12.2.3 角边角 课件(共28张PPT) 2025-2026学年数学华东师大版八年级上册

(共28张PPT)
1. 体会通过画图、操作、实验等教学活动，有序探索判定三角形全等的方法.
2. 掌握ASA及AAS判定两个三角形全等的方法.
3. 会通过证明两个三角形全等，解决线段或角相等的问题.
学习目标
新课引入
上节课我们学习了证明两个三角形全等的方法是什么？
边角边(SAS)
除了边角边之外还有其他证明两个三角形全等的方法吗？现在我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
(角边角)
(角角边)
与两边一角类似，两角一边同样可以分成两种情况：
（1）两个角及这两角的夹边；
（2）两个角及其中一角的对边.
新知学习
探究
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
60°
40°
4cm
A
B
C
M
N
步骤：1.画一条线段AB，使它等于4cm；
2.画∠MAB=60°；
3.∠NBA=40°，MA与NB交于点C；
△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
都全等
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论．
仍然都全等
下面用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
全等
归纳总结
在△ABC 和△A′B′C′中，
已知：∠A=∠A′ ，AB=A′ B′ ，∠B=∠B′
∴△ABC ≌△A′B′C′（ASA）．
基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写为“角边角”或“ASA”）.
”角边角”判定方法
几何语言：
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC.
求证：△ABC≌△DCB，AB=DC．
∵∠ABC＝∠DCB（已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）.
∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）
B
C
A
D
例2 如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，测得的DE的长就是AB的长，为什么？
解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC．
在△ABC 和△EDC 中，
∵∠ABC= ∠EDC（已知），
BC= DC（已知），
∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
∴△ABC≌△EDC（ASA ），
∴AB=ED.
思考
如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
(角角边)
分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是有“角边角”，可证得这两个三角形全等.
已知：如图，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，（已知）
∠A＋∠B＋∠C＝180°，（三角形内角和等于180°）
∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°(三角形内角和等于180°)，
∴∠C＝∠C′（等量代换）．
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′(已知)，
AC＝A′C′(已知)，
∠C＝∠C′(已证)，
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）
归纳总结
基本事实：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写为“角角边”或“A.A.S.”）.
”角角边”判定方法
A
B
C
A ′
B ′
C ′
几何语言：在△ABC 和△A′B′C′中，
已知：∠A=∠A′ ，∠B=∠B′ ，AC=A′ C′
∴△ABC ≌△A′B′C′（AAS）.
例3 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE//AB，交AD的延长线于点E，求证：AD=ED.
证明：∵CE // AB(已知),
∴∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED
(两直线平行，内错角相等).
在△ABD与△ECD中，
∵∠ABD=∠ECD，∠BAD=∠CED(已证)，
BD=CD(已知),
∴△ABD≌△ECD(AAS),
∴AD=ED(全等三角形的对应边相等).
注意：通常利用全等三角形的对应边相等来证明两条线段相等，这是一个重要的方法.类似的方法可以证明两个角相等.
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.求证：AD＝A′D′ .
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
例4 求证：全等三角形对应边的高相等.
分析：从图中看出，AD，A′ D′ 分别属于△ABD 和△A′B′D′，要证AD＝A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′ (已知)，
∴AB=A'B'（全等三角形的对应边相等），
∠B=∠B'（全等三角形的对应角相等）.
在△ABD和△A'B'D'中，
∵∠ADB=∠A'D'B'=90°（已知），
∠B=∠B'（已证），
AB=A'B'（已证），
∴△ABD≌△A'B'D'(AAS).
∴AD=A'D'（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
拓展：全等三角形对应边上的高也相等.
思考
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
△ABD≌△A′B′D′（SAS）
AD = A′D′
△ABD≌△A′B′D′（ASA）
∠ABD=∠A′B′D′，AB = A′B′，∠A=∠A′
BD = B′D′
AB = A′B′，∠B=∠B′，BD = B′D′
C
1.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A.AB=DE
B.AC=DF
C.∠A=∠D
D.BF=EC
随堂练习
2.王老师的一块三角形教学用玻璃不小心打破了（如图），他想再到玻璃店买一块，为了方便他只要带哪一块就可以了（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
A
3. 如图，∠B=∠BDE=90° ，BD=DE ，AD⊥CE ，若CE=10 CE ，求AD 的长.
解：∵∠EDB=∠B=90°，AD⊥CE，
∴∠CFD=90°，∠ECD+∠E=90°，
∴∠ECD+∠ADB=90°，∠E=∠ADB
在△DEC和△BDA中，
∵∠EDC=∠B（已知）
ED=DB（已知）
∠E=∠ADB（已证）
∴△DEC ≌△BDA（ASA）
∴AD=CE=10，∴AD的长为10.
4. 如图，在△ABC中，D是AC边上一点，AE平分∠BAC交BD 于点E，EF∥BC交AC于点F.已知∠ABE=∠C. 求证：△ABE≌△AFE.
证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠FAE，
∵EF∥BC，∴∠AFE=∠C
又∵∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠AFE.
在△ABE和△AFE中，
∵∠ABE=∠AFE（已证），∠BAE=∠FAE（已证），
AE=AE（公共边），
∴△ABE≌△AFE (AAS).
5.　如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ADB＝∠ECB，CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD＝2CE.
F
证明：如解图，延长CE与BA延长线交于点F，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠BAC＝∠DEC，
∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠DCE，
在△BAD和△CAF中，
F
∴△BAD≌△CAF(A.S.A.)，
∴BD＝CF，∠ADB＝∠AFC(全等三角形对应边，对应角相等)
∵∠ADB＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠AFC，
在△BEF和△BEC中，
∴△BEF≌△BEC(AAS)，
∴CE＝EF，(全等三角形对应边相等)
∴DB＝2CE.(等量代换)
注意
内容
角边角
角角边
“角边角”“角角边”中两角与边的位置的区别
角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成 “ASA”)
角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成 “AAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
课堂小结