八年级数学（上）（北师大版）第一章勾股定理第三节勾股定理的应用课时练（解析版）

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勾股定理的应用
【教材训练】
5分钟　
1.利用勾股定理求最短路径
(1)在立体图形上找最短距离,通常要把立体图形转化为平面图形,再利用“在两点之间的所有连线中,线段最短”这个性质,找到立体图形表面上两点间的最短路径,并利用勾股定理求解.
(2)运用勾股定理解决实际问题要构造直角三角形,把实际问题抽象成几何问题.
2.直角三角形的判别法的应用
直角三角形的判别法常用于判断一个角是否是直角或判断垂直关系,解题时一般需构造三角形,再根据三边关系判别该三角形是否为直角三角形即可.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)一架250cm的梯子斜靠在墙上,这时梯子底部距墙70cm,如果梯子顶端沿墙下滑40cm,那么梯子底部将向外滑动80cm.　(√)
(2)某三角形零件的三边长为5,12,13,则此零件的形状不能确定.　(×)
(3)长方体的表面展开图只有一种情况.　(×)
(4)圆柱体的展开图,主要是指侧面展开图,是一个长方形,展开时应从路线的出发点沿母线剪开.　(√)
(5)只用米尺不能确定一个门框的两边是否垂直.　(×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:立体图形上两点间的距离
1.(3分)小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,速度均为50m/min,小丽走直线用了10min,小芳先去家拿了钱再去图书馆,小芳到家用了6min,从家到图书馆用了8min,小芳从公园到图书馆拐了个　(　　)
A.锐角
B.钝角
C.直角
D.不能确定
【解析】选C.根据题意,所走的三段路程分别为500m,300m,400m,而3002+4002=5002,根据勾股定理的逆定理,三段路程组成的是直角三角形,故小芳从公园到图书馆拐了个直角.故选C.
2.(3分)如图,有一个高12cm,底面直径为10cm的圆锥,现有一只蚂蚁在圆锥的顶部M处,它想吃圆锥底部N处的食物,需要爬行的最短路程是____________.
【解析】如图,因为此圆锥的高为12cm,底面直径为10cm,所以MO=12cm,NO=5cm,所以在Rt△MNO中,NM2=122+52.即MN=13cm.
答案:13cm
3.(3分)如图,在一个长为2m,宽为1m的矩形草地上,放着一根长方体的木块,它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD,木块的主视图是边长为0.2m的正方形,一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01m).
【解析】由题意可知,将木块表面展开,相当于矩形的长为AB+2个正方形的边长,宽不变,即长为2+0.2×2=2.4(m),宽为1m.根据勾股定理得2.42+12=2.62,
于是最短路径为2.60m.
答案:2.60
4.(5分)如图,一圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短距离是多少 (注:π取3)
【解析】如图,B为CE的中点.
AB就是蚂蚁爬行的最短路径.
因为CE=2π·r=2×3×2=12(cm),所以CB=12÷2=6(cm).
因为AC=8cm,所以AB2=62+82=102,即AB=10(cm).
因此蚂蚁要爬行的最短距离是10cm.
训练点二:利用勾股定理及确定直角三角形的条件解决实际问题
1.(2分)如图,将一根24cm长的筷子,置于底面直径为15cm,高为8cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的取值范围是　(　　)
A.h≤17
cm
B.h≥18
cm
C.15
cm≤h≤16
cm
D.7
cm≤h≤16
cm
【解析】选D.如图,当筷子的底端在D点时,筷子露在杯子外面的长度最长,所以h=24-8=16(cm);当筷子的底端在A点时,筷子露在杯子外面的长度最短,
在Rt△ABD中,AD=15
cm,BD=8
cm,所以AB2=AD2+BD2=289,即AB=17
cm,所以此时h=24-17=7(cm),所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm.故选D.
2.(2分)小聪准备测量一水池的深度,他找来一根很长的竹竿,将其插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面部分为1.5m,把竹竿顶端拉向岸边,发现竹竿露出水面部分为1m,则水池的深度为　(　　)
A.2
m
B.2.5
m
C.2.25
m
D.3
m
【解析】选A.如图所示,设水深为xm,因为竹竿高出水面部分为1.5m,所以竹竿的高为(x+1.5)m,由于竹竿在水里的部分与水池岸正好构成直角三角形,所以AB=x+1.5-1,AC=x,BC=1.5,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即x2+1.52=(x+1.5-1)2,解得x=2.故选A.
3.(6分)如图所示,为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=53°,∠B=37°.
AB=5km,BC=4km,若每天凿0.3km,试计算需要几天才能把隧道AC凿通
【解析】因为∠A=53°,∠B=37°,所以∠ACB=90°,
又因为在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=52-42=9,
所以AC=3,
需要的时间t===10(天).
故需要10天才能把隧道AC凿通.
4.(6分)如图,有两只猴子在一棵树CD离地5m的点B处,它们都要到A处的池塘去喝水,其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等,求这棵树的高度.
【解析】设BD为xm,且存在BD+DA=BC+CA,即BD+DA=15,DA=15-x,在Rt△ACD中,AD为斜边,
则CD2+AC2=AD2,
即(5+x)2+102=(15-x)2.
解得x=2.5,
故树高CD=BC+BD=5+2.5=7.5m.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.园丁住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB=3m,BC=4m,CD=12
m,DA=13m,且AB⊥BC,这块草坪的面积是　(　　)
A.24
m2　　　B.36
m2　　　C.48
m2　　　D.72
m2
【解析】选B.连接AC,则由勾股定理得AC=5m,因为AC2+DC2=AD2,所以∠ACD=
90°.这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB·BC+AC·DC=×(3×4+5×12)=36(m2).故选B.
2.国庆假期中,小华与同学去玩探宝游戏,按照探宝图,他们从门口A处出发先往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走到6km处往东拐,仅走了1km,就找到了宝藏,则门口A到藏宝点B的直线距离是　(　　)
A.20km
B.14km
C.11km
D.10km
【解析】选D.根据题意得,AB之间的水平距离和竖直距离分别为6km和8km,据此构造的直角三角形直角边为6km,8km,所以AB=10km,即门口A到藏宝点B的直线距离是10km.故选D.
3.如图,一圆柱形油罐的底面周长为12
m,高为5
m,要以点A为底端环绕油罐做一圈梯子,正好顶端在点A的正上方点B处,那么梯子最短需　(　　)
A.17
m
B.7
m
C.13
m
D.12
m
【解析】选C.将圆柱体侧面展开成平面图形如图所示,线段AB的长度即为梯子的最短长度.由勾股定理知AB2=122+52=169,所以AB=13
m,即梯子最短需13
m.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.如图是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2m,0.3m,0.2m,A,B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是____________.
【解析】三级台阶平面展开图为长方形,长为2m,宽为[(0.2+0.3)×3]m,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程为xm,由勾股定理得x2=22+[(0.2+0.3)×3]2=2.52,解得x=2.5.
答案:2.5m
5.折叠长方形纸片ABCD(四个内角都是直角)的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,则BF=____________cm,EF=____________cm.
【解析】由题意可得△AEF≌△AED,所以AF=AD.
又∠ABF=90°,所以在△ABF中,
由勾股定理得BF=6cm.
又设DE长xcm,则EF也长xcm,EC长(8-x)cm.
即CF=BC-BF=4cm.
在△CEF中,由勾股定理得CE2+CF2=EF2,
列方程得(8-x)2+42=x2,解得x=5.
答案:6　5
6.如图,两个滑块A,B由一个连杆连接,分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动.开始时,滑块A距O点20cm,滑块B距O点15cm,则当滑块A向下滑到O点时,滑块B滑动了______.
【解析】由AB2=AO2+OB2=202+152=252,可知连杆AB的长度等于25cm.当滑块A向下滑到O点时,滑块B距O点的距离是25cm,故滑块B滑动了25-15=10(cm).
答案:10cm
三、解答题(共26分)
7.(8分)如图是一个没有上盖的圆柱形食品盒,一只蚂蚁在盒外表面的A处,它想吃到盒内表面对侧中点B处的食物.已知盒高10cm,底面圆周长为32cm,A距下底面3cm,试求出蚂蚁爬行的最短路程.
【解析】如图,作出点A关于CD的对称点A′,则A′B的长度等于蚂蚁爬行的最短路程.过B作BF⊥AC于F,根据题意求出BF=CD=×32=16(cm),
A′F=A′C+CF=10-3+=12(cm).
在Rt△A′FB中,A′B2=A′F2+FB2=122+162=202,
故A′B=20cm,即蚂蚁爬行的最短路程为20cm.
8.(8分)如图所示,A,B是直线l同侧的两点,且点A,B到l的距离分别为4.5,10.5,且垂足C,D间的距离为8,若点P是l上一点,则PA+PB的最小值是多少
【解析】过l作A的对称点A′交l于点C,A′C=4.5,连接A′B,交l于P.此时PA+PB为最小值.从B作l的垂线,交l于D,过A′作l的平行线,交BD的延长线于E.
因为AP=A′P,所以PA+PB=A′P+BP=A′B,
A′E=CD=8,DE=CA′=4.5,
BE=BD+DE=10.5+4.5=15,
A′B2=A′E2+BE2=82+152=172,
所以A′B=17.即PA+PB=17.
9.(10分)(能力拔高题)
如图所示,有一根高为2m的圆木柱,圆木柱的底面周长为0.3m.为了营造喜庆的气氛,老师要求小明将一条彩带从圆木柱底向圆木柱顶均匀地缠绕7圈,一直缠到起点的正上方为止,小明至少需要准备一条多长的彩带
【解析】如图所示,因为BC是圆木柱的高,
所以BC=2m.
又因为圆木柱的底面周长是0.3m,
所以AC的长为0.3×7=2.1(m).
在Rt△ABC中,
AB2=AC2+BC2,
因此AB2=2.12+22=8.41=2.92,
所以AB=2.9m.
因此小明至少要准备一条长2.9m的彩带.