八年级数学（上）（北师大版）第一章勾股定理第一节探索勾股定理课时练（解析版）

1
探索勾股定理
【教材训练】
5分钟　
1.勾股定理
(1)文字语言:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)符号语言:如果直角三角形两直角边分别为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
2.使用勾股定理的注意事项
(1)分清斜边和直角边,避免盲目代入公式.
(2)运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中,如果已知条件中没有直角三角形,就必须先构造直角三角形.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)△ABC的三条边长分别是a,b,c则有a2+b2=c2.　(×)
(2)在△ABC中,若a=5,b=12,则c=13.(×)
(3)若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠B=90°,则a2+c2=b2.(√)
(4)在边长都为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,则AB的长为5cm.
　(×)
(5)在Rt△ABC中,∠A=90°,a=13
cm,b=5
cm,则以c为边长的正方形面积为194cm2.　(×)
【课堂达标】
20分钟
解析部分为教师用书独具
授课提示:对应学生用书起始页码P1
训练点一:勾股定理
1.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为　(　　)
A.18
B.9
C.6
D.无法计算
【解析】选A.因为Rt△ABC中,BC为斜边,所以AB2+AC2=BC2,所以AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18.
2.已知直角三角形的两边长分别为3,5,则第三边的平方为____________.
【解析】当第三边是斜边时,则有第三边的平方为9+25=34;当第三边是直角边时,则有第三边的平方为25-9=16,故第三边的平方为16或34.
答案:16或34
3.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD=____________.
【解析】△ABC中,AB=AC=10,DC=2,所以AD=AC-DC=8;Rt△ABD中,AB=10,AD=8;
由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=36=62,即BD=6.
答案:6
4.在△ABC中,∠C=90°,其中a∶b=3∶4,且c=10cm,则S△ABC=________cm2.
【解析】设a=3k,b=4k,在Rt△ABC中,
因为a2+b2=c2,所以(3k)2+(4k)2=102,又k>0,
故k=2,则a=6,b=8,所以S△ABC=×6×8=24(cm2).
答案:24
5.如图,在四边形草坪ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=20m,BC=15m,CD=7m.求这块草坪ABCD的面积.
【解析】如图,连接AC.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2,所以AC2=625=252,所以AC=25m.
在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2+DC2=AC2,所以AD2=AC2-DC2=242,即AD=24m.
所以S四边形ABCD=AB·BC+AD·DC=234(m2).
因此这块草坪ABCD的面积为234m2.
训练点二:利用勾股定理解决实际问题
1.如图,A,C之间隔有一湖,在与CA方向成90°角的CB方向上的点B处,测得BA=50m,CB=40m,则A,C之间的距离为　(　　)
A.30
m
B.40
m
C.50
m
D.60
m
【解析】选A.由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即AC2=AB2-BC2=502-402=302.故AC=30m.
2.一艘船早上8点出发,以8n
mile/h的速度向正东方向航行.1小时后,另一艘船从同一停泊点以12n
mile/h时的速度向正南方向航行,上午10点两船相距　(　　)
A.15n
mile
B.12n
mile
C.13n
mile
D.20n
mile
【解析】选D.如图,OA=8×2
=16(n
mile),
OB=12×1=12(n
mile),
由勾股定理知
AB2=AO2+BO2=162+122=400,
故AB=20n
mile.
3.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为____________mm.
【解析】根据图中数据可得AC=150-60=90(mm),BC=180-60=120(mm),所以在
Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=902+1202=1502,即AB=150mm.
答案:150
4.如图所示,在一个高BC为6m,长AC为10m,宽2.5m的楼梯表面铺地毯,若每平方米地毯价格为50元,你知道共需多少钱吗
【解析】如图所示,楼梯表面的实际长度,相当于AB+BC,因为AB2=102-62,所以AB=8m,所以所需地毯的面积为(8+6)×2.5=35(m2),共需钱50×35=1750(元).
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,CB=5,AM=AC,BN=BC,则MN的长是　(　　)
A.2　　　　B.2.6　　　　C.3　　　　D.4
【解析】选D.根据勾股定理可得AC2+CB2=AB2,得AB=13,而MN=AM+BN-AB=
AC+BC-AB=12+5-13=4.
2.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是　(　　)
A.3
cm
　　　B.4
cm
C.5
cm
　　　D.6
cm
【解析】选A.由题意设CN=xcm,则EN=(8-x)cm.
又因为CE=BC=4cm,
所以在Rt△ECN中,EN2=EC2+CN2,
即(8-x)2=42+x2,解得x=3,即CN=3
cm.
3.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为　(　　)
A.42
B.32
C.42或32
D.37或33
【解析】选C.分两种情况:
(1)如图①,当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2,所以BD2=
152-122=81,即BD=9.在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=132-122=25,即CD=5.
所以BC=5+9=14.所以△ABC的周长为15+13+14=42.
(2)如图②,当△ABC为钝角三角形时,
在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2,所以BD2=152-122=81,即BD=9.
在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=132-122=25,即CD=5.所以BC=9-5=4,所以△ABC的周长为15+13+4=32,所以当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC+BC=15,AB=11,则Rt△ABC的面积为____________.
【解析】因为在Rt△ABC中,∠C=90°,
所以由勾股定理得AB2=AC2+BC2.
即有AB2=(AC+BC)2-2AC·BC.
而AC+BC=15,AB=11,
所以112=152-2AC·BC,即有AC·BC=52.
故SRt△ABC=AC·BC=×52=26.
答案:26
5.用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成四边形,所得的四边形的周长是__________.
【解析】因为直角边分别为3和4.所以其斜边是5.
(1)当拼成的是长为3的直角边重合的四边形时,其周长是(4+5)×2=18.
(2)当拼成的是长为4的直角边重合的四边形时,其周长是(3+5)×2=16.
(3)当拼成的是斜边重合的四边形时,其周长是(3+4)×2=14.
答案:18或16或14
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是__________.
【解析】因为∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,
所以AB=10cm.
因为将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,
所以△BCD≌△BC′D,
所以∠C=∠BC′D=90°,DC=DC′,BC=BC′=6cm,
所以AC′=AB-BC′=4cm,设DC=xcm,
则AD=(8-x)cm,
在Rt△ADC′中,AD2=AC′2+C′D2,
即(8-x)2=42+x2,解得x=3,
因为∠AC′D=90°,
所以S△ADC′=AC′·C′D=×4×3=6(cm2).
答案:6cm2
三、解答题(共26分)
7.(6分)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=13,AB=14,高CD=12,求BC的长.
【解析】因为CD⊥AB,
所以∠ADC=∠CDB=90°.
在Rt△ACD中,AC=13,CD=12,
根据勾股定理得AD2=AC2-CD2=25,因此AD=5.
又因为AB=14,所以BD=14-5=9.
在Rt△BCD中,CD=12,BD=9,
根据勾股定理得BC2=CD2+BD2=225,
因此BC=15.
8.(6分)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=18,把长方形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,若AF=13,求AD的长.
【解析】根据折叠前后角和边相等可知△ADF≌△CEF,
设AD=x,又AF=13,DF=18-13=5,
在Rt△ADF中,x2+52=132,解得x=12.
因此AD的长为12.
9.(6分)如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5m,当端点B向右移动0.5m,求滑杆顶端A下滑多少米
【解析】设AE的长为xm,
则CE=AC-x.
在Rt△ABC中,
AC2=AB2-BC2=4,故AC=2.
在Rt△ECD中,CD=BC+BD=2,
所以CE2=DE2-CD2=2.25,
故CE=1.5,
所以AE=AC-CE=0.5(m),
即滑杆顶端A下滑0.5m.
10.(8分)(能力拔高题)为丰富少年儿童的业余文化生活,某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室.该社区有两所学校,所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km.试问:阅览室E建在距A点多远处,才能使它到C,D两所学校的距离相等
【解析】设阅览室E到A点距离为xkm,连接CE,DE.
如图所示,在Rt△EAC和Rt△EBD中,
CE2=AE2+AC2=x2+152,DE2=EB2+DB2=(25-x)2+102.
因为点E到点C,D的距离相等,即EC=ED,
所以CE2=DE2,即x2+152=(25-x)2+102,
解得x=10.因此,阅览室应建在距A点10km处.