＝24cm时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm）
（2）如图3，肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，大臂DE＝30cm，小臂水平放在桌面EF上，桌面到地面的距离FH＝72cm，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”β为100°？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin69°≈0.93）
16．单摆是一种能够产生复动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验步骤 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，OB＝20cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：cos37°≈0.80，cos64°≈0.44．
17．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP＝160cm，识别的最远水平距离OQ＝150cm．
（1）小张站在离摄像头水平距离90cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处），请问小张的身高约为多少厘米？
（2）身高139cm的小军，头部高度为18cm，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D D C A C
1．A【解析】如图，过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC，交直线DE于H，在Rt△DCH中，∠D＝θ，CD＝b，则CH＝CD sinD＝bsinθ，∵∠D＝θ，∴∠DCH＝90°﹣θ，∵∠ACD＝90°，∴∠ACF＝θ，∴CF＝AC cos∠ACF＝acosθ，∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ．
2．D【解析】由题意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR tan53°＝8tan53°（km），∴这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km．
3．D【解析】如下图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，则∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG，由题可得，∠DBC∠ABP（90°﹣α），∠DFG∠HFQ（90°﹣β），从而∠BDF（90°﹣α）（90°﹣β）（180°﹣α﹣β），即γ＝135°（α+β），即（α+β）＝135°﹣γ．
4．C【解析】由题意可知：∠A＝∠C＝a，BD⊥AC，∴点D为AC的中点，∵AC＝200m，∴AD＝CDAC＝100m，在Rt△ABD中，BD＝AD tanα＝100tanα（m）．
5．A【解析】由题意得：∠ABC＝55°，∵sin∠ABC，AB＝1.8m，∴AC＝ABsin∠ABC＝1.8×sin55米．
6．C【解析】如图：由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∴∠α＝∠ECO，∵∠EOD＝∠α，∴，在直角三角形ECO中，OE＝3m，∴，在直角三角形EOD中，，∴．
7．65tanα【解析】如图，∵底部是边长为130m的正方形，∴BC130＝65（m），∵AC⊥BC，∠ABC＝α，∴AC＝BC tanα＝65tanα（m）．
8．21.9【解析】如图，过点E作EF⊥BA，交BA 的延长线于E，过点E′作E′G⊥BA，交BA 的延长线于G，在Rt△EAF中，AE＝60cm，∠EAF＝180°﹣150°＝30°，则EF＝AE sin∠EAF＝6030（m），在Rt△E′AG中，AE′＝60cm，∠E′AG＝180°﹣120°＝60°，则E′G＝AE′ sin∠E′AG＝6030（m），E′G﹣EF＝3030≈21.9（cm），∴背上人的头部支撑点E向上抬高了约21.9cm．
9．30【解析】如图，过点B作BC⊥水平面于C，∵斜坡AB的坡度为1：，∴tanA，∴∠A＝30°，∵BC＝15米，∴AB＝2BC＝30米，故答案为：30．
10．14.6【解析】如图①，过O点作OM⊥AB，∵OA＝OB＝20cm，∠AOB＝120°，∴在Rt△AOM中，∠A＝30°，OA＝20cm，∴AM＝OA cos∠A＝20×cos30°＝1017.3（cm），∴AB＝2AM＝34.6（cm），如图②，∠A'O'B'＝60°，OA'＝OB'＝20cm，∴△O'A'B'为等边三角形，∴A'B'＝O'A'＝20cm，∴34.6﹣20＝14.6（cm），∴收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了14.6cm，故答案为：14.6．
11．【解析】如图，作A′C⊥AB于点C，DE⊥AB于点E，A′F⊥DE于点F，A′B交DE于点O，∴∠DEC＝∠A′FE＝∠A′FD＝∠OEB＝90°，四边形A′CEF是矩形，∴∠FA′O＝∠A′BA＝60°，∴∠DA′F＝30°，∴，由条件可得，∴，∴，∴最大高度是，故答案为：．
12．0.5【解析】如图2，过点E作 EI⊥AD于点I，∵∠FDG＝90°，∴∠ADE+∠BDG＝90°，∵∠ABG＝90°，∴∠BGD+∠BDG＝90°，∴∠BGD＝∠ADE，∴GD∥FH，∴∠BGD＝∠α，∴∠ADE＝∠α，∵，∴，∵AB长为 2.5米，BD＝1.7 米，AE＝DE，∴（米），∴IE＝0.3 （米），∴（米），故答案为：0.5．
13．解：过点C作CG⊥AB于点G，延长CG交DF于点H，过点D作DM⊥AB于点M，设AB＝x米，
由题意可知，四边形BGCE，CEFH，BFHG，MGHD都是矩形，
∴BG＝CE＝HF＝2米，CG＝BE，CH＝EF，AG＝（x﹣2）米，
在Rt△CDH中，CH＝CDcosα＝12×0.94≈11.3（米），
DH＝CDsinα＝12×0.34≈4.1（米），
∴MG＝DH＝4.1米，
在Rt△ACG中，AG＝CGtan∠ACG＝CGtan55°＝1.43CG，
∴米，
∴，
在Rt△AMD中，米，
∴，
解得x≈16.0，
答：教学楼AB的高度为16.0米．
14．解：（1）∵MN∥AE，
∴∠A＝α＝51°16′．
∵AD＝1m，
故CD＝tan51°16′×AD≈1.25（m）．
即CD的长为1.25m；
（2）①∵sinβ，
∴设BN＝3k，BC＝5k，由勾股定理可得CN＝4k，
故tanβ，
故答案为：．
②由题可知四边形DCNE为矩形，
则CN＝DE＝1.2m，EN＝DC＝1.25m，
故BN＝tanβ×CN0.9（m），
故BE＝EN+BN＝1.25+0.9＝2.15（m），
即B，E之间的距离为2.15m．
15．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝20°，，
∴，
故眼睛与屏幕的距离约为67cm；
（2）如图，延长FE交DG于点M，
则MG＝FH，∠DME＝90°，
∴调整前，DM＝DG﹣MG＝DG﹣FH＝100﹣72＝28（cm），
在 Rt△DME 中，，
∴∠DEM≈69°，
∴∠DEF≈180°﹣69°＝111°，即β≈111°，
故此时不是正确坐姿．
当∠DEF＝100°时，∠DEM＝80°，
在Rt△DEM中，DE＝30cm，，
∴调整后，DM＝DEsin∠DEM＝30sin80°≈30×0.98≈29（cm），29﹣28＝1（cm）．
故桌面应下调1cm才能使肘部形成的“手肘角”β为100°．
16．解：由题意可得，OB＝OC＝20cm，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在Rt△OBD中，OD＝cos64°×OB，
在Rt△OCE中，OE＝cos37°×OC，
故ED＝OE﹣OD＝cos37°×OC﹣cos64°×OB≈20×（0.80﹣0.44）＝7.2（cm），
故ED的长为7.2cm．
17．解：（1）摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP＝160cm，识别的最远水平距离OQ＝150cm．如图，过M作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F，
由题意知∠POQ＝∠OPF＝∠FMO＝90°，
∴四边形POMF是矩形，
∴PF＝OM＝90cm，MF＝OP＝160cm，
在Rt△PEF中，，
∴EF＝PF tan15°＝90×tan15°≈24.3（cm），
∴ME＝MF+EF＝160+24.3＝184.3（cm），
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过Q作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，
同上，可知四边形POQH是矩形，
∴PH＝OQ＝150cm，QH＝OP＝160cm，
在Rt△PCH中，，
∴CH＝PH tan15°＝150×tan15°≈40.5（cm），
同理GH＝40.5cm，
∴GQ＝QH﹣GH＝119.5cm，CQ＝QH+CH＝200.5cm，
小军头部以下的高度为：139﹣18＝121（cm），
∵121cm＞119.5cm，且小军身高139cm＜200.5cm，
∴小军能被摄像头识别．
一．选择题（共6小题）
1．图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD＝90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（ ）
A．acosθ+bsinθ B．asinθ+bsinθ C．acosθ+bcosθ D．asinθ+bcosθ
2．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L水平距离为8km，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为53°，则这枚火箭此时的高度AL为（ ）km．
A．8sin53° B．8cos53° C． D．8tan53°
3．如图，在以“探索光之奥秘”为主题的趣味物理实验中，用透明水箱模拟光线从空气射入某种液体，观察到入射角（∠1）与折射角（∠2）约为4：3的比例关系．为了挑战自我，同学们进一步思考：若两条入射光线以不同角度α，β斜射入这种液体，液体内折射光线的夹角γ与α，β的数学关系为（ ）
A．a+β＝γ B．α+β+γ＝180°
C． D．γ
4．如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，BD⊥AC，若测得AC＝200m，则塔高BD是（ ）
A．200tanαm B． C．100tanαm D．100sinαm
5．某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为35°，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板AB的长度为1.8米，此时太阳能板顶端离地面BC的垂直高度AC为（ ）
A．1.8×sin55米 B．1.8×sin35米
C．1.8×cos55米 D．1.8×tan55米
6．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（ ）
A．2m B．4m C． D．
二．填空题（共6小题）
7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损．已知该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α（0°＜α＜90°），则这座金字塔原来的高为 m（用含α的式子表示）．
8．座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面AB始终保持水平状态，支撑架AC，BD与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背AE的长度为60cm，当椅背AE与椅面AB的夹角从150°调整到120°时，椅背上人的头部支撑点E向上抬高了约 cm．（结果精确至0.1cm．参考数据：1.73）
9．如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图，传送带和地面所成斜坡的坡度i为1：，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 米．
10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA＝OB＝20cm，∠AOB＝120°；若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了 cm．（保留一位小数，
11．图1是一小型电饭煲的左视图，为判断电饭煲放置在餐边柜是否合适，需要计算打开后电饭煲的最大高度，已知打开盖后∠A'BA最大＝60°，如图2所示，则打开后电饭煲的最大高度是 cm（结果保留根号）．
12．图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直，已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，某一时刻测得BD＝1.7米，悬托架AE＝DE，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，长阳光线与地面的夹角设为α，当时，此时悬托架AE的长度为 米．
三．解答题（共5小题）
13．综合与实践：某学校数学兴趣小组测量田径场看台对面教学楼的高度．
活动主题 测量田径场看台对面教学楼的高度
测量工具 测角仪，皮尺、计算器等
模型抽象
测绘过程与数据信息 ①用皮尺测得看台CD的长为12米，看台最低点C到地面BF的距离CE为2米； ②用测角仪在看台最高点D处测得教学楼最高点A的仰角为25°，在看台最低点C处测得教学楼最高点A的仰角为55°，看台的坡角α为20°； ③参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，．
请你根据测量结果，帮助数学兴趣小组求出教学楼AB的高度（结果精确到0.1米）．
14．综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处．
【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，MN是法线，点N在BE上．记入射角为α，折射角为β．测得点A到水面的距离AD＝1m，水深 DE＝1.2m，入射角α＝51°16′．
【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求CD的长；
（2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知，从而可求得．
①由上可在Rt△BCN中推理求得tanβ＝ ；
②求B，E之间的距离．（参考数据：sin51°16′≈0.78，cos51°16′≈0.63，tan51°16′≈1.25）
15．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为20°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为100°，如图1所示．
（1）如图2，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”α为20°，BC＝24cm时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm）
（2）如图3，肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，大臂DE＝30cm，小臂水平放在桌面EF上，桌面到地面的距离FH＝72cm，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”β为100°？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin69°≈0.93）
16．单摆是一种能够产生复动的装置．某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验步骤 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）
实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA．∠BOA＝64°，OB＝20cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
解决问题：根据以上信息，求ED的长．（结果精确到0.1cm）
参考数据：cos37°≈0.80，cos64°≈0.44．
17．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP＝160cm，识别的最远水平距离OQ＝150cm．
（1）小张站在离摄像头水平距离90cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处），请问小张的身高约为多少厘米？
（2）身高139cm的小军，头部高度为18cm，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军能被摄像头识别吗？（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D D C A C
1．A【解析】如图，过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC，交直线DE于H，在Rt△DCH中，∠D＝θ，CD＝b，则CH＝CD sinD＝bsinθ，∵∠D＝θ，∴∠DCH＝90°﹣θ，∵∠ACD＝90°，∴∠ACF＝θ，∴CF＝AC cos∠ACF＝acosθ，∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ．
2．D【解析】由题意得：AL⊥LR，在Rt△ALR中，LR＝8km，∠ARL＝53°，∴AL＝LR tan53°＝8tan53°（km），∴这枚火箭此时的高度AL为8tan53°km．
3．D【解析】如下图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG，则∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG，由题可得，∠DBC∠ABP（90°﹣α），∠DFG∠HFQ（90°﹣β），从而∠BDF（90°﹣α）（90°﹣β）（180°﹣α﹣β），即γ＝135°（α+β），即（α+β）＝135°﹣γ．
4．C【解析】由题意可知：∠A＝∠C＝a，BD⊥AC，∴点D为AC的中点，∵AC＝200m，∴AD＝CDAC＝100m，在Rt△ABD中，BD＝AD tanα＝100tanα（m）．
5．A【解析】由题意得：∠ABC＝55°，∵sin∠ABC，AB＝1.8m，∴AC＝ABsin∠ABC＝1.8×sin55米．
6．C【解析】如图：由题意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∴∠α＝∠ECO，∵∠EOD＝∠α，∴，在直角三角形ECO中，OE＝3m，∴，在直角三角形EOD中，，∴．
7．65tanα【解析】如图，∵底部是边长为130m的正方形，∴BC130＝65（m），∵AC⊥BC，∠ABC＝α，∴AC＝BC tanα＝65tanα（m）．
8．21.9【解析】如图，过点E作EF⊥BA，交BA 的延长线于E，过点E′作E′G⊥BA，交BA 的延长线于G，在Rt△EAF中，AE＝60cm，∠EAF＝180°﹣150°＝30°，则EF＝AE sin∠EAF＝6030（m），在Rt△E′AG中，AE′＝60cm，∠E′AG＝180°﹣120°＝60°，则E′G＝AE′ sin∠E′AG＝6030（m），E′G﹣EF＝3030≈21.9（cm），∴背上人的头部支撑点E向上抬高了约21.9cm．
9．30【解析】如图，过点B作BC⊥水平面于C，∵斜坡AB的坡度为1：，∴tanA，∴∠A＝30°，∵BC＝15米，∴AB＝2BC＝30米，故答案为：30．
10．14.6【解析】如图①，过O点作OM⊥AB，∵OA＝OB＝20cm，∠AOB＝120°，∴在Rt△AOM中，∠A＝30°，OA＝20cm，∴AM＝OA cos∠A＝20×cos30°＝1017.3（cm），∴AB＝2AM＝34.6（cm），如图②，∠A'O'B'＝60°，OA'＝OB'＝20cm，∴△O'A'B'为等边三角形，∴A'B'＝O'A'＝20cm，∴34.6﹣20＝14.6（cm），∴收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了14.6cm，故答案为：14.6．
11．【解析】如图，作A′C⊥AB于点C，DE⊥AB于点E，A′F⊥DE于点F，A′B交DE于点O，∴∠DEC＝∠A′FE＝∠A′FD＝∠OEB＝90°，四边形A′CEF是矩形，∴∠FA′O＝∠A′BA＝60°，∴∠DA′F＝30°，∴，由条件可得，∴，∴，∴最大高度是，故答案为：．
12．0.5【解析】如图2，过点E作 EI⊥AD于点I，∵∠FDG＝90°，∴∠ADE+∠BDG＝90°，∵∠ABG＝90°，∴∠BGD+∠BDG＝90°，∴∠BGD＝∠ADE，∴GD∥FH，∴∠BGD＝∠α，∴∠ADE＝∠α，∵，∴，∵AB长为 2.5米，BD＝1.7 米，AE＝DE，∴（米），∴IE＝0.3 （米），∴（米），故答案为：0.5．
13．解：过点C作CG⊥AB于点G，延长CG交DF于点H，过点D作DM⊥AB于点M，设AB＝x米，
由题意可知，四边形BGCE，CEFH，BFHG，MGHD都是矩形，
∴BG＝CE＝HF＝2米，CG＝BE，CH＝EF，AG＝（x﹣2）米，
在Rt△CDH中，CH＝CDcosα＝12×0.94≈11.3（米），
DH＝CDsinα＝12×0.34≈4.1（米），
∴MG＝DH＝4.1米，
在Rt△ACG中，AG＝CGtan∠ACG＝CGtan55°＝1.43CG，
∴米，
∴，
在Rt△AMD中，米，
∴，
解得x≈16.0，
答：教学楼AB的高度为16.0米．
14．解：（1）∵MN∥AE，
∴∠A＝α＝51°16′．
∵AD＝1m，
故CD＝tan51°16′×AD≈1.25（m）．
即CD的长为1.25m；
（2）①∵sinβ，
∴设BN＝3k，BC＝5k，由勾股定理可得CN＝4k，
故tanβ，
故答案为：．
②由题可知四边形DCNE为矩形，
则CN＝DE＝1.2m，EN＝DC＝1.25m，
故BN＝tanβ×CN0.9（m），
故BE＝EN+BN＝1.25+0.9＝2.15（m），
即B，E之间的距离为2.15m．
15．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝20°，，
∴，
故眼睛与屏幕的距离约为67cm；
（2）如图，延长FE交DG于点M，
则MG＝FH，∠DME＝90°，
∴调整前，DM＝DG﹣MG＝DG﹣FH＝100﹣72＝28（cm），
在 Rt△DME 中，，
∴∠DEM≈69°，
∴∠DEF≈180°﹣69°＝111°，即β≈111°，
故此时不是正确坐姿．
当∠DEF＝100°时，∠DEM＝80°，
在Rt△DEM中，DE＝30cm，，
∴调整后，DM＝DEsin∠DEM＝30sin80°≈30×0.98≈29（cm），29﹣28＝1（cm）．
故桌面应下调1cm才能使肘部形成的“手肘角”β为100°．
16．解：由题意可得，OB＝OC＝20cm，∠ODB＝∠OEC＝90°，
在Rt△OBD中，OD＝cos64°×OB，
在Rt△OCE中，OE＝cos37°×OC，
故ED＝OE﹣OD＝cos37°×OC﹣cos64°×OB≈20×（0.80﹣0.44）＝7.2（cm），
故ED的长为7.2cm．
17．解：（1）摄像头P的仰角、俯角都调整为15°，摄像头高度OP＝160cm，识别的最远水平距离OQ＝150cm．如图，过M作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点E，D，交水平线于点F，
由题意知∠POQ＝∠OPF＝∠FMO＝90°，
∴四边形POMF是矩形，
∴PF＝OM＝90cm，MF＝OP＝160cm，
在Rt△PEF中，，
∴EF＝PF tan15°＝90×tan15°≈24.3（cm），
∴ME＝MF+EF＝160+24.3＝184.3（cm），
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过Q作OQ的垂线分别交仰角线，俯角线于点C，G，交水平线于点H，
同上，可知四边形POQH是矩形，
∴PH＝OQ＝150cm，QH＝OP＝160cm，
在Rt△PCH中，，
∴CH＝PH tan15°＝150×tan15°≈40.5（cm），
同理GH＝40.5cm，
∴GQ＝QH﹣GH＝119.5cm，CQ＝QH+CH＝200.5cm，
小军头部以下的高度为：139﹣18＝121（cm），
∵121cm＞119.5cm，且小军身高139cm＜200.5cm，
∴小军能被摄像头识别．