八年级数学（上）（北师大版）第一章勾股定理第二节：一定是直角三角形吗课时练（解析版）

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一定是直角三角形吗
【教材训练】
5分钟　
1.直角三角形的判别方法
如果某三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)在△ABC中,如果a2+b2≠c2,那么△ABC一定不是直角三角形.　(×)
(2)因为0.3,0.4,0.5满足0.32+0.42=0.52,所以0.3,0.4,0.5是一组勾股数.
　(×)
(3)一组勾股数扩大相同正整数倍得到的三个数还是一组勾股数.　(√)
(4)直角三角形的三边长都扩大为原来的2倍,得到的三角形是直角三角形.
　(√)
(5)△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2=c2时,则∠C=90°.　(√)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:直角三角形的判别条件
1.(2分)以下各组数为边长的三角形中,能组成直角三角形的是　(　　)
A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,4,5
D.4,5,6
【解析】选C.选项A,不能构成三角形;选项B,不能组成直角三角形,因为22+32≠42;选项C,能组成直角三角形,因为32+42=52;选项D,不能组成直角三角形,因为42+52≠62.故选C.
2.(2分)在下列条件中:①∠A+∠B=∠C,②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,
③∠A=90°-∠B,④∠A=∠B=∠C中,能确定△ABC是直角三角形的条件有
　(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.①因为∠A+∠B=∠C,则2∠C=180°,∠C=90°;
②因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,设∠A=x,则x+2x+3x=180°,x=30°,
∠C=30°×3=90°;③因为∠A=90°-∠B,所以∠A+∠B=90°,
则∠C=180°-90°=90°,为直角三角形;④因为∠A=∠B=∠C,所以三角形为等边三角形.所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个.故选C.
3.(2分)三角形的三边长为a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是
　(　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
【解析】选B.因为(a+b)2-c2=2ab,所以a2+b2=c2,即为直角三角形.
4.(2分)如图,在由小正方形组成的网格中,若小方格的边长为1,则△ABC的形状是　(　　)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
【解析】选A.因为正方形小方格的边长为1,所以BC2=42+62=52,AC2=22+32=13,AB2=12+82=65.因为在△ABC中,BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,所以BC2+AC2=AB2,所以△ABC是直角三角形.故选A.
5.(6分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ACD=90°,且AB=4,BC=3,CD=12,求AD边的长和△ACD的面积.
【解析】因为∠ABC=90°,AB=4,BC=3,
所以AC2=AB2+BC2=52,即AC=5.
因为∠ACD=90°,AC=5,CD=12,
所以AD2=AC2+CD2=132,即AD=13,
所以S△ACD=AC·CD=×5×12=30.
因此AD边的长为13,△ACD的面积为30.
训练点二:探索勾股数规律
1.(2分)下列几组数中,为勾股数的是　(　　)
A.,,1
B.3,4,6
C.5,12,13
D.0.9,1.2,1.5
【解析】选C.选项A,D不正确,因为其不是整数;选项B不正确,因为其不符合勾股定理;选项C正确,因为52+122=132,故选C.
2.(2分)已知三角形的三边长分别是3n,4n+28,5n+26,且4n+28<5n+26,当n=________时,这个三角形是直角三角形.
【解析】因为(3n)2+(4n+28)2=(5n+26)2,
所以n=3,所以当n=3时,该三角形是直角三角形.
答案:3
3.(6分)在学习“神秘的数组”的课堂上,老师请同学们判断以3,4,5为边长的三角形是否为直角三角形时,小明是这样回答的:因为42+52=41,32=9,42+52≠32,所以以3,4,5为边长的三角形不是直角三角形.如果当时你也在课堂上,你的意见是什么 并说出你这样回答的理由.
【解析】我的意见是直角三角形.
因为32+42=25,52=25,所以32+42=52.
所以以3,4,5为边长的三角形是直角三角形.
4.(6分)我们知道,以3,4,5为边长的三角形为直角三角形,称3,4,5为勾股数组,记为(3,4,5),类似地,还可得到下列勾股数组:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等.
(1)请你根据上述四组勾股数的规律,写出第六组勾股数.
(2)试用数学等式描述上述勾股数组的规律.
(3)请说明你所发现的规律.
【解析】(1)(48,14,50).
(2)设n≥2,且n为整数,勾股数组的规律为(n2-1,2n,n2+1).
(3)(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=(n2+1)2,以n2-1,2n,n2+1为三边长的三角形为直角三角形.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.有六根细木棒,它们的长度分别为2
cm,4
cm,6
cm,8
cm,10
cm,12
cm.从中取出三根首尾顺次连接成一个直角三角形,则这三根细木棒的长度分别为　(　　)
A.2
cm,4
cm,8
cm
B.4
cm,8
cm,10
cm
C.6
cm,8
cm,10
cm
D.8
cm,10
cm,12
cm
【解析】选C.由勾股定理的逆定理可得,只有C项满足条件:62+82=102,故选C.
2.三角形的三边为a,b,c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是　(　　)
A.a∶b∶c=8∶16∶17
B.a2-b2=c2
C.a2=(b+c)(b-c)
D.a∶b∶c=13∶5∶12
【解析】选A.选项A,因为82+162≠172,所以不是直角三角形;选项B,因为
a2-b2=c2,即c2+b2=a2,所以是直角三角形;选项C,因为a2=(b+c)(b-c),即a2+c2=b2,
所以是直角三角形;选项D,因为52+122=132,所以是直角三角形.故选A.
3.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是　(　　)
A.CD,EF,GH
　　
B.AB,EF,GH
C.AB,CD,GH
　　
D.AB,CD,EF
【解析】选B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,
EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,所以AB2+EF2=GH2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若一个三角形的三边之比为3∶4∶5,则这个三角形三边上的高的比为____________.
【解析】设三角形的三边为3x,4x,5x,这三边上的高分别为h1,h2,h3,则有
S=×3x·h1=×4x·h2=×5x·h3,
所以h1=,h2=,h3=,
所以h1∶h2∶h3=∶∶=20∶15∶12.
答案:20∶15∶12
5.已知△ABC三条边a,b,c满足(a-6)2+(8-b)2+|c-10|=0,则△ABC是________三角形.
【解析】由非负数的性质可知a=6,b=8,c=10,
所以a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.
答案:直角
6.有四根木棒,长度分别为3,4,5,6.若取其中三根木棒组成三角形,有____________种取法,其中,能构成直角三角形的是________________.
【解析】从三角形三边关系上考虑,三角形的两边之和大于第三边.①3,4,5;
②4,5,6;③3,4,6;④3,5,6.其中能构成直角三角形的是①3,4,5.
答案:4　3,4,5
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图,D是BC上的一点,若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6.求BC的长.
【解析】在三角形ABD中,AB=10,AD=8,BD=6.
又因为BD2+AD2=62+82=100,而AB2=102=100,
所以BD2+AD2=AB2,所以三角形ABD是直角三角形.所以AD⊥BC于D,所以△ADC是直角三角形.
由勾股定理得AD2+CD2=AC2,
所以CD2=AC2-AD2,CD2=289-64=225,
所以CD=15,所以BC=CD+BD=15+6=21.
8.(8分)设一个直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,斜边长为c,试判断以c+h,a+b,h为边的三角形的形状.
【解析】根据勾股定理得,a2+b2=c2,
根据三角形的面积得,ab=ch,所以2ab=2ch,
所以(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+2ch+b2.
因为(c+h)2=c2+2ch+h2
=a2+b2+2ch+h2=(a+b)2+h2,
即(a+b)2+h2=(c+h)2,
所以,以c+h,a+b,h为边的三角形是直角三角形.
9.(10分)(能力拔高题)数学老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
(1)请你分别观察a,b,c与n(n>1)之间的关系,并分别用含有n的代数式表示a,b,c.
a=________,b=________,c=________.
(2)猜想以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形,并说明理由.
【解析】(1)n2-1　2n　n2+1
(2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形.理由:
由于(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1,(n2+1)2=n4+2n2+1,所以(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,即a2+b2=c2,所以以a,b,c为边的三角形是直角三角形.