2.平方根
第2课时
【教材训练】
5分钟
1.平方根
如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根);也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
2.平方根的性质
(1)一个正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为相反数,记作“±”,读作“正、负根号a”.
(2)0的平方根是0.
(3)负数没有平方根.
3.开平方
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,其中a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算.
4.两个重要公式
(1)=a(a≥0).
(2)()2=a(a≥0).
5.判断训练(打“√”或“×”)
(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数. (√)
(2)4的平方根是2. (×)
(3)的平方根是±2. (×)
(4)-a2一定没有算术平方根. (×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:平方根的概念和性质
1.(2分)14的平方根是 ( )
A. B.- C.± D.14
【解析】选C.因为(±)2=14,所以14的平方根是±.故选C.
2.(2分)下列说法中正确的是 ( )
A.0的平方根是0
B.1的平方根是1
C.-1的平方根是-1
D.(-1)2的平方根是-1
【解析】选A.因为(-1)2=1,而1的平方根是±1,负数没有平方根.
3.(2分)81的算术平方根的平方根是 ( )
A.±9
B.9
C.±3
D.3
【解析】选C.因为81的算术平方根为9,而9=(±3)2,故81的算术平方根的平方根是±3.
4.(2分)如果一个正数m的平方根是2a-1和a-5,则m的值是________.
【解析】因为正数的平方根有两个,且互为相反数,所以(2a-1)+(a-5)=0,解得a=2.所以m=(2×2-1)2=9.
答案:9
训练点二:开平方运算
1.(2分)下列计算中,正确的是 ( )
A.=-3
B.=12
C.±=
D.=±0.1
【解析】选B.==12,要注意算术平方根与平方根的区别.
2.(2分)计算+1的值为 ( )
A.33
B.-31
C.-33
D.31
【解析】选A.因为==32,所以+1=32+1=33.
3.(4分)求下列各数的平方根.
(1)(-10)2.
(2)1.
(3)13.
(4)10-8.
【解析】(1)因为(10)2=100,(±10)2=100,所以(-10)2的平方根是±10.
(2)因为1=,(±)2=,所以1的平方根是±.
(3)因为(±)2=13,所以13的平方根是±.
(4)因为10-8=,(±)2=,
所以10-8的平方根是±10-4.
训练点三:两个重要公式及其应用
1.(2分)如果等式()2=x成立,那么x为 ( )
A.x≤0
B.x=0
C.x<0
D.x≥0
【解析】选B.由题意知:解得x=0.
2.(2分)已知=0,则x为 ( )
A.x>-3
B.x<-3
C.x=-3
D.x的值不能确定
【解析】选C.因为=0,所以x+3=0,所以x=-3.
3.(2分)计算:=________.
【解析】因为-2<0,所以=-(-2)=2-.
答案:2-
4.(2分)当x=________时,代数式有最小值,其最小值是________.
【解析】因为≥0,所以的最小值为0.
所以4x+5=0,所以x=-.
答案:- 0
5.(4分)求下列各式的值.
(1).(2).(3).(4)-.
【解析】(1)===.
(2)==7.
(3)==25.
(4)-=-=-.
6.(2分)若|x|=3,化简|x+3|-.
【解析】由|x|=3得x=±3,
①当x=3时,原式=|x+3|-=3+3=6,
②当x=-3时,原式=0-6=-6,所以原式=±6.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列说法中正确的是 ( )
A.任何数的平方根都有两个
B.只有正数才有平方根
C.一个正数的平方根有两个
D.m2的平方根是m
【解析】选C.正数的平方根有两个,0的平方根是0,负数没有平方根.
2.16的算术平方根和25的平方根的和是 ( )
A.9
B.-1
C.9或-1
D.-9或1
【解析】选C.因为16的算术平方根是=4,25的平方根是±5,所以16的算术平方根和25的平方根的和是9或-1.
3.若的平方根为±3,则a= ( )
A.9
B.-9
C.81
D.-81
【解析】选C.因为的平方根为±3,所以=9,所以a=81.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.若-是x的一个平方根,则x+1=______.
【解析】由题意可知,x=3,所以x+1=4.
答案:4
5.已知2x-1的平方根是±6,2x+y-1的平方根是±5,2x-3y+4的平方根是________.
【解析】由题意得,2x-1=62,故2x=37;又2x+y-1=52,所以y=-11,所以
2x-3y+4=37+33+4=74,故其平方根是±.
答案:±
6.实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|+=________.
【解析】由图得a+b<0,a-b<0,原式=-a-b+(b-a)
=-2a.
答案:-2a
三、解答题(共26分)
7.(8分)小华和小明在一起做叠纸游戏,小华需要两张面积分别为3dm2和9dm2的正方形纸片,小明需要两张面积分别为4dm2和5dm2的纸片,他们两人手中都有一张足够大的纸片,很快他们两人各自做出了其中的一张,而另一张却一下子被难住了.
(1)他们各自很快做出了哪一张,是如何做出来的
(2)另两个正方形该如何做,你能帮帮他们吗
(3)这几个正方形的边长是有理数还是无理数
【解析】(1)很快做出了面积分别为9dm2和4dm2的一张.
(2)首先确定要做的正方形的边长.3dm2的正方形的边长为dm,5dm2的正方形的边长为dm.分别以1dm为边长作正方形,以其对角线长dm和1dm为边长作长方形所得长方形的对角线长为dm.以dm和dm为边长作长方形得对角线长为dm.
(3)面积为4dm2和9dm2的正方形边长为有理数,面积为3dm2和5dm2的正方形边
长为无理数.
8.(8分)求满足下列各式的未知数x.
(1)25x2=256.
(2)(2x-1)2=169.
(3)4(3x+1)2=1.
(4)x2-=0.
【解析】(1)因为25x2=256,所以x2=.
又因为(±)2=,所以x=±.
(2)因为(±13)2=169,所以2x-1=±13.
当2x-1=13时,得x=7;当2x-1=-13时,得x=-6.
所以x=7或-6.
(3)因为4(3x+1)2=1,所以(3x+1)2=,
又因为(±)2=,所以3x+1=±.
当3x+1=时,得x=-;当3x+1=-时,
得x=-,所以x=-或-.
(4)因为x2-=0,所以x2=,又因为(±)2=,
所以x=±.
9.(10分)(能力拔高题)探索规律:
(1)计算:=______,=______.
=____ ,=____ ,=____ .
(2)思考:通过上述计算,可以发现什么规律 并运用发现的规律计算:
①;
②(a<1);
③(x≥2).
【解析】(1)==3;
==0;
==;
==2;
==5.
(2)通过(1)中的计算可以发现=|a|=
应用该规律,可求①=|3-π|=π-3.
②=|a-1|,因为a<1,所以=1-a.
③=|2-x|,因为x≥2,所以2-x≤0,所以=x-2.2
平 方 根
第1课时
【教材训练】
5分钟
1.算术平方根的概念
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为“”,读作“根号a”.
2.算术平方根的性质
正数a的算术平方根为,0的算术平方根是0,即=0,负数没有算术平方根.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)任何数都有算术平方根. (×)
(2)11是121的算术平方根. (√)
(3)a2的算术平方根是a. (×)
(4)一个数的算术平方根一定是正数. (×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:算术平方根的概念
1.(2分)下列说法正确的是 ( )
A.一个数的平方等于1,那么这个数就是1
B.±6是36的算术平方根
C.6是(-6)2的算术平方根
D.4是8的算术平方根
【解析】选C.因为(±1)2=1,所以一个数的平方等于1,则这个数是±1,故选项
A错误;36的算术平方根为6,故选项B错误;(-6)2=36,6是36的算术平方根,故
选项C正确;4的平方是16,故4不是8的算术平方根,故选项D错误.
2.(2分)在0.32,-52,(-4)2,,-|-4|,π这几个数中,有算术平方根的有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【解析】选B.因为只有非负数才有算术平方根,所以0.32,(-4)2,,π有算术平方根.
3.(2分)下列各式:①±=±9;②-=-;
③=7;④=6;
⑤=a(a≥0);⑥()2=4.
其中表示一个数的算术平方根的是 ( )
A.①②③
B.③④⑤
C.④⑤
D.②⑤
【解析】选B.求算术平方根的运算中,被开方数一定是非负数,且算术平方根也是非负数.
训练点二:算术平方根的计算
1.(2分)计算的结果是 ( )
A.25 B.-25 C.35 D.-35
【解析】选C.因为352=1225,所以=35.
2.(2分)0.36的算术平方根是 ( )
A.±0.6
B.±
C.0.6
D.
【解析】选C.因为0.62=0.36,所以0.36的算术平方根是0.6.
3.(2分)(-9)2的算术平方根是________.
【解析】因为(-9)2=81,所以(-9)2的算术平方根是9.
答案:9
4.(4分)求下列各数的算术平方根.
(1)0.81. (2)(-1.5)2. (3)2. (4)-(-4)3.
【解析】(1)因为(0.9)2=0.81,所以0.81的算术平方根是0.9,即=0.9.
(2)因为(-1.5)2=(1.5)2,所以(-1.5)2的算术平方根是1.5,即=1.5.
(3)2=,因为()2=,所以2的算术平方根是,即=.
(4)-(-4)3=64,又因为82=64,所以-(-4)3的算术平方根是8.
5.(2分)若+(b+1)2=0,求3a+2b的值.
【解析】根据题意可知:a=0,b+1=0,即b=-1,
所以3a+2b=-2.
训练点三:算术平方根的实际应用
1.(2分)如图,方格图中小正方形的边长为1.将方格图中阴影部分图形剪下来,再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形,那么所拼成的这个正方形的边长为__________.
【解析】根据题意可得,所拼成的正方形的面积是5,所以正方形的边长是.
答案:
2.(3分)小刚同学的房间地板面积为16平方米,恰好由64块正方形的地板砖铺成,求每块地板砖的边长是多少
【解析】设每块地板砖的边长为x米,
由题意得:64x2=16,即x2=,即x2=,所以x==0.5.
答:每块地板砖的边长为0.5米.
3.(3分)某农场要在一块长方形试验田里种植小麦,已知长方形的长是宽的2倍,面积是5000平方米,问这块长方形试验田的长与宽各是多少
【解析】设这块长方形试验田的宽是x米,则这块长方形试验田的长是2x米.根据题意得2x·x=5000,即x2=2500,
所以x==50,2x=100.
答:这块长方形试验田的长是100米,宽是50米.
4.(4分)如图,用R表示足球的半径,球的表面积公式为S=4πR2.如果做一个足球需要的橡胶布的面积为1936πcm2,则足球的半径R为多少
【解析】根据题意可得4πR2=1936π,
则R2=484.因为222=484,所以R=22(cm),
即足球的半径R为22cm.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2012·烟台中考)的值是 ( )
A.4 B.2 C.-2 D.±2
【解析】选B.==2.
2.的算术平方根是 ( )
A.±6
B.6
C.
D.9
【解析】选C.因为==6,而6的算术平方根是,故选C.
3.一个数的算术平方根为a,比这个数大2的数是 ( )
A.a+2
B.-2
C.+2
D.a2+2
【解析】选D.由一个数的算术平方根为a,知这个数为a2,比这个数大2的数为a2+2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知x,y为实数,且满足-(y-1)=0,那么x2013-y2013=________.
【解析】因为-(y-1)=0,
所以+(1-y)=0,
又1+x≥0,1-y≥0,所以x+1=0,1-y=0,
解得x=-1,y=1,所以x2013-y2013=(-1)2013-12013
=-1-1=-2.
答案:-2
5.在草稿纸上计算:①;②;③;
④,观察你计算的结果,用你发现的规律直接写出下面式子的值:=____________.
【解析】因为①=1;②=3=1+2;
③=6=1+2+3;
④=10=1+2+3+4,
所以=1+2+3+4+…+28=406.
答案:406
6.如图,要在一座山上开凿一条隧道AB,为了测量AB的长度,在平面上取一点C,使∠ABC=90°,现测得BC的长度为2km,AC的长为3km,隧道的长为________km.
【解析】在Rt△ABC中,∠B=90°,
所以AB2=AC2-BC2=32-22=5.
因为AB>0.
所以AB是5的算术平方根,
所以AB=.
所以隧道的长度为km.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(6分)某学校有一块正方形的草地,因实际需要,现对草地进行改造,改造后的正方形的面积扩大为原来的9倍,若原来的草地边长是17m,则改造后的正方形边长为多少
【解析】设改造后正方形草地的边长为xm,由题意知,原来草地面积为
17×17(m2),则改造后的面积为9×172(m2),故有x2=9×172,所以x====51.
即改造后的正方形边长为51m.
8.(6分)已知|3-m|+=0,求m+n的值.
【解析】因为|3-m|≥0,≥0,
所以3-m=0,m-n+1=0,
解得m=3,n=4.
所以m+n=+2=.
9.(6分)已知a=,b=20140,c=―(―2),求a―b+c的值.
【解析】a==3,b=20140=1,c=―(―2)=2,把a=3,b=1,c=2代入a―b+c中,得a-b+c=3―1+2=4.
10.(8分)(能力拔高题)观察下列各式:
=2,=3,
=4,…,请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来.
【解析】通过观察式子中的各数可以发现,n加上的算术平方根等于(n+1)乘
以,
即=(n+1)(n≥1).
