第2课时
【教材训练】
5分钟
1.坐标平面内特殊点的坐标特征
(1)x轴上点的横坐标为x,表示为(x,0);
y轴上的点的纵坐标为y,表示为(0,y);
原点的坐标为(0,0).
(2)平行于x轴的直线上的点,纵坐标相等;
平行于y轴的直线上的点,横坐标相等.
(3)第一、三象限所在角的角平分线上的点,横、纵坐标相等;
第二、四象限所在角的角平分线上的点,横、纵坐标互为相反数.
2.判断训练(打“√”或“×”)
(1)纵坐标相同的点,在平行于y轴的直线上. (×)
(2)点P(a,b)到x轴的距离是b,到y轴的距离是a. (×)
(3)与两坐标轴距离相等的点在第一、三象限内. (×)
(4)直线AC垂直于y轴的正半轴于点C,若A点坐标是(1,2),则C点坐标是(0,2). (√)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:直角坐标系内点的特点
1.(2分)如图,直角梯形ABCD中D点的坐标为(3,5),AD=5,则A的坐标为
( )
A.(2,5)
B.(-2,5)
C.(2,-5)
D.(-5,5)
【解析】选B.作DM⊥BC,垂足为M,因为D点的坐标为(3,5),所以DM=5,OM=3,所以AB=5,因为AD=5,所以BM=5,所以BO=2,所以A(-2,5).
2.(2分)若点A(2,n)在x轴上,则点B(n-2,n+1)在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为点A在x轴上,所以n=0,所以点B的坐标为(-2,1),因此点B在第二象限.
3.(2分)若第三象限内的点P(x,y)满足|x|=5,y2=4,则点P的坐标是____________.
【解析】因为点P在第三象限,所以点P的横、纵坐标均小于0.即x<0,y<0,因为|x|=5,y2=4,所以x=-5,y=-2,所以点P的坐标是(-5,-2).
答案:(-5,-2)
4.(2分)如果点(a,b)在第二象限,则点(-b,a)在第______象限.
【解析】因为(a,b)在第二象限,所以a<0,b>0,
所以-b<0,所以(-b,a)在第三象限.
答案:三
5.(2分)已知点A(3,-5)和点B(3,4),则线段AB与____________轴平行.
【解析】因为A,B两点的横坐标相同,所以线段AB平行于y轴.
答案:y
6.(6分)在直角坐标系中,描出下列各点:
(1)A(4,3),B(-2,3),C(-4,-1),D(2,-2).
(2)写出图中E,F,G,H,O各点的坐标,你能从中得出什么结论
【解析】(1)
(2)E(5,0),F(0,-4),G(-1,0),H(0,2),O(0,0).
结论:x轴上的点的纵坐标为零,y轴上的点的横坐标为零.
训练点二:由点画图和确定图中点的坐标
1.(2分)如图所示,若在象棋盘上建立直角坐标系,使“将”位于点(3,-2),则“炮”位于点 ( )
A.(1,1)
B.(-2,1)
C.(-1,2)
D.(-2,2)
【解析】选A.因为“将”位于点(3,-2),它向左平移3个单位,再向上平移2个单位即可得出原点的位置,所以“炮”位于点(1,1).
2.(6分)建立直角坐标系并描出下列各点:(-7,-1),(-4,0),(-2,0),(0,0),
(1,-1),(4,0),(3,2).用线段依次连接起来,观察所得图形,你觉得它像什么
【解析】描出各点依次连接起来,观察所得图形像北斗七星(或勺子),如图:
3.(6分)如图,某地区为发展城市群,在现有的四个中小城市A,B,C,D附近新建机场E,试建立适当的直角坐标系,并写出各点的坐标.
【解析】若以A点为坐标原点,水平方向为x轴,竖直方向为y轴建立直角坐标系,
则各城市的坐标为:A(0,0),B(8,2),C(8,7),D(5,6),E(1,8).(答案不唯一)
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.已知A(2,-5),AB平行于y轴,则点B的坐标可能是 ( )
A.(-2,5)
B.(2,6)
C.(5,-5)
D.(-5,5)
【解析】选B.因为AB平行于y轴,所以A,B两点的横坐标相等,所以点B的坐标可能是(2,6).
2.在直角坐标系中,过点P(2a,6)与点Q(4+b,3-b)的直线PQ平行于x轴,则
( )
A.a=,b=-3
B.a≠,b=-3
C.a=,b≠-3
D.a≠,b≠-3
【解析】选B.因为PQ平行于x轴,所以P,Q两点的纵坐标相等,即6=3-b,可解得b=-3.因为P,Q为不同点,所以P,Q两点的横坐标不相等,即2a≠4+b,所以
a≠.
3.点M(3,-2)与点N(x,y)都在同一条平行于x轴的直线上,且N点到y轴的距离等于4,则点N的坐标是 ( )
A.(4,2)或(-4,2)
B.(4,-2)或(-4,-2)
C.(4,-2)或(-4,2)
D.(4,-2)或(-1,-2)
【解析】选B.因为点M(3,-2)与点N(x,y)都在同一条平行于x轴的直线上,所以y=-2,因为N点到y轴的距离等于4,所以|x|=4,x=4或-4.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知点A(4,3),AB∥y轴,且AB=3,则B点的坐标为____________.
【解析】因为A(4,3),AB∥y轴,所以点B的横坐标为4,因为AB=3,所以点B的纵坐标为3+3=6或3-3=0,所以B点的坐标为(4,0)或(4,6).
答案:(4,0)或(4,6)
5.如图,正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),AB平行于x轴,则点C的坐标为____________.
【解析】因为正方形ABCD的边长为4,点A的坐标为(-1,1),
所以点C的横坐标为4-1=3,点C的纵坐标为4+1=5,
所以点C的坐标为(3,5).
答案:(3,5)
6.如图,有一系列有规律的点,它们分别是以O为顶点,边长为正整数的正方形的顶点:A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),A5(2,2),A6(0,2),A7(0,3),A8(3,3),
…,依此规律,点A2014的坐标为____________.
【解析】由图可知,A的下标是3的奇数倍的点都在x轴上.因为2013÷3=671,所以点A2013的坐标是(671,0),所以点A2014的坐标是(672,0).
答案:(672,0)
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图所示,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,请建立适当的直角坐标系,并写出A,B,C各点的坐标.
【解析】此题答案不唯一.如:
以BC为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示:
因为AB=AC=2,∠BAC=120°.
所以OB=OC,∠BAO=∠CAO=60°,即∠ABO=30°,
在Rt△ABO中,AO=AB=1,
BO===.
所以,A点坐标为(0,1),B点坐标为(-,0),C点坐标为(,0).
8.(8分)在如图所示的平面直角坐标系中,描出点A(-2,1),B(3,1),
C(-2,-2),D(3,-2)四个点.
(1)线段AB,CD有什么关系 并说明理由.
(2)顺次连接A,B,C,D四点组成的图形,你认为它像什么
【解析】(1)AB∥CD,AB=CD,其理由是:
因为A(-2,1),B(3,1),
所以A,B的纵坐标相同.
所以AB∥x轴.同理,CD∥x轴.
所以AB∥CD.
因为AB=5,CD=5,
所以AB=CD.
(2)顺次连接A,B,C,D四点组成的图形像字母“Z”.
9.(10分)(能力拔高题)小华去某地考察环境污染问题,并且事先知道下面的信息:
(1)“悠悠日用化工品厂A”在他现在所在地的北偏东30°的方向,距离此处
3
km.
(2)“佳味调味品厂B”在他现在所在地的北偏西45°的方向,距离此处2.4
km.
(3)“幸福水库C”在他现在所在地的南偏东27°的方向,距离此处1.5
km的地方.
根据这些信息,请建立直角坐标系,帮助小华完成这张表示各处位置的简图.
【解析】由题意可作出图:2 平面直角坐标系
第1课时
【教材训练】
5分钟
1.平面直角坐标系及有关概念
(1)定义:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系(简称直角坐标系).
(2)正方向:数轴向右与向上的方向.
(3)坐标轴:x轴或横轴:水平的数轴,
y轴或纵轴:铅直的数轴.
(4)原点:两条数轴的公共原点.
(5)坐标轴上的点不在任何一个象限内.
2.点的坐标
对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
3.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
4.判断训练(打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系内的所有点都属于四个象限. (×)
(2)坐标(a,b)和(b,a)表示同一个点. (×)
(3)若x>0,则点P(x,0)在一、四象限. (×)
(4)原点不属于任何象限. (√)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:确定直角坐标系内点的坐标
1.(3分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,则C点的坐标是
( )
A.(3,-3)
B.(-3,4)
C.(3,4)
D.(3,3)
【解析】选D.根据上图,数一下方格可发现C点的横、纵坐标都是3.
2.(3分)如图,以下四个选项中有三个是表示方格纸中所示三角形的顶点位置,那么不表示图中三角形顶点位置的是 ( )
A.(7,1)
B.(1,2)
C.(3,7)
D.(2,1)
【解析】选D.右面的点的坐标是(7,1),左面的点的坐标是(1,2),上面的点的坐标是(3,7).
3.(3分)已知A,B,C三点的坐标分别是(0,0),(5,0),(5,3),且这三点是一个平
行四边形的顶点,请你写出第四个顶点D的坐标____________.
【解析】由于点D的位置不确定,要分情况讨论:
当以AB,BC为边时,顶点D的坐标为(0,3);
当以BC,AC为边时,顶点D的坐标为(0,-3);
当以AC,AB为边时,顶点D的坐标为(10,3).
答案:(0,3)或(0,-3)或(10,3)
4.(3分)正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知A点坐标(0,4),B点坐标(-3,0),则C点坐标为__________.
【解析】过C点作CE⊥x轴于E.因为四边形ABCD为正方形,所以AB=BC,
∠ABC=90°,所以∠ABO+∠CBE=90°,又∠ABO+∠BAO=90°,所以∠BAO=∠CBE,又∠AOB=∠BEC=90°,所以△ABO≌△BCE,所以CE=OB=3,BE=OA=4,而4-3=1,所以C点坐标为(1,-3).
答案:(1,-3)
5.(6分)写出满足条件的A,B两点的坐标:
(1)点A在x轴上,位于原点右侧,距离原点2个单位长度.
(2)点B在x轴上方,y轴左侧,距离每条坐标轴都是2个单位长度.
【解析】(1)因为点A在x轴上,位于原点右侧,距离原点2个单位长度,所以横坐标为2,纵坐标为0,所以A(2,0).
(2)因为点B在x轴上方,y轴左侧,
所以点B在第二象限,
因为点B距离每条坐标轴都是2个单位长度,
所以B(-2,2).
训练点二:点的位置与坐标
1.(3分)若点A的坐标(x,y)满足条件(x-3)2+|y+2|=0,则点A在第____________象限.
【解析】由题意知x-3=0且y+2=0,解得x=3,y=-2,则点A的坐标为(3,-2),点A在第四象限.
答案:四
2.(3分)若点A在第二象限,且到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,则点A的坐标为____________.
【解析】因为点A在第二象限,所以点A的横坐标小于0,纵坐标大于0,又因为点A到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,所以点A的横坐标是-2,纵坐标是3,所以点A的坐标为(-2,3).
答案:(-2,3)
3.(6分)如图,已知A,B两村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车在x轴上行驶,从原点O出发.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近 写出此点的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近 写出此点的坐标.
【解析】(1)在x轴上离A村最近的地方是过A作x轴垂线的垂足,此点的坐标
为(2,0).
(2)在x轴上离B村最近的地方是过B作x轴垂线的垂足,此点的坐标为(7,0).
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,则点P一定在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.点P(m,1-2m)的横坐标与纵坐标互为相反数,那么m+1-2m=0,解得m=1,所以点P坐标为(1,-1),所以点P在第四象限.
2.(2012·随州中考)定义:平面内的直线l1与l2相交于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线l1,l2的距离分别为a,b,则称有序非负实数对(a,b)是点M的“距离坐标”.根据上述定义,距离坐标为(2,3)的点的个数是 ( )
A.2
B.1
C.4
D.3
【解析】选C.到l1的距离是2的点,在与l1平行且与l1的距离是2的两条直线上;到l2的距离是3的点,在与l2平行且与l2的距离是3的两条直线上;以上四条直线有四个交点,故“距离坐标”是(2,3)的点共有4个.
3.(2012·济南中考)如图,长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(2,0)同时出发,沿长方形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/s匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/s匀速运动,则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是 ( )
A.(2,0)
B.(-1,1)
C.(-2,1)
D.(-1,-1)
【解析】选D.由题意知,甲乙第一次相遇时在点(-1,1),第二次相遇在点
(-1,-1),第三次相遇在点(2,0),……,以此类推,可知甲乙两物体每相遇三次是一个循环,因为2012÷3=670……2,所以第2012次相遇时点的坐标为(-1,-1).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知点P在第二象限,它的横坐标与纵坐标的和为1,点P的坐标是____________(写出符合条件的一个点即可).
【解析】因为点P在第二象限,所以点P的横坐标小于0,纵坐标大于0,因为横坐标与纵坐标的和为1,所以P(-2,3)或(-3,4),P(-0.5,1.5)(答案不唯一)
答案:(-0.5,1.5)(答案不唯一)
5.已知点P(x,y),若xy<0,x+y>0,且|x|=2,|y|=3,则点P的坐标是________.
【解析】因为xy<0,所以x,y异号.
又因为x+y>0,所以正数的绝对值比负数的绝对值大.
所以y=3,x=-2,所以P的坐标为(-2,3).
答案:(-2,3)
6.(2012·杭州中考)如图,平面直角坐标系中有四个点,它们的横坐标均为整数.若在此平面内移动点A,使得这四个点构成的四边形是轴对称图形,并且点A的横坐标仍是整数,则移动后点A的坐标为____________.
【解析】如图所示,点A的坐标为(-1,1),(-2,-3),(0,2),(-2,-2).
答案:(-1,1),(-2,-3),(0,2),(-2,-2)
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知,如图,在直角坐标系中,S△ABC=24,∠ABC=45°,BC=12,求△ABC的三个顶点的坐标.
【解析】因为∠ABC=45°,
所以三角形AOB是等腰直角三角形,所以AO=BO.
又因为S△ABC=24,所以OA=OB=48÷12=4,所以OC=8,
所以A(0,4),B(-4,0),C(8,0).
8.(8分)在如图所示的平面直角坐标系中描出A(2,3),B(-3,-2),C(4,1)三点,并用线段将A,B,C三点依次连接起来,你能求出它的面积吗
【解析】如图,AB交y轴于点D(0,1),
则得S△ABC=S△ACD+S△BDC=×4×(3-1)+×4×
│-2-1│=4+6=10.
9.(10分)(能力拔高题)在平面直角坐标系中,设坐标轴的单位长度为1cm,整数点P从原点O出发,速度为1cm/s,且点P只能向上或向右运动,请回答下列问题:
(1)填表:
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1s
(0,1),(1,0)
2
2s
3s
(2)当P点从点O出发10s,试求可得到的整数点的个数.
(3)若得到整数点(10,5),试求P点从点O出发的时间.
【解析】(1)以1
s时达到的整数点为基准,向上或向右移动一格得到2
s时的可能的整数点;再以2
s时得到的整数点为基准,向上或向右移动一格,得到3
s时可能得到的整数点.
P从O点出发时间
可得到整数点的坐标
可得到整数点的个数
1s
(0,1),(1,0)
2
2s
(0,2),(2,0),(1,1)
3
3s
(0,3),(3,0),(2,1),(1,2)
4
(2)1
s时,得到2个整数点;2
s时,得到3个整数点;3
s时,得到4个整数点…
那么10
s时,应得到11个整数点.
(3)横坐标为10,需要从原点开始沿x轴向右移动10
s,纵坐标为5,需再向上移动5
s,所以需要的时间为15s.
