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一次函数的图象
第2课时
【教材训练】
5分钟
1.一次函数y=kx+b的图象是一条经过点(0,b)和点的直线.
2.在一次函数y=kx+b中
当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.
3.判断训练(打“√”或“×”)
(1)直线y=-x+1过(1,1)点. (×)
(2)若点A(2,4)在函数y=kx-2的图象上,则点(0,2)也在函数y=kx-2的图象上.
(×)
(3)一次函数y=-2x+3的图象与x轴的交点为(3,0). (×)
(4)直线y=(k+1)x+3经过点(0,3). (√)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:一次函数的图象
1.(2分)下列四个点,在y=3x+2的图象上的是 ( )
A.(1,4)
B.(0,-2)
C.(2,)
D.(1,5)
【解析】选D.将四个选项中的点分别代入y=3x+2中,只有D满足,故选D.
2.(2分)一次函数y=3x-4的图象不经过 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为k=3>0,所以图象过一、三象限;又因为b=-4<0,所以图象过第四象限,所以一次函数y=3x-4的图象不经过第二象限.
3.(2分)一次函数y=x+2的图象大致是 ( )
【解析】选A.一次函数y=x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=-2,故一次函数y=x+2图象经过(0,2),(-2,0).故根据排除法可知A选项正确.
4.(2分)一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的图象如图所示,则使y>0成立的
x的取值范围为____________.
【解析】因为直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-2,0),由函数的图象可知
x<-2时,y>0.
所以使y>0成立的x的取值范围为:x<-2.
答案:x<-2
5.(6分)填表并观察下列两个函数的变化情况.
x
1
2
3
4
5
…
y1=2x+10
y2=5x
在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象.
【解析】列表可得:
x
1
2
3
4
5
…
y1=2x+10
12
14
16
18
20
…
y2=5x
5
10
15
20
25
…
在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象如图所示:
训练点二:一次函数的性质
1.(2分)若一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小,且图象与y轴的负半轴相交,那么对k和b的符号判断正确的是 ( )
A.k>0,b>0
B.k>0,b<0
C.k<0,b>0
D.k<0,b<0
【解析】选D.因为一次函数y=kx+b的函数值y随x的增大而减小,所以k<0;因为图象与y轴的负半轴相交,所以b<0.
2.(2分)正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=x+k的图象大致是 ( )
【解析】选A.∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,∴k>0,∴一次函数y=x+k的图象经过一、二、三象限.
3.(6分)已知:一次函数y=(3-k)x-2k+18.
(1)k为何值时,y随x的增大而减小
(2)k为何值时,函数图象平行于直线y=-x
【解析】(1)因为一次函数y=(3-k)x-2k+18,y随x的增大而减小,所以3-k<0,即k>3.
即当k>3时,y随x的增大而减小.
(2)因为直线y=(3-k)x-2k+18与直线y=-x平行,所以3-k=-1且-2k+18≠0,解得k=4.
即当k=4时,直线y=(3-k)x-2k+18与直线y=-x平行.
4.(6分)作出函数y=x-3的图象并回答:(1)当x的值增加时,y的值如何变化 (2)当x取何值时,y>0,y=0,y<0
【解析】当x=0时,y=-3,当y=0时,x-3=0,解得x=6,所以函数图象与两坐标轴的交点为(0,-3),(6,0).作出函数图象如图所示:
(1)由图可知,y的值随着x值的增大而增大.
(2)x>6时,y>0;x=6时,y=0;x<6时,y<0.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.一次函数y=(k-2)x+3的图象如图所示,则k的取值范围是 ( )
A.k>2
B.k<2
C.k>3
D.k<3
【解析】选B.由图象可知k-2<0,
解得k<2.
2.对于一次函数y=-2x+4,下列结论错误的是 ( )
A.函数值随自变量的增大而减小
B.函数的图象不经过第三象限
C.函数的图象与函数y=-2x的图象平行
D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
【解析】选D.由一次函数y=-2x+4可知直线经过第一、二、四象限,可知选项A、选项B正确;由x的系数相等可知选项C也正确;函数的图象与x轴相交,可知y的值为0,故选项D错误.
3.函数y=kx+|k|(k≠0)在直角坐标系中的图象可能是 ( )
【解析】选B.由题意知,b=|k|>0,故分两种情况讨论:
(1)当k>0时,图象经过第一、二、三象限;
(2)当k<0时,图象经过第一、二、四象限.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.一次函数y=kx+b-3,当b=________时,图象过原点;当k________时,y随x的增大而增大.
【解析】当b-3=0,即b=3时,函数为正比例函数,图象过原点;当k>0时,y随x的增大而增大.
答案:3 >0
5.如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),则kb=________.
【解析】因为直线y=2x与直线y=kx+b平行,所以k=2.因为直线y=kx+b过点(1,-2),所以2+b=-2.所以b=-4.
所以kb=2×(-4)=-8.
答案:-8
6.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1),且不经过第三象限,则满足以上条件的一个函数表达式为________.
【解析】根据题意k<0,b=1,例如:y=-2x+1(答案不唯一).
答案:y=-2x+1(答案不唯一)
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知函数y=-2x+6与函数y=3x-4.
(1)在同一平面直角坐标系内,画出这两个函数的图象.
(2)求这两个函数图象的交点坐标.
(3)根据图象回答,当x在什么范围内取值时,函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象的上方
【解析】(1)函数y=-2x+6与坐标轴的交点为(0,6),(3,0),
函数y=3x-4与坐标轴的交点为(0,-4),(,0),作图如图所示:
(2)由图象可以看出两个函数图象的交点坐标是(2,2);
(3)由图象知,当x<2时,函数y=-2x+6的图象在函数y=3x-4的图象上方.
8.(8分)作出一次函数y=2x-4的图象,并回答下列问题:
(1)当x逐渐增大时,对应y的值是逐渐增大,还是逐渐减小
(2)这个函数的图象与x轴的交点坐标是什么 与y轴的交点坐标呢
(3)这个函数图象与坐标轴围成的三角形面积是多少
(4)试求出函数图象与坐标轴两交点间的距离.
【解析】图象如图所示:
(1)当x逐渐增大时,对应y的值是逐渐增大.
(2)令x=0,则y=-4;令y=0,则x=2,故这个函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0);与y轴的交点坐标是(0,-4).
(3)这个函数图象与坐标轴围成的三角形面积为×2×4=4.
(4)设图象与x,y轴的交点分别为A,B,则在Rt△ABO中,由勾股定理得AB==2,即两交点间的距离为2.
9.(10分)(能力拔高题)已知一次函数y1=50+2x与y2=5x,回答下列问题:
(1)能否说函数y1的值比函数y2的值大 为什么
(2)这两个函数的值是否都随着x的值的增大而增大 当x增加1个单位时,这两个函数的值分别增加多少
(3)当x从1开始逐渐增大时,哪个函数的值先超过100
【解析】(1)不能.因为当x<时,y1>y2,当x=时,y1=y2,当x>时,y1(2)都随着x的增大而增大,当x增加1个单位时,y1增加2个单位,y2增加5个单位.
(3)令y1=50+2x=100,解得x=25,令y2=5x=100,解得x=20.所以y2的值先超过100.3 一次函数的图象
第1课时
【教材训练】
5分钟
1.画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.
2.正比例函数y=kx的图象是一条经过原点(0,0)的直线.
3.满足关系式y=kx的x,y所对应的点(x,y)都在正比例函数y=kx的图象上;正比例函数y=kx的图象上的点(x,y)都满足关系式y=kx.
4.在正比例函数y=kx中
当k>0时,y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时,y的值随着x值的增大而减小.
5.判断训练(打“√”或“×”)
(1)函数y=x的图象必经过点(1,2). (×)
(2)正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(0,0)和(1,k).(√)
(3)函数y=k2x(k≠0)中的y值随x值的增大而增大. (√)
(4)函数y=5x(x>1)的图象是一条直线. (×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:正比例函数的图象
1.(2分)当k>0时,正比例函数y=kx的图象大致是 ( )
【解析】选A.正比例函数的图象是一条经过原点的直线,且当k>0时,经过一、三象限.
2.(2分)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则在下列选项中k值可能是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.观察图象可以看出,当x=2时y大约等于4,因此k可能等于2.
3.(2分)一次函数y=-x的图象经过________象限.
【解析】因为k=-1<0,所以一次函数y=-x的图象经过二、四象限.
答案:二、四
4.(6分)在同一直角坐标系中,画出函数y=0.2x,y=x,y=5x的图象,然后比较哪一个与x轴正方向所成的锐角最大,由此你得到什么猜想 再选几个图象验证你的猜想.
【解析】如图所示:
由以上三个函数的图象可知函数y=5x与x轴正方向所成的锐角最大,由此可知正比例函数y=kx(k>0)中,k越小图象与x轴正方向所成的锐角越小.再画出函数y=0.5x与函数y=2x的图象进行比较,结论仍然正确.
训练点二:正比例函数的性质
1.(2分)已知函数y=kx的函数值随x的增大而增大,则函数的图象经过 ( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
【解析】选B.根据题意,函数值随x的增大而增大,k值大于0,图象经过第一、三象限.
2.(2分)关于函数y=-x,下列结论正确的是 ( )
A.函数图象必经过点(-1,2)
B.函数图象经过一、三象限
C.y随x的增大而减小
D.y随x的增大而增大
【解析】选C.因为k=-<0,所以y随x的增大而减小.
3.(2分)在正比例函数y=-3mx中,函数y的值随x值的增大而增大,则P(m,5)在第________象限.
【解析】因为函数y的值随x值的增大而增大,所以-3m>0,所以m<0;点P的横坐标小于0,纵坐标大于0,所以点P在第二象限内.
答案:二
4.(6分)已知函数y=(k-1),当k为何值时,正比例函数y随x的增大而减小
【解析】因为此函数是正比例函数,所以k-1≠0,k2-3=1,解得k=±2,因为此正比例函数y随x的增大而减小,
所以k-1<0,所以k=-2.
5.(6分)若正方形ABCD的边长为2,P为DC上一动点,设DP=x,请写出△APD的面积y与x的函数关系式;它是正比例函数吗 说明理由.
【解析】根据三角形的面积公式得:y=×2x=x(0【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.在直角坐标系中,既是正比例函数y=kx,又满足y的值随x值的增大而减小的图象是 ( )
【解析】选C.根据正比例函数的图象必过原点,排除A,D;y的值随x值的增大而减小,图象自左至右是下降的趋势,排除B.
2.下面各点在函数y=-2x的图象上的是 ( )
A.(2,-1)
B.(-1,2)
C.(1,2)
D.(2,1)
【解析】选B.把A,B,C,D各点的坐标依次代入y=-2x中进行验证,
只有x=-1,y=2能使y=-2x成立.
3.如图所示,在同一直角坐标系中,一次函数y=k1x,y=k2x,y=k3x,y=k4x的图象分别是l1,l2,l3,l4,则下列关系正确的是 ( )
A.k1B.k2C.k1D.k4【解析】选B.由正比例函数的性质知k3>0,k4>0,k1<0,k2<0,排除D;又由当k>0时,k的值越大,直线与x轴正半轴的夹角越大,所以k4二、填空题(每小题4分,共12分)
4.写出一个正比例函数,使其图象经过第二、四象限:__________________.
【解析】答案不唯一,要使函数y=kx的图象经过第二、四象限,只需使k<0即可.例如:y=-x,y=-x等.
答案:答案不唯一:y=-x(或y=-x等)
5.已知点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2)是正比例函数y=-kx(k≠0)图象上的两点,且当x1【解析】当x10,所以k<0.
答案:k<0
6.正比例函数的图象经过点P(-2,1),则这个函数的图象经过________象限.
【解析】因为点P(-2,1)在第二象限内,所以正比例函数图象经过二、四象限.
答案:二、四
三、解答题(共26分)
7.(8分)已知正比例函数图象经过点(-1,2),
(1)求此正比例函数表达式.
(2)点(2,-5)是否在此函数图象上
【解析】(1)正比例函数图象经过点(-1,2),所以当x=-1时,y=2,因此k=-2,故可得出正比例函数关系式为:y=-2x.
(2)将点(2,-5)代入,左边=-5,右边=-2×2=-4,左边≠右边,故点(2,-5)不在此
函数图象上.
8.(8分)(1)在同一直角坐标系内画出正比例函数y1=-2x与y2=x的图象.
(2)请你用量角器度量一下这两条直线所成的角,你会发现什么 写出你的猜想.
【解析】(1)如图:
(2)两条直线所成的角等于90°.
当两个正比例函数两系数之积为-1时,两条直线所成的角为90度,即垂直.
9.(10分)(能力拔高题)正比例函数y=kx的图象经过A(a,b),B(b,c)两点,且b>a.
(1)试说明b2=ac.
(2)如果A,B两点都在第一象限内,过点A作x轴的垂线,垂足为点C,过点B作x轴的垂线,垂足为点D,四边形ABDC的面积等于12,c-a=8,求b的值.
【解析】(1)因为正比例函数y=kx的图象经过A(a,b),B(b,c)两点,所以b=ka,c=kb,所以=,所以b2=ac.
(2)由题干图可知:AC=b,BD=c,CD=b-a,因为四边形ABDC的面积等于12,所以(b+c)(b-a)=12,所以b2-ab+bc-ac=24,因为b2=ac,所以bc-ab=24,
即b(c-a)=24,因为c-a=8,所以b=3.
