第2课时
【教材训练】
5分钟
1.二次根式的乘除运算
(1)乘法法则:·=(a≥0,b≥0).
(2)除法法则:=(a≥0,b>0).
2.判断训练(打“√”或“×”)
(1)·=. (×)
(2)××=. (√)
(3)若·=,则x≥6. (√)
(4)-a=-=-. (√)
(5)=9. (×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:二次根式的乘法运算
1.(2分)计算:×的结果是 ( )
A.2
B.4
C.8
D.16
【解析】选B.×===4.
2.(2分)计算:-×的结果是 ( )
A.-2
B.-
C.-4
D.-
【解析】选D.-×=-=-.
3.(2分)下列各式计算正确的是 ( )
A.8×2=16
B.5×5=5
C.4×2=8
D.4×2=8
【解析】选C.A中8×2=48;B中5×5=25;
4×2=8,故C正确,D错误.
4.(2分)计算×的结果是________.
【解析】×=3×2=12.
答案:12
5.(2分)计算(1)3×2=________.
(2)-×=________.
【解析】(1)3×2=3×2×=6×=6×9=54.
(2)-×=-=-=-6.
答案:(1)54 (2)-6
6.(4分)计算.
(1)2×3.
(2)×.
【解析】(1)2×3=2×3=6
=0.6.
(2)×=×××=2×3
=6=12.
训练点二:二次根式的除法运算
1.(2分)化简的结果是 ( )
A.-
B.-
C.-1
D.-
【解析】选C.==-1.
2.(3分)计算:5÷×的结果为 ( )
A.5
B.10
C.1
D.2
【解析】选C.5÷×=5××==1.
3.(3分)计算:-1=________.
【解析】-1=-1=2-1=1.
答案:1
4.(3分)△ABC的面积为12cm2,底边长为2cm,则底边上的高为______.
【解析】由三角形的面积公式可求底边上的高为====6(cm).
答案:6cm
5.(5分)计算.(1).(2).
(3)-2÷.(4)÷.
(5)÷(×).
【解析】(1)=-=-=-4.
(2)===2.
(3)-2÷=-2=-2=-2×5=-10.
(4)÷====3.
(5)÷(×)=÷
====.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.已知m=(-)×(-2),则有 ( )
A.5B.4C.-5D.-6【解析】选A.m=(-)×(-2)=
=×3=2=.
因为<<,所以5<<6,即52.因为2=×==,①
-2=×==,②
所以2=-2.
③
所以2=-2. ④
以上推导中错误开始在第几步 ( )
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选B.因为-2=-=-,所以错误的是②.
3.(a-1)化简后的结果是 ( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.由题意知:a-1<0,
所以(a-1)=-=-.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.计算×的结果是________.
【解析】原式=2×=2.
答案:2
5.计算:(1)×=________.
(2)×(-)=________.
(3)=________.
(4)=________.
【解析】(1)×==7.
(2)×(-)=-=-.
(3)==×=20.
(4)==××=4×3×9=108.
答案:(1)7 (2)- (3)20 (4)108
6.计算÷3×=________.
【解析】原式=6÷3×=2×=.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算:(1)××.
(2)÷3×(-5).
【解析】(1)原式=××
==×4=3.
(2)原式=××(-5)
=-=-=-×=-.
8.(8分)比较下面算式结果的大小(填上“>”、“<”或“=”号):
8+5________2×;
6+________2×;
2+15________2×;
9+9________2×;
…
通过观察归纳,写出能反映这种规律的式子,并加以证明.
【解析】> > > =
结论:a+b≥2(a≥0,b≥0).
证明:∵(-)2≥0(a≥0,b≥0),
∴()2-2·+()2≥0,
即a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立).
9.(10分)(能力拔高题)观察下列各式的运算:
===-1,
===-.
则(1)=________,=________.
(2)从上述运算中找出规律,并利用这一规律计算:
(+++…+)·(+1).
【解析】(1)=2-;=-2.
(2)规律为:=-(n≥2).
原式=(-1+-+2-+…+-)·(+1)=
(-1)·(+1)
=()2-12=2014-1=2013.7 二次根式
第1课时
【教材训练】
5分钟
1.二次根式
形如(a≥0)的式子.
2.积的算术平方根和商的算术平方根
(1)=(a≥0,b≥0).
(2)=(a≥0,b>0).
3.最简二次根式
被开方数中不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式.
4.判断训练(打“√”或“×”)
(1)是一个二次根式. (√)
(2)=×=(-5)×(-4)=20. (×)
(3)=×=. (×)
(4)===. (×)
(5)是最简二次根式. (×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:二次根式概念
1.(2分)下列各式一定是二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.不论x取何实数,都有x2+2>0.
2.(2分)若是二次根式,则 ( )
A.b为非负数
B.b为实数
C.b为正数
D.b为非0的数
【解析】选C.是二次根式的条件是≥0,又因为b≠0,所以b>0.
3.(2分)在式子,,,(a>0)中,二次根式的个数为 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.=,-36<0,无意义,中根指数为3,中的a2+b2≥0,(a>0)中-a<0,无意义,故二次根式的个数为1.
训练点二:积的算术平方根和商的算术平方根
1.(2分)化简二次根式,得 ( )
A.-5
B.5
C.±5
D.30
【解析】选B.=×=5.故选B.
2.(2分)-的绝对值等于 ( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.|-|===.
3.(8分)化简.
(1).(2).
(3).(4).
【解析】(1)=×=4×5=20.
(2)=×=6.
(3)==.
(4)==×=8.
训练点三:最简二次根式
1.(2分)下列二次根式是最简二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.A项中被开方数是小数;B,D两项中被开方数都含有能开得尽方的因数.
2.(2分)下列根式中,不是最简二次根式的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.C选项中的被开方数中含有分母,故选C.
3.(2分)下列根式中最简二次根式有 ( )
2,,,,,,
.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选A.,中被开方数都含有分母;2,,的被开方数含有能开得尽方的因式;,是最简二次根式,故选A.
4.(6分)把下列各式化成最简二次根式.
(1).(2).(3).
【解析】(1)===.
(2)=2=2=.
(3)==.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列二次根式中,最简二次根式是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.被开方数含分母,不是最简二次根式,故选项A错误;被开方数为小数,不是最简二次根式,故选项B错误;是最简二次根式,故选项C正确;=×=5,被开方数中含能开得尽方的因数,故选项D错误.
2.直角三角形的两直角边的长分别为cm和cm,那么它的斜边长是
( )
A.3cm
B.3cm
C.9cm
D.27cm
【解析】选B.由勾股定理得,斜边长====
×=3(cm).
3.下列运算正确的是 ( )
A.=-=5-4=1
B.=×=-3×(-10)=30
C.=+=
D.=×=4
【解析】选D.根据=·(a≥0,b≥0),可知选项D是正确的.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2012·盐城中考)若二次根式有意义,则x的取值范围是________.
【解析】由题意得:x+1≥0,解得:x≥-1.
答案:x≥-1
5.(2012·江西中考)当x=-4时,的值是________.
【解析】当x=-4时,==
==3.
答案:3
6.已知长方形长为cm,宽为2cm,那么这个长方形对角线长为________cm.
【解析】根据题意得,长方形对角线的长度等于
===5(cm).
即长方形的对角线的长度为5cm.
答案:5
三、解答题(共26分)
7.(8分)化简.
(1).(2).(3).(4).
【解析】(1)==×=3.
(2)==10.
(3)==.
(4)==.
8.(8分)如图所示,正方体的表面积是12,一只蚂蚁从正方体表面的A处爬到C1处,求蚂蚁爬行的最短路线的长度.
【解析】设正方体的棱长为x,
根据题意,得6x2=12.
因为x>0,所以x=.
如图所示,蚂蚁爬行的最短路线为AC1,
在Rt△ABC1中,
AC1==,
所以蚂蚁爬行的最短路线长度为.
9.(10分)(能力拔高题)求-++的值.
当数学课上老师将此题写在黑板上后,教室里热闹极了,同学们争执不休,如图是该班一个学习小组的精彩讨论镜头:
你想一起参加讨论吗 若参加,你怎么评价这四位同学的解答
【解析】小梅的说法不对,二次根式有意义,-a2≥0,而不是小于零;小娟的
说法不对,她没有挖掘出隐含条件:-a2≥0,能求值;小波的说法不对,a的值不是
随便取的,a有取值范围,所以小军对,其余三名同学都有错误.第3课时
【教材训练】
5分钟
1.二次根式的加减运算
二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式合并.
2.二次根式的混合运算
在二次根式的混合运算中,实数的运算顺序以及运算律,如交换律、结合律、分配律等同样适用;整式的乘法法则和乘法公式在二次根式的运算中同样适用;在计算的过程中,每个根式可以看作是一个单项式,多个被开方数不同的二次根式的加减看作多项式;计算结果中的二次根式必须是最简二次根式.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)+×=. (×)
(2)+=. (×)
(3)当xy<0时,化简等于-y. (√)
(4)=1-2=-1. (×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:二次根式的加减运算
1.(2分)计算-的结果是 ( )
A.-
B.-3
C.
D.-
【解析】选D.-=-2=-2
=-.
2.(2分)计算2-6+的结果是 ( )
A.3-2
B.5-
C.5-
D.2
【解析】选A.2-6+=-2+2
=3-2.
3.(2分)下列各式中正确的有 ( )
①+=;
②+=;
③-=0;
④-=-2;
⑤+不能计算;
⑥3-2=0.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.①②⑥中的二次根式均是最简二次根式,但被开方数不同,不能合并,所以①②⑥错误.⑤中=2,
所以+=+2=3.故错误,只有③④正确.
4.(2分)三角形的三边长分别为cm,cm,cm,则这个三角形的周长为________cm.
【解析】这个三角形的周长为++=2+2+3=(5+2)cm.
答案:(5+2)
5.(6分)已知a=+2,b=-2,求的值.
【解析】因为a2+b2=(a+b)2-2ab,而a+b=(+2)+(-2)=2;
ab=(+2)×(-2)=1,所以==5.
训练点二:二次根式的混合运算
1.(2分)下列等式不成立的是 ( )
A.6·=6
B.÷=4
C.=
D.·=4
【解析】选B.由二次根式的除法法则,÷===2.
2.(2分)设=a,=b,用含a,b的式子表示,则下列表示正确的是
( )
A.0.3ab
B.3ab
C.0.1ab2
D.0.1a2b
【解析】选A.====×=0.3ab.
3.(2分)计算(2-3)÷的结果是 ( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选C.(2-3)÷
=2÷-3÷
=2-9=4-=-.
4.(2分)计算(+3-)的结果是 ( )
A.6
B.4
C.2+6
D.12
【解析】选D.(+3-)
=2(5+-4)=2×2=12.
5.(8分)计算.
(1)(+)(-).
(2)-(2+)2.
【解析】(1)(+)(-)
=(+)(-)
=()2-()2=5-2=3.
(2)-(2+)2=4-(4+4+2)
=4-6-4=-6.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列运算正确的是 ( )
A.=±5
B.4-=1
C.÷=9
D.×=6
【解析】选D.=5,所以A错误;4-=,所以B错误;÷=3÷=3,所以C错误.
2.下列计算正确的是 ( )
A.·=1
B.-=1
C.÷=2
D.=±2
【解析】选A.·=1,故选项A正确;-=2-≠1,故选项B错误;÷=,故选项C错误;=2,故选项D错误.
3.规定a※b=,则※的值是 ( )
A.5-2
B.3-2
C.
D.-
【解析】选A.根据规定,※=
==5-2.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.计算:(9-5)÷2=______.
【解析】(9-5)÷2=4÷2=2.
答案:2
5.已知的整数部分为x,小数部分为y,则x2+y2=______.
【解析】因为2<<3,所以的整数部分为2,即x=2,
小数部分为-2,即y=-2.
所以x2+y2=22+(-2)2=4+()2-2×2+22
=4+5-4+4=13-4.
答案:13-4
6.化简-(-)后求得它的近似值为______(精确到0.01,
≈1.414,≈1.732).
【解析】原式=-(-3)
=-+3=3≈5.20.
答案:5.20
三、解答题(共26分)
7.(8分)计算.
(1)(7+4)(7-4)-(3-1)2.
(2)(-2+)(-2-)+(-)2.
【解析】(1)(7+4)(7-4)-(3-1)2
=49-48-(45-6+1)=1-45+6-1=6-45.
(2)(-2+)(-2-)+(-)2
=4-6+3-2+=-.
8.(8分)计算.
(1)(-)·.
(2)(3-4)÷2.
(3)--+(-2)0+.
【解析】(1)原式=-
=-
=×14×-×14×=7-21.
(2)原式=-
=-2=×4-2×3=0.
(3)原式=3--(1+)+1+|1-|
=3--1-+1+-1=-1.
9.(10分)(能力拔高题)阅读下面的解题过程:
化简:=
=
=
=
=+-.
请解答下列问题:
(1)利用上述方法化简.
(2)认真分析化简过程,然后找出规律,将此类题型尽可能推广.
【解析】(1)=
=
=
=+-.
(2)由已知的计算过程和(1)的解题过程,可以发现如下规律:
=+-(其中a,b是正整数).
