八年级数学（上）（北师大版）第六章《数据的分析》4数据的离散程度课时练（含答案解析）

4　数据的离散程度
【教材训练】
5分钟　
1.极差、方差、标准差的概念
(1)一组数据的最大数据与最小数据的差叫这组数据的极差.
(2)方差是各个数据与其平均数差的平方的平均数.
(3)标准差是方差的算术平方根.
2.判断训练(打“√”或“×”)
(1)极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量.　(√)
(2)一组数据:-1,5,9,7的极差是8.　(×)
(3)在样本容量相同的情况下,方差越小,说明数据的波动越大,越不稳定.　(×)
(4)一组数据5,5,5,4,6,则这组数据的方差是0,标准差是0.　(×)
(5)已知,一组数据x1,x2,…,xn的平均数是10,方差是2,则数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数是10,方差是2.　(×)
【课堂达标】
20分钟
训练点一:极差、方差、标准差的计算
1.(3分)若一组数据1,2,3,x的极差为6,则x的值是　(　　)
A.7
B.8
C.9
D.7或-3
【解析】选D.由题意可得x的值为-3或7.故选D.
2.(3分)在方差的计算公式s2=×[(x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2]中,数字10和20分别表示的意义可以是　(　　)
A.数据的个数和方差
B.平均数和数据的个数
C.数据的个数和平均数
D.数据的方差和平均数
【解析】选C.由方差的计算公式知10个数据,平均数为20.
3.(3分)在植树节当天,某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动,
10个小组植树的株数见下表:
植树株树(株)
5
6
7
小组个数
3
4
3
则这10个小组植树株数的方差是________.
【解析】先求得平均数为=6,然后套用方差公式得s2=0.6.
答案:0.6
4.(3分)已知数据0,1,2,3,4的方差为2,则数据10,11,12,13,14的方差为____________,标准差为__________.
【解析】因为第二组数据在第一组数据的基础上都加上了10,数据波动情况没有发生变化,故方差不变,依然是2,标准差是.
答案:2　
5.(4分)甲、乙两位同学五次数学测验成绩如下表:
测验(次)
1
2
3
4
5
平均分
方差
甲(分)
75
90
96
83
81
乙(分)
86
70
90
95
84
请你在表中的空白处填上适当的数,用学到的统计知识对两位同学的成绩进行分析,并写出一条合理化建议.
【解析】
平均分
方差
甲
85
53.2
乙
85
70.4
从上述数据可以看出,两人的成绩的平均分相等,乙同学的数学成绩不够稳定,波动较大,希望乙同学在学习上查缺补漏,稳定自己的成绩.
训练点二:极差、方差、标准差的简单应用
1.(3分)已知甲、乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差=0.055,乙组数据的方差=0.105,则　(　　)
A.甲组数据比乙组数据波动大
B.乙组数据比甲组数据波动大
C.甲组数据与乙组数据的波动一样大
D.甲、乙两组数据的波动不能比较
【解析】选B.方差大的数据波动大,方差小的数据波动小.故选B.
2.(3分)某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查,计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同,方差分别为=8.5,=2.5,=10.1,=7.4,二月份白菜价格最稳定的市场是　(　　)
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选B.根据数据方差的意义,方差越小说明二月份白菜的价格越稳定.因为=2.5最小,所以乙市场的价格最稳定.
3.(3分)已知一组数据:3,4,5,6,5,7,那么这组数据的方差是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为==5,所以
s2=×[(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(5-5)2+(7-5)2]=.故选A.
4.(5分)在某旅游景区上山的一条路上,有一些断断续续的台阶,如图是其中的甲、乙两段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题:
图中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm),并且数据15,16,16,14,14,15的方差:,数据11,15,18,17,10,19的方差:.
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点
(2)哪段台阶路走起来更舒服 为什么
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
【解析】(1)=×(15+16+16+14+14+15)=15,
=×(11+15+18+17+10+19)=15,
甲路段的中位数为15;乙路段的中位数为16.
甲路段的极差为16-14=2;乙路段的极差为19-10=9.
又=,=,所以:
相同点:两段台阶路高度的平均数相同.
不同点:两段台阶路高度的中位数、方差、极差不同.
(2)甲段台阶路走起来更舒服一些,因为它的台阶高度的方差小.
(3)每个台阶高度均修为15cm,使得方差为0.
【课后作业】
30分钟
一、选择题(每小题4分,共8分)
1.甲、乙两人在相同的条件下,各射靶10次,经过计算:甲、乙射击成绩的平均数都是8环,甲的方差是1.2,乙的方差是1.8.下列说法中不
一定正确的是　(　　)
A.甲、乙的众数相同
B.甲的成绩稳定
C.乙的成绩波动较大
D.甲、乙射中的总环数相同
【解析】选A.因为两人各射击10次,平均数都是8环,所以两人的总环数都是80环,因而D正确;又因为甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比较稳定,乙的成绩波动较大,所以B,C正确;而通过方差和平均数不能确定数据的众数,所以A不正确.
2.甲、乙两学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,且所中环数的平均数也相同,但甲的成绩比乙的成绩稳定,那么两者的方差的大小关系是　(　　)
A.<
B.>
C.=
D.不能确定
【解析】选A.由于甲、乙两位学生在军训打靶训练中,打靶的总次数相同,所中环数的平均数也相同,由于甲的成绩稳定,说明他的成绩波动性较小,所以他的方差也小.
二、填空题(每小题4分,共12分)
3.如图是一组数据的折线统计图,这组数据的极差是________.
【解析】极差是最大值与最小值的差:59-28=31.
答案:31
4.已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是s2,则新的一组数据ax1+1,ax2+1,…,axn+1(a为常数,a≠0)的方差是________(用含a,s2的代数式表示).
(友情提示:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2])
【解析】设数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,
则=,
[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=s2,
所以=
=a+1.
新的一组数据ax1+1,ax2+1,…,axn+1(a为常数,a≠0)的方差是
s′2=[(ax1+1-a-1)2+(ax2+1-a-1)2+…+(axn+1-a-1)2]
=[(ax1-a)2+(ax2-a)2+…+(axn-a)2]
={[a(x1-)]2+[a(x2-)]2+…+[a(xn-)]2}
={[a2(x1-)2]+[a2(x2-)2]+…+[a2(xn-)2]}
=a2·[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
=a2s2.
即新的一组数据ax1+1,ax2+1,…,axn+1(a为常数,a≠0)的方差是a2s2.
答案:a2s2
5.如图是甲、乙两名射击运动员的10次射击训练成绩(环数)的折线统计图,观察图形,甲、乙这10次射击成绩的方差,之间的大小关系是________.
【解析】根据图象可以看出甲的成绩波动比乙的成绩波动要小.故<.
答案:<
三、解答题(共30分)
6.(8分)甲、乙两名同学进行射击训练,在相同条件下各射靶5次,成绩统计如下:
命中环数
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
2
2
0
1
乙命中相应环数的次数
1
3
1
0
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平,则谁的射击成绩更稳定些
【解析】甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为:
=×(7×2+8×2+10×1)=8,
=×(7×1+8×3+9×1)=8,
=×[2×(7-8)2+2×(8-8)2+(10-8)2]=1.2,
=×[(7-8)2+3×(8-8)2+(9-8)2]=0.4,
因为<,
所以乙同学的射击成绩更稳定些.
7.(10分)已知A组数据如下:0,1,-2,-1,0,-1,3.
(1)求A组数据的平均数.
(2)从A组数据中选取5个数据,记这5个数据为B组数据.要求B组数据满足两个条件:①它的平均数与A组数据的平均数相等;②它的方差比A组数据的方差大.你选取的B组数据是________,请说明理由.
【注:A组数据的方差的计算式是:
=[(x1-)2+(x2-)2+(x3-)2+(x4-)2+(x5-)2+(x6-)2+(x7-)2]】
【解析】(1)=×(0+1-2-1+0-1+3)=0.
(2)答案不唯一,如选取1,-2,-1,-1,3.
因为=×(1-2-1-1+3)=0,所以=.
因为=×[02+12+(-2)2+(-1)2+02+(-1)2+32]=,
=×[12+(-2)2+(-1)2+(-1)2+32]=.
所以>,所以数据1,-2,-1,-1,3符合题意.
8.(12分)(能力拔高题)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图所示.
(1)请填写下表:
平均数
方差
中位数
命中9环以上的次数(包括9环)
甲
7
1.2
1
乙
5.4
(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.
①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定);
②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些);
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些);
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).
【解析】(1)
平均数
方差
中位数
命中9环以上次数(包括9环)
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①因为平均数相同,<
所以甲的成绩比乙稳定.
②因为平均数相同,甲的中位数<乙的中位数,
所以乙的成绩比甲好些.
③因为平均数相同,命中9环以上的次数甲比乙少,
所以乙的成绩比甲好些.
④甲的成绩在平均数上下波动;而乙处于上升势头,从第4次以后就没有比甲少的情况发生,乙较有潜力.